反比例函数性质-对称性与几何意义.pdf
专题26.1 反比例函数、定义图象与性质(八大考点)(教师版)2025学年九年级数学下册(人教版)
专题26.1反比例函数、定义图象与性质（八大考点）【考点1反比例函数的定义】【考点2 反比例函数系数K的几何意义】【考点3 反比例函数的图象】【考点4 反比例函数图象的对称性】【考点5 反比例函数的性质】【考点6 反比例函数图象点坐标特征】【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】【考点8 反比例函数与一次函数的交点问题】【考点1反比例函数的定义】1．（2023秋•来宾期中）下列关系式中表示y是x的反比例函数的是（ ）A．y＝B．y＝2x+1C．y＝x2D．y＝【答案】D【解答】解：A、y＝是正比例函数，不符合题意；B、y＝2x+1是一次函数，不符合题意；C、y＝x2中，x的次数不是1，不符合题意；D、y＝是反比例函数，符合题意．故选：D．2．（2023秋•苍梧县期中）反比例函数的比例系数是（ ）A．3B．2C．D．【答案】D【解答】解：，故．故选：D．3．（2023秋•临颍县期末）已知函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为（ ）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．任意实数【答案】A【解答】解：∵函数y＝（m+1）是反比例函数，∴m2﹣2＝﹣1且m+1≠0，解得m＝1．故选：A．4．（2022秋•朝阳期末）反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）A．m＜0B．C．D．m≥【答案】C【解答】解：根据题意得：1﹣2m＜0，解得：m＞．故选：C．【考点2 反比例函数系数K的几何意义】5．（2023秋•娄底期末）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）A．﹣6B．6C．﹣3D．3【答案】A【解答】解：根据题意可知：S＝|k|＝3，△AOB又反比例函数的图象位于第二象限，k ＜0，则k ＝﹣6．故选：A ．6．（2024•浙江一模）如图，点A 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，点B 在反比例函数y ＝（x ＜0）的图象上，AB ∥x 轴，点C 在x 轴上，△ABC 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【答案】D【解答】解：连接OA ，OB ，如图，∵AB ⊥y 轴，∴OC ∥AB ，∴S △OAB ＝S △ABC ＝3，∴+|k |＝3，∵k ＜0，∴k ＝﹣2．故选：D ．7．（2024•新吴区一模）如图，第一象限的点A 、B 均在反比例函数的图象上，作AC⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连接AO 、BO ，若OC ＝3CD ，则△AOB 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：设CD ＝a ，则OC ＝3CD ＝3a ，∴OD ＝OC +CD ＝4a ，∵点A 、B 均在反比例函数的图象上，作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，∴点A，B ，四边形ACDB 为直角梯形，∴AC ＝，BD ＝，∴S 梯形ACDB ＝（AC +BC ）•CD ＝＝，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S △OAC ＝S △OBD ，∵S △AOB ＝S △OAC +S 梯形ACDB ﹣S △OBD ＝S 梯形ACDB ＝．故选：D ．8．（2024•钦州一模）点P ，Q ，R 在反比例函数（常数k ＞0，x ＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3．若OE ＝ED ＝DC ，S 1+S 3＝15，则S 2的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解答】解：∵CD＝DE＝OE，∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），∴CP＝，DQ＝，ER＝，∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，∴S1＝S3＝2S2，∵S1+S3＝15，∴S3＝9，S1＝6，S2＝3，故选：B．9．（2024•黔东南州一模）如图，已知A（1，y1）、B（4，y2）为反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接OA，OB，AB，则三角形OAB的面积是（ ）A．4B．C．D．【答案】D【解答】解：由A（1，y1）、B（4，y2）为反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，得A（1，4）、B（4，1），得直线AB表达式为：y＝5﹣x，得如图中C（0，5），故三角形OAB的面积＝三角形OCB的面积﹣三角形OAC的面积＝5×4÷2﹣5×1÷2＝7.5，故选：D．10．（2024春•德惠市期中）如图，在▱ABCD 中，AB ∥x 轴，点B 、D 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上，若▱ABCD 的面积是8，则k 的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解答】解：连接OB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，▱ABCD 的面积是8，∴△ABC 的面积＝的面积＝，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴点B 、D 横坐标互为相反数，∴点B 、D 纵坐标也互为相反数，又∵AB ∥x 轴，AB ∥CD ，∴OA ＝OC ，∴，∴k ＝2S △AOB ＝S △ABC ＝4，故选：B．11．（2024•江西模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，PA交y轴于点C，AO＝BO＝BP．若△ABP的面积是4，则k的值是（ ）A．1B．2C．D．【答案】B【解答】解：连接OP，作PD⊥x轴于D，∵△ABP的面积是4，AO＝BO，∴△OBP的面积为2，∵PA⊥PB，AO＝BO＝BP，∴sin∠PAB＝，∵sin30°＝，∴∠PAB＝30°，∴∠PBA＝60°，∴△POB为等边三角形，∴S△POD ＝S△POB＝1，∴＝1，∴k＝±2，∵反比例函数的图象位于第一象限，∴k ＝2．故选：B ．12．（2023秋•昌图县期末）如图，过x 轴上任意点P 作y 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝（x ＞0），y ＝﹣（x ＞0）的图象交于A 点和B 点，若C 为y 轴任意一点．连接AB 、BC ，则△ABC 的面积为 ．【答案】．【解答】解：设点P 坐标为（a ，0）则点A 坐标为（a ，），B 点坐标为（a ，﹣）∴S △ABC ＝S △APC +S △CPB ＝+＝＝．故答案为：．【考点3 反比例函数的图象】13．（2023秋•岳阳楼区期末）如图所示，该函数表达式可能是（ ）A ．y ＝3x 2B ．C ．D ．y ＝3x【答案】C【解答】解：由图象可得，该函数图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且是双曲线，故选：C．14．（2024春•普陀区期中）反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k在同一坐标系中的大致图象是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数在二，四象限，一次函数y＝﹣kx+k 的图象过一、三、四象限，无符合选项；当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数在一、三象限，一次函数y＝﹣kx+k的图象过一、二、四象限，A选项符合．故选：A．15．（2024•昭阳区模拟）在同一直角坐标系中，函数y＝kx+k与的图象大致为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过一、二、三象限，反比例函数的的图象在一、三象限，故C选项的图象符合要求；②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过二、三、四象限，反比例函数的的图象在二、四象限，没有符合条件的选项．故选：C．16．（2024•青岛一模）一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、由一次函数y＝ax+b的图象知，a＞0，b＞0，则ab＞0，所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，不符合题意；B、由一次函数y＝ax+b的图象知，a＞0，b＞0，则ab＞0，所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，符合题意；C、由一次函数y＝ax+b的图象知，a＞0，b＜0，则ab＜0，所以反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，不符合题意；D、由一次函数y＝ax+b的图象知，a＜0，b＜0，则ab＞0，所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，不符合题意；故选：D．17．（2024春•泰兴市期中）函数y＝kx﹣k与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，﹣k＞0，∴k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；B．∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，﹣k＜0，∴k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应经过一、三、四象限，故本选项符合题意；C．∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，﹣k＜0，∴k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；D．∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，﹣k＞0，∴k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意．故选：B．18．（2024•商河县一模）反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由反比例函数的图象可知：kb＞0，当k＞0，b＞0时，∴直线经过一、三、四象限，当k＜0，b＜0时，∴直线经过一、二、四象限，故选：D．【考点4 反比例函数图象的对称性】19．（2023秋•宣汉县期末）正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，2），那么点B的坐标为（ ）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，3）【答案】A【解答】解：解方程组得，．因为点A的坐标为（3，2），那么点B的坐标为（﹣3，﹣2）．故选：A．20．（2023秋•竞秀区期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣【答案】D【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝10π．解得：r＝2．∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝（k＜0）与⊙O的一个交点．∴﹣2a2＝k且＝r．∴a2＝8．∴k＝﹣2×8＝﹣16，则反比例函数的解析式是：y＝﹣．故选：D．21．（2023秋•九龙坡区校级月考）反比例函数的图象经过点A（2，﹣4），则当x＝﹣2时，y的值为（ ）A．﹣4B．C．D．4【答案】D【解答】解：因为反比例函数的图象是双曲线，且关于坐标原点成中心对称，又点A（2，﹣4）在反比例函数的图象上，所以点A关于坐标原点的对称点也在该反比例函数的图象上．又点A关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣2，4），即x＝﹣2时，y＝4．故选：D．【考点5 反比例函数的性质】22．（2024春•长寿区校级期中）若点P（1，3）在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）A．B．3C．﹣3D．【答案】B【解答】解：∵点P（1，3）在反比例函数的图象上，∴，解得：k＝3．故选：B．23．（2024春•苏州期中）对于反比例函数，下列说法正确是（ ）A．函数图象位于第一、三象限B．函数图象经过点（﹣2，﹣3）C．函数图象关于y轴对称D．x＞0时，y随x值的增大而增大【答案】D【解答】解：A．因为y＝﹣，k＝﹣6＜0，所以函数图象位于第二、四象限，不符合题意；B．当x＝﹣2时，y＝﹣＝3，函数图象经过点（﹣2，3），不符合题意；C．函数图象关于原点对称，不符合题意；D．x＞0时，y随x值的增大而增大，符合题意．故选：D．24．（2024•临沂一模）如图，平面直角坐标系xOy中有4条曲线分别标注着①，②，③，④，是双曲线y＝﹣的一个分支的为（ ）A．①B．②C．③D．④【答案】A【解答】解：∵双曲线y＝﹣中，k＜0，∴双曲线y＝﹣的分支在第二、四象限，可排除③④；由图可知，①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），而3＝﹣，故为双曲线y＝﹣的一个分支的是①，故选：A．25．（2024•绥江县模拟）反比例函数的图象位于（ ）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【答案】D【解答】解：∵，k＝﹣3＜0，∴函数图象过二、四象限．故选：D．26．（2024•香洲区校级一模）若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ）A．k＜0B．k＞0C．k＞1D．k＜1【答案】C【解答】解：∵反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，∴k＞1，故选：C．27．（2023秋•南开区期末）若函数的图象在每个象限内y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）A．m＞2B．m＞﹣2C．m＜2D．m＜﹣2【答案】C【解答】解：∵函数的图象在每个象限内y的值随x的增大而增大，∴m﹣2＜0，解得m＜2．故选：C．28．（2024•顺德区二模）若点（2，3）在反比例函数的图象上，下列哪个点也在函数图象上（ ）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）【答案】A【解答】解：∵点（2，3）在反比例函数的图象上，∴k＝6，∵A（﹣2，﹣3）中纵横坐标之积＝﹣2×（﹣3）＝6，∴点A在反比例函数的图象上．故选：A．【考点6 反比例函数图象点坐标特征】29．（2024•佛山一模）已知点A（﹣2，a），B（1，b），C（3，c）在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】B【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，a），B（1，b），C（3，c）在反比例函数的图象上，且﹣2＜0＜1＜3，∴a＜0，b＞c＞0，∴a＜c＜b，故选：B．30．（2024•怀化一模）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）A．（1，﹣16）B．（2，﹣8）C．（4，﹣4）D．（8，2）【答案】D【解答】解：反比例函数图象上点的纵横坐标之积为定值16，A、1×（﹣16）＝﹣16≠16，点（1，﹣16）不在反比例函数图象上，不符合题意；B、2×（﹣8）＝﹣16≠16，点（2，﹣8）不在反比例函数图象上，不符合题意；C、4×（﹣4）＝﹣16≠16，点（4，﹣4）不在反比例函数图象上，不符合题意；D、8×2＝16，点（8，2）在反比例函数图象上，符合题意．故选：D．31．（2024•西和县二模）已知反比例函数的图象经过点（2，6），若该反比例函数的图象也经过点（﹣1，n），则n的值为（ ）A．﹣12B．3C．﹣6D．﹣3【答案】A【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（2，6），点（﹣1，n），∴2×6＝﹣1×n，∴n＝﹣12．故选：A．32．（2024春•兴化市期中）函数y＝﹣（k≠0，k为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（4，y3），则函数值的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2【答案】D【解答】解：因为﹣|k|＜0，所以函数y＝﹣图象在第二、四象限．由于在第二象限，y值随x的增大而增大，（﹣3，y1），（﹣2，y2）在第二象限的双曲线的分支上，因为﹣3＜﹣2，所以y1＜y2，且y1，y2都是正数．在第四象限双曲线中的点，对应的y值小于0，而点（4，y3）在第四象限的双曲线的分支上，则y3＜0，所以大小关系是y3＜y1＜y2．故选：D．【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】33．已知点(―2,5)在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（）A．10B．―10C．25D．―2534．在平面直角坐标系中，点A(1,4a)，B(a,a+2)都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为()A．2B．4C．6D．835．已知点A(2,3)在反比例函数y=k的图象上，下列各点中也在该函数图象上的是（）xA．(―2,3)B．(―1,―6)C．(1,―6)D．(―3,2)36．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A(4,3)，点C在x轴正半轴，则经过点B的反比例函数的表达式为．37．在平面直角坐标系中，将点A(2,3)向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数的图象上，则此反比例函数的表达式为．【考点8 反比例函数与一次函数的交点问题】39．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=k的图象交于点A(1,2)，Bx的解集是（）(m,―1)．ax+b≥kxA．x<―2或0<x<1B．x≤―2或0<x≤1C．―2<x<0或x>1D．―2≤x<0或x≥140．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x(k1≠0)与双曲线y=k2(k2≠0)相交于xA、B两点，已知点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标（）A．(―1,―2)B．(―2,―1)C．(―1,―1)D．(―2,―2)41．如图，一次函数y=x+3与反比例函数y=k相交于点A(m,4)和点B(―4,n)，则关于x的x不等式x+3<k的解集是（）xA．x<―4或0<x<1B．―4<x<0或x>1C．―1<x<0或x>4D．x<―1或0<x<442．如图所示是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=m的图象，观察图象写出当y1>y2时，xx的取值范围为（）A．x<―2或0<x<3B．x<―2或3<xC．―2<x<0或3<x D．―2<x<0或0<x<3【答案】C【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．【详解】解：由函数图象可得，当―2<x<0或x>3时，y1>y2，故选：C．43．在平面直角坐标系中，函数y=6―x与y=4(x>0)的图象交于点A,B，若点A的坐标为x(m,n)，则宽为m，长为n的矩形的面积、周长分别为（）A．4，6B．4，12C．8，6D．8，1244．如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2(x>0)的图象相交于A(1,4)，Bx时，x的取值范围为（）(4,1)两点，当k1x+b<k2xA．x<1B．0<x<1或x>4C．1<x<4D．x>4【答案】B【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．找到直线在双曲线下方时，x的取值范围即可得解．45．已知反比例函数y=k与正比例函数y=ax的一个交点坐标为(2,3)，则另一个交点坐标x为（）A．(―2,―3)B．(―3,―2)C．―1,―12D,122【答案】A【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，抓住二者图象均关于原点对称是解题关键．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两图象的交点关于原点对称∵一个交点为(2,3)，∴另一个交点坐标为(―2,―3)故选：A。
第四节反比例函数的图像及性质
第四节反比例函数的图像及性质,河北8年中考命题规律),河北8年中考真题及模拟)反比例函数的图像及性质(8次)1．(2009河北6题2分)反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图像如图所示，随着x 值的增大，y 值( )A ．增大B ．减小C ．不变D ．先减小后增大2．(2014河北14题3分)定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎨⎧ab（b ＞0）－ab（b ＜0），例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45.则函数y ＝2⊕x(x ≠0)的图像大致是( ),A ) ,B ) ,C ) ,D )3．(2013河北10题3分)反比例函数y ＝mx的图像如图所示，以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在图像上，则h ＜k ；④若p(x ，y)在图像上，则P′(－x ，－y)也在图像上．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．(2015河北10题3分)一台印刷机每年印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20，则y 与x 的函数图像大致是( ),A ) ,B ),C ) ,D )5．(2011河北12题3分)根据图①所示的程序，得到了y 与x 的函数图像，如图②.若点M 是y 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥x 轴交图像于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则以下结论：①x ＜0时，y ＝2x ；②△OPQ 的面积为定值；③x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ ＝2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°.其中正确结论是( )A ．①②④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤6．(2008河北17题3分)点P(2m －3，1)在反比例函数y ＝1x的图像上，则m ＝________．7．(2010河北22题8分)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为(4，2)．过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N.(1)求直线DE 的解析式和点M 的坐标；(2)若反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图像经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图像上；(3)若反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图像与△MNB 有公共点，请直接写出m 的取值范围．8．(2012河北22题8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y＝mx(x＞0)的图像经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图像与该反比例函数图像的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图像一定过点C；(3)对于一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)，当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围(不必写过程)．9．(2015保定模拟)在反比例函数y＝mx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝mx2＋mx的图像大致是(),A) ,B) ,C) ,D)10．(2015邯郸一模)如图，函数y＝－x与函数y＝－4x的图像相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为()A．2 B．4 C．6 D．8(第10题图)(第11题图)11．(2015沧州模拟)如图，A是反比例函数y＝4x的图像上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，则△ABP的面积为________．,中考考点清单)反比例函数的概念1．一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示成①________(k是常数，且k≠0)的形式，则称y 是x的反比例函数，k称为比例函数．反比例函数的图像和性质(8年考查了7次，分别为08，09，10，11，12，13，14年) 2．函数图像k＞0 k＜03.函数的图像性质4.k 的几何意义设P(x ，y)是反比例函数y ＝kx图像上任一点，过点P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，则S 矩形PNOM ＝PM·PN ＝|y|·|x|＝|xy|【方法技巧】反比例函数与一次函数、几何图形结合 (1)反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面： A ．探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法． B ．探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标．C ．探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法．D ．两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系，从而写出函数值的大小．(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．反比例函数表达式的确定1．步骤(1)设所求的反比例函数为y ＝kx (k ≠0)；(2)根据已知条件列出含k 的方程； (3)由代入法解待定系数k 的值； (4)把k 代入函数表达式y ＝kx 中．2．求表达式的两种途径求反比例函数的表达式，主要有两条途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x ，y 具有反比例关系y ＝kx (x ≠0)的前提下，根据一对x ，y 的值，列出一个关于k 的方程，求得k 的值，确定出函数的表达式．反比例函数的应用利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y ＝kx (k ≠0)，再由已知条件确定表达式中k 的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式．,中考重难点突破)反比例函数的图像及性质【例1】(2015天水中考)已知函数y ＝mx 的图像如图以下结论：①m ＜0；②在每个分支上y 随x 的增大而增大；③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图像上，则a ＜b ； ④若点P(x ，y)在图像上，则点P 1(－x ，－y)也在图像上． 其中正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】①根据反比例函数的图像的两个分支分别位于第二、四象限，可得m ＜0，正确；②在每个分支上y 随x 的增大而增大，正确；③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图像上，观察图像可知a ＞0，b ＜0，则a ＞b ，错误；④若点P(x ，y)在图像上，则y ＝mx，即m ＝xy ，又∵m ＝(－x)·(－y)＝xy ，则点P 1(－x ，－y)也在图像上，正确．【学生解答】1．(2015保定博野模拟)已知A(－1，y 1)，B(2，y 2)两点在双曲线y ＝3＋2mx上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＜0C ．m ＞－32D ．m ＜－322．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x －1与函数y ＝1x的图像可能是( ),A ),B ),C ),D )反比例函数k 的几何意义【例2】(2015沧州模拟)如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx (x ＞0)经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ，若S △OCD ＝9，S △OBD 的值为________．(例2题图)(例2题解图)【解析】如解图，过C 点作CE ⊥x 轴，垂足为E.∵Rt △OAB 中，∠OBA ＝90°，∴CE ∥AB ，∵C 为Rt △OAB 斜边OA 的中点C ，∴CE 为Rt △OAB 的中位线，∵△OEC ∽△OBA ，∴S △COE S △AOB ＝14，∵双曲线的解析式是y ＝k x ，∴S △BOD ＝S △COE ＝12k ，∴S △AOB ＝4S △COE ＝2k ，由S △AOB －S △BOD ＝S △AOD ＝2S △DOC ＝18，得2k －12k ＝18，k ＝12，S△BOD＝S △COE ＝12k ＝6.【学生解答】3．(2015深圳中考)如图，已知点A 在反比例函数y ＝kx (x ＜0)上，作Rt △ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为8，则k ＝________.反比例函数与一次函数结合【例3】(2015巴中中考)如图，在平面直角坐标xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D(0，4)，B(6，0)．若反比例函数y ＝k 1x(x ＞0)的图像经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ，设直线EF 的解析式为y ＝k 2x＋b.(1)求反比例函数和直线EF 的解析式； (2)求△OEF 的面积；(3)请结合图像直接写出不等式k 2x ＋b －k 1x＞0的解集．【解析】(1)【思路分析】先利用矩形的性质确定C 点坐标(6，4)，再确定A 点坐标为(3，2)，则根据反比例函数图像上点的坐标特征得到k 1的值，即可求出反比例函数解析式；然后利用反比例函数解析式确定F 点的坐标为(6，1)，E 点坐标为(32，4)，再利用特定系数法求直线EF 的解析式；(2)【思路分析】利用S △OEF ＝S 矩形BCDO －S △ODE －S △OBF －S △CEF 进行计算．(3)【思路分析】观察函数图像得到当32＜x ＜6时，一次函数图像都在反比例函数图像上方，即k 2x ＋b ＞k 1x .【学生解答】4．(2015石家庄模拟)如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝kx (k ≠0，x ＞0)的图像交于点M ，过M 作MH ⊥x 轴于点H ，且AB ＝BM ，点N(a ，1)在反比例函数y ＝kx(k ≠0，x ＞0)的图像上．(1)求k 的值；(2)求点N 关于x 轴的对称点N′的坐标；(3)在x 轴的正半轴上存在一点P ，使得PM ＋PN 的值最小，请求出点P 的坐标；(4)在y 轴的正半轴上是否也存在一点Q ，使得QM ＋QN 的值最小？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．,中考备考方略)1．(2015唐山9中模拟)若点A(a，b)在反比例函数y＝2x的图像上，则代数式ab－4的值为()A．0B．－2C．2D．－62．(2015天津中考)已知反比例函数y＝6x，当1＜x＜3时，y的取值范围是()A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞63．(2015兰州中考)在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝kx(k≠0)的图像大致是(),A),B),C),D)4．如图，正比例函数y1＝k1x的图像与反比例函数y2＝k2x的图像相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2.当y1＞y2时，x的取值范围是()A．x＜－2或x＞2B．x＜－2或0＜x＜2C．－2＜x＜0或0＜x＜2D．－2＜x＜0或x＞25．(2015福州中考)一个反比例函数图像过点A(－2，－3)，则这个反比例函数的解析式是________．6．(2016原创预测)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝3x(x＞0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是________．7．(2015自贡中考)若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，都是反比例函数y＝1x图像上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是()A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x18．(2015保定二模)如图，直线和双曲线分别是函数y1＝x(x≥0)、y2＝4x(x＞0)的图像，则以下结论：①两函数图像的交点A的坐标为(2，2)；②当x＞2时，y1＜y2；③当x＝1时，BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是()A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④(第8题图)(第9题图)9．(2016原创预测)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝3x的图像经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为()A．2 B．4 C．2 2 D．4 210．(2015丽水中考)如图，反比例函数y＝kx的图像经过点(－1，－22)，点A是该图像第一象限分支上的动点，连接AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP.(1)k的值为________．(2)在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是________．(第10题图)(第11题图)11．(2015唐山南路二模)如图所示，已知A(0.5，y 1)，B(2，y 2)为反比例函数y ＝1x 图像上的两点，动点P(x ，0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是( )A ．(0.5，0)B ．(1，0)C ．(1.5，0)D ．(2.5，0)12．(2015广州中考)已知反比例函数y ＝m －7x的图像的一支位于第一象限． (1)判断该函数图像的另一支所在的象限，并求m 的取值范围．(2)O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图像上，点B 与点A 关于x 轴对称，若△OAB 的面积为6，求m 的值．13．(2016原创预测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图像与反比例函数y ＝mx 的图像交于A(2，3)、B(－3，n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若P 是y 轴上一点，且满足△PAB 的面积是5，直接写出OP 的长．14．如图，A(－4，12)，B(－1，2)是一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝mx 图像的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D.(1)根据图像直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，y 1－y 2＞0? (2)求一次函数解析式及m 的值；(3)P 是线段AB 上一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 的坐标．。
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数性质-对称性与几何意义ppt
的面积求K值时，一定要注意图像所在 的象限，从而确定K的符号。
能力提高,拓展思维--典型例题 确定解析式
反比例函数
k y= x
与一次函数y=-x-k的图象相交
于点A，过点A作AB垂直于x轴于点B，已知三角形AOB 的面积等于2，直线y=-x-k与x轴相交于点C，求反比 例函数与一次函数的解析式。 y
4 2.若在反比例函数 y 中也用同样的方法分别 x 取P，Q两点填写表格： 4 y x
P（1,-4） Q（2,-2）
S1的值 4
S2的值
S1与S2 关系
与k的关 系
4
s1=s2
s1=s2=|k|
于是：我们发现了反比例函数的几何意义
k 对于反比例函数 y x 点Q是其图像上的任意 一点，作QA垂直于y轴， 作QB垂直于X轴，矩 形QABO的面积与k有 |k| 什么关系SAOBQ= 三角形QAO与三角形 QBO的面积和k又有什 K 么关系呢？SQAO=SQBO=
如图,点M是反比例函数 为 2 .
y=
4 x
图象上的一
点,MP⊥x轴于P.则△POM的面积
y
M
o P
x
应用新知,加深理解--几何意义应用
应用三、已知面积，求K
﹣ 12 下面各点 PA⊥x轴于A.则△POA的面积为6,则k= --------。
也在这个反比例函数图象上的是（ B ）
A（2,3） B（-2,6） C（2,6）
y A
o C x
（2）若一次函数y=ax+1经过A
点，求此一次函数的解析式。 B
（3）若一次函数与x轴相交于点C,
求∠AOC的度数和|AO|: |AC|的值
K
反比例函数的性质及应用
y O
y
y O x
y
x A
x
o
O
x
B
C
D
三 二
k 设P(m, n)是双曲线y (k 0)上任意一点 有 : , x (1)过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则
S OAP 1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
y P(m,n) y P(m,n) o A x
y
O x
3.(2000年四川) k 已知反比例函数y (k 0), 当x 0时, y随x的增大 x B 而增大, 那么一次函数y kx k的图象经过 _____ . A.第 、 二、 三象限 B.第一、 二、 四象限 C.第一、 三、 四象限 D.第二、 三、 四象限
o y x
(1)求点A, B, D的坐标; (2)求一次函数和反比例函 数的解析式 .
y B A O
C D x
8 2.已知如图 反比例函数y 与一次函数y x 2的图像 , x 交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标 (2)AOB的面积. ;
8 y , 解 : (1) x y x 2.
y
y
B
P(m,n)
A
B
P(m,n) A
o
x
o
x
(3)设P(m, n)关于原点的对称点是 (m,n), 过P作x轴的垂线 P 与过P作y轴的垂线交于 点, 则 A 1 1 S PAP | AP AP | | 2m | | 2n | 2 | k | (如图所示). 2 2
y
y
A S1 B
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
考点05 反比例函数的图像和性质(解析版)
考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式ky x=（k 是常数，k ≠0）kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为-1典例引领变式拓展故答案为：2．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领根据图象可知，114x x>+的解集是-正确的有②③；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．2．如图，点(1,2)A 和点(,)B a b 是反比例函数右侧，则下列说法中，不正确的是（A ．该反比例函数解析式B ．矩形OCBD 的面积为C ．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且【详解】解：根据题意，10k ->，解得1k <，∴0k =满足题意，故选：D ．变式拓展二、填空题三、解答题把上表中的坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的(1)请在该平面直角坐标系中作出(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y与x之间的函数关系，并求②求2y关于x的函数表达式；（2）①观察表格可知，1y 是x 设1k y x=，把()30,10代入得：1030k =，∴300k =，∴612x ≤≤．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式k y x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例引领【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，题关键．利用平行四边形的面积公式得出得出k 的值．【详解】∵将该函数图像向上平移x 【答案】52【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y 轴平行，()1,B m ，D【答案】8 yx =【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点是解题的关键．先根据坐标与图形得到A【答案】5 yx =-【分析】本题考查反比例函数图像的性质，键．变式拓展【答案】28【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，即可得出答案．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴90DAB ABC ∠∠==【答案】24a <<【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx=中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领A ．4-B ．6【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，题的关键．利用APC 与PBD 相似即可解决问题．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD ⊥PDB PCA ∴∠=∠，PD x 轴，BPD PAC ∴∠=∠，APC PBD ∴ ∽，∴AC PC PD BD=．二、填空题【答案】-3【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，的面积是是解答此题的关键．作AD OB ⊥OA =12OB ，然后通过证得AOD BOA ∽何意义即可求得k 的值．∵Rt OAB 中，30ABO ∠=︒，∴OA =12OB ，∵90ADO OAB ∠∠==︒，AOD BOA ∠∠=∴AOD BOA ∽，∴214AOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，【答案】5-【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接AB y ∥轴，得ABC 和AB y ∥轴，ABC ∴ 和AOB ∆关于AB 边上的高相等，52ABC AOB S S ∆∆∴==，根据反比例函数比例系数的几何意义得：变式拓展（1）用含m 的代数式表示（2）若3OMN S =△，则【答案】24m k =90OAB ∠=︒，∴N 点的横坐标为m ，反比例函数()0k y x x=>的图象过点N ，∴N 点的纵坐标为4m ， OME OAN S S =△△，OMN OME OAN MEAN MEAN S S S S S=+-=△△△梯形梯形，3OMN S =△，三、解答题【答案】(2,4)C 或(8,1)C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形设点8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过点∵点A 、C 在反比例函数∴1842AOE COF S S ∆∆==⨯=，当04m <<时，则AOE S ∆∴6ACFE AOC S S ∆==梯形，k=【答案】6【分析】本题考查了反比例函数⊥轴，垂足为点E，连接等．作AE x到三角形AOB的面积，两个面积之和为⊥轴，垂足为点【详解】解：作AE x，AE x⊥轴，AB AC=∴=，BE CE，=5OC OB(1)求k和m的値；(2)当8x≥时，求函数值【答案】(1)10k=，m(2)5 04y<≤．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领（1）若2k =，4b =-，则（2）若CE DE =，则b 与【答案】12k +【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，系是解此题的关键．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点⊥轴于点E，过点CB作BE x()DE=---=，证明AD∥132联立43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1131x y =-⎧⎨=⎩，2113x y =-⎧⎨=⎩，∴()3,1A -，()1,3B -，二、解答题(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接OA OB ，，求OAB 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式m kx b x+<【答案】(1)6y x =，y ＝x ＋1(2)52AOB S =对于1y x =+，当0y =时，=1x -；当0x =∴()1,0C -，()0,1D ∴1,OC =1,OD =∴111112*********AOB S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ （3）解：由图象可知：不等式m kx b x+<的解集为：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点【答案】(1)反比例函数解析式为y =(2)点E 坐标为()2,3-．变式拓展(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式【答案】(1)y x =--(2)6(3)<4x -或02x <<【分析】（1）先把点A 代入反比例函数解析式，即可求出（2）先求出直线y =-（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：∵(A(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求【答案】(1)一次函数解析式1y x 4=-(2)32ABE S =△【分析】（1）利用点A 的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点待定系数法可求出一次函数的解析式；当点P在BC上运动时，则PB∵2sin ==2PH B PB ，即PH =∴(1132822y DB PH =⋅=⨯⋅()304;x x ⎧≤≤由图像可得，函数图像有最大值为（3）解：根据函数图像可得：当【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求a ，k 的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式1102k x x+-≥的解集(3)如图2，直线CD 过点A ，与反比例函数图像交于点C ，与x 轴交于点,OA OC ，求OAC 的面积．【答案】(1)4a =，12k =；(2)4x ≥(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在y轴上取一点N，当(3)将直线1y向下平移2围．根据函数图象可得：当11．如图，在平面直角坐标系例函数2myx=（m为常数，且(1)求反比例函数与一次函数的解析式．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，坐标．【答案】(1)8 yx =(2)()4,2 C90∠=∠=∠=ABO BOE AEO∴四边形ABOE是矩形，∴==，OB AE2OE AB==45，∠=︒ADO∴ 是等腰直角三角形，AED∴==，DE AE4。
反比例函数的几何意义PPT讲稿
SOAP
y
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|
•
|
n
|
1 2
|
k
|
y
P(m,n)
P(m,n)
oA x
oA
x
过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的
三角形的面积是不变的.
5.如图，点A、B在反比例函数 y k （k＞0， x ＞0）的图象上，过点A、B作x轴的x垂线，垂足分别 为M、N,延长线段AB交x轴于点C，若
任一点分别作x轴、xy轴的垂线段， y
与x轴y轴围成矩形面积为12，求函
数解析式__y__1_x2_或__y__x12
O
x
3.如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点P、 Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿 色三角形）的面积大小关系是：S1 ____=S2.
y
P
A
∟
s1
Q
B E s2
分的面积从左到右依次为
，则
S1，S2，S3
y
2 x
y
3
S1 S2 S3 2．
思考：1.你能求出S2和S3的值吗？
2.S1呢？ O
（x>0)
P1
P2
P3
P4
x
1
2
3
4
总结提高
性质：反比例函数图象上的点 向坐标轴作垂线，围成的矩形或三 角形的面积不变性 两种思想：分类讨论和数形结合
oA
x
过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，它们与 坐标轴形成的矩形面积是不变的.
1.如图，A,B是双曲线 若
九年级数学第三节 反比例函数的图象与性质优秀课件
> y2.
拓展训练
2. 假设反比例函数y＝1 3 m
〔 〕1
x1
3
3
A. m≥
B. m≤
的图象位于二、四象限，那么m的取值范围是D
1
1
3 C. m＜
3 D. m＞
第三节 反比例函数的图象与性质 数的相关概念
3. 对于反比例函数y＝ k 2 1 ，以下说法不正确的选项是A〔 〕
x
A. 函数值y随x的增大而增大 B. 图象在第二、四象限 C. 当k＝2时，它的图象经过点〔5，－1〕 D. 它的图象关于原点对称
第9题图
第三节 反比例函数的图象与性质 数的相关概念
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第三节 反比例函数的图象与性质
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数的相关概念
10. 〔20xxxxB卷25题4分〕设双曲线y＝ 〔k k＞0〕与直线y＝x交于A，B两点〔点
x
A在第三象限〕，将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点
A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的
达式得－2＝1 a，
2
2
∴a＝－4，
∴A(－4，－2)，(1分)
把A(－4，－2)代入反比例函数y＝k 中，得k＝－4×(－2)＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝ 8
x ，(3分)
y 1x
x
联立方程组 2 ，
y 8
解得
xy11＝＝－－24(舍去x )，
x2＝4， y2＝2
∴B(4，2)；(5分)
第三节 反比例函数的图象与性质 数的相关概念
从而得出k的值，代入解析式即可
第三节 反比例函数的图象与性质 数的相关概念
成都10年真题+2019诊断检测
反比例函数的图象和性质2
1、反比例函数的图象是 双曲线 ，它关于 原点成中
图象与两坐标轴
无交点
心对称
2、反比例函数的性质：
当k>0时，双曲线的两支分别位于 第一、三 象限， 在每个象限内 y 随 x的 增大而减小 当k<0时，双曲线的两支分别位于 第二、四 象限， 在每个象限内 y随x的 增大而增大 3、反比例函数的意义
y 3 < y 1< y 2 大小关系是_______________;
2 例1.如图1,点P是反比例函数 y 图象上的 x
一点,PA⊥x轴于A, PB⊥y轴于B.则长方形
PAOB的面积为 2 .y 任意一组变量 的乘积是一个 定值,即xy=k
P(m,n) A
y
P(m,n) x o D x
B
o
y
A S1 B
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
1 3.如图，A、C是函数 y x 的图象上的任意两点，过A作x轴的 垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线， y 垂足为D，记Rt⊿AOB的面积为S1， Rt⊿OCD的面积为S2，则（ ） C A(m,n) o A．S1>S2 x B B ．S 1< S 2 D C C．S1=S2 D．S1和S2的大小关系不确定
1 4.如图,P,P是函数y 的图像上关于原点O对称 x 的任意两点,PA平行于y轴 ,PA平行于x轴 , Δ PAP的
C 面积 S,则___.
ห้องสมุดไป่ตู้
y
A. S = 1 B. 1<S<2 C. S = 2 D. S>2
P(m,n)
o x
P/ A
1 5、正比例函数y=x与反比例函数y= x 的图象
反比例函数的图像与性质 课件
反比例函数图像的特点
探索反比例函数图像的形状和特征。
反比例函数的运算和应用
学习如何进行反比例函数的运算，并了解其在 实际问题中Байду номын сангаас应用。
参考资料
1 参考书目
- 反比例函数的进一步学习
2 参考链接
- 更多关于反比例函数的信息
反比例函数的图像与性质
欢迎来到本课件，我们将介绍反比例函数的图像和性质。了解什么是反比例 函数及其表示方法。
什么是反比例函数
定义
反比例函数是一种数学函数关系，当其中一个变量的值增大时，另一个变量的值相应地减小。
表示方法
通常用y=k/x来表示，其中k是非零实数。
反比例函数的图像
性质
反比例函数的图像呈现出一个下凹的曲线，且经过 第一象限和第三象限。
比例线性关系
反比例函数的图像与比例函数的图像之间存在线性 关系。
比例函数的应用
1
实际问题
反比例函数可以用于解决实际问题，例
参考例题
2
如时间和速度之间的关系。
我们将提供一些参考例题，以加深对反 比例函数的理解和应用。
总结
反比例函数的定义和性质
了解反比例函数是如何定义的以及其特点。
反比例函数的几何意义
图像特点
图像的特点是有两条渐近线，即x轴和y轴，它们分 别称为垂直渐近线和水平渐近线。
反比例函数的几何意义
1 越来越快地接近x轴和y轴
2 与比例函数的区别
随着x值的增大或减小，函数的值会越来越接 近y轴或x轴。
相比之下，比例函数的图像是通过原点的直 线。
反比例函数的运算
乘除法反转
当两个变量成反比例关系时，乘积保持不变。
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质（No.4）一、知识要点 1、反比例函数（1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，k≠0）的函数. 说明：①自变量x 在分母上，指数为1；②比例系数k ≠0；③自变量x 的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y ≠0；④反比例函数的其他形式：k xy =，1-⋅=x k y . （2）图象：反比例函数的图象是双曲线，也称为双曲线x ky =（k≠0）. （3）性质2、待定系数法求反比例函数的解析式——只需图象上一个点的坐标即可求出k 值.3、反比例函数的图象的对称性 （1）中心对称：对称中心是原点；（2）轴对称：对称轴是直线y=x 和直线y=－x.二、基础演练1、如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） A.反比例函数 B.正比例函数 C.一次函数 D.反比例或正比例函数2、若反比例函数y=(2m －1)22-m x 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.－1或1B.小于21的任意实数 C.－1 D.1 3、反比例函数xky =(k ＞0)的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2的大小关系为___________．第3题图 第5题图 第6题图4、若函数||1m xm y -=为反比例函数，则m=___________． 5、如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=xk k 122++的图象上．若点A 的坐标为（－2，－2），则k的值为（） A ．1 B ．－3 C ．4 D ．1或－36、如图是三个反比例函数的图象的分支，其中k 1，k 2，k 3的大小关系是_____________________．7、已知y=y 1＋y 2，而y 1与x ＋1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x=1时，y=2；x=0时，y=2，求y 与x 的函数关系式．8、如图所示，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y ＝xm的图象交于M 、N 两点． （1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x 为何值时一次函数的值大于反比例函数的值．二、能力提升9、下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）A ．B ．C ．D ． 10、（1）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是_____________．（2）直线y=kx （k ＜0）与双曲线y=x2-交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值为______． 11、如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行．点P （3a ，a ）是反比例函数y=xk（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为_____________．第11题图 第12题图 第13题图12、如图，点A 、B 是函数y=x 与y=x1的图象的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ACBD 的面积为_________． 13、如图，已知反比例函数)0(>=k xky 的图象经过直角△OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为12，则k 的值为_______________．14、如图，□AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线)0(>=k xky 经过A 、E 两点，若□AOBC 的面积为12，则k=_______．第14题图 第15题图 第16题图 第17题图15、如图，在函数)0(8>=x xy 的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1=________，S n =______________．（用含n 的代数式表示） 16、如图，双曲线x k y =经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足32=AB AO ，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= ．17、如图，已知点A 在反比例函数)0(<=x xky 上，作Rt △ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为8，则k=_______．18、如图，直线2-=kx y (k ＞0)与双曲线xky =在第一象限内的交点为R ，与x 轴的交点为P ，与y 轴的交点为Q ；作RM ⊥x 轴于点M ，若△OPQ 与△PRM 的面积是4：1，求k 的值．。
反比例函数的图象与性质-ppt课件
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
《反比例函数的图像和性质》优质课课件
反比例函数
------反比例函数的图象及性质
1.会画反例函数的图象。
2.能根据图象和表达式探索并理 解反比例函数的性质。
你还记得一次函数的图象与性质吗?
• 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,
称直线y=kx+b.
当k>0时,
当k<0时,
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b>0
b=0
o
A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.保持不变 D.无法确定
1.反比例函数
y
k x
(k
0)有下列性质.
2.反比例函数中y k (k 0)k的几何意义. x
3.在反比例函数中，如何比较函数值的 大小？
再见
（1）如果反比例函数y=k/x的图象过点（3，-4），
那么函数的图象应在（ ）
A.第一、三象限 B.第一、第二象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
（2）当x<0时,函数y=x与y=1/x在同 一坐标系中的图象在大致是( )
Y
Y
Y
Y
X A
X B
X C
X D
(3)反比例函数y=k/x(k≠0),当k>0时,函数的图 象的两个分支分别应在( ) A.第一、第三象限 B.第一、第二象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
x
b<0
• y随x的增大而增大•; y随x的增大而减小.
例1
画出反比例函数
y 4 x
的图像
描点法
描点法
注：1、取值的代表性 2、对称性
图形美观 计算简单
解：（1）列表：
第1节 反比例函数的图像和性质
第二十六章反比例函数第一节反比例函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲领1.反比例函数⑴定义：一般地，形如kyx=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数.注：①自变量x在分母上，指数为1.②比例系数k≠0.③自变量x的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y≠0.④反比例函数的其他形式：xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）.⑵图像：反比例函数的图像是双曲线，也称双曲线kyx=（k≠0）⑶性质（如下表所示）注：⑴y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件.⑵kyx=（k为常数，k≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.2.待定系数法求反比例函数的解析式只需图像上一个点的坐标即可求出k.3.反比例函数的图像的对称性⑴中心对称：对称中心是原点.⑵轴对称：对称轴是直线y=x和直线y=—x.4.k的几何意义（如下表所示）5.数学思想⑴数形结合；⑵分类讨论.本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义.三、全能突破基础演练1.如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ）A. 反比例函数B. 正比例函数C.一次函数D. 反比例或正比例函数 2.若反比例函数22(21)m y m -=-的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.-1或1B.小于12的任意实数 C.-1 D.不能确定 3.如图26-1-1所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数221k k y x++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，2）则k 的值为（ ）A. 1B.-3C.4D.1或-34.若函数1mm y x-=为反比例函数，则m =______.5.三个反比例函数y 1，y 2，y 3的图像的一部分如图26-1-2所示，则k 1，k 2，k 3的大小关系为______.6. 反比例函数2k y x-=的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法： ①常数k 的取值范围是k ＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图像上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2；④在函数图像的某一分支上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2； ⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形. ⑥一元二次方程x 2—（2k —1）x +k 2—1=0无实数根. 其中正确的是______（在横线上填出正确的序号）7.已知y =y 1+y 2，而y 1与x +1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x =1时，y =2；x =0时，y =2. 求y 与x 的函数关系式.3y图26-1-18.如图26-1-3所示，定义：若双曲线kyx=（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线kyx=（k＞0）的对径.⑴求双曲线1yx=的对径；⑵若双曲线kyx=（k＞0）的对径为k的值；⑶仿照上述定义，定义双曲线kyx=（k＜0）的对径.能力提升9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图26-1-4所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）10.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）BACD11.根据图26-1-5（a ）所示的程序，得到了y 与x 的函数图像如图26-1-5（b ），过点M 作PQ ∥x 轴交图像于点P 、Q ，连接OP 、OQ .则以下结论：①x ＜0时，2y x=；②△OPQ 的面积为定值；③x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ =2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°. 其中正确的结论是（ ）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤12.⑴正比例函数y =k 1x (k 1≠0)和反比例函数2k y x=(k 2≠0)的一个交点为（1，-2），则另一个交点为______.（2）直线y=ax （a ）0）与双曲线y=x3交于A ()11,y x 、B ()22,y x 两点，则122134y x y x -= .13.如图26-1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数()0>=k xky 的图像上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 .（a ）（b ）图26-1-5A14. 如图26-1-7所示，点A 、B 是函数y=x 与y=x1的图像的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为 .15. 如图26-1-8所示，已知双曲线()0>=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若△OBC 的面积为6，则k= .16. 如图26-1-9所示，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数()0,0>>=x k xky 的图像上.若点R 是该反比例函数图像上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S=m （m 为常数，且0<m<4）时，反比例函数解析式为 ，点R 的坐标是 （用含m 的代数式表示）.17. 如图26-1-10所示，在平行四边形AOBC 中，对角线交与点E ，双曲线()0>=k xky 经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k = .18. 如图26-1-11所示，△AOB 为等边三角形，点B 的坐标为（-2，0），过点C （-2，0）作直线l交AO 于D ，交AB 于E ，点E 在某反比例函数图像上，当△ADE 和△DCO 的面积相等时，那么该反比例函数解析式为 . 19.（1）两个反比例函数xy x y 63==、在第一象限内的图像如图26-1-12所示，点321P P P 、、、…、2013P 在反比例函数xy 6=的图像上，它们的横坐标分别是321x x x 、、、…、2013x ，纵坐标分别是1、3、5、…共2013个连续奇数，过点分别作y 轴的平行线与的图像交点依次是()111,y x Q 、()222,y x Q 、()333,y x Q 、…、()201320132013,y x Q ，则2013y = .（2）如图26-1-13所示，在函数()08>=x xy 的图像上有点321P P P 、、、…、n P 、1+n P ，点1P 的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点321P P P 、、、…、n P 、1+n P 分别作x 轴、y 轴的垂线段，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为321S S S 、、、…、n S ，则1S ，n S .（用含n 的代数式表示）20.（1）①如图26-1-14（a ）所示，一个正方形的一个顶点在函数()01>=x xy 的图像上，则点1P 的坐标是（ ， ）.②如图26-1-14（b ）所示，若有两个正方形的顶点1P 、2P 都在函数()01>=x xy 的图像上，则点2P 的坐标是（ ， ）.（2）如图26-1-14（c ）所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点在函数()04>=x xy 的图像上，斜边1OA 、21A A 都在x 轴上， ①求点的坐标；②求点2P 的坐标.（3）如图26-1-14（d ）所示，若有两个等边三角形的顶点都在函数()034>=x xy 的图像上，点1A 、1A 在x 轴上，直接写出点2P 的坐标.21.（1）探究：如图26-1-15（a ）所示，已知△ABC 和△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.（2）应用：①如图26-1-15（b ）所示，点M 、N 在反比例函数()0>=k xky 图像上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，试证明：MN ∥EF .②若①中其它条件不变，只改变点M 、N 的位置，如图26-1-15（c ）所示，请判断MN 与EF 是否平行，直接写出结论。
反比例函数几何意义课件
三角形面积
在某些特定条件下，如等底三角形，高与底边长 度成反比例关系时，面积保持恒定。
平行四边形面积
当平行四边形的相邻两边长度成反比例关系时， 其面积保持恒定。
长度问题
线段长度
在几何图形中，若两条线段长度 成反比例关系，则一条线段长度 增加时，另一条线段长度减少。
06
伸
重点知识点总结
01
反比例函数的定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$) 的函数称为反比
例函数。
02
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，且当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三
象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
03
解析
由于切线 m 与 x 轴平行，所以切线的斜率为 0。对反比 例函数求导，并令导数为 0，解出 x4。再代入原方程求 出 y4。
求法线方程类问题
题目一
解析
题目二
解析
已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 在点 R(x5, y5) 处的法线方 程为 n，求 n 的方程。
对反比例函数求导，得到在点 R 处的导数值即为切线的斜率 。法线的斜率是切线斜率的负 倒数。利用点斜式方程，求出 法线 n 的方程。
反比例函数与其他知识点的联系
反比例函数与一次函数、二次函数等知识点有密切联系。例如，反比例函数的图像可以与一次函数的图像相交或 相切，形成特定的几何图形。通过拓展延伸，可以让学生更好地掌握相关知识点之间的联系和区别。
THANKS.
关系
曲线与反比例函数图像交点
反比例函数的性质
2.你能再回顾一下反比例 函数的图象性质特征吗?
(1)形状
(2)位置
共有6个
图象是双曲线 当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内
当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内 (3)增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大 (4)变化趋势 双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与 坐标轴相交 (5)对称性 双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. 对称轴有两条:y=x和y=-x,对称中心是原点. (6)面积 从双曲线上任意一点向x、y轴分别作垂线段， 两条垂线段与两坐标轴所围成的长方形的面 积=︱k︱.
k y x
交
于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，
连结BM,若 S ABM =2，则k的值是（ A ）
A．2 B. －2
C. m
D. 4
对称性可知 S△AOM=S△BOM=1
3.如图，在反比例函数 的图象上，有点P1，P2， P3，P4，它们的横坐标依
2 y ( x 0) x y
解：设P（x0,y0) S矩形PQOM=OQ· PQ=∣x0 ∣ ﹒ ∣y0 ∣ = ∣ x0 ﹒ y0 ∣= ∣-4 ∣=4
P Q O M x
y
4 x
反比例函数中“k”的几何意义
从双曲线上任意一点向x、y 轴分别作垂线段，两条垂线 段与两坐标轴所围成的长方 形的面积=︱k︱.
k 设P(m, n)是 双 曲 线 (k 0)上 任 意 一 点 : y ,有 x (1)过P作x轴 的 垂 线垂 足 为 , 则 , A 1 1 1 SOAP OA AP | m | | n | | k | 2 2 2