2020-2021学年河南省豫南九校高二上学期第二次联考数学(理)试题 PDF版
河南省豫南九校2020-2021学年上学期高二期末联考理数试卷答案
在△ 中， ，∴ ， AMC
MC sin∠MAC
=
AC sin∠AMC
MC
=
200 2sin60° sin45°
=
200
3m
∴ 故选 ． MN = MCsin∠MCN = 200 3sin60° = 300 m. C 7．D
【解析】因为 g′(x) =
f ′(x)−
ex
f
(x) ，由图象知：当 x∈(0，1) 和 x∈(4，+ ∞) 时，
2
4
4
所以 ， (a + b)2 ≤12 a + b ≤ 2 3 ，当且仅当 a = b 时取等号，
所以 19．【解析】
a
+
b
+
c
≤
3
3 ，即△ABC 周长的最大值为3
3.
（1）由题意知， a1 = 2 .
高二数学（理）参考答案 第 7 页（共 12 页）
= VP−ABC
=
1 3
×
S△
ABC
× PA
=
1× 3
1 × 3× 4× PA = 2
4
PA = 2 .
点C 为坐标原点，CB ，CA，CC1 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系C − xyz ，
则 、 、 、 ， C (0,0,0) P (0, 4, 2) B (3,0,0) C1 (0,0,3)
则由向量加法的平行四边形法则有：OG = 1 (OM + ON ) = 1 × 2 OA + 1 × 1 (OB + OC)
2
23 22
故选 = 1 OA + 1 OB + 1 OC . A.
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考(9月)数学(理)试题(wd无答案)
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（理）试题一、单选题(★★) 1. 已知数列为等差数列，，，则（）A．39B．38C．35D．33(★★★) 2. 在中，，，，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 在数列中，，（，），则（）A．B．1C．D．2(★★) 4. 已知中，，其中 A， B， C为的内角， a， b， c分别为 A， B， C的对边，则（）A．B．C．D．(★) 5. 等差数列中，其前项和为，满足，，则的值为（）A．B．21C．D．28(★★★) 6. 在锐角中，已知，则的范围是（）A．B．C．D．(★★)7. 已知数列为等比数列，，且，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若数列满足，则（）A．136B．120C．68D．40(★★★) 9. 若的面积为，且为钝角，的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，则的周长取最大值时面积为（）A．B．C．D．4(★★★) 11. 著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（）频率半音C D E F G A B C（八度）A．B．G C．D．A(★★★) 12. 设数列满足，，，数列前 n项和为，且（且）.若表示不超过 x的最大整数，，数列的前 n项和为，则（）A．2019B．2020C．2021D．2022二、填空题(★★★) 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则取得最大值时_______.(★★) 14. 海伦（ Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a， b， c计算其面积的公式 S △ABC＝，其中，若 a＝5， b＝6， c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ ABC的内切圆的半径 r的值是_______．(★★) 15. 已知中，内角 A、 B、 C的对边分别是 a、 b、 c，且，，，则____________.(★★★★) 16. 已知数列的前 n项和为，数列的前 n项和为，满足，，且．若对，恒成立，则实数的最小值为____________．三、解答题(★★★) 17. 已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.(★★★) 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，依次成等比数列，求的值．(★★★) 19. 在中，三个内角，，所对的边分别是，，，且.（1）求的大小；（2）若，且的面积为，求的值.(★★★) 20. 设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.(★★★) 21. 设的内角、、的对边分别是，且三个内角、、依次成等差数列.（1）若，求角；（2）若为钝角三角形，且，求的取值范围.(★★★) 22. 已知数列中，，且当，时满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围.。
河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期期末联考理科数学试题Word版含答案
河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期期末联考理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若060sin 2018=y ，则='y （ ）A ． 1009B ．31009C ．0D ．20182.在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若4115=a a ，8126=a a ，则=98a a （ ） A ．12 B ．24 C ． 26 D ．323.在空间直角坐标系中，已知)3,2,1(A ，)6,1,2(--B ，)1,2,3(C ，)0,3,4(D ，则直线AB 与CD 的位置关系是（ ）A ． 垂直B ．平行C ． 异面D ． 相交但不垂直 4.若0,0>>y x ，则“xy y x 222=+”的一个充分不必要条件是（ ） A ．y x = B ．y x 2= C. 2=x 且1=y D ．y x =或1=y5.抛物线241y x =的焦点到双曲线1322=-y x 的渐近线距离是（ ） A ．3 B ．22 C. 23 D ．216.下列说法正确的是（ ）A ．“函数)(x f 为奇函数”是“0)0(=f ”的充分不必要条件B ．在ABC ∆中，“B A <”是“B A sin sin <”的既不充分也不必要条件 C.若命题q p ∧为假命题，则q p ,都是假命题D ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”7.已知数列{}n a 的前n 项和3231+=n n a S ，则 {}n a 的通项公式=n a （ ） A ．n n a )21(-= B ．1)21(--=n n a C. 1)21(-=n n a D ．1)21(+-=n n a8.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥042010y x y x y ，则函数3++=y x z 的最大值为（ ）A ．2B ． 4 C. 5 D ．69.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆为锐角三角形，且满足C A C A C B sin cos cos sin 2)cos 21(sin +=+，则下列等式成立的是（ ）A ． b a 2=B ．a b 2= C. B A 2= D ．A B 2=10.函数)()(x g x x f -=的图像在点2=x 处的切线方程是1--=x y ，则=+)2(')2(g g （ ） A ． 7 B ．4 C. 0 D ．-411.已知直三棱柱111C B A ABC -中，0120=∠ABC ，2=AB ，11==CC BC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的正弦值为（ ） A ．23 B ．515 C. 510 D ．3312.已知直线01:=-+y x l 截圆)0(:222>=+Ωr r y x 所得的弦长为14，点N M ,在圆Ω上，且直线03)1()21(:'=--++m y m x m l 过定点P ，若PN PM ⊥，则||MN 的取值范围为（ ）A ． ]32,22[+-B ．]22,22[+- C. ]36,26[+- D ．]26,26[+-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a ．14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ，且满足022<+-ac b c ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ．15.已知ABC ∆，4==AC AB ，2=BC ，点D 为AB 延长线上一点，2=BD ，连结CD ，则=∠BDC cos ．16.已知直线)0,0(22>>=-b a by ax 过圆012422=++-+y x y x 的圆心，则1124+++b a 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集非空，求实数a 的取值范围； （2）已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值. 18. 等差数列}{n a 中，113221=+a a ，42623-+=a a a ，其前n 项和为n S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列}{n b 满足111-=+n n S b ，其前n 项和为为n T ，求证：)(43*N n T n ∈<. 19. 四棱锥ABCD S -中，BC AD //，CD BC ⊥，060=∠=∠SDC SDA ，DC AD =SD BC 2121==，E 为SD 的中点.（1）求证：平面⊥AEC 平面ABCD ； （2）求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.20. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中c b ≠，且C c B b cos cos =，延长线段BC 到点D ，使得44==CD BC ，030=∠CAD .（1）求证：BAC ∠是直角； （2）求D ∠tan 的值.21. 椭圆E 经过点)3,2(A ，对称轴为坐标轴，焦点21,F F 在x 轴上，离心率21=e . （1）求椭圆E 的方程；（2）求21AF F ∠的角平分线所在直线的方程.22.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F 抛物线C 上存在一点),2(t E 到焦点F 的距离等于3. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点)0,1(-K 的直线l 与抛物线C 相交于B A ,两点（B A ,两点在x 轴上方），点A 关于x 轴的对称点为D ，且FB FA ⊥，求ABD ∆的外接圆的方程.河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期期末联考理科数学试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1—5CBBCC 6—10DBDAA 11—12CD 1．C【解析】根据求导法则易知0y '=． 2．B【解析】由等比数列的性质有，．3．B【解析】由题意得,(3,3,3),(1,1,1)AB CD =--=-u u u r u u u r ,所以3AB CD =-u u u r u u u r ，所以AB CD u u u r u u u r∥．4．C【解析】，，当且仅当时取等号．故“”是“”的充分不必要条件．5．C【解析】双曲线2213y x -=的焦点(20)，到渐近线距离为2134x y ⇒=的焦点(10)，到渐近线距离为3．（可由抛物线的焦点F （1,0）直接求距离） 6．D【解析】函数()f x 的定义域为R 才成立，故选项A 错误；因为是在三角形中，所以“A B <”是“sin sin A B <”成立的充要条件，故选项B 错误；若命题p q ∧为假命题，则p ,q 至少有一个为假命题，故选项C 错误；故选D ． 7．B【解析】令1n =，得111233S a =+，11a =，当2n ≥时，111233n n S a --=+，所以111133n n n n n S S a a a ---=-=，所以112n n a a -=-，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列，所以11()2n n a -=-．8．D【解析】作出可行域如图，当直线过点C 时，z 最大，由得，所以z的最大值为6．9．A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A ． 10．A 【解析】，又由题意知，．11．C【解析】补成四棱柱1111ABCD A B C D -,则所求角为11,2,BC D BC ∠Q2021221cos603,BD =+-⨯⨯⨯=115C D AB ==,因此1210cos 55BC D ∠==，故选C ．12．D【解析】依题意，21214,2r -=解得2r =，因为直线:(12)(1)30l m x m y m '++--=，故(11)P ，;设MN 的中点为(,)Q x y ，则222OM OQ MQ =+22OQ PQ =+,即22224(1)(1)x y x y =++-+-，化简可得22113()()222x y -+-=，所以点Q 的轨迹是以11(,)22为圆心，62为半径的圆，所以 PQ 的取值范围为6262,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，所以MN 的取值范围为62,62⎡⎤-+⎣⎦．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．314．102e <<15．10416．49 13．【解析】由题意3()42(1)(3)f x x a x a '=--+-是奇函数303a a ⇒-=⇒=． 14．【解析】，，即，即，解得，又，102e ∴<<． 15．【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos 4DBC ∴∠=-，又2110cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，10cos sin 4BDC DBF ∴∠=∠=．16．【解析】圆心为(2,1)-，则代入直线得：222a b +=，即1a b +=，观察所求式子形式；不妨令2,1m a n b =+=+，则411121444m n m n n m a b m n m n +++=+=+++++592444n m m n ≥⋅+=．(当且仅当,4n m m n =即m=2n 时，亦即2a b =时，取“=”；此时2133a b ==,．) 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）解：设()2f x x ax a =--．则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得 6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0∆≥亦可得） （2）解：511,540,4254323144554x x y x x x x Q ⎛⎫<∴->∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭， 当且仅当15454x x -=-，解得x =1或32x =而35124x x =>∴= 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 18．解：（1）因为121112323()5311a a a a d a d +=++=+=，32624a a a =+-，即1112(2)54a d a d a d +=+++-，得2d =，11a =， 所以1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．（2）2111(1)1(1)222n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=，2211111111()1(1)12(2)22n n b S n n n n n n n +=====--+-+++，11111111111(...)2132435112n T n n n n =-+-+-++-+--++111113()212124n n =+--<++*()n N ∈． 19．解：（1）E Q 为SD 的中点，01,602AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=.ED EC AD DC EA ∴====设O 为AC 的中点，连接,EO DO ，则EO AC ⊥， //,AD BC BC CD ⊥Q .AD BC ∴⊥ OD OA OC ∴==，EOC EOD ∴∆≅∆从而EO OD ⊥，AD BC BC CD ⊥Q ⊂=DO AC AB AC ,,Θ面ABCD ，AC DO O =I ，EO ∴⊥面ABCD EO ⊂Q 面AEC ， ∴面AEC ⊥面ABCD（2）设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于12AD AD Q ∥BC OF ∴∥BC不难得出CD ⊥面OEF （EO CD ⊥Q FO CD ⊥） ∴面ECD ⊥面OEFOF 在面ECD 射影为EF ，EFO ∠的大小为BC 与面ECD 所成角的大小．设AD a =，则2aOF =，32EF a =,3cos 3OF EFO EF ∠== 即BC 与ECD 改成角的余弦值为33．（亦可以建系完成）20．解：（1）因为cos cos b B c C =由正弦定理，得sin cos sin cos B B C C =， 所以sin 2sin 2B C =，又b c ≠ 所以22B C π=-所以2B C π+=，所以090A ∠=，即BAC ∠为直角。
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考(9月)数学(文)试题(wd无答案)
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（文）试题一、单选题(★★) 1. 已知数列为等差数列，，，则（）A．39B．38C．35D．33(★★★) 2. 在中，，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．B．4C．D．(★★) 4. 在中，若，则是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形(★★) 5. 已知数列满足，，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★) 6. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若, ，则用“三斜求积”公式求得的面积为（）A．B．C．D．2(★★)7. 等比数列的前n项和为，若，，，则（）A．B．C．D．(★★)8. 已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．(★★★) 9. 若数列满足，则（）A．136B．120C．68D．40(★★★) 10. 若的面积为，且为钝角，的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，则的周长取最大值时面积为（）A．B．C．D．4(★★★) 12. 在，角，，的边分别为，，，且，，，则的内切圆的半径为（）A．B．1C．3D．二、填空题(★★★) 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则取得最大值时_______.(★★★) 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，如果，，面积为，那么_________.(★★) 15. 已知中，内角 A、 B、 C的对边分别是 a、 b、 c，且，，，则____________.(★★★★) 16. 已知数列满足，为的前项和，记，数列的前项和为，则______．三、解答题(★★★) 17. 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.(★★★) 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，依次成等比数列，求的值．(★★) 19. 在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求的值；（2）若，的面积为，求，的值．(★★★) 20. 在中，角，，的对边分别为，，，.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．(★★★) 21. 设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.(★★★) 22. 已知数列为公比不为1的等比数列，且，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式和前项和；（2）设数列满足，对任意的，.（i）求数列的最大项；（ii）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.。
(完整word)2019-2020学年河南省豫南九校高二(上)第二次联考数学试卷(理科)
2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x2﹣4x﹣3≤0的解集是（）A．（∞，−12]∪[32，+∞）B．[−12，32]C．（∞，−32]∪[12，+∞）D．[−32，12]2．命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是（）A．∃x0∉（0，1），x02−x0≥0B．∃x0∈（0，1），x02−x0≥0C．∀x0∉（0，1），x02−x0＜0D．∀x0∈（0，1），x02−x0≥03．在△ABC中，已知a＝5√2，c＝10，A＝30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，2S3＝2a4+S2，则a8＝（）A．8B．9C．16D．155．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若sinCsinB＜cosA，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．81927．设m＝log0.30.6，n=12log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n8．不等式组{x+y≥1，x−2y≤4表示的平面区域为D，则（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥2B．∀（x，y）∈D，x+2y≤2C．∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣29．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．√32C ．12D ．110．“对任意正整数n ，不等式nlga ＜（n +l ）lga a （a ＞l ）都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞311．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n （n ∈N *），数列{1log 2a n log 2a n+1}的前n 项和为S n ，则S 1•S 2•S 3•…•S 10＝（ ） A ．110B ．111C ．211D ．1512．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，sin B +2sin C cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝2，cosA =13，则a ＝ ． 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且cos C =2√23，b cos A +a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为 ．15．已知变量x ，y 满足条件{x ≥1x −y ≤0x +2y −9≤0，若目标函数z ＝ax +y 仅在点（3，3）处取得最小值，则a 的取值范围是 ．16．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝S 3+2S 6，则S 6+1S 3取得最小值时，S 9的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝b −√32c ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若B =π6，AC ＝4，求BC 边上的中线AM 的长．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式log2(x+1)−2≥m2−3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤(12)x−1成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=1a n+1+1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知向量m→=（√3sinx，sinx），n→=（cos x，sin x），函数f（x）=m→⋅n→−12（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为满足b2＝ac，且f(B)=12，求1tanA+1tanC的值．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，asinA+bsinB−csinCsinBsinC=2√33a．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．22．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n，满足S n=32(b n−1)且a2＝b1，a5＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n为数列{nS n}的前n项和，求T n．2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x 2﹣4x ﹣3≤0的解集是（ ） A ．（∞，−12]∪[32，+∞）B ．[−12，32]C ．（∞，−32]∪[12，+∞）D ．[−32，12]【解答】解：解4x 2﹣4x ﹣3≤0得，−12≤x ≤32； ∴原不等式的解集是[−12，32]． 故选：B ．2．命题“∀x ∈（0，1），x 2﹣x ＜0”的否定是（ ） A ．∃x 0∉（0，1），x 02−x 0≥0 B ．∃x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0 C ．∀x 0∉（0，1），x 02−x 0＜0D ．∀x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“∀x ∈（0，1），x 2﹣x ＜0”的否定是∃x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0， 故选：B ．3．在△ABC 中，已知a ＝5√2，c ＝10，A ＝30°，则B 等于（ ） A ．105°B ．60°C ．15°D ．105°或15°【解答】解：∵知a ＝5√2，c ＝10，A ＝30° 根据正弦定理可知a sinA=c sinC∴sin C ═sinA⋅c a=√22 ∴C ＝45°或135° B ＝105° 或15° 故选：D ．4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，2S 3＝2a 4+S 2，则a 8＝（ ） A ．8B ．9C ．16D ．15【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1＝1，2S 3＝2a 4+S 2，得6+6d ＝4+7d ， 解得d ＝2，所以a 8＝a 1+7d ＝1+2×3＝15． 故选：D ．5．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sinC sinB＜cosA ，则△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：∵由已知可得：sin C ＜sin B cos A ，∴可得：sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ＜sin B cos A ， 整理得：sin A cos B ＜0， ∵sin A ≠0， ∴cos B ＜0． ∵B ∈（0，π），∴B 为钝角，三角形ABC 为钝角三角形． 故选：A ．6．已知等比数列{a n }的前n 项的乘积记为T n ，若T 2＝T 9＝512，则T 8＝（ ） A ．1024B ．2048C ．4096D ．8192【解答】解：依题意，等比数列{a n }的前n 项的乘积记为T n ，T 2＝T 9＝512， 所以T 9T 2=1，即a 3•a 4•……•a 9＝1，所以a 67=1，即a 6=a 1q 5=1，又因为a 1a 2=a 12q =512，所以q 9=1512，即q =12， 所以a 1＝32，∴a 9=a 1⋅q 8=32×128=18． 所以T 8=T 9a 9=51218=4096．故选：C ．7．设m ＝log 0.30.6，n =12log 20.6，则（ ）A ．m ﹣n ＞m +n ＞mnB ．m ﹣n ＞mn ＞m +nC ．m +n ＞m ﹣n ＞mnD ．mn ＞m ﹣n ＞m +n【解答】解：m ＝log 0.30.6＞log 0.31＝0，n =12log 20.6＜12log 21＝0，则mn ＜0．1m+1n=log 0.60.3+log 0.64＝log 0.61.2＜log 0.60.6＝1，∴m +n ＞mn ． ∴m ﹣n ＞m +n ＞mn ． 故选：A ． 8．不等式组{x +y ≥1，x −2y ≤4表示的平面区域为D ，则（ ） A ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≥2 B ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≤2 C ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≥﹣2D ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≤﹣2【解答】解：根据题意，不等式组{x +y ≥1x −2y ≤4其表示的平面区域如图所示，其中A （2，﹣1）设Z ＝x +2y ，则y =−12x +Z 2，Z 的几何意义为直线Z ＝x +2y 在y 轴上的截距， 分析可得：当{x =2y =−1时，直线Z ＝x +2y 在y 轴上的截距最小，截距最小值为0，即Z ＝x +2y 取得最小值0，无最大值，即x +2y ≥0， 据此分析选项：ABD 错误；C 正确； 故选：C ．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ）A ．√3B ．√32C ．12D ．1【解答】解：因为：a 2sin C ＝2sin A ， 由正弦定理可得：a 2c ＝2a ，得ac ＝2， 则由（a +c ）2＝6+b 2，得a 2+c 2﹣b 2＝6﹣2ac ＝6﹣2×2＝2， 则S △ABC =√14[4−(22)2]=√32． 故选：B ．10．“对任意正整数n ，不等式nlga ＜（n +l ）lga a （a ＞l ）都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞3【解答】解：对任意正整数n ，若不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立， 则nlga ＜a （n +1）lga （a ＞1）；lga ＞0；成立． 即：n ＜a （n +1）；a ＞nn+1=1−1n+1，对任意正整数n ，有a 要大于（1−1n+1）的最大值成立． （1−1n+1）的最大值设为x ，则n 趋近于无穷大正整数时，x 趋近于1， ∴a 大于趋近于1的数x ，即：a ＞x ＞0，x 趋近于1∴不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立能推出a ＞0，故a ＞0是不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立的必要条件．若a ＞0时，不能推出a ＞x ＞0，x 趋近于1，故不能推出不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）成立能；根据充分条件和必要条件的定义可选A 成立． 故选：A ． 11．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n （n ∈N *），数列{1log 2a n log 2a n+1}的前n 项和为S n ，则S 1•S 2•S 3•…•S 10＝（ ） A ．110B ．111C ．211D ．15【解答】解：由2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n ， 得2a 1＝1，即a 1=12；当n ≥2时，2a 1+22a 2+…+2n ﹣1a n ﹣1＝n ﹣1， ∴2n a n ＝1，即a n =12n （n ≥2）， 当n ＝1时，上式成立， ∴a n =12n ， 则1log 2a n log 2a n+1=1log 22⋅log 22=1n(n+1)=1n −1n+1．则S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=n n+1． ∴S 1•S 2•S 3•…•S 10=12⋅23⋅34⋯1011=111． 故选：B ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，sin B +2sin C cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．4【解答】解：∵sin B +2sin C cos A ＝0， ∴sin （A +C ）+2sin C cos A ＝0， 即sin A cos C +cos A sin C +2sin C cos A ＝0， 即sin A cos C +3cos A sin C ＝0， 得a •b 2+a 2−c 22ab+3×b 2+c 2−a 22bc×c ＝0， 整理得2b 2＝a 2﹣c 2， ∵ac ＝4，∴a =4c， ∴b 2=16c 2−c 22=82−c 22， ∴cos B =a 2+c 2−b22ac=16c 2+c 2−(8c 2−c 22)8=8c 2+3c 228≥2√8c2×3c228=√32，当且仅当c 28=3c 22，即c 2=4√33，b 2=4√33，a 2＝4√3时取等号， ∴B ∈（0，π6]， ∴sin B ≤12，则△ABC面积的最大值为S=12ac sin B≤12×4×12=1，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，cosA=13，则a＝3．【解答】解：∵b＝3，c＝2，cosA=1 3，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝9+4﹣2×3×2×13=9，解得a＝3．故答案为：3．14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos C=2√23，b cos A+a cos B＝2，则△ABC的外接圆面积为9π．【解答】解：∵b cos A+a cos B＝2，∴由余弦定理可得：b×b2+c2−a22bc+a×a2+c2−b22ac=2，整理解得：c＝2，又∵cos C=2√23，可得：sin C=13，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R=csinC=213=6，可得：R＝3，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π．故答案为：9π．15．已知变量x，y满足条件{x≥1x−y≤0x+2y−9≤0，若目标函数z＝ax+y仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是a＜﹣1．【解答】解：条件{x≥1x−y≤0x+2y−9≤0对应的平面区域如图：因为目标函数z＝ax+y，仅在（3，3）处取得最小值所以目标函数z＝ax+y的位置应如图所示，故其斜率需满足k＝﹣a＞1⇒a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．16．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝S 3+2S 6，则S 6+1S 3取得最小值时，S 9的值为7√33． 【解答】解：依题意，因为S 9＝S 3+2S 6，所以q ≠1，所以a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+2a 1(1−q 6)1−q，即（q 3﹣2）（q 3﹣1）（q 3+1）＝0，因为数列{a n }为正项数列，所以q 3＝2．当S 6+1S 3取得最小值时，S 6•S 3＝1，即(a11−q )2⋅(1−q 6)(1−q 3)=1，所以a 11−q=−√33， 所以S 9=a 11−q (1−q 9)=−√33×(1−23)=7√33．故填：7√33． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝b −√32c ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若B =π6，AC ＝4，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（Ⅰ）∵a cos C ＝b −√32c ，由正弦定理可得sin A cos C ＝sin B −√32sin C ， ∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ， ∴cos A sin C =√32sin C ， ∵sin C ≠0， ∴cos A =√32，∴A =π6，（Ⅱ）由A ＝B =π6，则C =2π3， ∴BC ＝AC ＝4，AB ＝4√3， ∴AM ＝2，由余弦定理可得AM 2＝BM 2+AB 2﹣2BM •AB cos B ＝4+48﹣16√3•√32=28， ∴AM ＝2√7．18．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式log 2(x +1)−2≥m 2−3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤(12)x −1成立． （1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．【解答】解：（1）对任意x ∈[0，1]，不等式log 2(x +1)−2≥m 2−3m 恒成立， 当x ∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x ＝0时，y ＝log 2（x +1）﹣2的最小值为﹣2， ∴﹣2≥m 2﹣3m ，解得1≤m ≤2．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．（2）存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤(12)x −1成立，∴m ≤[(12)x −1]max =1． 命题q 为真时，m ≤1．∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，则{1≤m ≤2m ＞1解得1＜m ≤2；当p 假q 真时，{m ＜1或m ＞2m ≤1，即m ＜1．综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]． 19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ﹣n ．（Ⅰ）证明数列{a n +1}是等比数列，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记b n =1an+1+1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）证明：令n ＝1，得a 1＝2a 1﹣1，由此得a 1＝1． 由于S n ＝2a n ﹣n ，则S n +1＝2a n +1﹣（n +1）， 两式相减得S n +1﹣S n ＝2a n +1﹣（n +1）﹣2a n +n ， 即a n +1＝2a n +1．∴a n +1+1＝2a n +1+1＝2（a n +1），即a n+1+1a n+1=2，故数列{a n +1}是等比数列，其首项为a 1+1＝2， 故数列{a n +1}的通项公式是a n +1＝2•2n ﹣1＝2n ， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n =1a n+1+1a n a n+1=a n +1a n a n+1=2n(2n −1)(2n+1−1)， =(2n+1−1)−(2n−1)(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1， 所以T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝（121−1−122−1）+（122−1−123−1）+…+（12n −1−12n+1−1，），=121−1−122−1+122−1−123−1+⋯+1n −12n+1−1， ＝1−12n+1−1，数列{b n }的前n 项和T n ＝1−12n+1−1．20．已知向量m →=（√3sinx ，sinx ），n →=（cos x ，sin x ），函数f （x ）=m →⋅n →−12（x ∈R ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为满足b 2＝ac ，且f(B)=12，求1tanA+1tanC的值．【解答】解：（I ）f （x ）=√3sin x cos x +sin 2x −12=√32sin2x −12cos2x ＝sin （2x −π6），∴f （x ）的最大值为1，最小正周期为T =2π2=π． （II ）∵f （B ）＝sin （2B −π6）=12，∴2B −π6=π6+2k π或2B −π6=5π6+2k π，k ∈Z ， 又B ∈（0，π）， ∴B =π6或B =π2．若B =π2，则b 2＝a 2+c 2＝ac ，与a 2+c 2≥2ac 矛盾． ∴B =π6，∵b 2＝ac ，∴sin A sin C ＝sin 2B =14，∴1tanA+1tanC=cosA sinA+cosC sinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin(A+C)sinAsinC=sinB sin B=1sinB=2．21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，asinA+bsinB−csinC sinBsinC=2√33a ． （1）求角C ；（2）若△ABC 的中线CD 的长为1，求△ABC 的面积的最大值． 【解答】解：（1）∵asinA+bsinB−csinCsinBsinC=2√33a ，由正弦定理化简：a 2+b 2−c 2bsinC=2√33a由余弦定理得：cosC =a 2+b 2−c 22ab=√33sinC ， 即tanC =√3， ∵0＜C ＜π． ∴C =π3．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝22+c 2＝4+c 2， 由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2得：4−ab =a 2+b 2≥2ab ，ab ≤43（当且仅当a ＝b 时，等号成立）， 即S △ABC =12absinC ≤12×43×√32=√33．22．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n ，满足S n =32(b n −1)且a 2＝b 1，a 5＝b 2． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设T n 为数列{nS n }的前n 项和，求T n ．【解答】解：（1）数列{b n }的前n 项和S n ，满足S n =32(b n −1)，① 当n ＝1时，解得b 1＝3，当n ≥2时，S n−1=32(b n−1−1)，② ①﹣②得b n ＝3b n ﹣1， 整理得b n b n−1=3（常数），所以数列{b n }是以3为首项3为公比的等比数列， 所以b n =3⋅3n−1=3n ．由于数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，且a 2＝b 1，a 5＝b 2． 则{a 1+d =3a 1+4d =9，解得{a 1=1d =2，所以a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1．（2）由于列{b n }的前n 项和S n ，所以S n =3(3n−1)3−1=32(3n −1)．则nS n =32⋅n ⋅3n −32⋅n ． 设c n =n ⋅3n ，所以K n =1⋅31+2⋅32+⋯+n ⋅3n ①， 3K n =1⋅32+2⋅32+⋯+n ⋅3n+1②， ①﹣②整理得K n =(3n 2−34)⋅3n +32． 所以T n =32(3n 2−34)⋅3n +94−32⋅n(n+1)2， =n 4⋅3n+2−3n+28+94−3n 2+3n4．。
2019-2020学年河南省豫南九校高二(上)第二次联考数学试卷(理科)
2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x2﹣4x﹣3≤0的解集是（）A．（∞，]∪[，+∞）B．[，]C．（∞，]∪[，+∞）D．[，]2．命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是（）A．∃x0∉（0，1），B．∃x0∈（0，1），C．∀x0∉（0，1），＜D．∀x0∈（0，1），3．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，2S3＝2a4+S2，则a8＝（）A．8B．9C．16D．155．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若＜，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．81927．设m＝log0.30.6，n log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n8．不等式组，表示的平面区域为D，则（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥2B．∀（x，y）∈D，x+2y≤2C．∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣29．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若a2sin C＝2sin A，（a+c）2＝6+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．110．“对任意正整数n，不等式nlga＜（n+l）lga a（a＞l）都成立”的一个必要不充分条件是（）A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞311．已知数列{a n}满足2a1+22a2+…+2n a n＝n（n∈N*），数列{}的前n项和为S n，则S1•S2•S3•…•S10＝（）A．B．C．D．12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，sin B+2sin C cos A＝0，则△ABC面积的最大值为（）A．1B．C．2D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，，则a＝．14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos C，b cos A+a cos B ＝2，则△ABC的外接圆面积为．15．已知变量x，y满足条件，若目标函数z＝ax+y仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是．16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S9＝S3+2S6，则S6取得最小值时，S9的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a cos C＝b c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若B，AC＝4，求BC边上的中线AM的长．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知向量（，），（cos x，sin x），函数f（x）（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为满足b2＝ac，且，求的值．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，，，．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．22．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n，满足且a2＝b1，a5＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n为数列{nS n}的前n项和，求T n．2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x2﹣4x﹣3≤0的解集是（）A．（∞，]∪[，+∞）B．[，]C．（∞，]∪[，+∞）D．[，]【解答】解：解4x2﹣4x﹣3≤0得，；∴原不等式的解集是，．故选：B．2．命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是（）A．∃x0∉（0，1），B．∃x0∈（0，1），C．∀x0∉（0，1），＜D．∀x0∈（0，1），【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是∃x0∈（0，1），，故选：B．3．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°【解答】解：∵知a＝5，c＝10，A＝30°根据正弦定理可知∴sin C═∴C＝45°或135°B＝105°或15°故选：D．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，2S3＝2a4+S2，则a8＝（）A．8B．9C．16D．15【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a1＝1，2S3＝2a4+S2，得6+6d＝4+7d，解得d＝2，所以a8＝a1+7d＝1+2×3＝15．故选：D．5．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若＜，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：∵由已知可得：sin C＜sin B cos A，∴可得：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＜sin B cos A，整理得：sin A cos B＜0，∵sin A≠0，∴cos B＜0．∵B∈（0，π），∴B为钝角，三角形ABC为钝角三角形．故选：A．6．已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．8192【解答】解：依题意，等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，T2＝T9＝512，所以1，即a3•a4•……•a9＝1，所以1，即a61，又因为a1a2512，所以q9，即q，所以a1＝32，∴a932．所以T84096．故选：C．7．设m＝log0.30.6，n log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n【解答】解：m＝log0.30.6＞log0.31＝0，n log20.6＜log21＝0，则mn＜0．log0.60.3+log0.64＝log0.61.2＜log0.60.6＝1，∴m+n＞mn．∴m﹣n＞m+n＞mn．故选：A．8．不等式组，表示的平面区域为D，则（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥2B．∀（x，y）∈D，x+2y≤2C．∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣2【解答】解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，其中A（2，﹣1）设Z＝x+2y，则y x，Z的几何意义为直线Z＝x+2y在y轴上的截距，分析可得：当时，直线Z＝x+2y在y轴上的截距最小，截距最小值为0，即Z＝x+2y取得最小值0，无最大值，即x+2y≥0，据此分析选项：ABD错误；C正确；故选：C．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若a2sin C＝2sin A，（a+c）2＝6+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．1【解答】解：因为：a2sin C＝2sin A，由正弦定理可得：a2c＝2a，得ac＝2，则由（a+c）2＝6+b2，得a2+c2﹣b2＝6﹣2ac＝6﹣2×2＝2，则S△ABC．故选：B．10．“对任意正整数n，不等式nlga＜（n+l）lga a（a＞l）都成立”的一个必要不充分条件是（）A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞3【解答】解：对任意正整数n，若不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）都成立，则nlga＜a（n+1）lga（a＞1）；lga＞0；成立．即：n＜a（n+1）；a＞1，对任意正整数n，有a要大于（1）的最大值成立．（1）的最大值设为x，则n趋近于无穷大正整数时，x趋近于1，∴a大于趋近于1的数x，即：a＞x＞0，x趋近于1∴不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）都成立能推出a＞0，故a＞0是不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）都成立的必要条件．若a＞0时，不能推出a＞x＞0，x趋近于1，故不能推出不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）成立能；根据充分条件和必要条件的定义可选A成立．故选：A．11．已知数列{a n}满足2a1+22a2+…+2n a n＝n（n∈N*），数列{}的前n项和为S n，则S1•S2•S3•…•S10＝（）A．B．C．D．【解答】解：由2a1+22a2+…+2n a n＝n，得2a1＝1，即；当n≥2时，2a1+22a2+…+2n﹣1a n﹣1＝n﹣1，∴2n a n＝1，即（n≥2），当n＝1时，上式成立，∴，则．则．∴S1•S2•S3•…•S10．故选：B．12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，sin B+2sin C cos A＝0，则△ABC面积的最大值为（）A．1B．C．2D．4【解答】解：∵sin B+2sin C cos A＝0，∴sin（A+C）+2sin C cos A＝0，即sin A cos C+cos A sin C+2sin C cos A＝0，即sin A cos C+3cos A sin C＝0，得a•3c＝0，整理得2b2＝a2﹣c2，∵ac＝4，∴a，∴b2，∴cos B，当且仅当，即c2，b2，a2＝4时取等号，∴B∈（0，]，∴sin B，则△ABC面积的最大值为S ac sin B41，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，，则a＝3．【解答】解：∵b＝3，c＝2，，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝9+4﹣29，解得a＝3．故答案为：3．14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos C，b cos A+a cos B ＝2，则△ABC的外接圆面积为9π．【解答】解：∵b cos A+a cos B＝2，∴由余弦定理可得：b a2，整理解得：c＝2，又∵cos C，可得：sin C，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R6，可得：R＝3，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π．故答案为：9π．15．已知变量x，y满足条件，若目标函数z＝ax+y仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是a＜﹣1．【解答】解：条件对应的平面区域如图：因为目标函数z＝ax+y，仅在（3，3）处取得最小值所以目标函数z＝ax+y的位置应如图所示，故其斜率需满足k＝﹣a＞1⇒a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S9＝S3+2S6，则S6取得最小值时，S9的值为．【解答】解：依题意，因为S9＝S3+2S6，所以q≠1，所以2，即（q3﹣2）（q3﹣1）（q3+1）＝0，因为数列{a n}为正项数列，所以q3＝2．当取得最小值时，S6•S3＝1，即1，所以，所以S9．故填：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a cos C＝b c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若B，AC＝4，求BC边上的中线AM的长．【解答】解：（Ⅰ）∵a cos C＝b c，由正弦定理可得sin A cos C＝sin B sin C，∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴cos A sin C sin C，∵sin C≠0，∴cos A，∴A，（Ⅱ）由A＝B，则C，∴BC＝AC＝4，AB＝4，∴AM＝2，由余弦定理可得AM2＝BM2+AB2﹣2BM•AB cos B＝4+48﹣16•28，∴AM＝2．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．【解答】解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式恒成立，当x∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x＝0时，y＝log2（x+1）﹣2的最小值为﹣2，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．（2）存在x∈[﹣1，1]，使得成立，∴．命题q为真时，m≤1．∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，则＞解得1＜m≤2；＜或＞，即m＜1．当p假q真时，综上所述，m的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）证明：令n＝1，得a1＝2a1﹣1，由此得a1＝1．由于S n＝2a n﹣n，则S n+1＝2a n+1﹣（n+1），两式相减得S n+1﹣S n＝2a n+1﹣（n+1）﹣2a n+n，即a n+1＝2a n+1．∴a n+1+1＝2a n+1+1＝2（a n+1），即2，故数列{a n+1}是等比数列，其首项为a1+1＝2，故数列{a n+1}的通项公式是a n+1＝2•2n﹣1＝2n，故数列{a n}的通项公式是a n＝2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n，，所以T n＝b1+b2+…+b n＝（）+（）+…+（，），，＝1，数列{b n}的前n项和T n＝1．20．已知向量（，），（cos x，sin x），函数f（x）（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为满足b2＝ac，且，求的值．【解答】解：（I）f（x）sin x cos x+sin2x sin2x cos2x＝sin（2x），∴f（x）的最大值为1，最小正周期为T π．（II）∵f（B）＝sin（2B），∴2B2kπ或2B2kπ，k∈Z，又B∈（0，π），∴B或B．若B，则b2＝a2+c2＝ac，与a2+c2≥2ac矛盾．∴B，∵b2＝ac，∴sin A sin C＝sin2B，∴2．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，，，．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（1）∵，由正弦定理化简：由余弦定理得：，即，∵0＜C＜π．∴．（2）由三角形中线长定理得：2（a2+b2）＝22+c2＝4+c2，由三角形余弦定理得：c2＝a2+b2﹣ab，消去c2得：，（当且仅当a＝b时，等号成立），即．22．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n，满足且a2＝b1，a5＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n为数列{nS n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）数列{b n}的前n项和S n，满足，①当n＝1时，解得b1＝3，当n≥2时，，②①﹣②得b n＝3b n﹣1，整理得（常数），所以数列{b n}是以3为首项3为公比的等比数列，所以．由于数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，且a2＝b1，a5＝b2．则，解得，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）由于列{b n}的前n项和S n，所以．则．设，所以①，3②，①﹣②整理得．所以，．。
2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】
2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】一、单选题1．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0 B ．53C ．73D ．3【答案】B【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+=故选：B2．设222,1a x x b x =-+=-，则实数a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b > B ．a b =C ．a b <D ．与x 有关【答案】A【分析】由22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭可得答案【详解】因为22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立 所以a b > 故选：A3．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A ．()3,0- B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D【分析】分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立. 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立；当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D4．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 作为空间的一组基底表示向量OG 应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111344OG OA OB OC =++ C ．111336OG OA OB OC =++D ．111443OG OA OB OC =++【答案】B【分析】连接ON ，由向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可得解. 【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 111344OA OB OC =++. 故选：B.5．已知x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．32【答案】A【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 6．如图，无人机在离地面高200m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°，已知060MCN ∠=，则山的高度MN 为（ ）A ．1503mB ．2003mC ．3003mD ．300m【答案】D【分析】根据题中条件，先得到22002AC AB m ==，45AMC ∠=︒，在AMC 中，根据正弦定理，即可得出结果.【详解】∵//AD BC ，∴45ACB DAC ∠=∠=︒，∴22002AC AB m ==， 又180604575MCA ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，∴45AMC ∠=︒， 在AMC 中，sin sin MC AC MAC AMC =∠∠，∴2002sin602003sin45MC m ︒==︒， ∴sin 2003sin60300MN MC MCN m =∠=︒=. 故选：D ．7．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞【答案】D【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e=，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.8．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<【答案】D【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D .【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.9．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．10B 6C 10D 15【答案】C【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥， 所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =， 则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则()()1122221610sin cos ,3312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+-. 故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.10．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1 B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×20182【答案】C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列， 则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.11．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ．13B ．12C ．2D ．3 【答案】C【分析】设点2(1)4m P m +，，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出45m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案； 【详解】1a =，2b=，∴5c =1(5F -，，2(5F ，，设点2(1)4m P m +，，∴222222()(15)(15)150444m m m OP OF F P m m m +⋅=+⋅+=+-+=，，，∴2165m =，45m =， 则3545(P ±，221354580504555PF ⎛⎫⎛⎫=--+±== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案. 【详解】∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B .【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e --==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211ae f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.二、填空题13．已知函数()32f x ax x =+()14f '=，则a =__________．【答案】1【分析】先求出函数()f x 的导函数()23f x ax x'=+，由()14f '=可得答案. 【详解】由题意()23f x ax x'=+，所以()1314f a '=+=解得1a = 故答案为：114．设等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则55S a =________. 【答案】3116【分析】根据等比数列的求和公式与通项公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以()5151123112a S a -==-，所以4511216a a a ==，所以515131311616S a a a ==. 故答案为：3116.15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”，“股”，“弦”，且“勾2＋股2=弦2”设直线l 交抛物线214y x =于,A B 两点，若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”"股”(O 为坐标原点)，则此直线l 恒过定点__________． 【答案】()0,4【分析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与抛物线方程联立写出韦达定理，由条件可得即OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，将韦达定理代入可得答案.【详解】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx b --= 则12124,4x x k x x b +==-若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”“股”（O 为坐标原点） 可得222OA OB AB += 所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，()2221212121114416y y x x x x =⨯=所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-= 即240b b -=，解得40b b ==或（舍） 所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4 故答案为：()0,4【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系和直线过定点问题，解答本题的关键是由条件得出OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，得到240b b -=，属于中档题.16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____. 【答案】2【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()xg e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()x e a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x xe f e e ax axf ax -+->恒成立， 即()()x x x e f e e axf ax ax ->-，即()()xg e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=，可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()xg e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.三、解答题17．已知命题：“{}|22x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设关于x 的不等式()()80x a x a ---<的解集为N ，若“x ∈N ”是“x M ∈”的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，；（2）124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【分析】（1）利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；（2）若x ∈N 是x M ∈的必要条件，则M N ⊆即可得到不等式，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1）由题意可知20x x m --=，所以221124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为{}|22x x x ∈-<<，所以21116244x ⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，，即164m -≤<，则实数m 的取值集合M=164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，； （2）由()()80x a x a ---<，可得()8N a a =+，，因为“x N ∈”是“x M ∈”的必要条件，所以M N ⊆，则1486a a ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩，解得124a -≤<-，所以a 的取值范围为124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题考查必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断计算： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()sin sin sin a A c C a b B -=-.（1）求角C 的大小；（2）若边长3c =ABC 的周长最大值. 【答案】（1）3π；（2）33【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得出222a b c ab +-=，利用余弦定理求出cos C 的值，再结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用正弦定理结合三角函数可得2336π⎛⎫++=+⎪⎝⎭a b c A ，由203A π<<可得5666A πππ<+<，结合正弦函数的基本性质可求得ABC 的周长最大值.【详解】（1）()sin sin sin a A c C a b B -=-，根据正弦定理得，()22a c ab b -=-，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又()0,C π∈，所以3C π=；（2）3C π=，3c =23A B π+=，由正弦定理得32sin sin sin 3a b cA B C ====，可得：2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭，23132sin 2sin 32sin 2sin 32a b c A A A A A π⎫⎛⎫∴++=+-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3sin 3cos 323sin 36A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由203A π<<可得5666A πππ<+<，可得1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.(23323,336a b c A π⎛⎫∴++=+ ⎪⎝⎭.因此，ABC 的周长的最大值为33【点睛】方法点睛： 1.解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”；2.求三角形周长的最值也是解三角形中一种常见类型的问题，主要方法有两类： （1）找到边与边的关系，利用余弦定理列等式，结合基本不等式求最值；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角为自变量的三角函数，利用函数思想的求最值. 19．数列{}n a 满足()()1123231221n n a a a na n n +++++=-+≥.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S . 【答案】（1）2nn a =；（2）()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+ 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）由题意，12a =.由()()1123231221n n a a a na n n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+≥，① 得()()()12312312222nn a a a n a n n -+++⋅⋅⋅+-=-⋅+≥，②①-②，得()()()112222222n n nn na n n n n +⎡⎤⎡⎤=-⋅+--⋅+=⋅≥⎣⎦⎣⎦，所以()22nn a n =≥又因为当1n =时，上式也成立，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）由题意，21212n n n n n b a ++==，所以 123123357212222n n n n S b b b b +=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅， ③ 234113572121222222n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅++， ④ ③-④，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++++⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 234131111212222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111122121212212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+⨯--()1512522n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭从而()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，设点M 在线段EF 上运动.（1）证明：BC AM ⊥；（2）设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求θ的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3π.【分析】（1）由平面几何知识，余弦定理可得BC AC ⊥.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，由二面角的向量求解方法可表示()2cos 34θλ=-+，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，所以2AB =，所以2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =， 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .所以BC ⊥AM ；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，)3,0,0A，()0,1,0B ，(),0,1M λ.∴()3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-.设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,0,x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,3n λ=，∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量，∴()()22||cos 133134n m n mθλλ⋅===++-⨯-+∵03λ≤≤∴当3λ=cos θ有最大值12，θ的最小值为3π.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。