平面向量的基本概念完整ppt课件
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《平面向量》课件
向量积性质
向量积是向量与向 量之间的一种运算， 其结果是一个向量
向量积的方向与两 个向量的方向有关， 与它们的大小无关
向量积的大小与两 个向量的大小有关， 与它们的方向无关
向量积的运算满足 交换律和结合律， 但不满足分配律
向量积运算律
交换律：a×b=b×a 结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 向量积与标量乘法的乘法分配律：(k×a)×b=k×(a×b)
向量积几何意义
向量积是向量与向量之间的一种运算，其结果是一个向量 向量积的方向垂直于两个向量所在的平面 向量积的大小等于两个向量的长度乘以它们之间的夹角的余弦值 向量积的应用广泛，如物理中的力矩、电磁学中的磁场强度等
混合积定义
向量混合积：也称为三重积，是一种向量运算，用于计算三个向量的混合积。 混合积公式：A×(B×C) = (A·C)B - (A·B)C，其中A、B、C为向量。 混合积性质：混合积满足交换律、结合律和分配律。 混合积应用：在物理学、工程学等领域有广泛应用，如计算力矩、角速度等。
线性组合
向量线性组合：将两个或多个向量相加或相减 线性组合的性质：线性组合的结果仍然是向量 线性组合的应用：求解线性方程组、向量空间等 线性组合的表示：用向量的坐标表示线性组合的结果
线性相关
向量线性相关：两个向量线性相关，当且仅当其中一个向量是另一个向量的倍数
线性无关：两个向量线性无关，当且仅当它们不能通过线性组合得到
数量积为零表示两 个向量垂直
向量积定义
向量积：也称为外积或叉积，是一种线性代数运算
向量积的定义：两个向量A和B的向量积是一个向量C，其方向垂直于A和B所在的平面，其大小 等于A和B的长度乘以它们之间的夹角的正弦值
平面向量课件
04
平面向量的应用
向量在几何中的应用
向量在平面几何中的应用广泛，如证明平行 、垂直、等角等性质。
向量可以表示空间中的点、线、面等基本元 素，有助于解决空间几何问题。
利用向量的数量积和向量积，可以计算角度 、距离等几何量。
向量在物理中的应用
向量在物理中常用于描述物体的 运动状态和相互作用。
力的合成与分解：通过向量的加 减法，可以将多个力合成一个力 ，也可以将一个力分解成多个力
2. 向量减法的定义：同向、反向、共线 等条件下的两个向量的差，以线段为工 具进行求解。
详细描述
1. 向量加法的定义：同向、反向、共线 等条件下的两个向量的和，以线段为工 具进行求解。
例题二：向量的数乘与数量积
详细描述
2. 向量数量积的定义：两 个向量的数量积等于它们 对应分量乘积的和，结果
为一个标量。
平面向量课件
目录
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量的运算 • 平面向量的坐标表示 • 平面向量的应用 • 平面向量的扩展知识 • 平面向量综合例题
01
平面向量基本概念
向量的定义
既有大小又有方向的量称为向量
向量的表示方法：用有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量 的方向
向量的坐标运算
对于两个向量(x1，y1)和(x2，y2)，它们的加法、减法、数乘和数量积等运算均可以通过对应坐标的 加法、减法、数乘和数量积来实现。
向量的模
向量的模的定义
向量(x，y)的模（或长度）可以用 sqrt(x²+y²) 来计算。
向量的模的性质
向量的模是非负实数，且对于任 意两个向量(x1，y1)和(x2，y2) ，满足|(x1，y1)| ≤ |(x2，y2)| 当 且仅当 x1 ≤ x2 且 y1 ≤ y2。
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
THANKS
感谢观看
数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
平面向量的概念课件(共34张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
（1）向量的几何表示:向量可以用有向线段来表示, 有向线段的
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；
平面向量概念PPT教学课件
分别写出图中与
相等的向量和共线
的向量。
答： DE、EF、FD
A
与DE 相等的向量：BF、FA
与FD相等的向量：AE
F
E
与EF 相等的向量：DB B
D
C
与DE 共线的向量：BF、FA
与FD共线的向量：AE、CE
与EF 共线的向量：DB、DC
<>
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退出
回顾与总结
一、向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量
5.一般要测出六段位移x1､x2､x3､x4､x5､x6. 6.根据测量结果,利用“实验原理”中给出的公式算出加速度
a1､a2､a3的值,(注意T=0.1 s)求出a1､a2､a3的平均值,就是小 车做匀变速直线运动的加速度.
双 基 精 练 自主探究·基础备考
1.当纸带与运动物体连接时,打点计时器在纸带上打出点痕.下 列关于纸带上点痕的说法中,正确的是( )
B（终点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度：|AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
<>返回ຫໍສະໝຸດ 退出2）向量的表示法：
yB
①几何表示法：用有向线段表示向量
有向线段的方向表示向量的方向
有向线段的长度表示向量的大小. 0
②字母表示：
a
A x
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度即
vn
xn
xn1 2T
,
求出打各个计数点时纸带的瞬时速度,再作出
v-t图象,图线的斜率即为做匀变速直线运动物体的加速度.
三､实验器材 电火花计时器或电磁打点计时器､一端附有滑轮的长木板､小
数学人教A版(2019)必修二6.1平面向量的概念(共21张ppt)
人教A版高一数学必修第二册第六单元
《6.1 平面向量的概念》
人教A版高中数学必修二第六章第一节
核心素养目标
•
1.语言建构与运用：使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基
本概念，能正确进行平面向量的儿何表示。
•
2.思维发展与提升：让学生经历类比方法学习向量及其儿何表示的过程，体验
对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
（2）与向量 的模一定相等的向量有________个，
，，，，
分别是________________________；
2
（3）与向量相等的向量有________个，
，
分别是_______________________．
任务探究十五
课堂小结
概念：把有大小又有方向的量统称为向量
①有向线段三要素：起点、方向、长度。
②表示有向线段时，起点在前，终点在后。
AB
线段AB的长度也叫做
有向线段 AB 的长度，
记作|
|
AB
任务探究六
向量的表示
➢ 通常用有向线段来表示向量
➢ 有向线段的长度| AB |表示向量的大小
➢ 有向线段 AB 的方向表示向量的方向
注：印刷用黑体a，b，c，…
书写时用 a、
问题引入
1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什
么？
2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方
向的量，你还能举出一些这样的量吗？
3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫
做矢量。
在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的
量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫
数量。
任务探究一
《6.1 平面向量的概念》
人教A版高中数学必修二第六章第一节
核心素养目标
•
1.语言建构与运用：使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基
本概念，能正确进行平面向量的儿何表示。
•
2.思维发展与提升：让学生经历类比方法学习向量及其儿何表示的过程，体验
对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
（2）与向量 的模一定相等的向量有________个，
，，，，
分别是________________________；
2
（3）与向量相等的向量有________个，
，
分别是_______________________．
任务探究十五
课堂小结
概念：把有大小又有方向的量统称为向量
①有向线段三要素：起点、方向、长度。
②表示有向线段时，起点在前，终点在后。
AB
线段AB的长度也叫做
有向线段 AB 的长度，
记作|
|
AB
任务探究六
向量的表示
➢ 通常用有向线段来表示向量
➢ 有向线段的长度| AB |表示向量的大小
➢ 有向线段 AB 的方向表示向量的方向
注：印刷用黑体a，b，c，…
书写时用 a、
问题引入
1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什
么？
2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方
向的量，你还能举出一些这样的量吗？
3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫
做矢量。
在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的
量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫
数量。
任务探究一
人教版高中数学必修2《平面向量的概念》PPT课件
同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有(
)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案 B
解析 ①正确;②由|a|=|b|得a与b的模相等,但不确定方向,故②错误;③错误;
④正确.
反思感悟 明确向量及其相关概念的联系与区别
(1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.
要点笔记向量共线包括四种情况:
方向相同,模相等;方向相同,模不等;
方向相反,模相等;方向相反,模不等.
微练习
下列说法正确的是(
)
A.所有单位向量都是相等向量
B.与实数类似,对于两个向量a,b,有a=b,a>b,a<b三种关系
C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D.若两个向量是向量共线,则向量所在的直线可以平行,也可以重合
, , , , , , , ,共 8 个.
延伸探究(1)本例中,与向量 同向且长度为 2 2的向量有几个?
(2)本例中,如图所示,与向量相等的向量有多少个?
解 (1)与向量 同向且长度为 2 2的向量占与向量 平行且长度为 2 2的
向量中的一半,共 4 个.
C.有向线段由方向和长度两个要素确定
D.有向线段和有向线段的长度相等
(2)下列说法正确的是(
)
A.向量的模是一个正实数
B.零向量没有方向
C.单位向量的模等于1个单位长度
D.零向量就是实数0
答案 (1)D
(2)C
解析(1)有向线段和有向线段的长度都是线段 MN 的长度,故 D 项正
确.(2)向量的模是一个非负实数;零向量的方向是任意的,但它不是实数 0,故
人教版高中数学新教材必修第二册课件：6.1 平面向量的概念 (共21张PPT)
A.一条线段
B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点
D.一个单位圆
讲
课
人
：
邢
启 强
13
练习巩固
4.已知非零向量 a // b ,若非零向量 c // a ，
则 c 与 b 必定 平行
.
5. 2． 已知 a 、 b 是两非零向量,且 a 与b 不共线,
若非零向量
3．
c
与a
共线,则 c
与b
必定
不共线
.
讲
课
人
：
邢
：
邢
启 强
7
练习巩固
一、判断
温馨提示： 1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别 2.不要忽略零向量的特殊性及有关的两个规定
uur uur （1）若AB / /CD，则AB / /CD；
√
uuur uur
（2）若AB / /CD，则AB / /CD；
×
rr r r
rr
（ 3 ） a与 b共线，b 与 c 共线，则 a与 c也共线；
6.1平面向量的概念
新课引入
质量
力
速度
(1)
(2)
(3)
问题：请指出与位移具有同样特征的量。
力、速度也是有大小和方向的量
讲
课
人
：
邢
启 强
2
学习新知 向量的定义：
数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.
1、下列各个量中是向量的有 D F G H
.
A.密度 E.面积
B.体积 F.浮力
C.温度 G.位移
D.重力 H.速度
2.有人说:由于海平面以上的高度（海拔）用 正数表示,海平面以下的高度用负数表示,所以 海拔也是向量.你同意他的看法吗？为什么？
2024版中职数学基础模块下册平面向量的概念课件
中职数学基础模块下册平面向 量的概念课件
2024/1/30
1
2024/1/30
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
2
2024/1/30
01
平面向量基本概念
3
向量定义及表示方法
2024/1/30
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
18
数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
2024/1/30
19
投影概念及计算方法
2024/1/30
坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
2024/1/30
11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
2024/1/30
三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向
2024/1/30
1
2024/1/30
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
2
2024/1/30
01
平面向量基本概念
3
向量定义及表示方法
2024/1/30
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
18
数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
2024/1/30
19
投影概念及计算方法
2024/1/30
坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
2024/1/30
11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
2024/1/30
三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向
新教材人教A版必修第二册 6.1 平面向量的概念 课件(43张)
(2)向量的表示：
→ |AB|
长度
| 自学导引 |
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)向量就是有向线段．
()
(2)如果|A→B|>|C→D|，那么A→B>C→D.
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学 必修第二册 配人版A版
向量的有关概念
第六章 平面向量及其应用
名称
定义
向量的长度 向量A→B的大小称为向量A→B的长度(或称为模)，记作|A→B|
零向量 长度为 0 的向量，记作 0
单位向量 长度等于___1_个__单__位__长__度____的向量
平行向量 方向_相__同__或__相__反___的非零向量，向量 a 与 b 平行，记作 (共线向量) a∥b，规定：零向量与任意向量_平__行___ 相等向量 长度__相__等__且方向_相__同___的向量；向量 a 与 b 相等，记
作 a＝b
| 自学导引 |
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
()
(3)力、速度和质量都是向量．
()
| 自学导引 |
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
【答案】(1)× (2)× (3)× 【解析】(1)向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向 线段． (2)向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． (3)质量不是向量．
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
6.1平面向量的概念课件共45张PPT
即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
平面向量ppt
平面向量的基本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对该平面内的任一向量a， 有且只有一对实数λ、μ，使a= λ*e1+ μ*e2。
相关练习 1．若a =0，则对任一向量b ，有 a · b=0. 2．若a ≠0，则对任一非零向量b , 有a · b≠0． 错（当a⊥b时， a · b=0） 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 错 （当a和b都不为零，且a⊥b时， a · b=0） 4．若a · b=0，则a · b中至少有 一个为0. 错
3、数乘运算： 实数λ与向量a的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘，记作λa， |λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方 向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的 方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa= 0。 设λ、μ是实数，那么：（1） (λμ)a= λ(μa)（2）(λ + μ)a= λa+ μa（3）λ(a± b) = λa± λb （4）(－λ)a=－(λa) = λ(－a)。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量 都可以用一对实数唯一表示。 注意：平面向量的坐标与点的坐标 不一样，平面向量的坐标是相对的。而 点的坐若一向量的起点在原点，例如该 向量为（1，2）那么该向量上的所有点 都可以用（a，2a）表示。即，若一向量 的起点在原点，那么该向量上的任意一 点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比 例关系是一样的。
a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长 度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐 标的乘积的和。即：若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2 向量的数量积的性质 (1)a·a=∣a∣^2≥0 (2)a·b=b·a (3)k(ab)=(ka)b=a(kb)
平面向量的概念-优质课件
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少钱？”“加糖，加盐，加醋，加辣椒，记住是变态辣的！”……这人口味是有多重？夏桦看着在各个小吃摊穿梭的慕容凌娢，根本就没有 阻止的机会。如果任由她乱逛，肯定是要完的。“喂，慕容凌娢啊，你的这些钱是从哪里来的？”抓住时机，夏桦赶忙拦住了从自己身边飘 过的慕容凌娢。“当然是我自己赚得了，我这几天省吃俭用，就是为了来这儿大吃一场。”“要不这样吧……”慕容凌娢无辜饥渴的小眼神 让夏桦不知道怎么拒绝，“等我们从皇宫回来，我请你吃东西。什么都可以……”“真的！太好了。那话等什么，赶快走啊，回来完了可就 没什么好吃的了。”慕容凌娢拉着他就往皇宫的方向跑去，生怕晚了这些小吃摊会打烊。说好的尊老爱幼呢……(古风一言)点朱砂，笔书华 ，戎马难忘镜中花。第043章 满满的套路富丽堂皇的寝宫之中。“草民夏桦叩见陛下，吾皇万岁万岁万万岁。”夏桦在下跪叩首时，慕容凌 娢也跟着做，学的有模有样，实则是在偷眼观瞧宫殿内的布局。实在是太华丽了，简直无法用语言来形容，到处都的金灿灿的，无处不散发 着高贵的气息。和这里比起来，晴穿会的总部还有醉影楼简直就是贫民窟了。目光在寝宫中转了圈，慕容凌娢又斜眼偷瞧面带威严的皇帝。 没有我想象的那么老啊，难不成这皇帝十岁就有孩儿了？遗传基因果然强大，怪不到韩哲轩和他的皇兄都长那么帅哦，韩哲轩就算了，他顶 多是个逗比。“夏先生免礼平身。”皇上还算平和的伸手示意，慕容凌娢便跟着夏桦一起站起来了。“谢陛下。”夏桦起身拿过自己的木箱 子，从里面拿出一个更小的金属盒子，低着头恭恭敬敬地递给了皇帝身边的太监。“这是草民集日月之精华，采用多种神药炼制而成的仙丹 。只要陛下吃了，必能强筋壮骨，延年益寿。长期服用还可以长生不老……”“是啊，陛下。这仙丹既是集日月之精华，定能使您长生不老 。”旁边传药的太监细着声音，马上开始阿谀奉承，“老奴祝陛下万寿无疆，福如东海，寿与天齐。”现在的情况让慕容凌娢想到了一句话 “皇帝不急太监急”。艾玛，这都是什么鬼，满满的全是套路啊。夏桦什么时候开始兼职炼药了，我以后是不是该叫他夏半仙了？话说这太 监不会也是晴穿会的人吧？怎么看都是在帮夏桦啊。不过这皇帝也太傻了吧，这种乱七八糟的东西都敢吃，实在是佩服他的勇气啊……“好 ！夏先生为我大晴的江山社稷做出如此大的贡献，朕必定要重商。”他一招手，就有两人端着托盘走了进来，“既然夏先生不肯入朝为官， 那朕就把这二百两黄金赏给你，也算朕和这天下百姓对你的感谢了。”“谢陛下。”这是夏桦第二次下跪，慕容凌娢也只得跟着一起跪。“ 陛下大恩大德，草民永世难忘。只是钱财乃是身外之物，恕草
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精选
4．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
如： a
平行向量又叫做共线向量
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行。
C
o
A
B
l
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？
各向量的终点与直线l之间有什么关系？ 精选
精选
三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。
记作 |AB| 或 | a |
精选
两个特殊向量： 2、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 规定： 0方向任意。 3、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
讨论：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 它们的终点构成的集合是什么图形？
力、速度也是有大小和方向的量
精选
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
精选
三、向量的表示
几何表示 向量常用一条有向线段来表示. i : 有向线段的长度表示向量的大小. ii: 箭头所指的方向表示向量的方向.
字母表示
向量可以用有向线段的起点和终点字母表 示, 如：AB 在印刷时,常用粗黑体小写字母 a , b , c 来表示; 手写时则可用带箭头的小写字 母 a , b , c 来表示.
D C
1m
北
西
A
B东
南
精选
思考题.如图,以1 3方格中的格点为起点
和终点的所有向量中,有多少种大小不同的 模?有多少种不同的方向?
精选
精选
精选
（ 1 ） 若 A B / / C D ， 则 A u u B r / / C u u D r ；√
（ 2 ） 若 u A u B u r / / u C u D r ， 则 A B / / C D ；× （ 3 ） a r 与 b r 共 线 ， b r 与 c r 共 线 ， 则 a r 与 c r 也 共 线 ； ×
13你分0秒准钟后备后你好你将了将接吗接受？受挑！挑 向量 战！
向量的概念
向量的关系
向表零 量示向 的方量 定法 义
单 向平 相 相 位 量行 等 反 向 （向 向 量 共量 量
线 ）
精选
概念辨析
判断题
温馨提示： 1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别 2.不要忽略零向量的特殊性及有关的两个规定
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b 规定：0 = 0
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
精选
知识建构
精选
精选
相等向量相反向量
精选
向量
(第一课时)
精选
新华网东京3月30日电：
日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能落入日本境 内的朝鲜发射物。
不考虑其他因素，导弹击中 拦截目标取决于导弹运行的 路程还是位移？
目标
位移是有大小和方向的量
精选
质量
力
速度
(1)
(2)
(3)
问题：请指出与位移具有同样特征的量。
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
精选2.某人从A点出发向东来自了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10 2米到达C点，到达C点后又改变方
向向西走了10米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
阅读教材 尝试练习
填空 1、既有
，又有
2、向量的模是指
3、零向量是指
4、
的两个
也叫做
。
5、相等向量是指
6、相反向量是指
的量叫做向量。
。
；单位向量是指
。
向量叫做互相平行的向量，
的向量。
的向量，也叫做
。
精选
精选
精选
精选
带着问题奔向课堂
精选
Questioning
精选
向量与数量的区别
精选
向量用什么来表示？
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( )
A．0 B. 1
D
C
C. 2
D. 3
C
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
当b ≠ 0时成立。
A
B
精选
B
A
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法
是错误的.
精选
下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b |a|=|b|
（4）两个向量a、b相等的充要条件是 a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；
×
（5）平行的向量，若起点不同，则终点一定不同 ×
（6）共线向量A一定在B同一直线上；
×
C
精选
概念辨析
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
2.向量的模是一个正实数。（ ）
3.若|a|>|b| ，则a > b
注:向量不能比较大小
❖ 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量， ❖ 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，
4．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
如： a
平行向量又叫做共线向量
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行。
C
o
A
B
l
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？
各向量的终点与直线l之间有什么关系？ 精选
精选
三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。
记作 |AB| 或 | a |
精选
两个特殊向量： 2、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 规定： 0方向任意。 3、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
讨论：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 它们的终点构成的集合是什么图形？
力、速度也是有大小和方向的量
精选
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
精选
三、向量的表示
几何表示 向量常用一条有向线段来表示. i : 有向线段的长度表示向量的大小. ii: 箭头所指的方向表示向量的方向.
字母表示
向量可以用有向线段的起点和终点字母表 示, 如：AB 在印刷时,常用粗黑体小写字母 a , b , c 来表示; 手写时则可用带箭头的小写字 母 a , b , c 来表示.
D C
1m
北
西
A
B东
南
精选
思考题.如图,以1 3方格中的格点为起点
和终点的所有向量中,有多少种大小不同的 模?有多少种不同的方向?
精选
精选
精选
（ 1 ） 若 A B / / C D ， 则 A u u B r / / C u u D r ；√
（ 2 ） 若 u A u B u r / / u C u D r ， 则 A B / / C D ；× （ 3 ） a r 与 b r 共 线 ， b r 与 c r 共 线 ， 则 a r 与 c r 也 共 线 ； ×
13你分0秒准钟后备后你好你将了将接吗接受？受挑！挑 向量 战！
向量的概念
向量的关系
向表零 量示向 的方量 定法 义
单 向平 相 相 位 量行 等 反 向 （向 向 量 共量 量
线 ）
精选
概念辨析
判断题
温馨提示： 1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别 2.不要忽略零向量的特殊性及有关的两个规定
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b 规定：0 = 0
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
精选
知识建构
精选
精选
相等向量相反向量
精选
向量
(第一课时)
精选
新华网东京3月30日电：
日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能落入日本境 内的朝鲜发射物。
不考虑其他因素，导弹击中 拦截目标取决于导弹运行的 路程还是位移？
目标
位移是有大小和方向的量
精选
质量
力
速度
(1)
(2)
(3)
问题：请指出与位移具有同样特征的量。
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
精选2.某人从A点出发向东来自了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10 2米到达C点，到达C点后又改变方
向向西走了10米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
阅读教材 尝试练习
填空 1、既有
，又有
2、向量的模是指
3、零向量是指
4、
的两个
也叫做
。
5、相等向量是指
6、相反向量是指
的量叫做向量。
。
；单位向量是指
。
向量叫做互相平行的向量，
的向量。
的向量，也叫做
。
精选
精选
精选
精选
带着问题奔向课堂
精选
Questioning
精选
向量与数量的区别
精选
向量用什么来表示？
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( )
A．0 B. 1
D
C
C. 2
D. 3
C
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
当b ≠ 0时成立。
A
B
精选
B
A
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法
是错误的.
精选
下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b |a|=|b|
（4）两个向量a、b相等的充要条件是 a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；
×
（5）平行的向量，若起点不同，则终点一定不同 ×
（6）共线向量A一定在B同一直线上；
×
C
精选
概念辨析
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
2.向量的模是一个正实数。（ ）
3.若|a|>|b| ，则a > b
注:向量不能比较大小
❖ 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量， ❖ 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，