初中数学 平方差公式
初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n-b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。
重要公式（欧拉公式）(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f(x)=g(x)q(x)-r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。
14.2.1 平方差公式 初中数学人教版八年级上册教学课件(共26张PPT)
(a+b) ( a - b) = a2 - b2 解：（2） (-x+2y)(-x-2y) = ( -x)2 - ( 2y)2 = x2 - 4y2
例题练习
计算： (1) ( y+2)( y-2 ) - ( y-1 )( y+5 )
(2) 102×98
分析：（1）中前半部分符合 平方差公式的条件，可以运 用公式简化运算. 后半部分的 运算仍按乘法法则进行.
探究新知 你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
a a
b
(a-b)
b
(a+b)
(a + b)(a − b) = a2 − b2.
a b
(a+b)
(a-b) b b a
例题练习 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2)(3x－2)
(2) (－x＋2y)(－x－2y).
分析：在(1)中，可以把 3x 看成 a ，把 2 看成 b， 即 (3x+2)(3x-2)= ( 3x)2 - 22
a和b可以是数 字、单项式或 多项式等
文字说明：两个数的_和__与这两个数的_差__的积，等 于这两个数的_平__方__差_ .
结构特点：左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项 a 的平方减去 符号相反项 b 的平方.
探究新知
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
(a+b)
a b
(a-b) b b a
（4） (a 1)(a 1) a2 1 .
解析：（1） a2 b2 a ba b ∵ a b 2 , a b 3，∴ a2 b2 a ba b 23 6 （2） x2 y2 x y x y
∵ x2 y2 12 ， x y 4 ，∴ x y 3 （3）原式 (1)2 (2a)2 1 4a2 （4） (a 1)(a 1) a2 1
初中数学方差公式
初中数学方差公式
s=1/n[(x1-m) (x2-m) +.+(xn-m) ]。
1、方差公式是一个数学公式，是数学统计学中的重要公式，应用于生活中各种事情，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定。
2、初中常见的计算公式：平方差公式(a＋b)(a－b)＝a－b，完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，(a－b)＝a－2ab＋b。
算术平均数＝总数÷总个数，加权平均数＝各数×各自所占比例再求和，方差＝(（x1-x）＋（x2-x）＋......（xn－x）)÷n。
正比例函数y＝kx.一次函数y ＝kx＋b.反比例函数y＝k÷x.二次函数y＝ax＋bx＋c。
3、方差的意义:它反映了一组数据与其平均值的偏离程度。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。
统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
初中数学必备公式
初中数学必备公式初中数学是建立在小学数学基础之上的，具有一定难度和抽象性质的学科。
在学习初中数学过程中，公式是必不可少的工具。
掌握了必备公式，可以帮助学生更好地理解数学概念，解决问题，提高解题能力。
下面将详细介绍一些初中数学必备公式。
1. 平方差公式(a+b)² = a² + 2ab + b²这是最常用的平方差公式，表示两个数相加后的平方可以展开为该数的平方、两倍乘积和另一个数的平方。
这个公式在解方程、因式分解等方面都有广泛应用。
2. 二次根式的加减法公式√a ± √b = √a ± √b二次根式的加减法公式用于化简含有二次根式的方程或表达式。
当二次根式内的数相同的时候，可以直接计算；当二次根式内的数不相同时，只能进行合并或拆分。
3. 三角函数的定义正弦函数：sinθ = 对边/斜边余弦函数：cosθ = 临边/斜边正切函数：tanθ = 对边/临边这些是最基本的三角函数定义公式，用于描述角度和三角形的关系。
通过这些公式，可以计算任意角的正弦、余弦和正切值。
4. 同角三角函数关系sinθ = 1/cscθ，cosθ = 1/secθ，tanθ = 1/cotθ这个公式描述了同一个角度的正弦、余弦和正切函数之间的关系。
通过这个公式，可以方便地计算三角函数的值。
5. 三角函数的和差化积公式sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ这个公式用于将两个三角函数的和或差表示成乘积的形式。
它在三角恒等式的证明中非常常用。
6. 三角函数的倍角公式sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式用于将一个角的三角函数表示成两倍角的三角函数形式。
初中数学78个公式
初中数学78个公式以下是初中数学常见的78个公式（按照相关的知识点进行分类）：1. 平方差公式：$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$2. 比例相等：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$3. 二次根式：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$4. 平方根的开平方：$(\sqrt{a})^2 = a$5. 次方公式：$a^n \cdot a^m = a^{n + m}$6. 分指数：$\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$7. 平方和分解：$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$8. 平方差分解：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$9. 平方差和分解：$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$10. 一元一次方程：$ax + b = 0$11. 一元二次方程：$ax^2 + bx + c = 0$12. 一元三次方程：$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$13. 直线方程：$y = kx + b$14. 平行线的性质：$k_1 = k_2$15. 垂直线的性质：$k_1 \cdot k_2 = -1$16. 直线的截距式：$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$17. 圆的标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$18. 圆心坐标公式：$(a, b)$19. 圆的半径：$r$20. 弧长：$L = 2\pi r$21. 扇形面积公式：$S = \frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2$22. 正方形的周长：$P = 4a$23. 正方形的面积：$S = a^2$24. 长方形的周长：$P = 2(a + b)$25. 长方形的面积：$S = ab$26. 三角形的周长：$P = a + b + c$27. 三角形的面积：$S = \frac{1}{2}bh$28. 直角三角形的勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$29. 等腰三角形的斜边：$2l = b$30. 锐角三角形的高：$h = b\sin A$31. 五边形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$32. 正多边形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$33. 两角之和的三角函数：$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm\cos A \sin B$34. 两角之差的三角函数：$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \pm\sin A \sin B$35. 两角之和的正切函数：$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm\tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$36. 同角三角函数之商：$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$37. 逆三角函数关系：$\sin^{-1} (\sin A) = A$，$\cos^{-1}(\cos A) = A$，$\tan^{-1} (\tan A) = A$38. 二项式定理：$(a + b)^n = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n - 1}b + \binom{n}{2} a^{n - 2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1} ab^{n - 1} + \binom{n}{n} b^n$39. 等比数列通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$40. 等差数列通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$41. 等差数列求和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$42. 任意项数列求和公式：$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$43. 数列首项：$a_1$44. 数列公差：$d$45. 直角坐标系中两点之间的距离：$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2}$46. 连续整数的和：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$47. 无穷等差数列的和：$S = \frac{a_1}{1 - q}$48. 平行四边形的周长：$P = 2(a + b)$49. 平行四边形的面积：$S = bh$50. 梯形的面积：$S = \frac{1}{2}(a + b)h$51. 梯形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$52. 三角形内角和定理：$A + B + C = 180^\circ$53. 三角形外角和定理：$A' + B' + C' = 360^\circ$54. 三角形的内心：$(x, y)$55. 三角形的外心：$(x, y)$56. 三角形的重心：$(x, y)$57. 三角形的垂心：$(x, y)$58. 反比例函数：$y = \frac{k}{x}$59. 弧度与角度的转换：$360^\circ = 2\pi \ rad$60. 锐角三角函数的定义：$\sin x = \frac{y}{r}$，$\cos x =\frac{x}{r}$，$\tan x = \frac{y}{x}$61. 负数的平方：$(-a)^2 = a^2$62. 模的性质：$|x| = \begin{cases} x, &x \geq 0\\ -x, &x < 0 \end{cases}$63. 绝对值基本不等式：$|a + b| \leq |a| + |b|$64. 定义域：$x$65. 值域：$y$66. 最大值：$y_\text{max}$67. 最小值：$y_\text{min}$68. 直角三角形的面积：$S = \frac{1}{2}ab$69. 多边形的外角和：$360^\circ$70. 多边形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$71. 渐进线：$y = ax + b$72. 正数的倒数：$\frac{1}{a}$73. 反函数的定义：$f(f^{-1}(x)) = x$，$f^{-1}(f(x)) = x$74. 递增函数：$x_1 < x_2, f(x_1) < f(x_2)$75. 递减函数：$x_1 < x_2, f(x_1) > f(x_2)$76. 弧长的比例：$\frac{S}{L} = \frac{\theta}{360^\circ}$77. 圆周角的比例：$\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{L}{2\pi r}$78. 英寸与厘米的换算：$1 \text{ inch} = 2.54 \text{ cm}$这些公式在初中数学中是最常见和最基础的公式，希望对你的学习有所帮助。
八年级数学平方差公式和完全平方公示记忆
一、导言在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是中学阶段必须掌握的重要知识点。
从初中开始，学生就需要掌握这两个公式的具体内容和运用方法。
八年级是数学学科内容较多的阶段，学习者需要在日常学习中加强对平方差公式和完全平方公式的记忆和理解。
本文章旨在帮助八年级学生加深对这两个数学概念的印象，提高数学学习成绩。
二、平方差公式的记忆1.平方差公式是指两个数的平方差可以用来表示两个数的乘积。
具体公式为(a+b)(a-b)=a²-b²。
2.学生在记忆平方差公式时，可以通过以下方法加深理解和记忆：a.通过实例理解。
将(a+b)(a-b)展开可以得到a²-ab+ab-b²，简化后得到a²-b²，这样可以直观地理解平方差公式的含义。
b.多练习算式转换。
让学生多做一些相关的抽象计算练习，锻炼学生对平方差公式的运用能力。
充分练习可以加深记忆，也有助于提高数学计算能力。
三、完全平方公式的记忆1.完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成一个完全平方的形式，即二次多项式的平方等于一个平方数。
具体公式为a²+2ab+b²=(a+b)²。
2.学生在记忆完全平方公式时，可以通过以下方法进行记忆和理解：a.设定变量。
让学生通过给定一些具体的实际数学问题，然后使用完全平方公式进行推导和解决问题，可以在实际操作中加深对完全平方公式的理解和记忆。
b.应用到实际问题。
同样可以利用具体实例，让学生仿照实际问题中的公式应用，从而加深对公式的记忆和理解。
四、平方差公式和完全平方公式的联系1.平方差公式和完全平方公式之间有一定联系。
在实际问题中，可以通过平方差公式和完全平方公式进行变形和转换，以解决特定问题。
2.学生在学习中需要注意理解和掌握这两个公式的联系和差异，举一反三，灵活运用。
五、结语在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是非常基础但又非常重要的知识点。
初中数学全套公式
初中数学全套公式初中数学是义务教育的基础学科，其公式和概念的学习是这门课程的核心部分。
以下是一套完整的初中数学公式，这些公式涵盖了初中数学的大部分内容，对于理解和应用数学概念具有重要意义。
一、代数公式1、乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)4、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)6、两数和乘两数差：2(a+b)(a-b)=2a²-2b²7、两数平方和：a²+b²=(a+b)²-2ab8、两数和的平方：(a+b)²=a²+2ab+b²9、两数差的平方：(a-b)²=a²-2ab+b²10、幂的乘方：anbn=(ab)n11、积的乘方：anbn=(ab)n12、分式的约分：同时分子分母除以公因式。
13、提公因式法：一般地，如果想要提取一个多项式的公因式，我们把这个多项式的各项都含有的相同字母因式提到括号外面，将多项式化成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
14、运用公式法：如果一个式子的值等于几个其他式子的值乘积，那么这个式子就叫公式的原式，这几个其他式子就叫这个公式的因式。
如果把一个公式的所有因式分解出来，那么它们就都叫这个公式的因式分解。
二、几何公式1、勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
2、平行线间的距离公式：如果两条直线平行，那么一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等。
3、三角形的面积公式：一个三角形的面积等于底边乘以高再除以2。
初中数学必背公式大全
初中数学必背公式大全1.二次根式的化简公式：√(a*b)=√a*√b√(a/b)=√a/√b√(a^2*b)=a*√b2.平方差公式：(a+b)*(a-b)=a^2-b^23.三角形的面积公式：三角形的面积=底边长*高/24.相似三角形的面积比公式：相似三角形的面积比=边长比的平方5.等腰三角形的面积公式：等腰三角形的面积=底边长*高/26.平行四边形的面积公式：平行四边形的面积=底边长*高7.梯形的面积公式：梯形的面积=上底长+下底长/2*高8.圆的面积公式：圆的面积=π*半径^29.圆的周长公式：圆的周长=2*π*半径10.等差数列前n项和公式：等差数列前n项和=(首项+末项)*项数/211.等比数列前n项和公式：等比数列前n项和=首项*(1-公比^n)/(1-公比)12.勾股定理：直角三角形中，直角边的平方等于两直角边平方的和：c^2=a^2+b^213.正弦定理：在任意三角形ABC中，有：a / sinA =b / sinB =c / sinC14.余弦定理：在任意三角形ABC中，有：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC15.正切定理：在任意三角形ABC中，有：tanA = sinA / cosA16.平面直角坐标系中两点间的距离公式：AB的距离=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]17.相反数与倒数的关系：a的相反数为-a，a的倒数为1/a18.两数之和的平方差公式：(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab19.根式的乘法公式：√a*√b=√(a*b)20.根式的除法公式：√a/√b=√(a/b)。
人教版初中数学八年级上册14.2.1平方差公式(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式的基本概念。平方差公式是指两个数和与这两个数差的乘积等于这两个数的平方差。它是整式乘法与因式分解中的重要工具，可以帮助我们简化计算过程。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过实际例题，展示平方差公式在整式乘法中的应用，以及如何利用它来简化计算。
-教学难点突破方法：
a.采用直观的教具或动画，如正方形面积的拆分，来形象地展示平方差公式的推导过程。
b.设计阶梯式练习题，从简单到复杂，让学生在练习中逐步掌握平方差公式的应用。
c.进行小组讨论，让学生互相交流解题思路，以加深理解和记忆。
d.通过定期的复习和巩固，帮助学生形成长期记忆，提高解题速度和准确性。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方差公式的结构（a+b)(a-b)=a²-b²）和符号关系这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解为何符号相反以及平方项的顺序。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题，如生活中的实际应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平方差公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个数的和与差同时出现的情况？”（如：计算长方形面积时，长和宽的和与差）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。
3.激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度。
4.加强对学生的个别辅导，关注每个学生的学习进度。
希望通过我的努力，能让每个学生都能在数学学习中找到乐趣，不断提高他们的数学素养。
人教版初中数学二年级上册《平方差公式》图文课件
C 2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x) C.(-2y-x)(x+2y) B.(-x+2y)(-x-2y) D.(-2b-5)(2b-5)
3、灵活运用平方差公式计算：
1、(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2); 2、(x+y)(x-y)(x2+y2);
特征:
两个二项 式相乘
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
(相同项)2-(相反项)2
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
说明:
公式中的a,b可以表示 一个单项式也可以表示一个多项式.
P108课后练习
1、下面各式的计算对不对？如果 不对，应当怎样改正？
(1) (x+2)(x-2) = x2 - 2 (2) (-3a-2)(3a-2) = 9a2 X2 - 4 4 4 - 9a2
= y2-4-y2-4y+5 = -4y+1
看课本P108要求
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
两个数的和 与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
1.下列各式中,能用平方差公式运算的是(A A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a)
)
C.(2a-3b)(3a+2b)
D.(a-b+c)(b-a-c)
学习目标：
1、理解平方差公式及其结构特征 2、能熟练应用平方差公式进行计算
1、多项式乘多项式法则： 2、计算 （1）(x+1)(x-1) = x2 - 1
2- 4 m （2）(m+2)(m-2) =
初中数学全部公式
初中数学全部公式初中数学常用公式：一、代数公式：1.两数相加的和等于它们反过来相加的和：a+b=b+a2.两数相减的差等于它们反过来相减的差：a-b≠b-a3.两数相乘的积等于它们反过来相乘的积：a×b=b×a4.两数相除的商等于它们分子、分母反过来相除的商：a÷b≠b÷a5. 两个数之和的平方等于它们的平方和加上两倍的它们的积：(a +b)² = a² + 2ab + b²6. 平方差公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²7. 平方和公式：a² + b² = (a +b)² - 2ab8.两个平方差的乘积等于两个数之和与差的平方差：(a+b)(a-b)=a²-b²9.一次方差公式：(a+b)×(a-b)=a²-b²10. 完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²11. 平方完全差公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²12.两个完全平方的乘积等于两个数之和与差的平方差：(a+b)(a-b)=a²-b²13.四平方定理：任何一个正整数都可以表示成不超过四个正整数的平方之和。
14.二项式定理：(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ+C(n,1)aⁿ⁻¹b+C(n,2)aⁿ⁻²b²+...+a(b+a)ⁿ⁻¹bⁿ⁻¹+bⁿ15.幂运算的乘法法则：aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ16.幂运算的除法法则：aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ二、几何公式：1.线段等分点公式：已知线段AB，M为AB的中点，则AM=MB=AB/22.垂直平分线公式：已知线段AB，O为线段AB的中点，则AO⊥OB，并且AO=OB=AB/23.线段外一点到线段的距离公式：已知线段AB和一点C，以A、B为两端点作线段AB的垂直平分线，交垂直平分线于点D，则CD为点C到线段AB的距离。
初中数学基本公式
（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
完全平方差公式的讲解
完全平方差公式的讲解完全平方差公式，这可是初中数学里的一个重要知识点呢！咱今天就来好好唠唠。
先给您瞅瞅完全平方差公式长啥样：(a - b)² = a² - 2ab + b²。
那这公式咋来的呢？咱们可以这样想。
假设我有一个边长为 a 的正方形，现在我要从这个正方形的一角裁去一个边长为 b 的小正方形，那剩下的图形面积不就是 (a - b)²嘛。
咱们再换个角度算，原来大正方形的面积是 a²，裁去的小正方形面积是 b²，那裁去的部分和剩下的部分挨着的那两条边的长度都是 b ，这两条边组成的长方形面积就是 2ab ，所以剩下的图形面积也可以表示成 a² - 2ab + b²。
您瞧，这不就得出完全平方差公式了嘛。
那这公式有啥用呢？我给您说个事儿。
有一次我去逛商场，看到一件衣服，标价是 200 元。
售货员说现在打八折，然后再减 30 元。
那这衣服实际价格是多少呢？咱就可以用完全平方差公式来算。
假设原价是 a ，折扣是 b ，那实际价格就是 (a - b)²。
这里 a = 200 ，b = 40 （200 的 20% ），所以实际价格就是 200² - 2×200×40 + 40² = 40000 - 16000 + 1600 = 25600 元，算出来实际价格是160 元。
再比如，计算 (3 - 2x)²。
咱就把 3 当成 a ，2x 当成 b ，那就是 3² -2×3×2x + (2x)² = 9 - 12x + 4x²。
在解题的时候，可得注意别弄混了完全平方差公式和完全平方和公式。
好多同学一不小心就记错啦，这可不行。
做练习题的时候，要认真分析题目，看看是不是要用完全平方差公式。
比如，已知一个长方形的长是 x + 3 ，宽是 x - 3 ，求面积。
平方差公式的运用技巧
平方差公式的运用技巧平方差公式（a+b)(a －b ）=a 2－b 2是恒等式,是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字， 也可以表示单项式、多项式等代数式。
在多项式的乘法计算过程中,只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧:一．正用技巧：1。
直接运用平方差公式 例1 计算：（－3a+2b)( －2b －3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力,从而 达到熟悉掌握平方差公式的目的。
解： 原式= （－3a ）2 －（2b)2=9a 2－4b 2。
2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2）（x 2+4)(x －2) 。
分析：此题若从左向右依次运算计算很繁,若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两 次运用平方差公式,就可以求到结果。
解： 原式=（x 2－4） （x 2+4）=x 4－16. 3．综合运用乘法公式例3计算:（2a+b －c+6)（2a －b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把（2a+6)、(b －c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解,避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +（b －c ）］［(2a+6）－（b －c ）]=（2a+6）2 －（b －c ）2=4a 2+24a+36－b 2+2bc －c 2。
二．逆用技巧：灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事 半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算： （a+2)2－(a －2)2。
分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点,直接逆用平方差公式,便可化繁为简，迅速求解。
解：原式=［（a+2)+(a －2）][ (a+2）－（a －2)］=2a×4=8a.例5 计算：（1－221）(1－231）（1－241） (1)220081）。
初中数学乘法公式
乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 （a+b ）（a-b ）=a 2-b 2说明：（1）几何解释平方差公式如右图所示：边长a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
第一种：用正方形的面积公式计算：a 2－b 2；第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a ＋b ），宽为（a －b ）， 它的面积是：（a ＋b ）（a －b ）结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）。
（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。
平方差公式的a 和b ，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。
应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算 2、完全平方公式完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，（a-b ）2=a 2-2ab+b 2这两个公式叫做完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明：（1）几何解释完全平方（和）公式 如图用多种形式计算右图的面积 第一种：把图形当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a ＋b ）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看，其中大正方形的的边长是a ，小正方形 的边长是b ，长方形的长是a ，宽是b ，所以它的面积就是：a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b2 （2）几何解释完全平方（差）公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积 第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a-b ）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的 长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影S S S S ⨯=2--其中大正方形的的边长是a ，小正方形的边长是b ，长方形的长是（a-b ），宽是b ，所以 它的面积就是：()222222b ab a b b a b a +-=⋅-⋅--结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：()2222bab a b a +-=-（3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a+b ）2=a 2+b 2，（a-b ）2=a 2-b 2。
初中数学【平方差公式】教学课件
问题一：小李到小卖部去买饼干, 售货员告诉他: 共 4.2千克，每千克3.8元.正当售货员还在用计算器 计算时，小李马上说出了共15.96元，售货员很惊
奇地问：“你怎么比计算器算的还快呢？”小李很 得意的告诉她：这是一个秘密.
同学们,你能帮售货员揭开小李快速口算出 4.2×3.8的秘密吗?
例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98=(100+2)(100-2) = 1002-22=10 000 – 4 = 9 996.
(2) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-a-b)(-a+b)= ___a_2_-_b_2_
(4)(a-b)(-a-b)= ____b_2_-_a_2_
小组 合作
例1 运用平方差公式计算:
(1) (3x+2) (3x-2); (2) (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y) (-x-2y).
分析:在(1)中,可以把3x看成a,2看成b,即
2算一算，比一比，看谁算得又快又准
①（x ＋ 4)( x－4） ②（1 ＋ 2a)( 1－2a） ③（m＋ 6n)( m－6n） ④（5y ＋ z)(5y－z）
3口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)= __b_2-__a_2___ (2)(a-b)(b+a)= ____a_2_-_b_2__
(3x+2) (3x - 2) = (3x)2 - 22
(a + b) (a - b) = a2 - b2
初中数学同步 8年级上册 第27课 平方差公式(学生版)
第27课 平方差公式课程标准1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；3. 发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识点01 公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的 与这两个数的 的 ，即：a 2 -b 2 =要点诠释：(1)逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.平方差公式的特点：左边是两个数(整式)的平方，且符号相反，右边是两个数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积.套用公式时要注意字母 a 和b 的广泛意义， a 、b 可以是 ，也可以是 或 .知识点02 因式分解步骤（1） 如果多项式的各项有 ，先 ；（2） 如果各项没有公因式那就尝试用 ；（3） 如用上述方法也不能分解，那么就得选择 或其它方法来分解(以后会学到)．知识点03 因式分解注意事项（1） 因式分解的对象是 ；（2） 最终把多项式化成 ；（3） 结果要彻底，即 ．知识精讲目标导航考法01 公式法——平方差公式【典例1】分解因式：(1) (x + y )2 - 4 ； (2)16(a - b )2 - 25(a + b )2 ； (3) (x + 2)2 - (2x -1)2【即学即练1】将下列各式分解因式：(1) 25(a + b )2 - 9 (a - b )2 ；(2) (2x - 3y )2- 4x 2 (3) -x 3 y + xy 3 ；(4) 4x 3 - 36xy 2 ； 【典例2】分解因式：【即学即练2】考法02 平方差公式的应用【典例3】在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如4422()()()x y x y x y x y -=+-+，当 x=9，y=9 时，0x y -= ，x +y=18，x 2+y 2=162，则密码 018162．对于多项式324x xy -，取 x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？【典例4】阅读下面的计算过程：(2+1)(22+1)(24+1) 24(21)(21)(21)(21)=-+++224(21)(21)(21)=-++821=-能力拓展题组A 基础过关练1．分解因式：22216x y x -=( )A ．()2216x y -B ．2(4)(4)x y y +-C ．22(4)y x -D ．2(4)(4)y x x +- 2．下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是A ．B ．C ．D ． 3．下列因式分解正确的是( )A ．()22()a b a b a b --=-+--B ．229(3)x x +=+C ．214(14)(14)x x x -=+-D ．3224(4)a a a a -=-4．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是( )A ．61和63B ．63和65C ．65和67D ．64和67 5．乘积22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于( )． A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000 D ．200140006．9(m －n )2－25(m ＋n )2因式分解的结果是( )A ．(8m ＋2n )(－2m －8n )B ．－4(4m ＋n )(m ＋4n )C ．－4(4m ＋n )(m －4n )D ．4(4m ＋n )(m ＋4n )题组B 能力提升练1．分解因式：416a -=__________．2．分解因式：4433y x -=__________．3．因式分解：23xy x -=______．4．已知2a b +=，则224a b b -+=________________．分层提分5．把a 2﹣16分解因式，结果为_____．6．分解因式：x 2﹣4=__．7．若代数式x 2﹣a 在有理数范围内可以因式分解，则整数a 的值可以为__．(写出一个即可)题组C 培优拔尖练1．分解因式：2222()()x x y y x y ---．2．如图，是一道例题及部分解答过程，其中A 、B 是两个关于x ，y 的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题∶(1)直接写出多项式A 和 B ，并求出该例题的运算结果；(2)求多项式A 与B 的平方差．3．已知A =x -y +1，B=x +y +1，C=(x +y )(x -y )+2x .两位同学对x 、y 分别取了不同的值，求出A 、B 、C 的值各不相同，但A×B-C 的值却总是一样的.由此这两位同学得出结论：无论x 、y 取何值，A×B-C 的值不变.你认为这个结论正确吗？请说明理由.。
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(3) (-3+x)(-3-x)= (–3) 2 – x2= 9 – x2
;
(4) (x-3)(-x-3)= (x-3) [ – (x +3) ] ;
= – (x2-32)
= – x2+9
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三、研学教材
知识点二 平方差公式的应用 例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x +2)(3x - 2) = (3x)2 - 22
改：原式＝ – (3a+2)(3a-2)
＝ –[(3a)2 – 22]
＝ – (9a2 – 4)
＝4 – 9a2
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三、研学教材
练一练
2、填空：
(1) (x+3)(x-3)= x2-32= x2-9
;
(2) (3-x)(x+3)= (3-x)(3+x)= 32-x2 = 9-x2 ;
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三、研学教材
知识点二 平方差公式的应用
例2 计算：
(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
解：原式= (y2-22)-( y2+4y-5 )
= __y_2_-2_2_-_y_2-_4_y_+_5__ = __1_-_4_y_________ (2) 102×98
分析：在(1)中把3x看成a，2看成b.
(3x +2)(3x - 2) = (3x)2 - 22
( a + b)( a – b) = a2 - b2
解：原式=
(3x)2
-
22
=
9x – 2 2 2
______________
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三、研学教材
知识点二 平方差公式的应用
例1 运用平方差公式计算：
a b
b
a
b
矩形面积＝大正方形面积－小正方形面积
即 (a+b)(a-b)=a2-b2
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三、研学教材
练一练
1、下面各式的计算对不对？若不对，应当
怎样改正？
（1）(x+2)(x-2)= -2 ×
改：原式＝ x2－22= x2－4
（2）(-3a-2)(3a-2)=9a - 4 ×
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四、归纳小结
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，
等于这两个数的__平__方__差_____.
字母表达式为 (a+b)(a-b)=a2-b2
.
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解：原式= (100+2) ×(100-2)
= _1_0_0_2_-_2_2 _______
= _1_0_0_0_0_-_4_______
= _9_9_9_6__________
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三、研学教材 知识点二 平方差公式的应用
归纳 只有符合公式要求的乘法，才能
运用公式简化运算，其余的运算仍按 照 整式乘法 法则来进行.
(2) (2a2-5b)( 2a2 + 5b )=4a4-25b2
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三、研学教材
练一练 3、运用平方差公式计算:
(1) (a+3b)(a-3b) 解：原式= a2-(3b)2 = a2-9b2
(2) (3+2a)(-3+2a)
解：原式= (2a+3)(2a-3) =(2a)2-32 = 4a2-9
(2) (-x+2y)(-x-2y)
解：原式= _(_-x_)_2_-(_2_y_)_2 = _x_2_-4_y_2_
对于（2）你还有其他的计算方法吗?
解：原式= - (x-2y) ·[- (_x__+__2_y_)] = _(x_-_2_y_)_(x_+__2_y)__ = __x_2-__(2_y_)_2____ = __x_2-__4_y2______
平方差公式
一、学习目标
1、理解并掌握平方差公式； 2、能熟练地运用平方差公式进行
简单的计算.
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二、新课引入
请用多项式乘多项式的运算法则 完成计算: (1)(x+3)(2x-5) = _2_x_2 ＋___x_－__1_5______ (2)(x-2)(x-1) =__x2_－___3_x_＋___2______
(3)(2x+1)(2x-1)= 4x2-2x+2x-1 = 4x2-1 ；
一般地，两个数的 和 与这温两馨个提数示的： 差 的 __积__，等于这两个数的平方差应. 用公式的关键
这个公式叫做（乘法的是）确平定方a差和b公. 式.
(a+b)(a-b)=a2-b2
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三、研学教材 知识点一 平方差公式 你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗?
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三、研学教材
练一练
1、若m-n=2，m+n=5，则m2-n2的为10 。
2、计算
(1) 51×49
解：原式= (50+1) ×(50-1)
= 502-12
= 2499
(2) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(2x-2)
解：原式= (3x)2- 42-(4x2+6x-4x-6)
= 9x2-16-4x2-6x+4x+6
= 5x2-2x-10
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三、研学教材
练一练
3、先化简，后求值： (a-3)(a+3)(a2+9)，其中a=1.
解：原式=(a2- 32)(a2+32) = (a2)2 – (32)2 = a4 – 81
当a=1时， 原式= 14 – 81= – 80
广东省怀集课本第107和108页的内容， 完成下面练习并体验知识点的形成过程.
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三、研学教材
知识点一 平方差公式
计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
(1)(x+1)(x-1)=x2-x+x-1= x2-1
；
(2)(m+2)(m-2)= m2-2m+2m-4 = m2-4 ；
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三、研学教材
练一练
1、下列各式中，计算结果是 81 x 2 的
是（ D ）
A. x 9x 9 B. 3m 2n 3m 2n
C. 2y 1 1 2y D. x 9 x 9 3 3
2、用平方差公式填空： (1) ( 1-5a )(5a+1)=1-25a2