人教A版数学高二选修2-3第一章《计数原理》本章高效整合试卷

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人教A版数学高二选修2-3第一章《计数原理》综合检测

每班2个，有C 26种分法；(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A 26种分法；(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C 16·C 25种分法；(5)分给四个班，每班1个，共有C 46种分法．故共有N ＝C 16＋C 26＋A 26＋C 16·C 25＋C 46＝126种分配方法．解法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)．这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法．这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，共有N ＝C 59＝126种放法．故共有126种分配方法． 22．(本题满分12分)已知⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n (n ∈N *)的展开式的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n的展开式中a －1项的二项式系数．对于⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5：T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝⎛⎭⎫－15b r ＝C r 5·(－1)r ·45－r ·.若T r ＋1为常数项，则10－5r＝0，所以r ＝2，此时得常数项为T 3＝C 25·(－1)2·43·5－1＝27.令a ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的各项系数之和为2n .由题意知2n ＝27，所以n ＝7.对于⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a 7：T r ＋1＝C r 7⎝⎛⎭⎫3a 7－r ·(－3a )r ＝C r 7·(－1)r ·.若T r ＋1为a －1项，则5r －216＝－1，所以r ＝3.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式中a －1项的二项式系数为C 37＝35.。

2021-2022学年高中数学第一章计数原理测评(含解析)新人教A版选修2-3

第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.若A m4=18C m3,则m等于()A.9B.8C.7D.6,得m-3=3,m=6.A m4=m(m-1)(m-2)(m-3)=18·m(m-1)(m-2)3×2×12.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A.10B.11C.12D.15:分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同,可得N=C42+C41+1=11.3.若实数a=2-√2,则a10-2C101a9+22C102a8-…+210等于()A.32B.-32C.1 024D.512,得a10-2C101a9+22C102a8-…+210=C100(-2)0a10+C101(-2)1a9+C102(-2)2a8+…+C10(-2)10=(a-2)10=(-√2)10=25=32.104.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且每户居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有( ) A.A 43种B .A 33A 31种C .C 42A 33种D .C 41C 31A 33种4名水暖工选出2人分成一组,然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家,故有C 42A 33种.5.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,位于第一、第二象限不同点的个数是( ) A.18B.16C.14D.10N 1=2×2+2×2=8(个),第二象限的不同点有N 2=1×2+2×2=6(个), 故N=N 1+N 2=14(个). 故答案为C .6.将A,B,C,D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球,且A,B 不能放入同一个盒子中,则不同的放法有( ) A.15种B.18种C.30种D.36种A,B 放入不同盒中,有3×2=6(种)放法,再放C,D,若C,D 在同一盒中,有1种放法;若C,D 在不同盒中,则有2×2=4(种)放法. 故共有6×(1+4)=30(种)放法.故答案为C .7.为支持地震灾区的灾后重建工作,某公司决定分四天每天各运送一批物资到A,B,C,D,E 五个受灾地点.由于A 地距离该公司较近,安排在第一天或最后一天送达;B,C 两地相邻,安排在同一天上午、下午分别送达(B 在上午、C 在下午与B 在下午、C 在上午为不同的运送顺序),且运往这两地的物资算作一批;D,E 两地可随意安排在其余两天送达.则安排这四天运送物资到五个受灾地点的不同运送顺序的种数为( ) A.72B.18C.36D.24.第1步,安排运送物资到受灾地点A,有C 21种方法;第2步,在余下的3天中任选1天,安排运送物资到受灾地点B,C,有C 31A 22种方法;第3步,在余下的2天中安排运送物资到受灾地点D,E,有A 22种方法.由分步乘法计数原理得,不同的运送顺序共有C 21·(C 31A 22)·A 22=24(种).8.将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i 个数为a i (i=1,2,…,6),若a 1≠1,a 3≠3,a 5≠5,a 1<a 3<a 5,则不同的排列方法种数为( )A.30B.18C.36D.48a 1,a 3,a 5的大小顺序已定,且a 1≠1,a 3≠3,a 5≠5,所以a 1可取2,3,4,若a 1=2或3,则a 3可取4,5,当a 3=4时,a 5=6,当a 3=5时,a 5=6;若a 1=4,则a 3=5,a 5=6.而其他的三个数字可以任意排列,因而不同的排列方法共有(2×2+1)A 33=30(种).9.12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人,后排6人),若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()A.6C82 B.720C82C.30C82 D.20C822人有C82种方法,再插空.由题意知先在4人形成的5个空当中插入1人,有5种方法,余下的1人要插入前排5人形成的6个空当中,有6种方法,即为30种方法.故共有30C82种调整方法.10.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么a0+a2+a4a1+a3的值为()A.-122121B.-6160C.-244241D.-1x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.两式相加除以2求得a0+a2+a4=122,两式相减除以2可得a1+a3+a5=-121.又由条件可知a5=-1,故a0+a2+a4a1+a3=-6160.11.形如45 132的数称为“波浪数”,即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为()A.20B.18C.16D.11,十位和千位数字只能是4,5或3,5,若十位和千位排4,5,则其他位置任意排1,2,3,这样的数有A 22A 33=12(个);若十位和千位排5,3,这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻,1,2在其余位置上任意排列,这样的数有A 22A 22=4(个).综上,共有16个.故答案为C .12.若自然数n 使得竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n 为“可连数”.例如:32是“可连数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”,因23+24+25产生进位现象.则小于1 000的“可连数”的个数为( ) A.27 B.36C.39D.48,要构造小于1000的“可连数”,个位上的数字的最大值只能为2,即个位数字只能在0,1,2中取.十位数字只能在0,1,2,3中取;百位数字只能在1,2,3中取.当“可连数”为一位数时,有C 31=3(个);当“可连数”为两位数时,个位上的数字有0,1,2三种取法,十位上的数字有1,2,3三种取法,即有C 31C 31=9(个);当“可连数”为三位数时,有C 31C 41C 31=36(个);故共有3+9+36=48(个).二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 .(用数字作答).第1类,每级台阶只站一人,则有A 73种站法;第2类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则有C 31A 72种站法,因此共有不同的站法种数是A 73+C 31A 72=336.14.若(x +√x3)8的展开式中x 4的系数为7,则实数a= .(x √x 3)8的通项为C 8rx 8-r a r(x -13)r=C 8r a r x8-r x -r3=C 8r a r x8-43r,令8-43r=4,解得r=3. ∴C 83a 3=7,得a=12.15.6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:先排列好除甲、乙两人外的4人,有A 44种方法,再把甲、乙两人插入4个人的5个空当,有A 52种方法,所以共有A 44·A 52=480(种).16.(1+sin x )6的二项展开式中,二项式系数最大的一项的值为52,则x 在[0,2π]内的值为 .,得T 4=C 63sin 3x=20sin 3x=52,∴sin x=12.∵x ∈[0,2π], ∴x=π6或x=5π6.5π6三、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)有6个除颜色外完全相同的球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?.(1)若取1个黑球,和另外3个球排成一列,不同的排法种数为A 44=24;(2)若取2个黑球,和从另外3个球中选的2个排成一列,2个黑球是相同的,所以不同的排法种数为C 32C 42A 22=36;(3)若取3个黑球,和从另外3个球中选的1个排成一列,不同的排法种数为C 31C 41=12.综上,不同的排法种数为24+36+12=72.18.(12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球. (1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?将取出的4个球分成三类:①取4个红球,没有白球,有C 44种;②取3个红球1个白球,有C 43C 61种;③取2个红球2个白球,有C 42C 62种,故有C 44+C 43C 61+C 42C 62=115(种).(2)设取x 个红球,y 个白球,则{x +y =5,2x +y ≥7,0≤x ≤4,0≤y ≤6,故{x =2,y =3或{x =3,y =2或{x =4,y =1.因此,符合题意的取法种数有C 42C 63+C 43C 62+C 44C 61=186(种).19.(12分)已知(x +2√x )n展开式中的前三项的系数成等差数列. (1)求n 的值;(2)求展开式中系数最大的项.由题意,得C n 0+14C n 2=2×12C n 1, 即n 2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去).故n=8. (2)设第r+1项的系数最大,则{12r C 8r ≥12r+1C 8r+1,12r C 8r ≥12r -1C 8r -1, 即{18-r≥12(r+1),12r≥19-r.解得2≤r ≤3.∵r ∈N *,∴r=2或r=3.∴系数最大的项为T 3=7x 5,T 4=7x 72.20.(12分)设1+12x m =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a m x m,若a 0,a 1,a 2成等差数列. (1)求1+12x m 展开式的中间项;(2)求1+12x m展开式中所有含x 的奇次幂的系数和. 解(1)依题意a 0=1,a 1=m 2,a 2=C m2122.由2a 1=a 0+a 2,求得m=8或m=1(应舍去),所以1+12x m展开式的中间项是第五项, T 5=C 8412x 4=358x 4.(2)因为1+12x m =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a m x m, 即1+12x 8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8. 令x=1,则a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 8=328, 令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 8=128,所以a 1+a 3+a 5+a 7=38-129=20516,所以展开式中所有含x 的奇次幂的系数和为20516.21.(12分)把n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做最大再生数,最小的数叫做最小再生数.(1)求1,2,3,4的再生数的个数,以及其中的最大再生数和最小再生数; (2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.的再生数的个数为A 44=24,其中最大再生数为4321,最小再生数为1234.(2)需要考查5个数中相同数的个数. 若5个数各不相同,有A 55=120(个);若有2个数相同,则有A 55A 22=60(个);若有3个数相同,则有A 55A 33=20(个);若有4个数相同,则有A 55A 44=5(个);若5个数全相同,则有1个.22.(12分)已知m ,n 是正整数,f (x )=(1+x )m +(1+x )n 的展开式中x 的系数为7. (1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ,n ,求出此时x 3的系数; (2)利用上述结果,求f (0.003)的近似值;(精确到0.01)(3)已知(1+2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ,系数的最大值为b ,求ba .根据题意得C m 1+C n 1=7,即m+n=7,①f (x )中的x 2的系数为C m 2+C n 2=m (m -1)2+n (n -1)2=m 2+n 2-m -n2.将①变形为n=7-m 代入上式得x 2的系数为m 2-7m+21=m-722+354, 故当m=3或m=4时,x 2的系数的最小值为9.当m=3,n=4时,x 3的系数为C 33+C 43=5;当m=4,n=3时,x 3的系数为C 43+C 33=5.(2)f (0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈C 40+C 41×0.003+C 30+C 31×0.003≈2.02.(3)由题意可得a=C 84=70,再根据{C 8k ·2k≥C 8k+1·2k+1,C 8k ·2k ≥C 8k -1·2k -1,即{k ≥5,k ≤6, 求得k=5或6,此时,b=7×28,∴b a =1285.2021-2022学年高中数学第一章计数原理测评（含解析）新人教A版选修2-311 / 1111。

2016高中数学人教A版选修23第一章《计数原理》综合检测

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第一章计数原理综合检测新人教A版选修2-3（时间:90分钟，满分：120分）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项就是符合题目要求的）1、（2012 •岳阳高二检测）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（）A、7B、64C、12D、81【解析】根据分步乘法计数原理，共有4X3=12种、【答案】C2、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A、10 种B、20 种C、25 种D、32 种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种、【答案】D3、（2013・大纲全国卷）（1+x）s（l+r）s的展开式中丘尹的系数就是（）A、56B、84C、112D、168【解析】因为（1+x）啲通项为C错误!（l+y）°的通项为C错误!故（1 + 0 3（1+刃'的通项为C错误!C错误!旳/、令k=2, t=2,得xY的系数为C错误!C错误! = 16&【答案】D4、某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A、（C》A错误!个B、A错误!A错误!个C、（C错谋!尸10：个D、A错谋!10’个【解析】2个英文字母可重复，都有C', 种不同取法、4个不同数字有A错误!种不同排法、由分步乘法il•数原理知满足条件的牌照号码有C错谋！・C错课！・A错谋!= （C错谋！）：・A错谋!个、【答案】A5、（2012 •郑州髙二检测）4爼男歌手与2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，则共有出场方案的种数就是（）A、6疋B、3A错误！C、2A3, 3D、A错误!A错误!A错误！【解析】先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A错误!种选法，这两名女歌手有A 错误!种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A错误!种排法，根据分步乘法计数原理，有A错误!A错误!A错误!种出场方案、【答案】D6、一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5 个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数就是（）A、40B、74C、84D、200【解析】分三类：第一类:前5个题目的3个，后4个题目的3个，第二类:前5个题目的4个，后4个题目的2个，第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法il•数原理得C错误!C错误! +C；C错误!+C错误! C错误!=74、【答案】B7、张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园、为安全起见, 首尾一泄要排两位爸爸，另外，两个小孩一左要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有（）A、12B、24C、36D、48【解析】第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法;第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A；种排法,故总的排法有2X2XA错误！=24种、【答案】B8、从正方体ABCD— 2CQ的8个顶点中选取4个作为四而体的顶点，可得到的不同四而体的个数为（）A、C*, 3-12B、C错误！一8C、C错误! 一6D、C错误! 一4【解析】正方体中，6个而与6个对角而上的四个点不能构成四而体故共有C错误! 一12、【答案】A9、（2013 •陕西髙考）设函数f（Q =错误!则当力0时，（£］表达式的展开式中常数项为（）A、-20 20C、—15 D. 15【解析】・・・f（x）=错误！・••当Q 0时,f （Q 错误！〈0,・・・f ［心］=f （一错误！）=错误广=错课!:・•・展开式中常数项为C错误！（错误!）：错误!'=-C错误! = 一20、【答案】A10、将二项式（错误!+错误！）'的展开式中所有项重新排成一列,有理式不相邻的排法有（）种、A、A错误！B、A错谋!A错课！C、A错误!A错误！D、A错误!A错误！【解析】（错误！ +错误!尸展开式的通项公式错误！•（错误！）"『・（错误!厂C召16=—2 ・r 4 , r=0, 1, 2, (8)当错误!为整数时,厂=0,4,8、・••展开式共有9项，英中有有理项3项，先排其余6项有A：种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A错误!种方法、.•.共有A错误!A错误!种排法、【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在题中的横线上）11、（2012 •吉安高二检测）C；+C错误！+C错误!+C错误!+C错误!的值为_____ 、【解析】C\ 6+C错误!+C错误！+C错误！+C错误!=2—C错误!一C错误！=62、【答案】6212、（2012 -广东髙考）2+丄）6的展开式中#的系数为_________ 、（用数字作答）x【解析】设第r+1项为含空的项，则错误!厂之错误!》皿，令12 — 3r=3,得r=3,・•・£的系数为C', 6=20、【答案】2013、若（2f+错误！）•'的展开式中含有常数项，则最小的正整数刀等于_______ 、【解析】气错误！）’为常数项，则弘-错谋!r=0,即错谋!”，而心、・•」为7的整数倍,即最小的正数n等于7、【答案】714、（2012 •武汉高二检测）某车队有7辆车，现要调出4辆按一沱顺序出去执行任务、要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开岀有_________ 种不同的调度方法（填数字）【解析】先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C错误!种选法，连同甲、乙共4辆车, 排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C：种，最后，安排其她两辆车共有A c,;种方法，.••不同的调度方法为C错误！・C错误！・A错误! = 120科|、【答案】120三、解答题（本大题共4小题，共50分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、（本小题满分12分）某单位职工义务献血，在体检合格的人中,0型血的共有28人，A型血的共有7人,B型血的共有9人，AB型血的有3人、（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种I血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【解】从0型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法、（1）任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28+7+9 + 3=47种不同的选法、（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件'‘各选1人去献血"的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28X7X9X3=5 292种不同的选法、16、（本小题满分12 分）（2012 •深圳高二检测）设（2x— 1）10=+SiX-h«fcx34-• • •+a^x0, 求下列各式的值：（1）ao+a： + a：：+"・ + a：o；（2）直、【解】（1）令x= 1 ♦得<2o + ai + a：+…+ aw= （2―1）10 = 1；（2）头即为含#项的系数，（2x）心・（-1） '=C错课! （一1）护•严, 所以当r=4 时，％=C错误！（一1）少/=13 440/,即戲=13 440、17、（本小题满分12分）如图1有4个编号为1、2、3、4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？图1【解】分为两类：第一类:若1、3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法（与1相同），4有4种涂法、故A；=5X4X1X4=8O.第二类:若1、3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法,4有3种涂法、故用=5X4X3X3 = 180、综上可知不同的涂法共有*=\；+用=80+180=260种、18、（本小题满分14分）学校组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛就是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛（在第一轮中已相遇过的两队不再进行比赛），问共要进行多少场比赛？【解】第一轮每组6个队进行单循环赛，共有C错误!场比赛,4个组共计赛4C错误!场、第二轮每组取2名，共计8个队，本应赛C错误!场，由于第一轮分在同一组的两队不再进行比赛，故应减去4场，共赛C错谋! 一4场、综上，两轮比赛总共需比赛4C错误! +C错误! 一4 = 84场、。

人教版数学高二A版选修2-3单元测试第一章计数原理

第一章过关检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题(每小题4分,共40分) 1.若A 3m ＝6C 4m ,则m 等于( )A.9B.8C.7D.62.男、女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人3.若100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是( )A.C 16C 294B.C 16C 299C.C 3100－C 394D.C 3100－C 2944.从5位男教师和4名女教师中选出3位教师,派到3个班担任班主任(每班一位班主任),要求这三位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有( ) A.210种 B.420种 C.630种 D.840种5.现有6个人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘4人(不含司机),则不同的乘车方案的种数是( )A.50B.60C.70D.806.在10)3( x 的展开式中,x 6的系数为( )A.－27C 610B.27C 410C.－9C 610D.9C 4107.把1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填入图中的表格,从上到下,从左到右,依次增大.当3、4固定在图中位置,余下的数的填法有( )A.6种B.12种C.18种D.24种8.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子里,使得每个盒子都不空的放法总数是( )A.C 13A 33B.C 34A 22C.C 24A 33D.C 14C 34C 229.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10种 B.20种 C.36种 D.52种10.已知(1－3x)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9,则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|等于( ) A.29 B.49 C.39 D.1 二、填空题(每小题4分,共16分)11. 8次投篮中,投中3次,其中恰有2次连续命中的情形有______种.12.四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总数是_______.13.某药品研究所研制了5种消炎药a 1,a 2,a 3,a 4,a 54种退烧药b 1,b 2,b 3,b 4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验,但又知a 1,a 2两种药必须同时使用,且a 3,b 4两种药不能同时使用,则不同的方案有_______种.14.若nx x )(13-+展开式中,第5项是常数,问中间项是第_______项.三、解答题(共44分)15.(10分)如右图,若灯不亮,则元件R 1,R 2,R 3断路的情况共有多少种?16.(10分)解关于n 的不等式:C 4n ＞C 6n .17.(12分)求84)21(xx +展开式中系数最大的项.18.(12分)“十一”国庆期间,公司从网络部抽4名人员、人事部抽3名人员(两个部门的主任都在内),从10月1号至7号,安排每人值班一天,分别回答下列问题: (1)两个部门的主任不能安排在1号和7号;(2)若各部门的人员安排不能连续(即同部门的人员相间安排); (3)若人事部因工作需要,他们的值班必须安排在连续三天; (4)网络部主任比人事部主任先值班.参考答案1解析:由m(m －1)(m －2)＝1234)3)(2)(1(6⨯⨯⨯---•m m m m ,解得m ＝7. 答案:C2解析:设女生有x 人,则30128=•-C C x x ,即302)7)(8(=•--x x x .解得x ＝2或3. 答案:A3 解析:不考虑限制条件,从100件产品中任取3件,有C 3100种取法,然后减去3件全是正品的取法C 394,故有C 3100－C 394种取法. 答案:C4解析:分两类:第一类2男1女,则不同的选派方案有C 25C 14A 33＝240种. 第二类1男2女,则不同的选派方案有C 15C 24A 33＝180种. 由分类加法计数原理得:共有240＋180＝420种不同的选派方案. 答案:B5解析:分三类:第一辆车乘2人,第二辆车乘4人,有C 26种乘法;第一、二辆车各乘3人,有C 36种乘法;第一辆车乘4人,第二辆车乘2人,有C 46种乘法,由分类加法计数原理,共有C 26＋C 36＋C 46＝50种. 答案:A6 解析:T5＝C410x10－4·(－3)4＝9·C410 x6.答案:D7解析:左上角格必须填1,右下角格必须填9,第二行最左端格必须填2,如图.A、B从余下的5,6,7,8四个数中任选两个,从左到右依次增大填入,有C24种.剩余的两个数由上到下,依次增大填入C、D即可.故共有C24＝6种不同的填法.答案:A8解析:选2个小球捆在一起看成1个元素,有C24种选法.把3个元素放入3个不同的盒中,有A33种放法.故共有C24·A33种不同的放法.答案:C9 解析:分两类:第一类2号盒内放2个球,有C24种放法(剩余的球放入1号盒内即可);第二类,2号盒内放3个小球,有C34种放法(剩余的球放入1号盒内即可).由分类加法计数原理,共有C24＋C34＝10种不同的放法.答案:A10解析:由展开式可知a1,a3,a5,a7,a9都小于0,a0,a2,a4,a6,a8都大于0,故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8－a9,只需令x＝－1即可得:(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8－a9＝49.答案:B11解析:将2次连续命中当作一个整体,和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进行排列有A26种.答案:3012 解析:将其中两名学生视为一个元素,其余二名同学分别视为一个元素,然后将三个元素分配到三所学校,所以不同的保送方案的总数为C 24A 33＝36. 答案:3613解析:分3类:当取a 1,a 2时,再取退烧药有C 14种方案;取a 3时,取另一种消炎药的方法有C 12种,再取退烧药有C 13种,共有C 12C 13种方案;取a 4,a 5时,再取退烧药有C 14种方案.故共有C 14＋C 12C 13＋C 14＝14种不同的实验方案. 答案:1414解析:由通项公式可得第5项3164434414---+==n n n nxx xT C C,即n ＝16,所以中间项是第9项. 答案:915解:每个元件都有通或断两种可能,以m,n,p 表示元件的通断,m,n,p 可取值均为0(表示断),1(表示通),故所有可能情况为(m,n,p)的可能情况共有2×2×2＝8种.因为是串联电路,所以一断则断,只要排除全通的情况(m ＝1,n ＝1,p ＝1)即可,所以若灯不亮,则元件R 1,R 2,R 3断路的情况共有8－1＝7种. 16解:因为C 4n ＞C 6n ,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥->-,6,)!6(!6!)!4(!4!n n n n n即⎩⎨⎧≥<--.6,01092n n n 所以6≤n ＜10. 又因为n ∈N *,所以满足不等式的n 的取值为{6,7,8,9}. 17 解:记第r 项系数为T r ,设第k 项系数最大,则有⎩⎨⎧≥≥+-.,11k k k k T T T T 又1182+--•=r r r C T ,那么有⎪⎩⎪⎨⎧•≥••≥•-+--+--+--,22,228118228118kk k k k k k k C C C C 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-•≥⨯-•-⨯-•-≥-•-,)!8(!!82)!9()!1(!8,2)!10()!2(!8)!9()!1(!8k k k k k k k k所以⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-.192,10211kk k k 解得3≤k≤4.所以系数最大的项为第3项257x 和第4项477x .18解:(1)第一步,在2号至6号五天中安排两名主任,有A 25种排法;第二步,剩下五人安排在剩下的五天有A 55种排法,故共有A 25·A 55＝2 400种排法.(2)两个部门的人员相间安排,先排4名网络部人员,有A 44种;然后在他们的三个空档中插入三名人事部人员,有A 33种,故共有A 44·A 33＝144种排法.(3)把人事部三个人看成一个人,再与网络部4人,有A 55种排法;人事部三个人的内部排列,有A 33种,故共有A 55·A 33＝720种排法.(4)不考虑任何限制的排法有A 77,两人中排谁先值班的可能性相同,故有52022177=A种排法.。

【高考调研】高中数学(人教a版)选修2-3：第一章-计数原理+单元测试题x

【高考调研】高中数学(人教a版)选修2-3：第一章-计数原理+单元测试题x第一章综合测试题一、选择题1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有?2、3、3、4?条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应( )A．从东边上山C．从南边上山B．从西边上山D．从北边上山2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为?y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A．7?个B．8?个?C．9?个D．10?个3．5?名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )2A．C5 B．25C．52 D．A2524．6?个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐?4?人，则不同的乘车方法数为( )A．40 B．50 C．60 D．705．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施?6?个程序，其中程序 A?只能出现在第一步或最后一步，程序?B?和?C?实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A．24?种B．48?种C．96?种D．144?种6．有甲、乙、丙三项任务，甲需?2?人承担，乙、丙各需?1?人承担，从?10?人中选派?4?人承担这三项任务，不同的选法有( )A．2?520 B．2?025 C．1?260 D．5?0408?10．已知?x－x展开式中常数项为?1120，其中实数8?10．已知?x－x展开式中常数项为?1120，其中实数?a?是常数，则展在第?3?道上，货车?B?不能停在第?1?道上，则?5?列火车的停车方法共有 ( )A．78?种B．72?种C．120?种D．96?种8．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若?a0＋a1＋a2＋…＋an ＝16，则自然数?n?等于( )A．6 B．5 C．4 D．39．6?个人排队，其中甲、乙、丙?3?人两两不相邻的排法有( )A．30?种B．144?种?C．5?种D．4?种? a?? ?开式中各项系数的和是( )A．28?B．38?C．1?或?38 D．1?或?2811．有?A、B、C、D、E、F?共?6?个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运?A?箱，卡车乙不能运B?箱，此外无其他任何限制；要把这?6?个集装箱分配给这?3?台卡车运送，则不同的分配方案的种数为( )A．168 B．84 C．56 D．4212．从?2?名女教师和?5?名男教师中选出三位教师参加?20xx?年高考某考场的监考工作．要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为( )A．30 B．180?C．630 D．1?08013．已知(x＋2)n?的展开式中共有?5?项，则?n＝________，展开式中的常数项为________．(用数字作答)14．5?个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有____种．15．已知(x＋1)6(ax－1)2?的展开式中含?x3?项的系数是?20，则?a?的值等于________．16．用数字?2,3?组成四位数，且数字?2,3?至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)17．某书店有?11?种杂志，2?元?1?本的?8?种，1?元?1?本的?3?种，小张用10?元钱买杂志(每种至多买一本，10?元钱刚好用完)，求不同的买法有多少种(用数字作答)．18．4?个相同的红球和?6?个相同的白球放入袋中，现从袋中取出?4?个球；若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？9(12?分)从?1?到?6?的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示)20?已知(1＋2?x)n?的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数5的?2?倍，而且是它的后一项系数的6，试求展开式中二项式系数最大的项．21?某单位有三个科室，为实现减负增效，每科室抽调2?人，去参加再就业培训，培训后这?6?人中有?2?人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排?1?人，问共有多少种不同的安排方法．22．10?件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有?2?件商品不能参加评选，要选出?4?件商品，并排定选出的?4?件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选?6?件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？1,D2,由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：第一步，先确定函数值?1?的原象：因为?y＝x2，当?y＝1?时，x＝1?或?x＝－1，为此有三种情况：即{1}，{－1}，{1，－1}；第二步，确定函数值?4?的原象，因为?y＝4?时，x＝2?或?x＝－2，为此也有三种情况：{2}，{－2}，{2，－2}．由分步计数原理，得到：3×3＝9?个．选?C.3,B,4B44 22 85C?当?A?出现在第一步时，再排?A，B，C?以外的三个程序，有?A33种，A?与?A，B44 22 8成?4?个可以排列程序?B、C?的空档，此时共有?A33A1A2种排法；当?A?出现在最后一步时的排法与此相同，故共有?2A33A1A2＝96?种编排方法．6A?先从?10?人中选出?2?人承担甲任务有?C10种选法，再从剩下的?8?人中选出2?人分别承担乙、丙任务，有?A28种选法，由分步乘法计数原理共有?C10A2＝2?520?种不同的选法．故选?A.7不考虑不能停靠的车道，5?辆车共有?5！＝120?种停法．A?停在?3?道上的停法：4！＝24(种)；B?种停在?1?道上的停法：4！＝24(种)；A、B?分别停在?3?道、1?道上的停法：3！＝6(种)．故符合题意的停法：120－24－24＋6＝78(种)．故选?A.令?x＝1，得?2n＝16，则?n＝4.故选?C.4分两步完成：第一步，其余?3?人排列有?A33种排法；第二步，从?4?个可插空档中任选?3?个给甲、乙、丙?3?人4站有?A34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有?A3A3＝144?种．B r 810,CTr＋1＝(－a)rC8x8－2r，令?8－2r＝0 r＝4.∴T5＝C4(－a)4＝1?120，∴a＝±2.当?a＝2?时，和为?1；当?ar 8时，和为?38.4 4 4 311,D 分两类：①甲运?B?箱，有?C1·?C2·?C2种；②甲不运?B?箱，有?C2·?C4 4 4 34 4 4 3∴不同的分配方案共有?C1·?C2·?C2＋C2·?C2·?C24 4 4 3,A?分两类进行：第一类，在两名女教师中选出一名，从?5?名男教师中选出两名，且该女教师只能在室2 5 5内流动监考，有?C1·?C2种选法；第二类，选两名女教师和一名男教师有?C2·2 5 55 2 2 5 5 2教师中选一名作为室内流动监考人员，即有?C2·?C1·?C1共?10?种选法，∴共有?C1·?C2＋C2·?5 2 2 5 5 2A13.4 16 ∵展开式共有?5?项，∴n＝4，常数项为?C4424＝16.414. 甲、乙两人之间至少有一人，就是甲、乙两人不相邻，则有?A3·?A2＝72(种)．15. 0?或?5 16,14?因4为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是?2?或?3?的情况不合题意，所以适合题意的四位数有?24－2＝14?个．17.解析分两类：第一类，买?5?本?2?元的有?C58?种；第二类，买?4?本?2?元的和?2?本?1?元的有?C48×C23种．故共有?C58＋C48×C23＝266?种不同的买法种数．18.解析依题意知，取出有?4?个球中至少有?2?个红球，可分三类：①取出的全是红球有?C44种方法；②20.解析? 由题意知展开式中第?k＋1?项系数是第?k?项系数的?2?倍，是第?k＋2?项系数的，6 4 6取出的?4?个球中有20.解析? 由题意知展开式中第?k＋1?项系数是第?k?项系数的?2?倍，是第?k＋2?项系数的，6 4 64 6 4 6理，共有?C4＋C3·?C1＋C2·?C4 6 4 6319.解析(1)四位数共有?C23C2A4＝216?个．333 3(2)上述四位数中，偶数排在一起的有?C23C2A3A2＝10833 3(3)两个偶数不相邻的四位数有?C23C2A2A2＝108?个．56∴Ckn2k＝6Ckn＋1·?2k＋ ∴?Ckn2k＝6Ckn＋1·?2k＋1， ? k k5解得?n＝7.∴展开式中二项式系数最大两项是：37T4＝C37(2?x)3＝280x2与?T5＝C4(2?x)4＝560x2.721. 6?人中有?2?人返回原单位，可分两类：2(1)2?人来自同科室：C13C1＝6?种；23 2 2 3 2 2(2)2?人来自不同科室：C2C1C1，然后?2?人分别回到科室，但不回原科室有?3?种方法，故有?3 2 2 3 2 236?种．由分类计数原理共有?6＋36＝42?种方法22.解析(1)10?件商品，除去不能参加评选的?2?件商品，剩下?8?件，从中选出?4?件进行排列，有?A48＝1?680(或8C4·?A4)(种)．8(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在?6?个位置中的两个位置上，有?A26种方法，再从剩下的8 6 8 88?件商品中选出?4?件，布置在剩下的?4?个位置上，有?A4种方法，共有?A2·?A4＝50?400(或?C4·?8 6 8 8。

[精品]新人教A版选修2-3高中数学第一章计数原理1.1-第1分层测评和答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图111所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有( )图11 1A．6条B．5条C．9条 D．4条【解析】从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条．由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有3＋2＝5条．【答案】 B2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A．96种 B．24种 C．120种D．12种【解析】先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．【答案】 A3．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( )A．53种B．35种C．8种D．15种【解析】每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( )A．15 B．12C．5 D．4【解析】利用分类加法计数原理．当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5个；当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4个．据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个．【答案】 A5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有( ) 【导学号：97270002】A．18条B．20条C．25条D．10条【解析】第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．【答案】 A二、填空题6．椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．【解析】因为焦点在y轴上，所以0<m<n，考虑m依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20个．7．某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为______．【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．【答案】428．如图112，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________．图11 2【解析】依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BCDA，信息量最大为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.【答案】19三、解答题9．有不同的红球8个，不同的白球7个．(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【解】(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种)．(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种)．10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【解】从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．[能力提升]1.一植物园参观路径如图113所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )图11 3A．6种B．8种C．36种D．48种【解析】由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线．【答案】 D2．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( ) 【导学号：97270003】A．180种B．360种C．720种D．960种【解析】分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．【答案】 D3．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．【解析】若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线．【答案】224．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，(1)P可以表示平面上的多少个不同点？(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？【解】(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点．(2)根据条件需满足a<0，b>0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．。

人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

人教A版选修2-3单元测评(一)计数原理(A卷).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作单元测评(一)计数原理(A卷)(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()A．70种B．112种C．140种D．168种解析：方法一(直接法)：分类完成：第1类，甲参加或乙参加，有C12C38种挑选方法；第2类，甲、乙都参加，有C22C28种挑选方法．所以不同的挑选方法共有C12C38＋C22C28＝140种．方法二(间接法)：从甲、乙等10人中挑选4人共有C410种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有C48种，所以甲、乙两人中至少有1人参加的不同的挑选方法有C410－C48＝140种．答案：C2．五本不同的书在书架上排成一排，其中甲，乙两本必须连排，而丙，丁两本不能连排，则不同的排法共有( )A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种解析：甲，乙看作一本，除去丙，丁后排列，再将丙，丁插入，共有A 22A 23A 22＝2×3×2×2＝24种．答案：C3．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－5B ．5C ．－10D ．10解析：T k ＋1＝C k 5·(x 2)5－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝C k 5·x 10－2k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ·(－1)k ＝C k 5·x 10－3k ·(－1)k. 由10－3k ＝4知k ＝2，即含x 4的项的系数为C 25(－1)2＝10.答案：D4．如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为( )A ．320B ．160C ．96D ．60解析：按③→①→②→④的顺序涂色，有C 15×C 14×C 14×C 14＝5×4×4×4＝320种不同的方法．答案：A5．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是() A．40 B．74C．84 D．200解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法C35C34＋C45C24＋C55C14＝74种．答案：B6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A23＝6；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.答案：B7．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为()A．1 B．－1C．0 D．2解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝1.答案：A8．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场的顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是()A ．6A 33B ．3A 33 C ．2A 33D ．A 22A 14A 44解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A 14种选法，这两名女歌手有A 22种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A 44种排法，根据分步乘法计数原理，有A 14A 22A 44种出场方案．答案：D9．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )A ．24种B ．36种C ．60种D ．66种解析：先排甲、乙外的3人，有A 33种排法，再插入甲、乙两人，有A 24种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占12，故所求不同的站法有12A 33A 24＝36(种)．答案：B10．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A ．72B ．96C ．108D ．144解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C 13种方法，将其余两个偶数全排列，有A 22种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A 33种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A 22·A 23种方法，故满足题意的偶数个数有C 13·A 22(A 33＋A 22·A 23)＝108个．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有__________种．解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有C 23种选法，再将3人安排到三个科目，有A 33种不同排法，因此共有C 23A 33＝18种不同方案．答案：1812.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项为__________(用数字作答)．解析：(化简三项为二项)：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. 所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.答案：632213．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有__________种不同的方法(用数字作答)．解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有C 29C 37C 44＝1 260种．答案：1 26014．某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有__________种．解析：先从6对夫妻中任选出一对，有C 16种不同的选法，再从其余的10人中任选出2人，有C 210种选法，其中这2人恰好是一对夫妻的选法有C 15种，所以共有C 16(C 210－C 15)＝240种不同选法．答案：240三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n 展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，(1)求n ；(2)求展开式中含x 项的系数； (3)求展开式中所有含x 的有理项．解：(1)由已知得：4n －2n ＝240,2n ＝16，n ＝4. (2分)(2)二项展开式的通项为：C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 454－r (－1)rx 4－32r ，令4－32r ＝1⇒r ＝2所以含x 项的系数：C 2452(－1)2＝150.(7分) (3)由(2)得：4－32r ∈Z ，(r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4.所以展开式中所有含x 的有理项为：第1项625x 4，第3项150x ，第5项x －2. (12分)16．(12分)一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数．解：由题意知需要分两类：第1类，甲上7楼，乙和丙在2,3,4,5,6层楼每个人有5种下法，共有52种；(5分)第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，共有4×2×5种．(10分)根据分类加法计数原理知，共有52＋4×2×5＝65种可能情况．(12分) 17．(12分)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？解：(1)可以组成无重复数字的三位数A19A29＝648(个)；(2分)(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第A12A29＋A18＋A14＝156(个)；(4分)(3)可以组成无重复数字的四位偶数A39＋A14A18A28＝2 296(个)．(分0占个位和0不占个位两种情况)．(6分)(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有A13A35＋C14C35A44＝1 140(个)．(分选出的偶数是0和不是0两种情况)(9分)(5)由这十个数字组成的所有“渐减数”共有C210＋C310＋C410＋…＋C1010＝210－C010－C110＝1 013(个)．(12分)18．(14分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋子有2只成双，另两只不成双．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同的选法，每双鞋子各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410·24＝3 360(种)．(4分)(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，即45种不同取法．(8分)(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋子中选取2双鞋有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29·22＝1 440(种)．(14分)。

高中数学人教A版选修2-3《第1章_计数原理》同步试卷(有答案)

人教A 版选修2-3《第1章计数原理》同步试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 若A m 5=2A m 3，则m 的值为（）A.3B.5C.7D.62. 一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是（）A.74B.40C.84D.2003. 从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3名同学，分别参加3个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，不同的参赛方案共有（）A.18种B.24种C.21种D.9种4. (x +2)2(1−x)5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为（）A.3B.5C.0D.25. 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A.C 1412A 124A 84B.C 1412C 124C 84C.C 1412C 124C 84A 33D.C 1412C124C84A 336. 在二项式(2√x +√x 4)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x −2项的系数为（）A.4B.1C.8D.167. 为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为（）A.36B.12C.24D.488. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A.36种B.24种C.60种D.48种9. 已知直线ax+by−1=0(a，b不全为0)与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）A.72条B.66条C.78条D.74条10. 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排（这样就成为前排6人，后排6人），若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A.C82A66B.C82A32C.C82A52D.C82A62二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有________个，其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有________个．)6的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a＝________．设二项式(x−ax某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4名运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，若同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为________，乙丙两名同学都选物理的概率是________．在二项式(√2+x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有2个节目连排，则不同排法的种数是________．在(4−3x)n的展开式中，各项系数的和为________；若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中所有偶数项的二项式系数之和为________．三、解答题（本大题共5小题，共74分）已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m, n∈N)的展开式中的x系数为19．(1)求f(x)展开式中的x2项系数的最小值；(2)当x2项系数最小时，求f(x)展开式中x7项的系数．设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有多少个？)n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．已知(x+2√x(1)求n的值；(2)求展开式中所有二项式系数的和；(3)求展开式中所有的有理项．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．(Ⅰ)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(Ⅱ)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；(Ⅲ)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？参考答案与试题解析人教A版选修2-3《第1章计数原理》同步试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】此题暂无答案【考点】排列及于列数缺式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】计数正知的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】排列及于列数缺式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】计数正知的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】计数正知的应用直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题分步乘正且数原理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共5小题，共74分）【答案】此题暂无答案【考点】二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项正开形的来定恰与特定系数二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

高二数学人教A版选修2-3习题第1章计数原理1.3.2 Word版含答案

选修2-3 第一章 1.3 1.3.2一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( ) A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项[答案] C[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ，令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] A[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．已知(x 2－1x)n 的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] 通项T r ＋1＝C r n (x 2)n －r(－1x )r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，当r ＝23n 时为常数项，即(－1)23 n C 2n 3n＝15，经检验n ＝6.4．若a 为正实数，且(ax －1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为( )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x 2014D ．－4032x2014[答案] D[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1，∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．5．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24[答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x 3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6．233除以9的余数是( )A ．8B ．4C ．2D ．1 [答案] A[解析] 233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21199＋…＋C 10119－1＝9(910－C 11199＋…＋C 1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A ．二、填空题7．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答).[答案] 5 10[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫1x 3r ＝C r 5·x 10－5r ，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.8．已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________.[答案] 1或38[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r (－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2，令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.9．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 三、解答题10．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝32017.一、选择题1．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.2．设函数f (x )＝(2x ＋a )n ，其中n ＝6⎠⎜⎛0π2cos x d x ，f ′(0)f (0)＝－12，则f (x )的展开式中x 4的系数为( )A ．－240B ．240C ．－60D ．60[答案] B[解析] ∵n ＝6⎠⎜⎛π2cos x d x ＝6sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝6， ∴f (x )＝(2x ＋a )6， ∴f ′(x )＝12(2x ＋a )5，∵f ′(0)f (0)＝－12，∴12a 5a 6＝－12，∴a ＝－1.∴f (x )＝(2x －1)6.其展开式的通项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－1)r ＝(－1)r C r 6·26－r x 6－r ，令6－r ＝4得r ＝2，∴f (x )展开式中x 4的系数为(－1)2C 26·24＝240，故选B ．二、填空题 3．观察下列等式：(1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8， ……由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝________. [答案]n (n ＋1)2[解析] 观察给出各展开式中x 2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a 2＝n (n ＋1)2.4．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则(1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝________； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________. [答案] (1)255 (2)32896 [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.三、解答题5．在(2x －3y )10的展开式中，求：(1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210. (2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.6．在二项式(x ＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． [解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由 ⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .。

高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案

1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）．组合数及组合数的公式从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．

高中数学(人教,选修2-3)第一章《计数原理》测试题A卷

60 人，男生 30 人，女生 30 人；高三三班有学生 55 人，男生 35 人，女生 20 人．
(1) 从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2) 从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少
种不同的选法？
信达
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
的任意 2 人不同行也不同列，则不同的选法种数为 ________( 用数字作答 ) ．
12．用数字 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的 6 位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，
且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是 ________．
13. 若
1 x＋ x
n 的展开式中第
3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中
18．（本题满分 12 分）某医院有内科医生 12 名，外科医生 8 名，现选派 5 名参加赈灾医疗队，其中： (1) 某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2) 甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3) 甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？ (4) 队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
19．（本题满分 14 分）已知 ( 3 x＋ x2) 2n 的展开式的二项式系数和比 (3 x－ 1) n 的展开式的二
项式系数和大
992. 求在
1 2x－ x
2n的展开式中，源自(1) 二项式系数最大的项；
(2) 系数的绝对值最大的项．

人教版高中数学选修2-3配套练习：第一章计数原理(含章末检测题)

第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理A级基础巩固一、选择题1．已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：满足题意的集合A分两类：第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1，2}，{3，2}共4个；第二类有两个奇数有{1，3}，所以共有4＋1＝5(个)．答案：D2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有()A．7种B．12种C．64种D．81种解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故不同取法共有4×3＝12(种)．答案：B3．如图所示，一条电路从A处到B处接通时，可构成的通路有()A．8条B．6条C．5条D．3条解析：依题意，可构成的通路有2×3＝6(条)．答案：B4．已知集合，M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A．18 B．17 C．16 D．10解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有3×3＝9(个)；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有4×2＝8(个)．由分类加法计数原理，在第一、第二象限内的点共有9＋8＝17(个)．答案：B5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b 组成复数a＋bi，其中虚数有()A．30个B．42个C．36个D．35个解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个)．答案：C二、填空题6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5，6，4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120(种)．答案：1207．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有________种．解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有N＝2×2×2＝23＝8(种)．答案：88．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，不同选法共有4＋3＝7(种)．若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)．答案：712三、解答题9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对；……x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，有序自然数对共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．10．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？解：操场可从5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理知，着色方案共有6×5×4×4＝480(种)．B级能力提升1．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种B．36种C．54种D．81种解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．答案：C2．有三个车队分别有4辆、5辆、5辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各一辆共4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共4×5＝20(种)；乙、丙各一辆共5×5＝25(种)，所以共有20＋20＋25＝65(种)．答案：653．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种．解：按出场位置顺序逐一安排：第一位置有3种安排方法；第二位置有7种安排方法；第三位置有2种安排方法；第四位置有6种安排方法；第五位置有1种安排方法．由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3×7×2×6×1＝252(种)．第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时两个计数原理的综合应用A级基础巩固一、选择题1．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有()C．7种D．9种解析：买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本有1种方案．因此共有方案：3＋3＋1＝7(种)．答案：C2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为()A．2 B．4C．6 D．8解析：分两类：第一类，公差大于0，有以下4个等差数列：①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，可组成的不同的等差数列共有4＋4＝8(个)．答案：D3．从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为()A．12 B．11C．24 D．23解析：先在{1，2，3}中取出1个元素，共有3种取法，再在{1，4，5，6}中取出1个元素，共有4种取法，取出的2个数作为点的坐标有2种方法，由分步乘法计数原理知不同的点的个数有N＝3×4×2＝24(个)．又点(1，1)被算了两次，所以共有24－1＝23(个)．答案：D4．要把3张不同的电影票分给10个人，每人最多一张，则有不同的分法种数是()C．240 D．120解析：可分三步：第一步，任取一张电影票分给一人，有10种不同分法；第二步，从剩下的两张中任取一张，由于一人已得电影票，不能再参与，故有9种不同分法；第三步，前面两人已得电影票，不再参与，因而剩余最后一张有8种不同分法．所以不同的分法种数是10×9×8＝720(种)．答案：B5．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数的个数是()A．20 B．16C．14 D．12解析：因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14(个)．答案：C二、填空题6．3位旅客投宿到1个旅馆的4个房间(每房间最多可住3人)有________种不同的住宿方法．解析：分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而共有不同的方法4×4×4＝43＝64(种)．答案：647．甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法．解析：分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×5＝15(种)；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×2＝6(种)；第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有5×2＝10(种)．综合以上三类，根据分类加法计数原理，不同选法共有15＋6＋10＝31(种)．答案：318．下图的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由3×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数为________(注：其他方向的也是L形)．解析：每四个小正方形图案都可画出四个不同的L形图案，该图中共有8个这样的小正方形．故可画出不同的位置的L形图案的个数为4×8＝32.答案：32三、解答题9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，不同的选法有28＋7＋9＋3＝47(种)．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，不同的选法有28×7×9×3＝5 292(种)．10．由1，2，3，4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)?解：组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；第二类：二位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)；第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．B级能力提升1．用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有() A．36个B．18个C．9个D．6个解析：分3步完成，1，2，3这三个数中必有某一个数字被重复使用2次．第1步，确定哪一个数字被重复使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故可组成的不同的四位数有3×3×2＝18(个)．答案：B2．把9个相同的小球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有________种．解析：分四类：第一个箱子放入1个小球，将剩余的8个小球放入2，3号箱子，共有4种放法；第一个箱子放入2个小球，将剩余的7个小球放入2，3号箱子，共有3种放法；第一个箱子放入3个小球，将剩余的6个小球放入2，3号箱子，共有2种放法；第一个箱子放入4个小球则共有1种放法．根据分类加法计数原理共有10种情况．答案：103．某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？解：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，4×3×2＝24，即共有24种方法．第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法．第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得，安装方法共有4×3×2×3×3＝216(种)．第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列第1课时排列的简单应用A级基础巩固一、选择题1．已知下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加一项活动；③从a，b，c，d 4个字母中取出2个字母；④从1，2，3，4 4个数字中取出2个数字组成1个两位数．其中是排列问题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一列．答案：B2．计算A67－A56A45＝()A．12 B．24 C．30 D．36解析：A67＝7×6A45，A56＝6A45，所以A67－A56A45＝36A45A45＝36.答案：D3．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有()A．6种B．9种C．11种D．23种解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为：由此可知共有9种送法．答案：B4．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数字共有()A．238个B．232个C．174个D．168个解析：由0，1，2，3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3A33＝18(个)，故共有192－18＝174(个)答案：C5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()A．24个B．30个C．40个D．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A24个，另一类是4作个位数，也有A24个．因此符合条件的偶数共有A24＋A24＝24(个)．答案：A二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m＝_________________________.解析：由10－(m－1)＝5，得m＝6.答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6三、解答题9．求下列各式中n 的值：(1)90A 2n ＝A 4n ；(2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2.解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)．所以n 2－5n ＋6＝90.所以(n －12)(n ＋7)＝0.解得n ＝－7(舍去)或n ＝12.所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！. 所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．(1)能被5整除的四位数有多少个？(2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级能力提升1．满足不等式A 7n A 5n＞12的n 的最小值为( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．8解析：由排列数公式得n！（n－5）！（n－7）！n！＞12，即(n－5)(n－6)＞12，解得n＞9或n＜2.又n≥7，所以n＞9.又n∈N*，所以n的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A26种．所以符合条件的直线有A26＝30(条)．答案：303．用1，2，3，4四个数字排成三位数(允许数字重复使用)，并把这些三位数从小到大排成一个数列{a n}．(1)写出这个数列的前11项；(2)求这个数列共有多少项．解：(1)这个数列的前11项为：111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成三位数的个数，每一数位都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)．第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列第2课时排列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是()A．6B．24C．48D．120解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，排法共有A44＝24(种)．答案：B2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．48个B．36个C．24个D．18个解析：个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．答案：B3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A．6种B．12种C．24种D．30种解析：首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，排列方法有A23＝6(种)．于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24(种)．答案：C4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为() A．30 B．48 C．60 D．96解析：“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A33；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到不同的三位数有A33×2×2×2＝48(个)．答案：B5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有()A．20种B．30种C．40种D．60种解析：分三类：甲在周一，共有A24种排法；甲在周二，共有A23种排法；甲在周三，共有A22种排法．所以排法共有A24＋A23＋A22＝20(种).答案：A二、填空题6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种(用数字作答)．解析：先选出文娱委员，有3种选法，再选出学习委员、体育委员，有A24种选法．由分步乘法计数原理知，选法共有3A24＝36(种)．答案：367．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A44种方法，而A、B可交换位置，所以摆法有2A44＝48(种)．又当A、B相邻又满足A、C相邻，摆法有2A33＝12(种)．故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．答案：368．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．解析：千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制．所以共有8A28＝448(个)．答案：448三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝1 440(种)．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440(种)．10．3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须相邻；(3)甲、乙两人不得相邻．解：(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A36种站法，然后再排其余位置，有A44种站法，所以不同站法共有A36A44＝2 880(种)．(2)把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于6个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以站法共有A66A22＝1 440(种)．(3)法一先让其余的5人全排列，再让甲、乙两人在每两人之间(含两端)的6个位置插入排列，所以不同站法共有A55·A26＝3 600(种)．法二不考虑限制条件，共有A77种站法，除去甲、乙相邻的站法A66·A22，所以不同站法共有A77－A66·A22＝3 600(种)．B级能力提升1．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于()A．1 543 B．2 543C．3 542 D．4 532解析：千位数为1时组成的四位数有A34个，同理，千位数是2，3，4，5时均有A34个数，而千位数字为1，2，3时，从小到大排成数列的个数为3A34＝72，即3 542是第72个．答案：C2．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．解析：“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可．所以不同坐法共有A34＝24(种)．答案：24第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合第1课时组合与组合数公式A级基础巩固一、选择题1．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为()A．3B．4C．12D．24解析：C34＝C14＝4.答案：B2．集合A＝{x|x＝C n4，n是非负整数}，集合B＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是()A．A∪B＝{0，1，2，3，4} B．B AC．A∩B＝{1，4} D．A⊆B解析：依题意，C n4中，n可取的值为1，2，3，4，所以A＝{1，4，6}，所以A∩B＝{1，4}．答案：C3．下列各式中与组合数C m n(n≠m)相等的是()A.nm Cmn－1B.nn－mC m n－1C．C n－m＋1n D.A m n n！解析：因为nn－mC m n－1＝nn－m·（n－1）！m！（n－m－1）！＝n！m！（n－m）！，所以选项B正确.答案：B4．C22＋C23＋C24＋…＋C216＝()A．C215B．C316C．C317D．C417解析：原式＝C22＋C23＋C24＋…＋C216＝C34＋C24＋…＋C216＝C35＋C25＋…＋C216＝…＝C316＋C216＝C317.答案：C5．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有()A．A45种B．45种C．54种D．C45种解析：由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C 45种．答案：D二、填空题6．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析：第一步安排周六有C 37种方法，第二步安排周日有C 34种方法，所以不同的安排方案共有C 37C 34＝140(种)．答案：1407．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A 、B 、O 、AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有________种．解析：父母应为A 、B 或O ，C 13C 13＝9(种)．答案：98．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A ，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B ，若B A ＝213，则这组学生共有________人．解析：设有学生n 人，则A 2n C 4n ＝213，解之得n ＝15. 答案：15三、解答题9．解不等式：2C x －2x ＋1＜3C x －1x ＋1.解：因为2C x －2x ＋1＜3C x －1x ＋1，所以2C 3x ＋1＜3C 2x ＋1.所以2×（x ＋1）x （x －1）3×2×1＜3×（x ＋1）x 2×1.所以x －13＜32，解得x ＜112. 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3x ＋1≥2，所以x ≥2. 所以2≤x ＜112.又x ∈N *，所以x 的值为2，3，4，5. 所以不等式的解集为{2，3，4，5}．10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线．(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A 210＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C 310＝10×9×83×2×1＝120(个)． B 级能力提升1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )A ．120B ．84C ．52D ．48解析：用间接法可求得选法共有C 38－C 34＝52(种)．2．A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．解析：根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则不同的走法有C35＝10(种)．答案：103．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市．(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？解：(1)从5名男司机中选派3名，有C35种方法，从4名男司机中选派2名，有C24种方法，根据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为C35C24＝C25C24＝5×42×1×4×32×1＝60(种)．(2)分四类：第一类，选派2名男司机，3名女司机的方法有C25C34＝40(种)；第二类，选派3名男司机，2名女司机的方法有C35C24＝60(种)；第三类，选派4名男司机，1名女司机的方法有C45C14＝20(种)；第四类，选派5名男司机，不派女司机的方法有C55C04＝所以选派方法共有40＋60＋20＋1＝121(种)．第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合第2课时组合的综合应用A级基础巩固一、选择题1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有()A．27种B．24种C．21种D．18种解析：分两类：一类是2个白球有C26＝15种取法，另一类是2个黑球有C24＝6种取法，所以取法共有15＋6＝21(种)．答案：C2．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种解析：依题意，满足题意的选法共有C24×2×2＝24(种)．答案：B3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有()A．24种B．18种C．12种D．96种解析：从3块不同的土地中选1块种1号种子，有C13种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有A23种方法，所以所求方法有C13A23＝18(种)．答案：B4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．10种B．20种C．36种D．52种解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C24种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C34种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C24＋C34＝10(种)．答案：A5．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．120种B．48种C．36种D．18种解析：依题意，所求播放方式的种数为C12C13A33＝2×3×6＝36.答案：C二、填空题6．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．。

人教A版数学高二选修2-3第一章《计数原理》章末综合训练

展开式中的项，不是有理项，便是无理项，先求有理项．∵T r＋1＝C r100(2)100－r·(33)r＝C r100·2100－r2·3r3，∴要使展开式中的项为有理项，r为6的倍数．又0≤r≤100，且r∈N，∴r的取值为0,6,12， (96)它构成了以0为首项，6为公差，96为末项的等差数列．设它有n项，则96＝6(n－1)，∴n＝17.因为展开式中共有101项，其中有17项有理项，可知无理项有84项．5．如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有()A．8种B．12种C．16种D．20种C问题可转化为分离的4个区域，用3条线段将其连接起来，不同的连接方案有多少种？如右图，分别连接A、B、C、D四点的线段共有6条，任意选3条有C36种连接方法，其中A—B—C—A，A—B—D—A，A—C—D—A，B—C—D—B四种情况不合题意，应舍去，所以共有C36－4＝20－4＝16(种)．二、填空题6．(2010·湖北文，11)在(1－x2)10的展开式中，x4的系数为________．45本题主要考查二项式定理．(1－x 2)10的展开式中，只有两个括号含x 2的项，则x 4的系数为C 210(－1)2＝45.7．(2009·重庆·理13)将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．36考查排列组合知识．必有2个大学生去同一个乡镇，故不同的分配方案共有C 24·A 33＝36种．三、解答题8．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于(165x 2＋1x)5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．由(165x 2＋1x)5，得 T r ＋1＝C r 5(165x 2)5－r (1x)r ＝(165)5－r ·C r 5·x 20－5r 2，令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，∴r ＝4，∴常数项T 5＝C 45×165＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4，由二项式系数的性质可知，(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，∴C 24a 4＝54，∴a ＝±3.9．将标有数字1,2,3,4,5的五张卡片放入标有数字1,2,3,4,5的五个盒子中，每个盒子放一张卡片，且卡片上的数字与盒子所标的数字均不相同，则共有多少种不同的放法？如图所示，首先确定标号为1的盒子放入卡片的方法，它可以放标号为2,3,4,5片，不妨设它放入了标号为2的卡片．再确定标号为2的盒子放入卡片的方法，它又分作两类，一是放入标号为1的卡片，于是再确定标号为3的盒子的放法，它可以放标号为4,5的卡片，不妨设为4，则标号为4的盒子就只能放标号为5的卡片，标号为5的盒子就只能放标号为3的卡片；二是放入标号为3,4,5的卡片中的一张，不妨设为3，则标号为3的盒子可放标号为1,4,5的卡片中的一张，并且当它放定后，标号为4,5的盒子均只有一种放法，于是由两个计数原理可知，不同的放法共有4×(2＋3×3)＝44(种)．。

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第一章《计数原理》本章高效整合试卷
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)
(考试时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数( )
A ．40
B ．74
C ．84
D ．200
解析：分三类：
第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个，第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个，第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得C 53C 43＋C 54C 42＋C 55C 41＝74. 答案： B
2．在⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋13x 24
的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )
A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．6项
解析： T r ＋1＝C 24r ⎝⎛⎭⎫x 1224－r ⎝⎛⎭⎫x －13r ＝C 24r x 12－5
6r ，所求x 的幂指数是整数的项必须满足5
6
r 为整数且0≤r ≤24，故r ＝0,6,12,18,24，所求项共有5项．答案： C
3．某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：
序号 1 2 3 4 5 6 节目
如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有( )
解析：把质点沿网格线从点A 到点B 的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：C 73＝35.
答案： 35
14．(x ＋1)3＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8则a 6＝________. 解析： ∵(x ＋1)3＋(x －2)8＝[(x －1)＋2]3＋[(x －1)－1]8 ∴a 6(x －1)6＝C 82(x －1)6(－1)2＝28(x －1)6 ∴a 6＝28. 答案： 28
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．
(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？解析： (1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：
第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法． (2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．
根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．
16．(本小题满分12分)若⎝⎛⎭⎫x ＋1
3x 2n 的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3，求展开式中的常数项．。