空间向量基本定理教案

《3.1.2空间向量基本定理》教案
一、教学目标：
1．知识目标：了解向量与平面平行的意义，掌握它们的表示方法。

理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。

2．能力目标：通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法。

培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。

3．情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。

二、教学重点：
运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。

三、教学难点：
空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。

灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。

四、教学过程
1．复习引入：
在平面向量中，我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理，请大家回忆一下定理的内容。

（找同学回答）
由上节课的学习，我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量，那么请大家思考：平行向量基本定理在空间中是否成立？
结论在空间中也成立。

这就是空间中的“共线向量定理”（板书并投影） 注意：①向量0a ≠；
②a b ∥b a λ⇒=是共线向量的性质定理，b a λ=⇒a b ∥是空间向量共线的判定定理； 2、问题探究：
“向量与平面平行”的概念：如果向量a 的基线平行于平面α或在平面α内，就称a 平行于平面α，记作a ∥α。

平行于同一平面的向量叫做共面向量。

即可以平移到同一平面内的向量就是共面向量。

探究1：空间中任意两个向量一定共面吗？为什么？ 探究2：空间中任意三个向量一定共面吗？请举例说明。

探究3：如果空间中三个向量共面，它们存在怎样的关系？ 演示空间中三向量共面的情况，引导学生猜想。

如果两个向量,a b 不共线，则c 与,a b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数,x y ，使得
c xa yb =+。

猜想的结论需要证明（提醒学生充要条件的证明要从“必要性”、“充分性”两方面进行） （屏幕展示证明过程）
这就是共面向量定理：（板书并投影） 注意：
①三个向量共面，又称三个向量线性相关，反之，三个向量不共面,则称三个向量线性无关。

②可用来证明四点共面问题。

3、问题探究：
,,,,c a b c a b c a b a b 由共面向量定理知，空间向量与共面，则可以用线性表示，当与不共面时，还能用线性表示吗？
4、猜想探究：
类比平面向量基本定理，引导学生猜想三个不共线向量如何表示空间中任一向量。

通过演示课件引导学生猜想空间向量分解定理。

空间向量的分解定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的一个有序实数组,,x y z ，使得p xa yb zc =++．
师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。

板演证明：（存在性和唯一性两方面）
唯一性用反证法证明：若另有不同于x,y,z 的实数x 1,y 1,z 1满足OP = x 1a +y 1b + z 1c ，则x a +y b + z c = x 1a +y 1b + z 1c ，即(x －x 1) a +(y －y 1) b +(z －z 1) c =0,又a 、b 、c 不共面，则x －x 1=0，y －y 1=0，z －z 1=0，所以x,y,z 是唯一的实数。

这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。

6、深化探究：
⑴表达式xa yb zc ++叫做,,a b c 的线性表达式，或线性组合；
⑵相关概念：其中{a 、b 、c }叫做空间向量的一个基底，a 、b 、c 都叫做基向量。

牛刀小试：（对于空间向量的基底{a 、b 、c }的理解）
(){}(
)1231231,,,,00e e e e e e 基底的三个向量中允许有，但不能全为.
()()1232,,e e e 只要是不共面，就可以作为空间的一个基底.
()()
3,,,,,,,,,O A B C OA OB OC O A B C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底那么点必定共面。

提醒学生注意：
①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一； ②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；
③基底是一个集合，一个向量组，基向量是基底中的某一向量。

④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。

⑤若{a 、b 、c }是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底。

引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。

如: a +b 、a +c 、b +c ；2a +3b 、4c 、b 等构成向量的基底。

思考：在OP = x a +y b + z c 中，特别地，当x=0,则p 与b 、c 共面；若y=0，则p 与a 、c 共面；若z=0，则p 与a 、b 共面。

当x=0, y=0时，p 与c 共线；当x=0, z=0时，p 与b 共线；当y=0, z=0时，p 与a 共线.这说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。

7．例题
例1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，设AB = a ，
AD =b ，1AA =c ， 试用用基底{a 、b 、c }表示以下向量：
（1）'AC ，（2）'BD ，（3）'CA （4）'DB
这是空间分解向量定理的直接应用，选定空间不共面的三个向量做基底，并用它们表示出指定的向量，是向量解决立体几何问题的一项基本功。

解题时要结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示所需向量。

8．课堂练习：
1
已知平行六面体''''ABCD A B C D 中，设AB = a ，
AD =b ，1AA =c ，'O AC 为的中点， 试用用基底
{a 、b 、c }表示以下向量：（1）AO ，（2）BO ， （3）'OA （4）'OB
9．课堂小结：
引导学生从数学知识和思想方法两方面进行小结。

10．课后作业：
①必做：课本85页练习B ：1 2 3 ②思维训练： 1．有下列4个命题：
①若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →
. ②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；
③若MP →＝xMA →＋yMB →
，则P 、M 、A 、B 共面； ④若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面； 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→
＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →
相等的向量是( )
A ．－12a ＋1
2b ＋c
B. 12a ＋1
2b ＋c
C. 12a －1
2
b ＋c
D ．－12a －1
2
b ＋c
3.（ 选作）已知甲烷（CH 4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？
C 1
A
B
C
D
A 1
B 1
D 1。