矩阵分析课件
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波士顿矩阵分析PPT课件
❖ 金牛产品
20%
❖ 明星产品
❖ 问题产品
❖ 狗类产品
10%
0
10
1
0.1
.
战略业务单元的动态性及周期
❖ 问题业务
❖
明星战略业务单元
❖
金牛业务
❖
消亡或落入不利SBU
❖
进入老年期
❖
加入新的
SBU进入新循环
.
对每一项战略业务单元可采用以下四种战略之一：
❖ 其一：少投资或不投资以回收资金，获得短期现金 流而不管长期影响（金牛）
.
❖ 中国农科院一位不愿具名的专业人士披露，海尔不 用洗衣粉洗衣机实际上是在洗衣机的内部预先放置了一 种磷酸盐表面活性剂(生产洗涤剂的一种原料)，并通过 塑料管进入洗衣机的内筒，而这也是这种洗衣机在运行 过程中可以产生大量泡沫的原因之一。
❖ 据悉，该表面活性剂市场销售的
谢谢大家！
.
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
波士顿矩阵分析
小组成员： 王思齐 李海霞 陈凤 胥蔚
.
.
波士顿矩阵图法
是20世纪60年代由美国波士顿 咨询集团(Boston Consulting Group,BCG)开发出的一种用于对 具有多产品/多业务组合的综合类 公司进行战略评估和分析的工具。
.
波士顿矩阵法
此方法把SBU按增长率和份额分为如下四种
.
金牛产品——海尔波轮全自动洗衣机
❖ 波轮全自动洗衣机自2000年以来，在整体洗衣 机中的比例一直攀升，2003至今一直超过六成的市 场份额，在中国洗衣机市场上占有绝对优势。波轮 洗衣机在中国市场占据主导地位一方面来自消费者 受传统消费观念的影响，另一方面因为滚筒洗衣机 价位较高，普通消费者支出能力有限所致。
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§4.2
10
这样就得到方阵 A 的 QR 分解.
方阵的QR分解在数值计算中起着重要的作用，它是 计算矩阵的全部特征值和求解线性方程组的有力工具.
⎡ 1 1 1⎤ 例： 求矩阵 A = ⎢ −1 1 0 ⎥ 的 QR 分解. ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ 解： A = (α 1 , α 2 , α 3 ) , α = ⎢ −1⎥ , α = ⎢1⎥ , α = ⎢0 ⎥ 1 3 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢1⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, α m 使得
, β k 〉， = 1, 2, k , m.
证明： 用数学归纳法. 取 α 1 = β 1 . 则 k=1, 结论成立. 假设已作出r个两两正交的向量 α 1 , α 2 ,
〈α1 , α 2 ,
,α k 〉 = 〈 β1 , β 2 ,
〈α 1 , α 2 ,
,α k 〉 = 〈 β1 , β 2 ,
现在将这个正交基中每个向量单位化，即取
αi . γi = || α i || 则 γ 1 , γ 2 , , γ n 就是V 的一个标准正交基. 推论2：n维实内积空间V 中任意正交向量组 α1 , α 2 , , α s
都可以扩充成V 的一个正交基. 证明： α1 , α 2 ,
α1 , α 2 , , α s 线性无关. 由基的扩充定理知，存在向量 α s +1 , α s + 2 , , α n 使 α 1 , α 2 , , α s , α s +1 , α s + 2 , , α n
由施密特正交化方法得：
15
⎡1 ⎤ ⎢0⎥ , β 1 = α1 = ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ 1/ 2 ⎞ (α 2 , β 1 ) β = ⎜ 1 ⎟ , β2 = α2 − 1 ⎜ ⎟ ( β1 , β1 ) ⎜ −1 / 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ( α 3 , β 1 ) β − (α 3 , β 2 ) β = ⎜ 1 ⎟ , β3 = α3 − 1 2 ⎜ ⎟ β1 , β1 ) β2 , β2 ) ( ( ⎜1⎟ ⎝ ⎠
这样就得到方阵 A 的 QR 分解.
方阵的QR分解在数值计算中起着重要的作用，它是 计算矩阵的全部特征值和求解线性方程组的有力工具.
⎡ 1 1 1⎤ 例： 求矩阵 A = ⎢ −1 1 0 ⎥ 的 QR 分解. ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ 解： A = (α 1 , α 2 , α 3 ) , α = ⎢ −1⎥ , α = ⎢1⎥ , α = ⎢0 ⎥ 1 3 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢1⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, α m 使得
, β k 〉， = 1, 2, k , m.
证明： 用数学归纳法. 取 α 1 = β 1 . 则 k=1, 结论成立. 假设已作出r个两两正交的向量 α 1 , α 2 ,
〈α1 , α 2 ,
,α k 〉 = 〈 β1 , β 2 ,
〈α 1 , α 2 ,
,α k 〉 = 〈 β1 , β 2 ,
现在将这个正交基中每个向量单位化，即取
αi . γi = || α i || 则 γ 1 , γ 2 , , γ n 就是V 的一个标准正交基. 推论2：n维实内积空间V 中任意正交向量组 α1 , α 2 , , α s
都可以扩充成V 的一个正交基. 证明： α1 , α 2 ,
α1 , α 2 , , α s 线性无关. 由基的扩充定理知，存在向量 α s +1 , α s + 2 , , α n 使 α 1 , α 2 , , α s , α s +1 , α s + 2 , , α n
由施密特正交化方法得：
15
⎡1 ⎤ ⎢0⎥ , β 1 = α1 = ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ 1/ 2 ⎞ (α 2 , β 1 ) β = ⎜ 1 ⎟ , β2 = α2 − 1 ⎜ ⎟ ( β1 , β1 ) ⎜ −1 / 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ( α 3 , β 1 ) β − (α 3 , β 2 ) β = ⎜ 1 ⎟ , β3 = α3 − 1 2 ⎜ ⎟ β1 , β1 ) β2 , β2 ) ( ( ⎜1⎟ ⎝ ⎠
矩阵分析与处理 (2)优秀课件
1
A
0
0
0
an2 an 0
1
0
0
an3 an 0
0
0
0
a1 an
0 0 0 1
a0 an
0
0
0
0
p(x) 称为A的特征多项式， p(x) =0的根称为A的特征根。
MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)， 其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系 数排在前，低次幂排在后。
函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。
例2-7 求(x+y)4的展开式。 在MATLAB命令窗口，输入命令： pascal(5)
ans =
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
10
20
35
1
5
15
35
70
矩阵次对角线上的元素1,4,6,4,1即为展开式 的系数。
3.2 矩阵结构变换
3.2.1 对角阵与三角阵
例3.4 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。 命令如下： format rat %以有理形式输出
H=hilb(4)
H=invhilb(4)
(4) 托普利兹矩阵 托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外， 其他每个元素都与左上角的元素相同。生 成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它 生成一个以x为第一列，y为第一行的托普 利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等 长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普 利兹矩阵。例如
(2) 构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生 一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为 向量V的元素。 diag(V)函数也有另一种形式diag(V,k)，其功 能是产生一个n×n(n=m+|k|)对角阵，其第k 条对角线的元素即为向量V的元素。
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.5
⎛ n ⎞ T (α + β ) = T ⎜ ∑ ( k i + l i ) α i ⎟ ⎝ i =1 n ⎠ n n = ∑ ( ki + li )β i = ∑ ki β i + ∑ li β i = T (α ) + T ( β ) ,
i =1 i =1 i =1
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ T ( λα ) = T ⎜ λ ∑ kiα i ⎟ = T ⎜ ∑ λ kiα i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ n = ∑ λ k i β i = λ T (α ) .
11
⎡ kTT −1 (α ) ⎤ = T −1 ⎡ kT T −1 (α ) ⎤ T ( kα ) = T ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1 ⎡T kT −1 (α ) ⎤ = T −1T kT −1 (α ) =T ⎣ ⎦ = kT −1 (α ) .
−1 −1
(
) (
( )(
)
)
注：当T 可逆时,可以定义T 的负整数幂,即 ∀n ∈ Z + , n −n −1 定义 T = T .
§3.5
线性变换（线性映射）
定义： 若在数域F 的线性空间V上，有一种规则T,使得 ' V中任意向量α 对应于V中唯一向量α T (α ) , 规则T 称为V 的变换， ' 称为α的像，α 称为 α ' 的原像. α
T : V ⎯⎯ V →
α
α = T (α )
'
如果变换T 又满足下面条件： ∀α , β ∈V 和 k ∈ F 有
α = T (α ) = Aα ∈ R
'
n
⇒ T是线性变换，由方阵A所确定的线性变换也
通常用A表示.
矩阵分析课件(1-1,4)
其中k , l 表示数域F中的任意数, , 表示V中任意元素. 称这样的V 为数域F 上的线性空间.
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
矩阵分析第8章课件
(齐次方程解空间N(A)={xCn|Ax=0}也称为A的核
) ④(1)有无穷多解的充要条件是 rank A < n dim N(A)= n-rank A= n-r > 0
减号逆定义8.1.1
定义:若一般线性方程组 Ax=b, ACmn,xCn,bCm (1) 对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵 A-Cnm 称为A的一个减号逆. 因为当ACnnn时,(1)的解都可表示为 x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆: A-=A-1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵 的推广.
Y
Z
W C , Z C
, X C
Er 0
, Y C
( nr )r
其中
AA-A=A PAA-AQ=PAQ=
W X Er 上式左边 = PAQ PAQ Y Z 0 W 0 0 Er 0 0 0 0 0 W 0 Y
第八章 矩阵的广义逆序言
矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的 逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅 仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚 至适用于行列数不相等的长方阵. 广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的 应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的 有效工具,特别在数值分析中十分有用. 本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆, 自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义 逆.
1 2 1/ 2 5 / 2 | 0 1/ 2 0 1 0 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 1 3 0 | 1 0 0 0 1 3 0 | 1 0 0 0 0 0 | 3 2 1 0 0 0 0 | 3 2
(8.1.5).(在下式中令V=X-A-,W=XAA-即可)
) ④(1)有无穷多解的充要条件是 rank A < n dim N(A)= n-rank A= n-r > 0
减号逆定义8.1.1
定义:若一般线性方程组 Ax=b, ACmn,xCn,bCm (1) 对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵 A-Cnm 称为A的一个减号逆. 因为当ACnnn时,(1)的解都可表示为 x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆: A-=A-1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵 的推广.
Y
Z
W C , Z C
, X C
Er 0
, Y C
( nr )r
其中
AA-A=A PAA-AQ=PAQ=
W X Er 上式左边 = PAQ PAQ Y Z 0 W 0 0 Er 0 0 0 0 0 W 0 Y
第八章 矩阵的广义逆序言
矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的 逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅 仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚 至适用于行列数不相等的长方阵. 广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的 应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的 有效工具,特别在数值分析中十分有用. 本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆, 自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义 逆.
1 2 1/ 2 5 / 2 | 0 1/ 2 0 1 0 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 1 3 0 | 1 0 0 0 1 3 0 | 1 0 0 0 0 0 | 3 2 1 0 0 0 0 | 3 2
(8.1.5).(在下式中令V=X-A-,W=XAA-即可)
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.7
证明：Im T
2
= Im T .
(1) 显然有 Im T 2 ⊂ Im T . 证： (2) 由 Im T + ker T = V , 及 dim Im T + dim ker T = n，
知 Im T ⊕ ker T = V . 取 ker T 的基α 1，α 2， α n − r , 扩充成 V 的基α 1， , α n − r , α n − r +1 , α n . 则有 ∀α ∈V , Tα ← {Tα n− r +1 , , Tα n }， 结合 Im T ⊕ ker T = V， 可得 T α n − r +1 , , T α n 是ImT的一个基. 则有 α1， , α n− r , Tα n− r +1 , , Tα n 是V的一个基. 于是
（是V 中同一向量在基 α1 , α 2 , , α n 下的坐标） 注：求T 的特征值、特征向量时，可以先求其矩阵的特 征值、特征向量；T 的特征多项式、最小多项式就 是它的矩阵的特征多项式的最小多项式.
6
例： 设T 是数域F上n维线性空间V 的线性变换，且满足
Im T + ker T = V .
由α ∈ ker T 知, Tα = 0. 由α ∈ ImT 知， 存在β ∈V，使得T β = α . 1 2 1 1 于是 α = T β = T β = T (T β ) = T α = 0. 3 3 3 即 Im T ∩ ker T = {0}.
又 故
8
dim Im T + dim ker T = n,
T ( β ) = T (T (α ) ) ∈ Im T (2) ∀α ∈ Ker T，T (α ) = O ∈ Ker T
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
2024版第5章矩阵分析ppt课件
矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式， 其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常 数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代 入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。
《BCG矩阵分析法》课件
市场份额的测算方式
销售收入、销售数量、用户数等多方面指标的综合测算。
市场增长率的测算方式
历史数据分析、市场趋势预测、竞争对手情况等多方面指标的综合考察。
BCG矩阵模型的调整
1 提高维度多样性
将市场份额和市场增长率两个维度进行扩展，以更全面地了解业务。
2 考虑其他因素的影响
加入其他因素，对企业的整体发展进行更加全面的分析。
2 品牌组合优化
BCG矩阵可以帮助企业评估品牌组合优劣，从而制定最优的品牌策略。
BCG矩阵在产品管理中的应用
产品创新
通过BCG矩阵的分析，发现新的市场需求或 产品缺口，及时调整和创新企业现有的产品 线。
产品组合优化
针对不同类型的产品，有效地优化产品组合， 提高企业生产效率和利润率。
BCG矩阵在战略规划中的应用
BCG矩阵的应用范围
产品组合优化
通过BCG矩阵的分类，针对不 同的产品制定不同营销策略， 从而优化产品组合。
市场整合战略
通过BCG矩阵的分析，指导不 同业务之间的协调和整合，避 免市场冲突和资源浪费。
团队管理
通过BCG矩阵的管理方法，更 好地管理团队，促进团队的协 作、发展和优化。
BCG矩阵的优缺点
现金奶牛业务
市场占有率高，但市场增长率 慢，可以通过控制成本实现稳 定利润。
洛克星与金牛星问题
1 洛克星业务
是指市场份额高，但其市场增长率低，并且这些业务通常占据企业流动资产的大部分。 洛克星业务应当对其盈利表现保持警惕，避免影响其他业务的繁荣发展。
2 金牛星业务
是指市场份额高，市场增长率低，且这些业务通常可以为企业提供现金流。企业应保持 对这类业务的关注，并确保其稳定经营。
战略制定
销售收入、销售数量、用户数等多方面指标的综合测算。
市场增长率的测算方式
历史数据分析、市场趋势预测、竞争对手情况等多方面指标的综合考察。
BCG矩阵模型的调整
1 提高维度多样性
将市场份额和市场增长率两个维度进行扩展，以更全面地了解业务。
2 考虑其他因素的影响
加入其他因素，对企业的整体发展进行更加全面的分析。
2 品牌组合优化
BCG矩阵可以帮助企业评估品牌组合优劣，从而制定最优的品牌策略。
BCG矩阵在产品管理中的应用
产品创新
通过BCG矩阵的分析，发现新的市场需求或 产品缺口，及时调整和创新企业现有的产品 线。
产品组合优化
针对不同类型的产品，有效地优化产品组合， 提高企业生产效率和利润率。
BCG矩阵在战略规划中的应用
BCG矩阵的应用范围
产品组合优化
通过BCG矩阵的分类，针对不 同的产品制定不同营销策略， 从而优化产品组合。
市场整合战略
通过BCG矩阵的分析，指导不 同业务之间的协调和整合，避 免市场冲突和资源浪费。
团队管理
通过BCG矩阵的管理方法，更 好地管理团队，促进团队的协 作、发展和优化。
BCG矩阵的优缺点
现金奶牛业务
市场占有率高，但市场增长率 慢，可以通过控制成本实现稳 定利润。
洛克星与金牛星问题
1 洛克星业务
是指市场份额高，但其市场增长率低，并且这些业务通常占据企业流动资产的大部分。 洛克星业务应当对其盈利表现保持警惕，避免影响其他业务的繁荣发展。
2 金牛星业务
是指市场份额高，市场增长率低，且这些业务通常可以为企业提供现金流。企业应保持 对这类业务的关注，并确保其稳定经营。
战略制定
《波士顿矩阵分析》PPT课件
《波士顿矩阵分析》PPT课件目录•波士顿矩阵概述•波士顿矩阵四象限•波士顿矩阵应用步骤•波士顿矩阵优缺点分析•波士顿矩阵与其他分析工具比较•波士顿矩阵在企业战略中应用案例01波士顿矩阵概述波士顿矩阵（Boston Matrix），又称市场增长率-相对市场份额矩阵、波士顿咨询集团法、四象限分析法、产品系列结构管理法等。
它是由美国著名的管理学家、波士顿咨询公司创始人布鲁斯·亨德森于1970年首创的一种用来分析和规划企业产品组合的方法。
波士顿矩阵认为一般决定产品结构的基本因素有两个：即市场引力与企业实力。
市场引力包括整个市场的销售量（额）增长率、竞争对手强弱及利润高低等。
其中最主要的是反映市场引力的综合指标——销售增长率，这是决定企业产品结构是否合理的外在因素。
企业实力包括市场占有率，技术、设备、资金利用能力等，其中市场占有率是决定企业产品结构的内在要素，它直接显示出企业竞争实力。
帮助企业确定投资方向优化产品组合制定营销策略通过波士顿矩阵分析，企业可以明确各个产品的市场地位和盈利能力，从而确定投资方向，优化资源配置。
波士顿矩阵可以帮助企业识别出哪些产品具有发展潜力，哪些产品需要改进或淘汰，从而优化产品组合，提高整体竞争力。
针对不同类型的产品，企业需要采取不同的营销策略。
波士顿矩阵为企业提供了制定营销策略的依据，有助于提高营销效果。
02波士顿矩阵四象限1 2 3明星产品是指具有高市场增长率和高市场份额的产品。
定义这类产品通常需要大量投资以支持其高速增长，但由于市场份额较大，因此能够产生足够的现金流来支持这些投资。
特点对于明星产品，企业应继续加大投资，以保持其市场领先地位，并尽可能延长其高速增长期。
战略建议明星产品现金牛产品是指具有低市场增长率和高市场份额的产品。
定义这类产品已经进入成熟期，市场增长率较低，但由于市场份额较大，因此能够产生稳定的现金流。
特点对于现金牛产品，企业应尽可能延长其成熟期，通过提高产品质量、降低成本、加强营销等手段来保持其市场份额和盈利能力。
《BCG矩阵分析法》PPT课件
行业引力—企业实力矩阵 局限性
• 1、等级值相应计算的主观性 • 2、未知行业引力评价的模糊性 • 3、确定投资估先顺序方法不完全实用 • 4、战略建议的笼统性
实力中等 标，力求迅速提高市场占有率。
3 引力大
实力弱
扶持：以提高产品市场地位为最大目标。为追求长期、
长远利益，应尽可能提高当前投资量。
4 引力一般 维持现有产品市场地位：注意抓住市场机会，维持
实力强 与扩大收益性。为此，所需的资金应优先投入。
5 引力一般 稳定平衡：重视确保收益和做风险性较小的投资。
实力一般
GE矩阵
象 市场引力/ 限 公司实力
战略
6 引力一般，选择地投资：即选择那些能迅速地探明问题所在，并
实力弱 且有希望尽快解决的产品，以便明确产品发展方向，防 止不必要损失。
7 引力小， 收获：即以实现收入最大化为目标，以便将由这类事
实力强 业中所获收益转到有前途的事业上去。对这类产品应尽 可能减小投资。
金 低 资金流
使 用
金牛
高
？ 大量的 负资金流 适量的正或 负资金流
瘦狗 低
相对市场占有率—资金形成
相应的战略假设
• 指导思想：
• 公司的主要经营目的在于发展和盈利，而一个经营多种业务的公司其主要长处在于它 能把高盈利、低发展潜力业务产品的资金投向有长期发展和盈利潜力高的、有吸引力 的业务产品中去，能够通过资金的平衡调度达到系统的总体优化。
• 假设中的缺陷：
• 1、矩阵两个维度的片面性
• 2、企业的销售量增长和盈利能力既有密切联系， 又不尽一致
• 3、公司理想的业务结构不一定要求资金回收和资 金投入的平衡
BCG矩阵的局限性（续）
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§4.3
∵ || β − δ ||2 ≥ 0 ∴ || γ ||=|| α − β ||≤|| α − δ ||
5
显，O ) = ⎜ α i , ∑ α j ⎟ = (α i , α i ) j =1 ⎝ ⎠ ⇔ α i = O, i = 1, 2, s
实内积空间V的任一子空间W必有唯一正交补，记 定理：
这正交补为 W ⊥ , 则W ⊥ = α ∈V α ⊥ W . 证明：如果 W = {O} , 则 V = W ⊕ V , 即V 是W 的正交补. 如果 W ≠ {O} , 子空间W关于V中内积也成为内积 空间，存在正交基 e1 , , em . 由基的扩充定理，
2
{
}
将它扩充成V的一个正交基 e1 , , em , em +1 , , en , ( n = dim V ). 令 U = 〈em +1 , em + 2 , , en 〉 ,则有 W ⊥ U ,
V = W ⊕ U 所以U是W的正交补.下面证明 U = W ⊥ ,
即U是由所有与W正交的向量组成的，由此也证明了W 的正交补的唯一性.
α = β + γ , β ∈ W , γ ∈ W ⊥ , 向量β称为向量α在子空间 有 W上的正投影，而 || γ || 称为向量α到子空间W的距离. 设 定理： α ∈V , β是α在V 的子空间W上的正投影，则对任 意 δ ∈ W ,有 || γ ||=|| α − β ||≤|| α − δ || 且等号成立 ⇔β = δ
注：说明将 || γ || 定义为α 到W的距离是合理的.
4
证明：
α
γ
δ W
β
γ = α − β , γ ⊥ W , β − δ ∈W
∴ γ ⊥ ( β − δ ) α − δ = (α − β ) + ( β − δ ) || α − δ ||2 =|| α − β ||2 + || β − δ ||2 由勾股定理得
5
显，O ) = ⎜ α i , ∑ α j ⎟ = (α i , α i ) j =1 ⎝ ⎠ ⇔ α i = O, i = 1, 2, s
实内积空间V的任一子空间W必有唯一正交补，记 定理：
这正交补为 W ⊥ , 则W ⊥ = α ∈V α ⊥ W . 证明：如果 W = {O} , 则 V = W ⊕ V , 即V 是W 的正交补. 如果 W ≠ {O} , 子空间W关于V中内积也成为内积 空间，存在正交基 e1 , , em . 由基的扩充定理，
2
{
}
将它扩充成V的一个正交基 e1 , , em , em +1 , , en , ( n = dim V ). 令 U = 〈em +1 , em + 2 , , en 〉 ,则有 W ⊥ U ,
V = W ⊕ U 所以U是W的正交补.下面证明 U = W ⊥ ,
即U是由所有与W正交的向量组成的，由此也证明了W 的正交补的唯一性.
α = β + γ , β ∈ W , γ ∈ W ⊥ , 向量β称为向量α在子空间 有 W上的正投影，而 || γ || 称为向量α到子空间W的距离. 设 定理： α ∈V , β是α在V 的子空间W上的正投影，则对任 意 δ ∈ W ,有 || γ ||=|| α − β ||≤|| α − δ || 且等号成立 ⇔β = δ
注：说明将 || γ || 定义为α 到W的距离是合理的.
4
证明：
α
γ
δ W
β
γ = α − β , γ ⊥ W , β − δ ∈W
∴ γ ⊥ ( β − δ ) α − δ = (α − β ) + ( β − δ ) || α − δ ||2 =|| α − β ||2 + || β − δ ||2 由勾股定理得
哈工大矩阵分析课件7
1 , λ ≠0 + − + ② 设 λ ∈ C, 记 λ = λ , 则(λ A) ∈ (λ A){1} . 0, λ = 0
由 A−的定义即可验证①, ② .
11
−
③ rank A ≤ rank A − 证 由 A A − A = A , 立知 rank A ≤ rank A − , 这表明 减 号 逆 A −的 秩 不 小 于 A 的 秩 .
(1,2) A− = A ∈ A{1, 2}, 称 为 自反 广义 逆; r
A l− = A (1,3) ∈ A{1, 3}, 称 为 最 小 二 乘 广 义 逆 ;
A =A
− m
(1,4)
∈ A{1, 4}, 称为极小范数广义逆 广义逆;
A+ = A(1,2,3,4) ∈ A{1, 2, 3, 4}, 称为A的加号 逆, 或叫Moore - Penrose广义 逆.
Ir K B = Q (7.6) L M n×m 这里 K ∈ C r ×( m − r ) , L ∈ C ( n − r )× r , M ∈ C ( n − r )×( m − r ) 是
任意矩 阵 , I r 是 r 阶 单 位矩阵.
6
证 由式(7.5)有 Ir A= P O
矩阵分析教程
(电子版)
董增福
哈尔滨工业大学数学系
1
第七章 广义逆 广义逆矩阵
核心内容：
1. A−与相容线性方程组 Ax = b 的通解
− 2. Am 与相容线性方程组 Ax = b 的极小范数解
3. Al−与矛盾线性方程组 Ax = b 的最小二乘解 4. A+ 及其在解线性方程组 Ax = b 中的应用
由 A−的定义即可验证①, ② .
11
−
③ rank A ≤ rank A − 证 由 A A − A = A , 立知 rank A ≤ rank A − , 这表明 减 号 逆 A −的 秩 不 小 于 A 的 秩 .
(1,2) A− = A ∈ A{1, 2}, 称 为 自反 广义 逆; r
A l− = A (1,3) ∈ A{1, 3}, 称 为 最 小 二 乘 广 义 逆 ;
A =A
− m
(1,4)
∈ A{1, 4}, 称为极小范数广义逆 广义逆;
A+ = A(1,2,3,4) ∈ A{1, 2, 3, 4}, 称为A的加号 逆, 或叫Moore - Penrose广义 逆.
Ir K B = Q (7.6) L M n×m 这里 K ∈ C r ×( m − r ) , L ∈ C ( n − r )× r , M ∈ C ( n − r )×( m − r ) 是
任意矩 阵 , I r 是 r 阶 单 位矩阵.
6
证 由式(7.5)有 Ir A= P O
矩阵分析教程
(电子版)
董增福
哈尔滨工业大学数学系
1
第七章 广义逆 广义逆矩阵
核心内容：
1. A−与相容线性方程组 Ax = b 的通解
− 2. Am 与相容线性方程组 Ax = b 的极小范数解
3. Al−与矛盾线性方程组 Ax = b 的最小二乘解 4. A+ 及其在解线性方程组 Ax = b 中的应用
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矩阵分析
教材：矩阵分析 史荣昌等编
参考书 矩阵分析引论 矩阵论
罗家洪编 程云鹏编
矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。 在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理， 系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化 技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切 的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和 发展。
本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。 它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门 课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特 别向量、矩阵、二次型的相关内容。
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0) 都是R3 的基。R3 是3维线性空间。
要验证：１．向量组 无关．２．任一向量 可以由它们表示．
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0
（8） k( ) k k
V中的元素称 为向量
称这样的 V 为数域 F 上的线性空间。
例 1 全体实函数集合 RR 构成实数域 R上的
线性空间。 按函数的加法和数乘函数
例的集2合复C数m域n m为Cm上C的上全的体线性m空间n。型矩阵构成
按矩阵的加法和数乘矩阵
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
am an
例7 在 R中满足Hilbert条件的无限序列组成的
子集合不构成 R 上的线性空间。Hilbert条件是：
级数 an 2 收敛
例8
n 1
在R
中有界的无限序列组成的子集也构成
R 上的线性空间。一个无限序列 [a1, a2, a3,L ]
称为有界的，如果存在一个实数 r ， 使得
ai r,i 1,2,L
, yn
T
，那么我们有：
x1
(1,2 ,L
,
n
)
x2
M
xn
y1
y1
(1, 2 ,L
,
n
)
y2
M
(1,2,L
,
n
)
P
y2
M
yn
yn
x1 y1
x2
P
y2
M M
xn
yn
称上式为坐标变换公式。
例 1 在4维线性空间 R22 中，向量组
第一章 线性空间和线性映射
第一节 线性空间 一： 线性空间的定义与例子
实数域R 复数域C
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集和 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 g来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n（新的） 是 n维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
的充分必要条件是 1 ,2 , ,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
定理 4：设向量组A :1,2 , ,m线性无关,而向量 组B :1, ,m ,b 线性相关,则向量 b必能由向量组
A线性表示,且表示式是唯一的.
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
定理1:线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的 负元素.
证 : 设01，02是两个零元素,则有 01 01 02 02
设元素x有两个负元素x1, x2
x x1 0, x x2 0 x1 x1 0 x1 (x x2 )
(x1 x) x2 0 x2 x2
二： 线性空间的基本概念及其性质
P
a21
a22
L
a2n
L L L L
an1 an2 L
ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
1, 2,L , n 1,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
提示ＰＸ＝０ 只有零解
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1, x2,L
, xn
T
与
y1, y2,L
123
1 3
1
0 0
1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
4
)
2 1
1 1
2 1
1 0
0
1
1
1
2 0 2 1
(1, 2 , 3
, 4)
1 0
1 2
1 1
3 1
1 2 2 2
(1, 2 , 3 , 4 ) (1,2,3,4 )P
2 0 2 1 1 1 1 1
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k e a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]ຫໍສະໝຸດ ai F, i 1,2,3,
1 (2,1, 0,1)T
2 (1, 1,1,1)T
2 (0,1, 2, 2)T
3 (1, 2,1,1)T
3 (2,1,1, 2)T
4 (1, 1, 0,1)T
4 (1,3,1, 2)T
并求＝（x1,x2 ,x3 ,x4）在基
1, 2, 3, 4的坐标。
1 1 1 1
(1,
2
,
3
,
i a1i1 a2i2 L anin
a1i
1,2,L
,
n
a2i
M
,
ani
i 1, 2,L , n
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12 L a1n
1, 2,L
,
n
1
,2
,n
a21 L
a22 L
L L
a2
n
L
an1
a2 L
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
a11 a12 L a1n
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
例 6 在R中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R 上的线性空间。Cauchy条件是： 0,N 0, 使得对于 m,n N 都有
那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；
（6）等价的向量组秩相同。
例 1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
定义2 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
定理3 向量组 1,2 , ,（m当 m 时2 ）线性相关
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0 , 1 0 , 1 1
都是 R22的基。 R22 是4维线性空间。
例 3 实数域 R 上的线性空间 R[ x]n 中的向量组 1, x, x2,, xn
与向量组
1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n
都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.
定义１
给定向量组A :1,2 ,
,
，对于任何一
m
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2， ,m，使
b 11 2 2 m m
函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,,
sinn x,cosn x , n 4.
是线性相关的函数组。
教材：矩阵分析 史荣昌等编
参考书 矩阵分析引论 矩阵论
罗家洪编 程云鹏编
矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。 在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理， 系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化 技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切 的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和 发展。
本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。 它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门 课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特 别向量、矩阵、二次型的相关内容。
(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0) 都是R3 的基。R3 是3维线性空间。
要验证：１．向量组 无关．２．任一向量 可以由它们表示．
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0
（8） k( ) k k
V中的元素称 为向量
称这样的 V 为数域 F 上的线性空间。
例 1 全体实函数集合 RR 构成实数域 R上的
线性空间。 按函数的加法和数乘函数
例的集2合复C数m域n m为Cm上C的上全的体线性m空间n。型矩阵构成
按矩阵的加法和数乘矩阵
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
am an
例7 在 R中满足Hilbert条件的无限序列组成的
子集合不构成 R 上的线性空间。Hilbert条件是：
级数 an 2 收敛
例8
n 1
在R
中有界的无限序列组成的子集也构成
R 上的线性空间。一个无限序列 [a1, a2, a3,L ]
称为有界的，如果存在一个实数 r ， 使得
ai r,i 1,2,L
, yn
T
，那么我们有：
x1
(1,2 ,L
,
n
)
x2
M
xn
y1
y1
(1, 2 ,L
,
n
)
y2
M
(1,2,L
,
n
)
P
y2
M
yn
yn
x1 y1
x2
P
y2
M M
xn
yn
称上式为坐标变换公式。
例 1 在4维线性空间 R22 中，向量组
第一章 线性空间和线性映射
第一节 线性空间 一： 线性空间的定义与例子
实数域R 复数域C
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集和 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 g来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n（新的） 是 n维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
的充分必要条件是 1 ,2 , ,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
定理 4：设向量组A :1,2 , ,m线性无关,而向量 组B :1, ,m ,b 线性相关,则向量 b必能由向量组
A线性表示,且表示式是唯一的.
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
定理1:线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的 负元素.
证 : 设01，02是两个零元素,则有 01 01 02 02
设元素x有两个负元素x1, x2
x x1 0, x x2 0 x1 x1 0 x1 (x x2 )
(x1 x) x2 0 x2 x2
二： 线性空间的基本概念及其性质
P
a21
a22
L
a2n
L L L L
an1 an2 L
ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
1, 2,L , n 1,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
提示ＰＸ＝０ 只有零解
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1, x2,L
, xn
T
与
y1, y2,L
123
1 3
1
0 0
1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
4
)
2 1
1 1
2 1
1 0
0
1
1
1
2 0 2 1
(1, 2 , 3
, 4)
1 0
1 2
1 1
3 1
1 2 2 2
(1, 2 , 3 , 4 ) (1,2,3,4 )P
2 0 2 1 1 1 1 1
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k e a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]ຫໍສະໝຸດ ai F, i 1,2,3,
1 (2,1, 0,1)T
2 (1, 1,1,1)T
2 (0,1, 2, 2)T
3 (1, 2,1,1)T
3 (2,1,1, 2)T
4 (1, 1, 0,1)T
4 (1,3,1, 2)T
并求＝（x1,x2 ,x3 ,x4）在基
1, 2, 3, 4的坐标。
1 1 1 1
(1,
2
,
3
,
i a1i1 a2i2 L anin
a1i
1,2,L
,
n
a2i
M
,
ani
i 1, 2,L , n
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12 L a1n
1, 2,L
,
n
1
,2
,n
a21 L
a22 L
L L
a2
n
L
an1
a2 L
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
a11 a12 L a1n
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
例 6 在R中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R 上的线性空间。Cauchy条件是： 0,N 0, 使得对于 m,n N 都有
那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；
（6）等价的向量组秩相同。
例 1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
定义2 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
定理3 向量组 1,2 , ,（m当 m 时2 ）线性相关
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0 , 1 0 , 1 1
都是 R22的基。 R22 是4维线性空间。
例 3 实数域 R 上的线性空间 R[ x]n 中的向量组 1, x, x2,, xn
与向量组
1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n
都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.
定义１
给定向量组A :1,2 ,
,
，对于任何一
m
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2， ,m，使
b 11 2 2 m m
函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,,
sinn x,cosn x , n 4.
是线性相关的函数组。