辐射的量子理论

(10.3.5)
受激吸收一个光子跃迁速率为
wafi = 2πηn g fikλ 2δ (E f − Ei − ηωk )
(10.3.6)
对末态光子动量和极化求和得
∑ ∑ Γfai = wafi = 2πηn g fikλ 2δ (E f − Ei − ηωk )
kλ
kλ
(10.3.7)
用同自发辐射中同样的方法 在偶极近似下单位时间感应吸收 速率为
∫ ∫ + 1
(iη)2
t
0 dt2
t2 0
dt1
∧
H
I
(t2
)
∧
H
I
(t1
)Φ(0)
+
Λ
若取(10.2.2)前两项 称一级玻恩近似
(10.2.2)
自发辐射一级玻恩近似解释
相互作用使初态 i 演化为
∫ Φ
=
1
+
1 iη
t 0
dt1
H
1
(t
)
i
在此态中出现态 f 的概率振幅为
∫ c fi =
fΦ=
f
(10.3.3)
在推倒(10.3.3)式时利用的n-1个光子系统态矢量的归一化条件
2
1 (n −1)!
(ck+λ )n−1
0
=
1 (n −1)!
0 (ckλ )n−1(ck+λ )n−1 0
=1
跃迁矩阵元为化为
(10.3.4)
f
H1 i
=η
n g ei( E f −Ei −ηωk )t / η fikλ
1 iη
t
0 dt1 H1(t1) i
于是由 i 跃迁到 f 的跃迁速率是
w fi
=
d dt
c fi
2
(10.2.3) (10.2.4)
(10.2.5)
跃迁速率是一个很重要的描写跃迁过程的物理量 由它可以算 出许多可以直接实验测量的量 如激发态的寿命 光谱线的强 度 散射截面等
设初态中有一个i态电子 自发辐射动量为 k 极化为 ελ
符随时间的指数函数关系 故(10.1.15)式给出的也就是相互作用哈
密顿算符在相互作用会景中的形式
若将(10.1.16)式作一次分部积分
和ε
* λ
=
ελ (Θ
A+
=
A)
可证明
g* µνkλ
=
g µν −kλ
并利用横波条件ελ ⋅ k = 0
(10.1.17)
这里暂不考虑相互作用算符中与A2有关的部分 因为它对一级近
µν −kλ µ ν k′λ′
µνk ′λ ′
⋅
1 n!
(ck+λ
)
n
ai+
0
(10.3.9)
算符乘积正规化手续后
f
H1 i
=η
n + 1g e−i(E f −Ei −ηωk )t / η fi − kλ
(10.3.10)
于是电子辐射光子过程的跃迁速率为
∑ ∑ Γfei = wwfi = 2πη(n +1) g fi−kλ 2δ (E f − Ei − ηωk ) (10.3.11)
磁场相互作用的影响而发生 电子场与电磁场相互作用对电子的 影响可看成一种微扰 可用微扰方法讨论自发辐射
相互作用绘景态矢量随时间的变化
iη
∂
Φ(t)
=
∧
HI
Φ(t)
∂t
(10.2.1)
∧
H I 为相互作用哈密顿算符 (10.2.1)式可用迭代法求解
结果为
∫ Φ(t) = Φ(0) + 1
iη
t
∧
0 dt1 H I (t1)Φ(0)
µν −kλ ν µ kλ
其中
(10.1.11) (10.1.12) (10.1.13)
(10.1.14)
(10.1.15)
∫ g µνkλ
=
−
e m
2π Vηωk
ϕ
* µ
eik
⋅x
[ε
λ
⋅
pϕν
( x)]dx
=− e m
2π Vηωk
ϕµ eik⋅xελ ⋅ p ϕν
10.1.16)
其中 p = −iη∇ 在写出(10.1.14)和(10.1.15)式时应用了自由场算
x ϕi
在长波近似下 自发辐射跃迁速率可表为
∫ ∑ Γ
s fi
=
e2ω 3 2πηc3
ελ ⋅ x fi 2 dΩ
λ
(10.2.17)
因 ex fi ≡ d fi 是原子的电偶极矩矩阵 所以长波近似也称为电
偶极近似
对于极化光辐射的情况 (10.2.17)中不对极化方向求和 对非 极化光辐射做如下计算
似中的电子发射或吸收一个光子的过程没有贡献
10.2 自发辐射
自发辐射 电子受电子场—电磁场相互作用而自发辐射光子的过 程
在一次量子化理论中 由于能级的稳定性 自发辐射是不可 能发生的 完整的光发射和吸收理论要借助二次量子化方法
讨论自发辐射的方法 由自发辐射定义知电子自发辐射光子是电子受到电子场与电
i
µνkλ
(10.2.7)
对于式中的算符乘积采取归一化办法 可得
0
a
f
ckλ
aν+
aµ
c+ k ′λ
′ai+
0
= δ kk′δ λλ′δ fν δ iµ
(10.2.7)式简化为
f
H1 i
= ηg e−i(Ei −E f −ηωk )t / η fi − kλ
再应用
∫ ∫ e dt t −iEt1 /η
Γfai
=
n
4e2ω 2 3ηc3
2
x fi
(10.3.8)
其中
ω = (E f − Ei ) / η
受激吸收
在初态存在光子时 电子辐射光子过程的矩阵元一般可表为
f H1 i = 0 a f
1 (n +
1)!
(ckλ
)
n+1
∑ ⋅ (η
g a a c e ) +
+ −i( Eµ −Eν −ηωk′ )t / η
[ ] ∫ H
R 0
=
1 8π
E 2 (x,t) + B2 (x,t) dx
∫ = 1 8π
1
c
2
∂A ∂t
2
+
(∇
×
A)2
dx
10.1.5)
组成
二次量子化系统的哈密顿算符 波函数 ψ (x, t) 和ψ ∗ (x, t) 以及
A 都变成算符 二次量子化系统的哈密顿算符可表为
H = H0 + H1 + H2
由于动量方向变化的连续性 求和变为积分
∑ ∫ ∫ → V
k (2π )3
dk
=
V (2π
)3
k 2dkdΩ
对末态光子有 ηωk = cηk
因此
k 2dk
=
ω
2 k
ηc3
d (ηωk
)
于是得到跃迁速率
∫ ∑ Γ
s fi
=
Vω 2 (2π )2 c3
g fi−kλ 2dΩ
λ
(10.2.13)
自发辐射电偶极近似 下面用偶极近似计算自发辐射跃迁速率 已知
在长波近似下
g fi−kλ
=
−
e m
2π Vηω
ϕf
ελ ⋅p ϕi
在相互作用绘景中 坐标算符的运动方程是
∧
dx dt
=
1∧ [x,
iη
H0]
=
1∧ (x
iη
H0
−
H0
∧
x)
=
p m
(10.2.15) (10.2.16)
于是在H0表象中 有
ϕ f p ϕi
=
m iη
(
Ei
−
Ef
)
ϕ
f
x ϕi
= −imω ϕ f
(10.3.1)
[ck′λ′ , (ck+λ )n ] = n(ck+λ )算符乘积在真空态中的平均值变为
1 n!(n −1)!
0 a f (ckλ )n−1 aµ+aν ck′λ′ (ck+λ )n ai+
0
= nδ kk′δ λλ′δ fµδ iν
x fi ≠ 0 要求 l = l′ ±1, m = m, m′ ±1
于是
∫ Γs ( nlm → n′l ′m′ )
=
4e2ω 3 3ηc3
(l +1) /(2l +1)
l /(2l +1)
∝ 0
Rn′l′
(r ) Rnl
(r)r
3dr
2
可看出 寿命与磁量子数无关 所以应对初态的可能
值 m态求平均 对末态m'求和 即
光子组成的系统 电子受到感应作用吸收了一个光子而转化为f
态的电子
与此过程对应的初态 末态的态矢量为
i
=
1 n!
(ck+λ
)
n
ai+
0
f = 0 af
1 (n −
1)!
(ckλ
)
n−1
相互作用哈密顿算符为
∑ H1 = η
g a a c e +
i( Eµ −Eν −ηωk )t / η
µνkλ µ ν k′λ′