初中数学有关二次函数的符号判断
九年级数学上册复习专题08二次函数a、b、c符号判断
专题08二次函数a、b、c的符号判断二次函数性质总结（3）画图判断增减性判断依据判断下列图像对应的a，b，c的正负：图像字母符号（“正”或“负”）a b c a b c a b c a b c a b1．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则( )A ．0,0b c >>B ．0,0b c ><C ．0,0b c <<D ．0,0b c <>2．同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a )2与直线y ＝ax +a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋b 与y ＝ax ＋b （ab ≠0）的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图,在同一直角坐标系中, y ax c =+与2y ax c =+的图象为( )A ．B ．C ．D ．5．在同一坐标系中，一次函数2y mx n =-+与二次函数2y x m =+的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．如图，在同一坐标系下，一次函数y ax b =+与二次函数24y ax bx =++的图像大致可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在同一坐标系中，一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+b 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数y kx b =+与2y kx b =+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax+a 在同一坐标系中的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线2y ax bx =+和直线y ax b =+在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是（ ）11．在同一坐标系中表示2y ax =和()0y ax b ab =+>的图象的是( )A ．B ．C ．D ．12．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ）ax +b 和二次函数y ）ax 2+bx +c 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知函数y 1＝mx 2+n ，y 2＝nx +m （mn ≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．14．已知一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx,它们在同一坐标系内大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．15．函数y=ax 2+ax+a）a≠0）的图象可能是下列图象中的（ ）A ．B ．C ．D ．16．二次函数2y ax ＝与一次函数y ax a ＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．17．函数y=a 2x ＋c 与y=-ax ＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．18．在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax ﹣a （a≠0）的图象的大致位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．19．在同一平面直角坐标系中，若正比例函数(0)y mx m =≠）y 随x 的增大而减小，则它和二次函数2y mx m =+的图象大致是） ）20．在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x 2+a 的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．21．在同一直角坐标系中y=ax 2+b 与y=ax+b）a≠0）b≠0）图象大致为（ ）A．B．C．D．。
初中二次函数知识点总结(全面)
初中二次函数知识点总结(全面)初中二次函数知识点总结(全面)二次函数知识点（一）、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（二）、二次函数yax2bxc的性质b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．2a4a2a 当xbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当2a2a4acb2b．x 时，y有最小值4a2a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb2bb 时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增，．当x4a2a2a2a4acb2b大而减小；当x时，y有最大值．4a2a（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A.B.C.D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上4.抛物线的对称轴是()A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A.ab>0，c>0B.ab>0，c10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.C.二、填空题1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx2（2）y(x2)(x2)(x1)2B.D.1（4）yx22x3x2、二次函数y2(x3)25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；3、当k为何值时，函数y(k1)xk2k1为二次函数？画出其函数的图象．3、函数yx(23x)，当x为时，函数的最大值是；14、二次函数yx22x，当x时，y0;且y随x的增大而减2小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数yx2x的对称轴是．10二次函数y2x2x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．11抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a=．12、抛物线yax2xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？222213．已知抛物线y=125x－３x－22（１）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（２）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（３）画出草图（４）观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.14、（20xx年宁波市）如图，已知二次函数y12xbxc2的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。
二次函数字母系数及相关式子符号的判断
二次函数常见关系式符号的判定
二次函数是初中数学的重点内容之一，它的图像是由字母系数a、b、c的符号确定的，反之在给定抛物线的条件下如何确定字母系数的范围呢?现将二次函数的图像与字母系数的关系归纳如下：
（1）抛物线开口向上；抛物线开口向下．
（2）抛物线开口大小，越大开口越小
（3）、同号对称轴在轴左侧；、异号对称轴在轴右侧；=0对称轴为轴．
（4）抛物线与轴的交点在轴上方；抛物线与轴的交点在轴下方；
抛物线必过原点．
（5）抛物线与轴有两个交点；抛物线与轴有唯一交点；
抛物线与轴没有交点．
（6）的符号由点( 1，)的位置来确定；的符号由点( -1，)的位置来确定；
的符号由点(2，)的位置来确定。
例1如图1是抛物线的图像，则① 0；② 0；③ 0；④ 0；
⑤ 0；⑥ 0；⑦ 0。
解析：由图知：抛物线开口向下，；对称轴在轴左侧，、同号，故
；抛物线与轴的交点在轴上方，；点( 1，)、点( -1，)
分别在第四象限和第二象限，得<0, >0；抛物线与轴有两个交点，
得；由对称轴得=0．
例 2如图2，已知二次函数的图像与轴相交于(，0 )，(， 0)两点，
且，与轴相交于(O，-2)，下列结论：①；②；
③；④；⑤。
．其中正确结论的个数为( )
A．1个 B.2个 C.3个D．4个
解析：由图知：.当时，，所以，故③错误；因为抛物
线与轴有两个交点，所以即，所以④正确；当时，由图像得
，即，所以，故①错误；因为，又，所
以，故②错；当时，，即，所以故⑤错误．所以答案选 A．。
二次函数中常见关系式符号的判断
二Ｕ
所以 一 ｂ＝ ４ ａ ．
如果二次函数 Ｙ＝ ａ Ｎ ＋ ＋ｃ （ ａ≠０ ） 的对称轴 ＝
一
则４ ａ＋ｂ ＝ ０ ．
所以④对．
在点（ １ ， ０ ） 的 左边 ， 则一 ＜１ ， 当 ｏ＞０时 ， 得２ ａ＋
当Ｙ ＝２时 ， 对应的的值有两个 ， 所以⑤错．
正确是 （ ） ．
即①正确．
为 一１ ＜一 一 ＜ ０，
二“
Ａ ． ① ④ Ｃ ． ②⑤
， ：
Ｂ ． ③④ Ｄ ． ③⑤
Ｊ Ｉ １ Ⅱ一 ２ ａ＜ 一ｂ ．
即 ２ ａ—ｂ＜０ ．
所 以② 正确． 一Fra bibliotek，？ ０ ｉ ２
：
７ 、
＼
因 为 图 象 经 过 （一１ ， ２ ） ，
当 ＝ 一 ２时 ， Ｙ ＜０ ，
所以 ａ （一 ２ ） ＋ｂ Ｘ（一 ２ ）＋ ｃ ＜ ０
贝 Ｕ ４ Ⅱ一 ２ ６＋ ｃ ＜ ０ ．
如图所示 ， 则下列结论①６ 一 ４ ａ ｃ＜ ０ ， ②ａ ｂ ＞ Ｏ ， ③ｎ—ｂ＋ Ｃ ： ０ ， ｇ ） ４ ａ＋ｂ： ０， ⑤ 当 Ｙ： ２时 ， 只能有 一个值． 其 中
Ａ ． １ 个 Ｂ ． ２个
如 果 二 次 函数 ｙ＝ 似 ＋ ＋ｃ （ ａ ≠０ ） 的 对 称 轴 ＝
一
） ．
经过（ １ ， ０ ） ， ２ ａ＋ｂ ＝ ０ ．
举 例 如 下
分析
由 象得 ；
例 １ 已知二 次函数 Ｙ＝ ａ ｘ ＋ｋ ＋ｃ （ ａ ≠０ ） 的 图象
所 以选 ．
ｂ＞ ０ ， 当 ａ＜ ０时 ， ２ ０＋ｂ ＜ ０ ．
初三数学_二次函数_知识点总结
二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx ca≠），，是常数，0的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．（因此：二次函数应满足两个条件：①二次项的系数不等于0，②x 最高项的指数是2）2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax①，a 的绝对值决定开口的大小（a 的绝对值越大，抛物线的开口越小，a 的绝对值越小，抛物线的开口越大）②a 的符号决定开口的方向（a＞0，开口向上，a＜0开口向下）2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
（c＞0，将2=的图像向下移=向上移动，c＜0将2y axy ax动＝3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y 随x的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式（又称为对称式）：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（又称为两点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b :在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（三点式）；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式（对称式）；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式（两点）；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-. 二次函数与x 轴两个交点的距离）② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 十、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少注：在实际应用中凡是需要求最大，最小（或极值）问题一般都要考虑用二次函数的最大值或最小值二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D 3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
中考数学复习指导：运用口诀判断二次函数的系数关系式
1运用口诀判断二次函数的系数关系式学生对二次函数中字母系数a 、b 、c 及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．1．基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y 轴的交点位置，看与x 轴的交点个数．“四看”是对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图1所示，则下列说法不正确的是( )(A)b 2－4ac>0(B)a>0 (C)c>0 (D)b<0分析 根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a>0；由对称轴在y 轴的右侧，则a 、b 异号，故b<0：由抛物线与y 轴交于负半轴，故c<0；由抛物线与x 轴有两个交点，故b 2－4ac>0．所以本题答案是C ．例2 函数y ＝ax 2＋bx ＋c 和y ＝ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是()分析 对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“矛盾排除法”．对A 中的图象分析可得：在抛物线中，a>0，b>0，c>0；在直线中，a>0，b>0，无矛盾，可为备选答案．对B 中的图象分析可得：在抛物线中，a<0，b<0，c<0；在直线中，a>0，b ＝0，有矛盾，故排除．对C 中的图象分析可得：在抛物线中，a>0，b<0，c>0；在直线中，a<0，b>0，有矛盾，故排除．对D 中的图象分析可得，在抛物线中，a<0，b>0，c<0；在直线中，a<0，b<0，有矛盾，故排除．所以本题答案是A ．注 从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象我们可以对单独的a 、b 、c 与△进行直接判断，同时也可以对a 、b 、c的简单乘除组合式进行符号2判断．但如果遇到关于a 、b 、c 间的一些加减组合式又如何来处理呢？2．组合二看(1)三全看点在a 、b 、c 间的加减组合式中，最常见的如“a ＋b ＋c"，“a －b ＋c ”，“4a ＋2b ＋c ”，“4a －2b ＋c ”等类型的式子，这类式子a 、b 、c 三个字母都在，并且c 的系数通常为1，这时只要取x 为b 前的系数代入二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 就可以得到所需的形式，从而由其对应的y 的值时进行判断即可．(2)有缺看轴当a 、b 、c 三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a 、b 之间的转换关系，如果少的是字母c ，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a 或b ，则可利用对称轴提供的a 、b 间转换信息，把a （或b ）用b （或a ）代换即可．例3 已知二次函数（a ≠0）的图象如图3所示，有下列4个结论：①2a ＋b ＝0；②b<a ＋c ；③4a ＋2b ＋c>0；④3a ＋c>0．其中正确的结论有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 D ．4个分析 本题中的②③三个字母都在，且符合“三全看点”的特征，其中②变形后为a－b ＋c>0，由f(－1)<0，知a －b ＋c<0，不符合；③中由f(2)>0，知4a ＋2b ＋c >0，符合要求．本题中的①④字母不全，且符合“有缺看轴”的特征，其中①少c ，可直接找对称轴，由对称轴方程为直线x ＝－2b a＝1，即2a ＋b ＝0，符合要求；而④少b ，显然是利用对称轴方程中b ＝－2a 这个关系式，将原来式子中的b 代换成了a ，我们可能根据“三全看点”中a 、b 间系数的关系进行推演，不难找到其原有的式子，或为a －b ＋c ，或为9a ＋3b ＋c ，再任取其一判断，可得3a ＋c<0，不符合．所以本题答案是B ．例4 如图4，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于（x 1，0），（x 2，0）两点，且0<x 1<1，1<x 2 <2，与y 轴相交于(0，－2)．下列结论：①2a ＋b>1；②3a ＋b>0；③a ＋b<2；④b 2＋8a>0；⑤a －b>2．其中正确结论的个数为( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个分析 本题有一个重要数据条件“与y轴相交于（0，－2）”，即c ＝－2．所以本题不少选项中的c 为－2所取代，如在③中要判断a3＋b<2是否正确，就是要看a ＋b －2<0是否正确，即判断“a ＋b ＋c ”，所以可以取x ＝1得a ＋b ＋c>0，即a ＋b －2>0，故③错误；同样在⑤和①中，可将原来要判断的式子变为“a －b ＋c ”与“4a ＋2b ＋c ”，分别取x ＝－1与x ＝2，即知①⑤都是错误的．由④所给的“b 2＋8a>0”可联想到“抛物线与x 轴有两个交点”，所以由b 2－4ac>0即得④正确．只有②的辨别可用“有缺看轴”的方法，此抛物线的对称轴为直线x ＝－2b a，由“抛物线与x 轴相交于（x 1，0），（x 2，0）两点，且0<x 1<1，1<x 1<2”可知“12<－2b a <32”，且“抛物线下口向下”知“a<0”，故有“a ＋b>0”或“3a ＋b<0”，可得②错误． 所以本题答案是A ．注 与“基础四看”相比，“组合二看”的要求显然高的多，尤其是出现字母有缺时，更要求同学们能充分把握函数图象中所给的信息．3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 例5 从如图5所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab>0；②a ＋b ＋c<0；③b ＋2c>0；④a －2b ＋4c>0；⑤a ＝32b ． 你认为其中正确信息的个数有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个分析 本题可用“取值法”判断． 根据对称轴取（－43，0）、(13，0)两点，再任取与y 轴正半轴上的一个交点(0，1)，可求出 y ＝－94x 2－32x ＋1， 即得a ＝－94，b ＝－32，c ＝1． 把它代入到①~⑤中，即可知都是正确的． 所以本题答案是D ．注 用“取值法”在解决此类问题时，通常只要取一组适合条件的点求出解析式即可，但如果遇到抛物线在某特定范围内变化时，要判断某些字母的取值范围时，我们还要采用“取临界值法”加以研究．例6 如图6所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－1，0），顶点坐标为(1，n)，与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包括端点）．有下列结论：①当x>3时，y<0；②43a ＋b>0；③－1≤a ≤－23；④83≤n ≤4．其中正确的有( ) (A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个 分析 本题由对称可知抛物线与x 轴的另一个交点为(3，0)，故①是正确的．由对称轴为直线x ＝－2b a＝1，知b ＝－2a ，则3a ＋b ＝3a －2a ＝a<0，故②是错误的． 这里③④用逻辑判断就比较难，这时我们可以使用“取值法”．因为“抛物线与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包括端点）”，故可以使用“取临界值法”，分别取(0，2)，(0，3)与(－1，0)，(3，0)进行计算，可求出它们所对应的两个抛物线的解析式为y ＝－23(x －1)2＋83， 和y ＝－(x －1)2＋4，所以可知－1≤a ≤－23，83≤n ≤4，即③④都是正确的． 所以本题答案是C ．上述方法有时计算量较大，但仍有一定的实用性，笔者希望大家能够了解和掌握．。
九年级数学二次函数中a,b,c符号的确定
九年级数学二次函数中a ，b ，c 符号的确定珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线，利用图象来确定a ，b ，c 的符号，是常见的问题，解决的关键是对二次函数的图象和性质的正确理解。
一、a ，b ，c 符号的确定（1）a 符号的确定。
抛物线的开口向上，a ＞0，抛物线的开口向下，a ＜0。
（2）c 符号的确定。
因为x=0时，由c bx ax y ++=2得，y ＝c ，故抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0，抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c ＜0，抛物线经过原点，c ＝0。
（3）b 符号的确定。
b 的符号要看对称轴ab x 2-=，再结合a 的符号来确定。
二、应用举例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象分别如图所示，试分别判断（A ）（B ）（C ）（D ）图中a ，b ，c 的符号。
分析：（A ）图中，抛物线的开口向上，故a ＞0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的负半轴，故c ＜0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＞0，故b ＜0。
（B ）图中，抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＜0，而a ＜0，故b ＜0。
（C ）图中（过程略），a ＞0，c ＞0 ，b ＞0。
（D ）图中（过程略），a ＜0， c ＜0 ，b ＞0。
2、（2004重庆中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M （b ，ac ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＜0，故b ＞0。
因此，点M （b ，ac ）的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，选（D ）。
3、（2004陕西中考题）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、.a+b+c ＞0D 、a －b+c ＜0分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。
二次函数符号问题
o
x
△>0.
8
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b>0, c=0,
o
x
△>0.
9
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b<0, c>0,
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
①a____0 ＜ ， ②b_____0, ＜ ③c_ ＞ __0， ＞ ， ④b2-4ac_____0 -2 -1 0 1
⑤a+b+c_____0, ＜
⑥2a+b_ ＜__0.
2.已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象右图，5
①3a-b = ② ＞
0, 0.
----达标 5 ~ 10 ----优秀 13 ----NO.1
小 结 一
a的符号： 由抛物线的 开口方向确定 b的符号： 由抛物线的对称轴的位置 确定
C的符号： 由抛物线与
y 轴的 交点位置 确定:
7
由抛物线与 x 轴交点 个数 决定 的符号：
火眼金睛
中考数学二次函数由图像判断符号题目(大全)
二次函数判断符号问题大全1 函数y=ax + 1与y=ax 2+ bx + 1 （a 工0的图象可能是（）大而增大；④a - b ■ C ：：： 0，其中正确的个数（） A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个4、 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2所示，若点A （1, yj 、B （2, y ?）是它图象上的两点，贝V y i 与y 2的大小关系是（ 、A . y 1 ::: y 2 B . y 1 = y 2 C . y 1 y 2 D .不能确定 5、 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a 丰0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a > 0.②该函数的图象关于直线 x =1对称•③当x 二-1或x 二3时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ 、A . 3 B . 2 C . 1 D . 02y = bx • b 2 -4ac 与反比例函数1Xo2、（3、 A .B .C .D .①ac 0 ；②方程ax 2 bx 0的两根之和大于 0 ；③y 随x 的增6、二次函数y =ax bx c的图象如图所示，则一次函数在同一坐标系内的图象大致为（①b ：：： 0②c0③b 2-4ac 0④a-b ，c ：：：0，其中正确的个数有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2①b ：：：0②c 0③b -4ac 0④a-b ，c ：：：O ，其中正确的个数有(2已知二(a = 0 )的图象如图4所示，有下列四个结论：7 题图 8 题图 9 题图8、已知=次函数y = ax 2 +bx+c 的图象如图.则下列5 个代数式：ac , a+b+c , 4a — 2b+c ,2a+b , 2a — b 中，其值大于0的个数为(B 3C 、4D 、52已知二次函数y = ax bx c(a = 0 )的图象如图所示，有下列四个结论：2a +b + c则一次函数 y = bx • b -4ac 与反比例函数 y 二10、二次函数y =ax bx c 的图象如图所示,A . 在同一坐标系内的图象大致为B .x C.xD .211、小强从如图所示的二次函数y =ax bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：（1） a ::： 0 ； （2）c 1 ； （ 3）b 0 ； （ 4） a b c 0 ；（ 5）a-b ・c 0.你认为其中正确信息的个数有A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个能是（）14、 二次函数y =ax 2 bx c 的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是A . a v 0B. abc >0C. a b c > 0D. b 2 -4ac > 02J严：1 11 i/O ! 4\212、二次函数 y =ax bx c （a = 0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1，则下列四个结论错误.的是13、在同一直角坐标系中，函数2B . 2a b=0C . b -4ac 0D . a -b c 02y = mx m 和函数 y = -mx 2x 2（m 是常数，且m = 0 ）的图象可12题图15、已知二次函数y =ax - bx - c的图象如图所示，有以下结论：① a b ： 0:② b c 1 :③abc 0 :④4a -2b • c ：：： 0 :⑤c - a 1其中所有正确结论的序号是（）A .①②B .①③④C .①②③⑤D .①②③④⑤15题图216、二次函数 y =ax bx c(a =0)B . b :: 017、二次函数y 二ax 2 - bx c 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）D . b 2 -4ac ：：0 C . c ： 0)。
26.1 二次函数性质和有关符号的判断(2课时)
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中下正确的是 （ ） y A、abc＞0 B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0
D、4a-2b+c＜0
-1 o
1 2
x
5.已知：一次函数y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致 图象是图中的（ C ）
(1) y x 2 x 1 2 (2) y x 4 x 1 2
2
1 2 1 2 函数 能否由函数 例2 、 y x 4x 3 y x 2 2
的图象通过平移得到？若能,请说出平移的 过程。
解决二次函数平移问题口诀：
一提二套三平方 ；一般式化顶点式； 左加右减自变量；上加下减常数项。
分析:本例中自变量χ的取值范围不再是全体实数,因此画 出的图象是有限的一部分,先画出图象,由图象观察出最大 值和最小值.
y
1 O 2 3
解: y=χ2-2χ-3=(χ-1)2-4
∴顶点坐标为(1,-4).
χ
当2≤χ≤3时,由图象知
-4
当χ=2时, y最小值=-3;
当χ=-3时, y最大值=0.
二次函数的增减性应用
过关检测
求函数
y x 6 x 1 的图象可由怎样的
2
抛物线y=ax²（a≠0），经过怎样的平移后得到？
1.增减性
2.最值
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
根据函数图象填空： y 抛物线y= -2x2的顶点坐标是 (0,0) ,
0
x 对称轴是 直线x=0 ，在
y轴左 侧，
初中二次函数常考知识点总结
二次函数常考知识点总结一、 函数定义与表达式1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 二、 函数图像的性质——抛物线 （1）开口方向——二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线一般式：2bx a=-对称轴 顶点式：x=h 两根式：x=221x x + （3）对称轴位置（4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；当a>0时，函数有最小值，并且当x=ab2-，2min44ac b y a-=；当a<0时，函数有最大值，并且当x=a b 2-，2max 44ac b y a-=；（5）常数项c常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）。
二次函数图像a,b,c各类关系式子的判断
二次函数图像a,b,c各类关系式子的判断一．开口方向：判断a的符号。
若开口向上，则a﹥0；若开口向下，则a﹤0.二．抛物线与y轴的交点：判断c的符号若交点在y轴的正半轴，则c﹥0；若交点在轴的负半轴，则c﹤0；若交点恰为原点，则c=0。
三．顶点的位置1.顶点横坐标－的作用：根据顶点与y轴的左右关系，判明横坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。
（利用对称轴亦有此效，见后四。
1）2.顶点纵坐标(4ac－b2)／4a 的作用：根据顶点与x轴的上下关系，判明纵坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b2－4ac的符号。
（利用抛物线与x轴的交点个数，亦有此效）四．对称轴x=－的位置1．判断b的符号：根据对称轴与y轴的左右关系，判明整个－的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。
2．若对称轴已知为x=k,则－ =k,即得出a、b之间的一个等量关系。
3．若对称轴已知为x=k>m，则－ >m,结合a的符号，可得出a、b之间的一个不等关系（如大小关系）。
五．抛物线与x轴的交点：从ax2+bx+c的结构特点入手判断有关命题注意二次函数式ax2+bx+c的结构有如下特点：当x=±3时，ax2+bx+c=9a±3b+c ①当x=±2时，ax2+bx+c=4a±2b+c ②当 x=±1时，ax2+bx+c=a±b+c ③当x=±m时，ax2+bx+c=am2±bm+c ④设抛物线与x轴的交点为A，B，根据x轴上的点（±3,0）,（±2,0）,（±1,0）,(±m,0)等与点A，B的位置关系，即可判断出和上述①②③④四个式子（或其变式）有关的若干命题是否成立。
对于某些较难判断的题目，仅有以上五点总结还不很够，为此，下面再补充一点。
六．以方程组或不等式组的思想为指导，运用相关技巧判断一些较难命题是否成立。
2.二次函数有关符号的判断
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） y A、2个 B、3个
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中不正确的是 （ D ） y A、abc＞0 B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0
D、4a-2b
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c）2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 B、3个
C、2个
D、1个
y
o
x=1
x
谈谈你的收获? 1 a、b、c、△等符号性质 2 a+b+c的符号 3 a-b+c的符号 4 解信息题技巧`
a>0 b<0 c>0 △>0
o
x
做一做
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号： y
a>0 b>0 c=0 △>0
x
o
练一练
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号： y
o
a<0 b<0 c>0 △>0
x
你行的!
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号： y
二次函数a,b,c,有关符号问题
《二次函数y=ax2 +bx+c中有关符号的判断》教学设计
课程名称：二次函数y=ax2 +bx+c中有关符号的判断
授课教师：郑慧
知识点：二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c等符号归纳及简单的知识应用
预备知识:听本课之前需了解的知识：二次函数的一般式的概念及图像
教学类型:讲授型，练习型
适用对象:九年级学生
设计思路:九年级学生对二次函数的一般式y=ax2 +bx+c及其图像已经有所了解，本节课基于学生在已有知识的基础之上，对y=ax2+bx+c中a、b、c的作用进行归纳与总结，知道a可以决定开口方向及开口大小，a、b共同决定对称轴的位置（左同右异），c 决定抛物线与y轴的交点坐标的位置，以及b2 -4ac、a+b+c、a-b+c的符号等，让学生能够轻松掌握该知识点并加以应用。
教学过程
正文讲解
第一部分内容：
通过数形结合思想，给出y=ax2 +bx+c中a、b、c的具体作用，制作相应PPT进行简单描述；第二部分内容：
结合第一部分的内容，在归纳总结的已有知识的基础之上，对知识进行简单的迁移与应用。
第三部分内容：结束语
自我教学反思
本节课只是对于已有知识的一个归纳与简单的应用，所以听课的受众群体必须具备一定的基础知识，不太适合新学二次函数的学生，没有预留太多的思考时间给学生，同时本节课设计的知识点比较简单，没有做过多的拓展与延伸。
初中数学二次函数知识点汇总
初中数学二次函数知识点汇总1.二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）的函数。
2.当二次函数为y=ax^2时，其抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴。
其开口方向与a的符号有关，当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
当a≠0时，顶点为坐标原点，对称轴为y轴的抛物线的解析式形式为y=ax^2.3.二次函数为y=ax^2+bx+c时，其图像为对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。
4.二次函数可以通过配方法化为y=a(x-h)^2+k的形式，其中h和k可以通过公式h=-b/2a，k=-Δ/4a求得。
5.二次函数可以分为以下几种形式：y=ax，y=ax+k，y=a(x-h)，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c。
6.抛物线的三要素包括开口方向、对称轴和顶点。
a的符号决定抛物线的开口方向，平行于y轴（或重合）的直线记作x=h，顶点决定抛物线的位置。
7.当二次函数的二次项系数a相同时，不同的二次函数的抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。
8.求抛物线的顶点和对称轴的方法包括公式法、配方法和对称性法。
其中，配方法可以得到顶点为(h,k)，对称轴为直线x=h；公式法可以验证配方法得到的顶点是否正确；对称性法可以通过抛物线的对称性求得顶点和对称轴的位置。
9.在二次函数y=ax^2+bx+c中，a决定开口方向及开口大小，b和a共同决定抛物线对称轴的位置。
当b=0时，对称轴为y轴；当a和b同号时，对称轴在y轴左侧。
当方程组有一组解时，l与G有一个交点；③当方程组无解时，l与G无交点。
对于第一种情况，交点的横纵坐标分别是解出的两个实数；对于第二种情况，交点的横坐标是解出的实数，纵坐标可以通过代入二次函数的解析式得到；对于第三种情况，无交点。
特别地，当k=0时，直线与x轴平行，此时直线与抛物线的交点可以通过解一元二次方程得到。
讲义二次函数的解析式求法及a,b,c符号判断方法
例3已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.
典型例题二：如果a>0，那么当x= - 时，y有最小值且y最小= ；如果a<0，那么，当x=- 时，y有最大值，且y最大= ．告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式.
典型例题：已知二次函数的图像过点（0,2）（1，1）（3，5)，求此二次函数解析式。
二.交点式
知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x- )(x- )（a≠0）， ， 分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标．已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便．
典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式．
利用翻折型（对称性）来求函数解析式
已知一个二次函数 ，要求其图象关于 轴对称（也可以说沿 轴翻折）； 轴对称及经过其顶点且平行于 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y=a(x–h)2+k的形式．
（1）关于 轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称，两个图象的开口方向相反，即 互为相反数．
二次函数y=a +bx+c中a,b,c的符号判断方法
例1已知抛物线 的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
Ａ. B.
C. D.
例2抛物线 中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：① ；② ③ ④ ⑤ ；⑥ ；其中正确的为（）
A．①②B．①④C．①②⑥D．①③⑤
例3下列图象中，当 时，函数 与 的图象是（）
例3.（江西省）一条抛物线 经过点 与 。求这条抛物线的解析式。
7.9.1二次函数有关符号的判断
b 2a
4ac b 2 4a
⑷a,b,c决定顶点坐标: (5)a决定最值:
4ac b 2 b 当x 时, y最值 4a 2a
3
例1.已知： y x 2 3x 2 .
(1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴,最值;
o x
8
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 B、3个 y
C、2个
D、1个
o x=1
x
9
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） A、2个 B、3个
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交 点，则a可取的值为 a>-1/4且a≠2 ； 3.(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0）， 且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①abc＞0；②b2-4ac＞0； √ × ③2a＋b＞0；④4a-2b+c<0．其中正确的个数有（ B ） √ × （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
y 3x 2 4 x 1
b 4 2 2a 6 3
y 2 x 2 x 3
九年级数学二次函数a,b,c系数判断(一)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：a，b，c符号与图象的关系：a的符号决定了抛物线的________，当_______时，开口________；当________时，开口________；c是抛物线与________交点的________；b的符号与a________，根据________可推导．问题2：a，b，c组合的符号判断的解题思路：①确定________符号及________的信息；②找特殊点的___________，获取等式或不等式；③________代入不等式，组合判断残缺式符号．（残缺型式子是指不同时含有a，b，c三个系数的式子，例如有时式子中只含有a，b时，我们就称之为残缺式或残缺型）二次函数a，b，c系数判断（一）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为(4，0)；④；⑤．其中正确的结论有( )A.5个B.4个C.3个D.2个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与系数的关系2.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(-1，0)．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是( )A.1个B.4个C.3个D.2个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的图象3.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：abc组合的符号判断4.从如图所示的二次函数的图象中，得到下列几个结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．则正确的结论有( )个．A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：abc符号判断5.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（）．其中正确的结论有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与系数的关系。
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有关二次函数的符号判断前面，我们已经学过二次函数c bx ax y ++=2的一些基本性质，现在我们简单地回顾一下这些性质： 二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ,应用配方法可将其化为=y ．其中=h ，=k ．其图象与函数2ax y =的图象的 相同，开口方向相同， 那么，我们今天一起来学习抛物线的位置与∆,,,c b a 之间的关系．上面讲过，对于抛物线来说：（1）a 决定抛物线的开口方向：⇔>0a ；⇔<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置：0>c ⇔抛物线交y 轴于 ；0<c ⇔抛物线交y 轴于 ；0=c ⇔ ．（3）直线abx 2-=是抛物线的对称轴，当b a ,同号时⇔对称轴在y 轴 ；0=b ⇔对称轴为 ；b a ,异号⇔对称轴在y 轴 ，简称为 ．（4） 当042>-ac b 时，抛物线与x 轴 交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴 交点； 当042<-ac b 时，抛物线与x 轴 交点．【经典例题】一．通过抛物线的位置判断∆,,,c b a 的符号． 例1. 二次函数c bx ax y ++=2的图象，如图所示， 则a 0，b 0，c 0．（填“>”或“<”） 例2． 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是 （1）a 0，b 0，c 0（填“>”或“<”） （2）点（bc ac ,）在直角坐标系中的第 象限． （3）二次函数，满足ac b 42- 0．（4）一次函数c ax y +=的图象不经过第 象限． 例3．二次函数c bx ax y ++=2的图象如右上图所示，则点⎪⎭⎫⎝⎛c b c a ,在直角坐 标系中的（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限例4．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则ac 0．A 、>B 、<C 、=D 、无法确定例5.二次函数c bx ax y ++=2的图象,如图（1）所示，则系数b ax y +=的图象只可能是图（ ）x【课堂练习】1．二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示,则下列条件不正确的是()A、0,0,0<><cbaB、042<-acbC、<++cba D、0>+-cba2．如图，为二次函数cbxaxy++=2的图象，则一次函数bcaxy+=A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3．二次函数cbxaxy++=2的图象如图，则点⎪⎭⎫⎝⎛-+bacacbba,42在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限4．下列图象中，当0>ab时，函数2axy=与baxy+=的图象是（）5．二次函数cbxaxy++=2与一次函数caxy+=在同一坐标系中的图象大致是( ) 二．通过∆,,,cba的符号判断抛物线的位置：x xC例1．若0,0,0<><c b a ，则抛物线c bx ax y ++=2的大致图象为（ ）例2．若0,0,0,0>∆>>>c b a ，那么抛物线c bx ax y ++=2经过 象限 例3.已知二次函数c bx ax y ++=2且0,0>+-<c b a a ；则一定有ac b 42- 0 (填“>”“<”“=”“≥”或“≤”)例4．如图，为二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一次函数bc ax y +=的图象不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限例5．已知抛物线c bx ax y ++=2的系数有0=+-c b a ，则这条抛物线经过点 ．例6．如果函数b kx y +=的图象在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的大致图象是（ ）【课堂练习】1．若抛物线c bx ax y ++=2开口向上，则直线3+=ax y 经过 象限．2．函数c bx ax y ++=2和)0(≠+=a b ax y 在同一从标系中，如图所示，正确的是（ ）3．二次函数c bx ax y ++=2()0≠a 的图象，如图，下列结论①0<c ②0>b③024>++c b a ④()22b c a <+其中正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4．若一抛物线2ax y =与四条直线,1,2,1===y x x 2=y 围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 ． 5．已知二次函数bx ax y +=2（0≠a ），当x 取()2121,x x x x ≠时，函数值相等那么当x 取21x x +时，函数值为 ．【中考真题】O y xAOy xBO y x COyxDO x yA O x yB O x yC D xy 1=xxy Oxy1 0xy-1xy 10 xy-1 0 xy1、（2007天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下5个 结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、（2007南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ） （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的 图象可能为（ ）4、（2007四川资阳）已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大5、（2007山东日照）已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ）(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题1、（2007湖北孝感）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图8所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |， Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，则P 、Q 的大小关系为 .2、（2007四川成都）如图9所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．3、（2007江西省）已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．4、（2007广西南宁）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()P a bc ，在第 象限．【作业】日期 姓名 完成时间 成绩1．若二次函数y=2x -2x-m 与x 轴无交点,则一次函数y=(m+1)x+m-1的图像不经过( )O xy O x y O x y O x y AB C D 图8xyO第4题OyxyO 1 3（第3题）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．如图,抛物线y=2x +bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， ∠OBC=45°，下列各式成立的是（ ）A.b-c-1=0B.b+c-1=0C.b-c+1=0D.b+c+1=03．二次函数y=2x -2(x+1)x+4的图象和与x 轴的关系是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.只有两个交点 D.至少有一个交点4．已知二次函数y=k 2x -7x-7的图像和x 轴的有交点,则k 的取值范围是( ) A.k>-47 B.k ≥-47且k ≠0 C.k ≥-47 D.k>-47且k ≠0 5．已知直线)0(≠+=a b ax y 不经过第一象限，则抛物线)0(2≠+=a bx ax y 一定经过（ ） A ．第一、二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限6．已知二次函数2y x bx c =++的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B 、C ，若1ABCS =，则,b c 的关系是（ ）A ．2410b c -+=B ．2410b c --= C ．2440b c -+= D ．2440b c --=7．二次函数2y ax bx c =++的图象如又图所示，下列结论：（1）0c <，（2）0b >，（3）420a b c ++>，（4）22()a c b +<，其中正确的有（ ）个。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4x。