最新定轴转动刚体的动能计算

我们已知，定轴转动刚体的转动惯量I、角
速度ω分别与直线运动中刚体的质量M、速度v
对应，但教材上并未给出计算刚体旋转动能的
公式。我们猜想刚体的动能是否为
Ek
1 2
Iω
2
下面来证明此公式：
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设所有刚体均匀，密度为1，则质量和体积 在数值上相等。
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❖ 本文拟得出定轴转动下刚体 的动能表达式，并讨论教材例6.4 中电熨斗模型的改良及其他一些 简单应用。
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No ω：8π(4Hz)
r：0.3m
r1：0.25m v：0.2m/s
Image μ：0.3
N：5kg＊g＝50N．
Ｐ
2v
Ｑ
解得：s最大值是41.28m．这样的距离不用说 是家用吸尘器，除草都行了。因此，吸尘器底部
做成圆环更节能。
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由本文前面特殊情况刚体动能公式，半径 为r，环壁厚为1(r＜＜1)的圆环与半径为R的圆 柱绕轴线转动的情况如下：
圆环I1： 2r3.E1 12I2.m1 2r1.
ImNaoge 圆柱 (盘)：I2 R 24.E2 12I2.m2 R2.
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3
当转动周期、密度相同时，若 R 2r4 ，则I１＝I２，E１＝E２．亦即，半径ｒ的圆环与 半径Ｒ的圆柱如此旋转时有相同动能，但
定轴转动刚体的动能计算及一些 简单应用®
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❖ 本幻灯片参考材料：
《力学》，杨维纮，中国科学技术大学０４级理 学院教材。
其他便没有了。限于客观原因，作者并没有准备 充分资源。日后若条件允许，也许能做出更有价 值的成果。
Ｃ Ｏ
2v
No
Ｃ’
Image
摩擦力集中在上半个月牙形内。
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由于滑动摩擦力μN与接触面积无 关，若切去盘中心O半径为 r 2v 的小圆盘No，如图易知摩擦力增加
2fIm a2vgeN.
r1
Ｃ Ｏ
Ｐ
2v
Ｃ’
Ｑ
其中Δf是区域P、Q的摩擦力， P、Q的圆心分别是C和C’。
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在吸尘器模型中，设吸尘器使用距离
为s，采用开孔的底盘，增加了摩擦力，
却减少了驱动底盘转动的能量。当
No
Ｐ
2v
2vN•1•sm小盘 2r2
2
1I2.
2
成立。
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长为l的直细棒绕中垂线转动：
I 1 ml2 1 l3. 12 12
No
l
Image
ImNaoge Ek
Байду номын сангаас
2 l
1 •dl•l2
2
1 l32
24
1 I2.
2
2
成立。
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Ｃ Ｏ
Image r1
2
1
Ｃ’
Ｑ
时，即 s m小盘 3r13 时整体来讲是节省 了能量的。 4vN
r1为小盘半径。
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s m小盘 3r13
4vN
Ｃ
Ｏ
在实际生活中，各项数值如下：
Ｃ’
m小盘：2kg
Image 其中 EkxEkyEkz包含刚体质心系中刚体的动能，这里
不再推了。
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在教材例6.4中我们知半径r、自 转角速度ω、平动速度v<< ω 、滑动 摩擦系数μ、对地面压力N的圆盘受阻 力
f v N. r
不规则的物体绕任意定轴转动：
dI dmd 2 .
ImNaoge dE
k
1 2
dm
•
v
2 dm
，
v
dm
d.
No
dE
k
1 2 • dmd 2
2.
Image 即
dE
k
1 2
dI
•
2.
成立。
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这便证明了刚体定轴转动的动能 公式。
下面是一些分析： 1．这个动能是刚体在视轴为静止的 参考系下“所有”的动能。若转轴亦运动， 求刚体的总动能只需再加上刚体关于轴速 度的动能，即
EkE定轴 1 2M 刚体 •v轴 2.
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2．由
dEk
1 2
考虑半径为Ｒ的圆环绕轴线转动：
Im2 R2R3.
Ek
21•Rd•R2
02
R32
1I2.
2
成立。
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半径为R的圆盘绕轴线转动：
I1mR2 R4.
2
2
ImNaoge Ek
2R1•rdRd•r2
002
R42
4．由分析2及正交轴定理可求出刚体 作定点转动的动能公式：
No E k O E k x E k y E k z 1 2 I xx 2 I yy 2 I zz 2 .
5．Im由a分ge析1～4可得刚体作任意运动
的一般的动能公式：
No E k E k x E k y E k z1 2 M v 轴 2x v 轴 2y v 轴 2z.
I2
可知，既然能量是线性
的，定轴转动的刚体的转动惯量也是线性
的。
3．若刚体在轴A的转动惯N量oIA已知， 由分析2及平行轴定理，将轴Im移a到gBe点时刚
体的动能为
E kB E kA 1 2M A 2Br2(rA是 BA距 B)离 .
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