例谈初中数学中蕴涵的数学思想

例谈初中数学中蕴涵的数学思想
【摘要】通过举例阐明分类讨论、数形结合、转化、方程、统计、逆变换等数学思想是数学的灵魂，是数学知识的精髓，也是分析问题、解决数学问题的基础和导向，是知识转化为能力的桥梁。

【关键词】数学思想；灵魂；精髓；基础；桥梁
数学知识是数学思想的载体，数学思想是数学的灵魂，是数学知识的精髓，也是分析问题、解决数学问题的基础和导向，是知识转化为能力的桥梁。

在初中数学中蕴含丰富的数学思想方法。

数学思想一直是中考的重要内容之一。

中考对数学思想方法的考查有明有暗，有些题目要求考生必须用某种数学思想方法，有些则要求考生根据问题选择恰当的思想方法予以解决。

因此，在数学教学中需要教师把握好教材，从中挖掘其隐含的数学思想，依据大纲、课本内容和学生的认知水平，将数学思想的渗透至始至终作为教学的核心，使学生逐渐领会数学知识的精髓，掌握解决数学问题的“金钥匙”，是学生终生受益。

现将初中阶段解决数学问题常用的数学思想总结如下，以抛砖引玉，共同提高。

1分类讨论思想
所谓分类讨论的思想就是当被解决的问题包含两种或两种以上的情况时，则需要按不同情况分类讨论来解决问题的一种思想方法。

初中数学无论是数与式、方程与不等式、函数还是空间与图形，实践
与综合应用的内容，学习过程中都蕴含着分类讨论的思想。

如有理数的分类
在以后学习过程中，一提到有理数就应考虑它可能是整数也可能是分数。

又如在有理数的运算中
欲求（-1）n的值就须对指数n进行分类讨论。

又如绝对值的概念
本身就是以分类讨论的思想出现的。

欲解决有关绝对值的问题，就须先去掉绝对值符号，就应对绝对值内部代数式的符号进行分类讨论。

二次根式化简时的分类、方程的分类、函数的分类、空间与图形中两直线位置关系的分类、三角形的分类、四边形的分类、直线与与圆的位置关系的分类、圆与圆的位置关系的分类等等都体现了分类讨论的思想。

在运用分类讨论思想解决问题时，首先确定分类讨论对象，分类时要合理、标准统一，不重不漏，然后在逐类进行讨论，分级进行，最后再归纳总结。

例如：已知在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.
求△ABC的内接正方形的边长。

分析：本题中直角三角形的内接正方形应有两种不同的位置，因此应根据不同的位置分类讨论求出各自的边长。

可见分类讨论的思想是一种重要的解题策略。

2 数形结合思想
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙地、和谐地结合起来：通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化;初中数学教材从引进数轴开始，就为数形结合的思想奠定了基础，在此后的内容中，这种思想被不断地加强与应用。

如有理数大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义、列方程解应用题的画图分析以及函数图象、性质及应用等都充分显示出数与形结合起来后产生的威力；充分发挥图形的优势，及时地从图形中捕捉有用信息，找到解决问题的方法，将抽象的数学语言与直观的图象结合起来使学生的思维得以锻炼。

数形结合思想的应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用图形来直观地说明性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如在进行有关图形的计算时，需要画出图形。

例：已知函数y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）和（0，-1）两点，试确定a的取值范围。

分析：由图象可知二次函数的图象开口向上，即a＞0，对称轴在y轴右边。

即-b/2a＞0，又过（-1，0）和（0，-1），即可a的取值范围。

解：由图象知a＞0
∵图象过（-1，0）和（0，-1）
∴a-b+c=0 c=-1
∴b=a-1
又∵x=-b/2a＞0即-(a-1)/2a＞0
∴a＜1
故0＜a＜1
3转化思想
转化思想就是将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决的一种思想方法。

初中数学知识的探究过程都体现了转化思想，均是将未知的问题转化为已知，把抽象的转化为具体的，把特殊转化为
一般的问题来解决的。

如教材中学习二元一次方程组，三元一次方程组以及一元二次方程、分式方程的解法时，正是利用转化的思想，采用多种多样的手段将其转化为解已经学过的一元一次方程。

又如在研究有关梯形的问题时，常常需要添加适当的辅助线将已知梯形转化为三角形，平行四边形以及其他特殊的四边形进行求解等。

因此，教师在教学过程中，要善于引导学生分析数学问题的结构特征，通过“拼”、“折”、“合”、“分”等手段，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决。

分析：这个代数式求值问题，它的基本方法①直接代如求值②整体代如求解。

显然这个问题无法直接代如求解，联想完全平方公式，运用转化思想将x2+转化到有已知形式的式子，则原式=32+2=11，问题得到解决。

只要教师善于分析、钻研，逐步有计划有意识的渗透，一定能大大提高学生的解决问题的能力。

4方程思想
方程思想是一种重要的解题思想方法，其实质就是数学建模。

列方程解应用题就是方程思想的体现。

一般要经历设未知数、找等量关系式、列方程（组）、解方程、检验、作答等过程来解决问题。

又如在解决与直角三角形和相似三角形有关的计算问题时，往往利用方程的思想来解决。

例：某中学九年级数学活动小组利用周日开展课外时间活动，他们要测量底部不能直接到达的地面上的塔AB的高度，如图（4），在地面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60°，请你帮他们计算出塔AB 的高度（结果保留根号）。

分析：这是一道与直角三角形有关的实际问题，根据题意画出几何图形，设塔AB高为x米，利用直角三角形边角关系列出方程解决问题。

5统计思想
统计思想就是利用统计对有限个对象（样本）的研究，去对大量对象（总体）的特征进行估计的一种思想方法，它主要是解决生活中较大数据群的评估问题。

随着信息技术的发展，数字化时代的到来，统计知识的应用越来越广泛，越来越重要。

统计的特点就是与数据打交道。

运用数学知识解决实际问题。

其过程是：从实际问题中获取必要的信息→分析处理有关信息→建立数学模型→解决这个数学问题；或者是通过图表获取数据信息，收集整理、分析数据，再运用统计量的意义去分析。

上述这些都是用统计的思想方法解决问题的基本方式。

例：（2008年陕西中考题）下图①图②是某校条查部分学生是否知道母亲生日情况的扇形和条形统计图。

根据上图信息，解答下列问题：
⑴求本次被调查学生的认输，并补全条形统计图。

⑵若前校工有2700名学生，你估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日？
⑶通过对以上数据的分析，你有何感想（用一句话回答）？
∴估计这所学校有1500名学生知道母亲的生日。

③略
6逆变换思想
逆变换思想就是善于运用正反、互逆方式思考问题的思想方法，但学生在学习过程中有常常忽略从反、逆方面考虑问题。

因此，教师在教学中加强逆变换思想的培养尤为重要。

教材中处处都蕴涵着逆变换思想，如整式乘法与因式分解本身是互逆的整式变形。

在引导学生学习因式分解定义时，就应有意突出将这两个变形写在一起以开拓思维，加强逆变换思想
这样的例子不胜枚举，教师在教学中要善于引导学生和教会学生逆用定义，加强对公式、定理、法则运用的训练，重视解题思路的逆向分析，就一定能提高学生的学习效率和数学能力。

总之，数学思想与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。

数学知识是数学内容，可以用文字、符号和图形来记录和描述。

随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能遗忘，而数学思想则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。

掌握数学思想，不是受用一时，而是受用一生。

因此，在数学教学中，只要切切实实地把握好上述几个典型的数学思想，从初一开始，有计划、有目的的渗透和培养，就一定能使学生抓住数学的灵魂，掌握解决问题的金钥匙。

参考文献
［1］蔡上鹤.数学思想和数学方法.【M】.北京.中学教育.2008.5 ［2］沈文选《中学数学思想方法》《湖南师范大学?出版社》1999.4。