微专题2：函数与数列放缩(教师版)

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4 4n2 − 1
=
2
1 2n − 1
−
1 2n + 1
(2)
1 Cn1 + 1Cn2
=
2 (n + 1)n(n − 1)
=
1 n(n − 1)
−
1 n(n + 1)
(3)
T r+1
=
C
r n
⋅
1 nr
=
n! r! (n − r)!
⋅
1 nr
<
1 r!
<
1 r(r − 1)
=
1 r−1
(11)
2n (2n − 1)2
=
2n (2n − 1) (2n − 1)
<
2n (2n − 1) (2n − 2)
=
2n− 1 (2n − 1) (2n − 1 − 1)
=
1 2n − 1 − 1
−
1 2n − 1
(
n
≥ 2)
(12) 1 = 1 < 1 = 1 − 1 ⋅ 1
n3 n ⋅ n2 n(n − 1) (n + 1)
1 2n + 3
⋅
1 2n
=
1 (2n + 1) ⋅ 2n − 1
−
1 (2n + 3) ⋅ 2n
(9) 1 = k(n + 1 − k)
1 n+1−k
+
1 k
1 n+1
,
1 n(n + 1 + k)
=
1 k+1
1 n
−
1 n+1+k
(10)
n (n + 1)!
=
1 n!
−
1 (n + 1)!
ln3 4
…+
lnn n+1
≤
n(n+1) 4
．
知识点回归： 多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩
类型一：剪“枝”留干，抓住主要特征
1（. 吉林高考模拟(理))已知数列 an 满足 a1 = 32 ,an + 1 = 3an - 1n ∈ N ∗ .
若数列 cn
n(n − 1) n(n + 1) n + 1 − n − 1
= 1 − 1 ⋅ n+1+n−1
n−1 n+1
2 n
< 1 − 1 n−1 n+1
(13)
2n + 1
=
2
⋅
2n
=
(3
−
1)
⋅
2n
>
3
⇒
3 ( 2n
−
1)
>
2n
⇒
2n
−
1
>
2n 3
⇒
1 2n − 1
<
2n 3
1.
证明
n
k=1
一 方 面 :
因为
1 n2
<
1
n2
−
1 4
=
4 4n2 − 1
=
2
1 2n − 1
−
1 2n + 1
,所以
n
k=1
1 k2
<
1
+
2
1 3
−
1 5
+
⋯
+2n1−1
−
1 2n + 1
<
1
+
2 3
=
5 3
另一方面:
1
+
1 4
+
1 9
+
⋯
+
1 n2
>
1
+
1 2×3
+
1 3×4
+
⋯
+1 n(n + 1)
1 k2
<
53 .
因为
1 n2
<
1
n2
−
1 4
=
4 4n2 − 1
=
2
1 2n − 1
−
1 2n + 1
,
所以
n
k=1
1 k2
<
1
+
2
1 3
−
1 5
+
⋯
+2n1−1
−
1 2n + 1
<
1
+
2 3
=
5 3
2.求证:
6n (n + 1) (2n + 1)
≤
1
+
1 4
+
1 9
+
⋯
+
1 n2
<
5 3
解析 :
≤
1
+
1 4
+
1 9
+
⋯
+
1 n2
<
5 3
−
1 n2
<
1
−
1 n(n + 1)
,求和后可以得到答案
函数构造形式: lnx ≤ x − 1, lnnα ≤ nα − 1(α ≥ 2)
3.已知函数 f(x)=ax(a>0，a ≠ 1)．
当
，
数列{bn}满足
．
求证：
．
答案： 即
， ，
所以
类型三：裂项放缩
常见裂项放缩结构
(1)
1 n2
=
4 4n2
+
⋯
+
31n )
cause
1 2
+
1 3
+
⋯
+
1 3n
=
1 2
+
1 3
+
1 4
+
1 5
+
1 6
+
1 7
+
1 8
+
1 9
1 2n
+
1 2n + 1
+
⋯
+
1 3n
>
5 6
+
3 6
+
3 9
+
9 18
+
9 27
+⋯+
3n−1 2 ⋅ 3n − 1
+
3n −1 3n
=
5n 6
所以
ln2 2
+
ln3 3
=
1
−
1 n+1
=
n n+1
当
n
≥
3
时,
n n+1
>
6n (n + 1) (2n + 1)
,当
n
=
1
时,
6n (n + 1) (2n + 1)
=
1
+
1 4
+
1 9
+
⋯
+
1 n2
,
当
n
=
2
时,
6n (n + 1) (2n + 1)
<
1
+
1 4
+
1 9
+
⋯
+ n12 ,
所以综上有
6n (n + 1) (2n + 1)
有
Tn
=
c1
+
c2
+
⋯
+cn
>
0
+
1
+
2
+
⋯
n
-
1
=
nn-1 2
，
所以
Tn
>
nn-1 2
.
2.求证：
+
+
+…+
<
证明：记 f(x)=
，则 f′(x)=
，
令 f′(x)=0，可知 x=e，
∴ f(x)在(0，e)上为增函数、在(e，+∞)上为减函数，
∴ f(x)的最大值为 f(e)=
=，
∴
+
+
+…+
<
<
<
+
=
(n ∈ N*)．
(n ∈ N*)
类型二：构造放缩函数
1.求证
：ln22
+
ln3 3
+
ln4 4
+
⋯
+
ln3n 3n
<
3n
−
5n+6 6
(n
∈
N
*).
解析:先构造函数有
lnx
≤
x
−
1
⇒
lnx x
≤
1
−
x1 ,
从而
ln2 2
+
ln3 3
+
ln4 4
+
⋯
+
ln3n 3n
<
3n
−
1
−
(
1 2
+
1 3
−
1 r
(r
≥
2)
(4)
(1
+
1 n
)n
<
1
+
1
+
1 2×1
+
1 3×2
+
⋯
+1 n(n − 1)
<
5 2
(5)
1 2n(2n − 1)
=
1 2n − 1
−
1 2n
(6)
1
<
n + 2
−
n
n + 2
(7)
2( n + 1
−
n)
<
1
<
2( n
−
n − 1)
n
(8)
2 2n + 1
−
南京零模考点回归 2：函数与数列放缩
零模引例：
22．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x)=kx-xlnx，k ∈ R．
(1)当 k=2 时，求函数 f (x)的单调区间；
(2)当 0<x ≤ 1 时，f (x)≤ k 恒成立，求 k 的取值范围；
(3)设
n
∈
N*
，求证
：ln21
+
ln2 3
+
+
ln4 4
+
⋯
+
ln3n 3n
<
3n
−
1
−
5n 6
=
3n
−
5n+6 6
+⋯+
2..求证:(1)
α
≥
2,
ln2α 2α
+
ln3α 3α
+
⋯
+
lnnα nα
<
2n2−n−1 2(n + 1)
(n
≥
2)
解析:构造函数
f
(x)
=
lnx x
,得到
lnnα nα
≤
lnn2 n2
,
再进行裂项
lnn2 n2
≤
1
满足
cn
=
log3an,Tn
=
c1
+
c2
+
⋯
+cn，求证
：Tn
>
nn-1 2
.
【解析】
由题可知 n ∈ N * ，
从而有
bn
+
1
=
3bn
，b1
=
a1
-
1 2
=
1，
所以 bn 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列.
知
bn
=
3n
-
1
，从而
an
=
3n
-
1
+
1 2
，
cn = log3
3n
-
1
+
1 2
> log33n - 1 = n - 1，