浙教版一元二次方程知识点及习题讲课稿
一元二次方程课件浙教版数学八年级下册
1、有一棵树，刚移栽时，树高为2m，假设以后平均每年长
0.3m，几年后树高为5m？
设x年后树高为5m，可列出方程 0.3x+2=5
.
2、剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比 宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
解：设这块铁片的宽为x cm，那么它的长为（x+5) cm. 根据 题意，得 x（x+5)=150.
数不;同点: 未知数最高次数为2次
①0.3x+2=5
类比一元一次方程
共同点:(1)两边都是整 式;
不(同2)点只:含有一个未知 数; 未知数最高次数为1次
你能尝试归纳得到一元二次方程的定义吗?
方程 ② x2+5x=150和.③x2+3x=4的两边都是整式， 并且只含有一个未知数，并且未知数最高次数为2次 我们把这样的方程叫做一元二次方程.
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次 项系数、一次项系数和常数项：
方程 x2-4x-3=0 (x+2)(x -1)=6
一般形式
x2-4x-3=0
二次项 系数
1
一次项 系数
-4
x2+x-8=0 1
1
常数项
-3 -8
4-7x2=0
7x2-4=0
7
0
-4
3.将下列方程化为一般形式，并指出二次项系数， 一次项系数及常数项．
会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型. 情感、态度与价值观
进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻 性.
教学难点
重点：一元二次方程的概念；一元二次 方程的一般式的理解
难点：一元二次方程的一般式及根的概 念的运用。
浙教版一元二次方程知识点及习题教案资料
浙教版一元二次方程知识点及习题一元二次方程知识点及习题（一）1、认识一元二次方程：概念：只含有一个未知数，并且可以化为ax2 bx c 0 （a,b,c为常数，a 0）的整式方程叫一元二次方程。
构成一元二次方程的三个重要条件：①、方程必须是整式方程（分母不含未知数的方程）。
女口：x2 2 3 0是分式方程，所以x2 - 3 0不是一元二次方x x程。
②、只含有一个未知数。
③、未知数的最高次数是2次。
2 、一元二次方程的一般形式：一般形式：ax2 bx c 0 （ a 0），系数a,b,c中，a一定不能为0，b、c则可以为0，其中，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
任何一个一元二次方程经过整理（去括号、移项、合并同类项…）都可以化为一般形式。
例题：将方程（x 3）（3x 1） x2化成一元二次方程的一般形式.解：（x 3）（3x 1） x去括号，得：3x2 8x 3 x2移项、合并同类项，得：2x2 8x 3 0 （一般形式的等号右边一定等于0）3、一元二次方程的解法：（1）、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式：（x a）2 b（2）、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：a2 2ab b2（a b）2,将原方程配成（x a）2 b的形式，再用直接开方法求解.）⑶、公式法：（求根公式：x —- 4aC）2a⑷、分解因式法：（理论依据：a?b 0，则a 0或b 0;利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形:一元二次方程的定义例1、下列方程中是关于x的「元二次方程的是（）A 3 x122x 1 1 1B2 2x xC ax2bx c0D x22x x212若方程（m2)x|m|3mx 10是关于x的一元二次方程，则（）、A. m 2B.m=2 C . m 2 D.m 23、关于x的一元二次方程（a- 1）x2+ x+a2—1=0的一个根是0。
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》说课稿1
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程》是浙教版数学八年级下册第2章第1节的内容。
本节课的主要内容是一元二次方程的定义、解法以及应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
它不仅在数学领域有广泛的应用，而且在物理、化学等自然科学领域也有重要作用。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但是，对于一元二次方程的理解和应用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，通过实例引入一元二次方程，引导学生掌握一元二次方程的解法，并能够应用一元二次方程解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。
2.教学难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题引入一元二次方程，激发学生的兴趣。
2.自主学习：学生自主探究一元二次方程的定义和解法，教师给予引导和帮助。
3.课堂讲解：教师讲解一元二次方程的定义和解法，通过实例解释一元二次方程的应用。
4.课堂练习：学生进行课堂练习，巩固一元二次方程的解法。
5.小组讨论：学生分组讨论一元二次方程的应用问题，分享解题思路和方法。
6.总结提升：教师引导学生总结一元二次方程的解法和应用，强调重点和难点。
7.课后作业：学生完成课后作业，巩固所学内容。
浙教版数学八年级下册《一元二次方程》课件
3
≠
时，是一元二次方程．
2.关于 x 的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
且
当k ≠±1
时，是一元二次方程．,
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
同时满足
联立：联合建立
.
k2－1 = 0
2 (k－1) ≠ 0
.
3.
将一元二次方程（x- 5）（x+ 5）+(2x-1)2=0化为一般形式，
距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
A
1m
D
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
7m
( x + 6 )2 + 72 = 102.
B
6m
C xE
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端
距墙
6
m. 如果设梯子底端滑动 x m，
那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m.
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
4=0
x2 +12x-15 ＝0.
5x2
+10x-2.2＝0.
x2-x-56=0
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的方程
叫做一元二次方程.
学以致用：
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9
(√ )
③2x2-3x-1=0
(√ )
②2(x-1)=3x ( × )
④
1
2
梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，
也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
第二章一元二次方程的复习讲义浙教版八年级数学下册
一．一元二次方程的的概念 一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：①整式方程．②方程中只含有一个未知数．③方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠．其中，2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的根：如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根．1．判断下列方程是不是一元二次方程．⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵ 2413x =+ ⑶ 210x -=；⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2233x x +=-；⑺ 2320mx x -+=（m 为常数）2．将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2216x x -=；⑵ ()()3213x x x -+=- ⑶()()()3253115x x x x ++--=；类型：方程根的应用1．如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个根1和1-，那么a b c ++= ________，a b c -+=___________．2．已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=有一个根是0，则m 的值为_______．3．已知m 是方程210x x --=的一个根，求代数式2552006m m -+的值．二．一元二次方程的解法方法一 直接开平方法对于形如2x m =或()()200ax b m a m +=≠≥，的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解.用直接开平方法解关于x 的方程：八下第二章一元二次方程复习（1）()211x += （2） 3x 2-12=0 （3）(2x -1)2-7=0方法二 配方法配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化成形如()2ax b m +=的方程，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程用配方法解方程：1．220x x += 2. 2x 2-x -1=0 3. x 2=4√3x −11例1. 关于x 的二次三项式x 2+4x +9进行配方得x 2+4x +9=（x +m ）2+n（1）则m= ，n= ；（2）求x 为何值时，此二次三项式的值为7？方法三 因式分解法因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =；因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解．用因式分解法解方程：⑴x 2-4x=0 ⑵ 2y 2=7y ⑶ 4x 2-12x +9=0方法四 公式法公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a b c ，，的值；③代入24b ac -中计算其值，判断方程是否有实数根；④若240b ac -≥代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．用公式法解方程：1．2220x x --=； 2．231x =； 3．2312x x -=-；三．一元二次方程根的判别式设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．1.不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =-2．关于x 的方程()25860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．若关于y 的一元二次方程24334ky y y --=+有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．74k -≥且0k ≠B ．74k >-且0k ≠C ．74k -≥D ．74k >- 4．设a b ，是方程220100x x +-=的两个实数根（a b ≠），求22a a b ++的值.5. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +3k=0．（1）求证：不论k 取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC 的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC 的周长．四．一元二次方程的应用增长率问题的模式为：原来数量为A ，后来数量为B ，经过某两个时间单位，设增长率(降低率)为x . 则有关系式： 或. 。
一元二次方程课件(浙教版)
知识的升华
2.把下列方程化为一元二次方程的情势，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项：
方程
一般情势
二次项 一次项 常数 系 数系 数 项
3x2=5x-1 3x2－5x＋1＝0
3
(x+2)(x -
1)=6 1x2 ＋1x－8＝0
1
4-7x2=0
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7
2.1一元二次方程
交流合作
活动一
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(1)、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正 方形和长方形两部分，求正方形的边长。
设正方形的边长为x，可列出方程 X2+3x=4
x
x
x着竹竿
进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高
×2xx 3 2x2 1这个是吗
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化
为 ax2 bx c 0 的情势 我们把 ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般情势。
想一想
为什么要限制a≠0？ b,c可以为零吗?
a x 2 + b x + cc = 0 (a ≠ 0)
２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉
一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这
一问题列出方程．
2尺
解：设竹竿的长
为x尺,则门的宽
度为(x－4)尺,长 为 (x－2) 尺,依题
x
意得方程：
x－4
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
数学化 x－2
4尺
X2 + 3x =4 (x－4)2＋(x－2)2=x2
浙教版九年级下册数学第2章一元二次方程复习课件
因式分解法的一 般步骤:
一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
2(2x 1)2 9 0
直接开平方法：
1.用开平方法的条件是:缺少一次项的 一元二次方程，用开平方法比较方便; 2.形如:ax2+c=o (即没有一次项).
化成一般形式ax2 bx c 0 a 0
当b2 4ac 0时,x b b2 4ac
一元二次方程的应用
2a
已知方程x2+kx = - 3 的一个根是-1，则
k= 4 , 另一根为_x_=_-__3_
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a2 a 1 的值
为6
构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零（2）有一根为2。
方程两边都是整式
一元二次方程的定义 只含有一个未知数
ax²+bx+c=0
求知数的最高次数是2
（a0） 一
直接开平方法 化成x2 mm 0 x m
元
因 式 分解法 化成A• B 0 A 0或B 0
二 次
一元二次方程的解法
配
方
法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数
方 程
求 根 公式法
化成一般形式ax2 bx c 0 a 0
一元二次方程的一般式
ax2 bx c 0 （a≠0）
一元二次方程
3x²=1
2y(y-3)= -4
一般情势 二次项 一次项 常数 系数 系数 项
3x²-1=0 3
0 -1
2y2-6y+4=0 2 -6 4
1、若 m 2x2 m 2x 2 0 是关于x的一元二次
一元二次方程课件浙教版数学八年级下册
（2）由∣a ∣+1 =2，且Βιβλιοθήκη -1 ≠0，于某个字母的方程，
∴当a=-1时，原方程是一元二次方程.
再排除使二次项系数 等于0的字母的值．
课堂小结
定义：只含有一个未知数，并且未知数项的 最高次数是2的整式方程叫做二元一次方程.
一元二次方程
一般形式： ax2 + bx + c = 0
一元二次方程
一元二次方程的概念 如果一个方程通过整理可以使右边为0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程.
同样，我们可以将一元二次方程定义为：只含有一个未知数，并且未知数项的最高 次数是2的整式方程叫做二元一次方程.
一元：指只含有一个未知数 二次：未知数的最高次数为2
当堂练习
1.下列方程中是一元二次方程有
①4x2 9 0
①② . ③
② 4t 2 9t 0
③ 3x(1 x) 10 2(x 2)
3x2 x 6 0
④5x(x 1) 7 5x2 4
⑤ ax2 bx c 0
5x 11 0
指出一元二次方程的二次 项系数、一次项系数和常 数项.
能力提升
为何值时，下列方程为一元二次方程？
（1）ax2-x=2x2 （2）（a-1）x ∣a∣ +1 -2x-7=0.
【方法总结】 用一元二次方程的
解：（1）将方程式转化为一般形式，得（a-2）x2-x=0， 定 义 求 字母 的 值 的方 法：根据未知数的最
∴当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； 高次数等于2，列出关
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
结论：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
浙教版八年级下册2.2一元二次方程及解法培优讲义(含解析)
第1讲 一元二次方程及解法命题点一：利用一元二次方程的概念求值例1已知关于x 的方程(m ＋2)x |m |＋3x ＝mx ＋1是一元二次方程，则m 的值为 2 ． 例2方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －3)x －1＝0，(1)当m 取何值时，是一元二次方程？并求出此方程的解． (2)当m 取何值时，是一元一次方程？解：(1)若方程是一元二次方程，则m 2＋1＝2，∴m ＝±1. 显然m ＝－1时，m ＋1＝0，不符合题意．故m ＝1符合题意． 当m ＝1时，原方程可化简为2x 2－2x －1＝0， ∴x 1＝1＋32，x 2＝1－32.因此m ＝1，方程的两根为x 1＝1＋32，x 2＝1－32. (2)当m ＋1＝0时，解得m ＝－1，此时方程为－4x －1＝0； 当m 2＋1＝1时，解得m ＝0，此时方程为－2x －1＝0. ∴当m ＝－1或m ＝0时，方程为一元一次方程． 命题点二：用适当的方法解下列方程 例3解下列方程：(1)3(1－x )2＝27. (2)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2. (3)x 2－12x ＝9 964. (4)x 2－33x ＋6＝0.解：(1)由原方程，得(1－x )2＝3，∴1－x ＝3或1－x ＝－3， 解得x 1＝1－3，x 2＝1＋ 3.(2)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，将方程的左边因式分解，得[2(3x ＋1)－5(x －2)][2(3x ＋1)＋5(x －2)]＝0， 即(x ＋12)(11x －8)＝0.∴x ＋12＝0或11x －8＝0，解得x 1＝－12，x 2＝811. (3)方程两边都加上36，得x 2－12x ＋36＝9 964＋36，即(x －6)2＝10 000.∴x －6＝100或x －6＝－100，解得x 1＝106，x 2＝－94. (4)对于方程x 2－33x ＋6＝0，a ＝1，b ＝－33，c ＝6，b 2－4ac ＝(－33)2－4×1×6＝3， ∴x ＝－(－33)±32×1.∴x 1＝23，x 2＝ 3.【思路点拨】方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的常见变形： ①ax 2＋bx ＝－c ； ②ax 2＝－bx －c ； ③ax ＋c x＝－b (x ≠0). 例4解下列方程：(1)x 2－3x ＝3x ＋1. (2)x 2＋3＝32x . (3)2x 2＋(3m －n )x －2m 2＋3mn －n 2＝0. 解：(1)由原方程移项，得x 2－6x －1＝0，a ＝1，b ＝－6，c ＝－1，b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－1)＝40. ∴x ＝6±2102×1.∴x 1＝3＋10，x 2＝3－10.(2)由原方程移项，得x 2－32x ＋3＝0，a ＝1，b ＝－32，c ＝3，b 2－4ac ＝(－32)2－4×1×3＝6.∴x ＝32±62×1.x 1＝32＋62，x 2＝32－62.(3)由原方程移项，得2x 2＋(3m －n )x －(2m －n )(m －n )＝0. 因式分解，得(x ＋2m －n )(2x ＋n －m )＝0， ∴x 1＝n －2m ，x 2＝m －n 2.命题点三：利用一元二次方程求代数式的值 例5若a 2－3a ＋1＝0，则a 2＋1a2的值为 7 ．例6若y 2＋4y ＋2＝0，则y 2y 4－2y 2＋4＝ 110．命题点四：利用公共根求值例7一元二次方程x2－2x－54＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋94＝0的根，求k的值．解：x2－2x－54＝0，移项，得x2－2x＝54.配方，得x2－2x＋1＝94，即(x－1)2＝94.开方，得x－1＝±32，解得x1＝52，x2＝－12.Δ＝(k＋2)2－9≥0，即k≥1或k≤－5.①根据题意，把x＝52代入x2－(k＋2)x＋94＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫522－52(k＋2)＋9 4＝0，解得k＝75；②把x＝－12代入x2－(k＋2)x＋94＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫－122＋12(k＋2)＋94＝0，解得k＝－7.∵75＞1，－7＜－5，∴两个k均符合题意．综上所述，k的值为－7或7 5 .例8已知a是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0及3x2－(6k－1)x＋8＝0的公共解，则a＝ 1 ，k＝ 2 ．命题点五：利用判别式解决问题例9已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根．(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？解：(1)∵该方程是关于x的一元二次方程，∴m≠0，Δ＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.∵不论m为何值时，(m－2)2≥0，∴Δ≥0.∴方程总有实数根．(2)解方程，得x＝m＋2±(m－2)2m，x1＝2m，x2＝1.∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2. 当m＝2时，x1＝x2＝1不合题意，∴m ＝1.例10已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根．(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m )(3－m )＋7m －5的值(先化简，再求值)．解：(1)∵该方程是关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0， ∴Δ＝(2m ＋1)2－4m (m ＋1)＝1>0. ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)∵x ＝0是此方程的一个根，∴把x ＝0代入方程中，得到m (m ＋1)＝0. ∴(2m －1)2＋(3＋m )(3－m )＋7m －5 ＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5 ＝3m 2＋3m ＋5 ＝3m (m ＋1)＋5 ＝5.命题点六：解特殊方程例11(1)方程x 2－||x －3－3＝0，则此方程的根是 x ＝－3或2 ．(2)解方程：(x 2－2x )2＋(x 2－2x )－2＝0. 解：因式分解，得(x 2－2x －1)(x 2－2x ＋2)＝0. ∵x 2－2x ＋2始终大于0， ∴x 2－2x －1＝0.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(3)解方程：x 2－2x ＋2xx 2－2＝3.解：设a ＝x 2－2x ，则原式为a ＋2a ＝3.解a ＋2a＝3，得a 1＝1，a 2＝2.当a ＝1时，x 1＝2，x 2＝－1； 当a ＝2时，x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.(4)如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为( C ) A ．2或－1 B ．0或1 C ．2 D.－1 (5)解方程：2x 2－15x －2x 2－15x ＋1 998＝－18. 解：令t ＝2x 2－15x ＋1 998，则t 2－t －1 980＝0.因式分解，得(t －45)(t ＋44)＝0，解得t 1＝45，t 2＝－44(舍去)． ∴2x 2－15x －27＝0.因式分解，得(2x ＋3)(x －9)＝0， 解得x 1＝－32，x 2＝9.例12(1)解方程：(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0.解：原式＝(x 2－2)(x 2－5)＝0，x 2＝2或x 2＝5，∴x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5. (2)解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2－4x －2x ＝3.解：设a ＝2x －1x，则原式＝a 2－2a ＝3，解得a 1＝3，a 2＝－1. 当a ＝3时，x ＝－1； 当a ＝－1时，x ＝13.∴x 1＝－1，x 2＝13.(3)方程x 2－2 012||x ＋2 013＝0的所有实数解的和为( B ) A ．－2 012 B ．0 C ．2 012 D ．2 013 (4)方程(x 2＋x －1)x ＋3＝1的所有整数解的个数是( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．51 (5)解方程：3x －5＋36－3x ＝1. 解：令t ＝3x －5，得1－t ＝31－t 2. 由原式，得t (t －1)(t －3)＝0，解得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝3. ∴x 1＝53，x 2＝2，x 3＝143.课后练习1．我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3，现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0，它的解是( D )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝－3 2．(2018·包头)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为( B )A ．6B ．5C ．4 D.33．设方程(x －a )(x －b )－x ＝0的两个根为c ，d ，则方程(x －c )(x －d )＋x ＝0的根为( A )A ．a ，bB ．－a ，－bC ．c ，dD ．－c ，－d4．已知三个关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，bx 2＋cx ＋a ＝0，cx 2＋ax ＋b ＝0恰有一个公共实数根，则a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab的值为( D )A ．0B ．1C ．2D ．35．若x ＝0是一元二次方程(m －2)x 2＋3x ＋m 2＋2m －8＝0的解，则m 的值为 －4 ． 6．若方程x 2－8x ＋12＝0的两个根是等腰三角形两条边的长，则该三角形的底边长为 2 ． 7．若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别为m ＋1与2m －4，则ba＝ 4 ．8．已知a ，b 是方程x 2－x －3＝0的两个根，则代数式2a 3＋b 2＋3a 2－11a －b ＋5的值为 23 ． 9．设a ，b 是整数，方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是4－23，则a ＋b ＝ 0 ． 10．已知关于x 的方程x 2－(m ＋2)x ＋2m －1＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以这两个根为边长的直角三角形的周长．解：(1)∵Δ＝(m ＋2)2－4(2m －1)＝(m －2)2＋4，∴在实数范围内，m 无论取何值，(m －2)2＋4≥4，即Δ≥4. ∴关于x 的方程x 2－(m ＋2)x ＋2m －1＝0恒有两个不相等的实数根． (2)根据题意，得12－1×(m ＋2)＋2m －1＝0，解得m＝2，则方程的另一个根为3.①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10，则该直角三角形的周长为1＋3＋10＝4＋10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1和3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22，则该直角三角形的周长为1＋3＋22＝4＋2 2.11．已知实数m满足m2－3m＋1＝0，求代数式m2＋19m2＋2的值．解：∵m2－3m＋1＝0，∴m2＝3m－1.∴m2＋19m2＋2＝3m－1＋193m－1＋2＝3m－1＋193m＋1＝9m2－1＋193m＋1＝9m2＋183m＋1＝9(3m－1)＋183m＋1＝9(3m＋1) 3m＋1＝9.12．已知关于x的方程x2－x＋3m＝0，x2＋x＋m＝0(m≠0)，若前一个方程中有一个根是后一个方程的某个根的3倍，求实数m的值．解：设α是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则3α是方程x2－x＋3m＝0的一个根．∴α2＋α＋m＝0，①9α2－3α＋3m＝0，即3α2－α＋m＝0.②②－①，得2α2－2α＝0，解得α＝0或1.当α＝0时，02＋0＋m＝0，m＝0(舍去)；当α＝1时，12＋1＋m＝0，m＝－2.故实数m的值为－2.13．(自主招生模拟题)满足(2－m)m2－m－2＝1的所有实数m的和为( A ) A．3 B．4 C．5 D．614．(自主招生真题)解方程：方程2x2＋5x－2－2x2＋5x－9＝1的解为x1＝2，x2＝－92．15．(自主招生真题)设k ≥0，解方程x 3＋2kx 2＋k 2x ＋9k ＋27＝0.解：原方程化为xk 2＋(2x 2＋9)k ＋x 3＋27＝0.解得k ＝－x －3或k ＝－x 2－3x ＋9x .∴x 1＝－k －3，x 2＝3－k ＋(k －9)(k ＋3)2，x 3＝3－k －(k －9)(k ＋3)2.。
一元二次方程(1)课件浙教版八年级下册数学
2、已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0得： 32+3a+a=0
a 9 4
例题学习
一元二次方程
例2、已知一元二次方程
2x2
bx c 0
的两个根为
x1
5 2
和 x2 3 ，求这个方程.
解：将
x1
5和 2
x2
3代入方程
一种 思想
类比思想
后续还会学习什么呢？ 解
应
法
用
新知引入
2.1一元二次方程
下列方程中哪些是熟悉的方程？分别是什么方程？
什么是一元一次方程？ 只有一个未知数 未知数的最高次数是一次 方程的两边都是整式
什么是二元一次方程？ 有两个未知数 未知数的最高次数是一次 方程的两边都是整式
新知探究
2.1一元二次方程
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(1)把面积为4m2的一张纸分割成如图的正方形和长方形 两部分，求正方形的边长.
(1) 9x2=5-4x.
(2) (2-x)(3x+4) = 3.
解：
(1)移项，整理，得9x2+4x-5 = 0.
这个方程的二次项系数是9 ，一次项系数是4 ，常数项是-5.
(2) 方程左边多项式相乘，得-3x2 +2x+8 = 3 ， 移项，整理，得-3x2 +2x+ 5 = 0. 这个方程的二次项系数是-3 ，一次项系数是2 ，常数项是5.
解：因为关于x的一元二次方程 (a－2)x2＋3x＋a2－4＝0的常数项为0，
a 2 0 a2 4 0
浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》说课稿2
浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》说课稿2一. 教材分析《一元二次方程的解法》是浙教版数学八年级下册第2章第2节的内容。
本节课主要介绍一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法、配方法等。
这部分内容是整个初中数学的重要知识点，也是学生解决实际问题的重要工具。
在本节课中，学生将学习如何根据一元二次方程的特点选择合适的解法，从而解决问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程，他们可能还存在着一些模糊的认识，解题方法也不够熟练。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生理解一元二次方程的解法，并通过练习让学生熟练掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的解法，并能够熟练运用公式法、因式分解法、配方法等解一元二次方程。
2.过程与方法目标：学生通过自主学习、合作交流，培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与学习，增强对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法。
2.教学难点：如何根据一元二次方程的特点选择合适的解法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、板书等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题引入一元二次方程，激发学生的兴趣。
2.自主学习：学生自主探究一元二次方程的解法，总结解题步骤。
3.案例分析：通过几个典型的一元二次方程案例，引导学生理解不同解法的应用。
4.合作交流：学生分组讨论，分享解题方法，互相学习。
5.练习巩固：学生进行课堂练习，加深对一元二次方程解法的理解。
6.总结提升：教师引导学生总结一元二次方程解法的方法和技巧。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够引导学生理解和记忆一元二次方程的解法。
主要包括以下几个部分：1.一元二次方程的定义和标准形式。
2.公式法、因式分解法、配方法的解题步骤。
新浙教版初二下数学第二章《一元二次方程》各节知识点及典型例题
新浙教版初二下数学第二章《一元二次方程》各节知识点及典型例题第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。
2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中ax2是，a是，bx是，b是，c 是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1 B．0 C．-1 D．-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b的值（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. x2= -1B. 2x（x-1）+1=2x2C. x2+3x=2xD. ax2+bx+c-02、已知关于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2-x，当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b --的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。
一元二次方程和解的判断以及解法的复习课件(浙教版)
4、当k取什么值时，已知关于x的方程： （1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3） 方程无实根；
解：△=
(1).当△>0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即 (2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 (3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即
ax2+bx+c=0 ====>
====>因式分解法 配方法(a=1) 公式法
一元二次方程的应用
基础巩固
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
√ ２、x2－2x=8
√
1
3、x2+ ＝１
x
５、x２＝x
× ４、x２＝y+１
×
√ ６、x３－２x２＝１
×
７、３x２－５x＝２ √ ８、x（x－２）＝１+x2 ×
2、求出b2 4ac的值
3、代入求根公式 :
x b
b2 4ac 2a
(如果 b2 4ac 0)
4、写出方程x1，x2 的值
一化、二求、三代、四解
例： （1）2x ²-5x=-1
（2）(x+1)(2x－1)=5
巩固提高
解下列方程：
(1)9x2 10 x 4 0
(2)4x2 9 x2x 3
基础巩固
下面方程中你能找出哪些是一元二次方程？ 1) 2x-1=3-x 2) 2 +x=1
x
3) x-3y=-2 4) x2-2x-3=0
基础巩固
1、把方程(x-2)2-x=7x+6化为一般式是 x2-12x-2=0. 它的二次项系数是_____,一次项是_____。
浙教版数学八年级下册一元二次方程的解法课件
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，
其中答对的是（ C
）
A、若x2=4，则x=2
B、若3x2=6x，则x=2
C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
x2 3x 2
D、若
的值为零，则x 2
x 2
引例：给下列方程选择较简便的方法
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
例3. 解方程 ① (2m+3)2=2(4m+7)
② 2(x-2)2+5(x-2)-3=0
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没
有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号 并整理为一般情势再选取合理的方法。
变1： 2(x-2)2+5(2-x)-3=0
变2： 2(2-x)2+5(2-x)-3=0
（1）变方程③为： 2(x-2)2+5(x-2) =3 或 2(2-x)2-5(2-x)-3=0
巩固练习：
① (y+ 2)(y- 2 )=2(2y-3)
② (3-t)2+t2=9 ③ 3t(t+2)=2(t+2)
④ (x+101)2-10(x+101)+9=0
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2 = (x－5)2
1、填空：
① x2-3x+1=0
② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ x2 +9=6x ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0
⑧ 2x2+4x-1=0
合适运用开平方法
② 3x2-1=0
⑥ 5(m+2)2=8
浙教版数学八年级下册第2章《一元二次方程》复习课件
数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一 次项,最后是常数项。
判断下列方程是一元二次方程吗?
(1) x2 5x 150√
2 (2) x2 5 3
(3) (x 3)2 7 √ (4) x2 2 y 3 0
(5) 3x2 5x 0 √
用开平方法解下列方程:
(1)3x2－48=0;
(2)(x－5)2=9
(3)(2x－3)2=7
3、先配方再开平方法
对于形如x2+ax+b=0的方程,不能
因式分解。用配方法
加上一次项系数一半的平方
(1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3)x2+13=12x
步骤？
一元二次方程的解法： （1）因式分解法 若A·B=0，则A=0或B=0
做一做：
（1） 27x2 18x 3
（2）(x 2)2 2x 4
（3）4(x 3)2 x(x 3) 0
（4） (7x1)2 4x2 （5）x2 2x 3 0
2、直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a , x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
此类方程一定有实数根么？
必须符合什么条件？
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2 4ac＜时0 ，方程没有实数根.
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ,
2
如果 b2 4ac 0 ,
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
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一元二次方程知识点及习题（一）
1、认识一元二次方程：
概念：只含有一个未知数，并且可以化为20ax bx c ++= (,,a b c 为常数，0a ≠)的整式方程叫一元二次方程。
构成一元二次方程的三个重要条件：
①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。
如：2230x x --=是分式方程，所以2230x x
--=不是一元二次方程。
②、只含有一个未知数。
③、未知数的最高次数是2次。
2、一元二次方程的一般形式：
一般形式：20ax bx c ++= (0a ≠)，系数,,a b c 中，a 一定不能为0，b 、c 则可以为0， 其中，2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。
例题：将方程2(3)(31)x x x -+=化成一元二次方程的一般形式. 解： 2(3)(31)x x x -+=
去括号，得： 22383x x x --=
移项、合并同类项，得： 22830x x --= (一般形式的等号右边一定等于0)
3、一元二次方程的解法：
(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()x a b +=
(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原
方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）
(3)、公式法：（求根公式：x =） (4)、分解因式法：（理论依据：0a b •=，则0a =或0b =；利用提公因式、
运用
公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。
）
一：一元二次方程的定义
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x
2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A ．2±=m
B ．m=2
C ．2-≠m
D ．2±≠m
3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。
则a 的值为
( )
A 、 1
B 、－l
C 、 1 或－1
D 、 12
4、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
5、关于的方程是一元二次方程的条件是（ ）
A 、≠1
B 、≠－2
C 、≠1且≠－2
D 、≠1或≠－2 二：一元二次方程的解
1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。
5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）
A 1-
B 1
C c b -
D a - 课堂练习：
1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为
2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根．
3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
x 0)2(2
2=++-+b ax x a a a a a a a a
4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
三：一元二次方程的求解方法
一、直接开平方法 ();0912
=--x 二、配方法
．
练习
1、如果二次三项式16)122++-x m x （
是一个完全平方式，那么m 的值是_______________
2、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
4、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
三、公式法
1、0822=--x x
2、01522=+-x x
四、因式分解法
1、x x 22=
2、0)32()1(22=--+x x
3、0862=+-x x
五、整体法
例：()()
=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。
变式1：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。
变式2：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。
变式3：已知5)3)(1(2222=-+++y x y x ，则22y x +的值等于 。
四：一元二次方程中的代换思想（降次）
典例分析：
1、已知0232=+-x x
，求代数式()1
1123-+--x x x 的值。
2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。
3、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .
4、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。
五：根的判别式
1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
2、关于X 的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A 、＞9
B 、＜9且≠0
C 、＜9
D 、≤9且≠0
3、关于x 的一元二次方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是
( )
A.10≠≥且m m
B.0≥m
C.1≠m
D.1>m
4、对于任意实数m ，关于x 的方程一定（ ）
A. 有两个正的实数根
B. 有两个负的实数根
C. 有一个正实数根、一个负实数根
D. 没有实数根
0162=+-x kx k k k k k k k
课堂练习：
1、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线
x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4）
，并说明理由。
2、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是 。
3、已知关于x 的方程06)2(2=-++-k x k x 有两个相等的正实数根，则k 的值是（ ）
A. B. C. 2或 D.
4、已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且关于x 的一元二次方程()()()04
322=---++c a x c a x b c 有两个相等的实数根，那么这个三角形是 。
5、如果关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程()()02252=++--m x m x m 的实根个数是 。
6、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x
(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。
7.用简便方法计算．
（1）－645×（－448）；
（2）（－64）×（－81）；
（3）1452－242；
（4）3c
2ab 5c 2÷325b 2a
8.已知25x ＝115，求x 的值．
9.
已知A B ==求11
11A B +--的值。
10.
已知1
1a a +=-+221
a a +的值。
11.已知2310x x -+=
12.已知()11039
322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
13.已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242
(1)4a
a a ++⋅-的值。