第8章 阻抗与导纳B
阻抗与导纳
X L = ωL = 314 × 254 × 10 = 79.8Ω 1 1 XC = = = 39.8Ω −6 ωC 314 × 80 × 10
−3
Z = R + j( X L − X C ) = 30 + j(79.8 - 39.8)
= ( 30 + j40) = 50∠53.1o Ω
ɺ U 220∠20o ɺ I= = = 4.4∠ − 33.1o A Z 50 ∠53o
1 Z= Y
或
1 Y= Z
1、极坐标形式Z、Y之间的等效互换 、极坐标形式 、 之间的等效互换 形式 1 Z= 1 Y 即： ϕ 若 Z = Z ∠ϕ 则 Z∠ = Y∠ ′ ϕ ϕ = −ϕ′ 2、直角坐标形式Z、Y间的等效互换 、直角坐标形式 、 间的等效互换 形式 (1) 已知 Z=R+jX
1 则 Y = =G+ jB ： Z
2
2
Z
ϕ
X
R
阻抗三角形
ɺ U ∵ = Z ɺ I ɺ U ɺ ∴ ɺ = ZI =( R+jX) I
•
+
•
I
U
_
N
ɺ ɺ ɺ ɺ = RI +jXI =UR+UX
UR 与 I 同相
•
•
π UX 与 I 相差 2
•
•
•
I
+
U
U UX ϕ UR
•
•
UX I
•
•
R
jX
•
U
+ ɺ _ UR +
ϕ
UR
_
ɺ UX _
2
+ U – +U – ɺ1 ɺ + U – ɺ
电路分析第8章 阻抗与导纳
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
复频域阻抗和复频域导纳
单口网络的复频域阻抗Z(s)，定义为端口 处电压象函数与电流象函数之比。单口网 络的复频域阻抗与复频域导纳互为例数， 即
1 Z (s) Y ( s)
复频域阻抗和复频域导纳源自一般来说，对于一个不包含独立电源的由电 阻器、电容器、电感器、耦合电感器、受控 源等电路元件组成并且处于零状态的线性定 常单口网络，其复频域等效网络（见图a） 可用一个复频域阻抗 Z(s),或用一个复频域 导纳Y(s)来等效（见图b），此时有
V(s)=Z(s)I(s) I(s)=Y(s)V(s)
复频域阻抗和复频域导纳
I ( s)
N
I ( s)
V ( s)
(a)
V ( s)
(b)
Z (s) 或 Y ( s)
单口网络的复频域阻抗与复频域导纳
复频域阻抗和复频域导纳
复频域阻抗和复频域导纳
对于一个不含独立电源并处于零状态的单口 网络，端口电压象函数与端口电流象函数之 间具有某种特定的关系。 单口网络的复频域导纳，定义为端口处电 流的象函数与电压的象函数之比，即
I ( s) Y (s) V ( s)
复频域阻抗和复频域导纳
与此相应，对于同一单口网络的复频域阻抗 为 V ( s)
电路原理第五版邱关源教案3Word版
电气与信息工程系教案第 3 次课授课时间 2017.9.4（教案续页）Z — 复阻抗；|Z| —复阻抗的模；z —阻抗角； R —电阻(阻抗的实部)；X —电抗(阻抗的虚部)。
转换关系：阻抗三角形 3.导纳对同一二端网络:当无源网络内为单个元件时有：4. RLC 并联电路由KCL ：zZ X j R C 1j L j R I U Z ϕ∠=+=ω-ω+== R X arctanφ X R |Z | z 22⎪⎩⎪⎨⎧=+=S φ|Y |UIY y ∠==定义导纳Z 1Y , Y 1Z ==GR 1U I Y === LB j L j 1U I Y =ω== CB jC j U I Y =ω==Y —复导纳；|Y| —复导纳的模；y —导纳角；G —电导(导纳的实部)；B —电纳(导纳的虚部)转换关系：导纳三角形例题: 对RL 串联电路作如下两次测量：（1）端口加90V 直流电压（）时，输入电流为3A ；（2）端口加的正弦电压90V 时，输入电流为1.8A 。
求R和L 的值。
C L R I I I I ++= U C j UL 1j U G ω+ω-= U )C j L 1j G ( ω+ω-=U )B B j(G [C L ++= U )B j G ( +=yY B j G L1j C j G U I Y ϕ∠=+=ω-ω+== G B arctanφ B G |Y | y 22⎪⎩⎪⎨⎧=+=0=ωHz f 50=题解8－13图解：由题意画电路如题解8－13图所示。
（1）当为90V 直流电压时，电感L 看作短路，则电阻（2）当为90V 交流电压时，设电流，根据相量法，有故根据，解得 例题：已知图示电路。
求和。
解：设为参考相量。
与同相位，超前s uΩ===30390i u R s su A I I 08.10∠=∠=8.18.130⨯+⨯=+=L L S jX I jX I R U 22308.190LS XU +⨯==Ω=-=4030)8.190(22L X L X L ω=Hf X X L L L127.0100402====ππωA I I 1021==I S U SU 1I S U 2I，相量图如题解8－16图所示。
阻抗与导纳的概念与计算
阻抗与导纳的概念与计算阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电路中常用的两个概念，用来描述电路元件对电流和电压的响应关系。
阻抗表示电路元件对电流的阻碍程度，而导纳表示电路元件对电流的容许程度。
在电气工程领域，深入理解和准确计算阻抗和导纳对于分析和设计电路至关重要。
一、阻抗的概念与计算阻抗是交流电路中的重要概念，它是电路元件对电流的阻碍程度的度量。
阻抗的单位是欧姆（Ω），用Z表示。
1. 奥姆定律根据奥姆定律可以得出电阻元件的阻抗计算公式，阻抗Z等于电阻R。
即Z = R。
2. 电感元件的阻抗计算电感元件对交流电具有阻抗，其计算公式为Z = jωL，其中j是虚数单位，ω是角频率，L是电感元件的感值。
3. 电容元件的阻抗计算电容元件对交流电也具有阻抗，其计算公式为Z = 1/(jωC)，其中C是电容元件的电容值。
二、导纳的概念与计算导纳是电路元件对电流的容许程度的度量，它是电导的倒数。
导纳的单位是西门子（S），用Y表示。
1. 电导与导纳的关系电导（Conductance）是电路元件对电流的容许程度的度量，是导纳的实部（实数部分）。
导纳Y等于电导G。
即Y = G。
2. 电阻元件的导纳计算电阻元件的导纳计算公式为Y = 1/R，其中R为电阻值。
3. 电感元件的导纳计算电感元件的导纳计算公式为Y = jωL，其中j是虚数单位，ω是角频率，L是电感元件的感值。
4. 电容元件的导纳计算电容元件的导纳计算公式为Y = jωC，其中j是虚数单位，ω是角频率，C是电容元件的电容值。
三、阻抗与导纳之间的关系阻抗和导纳是互为倒数的概念，两者之间满足以下关系：Z = 1/Y 或 Y = 1/Z。
根据该关系可以将阻抗和导纳在复平面上进行变换。
阻抗和导纳在复平面上的表示分别为实部和虚部。
通过这种变换，可以将电路中的阻抗转换为导纳，或者将导纳转换为阻抗，从而便于分析和计算复杂的交流电路。
阻抗和导纳的计算是电气工程中重要的基础知识，它们在电路分析、电力系统和电信系统等方面有广泛的应用。
《电路分析基础》第八章：阻抗和导纳
学 YR = 1 / R = G
YC = jω C
YL =
1 =−j 1
jω L
ωL
容纳: BC = ωC
感纳:
BL
=
−1
ωL
信息学院电子系
14
2 单口网络的阻抗和导纳
无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相
中量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳
输入阻抗：Z
=
U I
(在关联参考方向下)
信息学院电子系
3
8.3 振幅相量
中1. 正弦稳态电路 国 ¾ 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征: 振幅，角频率ω，初相角θ
海 + uR - + uL - iL 洋 iS
u
uS
uL
uR
o
ωt
大 ¾ 正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 学 ¾ 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅
Imcos(ωt+θi) =－CωUmsin(ωt+θu)
¾ 相量关系 =CωUmcos(ωt+θu+90º)
Re(Ime jωt ) = Re( jωCUme jωt )
Im = jωCUm
I = jωCU
Im∠θi =ωCUm∠(θu +90°)
电容 Im=ωCUm
I=ωCU
+ ... + + ... +
Z1n In Z2n In
= US11 = US22
⎪...
Zii：网孔i自阻抗
Zkj(k≠j)：网孔k与j的互阻抗
导纳角和阻抗角关系
导纳角和阻抗角关系
导纳角和阻抗角是在电路分析中经常涉及的概念。
导纳角是指电路中的元件或者整个电路的导纳所对应的角度，而阻抗角则是指电路中的元件或者整个电路的阻抗所对应的角度。
这两个角度之间存在着一定的关系。
在交流电路中，元件的导纳可以用复数形式表示，即导纳=1/阻抗，而阻抗可以表示为复数形式。
当我们将一个复数表示的导纳或者阻抗转换为极坐标形式时，其幅值对应于电路中的电阻或者导纳的大小，而相角对应于导纳角或者阻抗角。
具体来说，假设一个元件的导纳为Y=|Y|∠θ，对应的阻抗为
Z=|Z|∠φ，那么导纳角θ与阻抗角φ之间的关系可以表示为φ= -θ，也就是说，导纳角和阻抗角之间存在着180度的相位差。
这个关系可以通过复数的运算规则来证明。
当我们将导纳和阻抗表示为复数形式时，导纳可以表示为Y= G + jB，其中G为导纳的实部，B为导纳的虚部。
而阻抗可以表示为Z= R + jX，其中R为阻抗的实部，X为阻抗的虚部。
根据复数的运算规则，导纳与阻抗的关系可以表示为Z=1/Y，即R + jX = 1/(G + jB)。
通过复数的倒
数运算，我们可以得到R = G/(G^2 + B^2)，X = -B/(G^2 + B^2)。
可以看出，阻抗的实部与导纳的实部G有关，而阻抗的虚部与导纳
的虚部B有关，而且存在着负号的关系，这也就是导致导纳角和阻
抗角之间存在180度相位差的原因。
因此，导纳角和阻抗角之间的关系可以总结为，阻抗角等于导
纳角的相反数加上180度。
这个关系在电路分析和设计中具有一定
的重要性，特别是在谐振电路、阻抗匹配等方面的应用中。
阻抗和导纳
2006-1-1
！
3
阻抗和导纳(3)
İ
+
V
N0
−
İR
+
V
jX
−
İ + V G jB
−
İ + 或V
−
Z=R+jX
İ + 或V
−
Y=G+jB
图5.11 二端无源网络及其串联与并联等效电路
2006-1-1
！
4
阻抗和导纳(4)
在串联等效电路中，若X > 0，即ΨZ > 0，则电路具有电感特性，呈现感性；若X < 0，即ΨZ < 0，则电路具有电容特性，呈现容性。在并联等效电路中，若B > 0，即ΨY > 0，则电路具有电容特性，呈现容性；若B < 0，即ΨY < 0，则电 路具有电感特性，呈现感性。
例 电路如图5.10(a)所示。请问其等效阻抗和等效导纳。
解 由于已知端电流为、端电压为，则
Z
V I
16
245 40
4
245 4 j4()
Y
I V
40 16 245
2 45 1 j 1 (S)
8
88
2006-1-1
！
5
阻抗和导纳(5)
并可按照图5.11画出其等效电路，且可以看出，该电路呈感性。 当然，该例题也可直接根据电路的相量模型，写出等效阻抗为
这里，G为电Y导分VI量、VI B为(Ψ电i Ψ纳v分) 量G、 jΨB Y 为Y 导纳Y 角。
(5.27)
可以看出，对于同一网络有 |Z| = 1/|Y| 和 ΨZ = −ΨY的关系存在。根据式(5.26)和 式(5.27)可知，一个二端无源网络可以等效为一个电阻与一个电抗串联或一个 电导与一个电纳并联的形式，如图5.11所示。
最新高等院校电工学电子学课程第九章《阻抗和导纳》
U R 2
2 245
100
7.07
45 V
U L 2
U L
U
U C
U R
I
U
UX
UR
U
U
2 R
U
2 X
电压三角形
.
IR
+
.
+ U R-
U
-
U+X jX
-
Z R j X Z
|Z| X
R 阻抗三角形
U U R U X U
U
UX
UR
电压三角形
二、导纳
1、定义
Y
1 Z
I
U
I U
具体分析一下 R-L-C 串联电路
Z=R+j( L-1/ C)=|Z|∠ L > 1/ C ，X>0， >0，电压领先电流，电路呈感性； L<1/ C ，X<0， <0，电压落后电流，电路呈容性； L=1/ C ，X=0， =0，电压与电流同相，电路呈电阻性。
画相量图：选电流为参考向量( L > 1/ C )
jB
º
º
Z R jX Z φZ Y G jB Y φY
条件：Z ( jw)Y ( jw) 1 即 | Y ( jw) || Z ( jw) | 1 , φY φZ 0
Y
1 Z
1 R jX
R jX R2 X 2
G
jB
G
R R2X 2
,
B
阻抗与导纳
电路中阻抗和导纳阻抗（Z单位欧姆）：Z=R+jX Z=U/I∠φu-φi=｜Z｜∠φZ 等效电路由两个电路元件串联表示，见p221 图9-2（b）阻抗=等效电阻+j等效电抗X>0为感性阻抗，R串LX<0为容性阻抗，R串CX=0为阻性X=ωLeq (X>0 φZ>0) ｜X｜=1/ωCeq (X<0 φZ<0 )导纳（Y单位西门子）：Y=G+jB Y=I/U∠φi-φu=｜Y｜∠φY 等效电路由两个电路元件并联表示，见p222图9-3（b）导纳=等效电导+j等效电纳B>0为容性导纳，R并CB<0为感性电纳，R并LB=0为阻性B=ωCeq (B>0 φY>0) ｜B｜=1/ ωLeq (B<0 φY<0)感抗：XL=ωL 容抗: Xc=-1/ωCZY=1 ｜Z｜｜Y｜=1 φZ+φY=0Y=G+jB=1/(R+jX)=(R-jX)/(R^2+X^2)=R/( R^2+X^2)-jX/( R^2+X^2)∴G=R/( R^2+X^2)=R/｜Z｜^2B=-X/( R^2+X^2)=-X/｜Z｜^2串联等效电路就变换为相应的并联等效电路同理,Z=R+jX=1/( G+jB)=(G-jB)/(G^2+B^2)=G/(G^2+B^2)-jB/(G^2+B^2)∴R= G/(G^2+B^2)=G/｜Y｜^2X=-B(G^2+B^2)=-B/｜Y｜^2并联等效电路就变换为相应的串联等效电路P224 例9-1要掌握，尤其是书下部UL(加点),UC（加点）的算法：UL（加点）=jωLI（加点）=j60*4∠-53.13°=240∠90-53.13°=240∠36.87°UC(加点)=(-j/ωC) I（加点）=-j40*4∠-53.13°=160∠-53.13°-90°=160∠-143.13°Y也可这样计算：Y=1/Z=1/(15+j20)=(15-j20)/15^2+20^2P225 上面注意思考下做做，怕考试出题：并联用Y做好些，串联用Z做关注P243 T1(d)的做法。
电路基础原理交流电路中的阻抗与导纳的概念
电路基础原理交流电路中的阻抗与导纳的概念电路基础原理: 交流电路中的阻抗与导纳的概念电路是现代科技中的核心元素之一，而了解电路的基础原理对于深入理解和应用电路至关重要。
在交流电路中，阻抗和导纳是两个非常重要的概念，它们在电路中发挥着关键的作用。
阻抗是指电路对交流电流的阻碍程度，它跟电路元件中的电阻、电感和电容等参数密切相关。
与阻抗相对应的是直流电路中的电阻，电阻是指电路对直流电流的阻碍程度。
在交流电路中，电流是随时间变化的，因此电路中的元件对电流的阻碍程度也会发生变化。
阻抗的概念可以通过复数形式来表示。
在交流电路中，电流和电压都是时域信号，可以分解为振幅和相位两个部分。
而阻抗则由振幅和相位两个方面构成。
阻抗的振幅部分被称为电阻，用R表示；而相位部分则由电感和电容等元件构成，用X表示。
在电路中，振幅和相位的角度差决定了电流和电压之间的相位关系。
导纳是阻抗的逆数，表示电路对交流电流的导通能力。
导纳的概念也可以用复数形式来表示。
在电路中，导纳的振幅部分被称为电导，用G表示；而相位部分则由电纳构成，用B表示。
电导表示电路中电流导通的能力，而电纳表示电流透过电容和电感等元件时所消耗的能力。
阻抗和导纳在电路中的应用非常广泛。
通过对电路元件的阻抗进行分析，可以得到电流和电压之间的关系，进而计算出电路中的功率、能量等参数。
对于交流电路中的滤波器、放大器和变压器等电路元件来说，阻抗和导纳的概念更是不可或缺的。
在实际应用中，我们经常用到的封装元件，如电阻、电容和电感等，都具有一定的阻抗和导纳。
通过合理选择这些元件的阻抗和导纳，可以实现对电路的精确控制，达到我们想要的电流和电压特性。
此外，阻抗和导纳的概念也被广泛应用于通信系统和电力系统中。
在通信系统中，主要利用导纳的概念来分析传输线路的性能和信号传输的质量。
而在电力系统中，对于交流输电和电力负荷等问题，阻抗和导纳的概念则是必不可少的。
在总结中，了解电路基础原理对于我们理解和应用电路是至关重要的。
阻抗与导纳圆图
三、导纳圆图
( z ') Z ( z ') 1 Z ( z ') 1 '( z ') Y ( z ') 1 Y ( z ') 1
电压反射系数 与阻抗的关系
电流反射系数 与导纳的关系
两个公式在形式上是完全相同的，所以导纳 圆图与阻抗圆图在图形坐标的数值、符号和曲线 形状上是相同的，可以把阻抗圆图当作导纳圆图 来使用，但是图上各点所代表的物理含义要作不 同的解释。
1 ( z ') 1 ( z ')
Z0
Z L jZ 0 ta n z ' Z 0 jZ L ta n z '
上述公式往往涉及复数运算，比较麻烦，使 用不方便。利用史密斯圆图（Smith Chart）可 简便求解，并且容易看出准确结果的趋向，而其 作图误差在工程允许范围内。
注释：先进行归一化， 然后再确定电长度 dmin/ 、dmax/ 。 波节 波腹
RL
j b
X
L
dmax
a
dmin
注意：顺时针旋转
四、应用举例（续）
例3、已知 Z 和距离l，求 Z 。
L in
j b
X
R in RL
L
a
X
in
l /
四、应用举例（续）
例4、已知l /和 Z ，求 Y 。
两个公式在形式上是完全相同的所以导纳圆图与阻抗圆图在图形坐标的数值符号和曲线形状上是相同的可以把阻抗圆图当作导纳圆图来使用但是图上各点所代表的物理含义要作不同的解释
§2.6 阻抗与导纳圆图
( z ') Z ( z ') Z 0 Z ( z ') Z 0 2e
相量法---阻抗与导纳
-
XC
1
C
103
1 1106
103
iC
+
C uC
-
•
•
UC jX C IC 103 90o 0.0160o
10 30o V
例 试求电路中uC ，已知C=1 μF，电流源
iS 10 2 cos(103t 60)mA
解：用相量法求解：
is
+
-
•
UC 10 30o V
iC
+
C uC
B
(a)
解：（a）ZAB 2 2 j 2.8345
YAB
1 22
j
0.354 45S
例 求图中各支路阻抗ZAB及导纳YAB，图中给 出了元件阻抗。
3Ω
A
-j4Ω
B
(b)
Z Z1Z2 Z1 Z2
（b）Z AB
3 (4 j) 3 4 j
12 j 3 4 j
2.4 36.9
YAB
1 Z AB
RLC串联
Z R jL j 1 C
R j(L 1 ) C
•
•
•
•
U UR ULUC
U UR UL UC
+ I
R
+
UR
-
U jωL U+L
-
1 -j
ωC
U--+C
(a)
U L U
U L
U R
I
U R
I
U C
(b)
UU C(c) Nhomakorabea由于参数的不同，可能出现(b)和 (c) 的相量关系， (b)图表示支路为感性支路， (c)图表示支路为容 性支路。
阻抗与导纳
阻抗与导纳
阻抗与导纳
1. 阻抗: 无源二端网络端口上
电压相量与电流相量之比。
用极坐标来表示阻抗，可以写成
其中：z：阻抗模，φZ：阻抗角，R：电阻（分量〕，X：电抗（分量〕
阻抗模、电阻分量、电抗分量和阻抗角的关系可以用一个三角形来表示
当无源二端网络中同时含有电阻和电抗元件时，端口电压电流的相位差（阻抗角φZ）在-90°与+90°之间变化。
φZ>0：电压导前电流：N0为感性。
φZ<0：电压落后电流：N0为容性。
2．导纳：无源二端网络端口上电流相量与电压相量之比。
其中：G：电导分量，B：电纳分量
3．阻抗与导纳的关系
同一对端口
阻抗与导纳串并联
阻抗串联时：
阻抗并联时：
基本元件的阻抗与导纳
电阻元件的阻抗和导
纳为纯电阻，电感和
电容元件的阻抗和导
纳分别为纯电抗和纯
电纳。
电路的相量模型
将电路中电流，电压用相量表示；将基本元
件用它们的阻抗或导纳来标出，得到的电路
模型称为相量模型。
1、电感符号：L ，单位：h（亨特）感抗单位：Ω（欧姆）
2、电容符号：C ，单位：f（法拉）容抗单位：Ω（欧姆）
3、阻抗符号：Z，单位：Ω（欧姆）
4、导纳符号：Y，单位：s（西门子）。
2023大学_电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)课后答案下载
2023电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)课后答案下载电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)内容简介下册第三篇动态电路的相量分析法和s域分析法第八章阻抗和导纳8—1 变换方法的概念8—2 复数8—3 振幅相量8—4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式8—5 三种基本电路元件VCR的相量形式8—6 VCR相量形式的统一——阻抗和导纳的引入8—7 弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比——相量模型的引入8—8 正弦稳态混联电路的分析8—9 相量模型的网孔分析和节点分析8—10 相量模型的等效8—11 有效值有效值相量8—12 两类特殊问题相量图法习题第九章正弦稳态功率和能量三相电路 9—1 基本概念9—2 电阻的平均功率9—3 电感、电容的平均储能9—4 单口网络的`平均功率9—5 单口网络的无功功率9—6 复功率复功率守恒9—7 弦稳态最大功率传递定理9—8 三相电路习题第十章频率响应多频正弦稳态电路 10一1 基本概念10—2 再论阻抗和导纳10—3 正弦稳态网络函数10—4 正弦稳态的叠加10—5 平均功率的叠加10—6 R1C电路的谐振习题第十一章耦合电感和理想变压器11—1 基本概念11—2 耦合电感的VCR耦合系数11—3 空心变压器电路的分析反映阻抗11—4 耦合电感的去耦等效电路11—5 理想变压器的VCR11—6 理想变压器的阻抗变换性质11—7 理想变压器的实现11—8 铁心变压器的模型习题第十二章拉普拉斯变换在电路分析中的应用 12一1 拉普拉斯变换及其几个基本性质12—2 反拉普拉斯变换——赫维赛德展开定理 12—3 零状态分析12—4 网络函数和冲激响应12—5 线性时不变电路的叠加公式习题附录A 复习、检查用题附录B 复习大纲部分习题答案(下册)索引结束语电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)目录《电路分析基础》(下高等学校教材)第4版下册讲授动态电路的相量分析法和s域分析法。
具体内容有：阻抗和导纳、正弦稳态功率和能量/三相电路、频率响应/多频正弦稳态电路、耦合电感和理想变压器、拉普拉斯变换在电路分析中的应用。
电路第4章-2(阻抗与导纳)
& I
R1
i2
R2
Xc
+
& U
R1
& I1
R2
& I2
XL
–
jXL - jX C
相量模型
解:
& U = 220∠10o V
1 1 1 = = = 0.2∠ − 53o S Y1 = R1 + jX L 3 + j4 5∠53o
1 1 1 Y2 = = = = 0.1∠37 o S R2 − jX C 8 − j6 10∠ − 37 o
U Um | Z |= = I Im
ϕ z = θu − θi
电压滞后电流， ϕ z < 0 电压滞后电流，容性 电压电流同相， ϕ z = 0 电压电流同相，阻性
4.3.2 用阻抗法分析串联电路
相量模型将所有元件以相量形式表示： 相量模型
C → − jX C 的阻抗
R R的阻抗
i + uR － R L － uC C (a) RLC 串联电路
Z = R + j( X L − X C )
5
1 ) = 5 + j (2 × 10 × 6 × 10 − 5 −6 2 × 10 × 0.001× 10
−3
= 5 − j 3.8 = 6.28∠ − 37.2° kΩ
ϕ z < 0 ，电路呈容性。
如果几个理想元件相串联 几个理想元件相串联时，阻抗的模和幅角 几个理想元件相串联 可由以下三角形求出：
& & I1 = Y1U = 0.2∠ − 53o × 220∠10o = 44∠ − 43o A & & I 2 = Y2U = 0.1∠37o × 220∠10o = 22∠47o A
阻抗与导纳圆图
2
tan 1
RL2
2 X LZ0
X
2 L
Z02
二、圆图的基本构成
阻抗圆图是表示在复平面上的反射系数和归 一化阻抗轨迹图，包括两个曲线坐标系统和四簇 曲线。
1、反射系数曲线坐标（极坐标）： 等反射系数模值圆 反射系数相角射线
2、归一化阻抗曲线坐标： 等归一化电阻圆 等归一化电抗圆
1、反射系数曲线坐标
电流反射系数 与导纳的关系
两个公式在形式上是完全相同的，所以导纳
圆图与阻抗圆图在图形坐标的数值、符号和曲线 形状上是相同的，可以把阻抗圆图当作导纳圆图 来使用，但是图上各点所代表的物理含义要作不 同的解释。
1、导纳圆图的特点
jb' B 0.5
B0
容性
B 1
G 0.5
G 1
(0,0)
电压波腹 Rmax=S
上半圆阻抗为感抗， 下半圆阻抗为容抗；
单位圆为纯电抗；
实轴为纯电阻；
实轴的右半轴为电压 波腹，左半轴为电压 波节；
匹配点、开路点和短 路点。
三、导纳圆图
(z ') Z (z ') 1 Z (z ') 1
电压反射系数 与阻抗的关系
'(z ') Y (z ') 1 Y (z ') 1
令 (z ') 2 e j a jb
可得
2a b2 Байду номын сангаас 2 且 2 1
等反射系数模值圆的方程
jb
||=0.5 S=3
j
||=1, =0
开路点
a
1
1
||=1, = 短路点
阻抗与导纳
Y
def
UI
G
jB
| Y
|
'
( ' i u )
|Y| B
G 导纳三角形
|Z| X
R 导纳等效关系
ZR
jX
Y
G
jB
Z R jX | Z | φ Y G jB | Y | φ'
Y
1 Z
1 RjX
RjX R2 X 2
G
jB
G
R R2 X 2
,
B
X R2 X 2
11.8132.13 37.65 39.45 40.5
57.61
10.89 j2.86
Zab Z3 Z 15 j15.7 10.89 j2.86 25.89 j18.56 31.935.6 Ω
小结： I
+
U
-
无源 线性
Z
U I
U IZ
Y
I U
I YU
(2)Z是与u,i无关的复数。
Z=R+j(L-1/C)=|Z|∠
|Z| = U/I
I R jL
+
+
.
UL
-
+
U
-
1
.
jω C
UC -
= u-i
U
L > 1/ C ， >0，电路为感性。
I
L<1/ C ， <0，电路为容性。 L=1/ C ， =0，电路为电阻性
I
U
I
U
i 例
+
u
-
R
L
+ uL -
C
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
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= Re[Im2 ejt]
•
设 k1和k2为两个实数，则正弦量i(t) = k1 i1(t) + k2 i2(t) 可用相量 Im = k1 Im1 + k2 Im2 表示。
• • •
[例] 若已知 i1=I1mcos(t+1)=100cos(t+45)A， i2=I2mcos(t+2)=60cos(t30)A ，试求 i=i1+i2 。
• 解： I 1m=5/60° A I3m
•
+j
I1m 60° +1 -30°
•
-120°
I2m
•
i2(t) =10sin(314t+60°) =10cos(314t﹣30° ) I2m=10/﹣30° A
•
i3(t) = – 7cos(314t+ 60°) =7cos(314t﹣120° )A I3m=7/﹣120° A
•
=
311 2
=220V
U 30 °
•
有效值相量 U=220 30 °V u( 0.01) =311cos(100 × 0.01 +30 °) = – 269.3V
按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的 图形，称为相量图。
[例] 若 i1= I1 mcos(t+i1) i2= I2 mcos(t+i2)， 已知i1=30°，i2=65°，I1m=2I1m 试画出相量图。 j
i T/2 T 2 t(s) Um 0 u T/2 T 2 t(s)
t (rad)
t (rad)
1. 频率与周期
周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间； 频率 f ：正弦量每秒内变化的次数； Im 交流电每交变一个周期便变 化了2弧度，即 T = 2 角频率 : 0 –Im T i 2
t
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了用三角 函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同频率的正弦量。 正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学工具， 应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。 相量 正弦电量 （时间函数） 变换 （复数）
Im=Im = Ime =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
•
例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 • j
(最大值相量)
(有效值相量)
=Icos +jIsin =Iej =I • Im= Iam +j Ibm =Imcos +jImsin =Imej =Im
第8章 阻抗和导纳
§8-1 变换方法的概念 §8-2 复数 §8-3 相量 §8-4 相量的线性性质和微分性质 §8-5 基尔霍夫定律的相量形式 §8-6 三种基本电路元件VCR的相量形式 §8-7 VCR相量形式的统一——阻抗和导纳的引入 §8-8 正弦电路与电阻电路的类比——相量模型的引入 §8-9 正弦稳态混联电路的分析 §8-10 相量模型的网孔分析法和节点分析法 §8-11 相量模型的等效 §8-12 有效值 有效值相量 相量图法 §8-13 两类特殊问题
正弦电压与电流
直流电路在稳定状态下电流、电压的大 小和方向是不随时间变化的，如图所示。 正弦电压和电流是按正弦规律周期性 变化的，其波形如图所示。 电路图上所标的方向是指它们的参考 方向，即代表正半周的方向。 负半周时，由于电压（或电流）为负值， 所以其实际方向与参考方向相反。 实 际 方 向 i i + u – R
t
Ｔ t
［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其 周期和角频率。 ［解］
= 2f = 23.1450 = 314rad/s
2. 幅值与有效值
瞬时值是交流电任一时刻的值。 用小写字母表示。如 i、u、e分别表 示电流、电压、电动势的瞬时值。 幅值是交流电的最大值。用大 写字母加下标表示。如Im、Um、Em。 有效值是从电流的热效应来规 定的。如果交流电流通过一个电阻 时在一个周期内消耗的电能与某直 流电流通过同一电阻在相同时间内 消耗的电能相等, 就将这一直流电 流的数值定义为交流电流的有效值。 T 根据上述定义，有 Ri2dt=RI2T i Im 0 –Im 2
•
§8-4 相量的线性性质和微分性质
1. 相量的线性性质 表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合 的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。亦即 如设两个正弦量分别为： i2(t) = Im2cos(t+2) i1(t) = Im1cos(t+1) = Re[Im1 ejt]
= I cos+jI sin 式中 Im = Imej =Im / m m —
•
•
称为正弦电流i(t)的幅值相量 Im j =I/ = Icos+jIsin = I e I = —— — — √2
• •
称为正弦电流i(t)的有效值相量
+j
A
0
t1+
i •
Im +1 0 t1
j
Im2
i2 0 i1
•
Im Im1
1 •
•
i= I mcos( t+i)
i
§8-4 相量的线性性质和微分性质
2. 相量的微分性质 若 Am 为给定正弦量 Amcos(t+) 的相量，则 jAm为 该正弦量的导数的相量。亦即
• j t • j t • j t d d —Re[Am e ]= Re[— Ame ]= Re [jAm e ] dt dt • •
A=a+jb =r(cos +jsin ) =rej =r
代数式 指数式 极坐标式
a=rcos b=rsin r= a2+b2 =arctan b a
复数在进行加减运算时应采用代数式， 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。 复数在进行乘运算时宜采用指数式或极坐标式， 模与模相乘，辐角与辐角相加。 复数在进行除运算时宜采用指数式或极坐标式， 模与模相除，辐角与辐角相减。
t
t
Ｔ
i(t)= Imcos (t+i )
当电流为正弦量时:
∫0
同理可得
有效值
3.初相位
对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值 (t=0时的值) 就不同，到达某一特定值（如0值）所需的时间也就不同。 例如:
i (t)= Imcos t
i (t)= Imcos (t+) i (0)= Imcos i i0
I = Ia +j Ib
•
正弦量用旋转有向线段表示用复函数表示。 同频率正弦量可以用复数来表示，称之为相量。 • • 用大写字母上打“•”表示。 I Um i= Imcos( t+) 相 量 图 有效 +j 值相量
Ib
0
I
•
Im
•
最大 值相量
+1
Ia
相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流 电是时间的函数，所以二者之间并不相等。
例：已知某正弦电压Um=311V，f =50Hz，u=30°，试 写出此电压的瞬时值表达式、最大值相量和有效值相量 ，画出此电压的相量图，求出t=0.01S时电压的瞬 时值。 解： 瞬时值 u=311cos(100t+30 °)
•
最大值相量 Um =311 30 °V 有效值 U= Um 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正弦交流电路(正弦稳态电路)的基本概念
在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三 相电路应用更为广泛。 正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路 各部分所产生的电压和电流(稳态响应)均按正弦规律 变化的电路。 本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基本 概念、基本理论和基本分析方法。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和分析 的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以 免引起错误。
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+) 由欧拉恒等式， ej = cos+jsin Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) i(t) = Imcos(t+) = Re[Imej(t+) ]=Re[Imej ejt] = Re[Im ejt]
I U
0
t
u i
+
0
t
+ u –
R
正半周
负半周
一.周期电压和电流 按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。 二.正弦电压和电流 随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。 u(t)=Umcos(ωt) u(t)=Umsin(ωt+π/2) Um —振幅 ω —角频率 i (t)= Imcos (t+) 正弦交流电的三要素： （1）幅值 Im （2）角频率 （3）初相位 0
[解] 正弦电量的运算可按下列步骤进行 相量 正弦电量 （时间函数） 变换 （复数）
正弦量运算
相量运算 （复数运算)
所求正弦量 反变换 相量结果
于是得
i2=129cos(t+18.33)A
例 若已知 i1= I1 mcos( t+ i1)、 i2= I2 mcos( t+ i2)， 用相量图求解 i1 + i2 解：用相量图求解