空间向量及其运算(经典)

§8.5 空间向量及其运算

1.空间向量的有关概念

名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b

相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为－a

共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

a ∥

b 共面向量

平行于同一个平面的向量

2.(1)共线向量定理

对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是 OP →＝OA →

＋t a

①

其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →

＝ OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.

(2)共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →

＋yOA →＋zOB →

，其中x ＋y ＋z ＝__1__. (3)空间向量基本定理

如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π

2，则称a 与b 互相垂

直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，

则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，

则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，

cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，

则d AB ＝|AB →

|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面.

( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).

( × )

(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c . ( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.

( × ) (5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0. ( √ ) (6)|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件.

( × )

2.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的 交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →

相等的向量是

( )

A.－12a ＋1

2b ＋c

B.12a ＋1

2b ＋c C.－12a －1

2b ＋c

D.12a －1

2

b ＋

c 答案 A

解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →

)

＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1

2

b ＋

c .

3.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →

，则x ，y 的值分别为

( )

A.x ＝1，y ＝1

B.x ＝1，y ＝1

2

C.x ＝12，y ＝12

D.x ＝1

2

，y ＝1

答案 C

解析 如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12

(AB →＋AD →).

4.同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是_______________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫13

，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－2

3 解析 设与a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)同时垂直的单位向量是c ＝(p ，q ，r )，则

⎩⎪⎨⎪⎧

p 2＋q 2＋r 2＝1，2p ＋2q ＋r ＝0，4p ＋5q ＋3r ＝0，解得⎩⎪⎨⎪

⎧ p ＝13

，q ＝－23，r ＝23，

或⎩⎪⎨⎪⎧

p ＝－13

，

q ＝23，

r ＝－23，

即同时垂直于a ，b 的单位向量为

⎝⎛⎭⎫13

，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23.