2019-2020年高考数学一轮复习第六章平面向量与复数热点探究课3三角函数与平面向量课件
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∴a2＝1，b2＝1，a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．
又|a－b|＝2 5 5， ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝45.
即 2－2a·b＝45，∴a·b＝35.∴cos(α－β)＝35.
6分
(2)∵0<α<π2，－2π<β<0， ∴0<－β<π2，0<α－β<π. ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－295＝45. ∴cos β＝ 1－sin2β＝ 1－12659＝1123. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1123＋35×－153＝3635.
∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝2sin B，∴ab＝2.
6分
(2)由余弦定理得 cos A＝b2＋2b9·－3 a2＝b2＋69b－4b2＝9－6b3b2<0，
∴b> 3. ①
10 分
∵b＋c>a，即 b＋3>2b，∴b<3， ②
由①②得 b 的范围是( 3，3).
∴tan 2B＝－ 3，∴2B＝23π或53π，∴B＝π3或56π.
∵cos C＝130< 23，∴C>π6，
∴B＝56π(舍去)，∴B＝π3.
∴sin(B－A)＝sin[B－(π－B－C)]
＝sinC－π3＝sin Ccos
π3 23＝
即 AC·cos A＝3BC·cos B．由正弦定理知sAinCB＝sBinCA，
从而 sin Bcos A＝3sin Acos B.
又因为 0<A＋B<π，所以 cos A>0，cos B>0，
所以 tan B＝3tan A．
6分
(2)因为 cos C＝ 55，0<C<π，所以 sin C＝ 1－cos2C＝255，
π4＋A＝2. (1)求sin 2sAin＋2cAos2A的值；
(2)若 B＝π4，a＝3，求△ABC 的面积．
[解] (1)由 tan4π＋A＝2，得 tan A＝13，
所以 sin
2sAin＋2cAos2A＝2t2antanA＋A 1＝25.
6分
(2)由 tan A＝13，A∈(0，π)，得
sin
A＝
1100，cos
A＝3
10 10 .
由 a＝3，B＝π4及正弦定理sina A＝sinb B，得 b＝3 5.
由
sin
C＝sin(A＋B)＝sinA＋π4，得
sin
C＝2
5
5 .
设△ABC 的面积为 S，则 S＝12absin C＝9.
8分 10 分
14 分
热点 3 平面向量、恒等变换与解三角形的综合应用
2019/7/20
最新中小学教学课件
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2019/7/20
最新中小学教学课件
(1)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b； (2)设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求 α，β 的值．
[规范解答] (1)证明：由题意得|a－b|2＝2，
2分
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以 2－2a·b＝2，即 a·b＝0，故 a⊥b.
6分
热点 1 平面向量与恒等变换的交汇问题(答题模板)
以平面向量为载体，使平面向量与恒等变换交汇命题，是高考的一个热点， 主要考查平面向量的坐标运算、平面向量数量积及三角恒等变换的有关知识， 求解的关键是恰当运用平面向量的运算法则建立三角函数的等量关系．
(本小题满分 14 分)(2013·江苏高考)已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β， sin β)，0＜β＜α＜π.
14 分
[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关
键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．
2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，
此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公
式化简转化．
[对点训练 2] 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 tan
而 α＞β，所以 α＝56π，β＝π6.
14 分
[答题模板] 求平面向量与恒等变换交汇问题的一般步骤： 第一步：(转化)将向量间的关系式化成三角函数式； 第二步：(化简)借助三角恒等变换公式化简三角函数式； 第三步：(求值)求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质． 第四步：(结论)明确表述结论． [温馨提示] 1.在第(2)问的解法中，应用了方程的消元思想，其中诱导公式 的灵活应用，起到了解题的关键作用． 2．要关注题设条件中角的范围，其在解题中起到限定作用，即 α＝π－β.
以平面向量的运算为切入点，融恒等变换与解三角形于一体，综合考查三 者间知识的内在联系，求解的关键是借助知识间的内联，实现问题的求解．
(2017·启东中学高三第一次月考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 别为 a，b，c，cos C＝130.
(1)若C→B·C→A＝92，求 c 的最小值； (2)设向量 x＝(2sin B，－ 3)，y＝cos 2B，1－2sin2 B2，且 x∥y，求 sin(B －A)的值. 【导学号：62172177】
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
10 分 14 分
热点 2 三角恒等变换与解三角形的综合问题
以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题
的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解
的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．
在△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，已知cos
(2)因为 a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以cos sin
α＋cos β＝0， α＋sin β＝1，
8分
由此得，cos α＝cos(π－β)，由 0＜β＜π，得 0＜π－β＜π.
10 分
又 0＜α＜π，故 α＝π－β.代入 sin α＋sin β＝1，得 sin α＝sin β＝12，12 分
从而 tan C＝2，于是 tan[π－(A＋B)]＝2，即 tan(A＋B)＝－2，
亦即1t－antAan＋AttaannBB＝－2.由(1)得1－4t3atnanA2A＝－2，解得 tan A＝1 或 tan A＝－
1 3.
因为 cos A>0，所以 tan A＝1，所以 A＝π4.
14 分
编后语
B－2cos 2a－b
A
＝cocs C.
(1)求ab的值；
(2)若角 A 是钝角，且 c＝3，求 b 的取值范围．
[解] (1)由题意及正弦定理得 sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin
Bcos C，
3分
∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin Acos C)．
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
91－3 20
3 .
14 分
[规律方法] 从本题可以看出，向量在此类问题中起穿针引线的作用，目的 是建立三角恒等变换或三角形中的边与角的关系，最终的问题还是化简、求值 或证明问题．
[对点训练 3] 在△ABC 中，已知A→B·A→C＝3B→A·B→C.
(1)求证：tan B＝3tan A；
(2)若 cos C＝ 55，求 A 的值． [解] (1)证明：因为A→B·A→C＝3B→A·B→C，所以 AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，
热
热
点
点
一
第六章 平面向量与复数
三
热点探究课(三) 三角函数与平面向量
热
热 点 二
点 探 究 训
练
[命题解读] 从近五年江苏卷高考试题来看，解答题第 1 题主要考查三角函 数与平面向量的问题．其命题方式主要体现在以下三个层面：
一是平面向量与恒等变换的交汇问题；二是恒等变换与解三角形；三是平 面向量与解三角形的综合问题．中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条 件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思 想与数形结合思想的应用．
[对点训练 1]
已知向量
a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝2
5
5 .
(1)求 cos (α－β)的值；
(2)若 0<α<π2，－2π<β<0，且 sin β＝－153，求 sin α 的值. 【导学号：62172176】 [解] (1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
[解] (1)∵C→B·C→A＝92，∴abcos C＝92，∴ab＝15.
∴c2＝a2＋b2－2abcos C≥2ab－2ab·130＝21(当且仅当 a＝b 时取等号)．
∵c>0，∴c≥ 21，∴c 的最小值为 21.
6分
(2)∵x∥y，∴2sin B1－2sin2B2＋ 3cos 2B＝0， 2sin Bcos B＋ 3cos 2B＝0，即 sin 2B＋ 3cos 2B＝0，
又|a－b|＝2 5 5， ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝45.
即 2－2a·b＝45，∴a·b＝35.∴cos(α－β)＝35.
6分
(2)∵0<α<π2，－2π<β<0， ∴0<－β<π2，0<α－β<π. ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－295＝45. ∴cos β＝ 1－sin2β＝ 1－12659＝1123. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1123＋35×－153＝3635.
∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝2sin B，∴ab＝2.
6分
(2)由余弦定理得 cos A＝b2＋2b9·－3 a2＝b2＋69b－4b2＝9－6b3b2<0，
∴b> 3. ①
10 分
∵b＋c>a，即 b＋3>2b，∴b<3， ②
由①②得 b 的范围是( 3，3).
∴tan 2B＝－ 3，∴2B＝23π或53π，∴B＝π3或56π.
∵cos C＝130< 23，∴C>π6，
∴B＝56π(舍去)，∴B＝π3.
∴sin(B－A)＝sin[B－(π－B－C)]
＝sinC－π3＝sin Ccos
π3 23＝
即 AC·cos A＝3BC·cos B．由正弦定理知sAinCB＝sBinCA，
从而 sin Bcos A＝3sin Acos B.
又因为 0<A＋B<π，所以 cos A>0，cos B>0，
所以 tan B＝3tan A．
6分
(2)因为 cos C＝ 55，0<C<π，所以 sin C＝ 1－cos2C＝255，
π4＋A＝2. (1)求sin 2sAin＋2cAos2A的值；
(2)若 B＝π4，a＝3，求△ABC 的面积．
[解] (1)由 tan4π＋A＝2，得 tan A＝13，
所以 sin
2sAin＋2cAos2A＝2t2antanA＋A 1＝25.
6分
(2)由 tan A＝13，A∈(0，π)，得
sin
A＝
1100，cos
A＝3
10 10 .
由 a＝3，B＝π4及正弦定理sina A＝sinb B，得 b＝3 5.
由
sin
C＝sin(A＋B)＝sinA＋π4，得
sin
C＝2
5
5 .
设△ABC 的面积为 S，则 S＝12absin C＝9.
8分 10 分
14 分
热点 3 平面向量、恒等变换与解三角形的综合应用
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(1)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b； (2)设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求 α，β 的值．
[规范解答] (1)证明：由题意得|a－b|2＝2，
2分
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以 2－2a·b＝2，即 a·b＝0，故 a⊥b.
6分
热点 1 平面向量与恒等变换的交汇问题(答题模板)
以平面向量为载体，使平面向量与恒等变换交汇命题，是高考的一个热点， 主要考查平面向量的坐标运算、平面向量数量积及三角恒等变换的有关知识， 求解的关键是恰当运用平面向量的运算法则建立三角函数的等量关系．
(本小题满分 14 分)(2013·江苏高考)已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β， sin β)，0＜β＜α＜π.
14 分
[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关
键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．
2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，
此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公
式化简转化．
[对点训练 2] 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 tan
而 α＞β，所以 α＝56π，β＝π6.
14 分
[答题模板] 求平面向量与恒等变换交汇问题的一般步骤： 第一步：(转化)将向量间的关系式化成三角函数式； 第二步：(化简)借助三角恒等变换公式化简三角函数式； 第三步：(求值)求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质． 第四步：(结论)明确表述结论． [温馨提示] 1.在第(2)问的解法中，应用了方程的消元思想，其中诱导公式 的灵活应用，起到了解题的关键作用． 2．要关注题设条件中角的范围，其在解题中起到限定作用，即 α＝π－β.
以平面向量的运算为切入点，融恒等变换与解三角形于一体，综合考查三 者间知识的内在联系，求解的关键是借助知识间的内联，实现问题的求解．
(2017·启东中学高三第一次月考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 别为 a，b，c，cos C＝130.
(1)若C→B·C→A＝92，求 c 的最小值； (2)设向量 x＝(2sin B，－ 3)，y＝cos 2B，1－2sin2 B2，且 x∥y，求 sin(B －A)的值. 【导学号：62172177】
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
10 分 14 分
热点 2 三角恒等变换与解三角形的综合问题
以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题
的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解
的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．
在△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，已知cos
(2)因为 a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以cos sin
α＋cos β＝0， α＋sin β＝1，
8分
由此得，cos α＝cos(π－β)，由 0＜β＜π，得 0＜π－β＜π.
10 分
又 0＜α＜π，故 α＝π－β.代入 sin α＋sin β＝1，得 sin α＝sin β＝12，12 分
从而 tan C＝2，于是 tan[π－(A＋B)]＝2，即 tan(A＋B)＝－2，
亦即1t－antAan＋AttaannBB＝－2.由(1)得1－4t3atnanA2A＝－2，解得 tan A＝1 或 tan A＝－
1 3.
因为 cos A>0，所以 tan A＝1，所以 A＝π4.
14 分
编后语
B－2cos 2a－b
A
＝cocs C.
(1)求ab的值；
(2)若角 A 是钝角，且 c＝3，求 b 的取值范围．
[解] (1)由题意及正弦定理得 sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin
Bcos C，
3分
∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin Acos C)．
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
91－3 20
3 .
14 分
[规律方法] 从本题可以看出，向量在此类问题中起穿针引线的作用，目的 是建立三角恒等变换或三角形中的边与角的关系，最终的问题还是化简、求值 或证明问题．
[对点训练 3] 在△ABC 中，已知A→B·A→C＝3B→A·B→C.
(1)求证：tan B＝3tan A；
(2)若 cos C＝ 55，求 A 的值． [解] (1)证明：因为A→B·A→C＝3B→A·B→C，所以 AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，
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一
第六章 平面向量与复数
三
热点探究课(三) 三角函数与平面向量
热
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练
[命题解读] 从近五年江苏卷高考试题来看，解答题第 1 题主要考查三角函 数与平面向量的问题．其命题方式主要体现在以下三个层面：
一是平面向量与恒等变换的交汇问题；二是恒等变换与解三角形；三是平 面向量与解三角形的综合问题．中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条 件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思 想与数形结合思想的应用．
[对点训练 1]
已知向量
a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝2
5
5 .
(1)求 cos (α－β)的值；
(2)若 0<α<π2，－2π<β<0，且 sin β＝－153，求 sin α 的值. 【导学号：62172176】 [解] (1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
[解] (1)∵C→B·C→A＝92，∴abcos C＝92，∴ab＝15.
∴c2＝a2＋b2－2abcos C≥2ab－2ab·130＝21(当且仅当 a＝b 时取等号)．
∵c>0，∴c≥ 21，∴c 的最小值为 21.
6分
(2)∵x∥y，∴2sin B1－2sin2B2＋ 3cos 2B＝0， 2sin Bcos B＋ 3cos 2B＝0，即 sin 2B＋ 3cos 2B＝0，