历届“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题及答案
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4
5
14．在一个 m n （ m 行， n 列， m 1）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得： （1）每一列所填的数都是 1，2，3，…， m 的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…， m 这 m 个数出现且仅出现 1 次） （2）每一行 n 个的数和都是 34。 当上述的填数方式存在时，求 (m，n) 的所有可能取值。
设 xy t ，若 x 0 ，则 4 ； x 0 时， x y ，将 y t 代入 x2 xy 4y2 4 ，
t
x
得
x2
t
4t 2 x2
4 ，即 x4 (t 4)x2 4t2 0 ，
………………
①
9
由 △ (t 4)2 16t2 0 ，解得 4 t 4 。 53
n
A． 3 2
B． 4 3
C． 5 3
D． 7 4
C
I
A
B D
5．已知 x ， y 为实数，且满足 x2 xy 4y2 4 ，记 u x2 xy 4y2 的最大值为 M ，最小
1
值为 m ，则 M m （ ）
A． 40 3
B． 64 15
C． 136 15
D． 31 5
二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
A． 6
B． 30
C． 32
D． 38
【答案】 D
【解答】方程 x 2 x 2 4x a 0 化为 2x2 4x a 8 0 ……………… ① x 2 x 2 x2 4
若方程①有两个相等实根，则 △ 16 8(a 8) 0 ， a 6 。 a 6 时，方程①的根 x1 x2 1，符合要求。 若 x 2 是方程①的根，则 8 8 a 8 0 ， a 24 ，此时，方程①的另一个根为 x 4 ， 符合要求。 若 x 2是方程①的根，则 8 8 a 8 0 ， a 8，此时，方程①的另一个根为 x 0 ， 符合要求。 所以，符合条件的 a 有 6 ， 24 ， 8 ，其总和为 38 。 4．如图，在 △ABC 中， AB 6， BC 3，CA 7 ， I 为 △ABC 的内心，连接 CI 并延长
3
3
x 2 6 ， y 6 时等号成立。
3
3
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∴ xy 的最大值为 4 ， u x2 xy 4y2 2xy 4 的最大值为 20 ，即 M 20 。
3
3
3
∴ M m 20 12 136 。 3 5 15
或解：由 x2 xy 4y2 4 ，得 x2 4y2 xy 4 ， u x2 xy 4y2 2xy 4 。
将 t 4 代入方程①，解得 x2 8 ，x 2 6 ；t 4 代入方程①，解得 x2 8 ，x 2 10 。
3
3
3
5
5
5
∴ xy 的最大值为 4 ，最小值为 4 。
3
5
因此， M 8 4 20 ， m 8 4 12 ， M m 20 12 136 。
3
3
5
B．12
C．9
D．6
【答案】 A
【解答】依题意， a ， b 为方程 x2 3x 2 0 的两个不同实根。
因此，由韦达定理得， a b 3 ， ab 2。
7
(1 a2)(1 b2) (1 2 3a)(1 2 3b) 9(1 a)(1 b) 91 (a b) ab 9(1 3 2) 18 。
y 10 ，或 x 2 10 ， y 10 时等号成立。
5
5
5
∴ xy 的最小值为 4 ， u x2 xy 4y2 2xy 4 的最小值为 12 ，即 m 12 。
5
5
5
∵ 3xy 4xy (x2 4 y2 4) 4 (x 2y)2 4，当且仅当 x 2y ，即 x 2 6 ，y 6 或
6．在平面直角坐标系内有两点 A(1，1) ，B(2，3) ，若一次函数 y kx 2 的图像与线段 AB
有公共点，则 k 的取值范围为
。
7．如图，在 △ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为线段 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于点 F 。
若 BD 2 ， AE 1 ，则 AF
。
∴ AG AD DG 2DE 3 DE 7 DE 。
2
2
A F
E
B
D
C
∴ AF AE DE 2 。
G
AC AG AG 7
8．设 x1 ， x2 ， x3 ，…， xn 是 n 个互不相同的正整数，且 x1 x2 x3 L xn 2017 ，则 n
的最大值是
。
【答案】 63
【解答】依题意， x1 1 ， x2 2 ， x3 3 ，…， xn n 。
∴
2017 x1 x2 x3 L
xn
1 2 3L
n
n(n 1) 。 2
于是， 2017 n(n 1) ， n 63。 2
又当 x1 1， x2 2 ， x3 3 ，…， x62 62 ， x63 64 时，
x1 x2 x3 L
x62 x63
1 23L
62 64
63 64 1 2017 。 2
或解： (1 a2 )(1 b2 ) 1 a2 b2 a2b2 1 (a b)2 2ab a2b2 1 9 4 4 18 。
3．若关于 x 的方程 x 2 x 2 4x a 0 只有一个实数根，则符合条件的所有实数 a 的 x 2 x 2 x2 4
值的总和为（ ）
A．18
B．12
C．9
D．6
3．若关于
x
的方程
x x
2 2
x x
2 2
4x x2
a 4
0
只有一个实数根，则符合条件的所有实数
a
的
值的总和为（ ）
A． 6
B． 30
C． 32
D． 38
4．如图，在 △ABC 中， AB 6， BC 3，CA 7 ， I 为 △ABC 的内心，连接 CI 并延长 交 AB 于点 D 。记 △CAI 的面积为 m ， △DAI 的面积为 n ，则 m （ ）
5
3 5 15
二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
6．在平面直角坐标系内有两点 A(1，1) ，B(2，3) ，若一次函数 y kx 2 的图像与线段 AB
有公共点，则 k 的取值范围为
。
【答案】 1 k 1 (个人觉得还要补充 k 0 ，因为是一次函数) 2
【解答】易得直线 AB 对应的一次函数的解析式为 y 2x 1。
不填、多填或错填都得 0 分）
1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B(0，2) ，点 A 在 x 轴正半轴上且 BAO 30 。将
△OAB 沿直线 AB 折叠得 △CAB ，则点 C 的坐标为（ ）
A． (1， 3)
B． ( 3 ，3)
C． (3， 3) D． ( 3 ，1)
【答案】 B
【解答】如图，设 CD x 轴于点 D 。
由条件易得 △ACE ∽△BAE ，
（第 9 题）
∴ CE AE ， AE2 CE EB ，即 AE2 mEB 。 AE BE
结合 AB2 AE2 EB2 ，得 (2 5m)2 mEB EB2 。 （或由射影定理得 BA2 BE BC ，即 (2 5m)2 BE (BE m) ） ∴ EB2 mEB 20m2 0 ，解得 EB 4m 或 EB 5m（舍去）。
12．如图， H 为 △ABC 的垂心，圆 O 为 △ABC 的外接圆。点 E 、F 为以 C 为圆心、CH
长为半径的圆与圆 O 的交点， D 为线段 EF 的垂直平分线与圆 O 的交点。
求证：（1） AC 垂直平分线段 HE ；
A
（2） DE AB 。
D
E
OH
B
C
F
3
13．对于整数 n 3 ，用 (n) 表示所有小于 n 的素数的乘积。求满足条件 (n) 22n 32 的 所有正整数 n 。
B． 64 15
C． 136 15
D． 31 5
【答案】 C 【解答】由 x2 xy 4y2 4 ，得 x2 4y2 xy 4 ， u x2 xy 4y2 2xy 4 。
∵ 5xy 4 xy ( x2 4 y2 4) (x 2y2) 4 ，4 当且 仅 当 x 2y ，即 x 2 10 ， 5
6
2016 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2016 年 3 月 13 日 9∶00－11∶00 满分 150 分
一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）。每道小题均给出了代号为 A，B，C，
D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，
交 AB 于点 D 。记 △CAI 的面积为 m ， △DAI 的面积为 n ，则 m （ ） n
A． 3 2
B． 4 3
【答案】 C
C． 5 3
D． 7 4
【解答】依题意， m IC 。 n ID
由 I 为 △ABC 的内心知， IC AC BC 。 ID AD BD
C
I
A
B D
（第 4 题）
BC 5 AD 2 AC
A F
E
B
D
C
8．设 x1 ， x2 ， x3 ，…， xn 是 n 个互不相同的正整数，且 x1 x2 x3 L xn 2017 ，则 n
的最大值是
。
9．如图， AB 是⊙O 的直径， AC 是 ⊙O 的切线， BC 交 ⊙O 于 E 点，若 OA 5 ，则 CE
若 BD 2 ， AE 1 ，则 AF
。
BC 5 AD 2 AC
【答案】 2 7
【解答】如图，过点 C 作 CG∥BF 交 AD 的延长线于点 G ， B
A F
E
D
C
10
（第 7 题）
则 AF AE 。 AC AG 又由 CG∥BE ，知 △DGC ∽△DEB 。
∴ DG DC 3 。 DE DB 2
2016 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2016 年 3 月 13 日 9∶00－11∶00 满分 150 分
一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）。每道小题均给出了代号为 A，B，C，
D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，
依题意， CA OA 2 3 ， CAO 2BAO 60。
所以， CD 3 ， AD 3 ， OD 3 。
因此，点 C 的坐标为 ( 3 ，3) 。
2．若实数 a ， b 满足 a2 3a 2 ， b2 3b 2 ，且 a b ，则 (1 a2 )(1 b2 ) （ ）
A．18
AE
。
AB
CE
A
O
B
2
10．若正整数
x
，y
，z
满足方程组
x3 x2
y3 z3 7( y z)
3xyz
，则
xyz
的最大值为
。
三、解答题（共 4 题，每小题 20 分，共 80 分） 11．若关于 x 的方程 x2 (a 3)x a 2 0 有两个不相等的整数根，求 a 的值。
由
y y
2x 1 ，得 kx 2
(k
2)x
3
……………… ①
依题意，方程①有1 x 2 的解。
∴ k 2 0 ，且1 3 2 ，解得 1 k 1 。故 k 的取值范围为 1 k 1 。
k 2
2
2
或通过作图求解。 7．如图，在 △ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为线段 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于点 F 。
∴ 所求 n 的最大值为 63。
9．如图， AB 是⊙O 的直径， AC 是 ⊙O 的切线， BC 交 ⊙O 于 E 点，若 OA 5 ，则 CE
AE
。
AB
CE
A
O
B
11
【答案】 5 5
【解答】由 AB 为⊙O 的直径知， AE BC 。设 CE m ，则 OA 5m ， AB 2 5m 。
不填、多填或错填都得 0 分）
1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B(0，2) ，点 A 在 x 轴正半轴上且 BAO 30 。将
△OAB 沿直线 AB 折叠得 △CAB ，则点 C 的坐标为（ ）
A． (1， 3)
B． ( 3 ，3)
C． (3， 3) D． ( 3 ，1)
2．若实数 a ， b 满足 a2 3a 2 ， b2 3b 2 ，且 a b ，则 (1 a2 )(1 b2 ) （ ）
8
所以，由等比定理知， m IC AC BC AC BC 7 3 5 。 n ID AD BD AD DB 6 3
5．已知 x ， y 为实数，且满足 x2 xy 4y2 4 ，记 u x2 xy 4y2 的最大值为 M ，最小 值为 m ，则 M m （ ）
A． 40 3
5
14．在一个 m n （ m 行， n 列， m 1）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得： （1）每一列所填的数都是 1，2，3，…， m 的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…， m 这 m 个数出现且仅出现 1 次） （2）每一行 n 个的数和都是 34。 当上述的填数方式存在时，求 (m，n) 的所有可能取值。
设 xy t ，若 x 0 ，则 4 ； x 0 时， x y ，将 y t 代入 x2 xy 4y2 4 ，
t
x
得
x2
t
4t 2 x2
4 ，即 x4 (t 4)x2 4t2 0 ，
………………
①
9
由 △ (t 4)2 16t2 0 ，解得 4 t 4 。 53
n
A． 3 2
B． 4 3
C． 5 3
D． 7 4
C
I
A
B D
5．已知 x ， y 为实数，且满足 x2 xy 4y2 4 ，记 u x2 xy 4y2 的最大值为 M ，最小
1
值为 m ，则 M m （ ）
A． 40 3
B． 64 15
C． 136 15
D． 31 5
二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
A． 6
B． 30
C． 32
D． 38
【答案】 D
【解答】方程 x 2 x 2 4x a 0 化为 2x2 4x a 8 0 ……………… ① x 2 x 2 x2 4
若方程①有两个相等实根，则 △ 16 8(a 8) 0 ， a 6 。 a 6 时，方程①的根 x1 x2 1，符合要求。 若 x 2 是方程①的根，则 8 8 a 8 0 ， a 24 ，此时，方程①的另一个根为 x 4 ， 符合要求。 若 x 2是方程①的根，则 8 8 a 8 0 ， a 8，此时，方程①的另一个根为 x 0 ， 符合要求。 所以，符合条件的 a 有 6 ， 24 ， 8 ，其总和为 38 。 4．如图，在 △ABC 中， AB 6， BC 3，CA 7 ， I 为 △ABC 的内心，连接 CI 并延长
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3
x 2 6 ， y 6 时等号成立。
3
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∴ xy 的最大值为 4 ， u x2 xy 4y2 2xy 4 的最大值为 20 ，即 M 20 。
3
3
3
∴ M m 20 12 136 。 3 5 15
或解：由 x2 xy 4y2 4 ，得 x2 4y2 xy 4 ， u x2 xy 4y2 2xy 4 。
将 t 4 代入方程①，解得 x2 8 ，x 2 6 ；t 4 代入方程①，解得 x2 8 ，x 2 10 。
3
3
3
5
5
5
∴ xy 的最大值为 4 ，最小值为 4 。
3
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因此， M 8 4 20 ， m 8 4 12 ， M m 20 12 136 。
3
3
5
B．12
C．9
D．6
【答案】 A
【解答】依题意， a ， b 为方程 x2 3x 2 0 的两个不同实根。
因此，由韦达定理得， a b 3 ， ab 2。
7
(1 a2)(1 b2) (1 2 3a)(1 2 3b) 9(1 a)(1 b) 91 (a b) ab 9(1 3 2) 18 。
y 10 ，或 x 2 10 ， y 10 时等号成立。
5
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∴ xy 的最小值为 4 ， u x2 xy 4y2 2xy 4 的最小值为 12 ，即 m 12 。
5
5
5
∵ 3xy 4xy (x2 4 y2 4) 4 (x 2y)2 4，当且仅当 x 2y ，即 x 2 6 ，y 6 或
6．在平面直角坐标系内有两点 A(1，1) ，B(2，3) ，若一次函数 y kx 2 的图像与线段 AB
有公共点，则 k 的取值范围为
。
7．如图，在 △ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为线段 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于点 F 。
若 BD 2 ， AE 1 ，则 AF
。
∴ AG AD DG 2DE 3 DE 7 DE 。
2
2
A F
E
B
D
C
∴ AF AE DE 2 。
G
AC AG AG 7
8．设 x1 ， x2 ， x3 ，…， xn 是 n 个互不相同的正整数，且 x1 x2 x3 L xn 2017 ，则 n
的最大值是
。
【答案】 63
【解答】依题意， x1 1 ， x2 2 ， x3 3 ，…， xn n 。
∴
2017 x1 x2 x3 L
xn
1 2 3L
n
n(n 1) 。 2
于是， 2017 n(n 1) ， n 63。 2
又当 x1 1， x2 2 ， x3 3 ，…， x62 62 ， x63 64 时，
x1 x2 x3 L
x62 x63
1 23L
62 64
63 64 1 2017 。 2
或解： (1 a2 )(1 b2 ) 1 a2 b2 a2b2 1 (a b)2 2ab a2b2 1 9 4 4 18 。
3．若关于 x 的方程 x 2 x 2 4x a 0 只有一个实数根，则符合条件的所有实数 a 的 x 2 x 2 x2 4
值的总和为（ ）
A．18
B．12
C．9
D．6
3．若关于
x
的方程
x x
2 2
x x
2 2
4x x2
a 4
0
只有一个实数根，则符合条件的所有实数
a
的
值的总和为（ ）
A． 6
B． 30
C． 32
D． 38
4．如图，在 △ABC 中， AB 6， BC 3，CA 7 ， I 为 △ABC 的内心，连接 CI 并延长 交 AB 于点 D 。记 △CAI 的面积为 m ， △DAI 的面积为 n ，则 m （ ）
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3 5 15
二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
6．在平面直角坐标系内有两点 A(1，1) ，B(2，3) ，若一次函数 y kx 2 的图像与线段 AB
有公共点，则 k 的取值范围为
。
【答案】 1 k 1 (个人觉得还要补充 k 0 ，因为是一次函数) 2
【解答】易得直线 AB 对应的一次函数的解析式为 y 2x 1。
不填、多填或错填都得 0 分）
1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B(0，2) ，点 A 在 x 轴正半轴上且 BAO 30 。将
△OAB 沿直线 AB 折叠得 △CAB ，则点 C 的坐标为（ ）
A． (1， 3)
B． ( 3 ，3)
C． (3， 3) D． ( 3 ，1)
【答案】 B
【解答】如图，设 CD x 轴于点 D 。
由条件易得 △ACE ∽△BAE ，
（第 9 题）
∴ CE AE ， AE2 CE EB ，即 AE2 mEB 。 AE BE
结合 AB2 AE2 EB2 ，得 (2 5m)2 mEB EB2 。 （或由射影定理得 BA2 BE BC ，即 (2 5m)2 BE (BE m) ） ∴ EB2 mEB 20m2 0 ，解得 EB 4m 或 EB 5m（舍去）。
12．如图， H 为 △ABC 的垂心，圆 O 为 △ABC 的外接圆。点 E 、F 为以 C 为圆心、CH
长为半径的圆与圆 O 的交点， D 为线段 EF 的垂直平分线与圆 O 的交点。
求证：（1） AC 垂直平分线段 HE ；
A
（2） DE AB 。
D
E
OH
B
C
F
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13．对于整数 n 3 ，用 (n) 表示所有小于 n 的素数的乘积。求满足条件 (n) 22n 32 的 所有正整数 n 。
B． 64 15
C． 136 15
D． 31 5
【答案】 C 【解答】由 x2 xy 4y2 4 ，得 x2 4y2 xy 4 ， u x2 xy 4y2 2xy 4 。
∵ 5xy 4 xy ( x2 4 y2 4) (x 2y2) 4 ，4 当且 仅 当 x 2y ，即 x 2 10 ， 5
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2016 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2016 年 3 月 13 日 9∶00－11∶00 满分 150 分
一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）。每道小题均给出了代号为 A，B，C，
D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，
交 AB 于点 D 。记 △CAI 的面积为 m ， △DAI 的面积为 n ，则 m （ ） n
A． 3 2
B． 4 3
【答案】 C
C． 5 3
D． 7 4
【解答】依题意， m IC 。 n ID
由 I 为 △ABC 的内心知， IC AC BC 。 ID AD BD
C
I
A
B D
（第 4 题）
BC 5 AD 2 AC
A F
E
B
D
C
8．设 x1 ， x2 ， x3 ，…， xn 是 n 个互不相同的正整数，且 x1 x2 x3 L xn 2017 ，则 n
的最大值是
。
9．如图， AB 是⊙O 的直径， AC 是 ⊙O 的切线， BC 交 ⊙O 于 E 点，若 OA 5 ，则 CE
若 BD 2 ， AE 1 ，则 AF
。
BC 5 AD 2 AC
【答案】 2 7
【解答】如图，过点 C 作 CG∥BF 交 AD 的延长线于点 G ， B
A F
E
D
C
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（第 7 题）
则 AF AE 。 AC AG 又由 CG∥BE ，知 △DGC ∽△DEB 。
∴ DG DC 3 。 DE DB 2
2016 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2016 年 3 月 13 日 9∶00－11∶00 满分 150 分
一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）。每道小题均给出了代号为 A，B，C，
D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，
依题意， CA OA 2 3 ， CAO 2BAO 60。
所以， CD 3 ， AD 3 ， OD 3 。
因此，点 C 的坐标为 ( 3 ，3) 。
2．若实数 a ， b 满足 a2 3a 2 ， b2 3b 2 ，且 a b ，则 (1 a2 )(1 b2 ) （ ）
A．18
AE
。
AB
CE
A
O
B
2
10．若正整数
x
，y
，z
满足方程组
x3 x2
y3 z3 7( y z)
3xyz
，则
xyz
的最大值为
。
三、解答题（共 4 题，每小题 20 分，共 80 分） 11．若关于 x 的方程 x2 (a 3)x a 2 0 有两个不相等的整数根，求 a 的值。
由
y y
2x 1 ，得 kx 2
(k
2)x
3
……………… ①
依题意，方程①有1 x 2 的解。
∴ k 2 0 ，且1 3 2 ，解得 1 k 1 。故 k 的取值范围为 1 k 1 。
k 2
2
2
或通过作图求解。 7．如图，在 △ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为线段 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于点 F 。
∴ 所求 n 的最大值为 63。
9．如图， AB 是⊙O 的直径， AC 是 ⊙O 的切线， BC 交 ⊙O 于 E 点，若 OA 5 ，则 CE
AE
。
AB
CE
A
O
B
11
【答案】 5 5
【解答】由 AB 为⊙O 的直径知， AE BC 。设 CE m ，则 OA 5m ， AB 2 5m 。
不填、多填或错填都得 0 分）
1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B(0，2) ，点 A 在 x 轴正半轴上且 BAO 30 。将
△OAB 沿直线 AB 折叠得 △CAB ，则点 C 的坐标为（ ）
A． (1， 3)
B． ( 3 ，3)
C． (3， 3) D． ( 3 ，1)
2．若实数 a ， b 满足 a2 3a 2 ， b2 3b 2 ，且 a b ，则 (1 a2 )(1 b2 ) （ ）
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所以，由等比定理知， m IC AC BC AC BC 7 3 5 。 n ID AD BD AD DB 6 3
5．已知 x ， y 为实数，且满足 x2 xy 4y2 4 ，记 u x2 xy 4y2 的最大值为 M ，最小 值为 m ，则 M m （ ）
A． 40 3