2015年浙江省文科高考真题数学卷word版(附答案)
2015年高考真题——文科数学(浙江卷) 原卷版
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P = （ ）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3-2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A ．83cm B ．123cmC ．3233cm D ．4033cm 3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m5、函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60 ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB = ，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．双曲线的一支 8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9、计算：2log 2= ，24log 3log 32+= ． 10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．11、函数()2si n si n cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．13、已知1e ，2e是平面单位向量，且1212e e ⋅= ．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅= ，则b =．14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y+-+--的最大值是 ．15、椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.17.（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈ .（1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .18.（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，011ABC=90=AC 2,AA 4,A ?=，AB在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. (1)证明: 11D A BC A ⊥平面； (2)求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.19.（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点. (1)求点A ，B 的坐标； (2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点， 且与抛物线的对称轴不平行，则该直线 与抛物线相切，称该公共点为切点.20.（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.(1)当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； (2)已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.参考答案1、【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q = ，故选A. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算. 2、A ．83cm B ．123cm C ．3233cm D ．4033cm 【答案】C考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.3、【答案】D考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质. 4、【答案】A 【解析】试题分析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.考点：直线、平面的位置关系. 5、【答案】D 【解析】试题分析：因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A, B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 6、【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小. 7、【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C. 考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系. 8、【答案】B 【解析】试题解析：因为1sin a b t +==，所以222(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B.考点：函数概念9、【答案】12-考点：对数运算 10、【答案】2,13- 【解析】试题分析：由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.11、【答案】π 【解析】试题分析：()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.12、【答案】162-考点：1.分段函数求值；2.分段函数求最值.13、【答案】3【解析】试题分析：由题可知，不妨1(1,0)e = ，21(2e = ，设(,)b x y = ，则11b e x ⋅==，2112b e x y ⋅== ，所以b = ，所以b ==. 考点：1.平面向量数量积运算；2.向量的模. 14、【答案】15 【解析】试题分析： 22,2224631034,22x y y xz x y x y x y y x+-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故1015z d -==，所以15z =，故该目标函数的最大值为15. 考点：1.简单的线性规划；15、考点：1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.16.【答案】(1)25；(2)9考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式. 17. 【答案】(1)2;nn n a b n ==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈【解析】试题分析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.18. 【答案】(1)略；(2)作1A F DE ，垂足为F ，连结BF.因为AE ⊥平面1A BC ，所以1BC A E ⊥.因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE .所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C .所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角.由2,90AB AC CAB ==∠= ，得EA EB =.由AE ⊥平面1A BC ，得1114,A A A B A E ===.由1114,90DE BB DA EA DA E ===∠= ，得1A F =.所以1sin A BF ∠= 考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.19.【答案】(1)222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；(2)32t因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =.所以2x t =，即点2(2,)A t t .设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩， 解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t ++. (2)由(1)知，AP =直线AP 的方程为20tx y t --=，所以点B 到直线PA的距离为2d =.所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=. 考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.20. 【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,9--考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.。
2015年浙江省高考数学试卷(文科)
2015年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4） B．（2，3]C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b ＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支8．（5分）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．则（）A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2+2a唯一确定C．若t确定，则sin唯一确定D．若t确定，则a2+a唯一确定二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．（6分）计算：log2=，2=．10．（6分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=，d=．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，最小值是．12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=，f（x）的最小值是．13．（4分）已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||=．14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是．15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
浙江省高考数学试卷文科解析
2015年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015?浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4）B．（2，3]C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]2．（5分）（2015?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015?浙江）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015?浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m 5．（5分）（2015?浙江）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．6．（5分）（2015?浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y ＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．a x+by+cz B．a z+by+cx C．a y+bz+cx D．a y+bx+cz7．（5分）（2015?浙江）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支8．（5分）（2015?浙江）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．（）A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2+2a唯一确定D．若t确定，则a2+a唯一确定C．若t确定，则sin唯一确定二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．（6分）（2015?浙江）计算：log2=，2=．10．（6分）（2015?浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=，d=．11．（6分）（2015?浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，最小值是．12．（6分）（2015?浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=，f（x）的最小值是．13．（4分）（2015?浙江）已知1，2是平面向量，且1?2=，若平衡向量满足?1=?=1，则||=．14．（4分）（2015?浙江）已知实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣4|+|6﹣x ﹣3y|的最大值是 ．15．（4分）（2015?浙江）椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点F （c ，0）关于直线y=x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
浙江省高考数学试卷及答案文科
绝密★考试结束前2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共 5 页，选择题部分 1 至 3 页，非选择题部分4 至 5 页。
满分 150 分，考试时间120 分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50 分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式台体的体积公式其中 S1, S2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式 V Sh其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式V1h 表示锥体的高Sh 其中S表示锥体的底面积，3球的表面积公式球的体积公式其中 R 表示球的半径如果事件 A, B 互斥，那么一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合x x2 2x 3 ，Q x 2 x 4 ，则I Q （）A． 3,4 B．2,3 C ．1,2 D ．1,32、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ． 8 cm 3B ．12 cm 3C ．32cm 3D． 40 cm 33 33、设 a ， b 是实数，则“ a b 0 ”是“ ab 0 ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4、设 ， 是两个不同的平面， l ， m 是两条不同的直线，且 l ， m（）A ．若 l，则B ．若 ，则 l mC ．若 l // ，则 // D．若 // ，则 l //m5、函数 f xx1cos x （x 且 x0 ）的图象可能为（）x6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各 不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m 2）分别为 x ，y ， z ，且xy z ，三 种颜色涂料的粉刷费用（单位：元 / m 2）分别为a ， b ，c ，且 a b c ．在不同的方 案中，最低的总费用（单位：元）是（）A ． ax by czB ． az by cxC ． ay bz cxD ． ay bx cz 7、如图，斜线段与平面 所成的角为 60o ， 为斜足，平面上的动点满足30o ，则点 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支 、设实数 a ， b ， t 满足 a 1 sin b t （ ） 8A ．若 t 确定，则 b 2 唯一确定B ．若 t 确定，则 a 2 2a 唯一确定C ．若 t 确定，则 sin b唯一确定D．若 t 确定，则 a 2 a 唯一确定2二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．）9、计算：log 22， 2 log 2 3 log 4 3 ．210、已知 a n 是等差数列，公差 d 不为零．若 a 2 ， a 3 ， a 7 成等比数列，且 2a 1 a 2 1 ，则 a 1， d．11、函数 f x 2x sin x cosx 的最小正周期是 ，最小值是．sin 112、已知函数 f xx 2 , x 1，则 ff2， fxx 6 6, x 的最小值1x是．rrr r13、已知 r， rr r1r 1，则e 1 e 2 是平面单位向量，且 e 1 e 2．若平面向量 b 满足 b eb e21 2rb．14、已知实数 x ， y 满足 x 2 y 2 1，则 2x y 4 6 x 3y 的最大值是 ．15、椭圆x 2y21 （ a b 0 ）的右焦点 F c,0 关于直线 ybx 的对称点 Q 在椭圆a 2b 2c上，则椭圆的离心率是．三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． ）16. （本题满分 14 分）在ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 tan(A)2 .sin 2A4（ 1）求的值；sin 2 A + cos 2 A（2）若 B, a 3 ，求 ABC 的面积 .417. （本题满分 15 分）已知数列{a n }和 {b n } 满足， a 12, b 1 1,a n 1 2a n (nN *),b 1 1 b 21 b 3 L1b nbn 11(nN *) .2 3 n（ 1）求a n 与b n ;（ 2）记数列{a n b n }的前 n 项和为T n ，求T n .18. （本题满分 15 分）如图，在三棱锥ABC - A 1B 1C 1 中， ? ABC=90 0， AB=AC 2,AA 1 = 4, A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 为 B 1C 1 的中点 .(1) 证明 : A 1D平面 A 1BC ；(2) 求直线 A 1B 和平面 BB 1CC 1所成的角的正弦值.19.（本题满分 15 分）如图，已知抛物线C 1： y= 1 x 2 ，圆 C 2： x 2 + (y - 1)2 = 1 ，过点 P(t,0)(t>0) 作4不过原点 O 的直线 PA ， PB 分别与抛物线 C 1 和圆 C 2 相切， A ， B 为切点 . (1) 求点 A ， B 的坐标；(2)求 PAB 的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.20. （本题满分15 分）设函数 f ( x) x2 ax b,( a,b R) .(1) 当b = a2 +1时，求函数 f ( x) 在 [ - 1,1]上的最小值g(a) 的表达式；4(2)已知函数 f (x) 在 [ - 1,1]上存在零点，0 b 2a 1，求b的取值范围.2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）参考答案一、选择题1. A二、填空题1,3 3 2, 1 ,321;266 2 39. 2 10. 3 11. 2 12. 2 13. 3215. 2三、解答题216.【答案】(1)5 ；(2)91（ 1）利用两角和与差的正切公式，得到tan A, 利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；3（ 2）利用正弦原理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积试题解析：（1）由 tan A 2,得 tan A 1 ,4 3sin 2 A 2sin A cos A 2 tan A 2 所以sin 2 A cos2 A 2sin A cos A cos2 A 2 tan A 1 5(2) 由 tan A 1 可得， sin A 10;cos A 3 10 .3 10 10a 3,B , 由正弦定理知：b=3 54又 sin Csin A Bsin Acos B 25 ,5所以 S? ABC = 1ab sin C1 ×3×3 5 ×2 5=922517. 【答案】 (1) a n2n;b nn； (2)T n(n 1)2n 1 2(n N * )（ 1）由 a 12, a n 12a n , 得 a n 2n .当 n=1 时， b 1b 2 1,故 b 22当 n 2 时， 1b nb n 1 b n ,整理得b n 1n 1, 所以 b n nnb nn（ 2）由（ 1）知，a nb n2nng所以 T n 2 2g22 3g23 ng2n所以 T nn 1 2n 127 18. 【答案】 (1) 略； (2)8（ 1）设 E 为 BC 中点，由题意得 A 1E 平面 ABC,所以 A 1E AE .因为 ABAC,所以 AEBC所以 AE 平面A 1BC由 D,E 分别为B 1C 1.BC 的中点，得DE / / BB 1,从而DE AA 1A A 1AA 1DE A 1D / / AE AEA 1BC, A 1D A 1BC A 1F DE因为AE 平面A 1BC，所以BC A 1E.因为 BC AE ，所以 BC 平面 AA 1DE.所以BCA 1F , A 1F平面BB 1C 1C.所以 A 1BF为直线A 1B与平面BB 1C 1C所成角的平面角.由 ABAC 2, CAB90o ，得 EA EB2 . 由 AE平面A 1BC，得A 1 AA 1B 4, A 1E14 .由 DE BB1 4,DA1 EA 2, DA1 E 90o，得A1F 72 .sin A1 BF7 所以82 ), B( 2t 2t22) t319.A(2 t, tt2 ,； (2) 2【答案】 (1) 1 1 t（ 1）由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y k x t .y k x t1 x 2y消去y,整理得： x2 4kx 4kt 0所以 4因为直线 PA与抛物线相切，所以16k 2 16kt 0，解得 k t .所以 x2t，即点 A(2 t, t2 ) .设圆C2 的圆心为D (0,1)，点B的坐标为(x0 , y0 )，由题意知，点B,O 关于直线 PD对称，故有y0 x0 1 2 2tx0 t y0 0 ，解得x02t2 , y0 2t 2 2 B(2t2 ,2t22 ).1 t 1 t . 即点 1 t 1 t(2) 由 (1) 知，APt 1 t 2 ，直线 AP的方程为txy t 2 0 ，dt 21 t2所以点 B 到直线 PA的距离为.PAB的面积为S1AP d t3所以 2 2 .a2a 2, a 2,4g (a) 1, 2 a 2,a2 a 2, a 2420. 【答案】 (1) ； (2) [ 3,9 4 5]a2 a 2a（ 1）当b 1 时，f x x 故其对称轴为1, x 422当 a 2 时，g a f 1 a2a 2 4当 -2< a 2 时，g a f a1 2当 a >2时，g a f 1 a2a 2 4a2a 2, a 2,4g(a) 1, 2 a 2,a2a 2, a 2 综上所述， 4（ 2）设 s,t 为方程 f x 0 的解，且 -1 t 1，则s t a st b由于 0 b 2a 1 ，因此2t s 1 2t 1 t 1t 2 t 2当 0 t 1 时，2t 2 b t 2t2.t 2 t 22 2t 2 由于t 0 和3 2所以29 4 5b3当 -1 t 0,t2t2 bt 21 t 2t 24 5.3 t92t22t由于 2 2t2 <0和3 t t 2 <0，所以 -3 b <0.t 2 t 2综上可知， b 的取值范围是3,9 45。
(完整版)2015年浙江省文科高考真题数学卷word版(附答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =I （ ）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3-2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm 3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m5、函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60o ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =o ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b 唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9、计算：2log 2= ，24log 3log 32+= ． 10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ． 13、已知1e r ，2e r 是平面单位向量，且1212e e ⋅=r r ．若平面向量b r 满足121b e b e ⋅=⋅=r r r r ，则b =r ．14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．15、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A+的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.17.（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈L . （1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .18.（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，011ABC=90=AC 2,AA 4,A ?=，AB 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.(1)证明: 11D A BC A ⊥平面；(2)求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.19.（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点. (1)求点A ，B 的坐标；(2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.20.（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.(1)当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； (2)已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）参考答案一、 选择题1. A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.B二、 填空题9.【答案】12- 10.【答案】2,13-11.【答案】3,2π12.【答案】162-13.【答案】314.【答案】1515.【答案】2三、解答题16. 【答案】(1)25；(2)9（1）利用两角和与差的正切公式，得到tan 13A =,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论； （2）利用正弦原理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积 试题解析：（1）由tan 12,tan ,43A A π⎛⎫+== ⎪⎝⎭得 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++(2) 由tan 13A =可得，sin A A ==.3,,4a B π==由正弦定理知：b=35又()25sin sin sin cos ,5C A B A B =+==所以S ∆ABC =11sin 22ab C =×3×35×255=9 17. 【答案】(1)2;n n n a b n ==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈（1）由112,2,n n a a a +==得2.n n a =当n=1时，121,b b =-故22b =当n 2≥时，11,n n n b b b n+=-整理得11,n n b n b n ++=所以n b n = （2）由（1）知，2n n n a b n =g所以23n 222322n T n =+++⋅⋅⋅+g gg ()4231n 222222122n n T n n +=+++⋅⋅⋅+-+g g g g所以()1n 122n T n +=-+18. 【答案】(1)略；(2)7（1）设E 为BC 中点，由题意得1A E ⊥平面ABC,所以1.A E AE ⊥ 因为,AB AC =所以AE BC ⊥所以AE ⊥平面1A BC由D,E 分别为11.B C BC 的中点，得1//,DE BB 从而DE//1AA 且DE=A 1A 所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE因为AE ⊥平面1,A BC 所以1A D ⊥平面1A BC (2)作1A F DE ⊥，垂足为F ，连结BF.因为AE ⊥平面1A BC ，所以1BC A E ⊥.因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE . 所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C . 所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角.由2,90AB AC CAB ==∠=o，得EA EB ==.由AE ⊥平面1A BC，得1114,A A A B A E ===由1114,90DE BB DA EA DA E ====∠=o，得1A F =.所以1sin A BF ∠=19. 【答案】(1)222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；(2)32t （1）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为().y k x t =-所以()214y k x t y x =-=⎧⎨⎩消去y,整理得：2440x kx kt -+=因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =.所以2x t =，即点2(2,)A t t . 设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩， 解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t ++. (2)由(1)知，AP =，直线AP 的方程为20tx y t --=， 所以点B 到直线PA的距离为2d =.所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=.20. 【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,9--（1） 当214a b =+时，()21,2a f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故其对称轴为2a x =- 当2a ≤-时，()()2124a g a f a ==++当-2<a 2≤时，g ()12a a f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当a >2时，g ()()2124a a f a =-=-+ 综上所述，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（2）设s,t 为方程()0f x =的解，且-11t ≤≤，则{s t ast b +=-=由于021b a ≤-≤，因此()2121122t ts t t t --≤≤-≤≤++当01t ≤≤时，2222.22t t t b t t --≤≤++ 由于222032t t --≤≤+和212932t t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当-122220,22t t t t b t t --≤≤≤≤++ 由于2222t t --≤+<0和232t t t --≤+<0，所以-3b ≤<0.综上可知，b 的取值范围是3,9⎡--⎣。
2015年浙江高考数学参考卷(文科)(含答案)
2015年浙江省高考样卷数学(文科) 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
考试时间120分钟。
参考公式：球的表面积公式S=4πR2球的体积公式V=43πR3其中R表示球的半径锥体的体积公式V=13Sh其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高台体的体积公式()1213V h S S=其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, h表示台体的高选择题部分一、选择题1．已知a∈R，则“a＞0”是“a＋1a≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知直线l，m和平面α，（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m3．若函数f(x) (x∈R)是奇函数，则（）A．函数f(x2)是奇函数B．函数[f(x)]2是奇函数C．函数f(x)⋅x2是奇函数D．函数f(x)＋x2是奇函数4．函数y＝sin (2x＋π4)的图象可由函数y＝cos 2x的图象（）A．向左平移π8个单位长度而得到B．向右平移π8个单位长度而得到C．向左平移π4个单位长度而得到D．向右平移π4个单位长度而得到5．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则AC BD⋅＝（）A．a2－b2B．b2－a2C．a2＋b2D．ab6．已知双曲线x2－22y＝1，点A(－1，0)，在双曲线上任取两点P，Q满足AP⊥AQ，则直线PQ恒过点（）A．(3，0) B．(1，0) C．(－3，0) D．(4，0)数学（文科）试题第1页 (共7页)7．现有90 kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物重量的2倍．若某箱所装货物的重量为x kg，则x的取值范围是（）A．10≤x≤18 B．10≤x≤30 C．18≤x≤30 D．15≤x≤308．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设g (x)＝f [f(x)]，则函数y＝g(x)的图象为（）A. B. C. D.非选择题部分二、填空题9．设全集U＝R，集合A＝}01|{>-xx，B＝{x | x2－x－2≤0 }，则A∩B＝，BA ＝， U B＝.10．设函数)3π2sin(21)(-=xxf，则该函数的最小正周期为，振幅为，单调递增区间为.11．某四棱柱的三视图(单位：cm)如图所示，则该四棱柱的体积为cm3，表面积为cm2．12．已知过点(1，1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y＋2＝0相切，则圆C的半径为，直线l的方程为．13．当实数x，y满足不等式组0,0,x yxx y m-≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩(m为常数)时，2x＋y的最大值为4，则m＝．14．若对于任意的n∈N*，03)4(2≥++-+anan恒成立，则实数a的取值范围是．15．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为6π，则xb的最大值等于．数学（文科）试题第2页 (共7页)三、解答题16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a cos A＝b cos C＋c cos B．(Ⅰ) 求A的大小；(Ⅱ) 求cos BC的取值范围．17．已知等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1＝a1＋2，(b4＋5)2＝(b2＋5)(b8＋5)．(Ⅰ) 求a及b n；(Ⅱ) 设数列{n}的前n项和为T n．求使T n＞b n的最小正整数n的值.18．如图，四棱锥P－ABCD，P A⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝P A＝2, CD＝4，E，F分别是PC，PD的中点．(Ⅰ) 证明：EF∥平面P AB；(Ⅱ) 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．数学（文科）试题第3页 (共7页)数学（文科）试题第 4 页 (共 7 页)19．如图，A ，B 是焦点为F 的抛物线y 2＝4x 上的两动点，线段AB 的中点M 在直线x ＝t (t ＞0)上． (Ⅰ)当t ＝1时，求|F A |＋|FB |的值； (Ⅱ)记| AB |的最大值为g (t )，求g (t ).20．已知二次函数f (x )= x 2+bx +c ，方程f (x )－x =0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<1．（I ）当x (0, x 1)时，证明x <f (x )<x 1；（II ）设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，证明x 0<21x ．数学（文科）试题第 5 页 (共 7 页)数学参考试卷(文科)答案一、选择题1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．A 7．B 8．A 二、填空题9．]2,1(，),1[+∞-，}21|{>-<x x x 或 10．π，21，]12π5π,12ππ[+-k k )(Z k ∈11．12，2428+12．2，0=-y x 13．8314．[13，＋∞) 15. 2 三、解答题16．(Ⅰ) 由余弦定理得2a cos A ＝b 2222a b c ab +-⋅＋c 2222a c b ac+-⋅＝a ，所以cos A ＝12．又A ∈(0，π)，故A ＝π3．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知C ＝2π3－B ，故cos BC ＝cos B2π3－B )sin B －12cos B＝－sin (B ＋π6)．因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，所以－1≤－sin(B ＋π6)＜－12．所以cos BC 的取值范围是[－1，－12)．17．(Ⅰ) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a ．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1． 所以1＝2－a ，得a ＝1， 所以a n ＝2n －1．设数列{b n }的公差为d ，由b 1＝3，(b 4＋5)2＝(b 2＋5)(b 8＋5)，得(8＋3d )2＝(8＋d )(8＋7d )，故d ＝0 (舍去) 或 d ＝8．所以a ＝1，b n ＝8n －5，n ∈N *． (Ⅱ) 由a n ＝2n －1，知n ＝2(n －1)．所以T n ＝n (n －1)．数学（文科）试题第 6 页 (共 7 页)由b n ＝8n －5，T n ＞b n ，得n 2－9n ＋5＞0， 因为n ∈N *，所以n ≥9．所以，所求的n 的最小值为9．18．(Ⅰ) 因为E ，F 分别是PC ，PD 的中点，所以EF ∥CD ， 又因为CD ∥AB ， 所以EF ∥AB ，又因为EF ⊄平面P AB 所以EF ∥平面P AB ．(Ⅱ) 取线段P A 中点M ，连结EM ，则EM ∥AC ，故AC 与面ABEF 所成角的大小等于ME 与面ABEF 所成角的大小．作MH ⊥AF ，垂足为H ，连结EH ． 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ， 又因为AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面P AD ，又因为EF ∥AB ， 所以EF ⊥平面P AD ．因为MH ⊂平面P AD ，所以EF ⊥MH ， 所以MH ⊥平面ABEF ， 所以∠MEH 是ME 与面ABEF 所成的角．在直角△EHM 中，EM ＝12ACMHsin ∠MEH．所以AC 与平面ABEF．19．(Ⅰ) 设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2)，M (t ，m )，则x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝2m ．由抛物线定义知| F A |＝x 1＋1，| FB |＝x 2＋1． 所以| F A |＋| FB |＝x 1＋x 2＋2＝2t ＋2． 因为t ＝1，所以| F A |＋| FB |＝4.(Ⅱ) 由 2112224,4,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得(y 1＋y 2) (y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以1212x x y y --＝2m．故可设直线AB 方程为2m (y －m )＝x －t ，即x ＝2m y －22m ＋t ．联立22,224,m m x y t y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩消去x ，得y 2－2my ＋2m 2－4t ＝0． 则Δ＝16t －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ， y 1y 2＝2m 2－4t ．(第19题图)A B CDP EF(第18题图)M H数学（文科）试题第 7 页 (共 7 页)所以| AB |y 1－y 2|＝0≤m 2＜4t ． 当t ≥1时，因为0≤2t －2＜4t ，所以，当m 2＝2t －2时，| AB | 取最大值| AB | max ＝2t ＋2．当0＜t ＜1时，因为2t －2＜0，所以，当m 2＝0时，| AB | 取最大值| AB | max ＝．综上，g (t )＝⎪⎩⎪⎨⎧<<≥+.10.4,1,22t t t t20．(Ⅰ)因为x 1，x 2是方程f (x ) -x =0的根，所以f (x ) -x =(x -x 1)(x -x 2) ．当x ∈(0，x 1)时，由于x 1< x 2，所以 (x -x 1)(x -x 2)>0，故x < f (x ) ． 因为x 1- f (x )= x 1- (x -x 1)(x -x 2) -x =(x 1-x )[ 1+(x - x 2)]，又 x 1-x > 0，1+(x - x 2) > 1- x 2> 0．于是x 1- f (x ) > 0．从而f (x )< x 1． 综上，x <f (x )< x 1．(Ⅱ)由题意知02b x =-．因为x 1, x 2是方程f (x ) -x = 0的根，即x 1, x 2是方程x 2+(b -1)x +c = 0的根，所以121x x b +=-，120()122x x b x +-=-=．因为x 2<1，所以102x x <．。
2015年浙江省高考数学试卷文科【精】
2015年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4） B．（2，3]C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b ＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支8．（5分）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．则（）A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2+2a唯一确定C．若t确定，则sin唯一确定D．若t确定，则a2+a唯一确定二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．（6分）计算：log2=，2=．10．（6分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=，d=．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，最小值是．12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=，f（x）的最小值是．13．（4分）已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||=．14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是．15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2015年高考文科数学浙江卷-答案
所以
即
设平面 的法向量为 ，
即得出
得出
所以 ，
可得出直线 和平面 所成的角的正弦值为
【提示】（Ⅰ）连接 ，根据几何体的性质得出 ，利用直线平面的垂直定理判断.
（Ⅱ）利用空间向量的垂直得出平面 的法向量 ，|根据与 数量积求解余弦值，即可得出直线 和平面 所成的角的正弦值.
【考点】空间直线、平面垂直关系的证明，直线与平面所成的角.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）答案解析
一、选择题
1.【答案】A
【解析】由题意得， 或 ，所以 ，故选A.
【提示】求出集合 ，然后求解交集即可.
【考点】一元二次不等式的解法，集合的交集运算.
2.【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为 ，故选C.
【考点】充分条件、必要条件的判定，不等式的性质.
4.【答案】A
【解析】采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当 时， 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中， 时， 可以相交；选项D中， 时， 也可以异面，故选A.
【提示】根据线面垂直的判定定理得出A正确；B根据面面垂直的性质判断B错误；根据面面平行的判断定理得出C错误；根据面面平行的性质判断D错误.
（Ⅱ）求出 ，然后利用错位相减法求数列 的前 项和为
【考点】根据数列的递推关系式求数列的通项公式，错位相减法求和.
18.【答案】（Ⅰ）设 为 的中点，由题意得 平面 ，所以
因为 ，所以 ，所以 平面 .
由 分别为 的中点，得 且 ，从而 且 ，所以 是平行四边形，所以 因为 平面 ，所以 平面 .
2015年浙江高考数学参考卷(文科)含答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = (x1)(x+2)，则f(1)的值为（）A. 1B. 0C. 1D. 22. 在等差数列{an}中，若a1=3，a3=9，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 63. 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = cos(x)4. 在三角形ABC中，若a=8, b=10, sinA=3/5，则三角形ABC的面积S为（）A. 12B. 24C. 36D. 485. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 以原点为圆心，半径为1的圆上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和都是实数。
（）2. 若a|b|=|a||b|，则a和b必须同号。
（）3. 一元二次方程的判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根。
（）4. 在等差数列中，若公差为0，则数列中的所有项相等。
（）5. 直线y=2x+1的斜率为2。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若log₂x=3，则x=____。
2. 等差数列的前n项和公式为____。
3. 若a+b=5，ab=3，则a²+b²=____。
4. 圆的标准方程为____。
5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则θ=____度。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义。
2. 请写出圆的周长和面积公式。
3. 什么是一元二次方程的判别式？4. 请解释什么是反函数。
5. 简述概率的基本性质。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 解方程：2x²5x+3=0。
2. 计算等差数列1, 4, 7, 10, 的第10项。
3. 求函数f(x) = x²4x+3的顶点坐标。
4. 在直角坐标系中，点A(2,3)和点B(4,1)，求线段AB的中点坐标。
2015年浙江省高考数学试卷(文科)
2015年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4） B．（2，3]C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b ＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax+by+cz B．az+by+cxC．ay+bz+cx D．ay+bx+cz7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支8．（5分）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．则（）A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2+2a唯一确定C．若t确定，则sin唯一确定D．若t确定，则a2+a唯一确定二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．（6分）计算：log2=，2=．10．（6分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=，d=．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，最小值是．12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=，f（x）的最小值是．13．（4分）已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||=．14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是．15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2015年浙江省高考数学试卷及答案
绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式台体的体积公式其中S,2S分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高1柱体体积公式V Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =I （ ） A ．[)3,4 B ．(]2,3 C ．()1,2- D ．(]1,3-2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A ．83cm B ．123cm C ．3233cm D ．4033cm3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m5、函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++ 7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60o ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =o ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支 8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b 唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9、计算：22log 2= ，24log 3log 32+= ． 10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．13、已知1e r ，2e r 是平面单位向量，且1212e e ⋅=r r ．若平面向量b r 满足121b e b e ⋅=⋅=r r r r ，则b =r．14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．15、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.17.（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈L .（1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .18.（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，011ABC=90=AC 2,AA 4,A ?=，AB 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. (1)证明: 11D A BC A ⊥平面； (2)求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.19.（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点. (1)求点A ，B 的坐标； (2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点， 且与抛物线的对称轴不平行，则该直线 与抛物线相切，称该公共点为切点.20.（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.(1)当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；(2)已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）参考答案一、 选择题1. A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.B二、 填空题9.1,332- 10.2,13- 11.32,2π- 12.1;2662-- 13.23314.15 15.22三、解答题16. 【答案】(1)25；(2)9（1）利用两角和与差的正切公式，得到tan 13A =,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦原理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积试题解析：（1）由tan 12,tan ,43A A π⎛⎫+== ⎪⎝⎭得 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++(2) 由tan 13A =可得，sin 10310;cos 1010A A ==. 3,,4a B π==由正弦定理知：b=35又()25sin sin sin cos ,5C A B A B =+==所以S?ABC =11sin 22ab C =×3×35×255=9 17. 【答案】(1)2;n n n a b n==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈（1）由112,2,n n a a a +==得2.n n a = 当n=1时，121,b b =-故22b = 当n 2≥时，11,n n n b b b n+=-整理得11,n n b n b n++=所以n b n = （2）由（1）知，2n n n a b n =g 所以23n 222322n T n =+++⋅⋅⋅+g g g 所以()1n 122n T n +=-+18. 【答案】(1)略；(2)78（1）设E 为BC 中点，由题意得1A E ⊥平面ABC,所以1.A E AE ⊥ 因为,AB AC =所以AE BC ⊥ 所以AE ⊥平面1A BC由D,E 分别为11.B C BC 的中点，得1//,DE BB 从而DE//1AA 且DE=A 1A 所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE因为AE ⊥平面1,A BC 所以1A D ⊥平面1A BC (2)作1A F DE ⊥，垂足为F ，连结BF. 因为AE ⊥平面1A BC ，所以1BC A E ⊥. 因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE . 所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C .所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角.由2,90AB AC CAB ==∠=o，得2EA EB ==.由AE ⊥平面1A BC ，得1114,14A A A B A E ===.由1114,2,90DE BB DA EA DA E ====∠=o，得172A F =.所以17sin 8A BF ∠=19. 【答案】(1)222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；(2)32t （1）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为().y k x t =-所以()214y k x t y x =-=⎧⎨⎩消去y,整理得：2440x kx kt -+=因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =.所以2x t =，即点2(2,)A t t .设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩，解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t ++. (2)由(1)知，21AP t t =+，直线AP 的方程为20tx y t --=， 所以点B 到直线PA 的距离为221t d t =+.所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=. 20. 【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,945]--（1） 当214a b =+时，()21,2a f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故其对称轴为2a x =- 当2a ≤-时，()()2124a g a f a ==++当-2<a 2≤时，g ()12a a f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当a >2时，g ()()2124a a f a =-=-+综上所述，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（2）设s,t 为方程()0f x =的解，且-11t ≤≤，则{s t ast b +=-=由于021b a ≤-≤，因此()2121122t ts t t t --≤≤-≤≤++ 当01t ≤≤时，2222.22t t t b t t --≤≤++ 由于222032t t --≤≤+和21294 5.32t t t t--≤≤-+ 所以29453b -≤≤-当-122220,22t t t t b t t --≤≤≤≤++ 由于2222t t --≤+<0和232t t t --≤+<0，所以-3b ≤<0.综上可知，b 的取值范围 是3,945⎡⎤--⎣⎦2020-2-8。
2015年浙江省高考数学试卷(文科)
2015年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4） B．（2，3]C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．323cm3D．403cm33．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣1x）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax+by+cz B．az+by+cxC．ay+bz+cx D．ay+bx+cz7．（5分）如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB=30°，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支8．（5分）设实数a ，b ，t 满足|a +1|=|sinb |=t ．则（ ） A ．若t 确定，则b 2唯一确定B ．若t 确定，则a 2+2a 唯一确定C ．若t 确定，则sin b2唯一确定 D ．若t 确定，则a 2+a 唯一确定二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．（6分）计算：log 2√22= ，2log 23+log 43= ．10．（6分）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1+a 2=1，则a 1= ，d= ．11．（6分）函数f （x ）=sin 2x +sinxcosx +1的最小正周期是 ，最小值是 ．12．（6分）已知函数f （x ）={x 2，x ≤1x +6x −6，x ＞1，则f （f （﹣2））= ，f （x ）的最小值是 ． 13．（4分）已知e →1，e →2是平面单位向量，且e →1•e →2=12，若平面向量b →满足b →•e →1=b →•e 2→=1，则|b →|= ．14．（4分）已知实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x +y ﹣4|+|6﹣x ﹣3y |的最大值是 ．15．（4分）椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的右焦点F （c ，0）关于直线y=b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
高考_2015浙江高考文科数学试题及答案
2015浙江高考文科数学试题及答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =（ ）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3-2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cm C ．3233cm D ．4033cm 3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m5、函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b 唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9、计算：2log = ，24log 3log 32+= ． 10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ． 12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．13、已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ． 14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．15、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.17.（本题满分15分）已知数列n a 和n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈.（1）求n a 与n b ;（2）记数列n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .18.（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABCA B C 中，011ABC=90=AC 2,AA 4,A ，AB 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.(1)证明: 11D A BC A ⊥平面；(2)求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.19.（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x ：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.(1)求点A ，B 的坐标；(2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.20.（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈. (1)当214a b 时，求函数()f x 在[1,1]上的最小值()g a 的表达式； (2)已知函数()f x 在[1,1]上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.。
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(浙江卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（浙江卷，含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P=（ ）A ．[)3,4 B ．(]2,3 C ．()1,2- D ．(]1,3- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q =，故选A.考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算. 2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm【答案】C考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 【答案】A 【解析】试题分析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.考点：直线、平面的位置关系.5、函数()1cos f x x xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A, B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++ 【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支 【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C. 考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系. 8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t+==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定【答案】B 【解析】 试题解析：因为1sin a b t+==，所以222(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B.考点：函数概念二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9、计算：2log 2=，24log 3log 32+= ．【答案】12-考点：对数运算 10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．【答案】2,13-【解析】试题分析：由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=.考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项. 11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．【答案】π【解析】试题分析：()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)242x π=-+，所以22T ππ==；min 3()22f x =-. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．【答案】162-考点：1.分段函数求值；2.分段函数求最值.13、已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b =．【答案】【解析】试题分析：由题可知，不妨1(1,0)e =，21(,22e =，设(,)b x y =，则11b e x ⋅==，2112b e x y ⋅==，所以3(1,)b =，所以11b =+=. 考点：1.平面向量数量积运算；2.向量的模.14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是． 【答案】15【解析】试题分析：22,2224631034,22x y y xz x y x y x y y x +-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故1015z d -==，所以15z =，故该目标函数的最大值为15.考点：1.简单的线性规划；15、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．【答案】2考点：1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16. （本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos AA A +的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)25；(2)9考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.17. （本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈ *12311111(n N )23n n b b b b b n +++++=-∈.（1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】(1)2;n n n a b n ==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈ 【解析】试题分析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和. 18.（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，011ABC=90=AC 2,AA 4,A ?=，AB 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.(1)证明: 11D A BC A 平面； (2)求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.【答案】(1)略；(2)(2)作1A F DE ⊥，垂足为F ，连结BF.因为AE ⊥平面1A BC ，所以1BC A E ⊥.因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE .所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C .所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角.由2,90AB AC CAB ==∠=，得EA EB =.由AE ⊥平面1A BC ，得1114,A A AB A E ===.由1114,90DE BB DA EA DA E ===∠=，得1A F =.所以1sin A BF ∠=考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.19. （本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.(1)求点A ，B 的坐标； (2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线 与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】(1)222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；(2)32t因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =.所以2x t =，即点2(2,)A t t . 设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩，解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t ++. (2)由(1)知，AP = 直线AP 的方程为20tx y t --=，所以点B 到直线PA的距离为2d =.所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=. 考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.20. （本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈. (1)当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；(2)已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,9--考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(浙江卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试浙江文科数学选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015浙江,文1)已知集合P={x|x 2-2x ≥3},Q={x|2<x<4},则P ∩Q=( ) A .[3,4) B .(2,3] C .(-1,2) D .(-1,3] 答案:A解析:因为P={x|x ≤-1或x ≥3},所以P ∩Q={x|3≤x<4},故选A .2.(2015浙江,文2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A .8 cm 3B .12 cm 3C .323 cm 3 D .403cm 3 答案:C解析:由三视图知,该几何体是由一个正四棱锥和一个正方体组成. 其中正四棱锥的底面边长为2 cm,高为2 cm,所以正四棱锥的体积V 1=13×22×2=83(cm 3);因为正方体的棱长为2 cm,所以其体积V 2=8 cm 3.故该几何体的体积为83+8=323(cm 3).3.(2015浙江,文3)设a ,b 是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 答案:D解析:当a=-2,b=3时,a+b>0,但ab<0;当a=-1,b=-2时,ab>0,但a+b<0.所以“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件. 4.(2015浙江,文4)设α,β是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线,且l ⊂α,m ⊂β.( ) A .若l ⊥β,则α⊥β B .若α⊥β,则l ⊥m C .若l ∥β,则α∥β D .若α∥β,则l ∥m 答案:A解析:若l ⊥β,又l ⊂α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β,故选项A 正确;选项B,l ⊥m 或l ∥m 或l 与m 相交或异面都有可能;选项C,α∥β或α与β相交都有可能;选项D,l ∥m 或l 与m 异面都有可能. 5.(2015浙江,文5)函数f (x )=(x −1x)cos x (-π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案:D解析:因为f (-x )=(−x +1x )cos(-x )=-(x −1x)cos x=-f (x ),所以f (x )为奇函数.排除A,B;又f (π)=(π−1π)cos π=-π+1π<0,排除C .故选D .6.(2015浙江,文6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m 2)分别为x ,y ,z ,且x<y<z ,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m 2)分别为a ,b ,c ,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( ) A .ax+by+cz B .az+by+cx C .ay+bz+cx D .ay+bx+cz 答案:B解析:不妨设x=1,y=2,z=3,a=4,b=5,c=6,选项A,ax+by+cz=4+10+18=32; 选项B,az+by+cx=12+10+6=28; 选项C,ay+bz+cx=8+15+6=29;选项D,ay+bx+cz=8+5+18=31,故选B .7.(2015浙江,文7)如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60°,B 为斜足,平面α上的动点P 满足∠PAB=30°,则点P 的轨迹是( )A .直线B .抛物线C .椭圆D .双曲线的一支 答案:C解析:因为AB 为定线段,∠PAB=30°,所以在空间中直线AP 是以AB 为轴的圆锥面的母线所在的直线,又因为点P 在平面α内,所以点P 的轨迹可以看成平面α与圆锥面的交线.因为AB 与平面α所成的角为60°,所以平面α与圆锥的轴斜交.由平面与圆锥面的截面性质,可得点P 的轨迹为椭圆. 8.(2015浙江,文8)设实数a ,b ,t 满足|a+1|=|sin b|=t. ( ) A .若t 确定,则b 2唯一确定 B .若t 确定,则a 2+2a 唯一确定 C .若t 确定,则sin b2唯一确定D .若t 确定,则a 2+a 唯一确定 答案:B解析:当t=0时,sin b=0,b=k π,k ∈Z ,所以b 2不确定,故A 错;sin b 2=sin kπ2=0或1或-1,故C 错;当t=2时,|a+1|=2,解得a=1或a=-3,所以a 2+a=2或a 2+a=6,故D 错;因为|a+1|=t ,所以a 2+2a=t 2-1;当t 确定时,t 2-1唯一确定,即a 2+2a 唯一确定,故B 正确.非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. 9.(2015浙江,文9)计算:log 2√22= ,2log 23+log 43= .答案:-123√3解析:log 2√22=log 22−12=-12;2log 23+log 43=2log 23·2log 43=3×2log 2√3=3√3.10.(2015浙江,文10)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1= ,d= .答案:23-1解析:由题意得{a 32=a 2·a 7,2a 1+a 2=1,即{(a 1+2d)2=(a 1+d)·(a 1+6d),2a 1+a 1+d =1,解得{a 1=23,d =−1.11.(2015浙江,文11)函数f (x )=sin 2x+sin x cos x+1的最小正周期是 ,最小值是 . 答案:π3−√22解析:f (x )=1−cos2x 2+12sin 2x+1=√22sin (2x−π4)+32,所以函数f (x )的最小正周期T=2π2=π,最小值为3−√22.12.(2015浙江,文12)已知函数f (x )={x 2,x ≤1,x +6x−6,x >1,则f (f (-2))= ,f (x )的最小值是 . 答案:-122√6-6解析:f (-2)=(-2)2=4,f (f (-2))=f (4)=4+64-6=-12;当x ≤1时,f (x )min =0;当x>1时,f (x )=x+6x-6≥2√6-6,当且仅当x=6x,即x=√6时,f (x )取最小值2√6-6; 因为2√6-6<0,所以f (x )的最小值为2√6-6.13.(2015浙江,文13)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则|b |= . 答案:2√33解析:因为b ·e 1=b ·e 2=1,|e 1|=|e 2|=1,由数量积的几何意义,知b 在e 1,e 2方向上的投影相等,且都为1,所以b 与e 1,e 2所成的角相等.由e 1·e 2=12知e 1与e 2的夹角为60°,所以b 与e 1,e 2所成的角均为30°,即|b |cos 30°=1,所以|b |=1cos30°=2√33. 14.(2015浙江,文14)已知实数x ,y 满足x 2+y 2≤1,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是 . 答案:15解析:画出直线2x+y-4=0和x+3y-6=0以及圆x 2+y 2=1,如图.由于整个圆在两条直线的左下方,所以当x 2+y 2≤1时,有{2x +y −4<0,x +3y −6<0,所以|2x+y-4|+|6-x-3y| =-2x-y+4+6-x-3y =-3x-4y+10.令t=-3x-4y+10,则3x+4y+t-10=0,所以x 2+y 2≤1与直线3x+4y+t-10=0有公共点,所以圆心(0,0)到直线的距离d=|t−10|5≤1,解得5≤t ≤15.所以t 的最大值为15,即|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值为15.15.(2015浙江,文15)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点F (c ,0)关于直线y=b cx 的对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是 . 答案:√22解析:设Q (x 0,y 0),则{y 0x 0−c =−cb,b c ·(x 0+c 2)=y 02,解得{x 0=c(c 2−b 2)a 2,y 0=2bc 2a2.因为点Q 在椭圆上,所以c 2(c 2−b 2)2a 4·a2+4b 2c 4a 4·b2=1,化简得a 4c 2+4c 6-a 6=0,即4e 6+e 2-1=0. 即4e 6-2e 4+2e 4+e 2-1=0, 即(2e 2-1)(2e 4+e 2+1)=0. 所以e=√22.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分14分)(2015浙江,文16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知tan (π4+A)=2.(1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC 的面积.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.满分14分. 解:(1)由tan (π4+A)=2,得tan A=13,所以sin2Asin2A+cos 2A=2tanA 2tanA+1=25.(2)由tan A=13,A ∈(0,π),得sin A=√1010,cos A=3√1010.又由a=3,B=π4及正弦定理a sinA =bsinB,得b=3√5.由sin C=sin(A+B )=sin (A +π4)得sin C=2√55.设△ABC 的面积为S ,则S=12ab sin C=9.17.(本题满分15分)(2015浙江,文17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+ (1)b n =b n+1-1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .本题主要考查数列的通项公式、等差和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本思想方法,以及推理论证能力.满分15分.解:(1)由a 1=2,a n+1=2a n ,得a n =2n (n ∈N *).由题意知:当n=1时,b 1=b 2-1,故b 2=2.当n ≥2时,1nb n =b n+1-b n ,整理得b n+1n+1=b n n, 所以b n =n (n ∈N *). (2)由(1)知a n b n =n ·2n , 因此T n =2+2·22+3·23+…+n ·2n , 2T n =22+2·23+3·24+…+n ·2n+1, 所以T n -2T n =2+22+23+…+2n -n ·2n+1. 故T n =(n-1)2n+1+2(n ∈N *).18.(本题满分15分)(2015浙江,文18)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A 1A=4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是B 1C 1的中点. (1)证明:A 1D ⊥平面A 1BC ;(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值.本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15分.解:(1)设E 为BC 的中点,由题意得A 1E ⊥平面ABC ,所以A 1E ⊥AE.因为AB=AC ,所以AE ⊥BC. 故AE ⊥平面A 1BC.由D ,E 分别为B 1C 1,BC 的中点,得DE ∥B 1B 且DE=B 1B ,从而DE ∥A 1A 且DE=A 1A , 所以AA 1DE 为平行四边形. 于是A 1D ∥AE.又因为AE ⊥平面A 1BC ,所以A 1D ⊥平面A 1BC. (2)作A 1F ⊥DE ,垂足为F ,连结BF. 因为A 1E ⊥平面ABC ,所以BC ⊥A 1E. 因为BC ⊥AE ,所以BC ⊥平面AA 1DE. 所以BC ⊥A 1F ,A 1F ⊥平面BB 1C 1C.所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角. 由AB=AC=2,∠CAB=90°,得EA=EB=√2. 由A 1E ⊥平面ABC ,得A 1A=A 1B=4,A 1E=√14. 由DE=BB 1=4,DA 1=EA=√2,∠DA 1E=90°,得A 1F=√72. 所以sin ∠A 1BF=√78.19.(本题满分15分)(2015浙江,文19)如图,已知抛物线C 1:y=14x 2,圆C 2:x 2+(y-1)2=1,过点P (t ,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ,PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切,A ,B 为切点.(1)求点A ,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分.解:(1)由题意知直线PA 的斜率存在,故可设直线PA 的方程为y=k (x-t ),由{y =k(x −t),y =14x2消去y ,整理得:x 2-4kx+4kt=0, 由于直线PA 与抛物线相切,得k=t. 因此,点A 的坐标为(2t ,t 2).设圆C 2的圆心为D (0,1),点B 的坐标为(x 0,y 0),由题意知:点B ,O 关于直线PD 对称,故{y 02=−x02t +1,x 0t −y 0=0,解得{x 0=2t 1+t 2,y 0=2t 21+t 2.因此,点B 的坐标为(2t 1+t 2,2t 21+t 2).(2)由(1)知|AP|=t ·√1+t 2和直线PA 的方程tx-y-t 2=0. 点B 到直线PA 的距离是d=t 2√1+t .设△PAB 的面积为S (t ),所以S (t )=12|AP|·d=t 32.20.(本题满分15分)(2015浙江,文20)设函数f (x )=x 2+ax+b (a ,b ∈R ). (1)当b=a 24+1时,求函数f (x )在[-1,1]上的最小值g (a )的表达式;(2)已知函数f (x )在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a ≤1.求b 的取值范围.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力.满分15分.解:(1)当b=a 24+1时,f (x )=(x +a 2)2+1,故对称轴为直线x=-a 2.当a ≤-2时,g (a )=f (1)=a 24+a+2.当-2<a ≤2时,g (a )=f (−a2)=1.当a>2时,g (a )=f (-1)=a 24-a+2.综上,g (a )={ a 24+a +2,a ≤−2,1,−2<a ≤2,a 24−a +2,a >2.(2)设s ,t 为方程f (x )=0的解,且-1≤t ≤1,则{s +t =−a,st =b.由于0≤b-2a ≤1,因此−2t t+2≤s ≤1−2tt+2(-1≤t ≤1). 当0≤t ≤1时,−2t 2t+2≤st ≤t−2t 2t+2,由于-23≤−2t 2t+2≤0和-13≤t−2t 2t+2≤9-4√5,所以-23≤b ≤9-4√5.当-1≤t<0时,t−2t 2t+2≤st ≤−2t 2t+2,由于-2≤−2t 2t+2<0和-3≤t−2t 2t+2<0,所以-3≤b<0.故b 的取值范围是[-3,9-4√5]. 附:自选模块1.“复数与导数”模块(10分)(1)已知i 是虚数单位,a ,b ∈R ,复数z=1+a i 满足z 2+z=1+b i,求a 2+b 2的值. (2)设函数f (x )=(x 2+2x-2)e x (x ∈R ),求f (x )的单调递减区间. 解:(1)由题意得(2-a 2)+3a i =1+b i,解得a 2=1,b=3a ,故a 2+b 2=10.(2)对f (x )求导,得f'(x )=(x 2+4x )e x , 由f'(x )<0,解得-4<x<0,所以f (x )的单调递减区间为(-4,0). 2.“计数原理与概率”模块(10分)(1)已知n 为正整数,在(1+x )2n 与(1+2x 3)n 展开式中x 3项的系数相同,求n 的值.(2)设袋中共有7个球,其中4个红球,3个白球.从袋中随机取出3个球,求取出的白球比红球多的概率.解:(1)(1+x )2n 中x 3项的系数为C 2n 3,(1+2x 3)n 中x 3项的系数为2n.由C 2n 3=2n 得2n(2n−1)(2n−2)3×2×1=2n ,解得n=2.(2)从袋中取出3个球,总的取法有C 73=35种;其中白球比红球多的取法有C 33+C 32·C 41=13种. 因此取出的白球比红球多的概率为1335.。
精校版浙江省高考数学文试题Word版,含答案
2015 年一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共 8 小题、每题 5 分、共 40 分．在每题给出的四个选项中、只有一项为哪一项切合题目要求的．）1.已知全集U ={1 、 2、 3、 4、 5、6} 、会集 P={1 、3、 5} 、Q={1 、 2、4} 、则（ e U P） Q =A.{1}B.{3 、 5}C.{1 、 2、4、 6}D.{1 、 2、 3、4、 5}2.已知相互垂直的平面，交于直线 l .若直线 m、 n 满足 m∥ α、 n⊥ β、则A. m∥ l∥ n⊥ l D. m⊥ n3.函数 y=sinx2的图象是x y30,4.若平面地域2x y30, 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间、则这两条平行直线间的距离的最小值是x 2 y3035B.232D. 5A. C.525.已知 a、b>0、且 a≠1、 b≠1、若 log 4 b>1 、则A. (a1)(b1) 0B. (a1)(a b)0C. (b1)(b a)0D.(b1)(b a)06.已知函数 f（ x） =x2+bx、则“b<0”是“f（ f（ x））的最小值与f（ x）的最小值相等”的A. 充分不用要条件B.必需不充分条件C.充分必需条件D. 既不充分也不用要条件7.已知函数f (x)满足： f ( x)x 且 f (x)2x , x R .A. 若f (a) b 、则a bB.若f ( a)2b、则a bC.若f (a) b 、则a bD. 若f (a)bb 2 、则a8.如图、点列A n , B n分别在某锐角的两边上、且A n A n 1A n 1 A n 2 , A n A n 2 , n N*、B n B n 1B n 1 B n 2 , B n B n 2 ,n N*.(P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合 )若 d n A n B n、 S n为△ A n B n B n 1的面积、则A. S n是等差数列B. S n2是等差数列C. d n是等差数列D. d n2是等差数列二、填空题（本大题共7 小题、多空题每题 6 分、单空题每题 4 分、共 36 分．）9.某几何体的三视图以以下列图（单位：cm）、则该几何体的表面积是______cm2,体积是 ______cm 3.10.已知a R 、方程a2x2(a 2) y 24x 8 y 5a 0 表示圆、则圆心坐标是_____、半径是 ______.11.某几何体的三视图以以下列图（单位：cm）、则该几何体的表面积是 cm2、体积是 cm3.12．设函数f(x)=x3+3 x2+1．已知 a≠ 0、且 f(x)–f(a)=( x–b)( x–a)2、 x∈R、则实数a=_____ 、 b=______．132y2．设双曲线 x –=1 的左、右焦点分别为 F1、F2．若点 P 在双曲线上、且△ F 1PF2为锐角三角形、则 |PF 1|+|PF 2| 3的取值范围是 _______．14．如图、已知平面四边形 ABCD 、AB =BC=3、 CD=1、 AD=5、∠ ADC =90°．沿直线 AC 将△ ACD 翻折成△ ACD' 、直线 AC 与 BD' 所成角的余弦的最大值是______ ．15．已知平面向量a、 b、|a|=1、|b|=2、 a· b=1．若 e 为平面单位向量、则|a·e|+|b·e|的最大值是______．三、解答题（本大题共 5 小题、共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14 分）在△ABC中、内角A、 B、 C 所对的边分别为a、b、 c．已知b+c=2acos B．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若 cosB=2、求 cosC 的值．317.（本题满分15分）设数列{ a n }的前n项和为已知S2=4、n 1=2S n+1、 n N*S n.a.（ I ）求通项公式a n；（ II ）求数列 { a n 2 }的前n 项和 .n18.（本题满分 15 分）如图、在三棱台 ABC-DEF 中、平面 BCFE ⊥平面 ABC、∠ ACB=90°、BE=EF=FC =1、 BC =2、 AC=3.（I ）求证： BF ⊥平面 ACFD ；（II ）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 .19（.本题满分15 分）如图、设抛物线y2 2 px( p0) 的焦点为 F 、抛物线上的点 A 到y 轴的距离等于|AF|-1.（ I ）求 p 的值；（ II ）若直线AF 轴交于点M .求 M 交抛物线于另一点的横坐标的取值范围B、过.B 与x 轴平行的直线和过 F 与AB 垂直的直线交于点N、 AN与x20.（本题满分15 分）设函数f ( x) = x31、 x[0,1] .证明：1x（ I ）f ( x) 1 x x2；（II）3f ( x)3. 422015 年一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题1.【答案】 C2.【答案】 C3.【答案】 D4.【答案】 B5.【答案】 D6.【答案】 A7.【答案】 B8.【答案】 A二、填空题9.【答案】 80 ；40．10.【答案】(2, 4) ；5．11.【答案】 2 ；1．12．【答案】－ 2； 1．13．【答案】(27,8) ．14．【答案】6915．【答案】7三、解答题16．【答案】（1）证明详见解析；（ 2）cosC 22. 27【解析】试题解析：本题主要观察三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识、同时观察运算求解能力．试题解析：（ 1）由正弦定理得sin B sin C 2sin A cosB 、故 2sin Acos B sin B sin( A B) sin B sin A cos B cos Asin B 、于是、 sin B sin( A B) 、又A,B (0, )、故0 A B、所以B(A B)或B A B、所以、 A（舍去）或 A 2B 、所以、 A 2B.（ 2）由cosB 252cos2B 11、得 sin B、 cos 2B、339145故 cos A、 sin A、9922 cosC cos( A B)cos A cosB sin A sin B.27考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【结束】17.n 1*2, n 1【答案】（1）a n3,n；（ 2）T n.N n23n 5n 11 , n 2, n N*2【解析】试题解析：本题主要观察等差、等比数列的基础知识、同时观察数列基本思想方法、以及推理论证能力．试题解析：（ 1）由题意得：a1a24a11、a22a1、则a231又当 n 2 时、由a a(2S1)(2 S1)2a 、n 1n n n 1n 得 a n 13a n、所以、数列 { a n } 的通项公式为a n3n 1, n N *.（ 2）设b n|3n 1n2| 、 n N *、b12,b21.当 n 3时、因为 3n1n 2 、故 b n3n 1n2, n 3 .设数列{b n} 的前 n 项和为 T n、则 T1 2,T23.当 n3时、 T n39(13n2 )(n7)( n2)3n n25n 11 、1322所以、T n2, n1. 3nn25n11, n N *2, n2考点：等差、等比数列的基础知识.【结束】18.【答案】（1）证明详见解析；（ 2）21. 7【解析】试题解析：本题主要观察空间点、线、面地点关系、线面角等基础知识、同时观察空间想象能力和运算求解能力．试题解析：（ 1）延长AD , BE ,CF订交于一点K 、以以下列图、因为平面 BCFE平面ABC 、且 AC BC 、所以AC 平面 BCK 、所以BF AC 、又因为 EF / /BC 、 BE EF FC1、 BC 2 、所以BCK 为等边三角形、且 F 为CK的中点、则BF CK 、所以 BF平面 ACFD .（ 2）因为BF平面 ACK 、所以BDF 是直线 BD 与平面ACFD所成的角、在 Rt BFD 中、 BF3, DF 3、得 cos BDF212、7所以直线 BD 与平面ACFD所成的角的余弦值为21. 7考点：空间点、线、面地点关系、线面角.【结束】19.【答案】（1） p=2；（2）,02,.【解析】试题解析：本题主要观察抛物线的几何性质、直线与抛物线的地点关系等基础知识、同时观察解析几何的基本思想方法和综合解题方法 .试题解析： (Ⅰ ) 由题意可得抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离 .由抛物线的第一得p 1、即 p=2.2( Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 得抛物线的方程为y 2 4x,F 1,0 、可设 A t 2, 2t , t 0, t1.因为 AF 不垂直于 y 轴、可设直线 AF:x=sy+1,s 0 , 由 y 24x消去 x 得x sy 1 y 24sy 4 0 、故 y 1 y 24、所以 B1 2 .t 2,t又直线 AB 的斜率为2t 、故直线 FN 的斜率为t 21212t、tt212从而的直线 FN: yx 1 、直线 BN: y 、t2t所以 N t23 , 2 、 t 2 1 t2 设 M(m,0), 由 A,M,N 三点共线得：2t 2t tt 2t 2 、mt2 3t212t 2于是 m、经检验、 m<0或 m>2满足题意 .t 2 1综上、点 M 的横坐标的取值范围是,02,.考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的地点关系.【结束】20.【答案】（Ⅰ）证明详见解析； （Ⅱ）证明详见解析 .【解析】试题解析：本题主要观察函数的单调性与最值、分段函数等基础知识、同时观察推理论证能力、解析问题和解决问题的能力. 第一问、利用放缩法、 获得1x 4 1 、从而获得结论； 第二问、由 0 x 1得 x 3 x 、1 x1 x进行放缩、获得 f x 3、再联合第一问的结论、获得 f x32、从而获得结论 .41x41x4试题解析： ( Ⅰ ) 因为1 x x2x3,1x1x0,1 、有1x41x2x31因为 x, 即 1x、1x1x1x所以 f x1x x2.( Ⅱ ) 由0 x1得 x3x 、故 f x x31x1 3 3x12x1 3 3 、2 x 11 x 1 x2 2 2 2所以 f x 3.2x123 3 、由 ( Ⅰ ) 得f x 1 x x2244又因为 f1193、所以 f x3、42244综上、3f x 3 . 42考点：函数的单调性与最值、分段函数.【结束】。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =（ ）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3-2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm 3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m5、函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b 唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9、计算：2log = ，24log 3log 32+= ． 10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．13、已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 15、椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A+的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.17.（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n +++++=-∈. （1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .18.（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，011ABC=90=AC 2,AA 4,A ?=，AB 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.(1)证明: 11D A BC A ⊥平面；(2)求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.19.（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点. (1)求点A ，B 的坐标；(2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.20.（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.(1)当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； (2)已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）参考答案一、 选择题1. A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.B二、 填空题9.【答案】12- 10.【答案】2,13-11.【答案】3,2π12.【答案】1;62-13.【答案】314.【答案】1515.【答案】2三、解答题16. 【答案】(1)25；(2)9（1）利用两角和与差的正切公式，得到tan 13A =,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论； （2）利用正弦原理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积 试题解析：（1）由tan 12,tan ,43A A π⎛⎫+== ⎪⎝⎭得 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++(2) 由tan 13A =可得，sin A A ==. 3,,4a B π==由正弦定理知：又()sin sin sin cos C A B A B =+== 所以S ∆ABC =11sin 22ab C =17. 【答案】(1)2;n n n a b n ==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈ （1）由112,2,n n a a a +==得2.n n a =当n=1时，121,b b =-故22b =当n 2≥时，11,n n n b b b n +=-整理得11,n n b n b n++=所以n b n = （2）由（1）知，2n n n a b n =所以23n 222322n T n =+++⋅⋅⋅+()4231n 222222122n n T n n +=+++⋅⋅⋅+-+ 所以()1n 122n T n +=-+18. 【答案】(1)略；(2)（1）设E 为BC 中点，由题意得1A E ⊥平面ABC,所以1.A E AE ⊥ 因为,AB AC =所以AE BC ⊥所以AE ⊥平面1A BC由D,E 分别为11.B C BC 的中点，得1//,DE BB 从而DE//1AA 且DE=A 1A 所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE因为AE ⊥平面1,A BC 所以1A D ⊥平面1A BC (2)作1A F DE ⊥，垂足为F ，连结BF.因为AE ⊥平面1A BC ，所以1BC A E ⊥.因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE . 所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C . 所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角.由2,90AB AC CAB ==∠=，得EA EB ==.由AE ⊥平面1A BC，得1114,A A A B A E ===由1114,90DE BB DA EA DA E ====∠=，得1A F =.所以1sin 8A BF ∠=19. 【答案】(1)222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；(2)32t（1）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为().y k x t =-所以()214y k x t y x =-=⎧⎨⎩消去y,整理得：2440x kx kt -+=因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =.所以2x t =，即点2(2,)A t t . 设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩， 解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t ++. (2)由(1)知，AP =直线AP 的方程为20tx y t --=， 所以点B 到直线PA的距离为2d =.所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=.20. 【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,9--（1） 当214a b =+时，()21,2a f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故其对称轴为2a x =- 当2a ≤-时，()()2124a g a f a ==++当-2<a 2≤时，g ()12a a f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当a >2时，g ()()2124a a f a =-=-+ 综上所述，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（2）设s,t 为方程()0f x =的解，且-11t ≤≤，则{s t ast b +=-=由于021b a ≤-≤，因此()2121122t ts t t t --≤≤-≤≤++当01t ≤≤时，2222.22t t t b t t --≤≤++ 由于222032t t --≤≤+和212932t t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当-122220,22t t t t b t t --≤≤≤≤++ 由于2222t t --≤+<0和232t t t --≤+<0，所以-3b ≤<0.综上可知，b 的取值范围是3,9⎡--⎣。