第8章 阻抗与导纳B

§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+) 由欧拉恒等式， ej = cos+jsin Im(ej )= sin
Re(ej )= cos 令 =t+
Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) Re[Imej(t+) ]=Imcos(t+)= i(t) Im[Imej(t+) ]=Imsin(t+)
Im=Im = Ime =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
•
例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 • j
(最大值相量)
(有效值相量)
=Icos +jIsin =Iej =I • Im= Iam +j Ibm =Imcos +jImsin =Imej =Im
t
t
Ｔ
i(t)= Imcos (t+i )
当电流为正弦量时:
∫0
同理可得
有效值
3.初相位
对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值 (t=0时的值) 就不同，到达某一特定值（如0值）所需的时间也就不同。 例如:
i (t)= Imcos t
i (t)= Imcos (t+) i (0)= Imcos i i0
t=0时， i (0)= Im
Im i
0
t
0
t

(t+)称为正弦量的相位角或相位。它反映出正弦量变化 的进程。 t=0时的相位角 称为初相位角或初相位。 若所取计时起点不同，则正弦量初相位不同。
相位差
在一个交流电路中，通常各支路电流的频率相同， 而相位常不相同。
i1= I1mcos(t+i1) 和 i2= I2 mcos(t+i2)的相位差 = (t+ i1)- (t+ i2)= i1- i2 i2 i1 i2 超前i1
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+) 由欧拉恒等式， ej = cos+jsin Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) i(t) = Imcos(t+) = Re[Imej(t+) ]=Re[Imej ejt] = Re[Im ejt]
[解] 正弦电量的运算可按下列步骤进行 相量 正弦电量 （时间函数） 变换 （复数）
正弦量运算
相量运算 （复数运算)
所求正弦量 反变换 相量结果
于是得
i2=129cos(t+18.33)A
例 若已知 i1= I1 mcos( t+ i1)、 i2= I2 mcos( t+ i2)， 用相量图求解 i1 + i2 解：用相量图求解
第8章 阻抗和导纳
§8-1 变换方法的概念 §8-2 复数 §8-3 相量 §8-4 相量的线性性质和微分性质 §8-5 基尔霍夫定律的相量形式 §8-6 三种基本电路元件VCR的相量形式 §8-7 VCR相量形式的统一——阻抗和导纳的引入 §8-8 正弦电路与电阻电路的类比——相量模型的引入 §8-9 正弦稳态混联电路的分析 §8-10 相量模型的网孔分析法和节点分析法 §8-11 相量模型的等效 §8-12 有效值 有效值相量 相量图法 §8-13 两类特殊问题
这一性质包含两个内容： d ①取实部和求导数的运算是可交换的（ Re和—可交换）； dt ②复值函数 Amejt 对 t 的导数等于该函数与 j 的乘积。
•
§8-4 基尔霍夫定律的相量形式
i1 A i2 i3 A I2
•
I1 I3
•
•
i1= I1 mcos( t+1) i2= I2 mcos( t+2) i3= I3 mcos( t+3) 由基尔霍夫电流定律， 节点A的电流方程为 i1 + i2 - i3 = 0
t
Ｔ t
［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其 周期和角频率。 ［解］
= 2f = 23.1450 = 314rad/s
2. 幅值与有效值
瞬时值是交流电任一时刻的值。 用小写字母表示。如 i、u、e分别表 示电流、电压、电动势的瞬时值。 幅值是交流电的最大值。用大 写字母加下标表示。如Im、Um、Em。 有效值是从电流的热效应来规 定的。如果交流电流通过一个电阻 时在一个周期内消耗的电能与某直 流电流通过同一电阻在相同时间内 消耗的电能相等, 就将这一直流电 流的数值定义为交流电流的有效值。 T 根据上述定义，有 Ri2dt=RI2T i Im 0 –Im 2
例：已知某正弦电压Um=311V，f =50Hz，u=30°，试 写出此电压的瞬时值表达式、最大值相量和有效值相量 ，画出此电压的相量图，求出t=0.01S时电压的瞬 时值。 解： 瞬时值 u=311cos(100t+30 °)
•
最大值相量 Um =311 30 °V 有效值 U= Um 2
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1) i2= I2 mcos( t+i2)
若求： i1 + i2
正弦量运算
相量运算 （复数运算)
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
模 A
b
cos +jsin =ej
复数Ａ可用几种形式表示 +1
欧拉公式
r

辐角
0
a
有向线段可用复数表示
= I cos+jI sin 式中 Im = Imej =Im / m m —
•
•
称为正弦电流i(t)的幅值相量 Im j =I/ = Icos+jIsin = I e I = —— — — √2
• •
称为正弦电流i(t)的有效值相量
+j

A
0
t1+
i •
Im +1 0 t1
• 解： I 1m=5/60° A I3m
•
+j
I1m 60° +1 -30°
•
-120°
I2m
•
i2(t) =10sin(314t+60°) =10cos(314t﹣30° ) I2m=10/﹣30° A
•
i3(t) = – 7cos(314t+ 60°) =7cos(314t﹣120° )A I3m=7/﹣120° A
I = Ia +j Ib
•
正弦量用旋转有向线段表示用复函数表示。 同频率正弦量可以用复数来表示，称之为相量。 • • 用大写字母上打“•”表示。 I Um i= Imcos( t+) 相 量 图 有效 +j 值相量
Ib
0
I
•
Im
•
最大 值相量
+1

Ia
相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流 电是时间的函数，所以二者之间并不相等。
i T/2 T 2 t(s) Um 0 u T/2 T 2 t(s)
t (rad)
t (rad)
1. 频率与周期
周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间； 频率 f ：正弦量每秒内变化的次数； Im 交流电每交变一个周期便变 化了2弧度，即 T = 2 角频率 : 0 –Im T i 2
•
§8-4 相量的线性性质和微分性质
1. 相量的线性性质 表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合 的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。亦即 如设两个正弦量分别为： i2(t) = Im2cos(t+2) i1(t) = Im1cos(t+1) = Re[Im1 ejt]
I U
0
t
u i
+
0

t

+ u –
R

正半周
负半周
一.周期电压和电流 按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。 二.正弦电压和电流 随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。 u(t)=Umcos(ωt) u(t)=Umsin(ωt+π/2) Um —振幅 ω —角频率 i (t)= Imcos (t+) 正弦交流电的三要素： （1）幅值 Im （2）角频率 （3）初相位 0
A=a+jb =r(cos +jsin ) =rej =r
代数式 指数式 极坐标式
a=rcos b=rsin r= a2+b2 =arctan b a
复数在进行加减运算时应采用代数式， 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。 复数在进行乘运算时宜采用指数式或极坐标式， 模与模相乘，辐角与辐角相加。 复数在进行除运算时宜采用指数式或极坐标式， 模与模相除，辐角与辐角相减。
•
=
311 2
=220V
U 30 °
•
有效值相量 U=220 30 °V u( 0.01) =311cos(100 × 0.01 +30 °) = – 269.3V
按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的 图形，称为相量图。
[例] 若 i1= I1 mcos(t+i1) i2= I2 mcos(t+i2)， 已知i1=30°，i2=65°，I1m=2I1m 试画出相量图。 j
正弦电压与电流
直流电路在稳定状态下电流、电压的大 小和方向是不随时间变化的，如图所示。 正弦电压和电流是按正弦规律周期性 变化的，其波形如图所示。 电路图上所标的方向是指它们的参考 方向，即代表正半周的方向。 负半周时，由于电压（或电流）为负值， 所以其实际方向与参考方向相反。 实 际 方 向 i i + u – R
i= Imsin(t+)
t
ห้องสมุดไป่ตู้
A
t2 i
有向线段长度是Im，t=0时，与横 轴的夹角是，以角速度 逆时针方 向旋转，它在实轴上的投影，即为 正弦电流的瞬时值i= Imcos(t+)
t1

t=t1时， i(t1)= Imcos(t1+)
t
8.3 相 量
由以上分析可知，一个复数由模和辐角两个特征量确定。 而正弦量具有幅值、初相位角和频率三个要素。但在分析线性 电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量， 因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可以由幅值 和初相位两个特征量来确定。 比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。
I2 m
i2 0 i1
•
I1 m
•
相 量 图 1
注意 只有正弦量才能用相量表示； 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上； 相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是 时间的函数，二者之间并不相等。
例: i1(t)= 5cos(314t+ 60) A i2(t)=10sin(314t+ 60)A i3(t)= – 7cos(314t+ 60° ) A 写出相量，绘相量图
j
Im2
i2 0 i1
•
Im Im1
1 •
•
i= I mcos( t+i)
i
§8-4 相量的线性性质和微分性质
2. 相量的微分性质 若 Am 为给定正弦量 Amcos(t+) 的相量，则 jAm为 该正弦量的导数的相量。亦即
• j t • j t • j t d d —Re[Am e ]= Re[— Ame ]= Re [jAm e ] dt dt • •
•
= Re[Im2 ejt]
•
设 k1和k2为两个实数，则正弦量i(t) = k1 i1(t) + k2 i2(t) 可用相量 Im = k1 Im1 + k2 Im2 表示。
• • •
[例] 若已知 i1=I1mcos(t+1)=100cos(t+45)A， i2=I2mcos(t+2)=60cos(t30)A ，试求 i=i1+i2 。
正弦交流电路(正弦稳态电路)的基本概念
在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三 相电路应用更为广泛。 正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路 各部分所产生的电压和电流(稳态响应)均按正弦规律 变化的电路。 本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基本 概念、基本理论和基本分析方法。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和分析 的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以 免引起错误。
t
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了用三角 函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同频率的正弦量。 正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学工具， 应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。 相量 正弦电量 （时间函数） 变换 （复数）