拓扑空间总复习

不是拓扑
6. 7. 8. Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．
9.
10 .
11 .
12 13 .
. 14
.
15 证明欧氏平面 中的子集 是连通的.
证明: 定义映射
,使的对任意
f 是一个连续映射，且
,所以 是连通的
16 证明欧氏平面 和实数空间E不同胚．
证明: 用反证法,假设 和E同胚,则存在
拓扑空间总复习
基本概念
一. 度量空间 1. 度量空间的定义 2. 度量空间的其他概念 3. 度量空间中的连续映射 二. 拓扑空间的定义
1. 拓扑空间的定义（包括子空间与积空间 2，常见的拓扑 3. 拓扑空间的其他概念 4，拓扑空间的连续映射与同胚映射
三. 拓扑空间中的性质 1. 连通性与道路连通性
4.设X={ a, b, c, }， 则点b的邻域系为：
5.设X={ a, b, c, d}， 则下列子空间不连通的是：
6.设X={ a, b, c, d}，
则（X，T）的连通分支是：
7. 8. 9.
10 .
11 .
12 .
选择题
1
2
7
8 9
10
11 12 13
14
二，填空题
1. 在实数空间R中，有理数集Q的导集是 ( R )
无 无
无 无
紧致空间： 闭集 Hausdorff空间： 闭集 紧致的hausdorff空间： 闭集
紧致子集 紧致子集 紧致子集
一，选择题 1.设X={ a, b, c, d }，则下列集族中不是X的拓扑的是
2.设X={ a, b, c, d }，则下列集族中是X的拓扑的是
3. 设(X，T)是拓扑空间，则下列说法不正确的是:
2. 可数性 3. 分离性 4，紧致性
连通性，道路连通性与紧致性
连通性
遗传 无
可乘 有
道路连通性
无
有
紧致性
Fra Baidu bibliotek
无
有
有闭遗传
连续映射下 有 有 有
遗传 有
可乘 有
可分空间
无
有
Lindeloff 空间 无
无
有闭遗传
连续映射下 满和开 有 有
分离性
正则性 正规性
遗传 有
可乘 有
有
有
无
无
有闭遗传
无
有
无
无
连续映射下 无
一个同胚映射
,令
此时, 是连续的,并且有
所以 而
应该是连通, 不是区间,所以不连通.矛盾
17.
18.
19. 20. 设A是实数空间R的一个子集．A是包含着不少于两个点
的一个连通子集当且仅当A是一个区间．
2.
当且仅当对于的每一邻域有 ( )
3. X
4.
不连通空间
5.若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是可一分个空( 间 )
三，判断题 1。从离散空间到拓扑空间的任何映射都是
连续映射( √ )
× 3. Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.(√ )
√
×
五，证明题 1. 2. 3.
4.
5.
举例说明