模态与振动理论_第一讲

第1章 绪 论
§1.2 动力学系统建模
试验建模
f(t) 系 统 x(t)
对系统内部结构及 其特性完全不了解，或 不完全了解。为了建立 系统数学模型，对系统 进行激励（输入），通 过测量输入和输出数 据，并进行数据处理与 分析，进而了解系统特 性，建立系统数学模型
(未知) 测 量 测 量
数据处理分析
➨ 参数估计(Parameter Estimation)
参数识别(Parameter Identification)
第1章 绪 论
⎧试验建模 本课程主要研究内容 ⎨ ⎩动力学第一类逆问题
⎧系统动力学（振动） ⎪ ⎪测试技术（传感器技术） ⎪ ⎨信号分析与处理 ⎪计算机技术 ⎪ ⎪ ⎩自动控制技术
⎧∞ δ(t ) = ⎨ ⎩0
t = 0 t ≠ 0
Δt
且∫
∞
－∞
δ (t)= 1
单位脉冲响应函数与频响函数之关系 对输入为单位脉冲δ(t) ，其傅氏变换
F(jω) =
∫
∞
-∞
δ(t)e -jωt dt = 1
1 x(t) = h(t) = 由（1.9）式 2π
∫
∞
-∞
H(jω )e jωt d ω
系统
质量(惯性)元件(单元)
机器系统 结构系统 零部件 弹簧元件(单元)
阻尼元件(单元)
以某种方式 联系起来
系统的振动（动力学）问题
输入 输出 f (t ) ⎯⎯⎯ → 系统 ⎯⎯⎯ → x(t ) 激励 响应
汽车激励：如路面激励、环境激励和发动机激励等 汽车响应：？？？
第1章 绪 论
§1.1 系统的振动（动力学）问题
∫∞
-
∞
X(jω )e jω t d ω =
1 2π
∫ ∞ H(jω )F(jω )e
-
∞
jω t
dω
(1.9b)
传递函数与频响函数关系
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
系统函数（非参数模型）
单位脉冲响应函数（权函数）
δ t） ⎧输入单位脉冲力（ 处于平衡状态的线性时不变系统 ⎨ ⎩输出响应h(t)
(1.3)
由系统的惯性、阻尼、弹性参数建立的运动方程——参数模型 ➨ 理论建模方法
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
系统函数（非参数模型）
若对系统的参数不知时，常用系统函数表示系统模型（非参数模型）
⎧传递函数（复数域） ⎫ ⎪ ⎪ ⎪频响函数（频域） ⎪ 常用的系统函数⎨ ⎬ 数学等价 单 位 脉冲响应 函 数 （ 时 域） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
δ (t ) → 系统 → h(t )
单位脉冲激励
单位脉冲响应
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
系统函数（非参数模型）
单位脉冲响应函数（权函数） h(t)——系统的单位脉冲响应函数（脉冲响应函数、权函数）时域函数
δ(t)——单位脉冲输入力（作用时间Δt→0,力/幅值＝ 1 → ∞ ,Δt内冲量为1
振动模态分析与试验
主要内容
机械系统振动模态分析理论基础; 振动信号的测量和处理; 振动模态参数的识别; 振动模态分析在工程中的应用。
考试方式
课堂表现 作业 综合试验及书面报告 口头报告及答辩 10% 30% 45% 15%
第1章 绪 论
§1.1 系统的振动（动力学）问题
1 X(s) = 2 F(s) ms + cs + k
(1.6)
系统参数唯一确定了传递函数
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
系统函数（非参数模型）
频响函数（频率响应函数） 对于线性时不变系统，在初始条件为零时，输出的傅氏变换（F ）与输入 的傅氏变换（F ）之比。F 变换是L 变换的特殊情况，即令s=jω, L →F
理论建模
对系统的内部结构、尺寸、材料等性能参数以及连接关系有详尽 了解，在合理的假设和简化后，根据物理力学原理进行建模 已知系统全部参数—假设简化—力学原理建模
白箱系统（White Box）
第1章 绪 论
§1.2 动力学系统建模
理论建模
f(t)
对简单的质量—弹簧—阻尼系统，由 力学原理可建立其动力学模型（方程）
+∞
(1.5)
式中 F(s) = L X(s) = L
[ f(t)] = ∫- ∞
f(t)e -st dt
[ x(t)] = ∫- ∞
+∞
x(t)e -st dt
s =σ +jω 为复变量
H(s)——系统传递函数（复数域函数）
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
系统函数（非参数模型）
传递函数
G[ x(t )] = f (t )
算子 输出 输入
(1.1)
集中参数模型
运动方程
m—c—k系数
d 2 x (t ) dx (t ) m +c + kx (t ) = f (t ) 2 dt dt
(1.2)
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
参数模型（运动方程）
集中参数模型
f(t)
f (t ) → 系统 → x(t )
L L
G [ f (t ) ] = x(t ) X ( s) = H ( s) F ( s)
F (s) → H(s) → X (s)
传递函数建立了输入与输出的关系，所以可作为系统模型。给定系统传 递函数H(s)可求出输入F(s)下的输出X(s) 或 x(t) = L
由以上模型可以预测在给定输入 ➨ 动力学正问题
{ f(t)}
和 x(t) f(t)下的系统响应 x(t) 、 x(t)
有限元方法或理论建模方法是求解动力学正问题的最有效方法 优点：在系统初步设计（概念设计）、细节设计阶段，对系统 性能进行预测、分析及优化 缺点：对复杂系统，假设简化与建模人员经验及专业水平有 关，要建立反映实际结构真实特性的数学模型，难度较大。
G [ x(t ) ] = f (t ) d2 d G = m 2 +c +k dt dt
k
m c
x(t)
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
参数模型（运动方程）
分布参数模型
研究右图所示固体在外载f(t)作用下的响应位移x(t) 系统具有无限多自由度 分布参数系统（连续体）
Z Y X
(1.4)
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
参数模型（运动方程）
分布参数模型
可写为
G [ x(t )] = f (t ) ∂2 ∂ G = m( p ) 2 + c ( p ) + k ( p ) ∂t ∂t
运动方程为偏微分方程。该方程很难求解（为偏微分方程的边值问题） 常采用有限元法建立动力学运动方程。
可以转换
传递函数
对于线性时不变系统，在初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之比——系统传递函数 设输入为f(t)，输出为x(t)，则系统传递函数
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
系统函数（非参数模型）
传递函数
X(s) H(s) = F(s)
传递函数 x(t)的拉氏变换 f(t)的拉氏变换
了解系统特性 (建立数学模型)
第1章 绪 论
§1.2 动力学系统建模
试验建模
若对系统完全不知 ➨ 系统识别（System Identification） 系统辨识 黑箱系统 (Black Box) —— 难度较大的问题! 若对系统不完全知：已知系统为线性系统或数学式子形式已知， 但对式子中的参数值不知 灰箱系统 (Grey Box) ➨ 动力学第一类逆问题 优点：试验建模较理论建模更真实反映实际系统 缺点：需要有真实系统之物理模型 (最适合反求工程：仿制工程 )
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
参数模型（运动方程）
分布参数模型
f(t)
化连续为离散 ⎫ 固体系统 ⎧ ⎨ ⎬ ⎩化无限为有限 ⎭
有限元法思想 有限单元法
}+⎡ ⎡ x(t)} + ⎡ ⎣M ⎤ ⎦ { ⎣C ⎤ ⎦ { x(t) ⎣K ⎤ ⎦ { x(t)} = { f(t)}
系统函数（非参数模型）
传递函数 mx(t) 单自由度系统参数模型（运动方程） 非参数模型 对运动方程取拉氏变换
+ kx(t) = f(t) + cx(t)
X(s) H(s) = F(s)
(ms 2 + cs + ks)X(s) = F(s)
传递函数为 H(s) =
1 ms 2 + cs + k
m k c
x(t)
+ cx(t) + kx(t) = f(t) mx(t)
对复杂系统，由有限元方法 可建立其动力学方程
第1章 绪 论
§1.2 动力学系统建模
理论建模
}+ ⎡ ⎡ x(t)} + ⎡ ⎣M ⎤ ⎦ { ⎣C ⎤ ⎦ { x(t) ⎣K ⎤ ⎦ { x(t)} =
(1.10)
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
系统函数（非参数模型）
单位脉冲响应函数（权函数） 单位脉冲响应函数h(t)为 H(jω) 的傅氏逆变换，而 H(jω) 为h(t)的傅氏变换
H(jω) =
∫
∞
-∞
h(t)e -jωt dt
(1.11)
由确定的h(t)，可求任意输入下的输出响应，见式（1.9a）
∞
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
系统函数（非参数模型）
频响函数（频率响应函数）
H(jω ) = 1 (k - mω ) + jcω
2
(1.8)
频响函数确定后，系统对任 意输入的响应便可求得
X(jω ) = H(jω )F(jω )
或
(1.9a)
x(t) = F
-1
1 ⎡ ⎤ ω = X(j ) ⎣ ⎦ 2π
H(jω ) =
式中
X(jω ) F(jω )
∞
(1.7)
-jω t F(jω) = F [ f(t)] = ∫- ∞ f(t)e dt
X(jω) = F [ x(t)] = ∫- ∞ x(t)e -jω t dt
H(jω) ——频响函数（以频率ω为变量的复函数）
由(1.6)式，单自由度系统的频响函数为
X(s)=H(s)F(s)
-1
1 ⎡ ⎤ X(s) = ⎣ ⎦ 2π
1 X(s)e ds = ∫-∞ 2π
∞
st
∫∞
-
∞
H(s)F(s)e st ds
传递函数反映了系统本身特性，它建立了输入与输出之间的关系。这种系 统函数（非参数模型）与系统参数模型（运动方程）必然有内在联系
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
x(t) =
∫
t
0
h(t - τ ) f(t)d τ = h(t) ∗ f(t)
(卷积积分）
(1.12)
f(t) → h(t) → x(t) = h(t) ∗ f(t)
第1章 绪 论
§1.1 系统的振动（动力学）问题
动力学三类问题
系统识别（或参数识别）
给定：系统输入及输出 识别（辨识）：系统特性
f (t ) → 系统 → x(t )
✔
⎧系统识别 ➨ 动力学第一类逆问题 ⎨ ⎩参数识别
？
✔
第1章 绪 论
§1.1 系统的振动（动力学）问题
动力学三类问题
本课程为交叉学科
理论建模 —有限元方法 试验建模—模态试验分析技术 有限元法和试验模态分析是机械结构动力学的两大支柱! 在实际建模中两种方法相互补充、相互修正
第1章 绪 论
§1.3 动力学系统模型的形式
假设研究的系统为线性时不变系统。
k m
f(t) x(t)
c
参数模型（运动方程）
由已知的系统参数，可建立系统输入与输出的数学关系式
f (t)
1
f (t)
2
P(x,y,z)
分布参数系统的运动方程（参数模型） P(x,y,z)点单位体积的运动方程
∂ 2 x ( p, t ) ∂x( p, t ) m( p ) + c ( p ) + k ( p ) x ( p, t ) = f ( p, t ) 2 ∂t ∂t
加速度 速度 单位体积质量 单位体积阻尼系数 位移 单位体积刚度 单位体积受力
振动对系统及环境有害，加以控制 振动对系统有利，加以利用 ※ 动力学问题： 研究 输入——系统——输出三者间的关系
第1章 绪 论
§1.1 系统的振动（动力学）问题
动力学三类问题
动力（或振动）响应分析
给定：系统的全部特性及输入 预测：系统输出
f (t ) → 系统 → x(t )
✔ ✔ ？
Leabharlann Baidu
➨ 动力学正问题
载荷（输入）识别 或（环境预测）
给定：系统特性及输出 识别：输入（载荷） 未知输入路面上的汽车试验
f (t ) → 系统 → x(t )
？ ✔ ✔
航天器在空间飞行 ➨动力学第二类逆问题
第1章 绪 论
§1.2 动力学系统建模
※ 数学模型：描述系统输入与输出间定量关系的表达式、图表、曲线 （或描述系统特性的数学式子）。 研究系统必须建立数学模型 思考：如何建立数学模型？