河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
河南九年级数学竞赛试卷
河南九年级数学竞赛试卷专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a√32. 下列函数中，哪一个函数在其定义域内是增函数？（）A. y = -x^2B. y = x^3C. y = -xD. y = 1/x3. 在直角坐标系中，点(2, -3)关于原点的对称点是（）。
A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)4. 若一组数据的平均数为10，中位数为12，则这组数据中至少有一个数（）。
A. 大于10B. 小于10C. 等于10D. 等于125. 若a, b为实数，且a≠b，则下列哪个不等式一定成立？（）A. (a+b)^2 > a^2 + b^2B. (a-b)^2 < a^2 + b^2C. a^2 + b^2 = (a+b)^2D. a^2 + b^2 = (a-b)^2二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）2. 在直角坐标系中，所有第一象限的点都满足x>0且y>0。
（）3. 任何数的平方都是非负数。
（）4. 若a>b，则1/a<1/b。
（）5. 一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ = b^2 4ac。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边的夹角为90度，则第三边的长度为______。
2. 在直角坐标系中，点(1, 2)到原点的距离为______。
3. 若一个等差数列的首项为2，公差为3，则第5项为______。
4. 若函数y = 2x + 3的图像与x轴相交于点A，则点A的坐标为______。
5. 若一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的解为x1和x2，则x1x2的值为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列和等比数列的定义。
河南数学竞赛试题及答案
河南数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数加1后除以3的余数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 33. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 1004. 下列哪个表达式等于 \(2^3\)？A. \(8\)B. \(4\)C. \(16\)D. \(32\)5. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？A. 200B. 300C. 400D. 5006. 一个班级有40名学生，其中1/4是女生，那么这个班级有多少名女生？A. 10B. 15C. 20D. 257. 下列哪个数是质数？A. 20B. 23C. 24D. 258. 一个数的3/4加上12等于45，那么这个数是多少？A. 24B. 36B. 48D. 609. 一个正方形的对角线长度是10cm，那么它的面积是多少平方厘米？A. 50B. 75C. 100D. 12510. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，那么它在1小时内行驶的距离是多少公里？A. 30B. 45C. 60D. 75二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的1/3加上它的2/3等于______。
12. 如果一个长方形的长是15cm，宽是10cm，那么它的周长是______cm。
13. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是______元。
14. 一个数的2倍减去5等于10，那么这个数是______。
15. 一个数除以5的商是6，余数是4，那么这个数是______。
16. 一个班级有36名学生，其中2/3是男生，那么这个班级有______名女生。
17. 一个数的40%加上它的60%等于______%。
18. 一个长方体的体积是120立方厘米，长是10cm，宽是6cm，那么它的高是_______cm。
河南省初三数学竞赛试题及答案
2018年河南省初三数学竞赛试题及参考答案（实验区用）一、选择题（每小题5分，本题满分30分）1．已知关于x 的方程（3a+8b ）x=2007无解，则ab 是 （B ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数2．在长方体中，有下列三个命题：（1）存在一个点，使它到长方体的各个顶点的距离相等；（2）存在一个点，使它到长方体的各棱的距离相等；（3）存在一个点，使它到长方体的各面的距离相等；下列选项中，正确的是 （D ）A ．（1）与（2）是真命题B ．（2）与（3）是真命题C ．（1）与（3）是真命题D ．（1）是真命题3．如图，BC 是半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，BF FC =5，又AB=8，AE=2，则AD 的长为 （B ）A ．．12．2D ．4．中国象棋红方棋子共有：1个帅，5个兵，士、象、马、车、炮各2个，•将所有棋子反面朝上放在棋盘上，任取一个不是兵和帅的概率是 （D ）A ．116B ．516C ．38D ．58 5．为了调查学生的身体状况，对某校毕业生进行了体检，在前50名学生中有49名是合格的，以后每8名中有7名是合格的，且该校毕业生体检合格率在90%以上，则该校毕业生人数最多有 （C ）A ．180B ．200C ．210D ．2256．平面上一点P 到一个凸四边形的四个顶点的距离都相等，则P•点与此四边形的位置关系是 （D ）A ．在四边形的内部B ．在四边形的外部C．在四边形的边上 D．以上三种情况都有可能二、填空题（每小题5分，本题满分30分）7．一次函数y=ax+a+2的图象在-2≤x≤1的一段都在x轴的上方，那么a•的取值范围是 -1<a<0或0<a<2 ．8．写出一个函数解析式，使其图象只经过下列三点中的两个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），这个解析式可以是 y=x等，此题答案不惟一．9．若实数a，b，c满足a2+b2+c2=9，那么代数式（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2的最大值为 27 •．10．如图，将边长为2的正方形ABCD沿EF和ED折叠，使得B、C两点折叠后出重合于点G，则∠EFG的正切值为 2 ．GFE D CBA11．在a克糖水中含糖b克（a>b>0，且a、b为定值），再加入适量的糖t克（t>0），•则糖水更甜，请你据此写一个正确的不等式___b b ta a t+<+_____．12．一个两位数被7除余1，如果交换它的十位数字与个位数字的位置，•所得到的两位数被7除也余1，那么这样的两位数是 29，92，22，99 ．三、解答题（每小题20分，本题满分60分）13．某校学习小组在开展研究性学习中，对同学们常用的两块直角三角板边长之间的关系进行了研究，发现了一个有趣的现象：“如果一个三角形中的∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，当∠A=2∠B时，有a2-b2=bc”．（1）请分别在图1和图2中证明上述结论成立；（2）如图3，△ABC是任意三角形时，上述结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．解：（1）图1中，∠C=90°，∠B=30°，∴，c=2b ．∴a 2-b 2=）2-b 2=2b 2，而bc=b ·（2b ）=2b 2，∴a 2-b 2=bc 成立． 5分图2中，∠A=90°，∠B=45°，∴a 2-b 2=c 2，b=c ．∴bc=c 2．∴a 2-b 2=bc 也成立． 10分（2）在图3中，作∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ． 12分∵∠A=2∠B ，∴∠CAD=∠DAB=∠B ，得AD=BD ．∴△ACD ∽△BCA ，故CD AC AD AC BC AB==． 16分 由等比性质，得,CD AD AC a b AC AB BC b c a +=∴=++，即a 2-b 2=bc ． 20分 14．已知关于x 的方程x 2-4│x │+k=0．（1）若方程有四个不同的整数根，求k 的值并求出这四个根；（2）若方程有三个不同整数根，求k 的值及这三个根．解：（1）方程x 2-4│x │+k=0有四个不同的整数根．则关于│x │的方程│x │2-4│x │+k=0有两个不同的正整数根． 5分∴△=16-4k>0，即k<4且k 为正整数．∴k=1，2，3． 10分当k=1，k=2时，原方程无整数根；当k=3时，│x │2-4│x │+3=0，解得│x │=1或│x │=3．∴当k=3时，原方程有4个不同整数根x 1=1，x 2=-1，x 3=3，x 5=-3．15分（2）原方程有三个不同整数根时，关于方程│x │2-4│x │+k=0必有一根为0．∴k=0， ∴│x │2-4│x │=0．∴│x │=0或│x │=4．∴x 1=0，x 2=4，x 3=-4． 20分15．某高科技发展公司投资500万元，•成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代品，并投入资金1500万元进行批量生产，已知生产每件产品还需再投入40元，•在销售过程发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，•年销售量将减少1万件，设销售单价为x （元），年销售量为y （万件），年获利为z （万元）．（1）写出y 与x 及z 与x 的函数关系式；（2）公司计划：在第一年按年获利最大确定销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元，借助函数的图像说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？解：（1）依题意知，当销售单价为x元时，年销售量减少110（x-100）万件．∴y=20-110（x-100）=-110x+30， 5分z=（30-110x）（x-40）-500-1500=-110x2+34x-3200． 8分（2）∵z=-110x2+34x-3200=-110（x-170）2-310，∴当x=170时，z取得最大值-310． 10分第二年的销售单价定为x元时，则年获利为z=（30-110x）（x-40）-310=-110x2+34x-1510． 14分当z=1130时，1130=-110x2+34x-1510，解得x1=120，x2=220． 18分函数z=-110x2+34x-1510的图象大致如图所示：由图象可看出当120≤x≤220时，z≥1130． 20分。
河南九年级数学竞赛试卷【含答案】
河南九年级数学竞赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为5，则这个三角形的周长为（）。
A. 18B. 20C. 22D. 244. 下列函数中，哪个函数是增函数？（）A. y = -x²B. y = x²C. y = -2xD. y = 2x5. 若一个圆的半径为r，则它的面积是（）。
A. πrB. πr²C. 2πrD. 2πr²二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）2. 0是正数也是负数。
（）3. 任何一个整数都可以分解为几个质数的乘积。
（）4. 两条平行线的斜率相等。
（）5. 任何一个三角形都有外接圆。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个等差数列的首项为1，公差为2，则第10项为______。
2. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，则第5项为______。
3. 若一个圆的直径为10，则它的半径为______。
4. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则第三个内角为______。
5. 若一个二次函数的顶点为（2，-3），则它的对称轴为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述勾股定理。
2. 简述等差数列的通项公式。
3. 简述等比数列的通项公式。
4. 简述二次函数的顶点公式。
5. 简述圆的面积公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个正方形的边长为6，求它的对角线长。
2. 一个等腰三角形的底边长为10，腰长为8，求这个三角形的周长。
3. 一个等差数列的首项为3，公差为2，求第10项。
4. 一个等比数列的首项为2，公比为3，求第5项。
全国(河南赛区)初中数学竞赛预赛试题及参考答案
20XX年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【】（A）2,3,1 （B）2,2,1 （C）1,2,1 （D）2,3,2【答】A．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【】（A）（B）（C）（D）【答】C．解：一次函数的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以解得．3．如图，在⊙O中，，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【】（A）0 （B）1（C）2 （D）3【答】D．解：因为，所以DC=AB；因为，AO是半径,所以AO⊥BD；设∠DAB =x度，则由△DAB的内角和为180°得：，解得．4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【】（A）（B）（C）（D）【答】B．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是 .5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共有【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个【答】D．解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求出OC1=OC2= ，可得，以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，可得，AB的中垂线交y轴于点C5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出．6．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【】（A）（B）（C）（D）【答】A．解：的顶点坐标是，设，，由得，所以．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若，则的值为．【答】7．解：．8．方程的解是．【答】．解：.∴，解得 .9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是．【答】．解：分别过点A、作x轴的垂线，垂足分别为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△B D．由于点A的坐标是，所以，，所以点的坐标是．10．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为．【答】2．解：连接MN，显然将扇形AED向右平移可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于矩形AMND的面积，等于．11．已知α、β是方程的两根，则的值为．【答】．解：∵α是方程的根，∴．∴，又∵∴= ．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则≤145，解得≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（20XX年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为，个位数字为（x、y均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况：…………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为，依题意，得，整理，得x、y均为0 ~ 9的整数，∴此时∴王亮的出生年份是20XX年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为，依题意，得，整理，得，故x为偶数，又∴∴此时∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁．…………………14分综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是、，点D在线段OA上，BD=BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是，设直线PQ的解析式为．（1）求k的取值范围；（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．解：（1）直线经过P ，∴．∵B ，A ，BD=BA，∴点D的坐标是，∴BD的解析式是,依题意，得，∴∴解得……………………………………………7分（2）且k为最大整数，∴ .则直线PQ的解析式为.……………………………………………9分又因为抛物线的顶点坐标是，对称轴为．解方程组得即直线PQ与对称轴为的交点坐标为，∴．解得．……………………………………15分15. 如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明是定值．解：（1）证明：如图①，∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，∴四边形OABC是矩形．∴．∵E、G分别是AB、CO的中点，∴∴四边形AECG为平行四边形.∴……………………………4分连接OB，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形．此时∠AED+∠CEB =90°．又∵∠DAE=∠EBC =90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE．………………………………8分∴．设OA=x，AB=y，则∶= ∶，得．…10分又，即．∴，解得．∴当OA的长为时，四边形EPGQ是矩形．………………………………12分（3）如图③，连结GE交PQ于，则．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、．由△PCF∽△PEG得，∴= = AB，= GE= OA，∴．在Rt△中，，即，又，∴，∴ ．……………………………………18分。
河南省数学竞赛试题及答案
河南省数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. -1B. 0C. 1D. 22. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 一个数的立方根等于它本身，这个数可能是：A. -1B. 0C. 1D. 84. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么这个数列的第10项是多少？A. 21B. 22C. 23D. 245. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么它的斜边长是多少？A. 5B. 6C. 7D. 86. 一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根是：A. 2, 3B. -2, 3C. -3, 2D. 1, 67. 一个数的相反数是-8，这个数是：A. 8B. -8C. 0D. 168. 一个数的绝对值是5，这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 09. 一个分数的分母是分子的两倍，这个分数简化后是：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 2/310. 如果一个函数f(x) = 2x + 3，那么f(-1)的值是：A. -1B. 1C. 3D. 5二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是4，这个数是________。
12. 如果一个数的平方是36，那么这个数是________。
13. 一个数的对数以2为底是3，这个数是________。
14. 一个数的立方是27，这个数是________。
15. 如果一个数的倒数是1/4，那么这个数是________。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 解释什么是勾股定理，并用一个具体的例子来证明它。
17. 证明等差数列的前n项和公式。
18. 解释什么是二项式定理，并给出一个展开式的例子。
19. 解释什么是函数的连续性，并给出一个连续函数的例子。
20. 解释什么是导数，并用一个具体的例子来计算一个函数的导数。
答案一、选择题1. C2. B3. A, B, C4. A5. A6. A7. A8. C9. D10. A二、填空题11. 1612. ±613. 814. 315. 4三、解答题16. 勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
2013年全国初中数学竞赛河南赛区预赛(含答案)
BD第3题图6 74 51 2 3第2题图2013年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若有理数a 、b 满足 (1))0a a b +++=，则ab 等于【 】 （A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）无法确定 【答】A ．解：因为a 、b 都是有理数，且(1))0a a b ++=，所以10a +=,且0a b +=，得1,1a b =-=，所以1ab =-．2. 如图，由7个小正方形组成的平面图形折叠（相邻的 两个面垂直）成正方体后，重叠的两个面所标数字是【 】（A ）1和7 （B ）1和6 （C ）2和7 （D ）2和6【答】B ．解：若将图中标有1的面去掉，则标有2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图，其中标有3和6的面是对面；只看题图最下面一行，标有3和1的面应是对面，所以重叠的两个面是标有1和6的面，应选B ．3. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC 交AC 于点O ，AE 平分∠CAD 交BD 于点E ，∠ABC =α，∠ACB =β，给出下列结论：①∠DAE =12β；②AD AO CB CO =；③∠AEB =1()2αβ+； ④∠ACD =180()αβ︒-+．其中一定正确的有】（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个【答】B ．解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAE=111222DAC ACB β∠=∠=，∴①正确；（2）∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴AD AOCB CO=，∴②正确； （3）∠AEB =∠DAE +∠ADB =∠DAE +∠CBD =1()2αβ+，∴③正确；（4）∵∠BAC =180()αβ︒-+，只有当AB ∥DC 时，∠ACD =180()αβ︒-+才能成立．∴④不正确.综上，应选B.4．如图，直线l 1、l 2相交于点)2,3(A ， l 1、l 2 与x 轴分别交于点(1,0)B 和(2,0)C -，则当012>>y y 时，自变量x 的取值范围是【35P Q 2341063515B 20104A 111（A ）2->x （B ）1>x （C ）13x << （D ）23x -<< 【答】C ．解：由图象可知当12y y >时，3<x ，当01>y 时，1>x ，所以当012>>y y 时，13x <<. 故应选C ．5．关于x 的不等式33ax a x +>+的解集为3x <-，则a 应满足【 】 （A ）1a > （B ）1a < （C ）a ≥1 （D ）a ≤1 【答】B ．解：由33ax a x +>+，得(1)(3)0a x -+>，由不等式的解集为3x <-，知30x +<，所以10a -<，得1a <．故应选B ．6．如图的象棋盘中，“卒”从A 点走到B 点，最短路 径共有【 】（A ）14条 （B ）15条 （C ）20条 （D ）35条 【答】D ．解：如右图，从点A 出发，每次向上或向右走一 步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如： 到达点P 、Q 的最短路径条数分别为2和3. 以此类推， 到达点B 的最短路径条数为35条. 选D.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．计算：322-= ． 【答】21-．解：原式=22211.2⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭8．如图是三个反比例函数x k y 1=，x k y 2=，xk y 3=在x 轴上方的图象，则1k 、2k 、3k 的大小关系为 ．【答】123k k k >>．解：由图象可知1k 为负数，2k 、3k 为正数，不妨取x =1，代入解析式，显然点2(1,)A k 在点3(1,)B k 的正下方，所以320k k >>，又1k 为负数，所以123k k k >>．9．有6个小球，其中黑色、红色、绿色各2个，它们除颜色外其它都一样，将它们放入一个不透明的袋子中，充分摇匀后，从中随机摸出2个球，摸出的球颜色一样的概率是 ．第6题图yxO y =k 3xy =k 2xy =k 1x【答】15．解：摸出的2个球都是黑球的概率是2116515⨯=，所以摸出的球颜色一样的概率是113155⨯=. 10．如图，点C 是线段AB 上一个动点，∠A =∠B =30°，∠ADC =∠BEC =90°，若AB =8cm ，则CD +CE = cm ．【答】4．解：在Rt △ADC 中，∠A =30°，得AC DC 21=，同理BC EC 21=,所以4212121==+=+AB BC AC EC DC ( cm)．11．关于x 的方程2(1)20x m x m +-++=的两实数根之积等于272m m -+，则8m +的值是 ．【答】4．解：由题意得2272m m m +=-+，解得120,8m m ==，当10m =时，原方程无实数根，当28m =时，原方程有两个不相等的实数根，所以8164m +==.12．计算：1111111111111145667134567034567145⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝116670⎫++⋅⋅⋅+=⎪⎭. 【答】12013． 解：令1111456670a +++⋅⋅⋅+=，则原式=1671a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭13a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭113671a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭×a =211132013671a a a +++2113671a a a ---=12013. 三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13．某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人？【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y 人，6人、5人、4人一列分别可以整排a 、b 、c 列，则62524y a b c =-=+=．（a 、b 、c 是正整数）∴ 6252,624.a b a c -=+⎧⎨-=⎩①②················································ 4分由②，得 62312(1).422a a a a c --+-=== 因为c 为正整数，可令12,a m -= 所以21,a m =+（m 是正整数） ③ 将③代入①，得6(21)25 2.m b +-=+图①图②E∴ 122102(1).55m m m b +++== ················································· 7分 因为b 为正整数，可令15,m n += 所以51,m n =-（n 是正整数） ④ 将④代入③，得 2(51)110 1.a n n =-+=- ···································· 11分 ∴ 626(101)2608.y a n n =-=--=- （n 是正整数）.当n =1时，y 有最小值52. 即参加比赛列队的至少有52人. ········ 14分14．如图，在边长为1的正方形ABCD 的边AB 上任取一点E （A 、B 两点除外），过E 、B 、C 三点的圆与BD 相交于点H ，与正方形ABCD 的外角平分线相交于点F ，与CD 相交于点G ．（1）求证：四边形EFCH 是正方形； （2）设BE =x ，△CGH 的面积是y ， 求y 与x 的函数解析式，并求y 的最大值．【答案】（1）∵ E 、B 、C 、H 、F 在同 一圆上，且∠EBC =90°，∴ ∠EHC =90°，∠EFC =90°． ················································· 2分又 ∠FBC =∠HBC =45°，∴ CF = CH ． ······································ 4分 ∵ ∠HBF +∠HCF =180°，∴∠HCF =90°． ······························ 6分 ∴ 四边形EFCH 是正方形． ·················································· 8分（2）∵ ∠GHB +， ∴ ∠GHB =90°CHE =90°∴ ∠CHG +∠∠CHB ． ∴ ∠CHG =∠∴ CG =BE =x ， 1CG x =-········· 12分 ∴ △CGH 中，CG 边上是高为11(1).22DG x =- ∴ 211111(1).224216y x x x ⎛⎫=⋅-=--+ ⎪⎝⎭ ····································· 15分当x =12时，y 有最大值116． ·················································· 16分 15. 数学活动课上，李老师出示了问题：已知，如图①，在△ABC 中，∠BAC =45°，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，设BD =a ，用含有a 的式子表示AD 的长.经过思考和探讨，小明展示了一种解题思路：如图②，作∠DAE =45°，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ．通过证明△ABD ≌△ACF ，得到CF =a ，进而推出CE，所以AD =DE =CD +CE =(1.a a +=+图③E图④E在此基础上，李老师又提出了如下问题： 已知△ABC 中，∠BAC =45°，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高，设BD =a ，CD =b ，求AD 的长.请你画图并解答这个问题． 【答案】（1）当∠ACB 为直角时，△ABC 为直角三角形，b =0，AD=AC=BD =a ． 2分 （2）当∠ACB 为锐角时，如图③，作∠DAE =45°，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ．则△CEF 和△ADE 都是等腰直角三角形.设AD DE x ==，CF EF m==. 则AE=. ∴AF m =-. ·· 4分 ∵ ∠F AC +∠CAD =45°，∠DAB +∠CAD =45°， ∴ ∠F AC =∠DAB .又 ∵∠AFC =∠ADB =90°，∴△F AC ∽△DAB . ……………………6分∴.FA FCDA DB=即.m m x a -= 解得.m x a=+∴2axCE x a x a===++. ····················· 8分 ∵CE CD DE AD +==, ∴2axb x x a+=+. ···························· 10分 整理得 2()0x a b x ab -+-=.解得1x=2x =（舍去）. 12分（3）当∠ACB 为钝角时，如图④，作∠DAE =45°，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ．与（1）中的求法类似，可设AD DE x ==，CF EFm ==，则AF m =-.同（1）中的理由，得△F AC ∽△DAB ，2axCE x a=+. ∵AD DE CE CD ==-, ∴2axx b x a =-+. ································ 16分 整理，得 2()0x a b x ab --+=，解得x =…17分 综上，AD 的长为a 或2ab +或2a b -+或． ······························································ 18分。
河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9：00--11：00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】（A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ．解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1.∴201520132014c b a ++=201520131020141+⨯+-）（=0.2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，则代数式144+-z x 的值是【 】（A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ．解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】（A ）a （B ）b （C ）c （D ）d图2图1d cb aNM【答】C ．解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图NM B A B A 图2图1dc b aNM （第3题图）2，首先确定B 点，所以线段d 与AM 重合，MN 与线段c 重合.4. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列7个代数式ab ，ac ，bc ，ac b 42-，c b a ++，c b a +-，b a +2中，其值为正的式子的个数为【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）4个以上【答】C ．解：由图象可得：0>a ，0<b ，0>c ，∴0<ab ，0>ac ，0<bc . 抛物线与x 轴有两个交点，∴042>-ac b .当x =1时，0<y ，即0<++c b a .当x =1-时，0>y ，即0>+-c b a .从图象可得，抛物线对称轴在直线x =1的左边，即12<-ab，∴02>+b a .所以7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个. 5. 如图，Rt △OAB 的顶点O 与坐标原点重合，∠AOB =90°，AO =2BO ，当A 点在反比例函数xy 1= （x >0）的图象上移动时，B 点坐标满足的函数解析式为【 】（A ）x y 81-= （x <0） （B ）x y 41-=（x <0）（C ）x y 21-= （x <0） （D ）xy 1-=（x <0）【答】B ． 解：如图，分别过点,A B 分别做y 轴的垂线,AN BM ，那么ANO ∆∽OMB ∆，则.4)(2==∆∆OBOA S S OMB ANO .81,2121=∴=⨯=∆∆OMB ANO S AN ON S （第5题图）-11O yxOABxy41=⨯∴BM OM ，故xy 41-=.6．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为【 】（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）6【答】B ．解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点, 即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 7．已知223<<-x ，化简2)9(32--+x x 得 . 【答】6-3x ． 解：∵223<<-x ，∴032>+x ，09<-x ， 原式=63932-=-++x x x .8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为52，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 . SDC GFEPN Q【答】256． 解：设口袋中蓝色玻璃球有x 个，依题意，得5296=++x x ，即x =10，所以P （摸出一个红色玻璃球）=25610966=++. 9. 若214x x x ++=，则2211x x++== . 【答】8．解：∵412=++x x x ，∴31=+xx . 则9)1(2=+x x ，即7122=+xx .∴.81122=++x x10．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB =30°，AB =2，将Rt △OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt △OCD ，则AB 扫过的面积为 .【答】π．解：∵Rt △OAB 中，∠AOB =30°，AB =2，∴AO =CO =32，BO =DO =4，∴阴影部分面积=AOB COD OBD OAC S S S S +--△△扇形扇形=OBD OAC S S -扇形扇形=360)32(9036049022⨯⨯-⨯⨯ππ=π.11．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上时，CA 1= .【答】122±． 解：过A 1作A 1M ⊥BC ，垂足为M ，设CM =A 1M =x ，则BM =4－x ，在Rt △A 1BM 中，（第10题图）A 1E D CBA （第11题图）222121)4(9x BM B A M A --=-=，∴2)4(9x --=2x ，∴x =A 1M =222±， ∴在等腰Rt △A 1CM 中，C A 1=122±.12．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m 是关于x 的方程（x －a ）（x －b ）（x －c ）（x －d ）=2014中大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，则m 的值为 .【答】20．解：∵（m －a ）（m －b ）（m －c ）（m －d ）=2014，且a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，因为m 是大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，∴（m －a ）、（m －b ）、（m －c ）、（m －d ）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，∴（m －a ）+（m －b ）+（m －c ）+（m －d ）=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5，∴m =20.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x 本，大笔记本y 本，钢笔z 支，则有3461075=++z y x ，z y 2=.易知0＜x ≤69，0＜y ≤49，0＜z ≤34, ……………………………………4分∴34610145=++z z x ，346245=+z x ，即524346zx -=.∵x ，y ，z 均为正整数，z 24346-≥0，即0＜z ≤14∴z 只能取14，9和4. …………………………………………………8分①当z 为14时， 524346zx -==2，z y 2==28. 44=++z y x .②当z 为9时， 524346zx -==26，z y 2==18. 53=++z y x .③当z 为4时， 524346zx -==50，z y 2==8. 62=++z y x .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. ……………………………………………………………………14分14.如图，在矩形ABCD 中，AD =8，直线DE 交直线AB 于点E ，交直线BC 于F ，AE =6.（1）若点P 是边AD 上的一个动点（不与点A 、D 重合），,H DE PH 于⊥设DP 为x ,四边形AEHP 的面积为y ,试求y 与x 的函数解析式； （2）若AE =2EB .①求圆心在直线BC 上，且与直线DE 、AB 都相切的⊙O 的半径长； ②圆心在直线BC 上，且与直线DE 及矩形ABCD 的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在Rt AED ∆中，.10,8,6=∴==ED AD AE290,,.43.,.108655624.25AED PHD PHD EAD PDH EDA PHD EAD x DH PH DH x PH x y S S x ∆∆∠=∠=︒∠=∠∴∆≅∆∴==∴==∴=-=-…………………………………………………………5分（2）①//,AD BC EBF ∴∆∽EAD ∆.3.1068EF BF∴== 5, 4.EF BF ∴==………………………7分若⊙1O 与直线DE 、AB 都相切，且圆心1O 在AB 的左侧，过点1O 作DF G O ⊥11于1G ，则可设.1111r B O G O ==1111111,5334222EO F EBO EBF S S S r r ∆∆∆+=∴⋅+⋅=⋅⋅. 解得.231=r …………………10分若⊙2O 与直线DE 、AB 都相切，且圆心2O 在AB 的右侧，过点2O 作DF G O ⊥22于2G ，则可设.2222r B O G O ==.5102136)4(21.2121222222r r G O DF DC FO S D FO ）（）（+=++∴⋅⋅=⋅⋅=∆解得.62=r即满足条件的圆的半径为23或6.…………………………………………13分②6个.………………………………………………………………………………………16分15. 如图1，等腰梯形OABC 的底边OC 在x 轴上，AB ∥OC ，O 为坐标原点，OA = AB =BC ，∠AOC =60°，连接OB ，点P 为线段OB 上一个动点，点E 为边OC 中点.（1）连接P A 、PE ，求证：P A =PE ；（2）连接PC ，若PC +PE =32，试求AB 的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB 取最大值时，如图2，点M 坐标为（0，－1），点D 为线段OC 上一个动点，当D 点从O 点向C 点移动时，直线MD 与梯形另一边交点为N ，设D 点横坐标为m ，当△MNC 为钝角三角形时，求m 的范围.解：（1）证明：如图1，连接AE.....22.90.30,60.,//.,PE PA AE OB OAE OA BC OC OC E OBC BOC AOB AOC BOC ABO OC AB ABO AOB AB OA =∴∴∴==∴︒=∠∴︒=∠=∠∴︒=∠∠=∠∴∠=∠∴=垂直平分线段为等边三角形的中点，为…………………………………………………………5分(2)∵PC +PE =32，∴PC +P A =32.显然有OB=AC ≤PC +P A =32.……………7分在Rt △BOC 中,设AB =OA =BC=x ，则OC=2x ，OB =x 3， ∴x 3≤32，∴x ≤2.即AB 的最大值为2. …………………………10分 (3) 当AB 取最大值时，AB =OA =BC =2，OC =4. 分三种情况讨论：①当N 点在OA 上时，如图2，若CN ⊥MN 时，此时线段OA 上N 点下方的点（不包括N 、O ）均满足△MNC 为钝角三角形. 过N 作NF ⊥x 轴，垂足为F ， ∵A 点坐标为（1，3），∴ 可设N 点坐标为（a ，a 3），则DF =a －m ，NF =a 3，FC =4－a . ∵△OMD ∽△FND ∽△FCN ，.FC NF NF DF OM OD ==∴ ∴aa a m a m -=-=4331. 解得，13434+-=m ，即当0<m <13434+-时，△MNC 为钝角三角形；…14分②当N 点在AB 上时，不能满足△MNC 为钝角三角形；………………15分③当N 点在BC 上时，如图3，若CN ⊥MN 时，此时BC 上N 点下方的点（不包括N 、C ）均满足△MNC 为钝角三角形..3,1.30.//,,==∴=︒=∠=∠∴∴⊥⊥m OD OM BOC ODM OB MN MN CN BC OB ∴当3<m <4时，△MNC 为钝角三角形. 综上所述，当0<m <13434+-或3<m <4时，△MNC 为钝角三角形. …18分。
开封市第十四中学初一数学竞赛选拔赛试题(含答案)
开封市第十四中学初一数学竞赛选 拔 赛 试 题一.填空题（每小题3分，共51分）： 1、 若2(2)a -与8912004b -互为相反数，则a ba b -+=_________。
2、方程256x -=的解为__________。
3、△ABC 中，AB=10，AC=8，则BC 边上的中线AD 的取值范围是_______。
4、如图，B 、C 、D 依次是线段AE 上三点，已知AE ＝8.9cm ，BD ＝3cm ，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这五个点为端点的所有线段长度之和等于 。
5、在一个平面内，画1条直线，能把平面分成2部分；画2条直线，最多能把平面分成4部分；画3条直线，最多能把平面分成7部分；画4条直线，最多能把平面分成11部分；……照此规律计算下去，画2004条直线，最多能把平面分成___________部分。
6、春节联欢会上，电工师傅在礼堂四周挂了一圈彩灯，其排列规则是：绿黄黄红红红绿黄黄红红红绿黄黄红红红绿黄黄红红红……那么，第2004个彩灯是________色的。
7、已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xyx y+的值为________。
8、已知12 + 22 +32 +……+ n 2 = 16 n(n+1)(2n+1)，则22 + 42 +62 +……+1002=________。
9、已知，如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为________。
10、美国《数学月刊》上有这样一道题：有人在如图所示的小路上行走（假设小路的宽度都是1米），当他从A 处到B 处时，一共走了_____________米。
11、如图，AC 、BD 相交于O ，BE 、CE 分别平分ABD ∠、ACD ∠，且交于E ，若060A ∠=，A BCDFEA BCDEO040D ∠=，则E ∠= 。
12、用边长为12cm 的一块正方形制作成一副七巧板，在这副七巧板中最小的那块三角板的面积是 cm 2。
河南九年级数学竞赛试卷【含答案】
河南九年级数学竞赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若a、b为实数，且a≠0，那么下列哪个式子是正确的？（）A. a² = b²B. a² + b² = (a + b)²C. (a + b)² = a² + 2ab + b²D. a² b² = (a b)(a + b)4. 下列哪个函数是奇函数？（）A. y = x²B. y = |x|C. y = x³D. y = x² + 15. 下列哪个图形不是正多边形？（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正五边形二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）2. 任何两个无理数之积都是无理数。
（）3. 任何两个实数都可以比较大小。
（）4. 任何两个正数之和都是正数。
（）5. 任何两个负数之积都是正数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a、b为实数，且a≠0，那么a² + 2ab + b² = _______。
2. 若x² = 9，那么x = _______ 或 _______。
3. 两个相同的数相乘，其积是这个数的_______。
4. 若一个等边三角形的边长为a，那么它的面积是_______。
5. 若一个圆的半径为r，那么它的周长是_______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述勾股定理的内容。
2. 请简述二次方程的解法。
3. 请简述正多边形的性质。
4. 请简述无理数的定义。
5. 请简述函数的性质。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个正方形的边长为a，求它的对角线长。
河南九年级数学竞赛试卷
河南九年级数学竞赛试卷专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若a、b为实数，且a≠0，那么下列哪个式子是正确的？（）A. a² = b²B. a² + b² = 0C. (a+b)² = a² + b²D. (a-b)² = a² b²4. 下列哪个数是素数？（）A. 21B. 27C. 29D. 355. 下列哪个式子是正确的？（）A. sin²θ + cos²θ = 1B. sinθ + cosθ = 1C. sinθ cosθ = 1D. sinθ × cosθ = 1二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果是正数。
（）2. 一元二次方程ax² + bx + c = 0的判别式Δ = b² 4ac。
（）3. 任何实数的平方都是非负数。
（）4. 1的立方根是1。
（）5. 两个等腰三角形的底角相等。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个等差数列的首项为2，公差为3，那么第10项为______。
2. 若sinθ = 1/2，那么θ的值为______或______。
3. 下列数列的通项公式为an = ______。
1, 4, 9, 16,4. 若一个正方形的对角线长为10，那么它的面积为______。
5. 下列函数的值域为______。
y = 2x + 3四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述等差数列和等比数列的定义。
2. 请简述一元二次方程的解法。
3. 请简述勾股定理的内容。
4. 请简述因式分解的意义。
5. 请简述函数的定义。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
河南淮滨县第一中学2020年12月八年级数学上期竞赛试题(含答案)
淮滨县第一中学2020年12月八年级数学上期竞赛试题考试时间：2020年12月30日一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. △ABC 中，AC =5，中线AD =7，则AB 边的取值范围是（ ）A.1<AB <29B.4<AB <24C.5<AB <19D.9<AB <192. 如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB =m ，PC =n ，AB =c ，AC =b ，则(m +n)与(b +c)的大小关系是（ ）A.m +n >b +cB.m +n <b +cC.m +n =b +cD.无法确定3. 一个等腰三角形的两边长分别为1，√5，则这个三角形的周长为( )A.2+√5B.2√5+1C.2+√5或2√5+1D.以上都不对4. 如图，已知正方形ABCD 边长为1，∠EAF ＝45∘，AE ＝AF ，则有下列结论：①∠1＝∠2＝22.5∘；②点C 到EF 的距离是√2−1；③△ECF 的周长为2；④BE +DF >EF ，其中正确的结论有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个5. 若a ，b ，c 是△ABC 的三条边，则化简√(a +b )2−√(a −b −c )2的结果是( )A.cB.2b +cC.2a −cD.c −2a 6. 如果一个三角形的三边长分别为12、k 、72，则化简√k 2−12k +36−|2k −5|的结果是( )A.11−3kB.k +1C.3k −11D.−k −17. 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下四个结论：①△PFA ≅△PEB ，②EF =AP ，③△PEF是等腰直角三角形，④S四边形AEPF =12S△ABC，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确有( )A.4个B.3个C.2个D.1个8. 若2n+2n+2n+2n=2，则n=（）A.1B.0C.−1D.−149. 若(x+2)(2x−b)=2x2+5x+2，则b的值为( )A.−1B.1C.−2D.210. 如图，在△ABC中，AB=AC，AQ=PQ，P为BC边上的中点，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则三个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BPR≅△QPS中( )A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确二、填空题（本题共计5 小题，每题2 分，共计10分，）11. 化简计算b2−27a3÷2b9a⋅3abb4是________.12. 一只小船顺水行驶9千米，再逆水行驶6千米，共用了3小时，又知小船顺水行驶12千米比逆水行驶12千米少用1小时，设小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，可列方程组________.13. 若关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，则a的值为________．14. 如图，△ABC中，∠ABC，∠EAC的角平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，四个结论：①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180∘；③∠ACB=2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN=AC.正确的是________.15. 已知(x+m)(x+n)=x2+ax+6，且m，n，a都是整数，则a的值是________.三、解答题（本题共计8 小题，共计80分，）16.(10分) 解方程：x x−3−2x=13(x−1)(x+2)=xx−1−117.（10分）先化简，再求值：a2+2a+1a+2÷(a−2+3a+2)，其中a满足a2−4=0.18.(10分) 先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0，∴(m+n)2+(n−3)2=0，∴m+n=0，n−3=0，∴m=−3，n=3.(1)若x2+2y2−2xy+4y+4=0，求x−y的值．(2)若三角形三边a，b，c都是正整数，且满足a2+b2−6a−6b+18+|3−c|=0，试判断三角形的形状．19.(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB=9,AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1):①延长AD到Q，使得DQ=AD；②再连接BQ，把AB，AC，2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是________.感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.(3)思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90∘.试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明.20.(10分) 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2(a，b 是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．解决问题：(1)已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b是整数）的形式________.(2)若x2−4x+5可配方成(x−m)2+n(m，n为常数)，则mn的值是________.探究问题：(3)已知x2+y2−2x+4y+5=0，则x+y的值是________.(4)已知S=x2+4y2+4x−12y+k(x,y是整数，是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．拓展结论：已知实数x，y满足−x2+3x+y−5=0，求x+y的最小值．21.(10分) 把几个图形拼成一个图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积．(1)如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m> n，观察图形，利用面积的不同表示方法，可以发现一个代数恒等式________.(2)将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b=8，ab=12，请求出阴影部分的面积．22.(10分) 探究规律：分式方程1x+1=2x+1−1的解为________；分式方程2x+1=4x+1−1的解为________；分式方程3x+1=6x+1−1的解为________；分式方程4x+1=8x+1−1的解为________；(1)请完成上面的填空；(2)根据你所发现的规律，请直接写出第5个分式方程以及它的解；(3)请你用一个含正整数n的式子表示上述的规律，并指出它的解．23.(10分) 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=6cm，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C 向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的哪一条边上相遇．参考答案与试题解析淮滨县第一中学2020年12月八年级数学上期竞赛试题一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，使得△ABD≅△ECD，则将AB和已知线段转化到一个三角形中，进而利用三角形的三边关系确定AB的范围即可．【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在△ABD和△ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，∴△ABD≅△ECD(SAS)．∴AB=CE．在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE−AC<CE<AE+AC，即9<CE<19．则9<AB<19．故选D．2.【答案】A【解析】在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n>b+c．【解答】解：在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，{AE=AC∠CAD=∠EADAP=AP，∴△ACP≅△AEP(SAS)，∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE>AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n>b+c．故选A．3.【答案】B【解析】题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当三边是1，1，√5时，1+1<√5，不符合三角形的三边关系，应舍去；②当三边是√5，√5，1时，符合三角形的三边关系，此时周长是2√5+1，所以这个三角形的周长是2√5+1.故选B．4.【答案】B【解析】先证明Rt△ABE≅Rt△ADF得到∠1＝∠2，易得∠1＝∠2＝∠22.5∘，于是可对①进行判断；连接EF、AC，它们相交于点H，如图，利用Rt△ABE≅Rt△ADF得到BE＝DF，则CE＝CF，接着判断AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分线的性质定理得到EB＝EH，FD＝FH，则可对③④进行判断；设BE＝x，则EF＝2x，CE＝1−x，利用等腰直角三角形的性质得到2x=√2(1−x)，解方程，则可对②进行判断．【解答】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90∘，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，{AE=AFAB=AD∴Rt△ABE≅Rt△ADF(HL)，∴∠1＝∠2，∵∠EAF＝45∘，∴∠1＝∠2＝∠22.5∘，所以①正确；连接EF、AC，它们相交于点H，如图，∵Rt△ABE≅Rt△ADF，∴BE＝DF，而BC＝DC，∴CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，∴EB＝EH，FD＝FH，∴BE+DF＝EH+HF＝EF，所以④错误；∴△ECF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+CF+DF＝CB+CD＝1+1＝2，所以③正确；设BE＝x，则EF＝2x，CE＝1−x，∵△CEF为等腰直角三角形，∴EF=√2CE，即2x=√2(1−x)，解得x=√2−1，∴ BE =√2−1，Rt △ECF 中，EH ＝FH ，∴ CH =12EF ＝EH ＝BE =√2−1，∵ CH ⊥EF ，∴ 点C 到EF 的距离是√2−1，所以②正确；本题正确的有：①②③；5.【答案】C【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知a +b >0，a −b −c <0，故原式可化为a +b −(b +c −a)=2a −c .故选C .6.【答案】A【解析】求出k 的范围，化简二次根式得出|k −6|−|2k −5|，根据绝对值性质得出6−k −(2k −5)，求出即可．【解答】解：∵ 一个三角形的三边长分别为12、k 、72， ∴ 72−12<k <12+72，∴ 3<k <4，√k 2−12k +36−|2k −5|，=√(k −6)2−|2k −5|，=6−k −(2k −5)，=−3k +11，=11−3k.故选A．7.【答案】B【解析】根据图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，得出△APF≅△BPE，再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90∘，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP=12BC=PB，∠B=∠CAP=45∘.∵∠APE+∠BPE=90∘，∠APF+∠APE=90∘，∴∠BPE=∠APF.在△BPE和△APF中，{∠B=∠CAP，BP=AP，∠BPE=∠APF，∴△PEB≅△PFA(ASA)，即结论①正确；∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，∴AP=12BC.又∵EF不一定是△ABC的中位线，∴EF不一定等于AP，故结论②错误；∵△PFA≅△PEB，∴PE=PF.又∵∠EPF=90∘，∴△PEF是等腰直角三角形，故结论③正确；∵△PFA≅△PEB，∴S△PFA=S△PEB，=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE∴S四边形AEPFS△ABC，故结论④正确；=S△APB=12综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论．故选B.8.【答案】C【解析】由题意得到4×2n=2，即2n+2=2，即可得到n值.【解答】解：由2n+2n+2n+2n=2，可得4×2n=2，即22×2n=2，∴2n+2=2，∴n+2=1，解得：n=−1.故选C.9.【答案】A【解析】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出b的值即可．【解答】解：(x+2)(2x−b)=2x2+5x+2，2x2+(4−b)x−2b=2x2+5x+2，则4−b=5，解得b=−1.故选A.10.【答案】B【解析】解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，【解答】解：∵ AB =AC ，P 为BC 边上的中点，∴ AP 为∠BAC 的角平分线，∴ PR =PS .∵ PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，∴ ∠ARP =∠ASP =90∘.在Rt △APR 和Rt △APS 中，{PS =PR ，AP =AP ，∴ Rt △APR ≅Rt △APS (HL )，∴ AR =AS ，故①正确；∵ AP 为∠BAC 的角平分线，∴ ∠BAP =∠CAP ，又AQ =PQ ，∴ ∠PAQ =∠APQ ，∴ ∠BAP =∠APQ ，∴ QP//AR ，故②正确；在△BRP 和△QSP 中，只能得到PR =PS ，∠PSQ =∠PRB ，不能判断两三角形全等，故③错误.综上所述，只有①②正确.故选B .二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 2 分 ，共计10分 ）11.【答案】−12ab 2【解析】此题暂无解析【解答】解：原式=b 2−27a3⋅9a2b⋅3abb4=27a2b3−54a3b5=−12ab2.故答案为：−12ab2.12.【答案】{9x+y +6x−y=3,12 x−y −12x+y=1.【解析】先根据小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，求出顺水速度为x+y，逆水速度为x−y，再根据题意列方程组即可．【解答】解：设小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，则顺水速度(x+y)千米/时，逆水速度(x−y)千米/时，可得：{9x+y +6x−y=3,12 x−y −12x+y=1.故答案为: {9x+y +6x−y=3,12 x−y −12x+y=1.13.【答案】1或12【解析】此题主要考查了分式方程的解．【解答】解：去分母得：x−3a=2a(x−3)，整理得：(1−2a)x=−3a，当1−2a=0时，方程无解，故a=12；当1−2a≠0时，x=−3a1−2a=3时，分式方程无解，则a=1，故关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，则a的值为：1或12．故答案为：1或12．14.【答案】①②③④【解析】①作PD⊥AC于D，由角平分线的性质得到PM=PN=PD，即可得到①正确；②首先证明∠ABC+∠MPN=180∘，证明Rt△PAM≅Rt△PAD（HL），得出∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≅Rt△PCN，得出∠CPD=∠CPN，即可得出②正确；③由角平分线和三角形外角的性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=12∠ABC+∠APB，得出∠ACB=2∠APB，即可得出③正确；④由全等三角形的性质得出AD=AM，CD=CN，即可得出④正确.【解答】解：作PD⊥AC于点D，①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM=PN，PM=PD，∴PM=PN=PD，∴点P在∠ACF的角平分线上，即CP平分∠ACF，故①正确；②∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，∴∠ABC +90∘+∠MPN +90∘=360∘，∴∠ABC +∠MPN =180∘.在Rt △PAM 和Rt △PAD 中，{PA =PA ，PM =PD ，∴Rt △PAM ≅Rt △PAD （HL ），∴∠APM =∠APD .同理可得，Rt △PCD ≅Rt △PCN(HL)，∴∠CPD =∠CPN ，∴∠MPN =2∠APC ，∴∠ABC +2∠APC =180∘，故②正确；③∵PA 平分∠CAE ，BP 平分∠ABC ，∴ ∠PAM =12∠ABC +∠APB ，即∠CAE =∠ABC +2∠APB .∵ ∠CAE =∠ABC +∠ACB ，∴∠ACB =2∠APB ，故③正确；④∵Rt △PAM ≅Rt △PAD ，∴AD =AM .∵ Rt △PCD ≅Rt △PCN ，∴CD =CN ，∴AM +CN =AD +CD =AC ，故④正确.故答案为：①②③④.15.【答案】±5或±7【解析】根据已知条件可得mn =6，然后根据m ，n 都是整数确定m ，n 的值，最后根据a =m +n 即可解答.【解答】解：∵(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn =x2+ax+6，∴a=m+n，mn=6.∵m，n都是整数，∴当m=1时，n=6，m=−1时，n=−6；当m=6时，n=1，m=−6时，n=−1；当m=2时，n=3，m=−2时，n=−3；当m=3时，n=2，m=−3时，n=−2.∴a=m+n=±5或±7.故答案为：±5或±7.三、解答题（本题共计8 小题，共计80分）16.【答案】解：(1)方程两边同时乘x(x−3)，得x2−2x+6=x2−3x，解得：x=−6.检验：把x=−6代入x(x−3)≠0．所以x=−6是原分式方程的解．(2)方程两边同时乘以(x−1)(x+2)，得3=x(x+2)−(x−1)(x+2)，即3=x2+2x−x2−x+2，解得：x=1.检验：把x=1代入(x−1)(x+2)=0，所以x=1不是原分式方程的根，原分式方程无解．【解析】无无【解答】解：(1)方程两边同时乘x(x−3)，得x2−2x+6=x2−3x，解得：x=−6.检验：把x=−6代入x(x−3)≠0．所以x=−6是原分式方程的解．(2)方程两边同时乘以(x−1)(x+2)，得3=x(x+2)−(x−1)(x+2)，即3=x2+2x−x2−x+2，解得：x=1.检验：把x=1代入(x−1)(x+2)=0，所以x=1不是原分式方程的根，原分式方程无解．17.【答案】解：a 2+2a+1a+2÷(a−2+3a+2)=(a+1)2a+2÷[(a+2)(a−2)a+2+3a+2]=(a+1)2a+2÷a2−4+3a+2=(a+1)2a+2÷a2−1a+2=(a+1)2a+2÷(a+1)(a−1)a+2=(a+1)2a+2×a+2(a+1)(a−1)=a+1a−1.∵a2−4=0，即a2=4，∴a1=2，a2=−2.又∵a+2≠0，∴a≠−2，∴a=2.将a=2代入，得a+1a−1=31=3.【解析】无【解答】解：a 2+2a+1a+2÷(a−2+3a+2)=(a+1)2a+2÷[(a+2)(a−2)a+2+3a+2]=(a+1)2a+2÷a2−4+3a+2=(a+1)2a+2÷a2−1a+2=(a+1)2a+2÷(a+1)(a−1)a+2=(a+1)2a+2×a+2(a+1)(a−1)=a+1a−1.∵a2−4=0，即a2=4，∴a1=2，a2=−2. 又∵a+2≠0，∴a≠−2，∴a=2.将a=2代入，得a+1a−1=31=3.18.【答案】解：(1)∵ x 2+2y 2−2xy +4y +4=0， ∴ x 2−2xy +y 2+y 2+4y +4=0， ∴ (x −y)2+(y +2)2=0，∴ x −y =0 ， y +2=0，∴ x =y =−2，∴ x −y =(−2)−2=1(−2)2=14.(2)∵ a 2+b 2−6a −6b +18+|3−c|=0， ∴ (a 2−6a +9)+(b 2−6b +9)+|3−c|=0， ∴ (a −3)2+(b −3)2+|3−c|=0，∴ {a −3=0，b −3=0，3−c =0，∴ a =b =c =3，∴ △ABC 为等边三角形.【解析】【解答】解：(1)∵ x 2+2y 2−2xy +4y +4=0， ∴ x 2−2xy +y 2+y 2+4y +4=0， ∴ (x −y)2+(y +2)2=0，∴ x −y =0 ， y +2=0，∴ x =y =−2，∴ x −y =(−2)−2=1(−2)2=14.(2)∵ a 2+b 2−6a −6b +18+|3−c|=0， ∴ (a 2−6a +9)+(b 2−6b +9)+|3−c|=0， ∴ (a −3)2+(b −3)2+|3−c|=0，∴ {a −3=0，b −3=0，3−c =0，∴ a =b =c =3，∴ △ABC 为等边三角形.19.【答案】2<AD <7(2)AC//BQ ，理由：由(1)知， △QDB ≅△ADC ，∴ ∠BQD =∠CAD ，∴ AC//BQ .(3)EF =2AD ，AD ⊥EF ，理由：如图，延长AD 到Q 使得DQ =AD ，连接BQ ，由(1)知，△BDQ ≅△CDA (SAS )，∴ ∠DBQ =∠ACD ，BQ =AC .∵ AC =AF ，∴ BQ =AF .在△ABC 中，∠BAC +∠ABC +∠ACB =180∘，∴ ∠BAC +∠ABC +∠DBQ =180∘，∴ ∠BAC +∠ABQ =180∘.∵ ∠BAE =∠FAC =90∘，∴ ∠BAC +∠EAF =180∘，∴ ∠ABQ =∠EAF ，在△ABQ 和△EAF 中，{AB =EA,∠ABQ =∠EAF,BQ =AF,∴ △ABQ ≅△EAF(SAS)，∴ AQ =EF ，∠BAQ =∠AEF ，延长DA 交EF 于P ，∵ ∠BAE =90∘，∴ ∠BAQ +∠EAP =90∘，∴ ∠AEF +∠EAP =90∘，∴ ∠APE =90∘，∴ AD ⊥EF ，∵ AD =DQ ，∴ AQ =2AD ，∵ AQ =EF ，∴ EF =2AD ，即：EF =2AD ，AD ⊥EF ．【解析】无无无【解答】解：(1)延长AD 到Q 使得DQ =AD ，连接BQ ，∵ AD 是△ABC 的中线，∴ BD =CD .在△QDB 和△ADC 中，{BD =CD,∠BDQ =∠CDA,DQ =DA,∴ △QDB ≅△ADC (SAS )，∴ BQ =AC =5.在△ABQ 中，AB −BQ <AQ <AB +BQ ，∴4<AQ<14，∴2<AD<7.故答案为：2<AD<7.(2)AC//BQ，理由：由(1)知，△QDB≅△ADC，∴∠BQD=∠CAD，∴AC//BQ.(3)EF=2AD，AD⊥EF，理由：如图，延长AD到Q使得DQ=AD，连接BQ，由(1)知，△BDQ≅△CDA(SAS)，∴∠DBQ=∠ACD，BQ=AC.∵AC=AF，∴BQ=AF.在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180∘，∴∠BAC+∠ABQ=180∘.∵∠BAE=∠FAC=90∘，∴∠BAC+∠EAF=180∘，∴∠ABQ=∠EAF，在△ABQ和△EAF中，{AB=EA,∠ABQ=∠EAF, BQ=AF,∴△ABQ≅△EAF(SAS)，∴AQ=EF，∠BAQ=∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE=90∘，∴∠BAQ+∠EAP=90∘，∴∠AEF+∠EAP=90∘，∴∠APE=90∘，∴AD⊥EF，∵AD=DQ，∴AQ=2AD，∵AQ=EF，∴EF=2AD，即：EF=2AD，AD⊥EF．20.【答案】29=52+222−1(4)S=x2+4y2+4x−12y+k=x2+4x+4+4y2−12y+9−13+k=(x+2)2+(2y−3)2+k−13S若为完美数，k−13=0,k=13.拓展结论：−x2+3x+y−5=0，x+y=x2−2x+5，x+y=(x−1)2+4，当x=1时，x+y取最小值为4.【解析】答案未提供解析。
河南省焦作市温县2013-2014学年七年级竞赛数学试题及答案
焦作市温县2013学年七年级数学竞赛试题一、填空题（每题3分，共27分）1.下图列出了国外几个城市与北京的时差，如果现在的北京时间是2013年12月28日10点，则现在的纽约时间是.2.把一张长方形纸片按如图那样折叠后，B，C两点分别落在点B'，C'处，若∠CEF=53°，则∠DEC'的度数为.3.如图为某正方体的展开图，已知该正方体中x与y分别和它对面上的数字互为相反数，则x+y= .4.在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a﹣b|=88，且AO=3BO，则a+b的值为．5.2013年12月 14日21时11分，嫦娥三号成功着陆在月球西经19.5度、北纬44.1度的虹湾以东区域.嫦娥三号从地球到月球飞行的直线距离约为38万千米，38万千米用科学计数法表示为米.6.某种商品的价格原来为a 元，现在先提高15%，再降价15%，那么该商品现在的价格为 元.7.过多边形一个顶点的对角线把该多边形分成了2013个三角形，则该多边形的边数为 .8.如果2a 3b m 与－b 2a n 是同类项，那么m －n 的相反数等于 .9. 如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…….假设操作能一直进行下去，那么要得到2013个小正方形，则需要操作的次数至少是 次.二、选择题（每题3分，共18分）10.下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（ ）A ．B ．C ．D ．11.如图，数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、c ，其中AB =BC .如果a c b >>， 那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 的右边12.你认为下列各式正确的是( ) A ．22()a a =-B ．22||a a -=-C ． 33()a a =-D ．33||a a = 13.下列说法正确的是（ ）A ．－a 的绝对值是aB ．－a 的相反数是aC ．－a 的倒数是 a1- D ．－a 一定小于a AB C a b c14.想用一个含有17°角的三角板画出下列度数的角，7°、10°、27°、51°，他能画出的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15.若线段AB=3cm ，BC=5cm ，那么线段AC 的长为（ ）A ．2cmB ．8cmC ．2cm 或8cmD ．以上答案都不对三、解答题16.计算（1）－（3265133--）×78 （2）3)2()2()5332(302-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷+-- 17.已知A=21-a 2+b 2，B=3a 232-b 2，C=－a 2+b 2，求4A －3B －11C 的值. 18.一个由一些大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面看和从左面看看到的形状完全相同，如图所示，请画出该几何体从上面看到的所有形状图，并在相应位置的小正方形中标出该位置的小正方块的个数.19.已知a+b+c=0且abc<0.若x=c c b b a a ++，y=3（a －b －1)－2(a －2c)－(2c －a －5b)求x 2013－y 3的值.20.数轴上两点间的距离等于这两点所表示的两数差的绝对值.例如：A 点表示的数是－1，B 点表示的数是3，则有AB=31--=4.请你根据上述思想，解决下列问题：数轴上若A 点对应的数是a ，B 点对应的数是b ，求AB 中点C 对应的数x.（用含a 、b 的代数式表示）21.如图，已知OM 、ON 分别是∠AOB 、∠BOC 的平分线，OP 平分∠AOC.探究∠AOP 与∠MON 有怎样的大小关系，并说明理由.22.如图，已知AB=10，BC=6，D 、E 分别是AC 和BC的中点.（1）求线段DE 的长；（2）有人说，DE 的长与BC 的长短无关，你认为正确吗？请说明理由.23.知识储备：要求几个连续整数的和，例如：求1+2+3+4+5的和，我们可以采用如下方法： 设 s=1+2+3+4+5 ①把上式倒序排列得 s=5+4+3+2+1 ②①与 ②两边分别相加得： 2s=（1+5）+（2+4）+……+（5+1）=（1+5）×5所以 s=25)51(⨯+=15 这种求和的方法叫做倒序求和法方法运用：请你用上面方法求 1+2+3+4……+（n －1)+n 的和.问题解决：在一条直线上标出2013个点，求该直线上以这些点为端点的线段的总条数. 拓展延伸：如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，……，按此规律，求第（n ）个图有多少个相同的小正方形.（1） （2） （3） （4） …… ……焦作市温县2013学年七年级数学竞赛试题参考答案一、填空题（每题3分，共27分）1. 2013年12月27日21点2. 74°3.04. -445. 3.8×1086.(1－15%)(1+15%)a7. 20158.19.671二、选择题（每题3分，共18分）10~15分别为 CCA BDD三、解答题16.(每题4分，共8分，注意按步骤得分）（1）99 （2）154-17.解：4A －3B －11C=4（21-a 2+b 2)－3(3a 232-b 2)－11(－a 2+b 2) ……………………2分 =－2a 2+4b 2－9a 2+2b 2+11a 2－11b 2 ……………………5分 =－5b 2 ……………………7分18.（每个1分，共9分）19.解：因为a+b+c=0，abc<0所以a 、b 、c 中只有一个负数 ……………………2分所以x=cc b b a a ++=1 ……………………4分又因为y=3（a －b －1)－2(a －2c)－(2c －a －5b)=3a －3b －3－2a+4c －2c+a+5b=2a+2b+2c －3=－3 ……………………8分所以x 2013－y 3=12013－（－3）3=28. ……………………10分20.解：可得：AC=x a -=x －a BC=b x -=b －x ……………………4分 因为AC=BC 所以x －a =b －x ……………………6分所以 x=2b a + ……………………8分21.解：∠AOP 与∠MON 相等. ……………………2分理由：因为OM 、ON 分别是∠AOB 、∠BOC 的平分线所以∠MOB=21∠AOB ，∠BON=21∠BOC ……………………4分 所以∠MON=∠MOB+∠BON=21∠AOB+21∠BOC =21（∠AOB+∠BOC ）=21∠AOC ……………………7分 又因OP 平分∠AOC ，所以∠AOP=21∠AOC ……………………9分 所以∠MON=∠AOP ……………………10分 22.解：（1）因为BC=6，点E 是BC 的中点所以BE=3 ……………………2分又因为AB=10，点D 是AC 的中点所以DC=8 ……………………4分所以DE=8－3=5. ……………………5分（2）正确. ……………………6分因为 DE=DC －EC=21AC －21BC=21(AB+BC)－21BC=21AB ……………………10分 所以DE 的长与BC 无关. ……………………11分23.方法运用;解：设s=1+2+3+4……+（n －1)+n ①把上式倒序排列得 s= n+(n －1)+……+2+1 ② ……………………1分①与②两边分别相加得 2s=（1+n ）+（2+n －1)+……+（n －1+2）+（n+1）=n （1+n ） ……………………3分所以 s=2)1(+n n （或22n n +） ……………………44分 问题解决：解：以左边第1个点为端点的线段有2012条，不与前边重复，以左边第2个点为端点的线段有2011条，……，以左边第2012个点为端点的线段有1条， ……………………6分故共有线段：2012+2011+……+2+1=2)12012(2012+⨯=2025078（条） ……………………8分 拓展延伸：解：因为 第（1）个图小正方形的个数为 2×1第（2）个图小正方形的个数为 2×1+2×2第（3）个图小正方形的个数为 2×1+2×2+2×3第（4）个图小正方形的个数为 2×1+2×2+2×3+2×4 ……………………9分 所以第（n ）个图小正方形的个数为： 2×1+2×2+2×3+2×4+……+2×n ……………………10分 =2（1+2+3+……+n ）=2×22nn +=n 2+n……………………12分。
2012年全国初中数学竞赛(河南赛区)预赛试卷
2012年全国初中数学竞赛（河南赛区）预赛试卷一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）3．（6分）如图，在⊙O中，，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是（）4．（6分）有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面．C D．5．（6分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（﹣3，﹣3），点C是y轴上一动点，要使6．（6分）已知二次函数y=2x2+bx+1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是（）x x二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．（6分）若m﹣n=2，则2m2﹣4mn+2n2﹣1的值为_________．8．（6分）方程=的解是_________．9．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是_________．10．（6分）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为_________．11．（6分）已知α、β是方程x2+2x﹣1=0的两根，则α3+5β+10的值为_________．12．（6分）现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有_________个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．（15分）王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？14．（15分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是（5，0）、（3，2），点D在线段OA上，BD=BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是（0，3），设直线PQ的解析式为y=kx+b．（1）求k的取值范围；（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线y=ax2﹣5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．15．（18分）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连接PQ，试说明3PQ2+OA2是定值．2012年全国初中数学竞赛（河南赛区）预赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）3．（6分）如图，在⊙O中，，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是（）=24．（6分）有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面．C D．．5．（6分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（﹣3，﹣3），点C是y轴上一动点，要使=5=22x，，，﹣=，）．22，﹣6．（6分）已知二次函数y=2x2+bx+1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是（）x x的顶点坐标是（﹣，），，，=二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．（6分）若m﹣n=2，则2m2﹣4mn+2n2﹣1的值为7．8．（6分）方程=的解是x1=0，x2=﹣4．﹣+﹣=﹣=，进而求出即可．，﹣+=，﹣=，此题主要考查了分式方程的解法，将原式化简为=9．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是（b+1，﹣a+1）．10．（6分）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为2．11．（6分）已知α、β是方程x2+2x﹣1=0的两根，则α3+5β+10的值为﹣2．12．（6分）现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．（15分）王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？y=y=≤14．（15分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是（5，0）、（3，2），点D在线段OA上，BD=BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是（0，3），设直线PQ的解析式为y=kx+b．（1）求k的取值范围；（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线y=ax2﹣5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．求出对称轴解析式，然后求出顶点坐标，依题意，得，≤；﹣﹣﹣，=a，﹣ax=，解方程组，得的交点坐标为（，），＜﹣a＜＜﹣15．（18分）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连接PQ，试说明3PQ2+OA2是定值．，则=：x=的长为==GE= GE OA，）．参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；nhx600；gsls；gbl210；马兴田；Liuzhx；星期八；HJJ；lantin；zhxl；hdq123；zcx（排名不分先后）菁优网2013年3月10日。
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新安县2019届初中数学竞赛试卷九年级温馨提示：1.本试卷共 8 页，三大题，满分 150 分。
考试时间 120 分钟。
一、选择题（每小题4分，满40分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题前小括号内1.下列说法中不正确的是（ ） A.若 a 为任一有理数，则 a 的倒数是B.若∣a ∣＝∣b ∣，则 a ＝±bC.x2＝（－2）2，则 x ＝±2D.x2＋1 一定是正数2.图中从三个方向看所得的图形所对应的直观图是（ ）3.mm m mm m 15462-+的值（ ）A.是正数B.是负数C.是非负数D.可为正也可为负4.四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，给出下列四个条件：①AD ∥BC;②AD＝BC;③OA＝OC;④OB ＝OD,从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种5.在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ）A.41B.31C.21D.436.如图所示，半径为 5 的☉A 中，弦 BC 、ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知 DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦 BC 的弦心距等于（ ） A.241 B.234 C.4 D.37.如图所示，P 为☉o 的直径 BA 延长线上一点，PC 与☉O 相切.切点为 C.点 D 是☉O 上一点，连接PD.已知 PC=PD=BC.下列结论：①PD 与☉O 相切；②四边形 PCBD 是菱形；③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.18.如图，在平面直角坐标系中，放置一个半径为 1 的圆，与两坐标轴相切，若该圆沿 x 轴正方向滚动 2016 圈后（滚动时在 x 轴上不滑动），则该圆的圆心坐标为（ ） A.（4032π＋1，0） B.（4032π＋1,1） C.（4032π－1，0） D.（4032π－1,1） 9.如图所示，平行四边形 ABCD 中，AB ：BC=3:2，∠DAB=60°， E 在 AB 上，且 AE ：EB=1：2，F 是 BC 的中点，过 D 分别作 DP ⊥AF 于 P ，DQ ⊥CE 于 Q ，则 DP ：DQ 等于（ ） A.3:4 B. 13 : 25 C. 13 : 26 D. 23 : 1310.如图，菱形 ABCD 中，AB ＝2，∠B ＝60°，M 为 AB 的中点，动点 P 在菱形的边上从点 B 出发，沿 B → C →D 的方向运动，到达点 D 时停止。
2021-2022学年-有答案-河南省漯河市某校初二(上)数学竞赛试卷
2021-2022学年河南省漯河市某校初二（上）数学竞赛试卷一、选择题1. 下列表示天气符号的图形中，不是是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2. 下列计算正确的是（）A.2a3+a2=3a5B.(3a)2=6a2C.(a+b)2=a2+b2D.2a2⋅a3=2a53. 与三角形三个顶点距离相等的点是( )A.三条角平分线交点B.三边中线交点C.三边上的高所在直线交点D.三边垂直平分线的交点4. 如图，已知AB=DE，BC=EF，添加下列条件能判断△ABC≅△DEF的是( )A.AB // EDB.BC // EFC.AD=DCD.AD=CF5. 已知(x+a)(x+b)=x2−13x+36，则a+b的值分别是( )A.13B.−13C.36D.−366. 已知a+b=2，则a2−b2+4b=（）A.2B.3C.4D.57. 下列各式与a+ba−b相等的是( )A.3a+b3a−b B.a2+b2a2−b2C.(a+b)2a2−b2(a≠−b) D.a+b−2a−b−28. 同桌的小明叫小刚写两个含有字母m 的分式（要求：不论m 取何数，该分式都有意义，且分式的值为负），小刚一共写出了下面四组，而让小明选出正确的一组，你认为小明该选（ ）组． A.−2m2与−1m+1B.−2m 2+1与−1|m|+2C.−m 2+1m +3与1|m|−2 D.−5m +5与3m +19. 如图，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC ，AB 于点D ，E ，AE =3cm ，△ADC 的周长为9cm ，则△ABC 的周长是（ ）A.10cmB.12cmC.15cmD.17cm10. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，∠B =30∘，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是( )①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC =60∘；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC :S △ABC =1:3．A.1B.2C.3D.4二、填空题分解因式：3a 3−27a =________.计算： (−ab)3⋅(ab 2)2=________.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36∘，则该等腰三角形的顶角的度数为________．若1x +x =3，则x 2x 4+x 2+1=________.已知1x −1y =3，则代数式2x−14xy−2y x−2xy−y的值为________．已知方程21+x−k 1−x=6x 2−1无解，则k 值是________．一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出水量是12升的13，第3次倒出水量是13升的14，第4次倒出水量是14升的15，⋯⋯，第n 次倒出水量是1n升的1n+1．按照这种倒水的方法，n 次倒出的水量共为________ 升． 三、解答题解方程：3−xx−4+14−x =1.先化简，再求值：(2x +y)2+(x +3y)(x −3y)−x(5x +8y)，其中x =1.5，y =−34．课堂上，王老师在黑板上写了一道题目：当x =√2009时，求代数式x 2−4x+4x −4÷x 2−2x x+2−1x +1的值，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．如图，在坐标系xOy 中，△ABC 的顶点坐标分别为A(−2, 5)，B(−4, 3)，C(−1, 1)．(1)请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标；(2)请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出A 2的坐标；(3)在边AC 上有一点P(a ，b)，直接写出以上两次图形变换后的对称点P 1，P 2的坐标．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC.(1)请找出图中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)试说明：DC⊥BE．甲乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？已知a+x2=2000，b+x2=2001，c+x2=2002，且abc=24，求abc +cab+bac−1 a −1b−1c的值．在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．(1)如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；(2)点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60∘，MG交DE延长线于点G．请你在图1中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；(3)如图2，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60∘，NG 交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．参考答案与试题解析2021-2022学年河南省漯河市某校初二（上）数学竞赛试卷一、选择题1.【答案】C【考点】轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，可知A，B，D是轴对称图形，C不是轴对称图形，故C符合题意.故选C.2.【答案】D【考点】完全平方公式单项式乘单项式幂的乘方与积的乘方合并同类项【解析】根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式判断即可．【解答】解：A、2a3与a2不是同类项不能合并，故错误；B、(3a)2=9a2，故错误；C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故错误；D、2a2⋅a3=2a5，故正确.故选D.3.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质【解析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可得：到三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．故选D．4.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS进行判断即可．【解答】解：A、添加AB // ED不能用SSA进行判定，故本选项错误；B、添加BC // EF不能用SSA进行判定，故本选项错误；C、添加AD=DC不能判定△ABC≅△DEF，故本选项错误；D、添加AD=CF可得出AC=DF，然后可用SSS进行判定，故本选项正确.故选D．5.【答案】B【考点】多项式乘多项式【解析】利用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，可直接求出a+b．【解答】解：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，又因为(x+a)(x+b)=x2−13x+36，所以a+b=−13．故选B．6.【答案】C【考点】列代数式求值【解析】把a2−b2+4b变形为(a−b)(a+b)+4b，代入a+b=2后，再变形为2(a+b)即可求得最后结果．【解答】解：∵a+b=2，∴a2−b2+4b=(a−b)(a+b)+4b，=2(a−b)+4b=2a−2b+4b=2(a+b)=2×2=4．故选C.7.【答案】C【考点】分式的化简求值分式的基本性质【解析】此题暂无解析【解答】解：A，3a+b3a−b ≠a+ba−b，故不符合题意；B，a2+b2a2−b2=a2+b2(a+b)(a−b)≠a+ba−b，故不符合题意；C，(a+b)2a2−b2(a≠−b)=(a+b)2(a+b)(a−b)=a+ba−b，故符合题意；D，a+b−2a−b−2≠a+ba−b，故不符合题意.故选C.8.【答案】B【考点】分式有意义、无意义的条件分式的值【解析】根据分式有意义的条件及分式的值为负判断各个选项即可．【解答】解：A、当m=0时，分式无意义，故本选项错误；B、无论m取何值，分母都大于0，且分子−2和−1都小于0，故分式的值为负，故本选项正确；C、当m=±2时，第二个分式无意义，故本选项错误；D、无论m取何值，分式都有意义，但第二个分式的值为正，故本选项错误．故选B．9.【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质【解析】求△ABC的周长，已经知道AE=3cm，则知道AB=6cm，只需求得BC+AC即可，根据线段垂直平分线的性质得AD=BD，于是BC+AC等于△ADC的周长，答案可得．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，BD=AD，∵AE=3cm，△ADC的周长为9cm，△ABC周长=CD+DB+CA+AB=CD+DA+CA+AB=9+2×3=15∴△ABC的周长是15cm，故选C．10.【答案】D【考点】作图—复杂作图线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30∘，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，∴∠CAB=60∘．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30∘，∴∠3=90∘−∠2=60∘，即∠ADC=60∘，故②正确；③∵∠1=∠B=30∘，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30∘，∴CD=12AD，∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD，S△DAC=12AC⋅CD=14AC⋅AD．∴S△ABC=12AC⋅BC=12AC⋅32AD=34AC⋅AD，∴S△DAC:S△ABC=14AC⋅AD:34AC⋅AD=1:3，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个．故选D．二、填空题【答案】3a(a+3)(a−3)【考点】因式分解-运用公式法因式分解-提公因式法【解析】此题暂无解析【解答】解：3a3−27a=3a(a2−9)=3a(a+3)(a−3).故答案为：3a(a+3)(a−3).【答案】−a5b7【考点】幂的乘方及其应用同底数幂的乘法【解析】此题暂无解析【解答】解：(−ab)3⋅(ab2)2=−a3b3⋅a2b4=−a5b7.故答案为：−a5b7.【答案】54∘或126∘【考点】三角形内角和定理等腰三角形的性质【解析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．【解答】解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，如图，∠A=90∘−36∘=54∘；②若三角形是钝角三角形，如图，∠BAC=36∘+90∘=126∘．综上，等腰三角形顶角的度数是54∘或126∘．故答案为：54∘或126∘．【答案】18【考点】分式的化简求值完全平方公式【解析】此题暂无解析【解答】解：x 2x+x+1=1x2+1+1x2=1(x+1x)2−1，将1x+x=3代入，得原式=132−1=18.故答案为：18.【答案】4【考点】分式的加减运算【解析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，得出关系式，所求式子变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵1x −1y=−x−yxy=3，即x−y=−3xy，则原式=2(x−y)−14xy (x−y)−2xy =−20xy −5xy =4．故答案为：4.【答案】−2或3【考点】分式方程的解【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x 的值，代入整式方程即可求出k 的值．【解答】解：去分母得：2−2x −k −kx =−6，化简得(k +2)x =8−k ，当k =−2时，原分式方程无解；由分式方程无解，得到1+x =0，1−x =0，即x =1或x =−1，把x =1代入整式方程，得：2−2−k −k =−6，即k =3；把x =−1代入整式方程，得：2+2−k +k =−6，即4=−6，矛盾，舍去， 则k =3或−2．故答案为：−2或3．【答案】n n +1【考点】规律型：数字的变化类分式的加减运算【解析】根据题目中第1次倒出12升水，第2次倒出水量是12升的13，第3次倒出水量是13升的14，第4次倒出水量是14升的15，…，第n 次倒出水量是1n 升的1n+1可知按照这种倒水的方法，这1升水经n 次后还有12+12×13+13×14+14×15+...+1n ×1n+1升水．【解答】解：依题意，12+12×13+13×14+14×15+...+1n ×1n+1=1+1−1+1−1+1−1+...+1−1 =1−1n +1 =n n+1．故答案为：n n+1．三、解答题【答案】解：3−xx−4+14−x=1，去分母得，3−x−1=x−4，移项及合并同类项得，−2x+6=0，解得，x=3，经检验得，x=3是原分式方程的解. 【考点】解分式方程——可化为一元一次方程【解析】此题暂无解析【解答】解：3−xx−4+14−x=1，去分母得，3−x−1=x−4，移项及合并同类项得，−2x+6=0，解得，x=3，经检验得，x=3是原分式方程的解.【答案】解：原式=4x2+4xy+y2+x2−9y2−5x2−8xy =−8y2−4xy，∵x=1.5，y=−34，∴原式=−8×916−4×32×(−34)=−92+92=0．【考点】整式的混合运算——化简求值平方差公式完全平方公式【解析】本题应对整式去括号，合并同类项，将整式化为最简式，然后把x、y的值代入即可．【解答】解：原式=4x2+4xy+y2+x2−9y2−5x2−8xy=−8y2−4xy，∵x=1.5，y=−34，∴原式=−8×916−4×32×(−34)=−92+92=0．【答案】解：聪聪说的有理，∵x 2−4x+4x2−4÷x2−2xx+2−1x+1=(x−2)2(x+2)(x−2)×x+2x(x−2)−1x+1=1x−1x+1=1，∴只要使原式有意义，无论x取何值，原式的值都相同，为常数1．【考点】分式的化简求值【解析】此题实质是化简求值题，先把分式化简，再根据化简结果进行说理．【解答】解：聪聪说的有理，∵x 2−4x+4x−4÷x2−2xx+2−1x+1=(x−2)2×x+2−1+1=1x−1x+1=1，∴只要使原式有意义，无论x取何值，原式的值都相同，为常数1．【答案】解：(1)所作图形如图所示：∴A1(−2, −5)；A2(2, 5)；(3)根据图形可得，点P1的坐标为(a, −b)，P2的坐标为(−a, b)．【考点】作图-轴对称变换【解析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接，写出点A1的坐标；（2）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接，写出点A2的坐标；（3）根据图形可得，点P1的坐标为(a, −b)，P2的坐标为(−a, b)．【解答】解：(1)所作图形如图所示：∴A1(−2, −5)；A2(2, 5)；(3)根据图形可得，点P1的坐标为(a, −b)，P2的坐标为(−a, b)．【答案】解：(1)△BAE和△CAD全等，证明如下：∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，∴AD=AE，∠BAC=∠DAE=90∘，∠BAE=∠DAC=90∘+∠CAE.在△BAE和△DAC中，{AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△BAE≅△CAD(SAS)．(2)由(1)得△BAE≅△CAD．∴∠DCA=∠B=45∘．∵∠BCA=45∘，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90∘，∴DC⊥BE．【考点】等腰直角三角形等腰三角形的性质全等三角形的判定全等三角形的性质【解析】①可以找出△BAE≅△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90∘+∠CAE．②由①可得出∠DCA=∠ABC=45∘，则∠BCD=90∘，所以DC⊥BE．①可以找出△BAE≅△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90∘+∠CAE．②由①可得出∠DCA=∠ABC=45∘，则∠BCD=90∘，所以DC⊥BE．【解答】解：(1)△BAE和△CAD全等，证明如下：∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，∴AD=AE，∠BAC=∠DAE=90∘，∠BAE=∠DAC=90∘+∠CAE.在△BAE和△DAC中，{AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△BAE≅△CAD(SAS)．(2)由(1)得△BAE≅△CAD．∴∠DCA=∠B=45∘．∵∠BCA=45∘，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90∘，∴DC⊥BE．【答案】解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x+0.5)千米/时，由题意得：18+2x+0.5=18x，解得：x=4.5，经检验x=4.5是原方程的解，x+0.5=5.答：甲的速度是5千米/时，乙的速度是4.5千米/时.【考点】分式方程的应用【解析】首先设乙的速度为xkm/ℎ，则甲的速度为(x+0.5)km/ℎ，根据题意可知：甲行驶的路程=36÷2+2=20km，乙行驶的路程为18km，再根据甲乙两人行驶的时间相等可得方程：18+2x+0.5=18x，解方程即可，注意要检验．【解答】解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x+0.5)千米/时，由题意得：18+2x+0.5=18x，解得：x=4.5，经检验x=4.5是原方程的解，x+0.5=5.答：甲的速度是5千米/时，乙的速度是4.5千米/时.【答案】解：∵a+x2=2000，b+x2=2001，c+x2=2002，∴b−a=1，c−b=1，c−a=2.∵abc=24，∴abc +cab+bac−1a−1b−1c=a2+b2+c2−bc−ac−ababc=2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab2abc=(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=1+4+1 2×24=18．【考点】分式的化简求值完全平方公式【解析】先根据a+x2=2000，b+x2=2001，c+x2=2002，得出b−a=1，c−b=1，c−a=2，再把abc +cab+bac−1a−1b−1c变形为(a−b)2+(a−c)2+(b−c)22abc，然后代入求值即可．【解答】解：∵a+x2=2000，b+x2=2001，c+x2=2002，∴b−a=1，c−b=1，c−a=2.∵abc=24，∴abc +cab+bac−1a−1b−1c=a2+b2+c2−bc−ac−ababc=2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab2abc=(a−b)2+(a−c)2+(b−c)22abc=1+4+1 2×24=18．【答案】(1)证明：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，∴∠ABC=60∘，BC=12AB．∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠DBA=∠A=30∘，∴DA=DB．∵DE⊥AB于点E．∴AE=BE=12AB，∴BC=BE，∴△EBC是等边三角形.(2)解：AD=DG+DM，理由：如图，延长ED使得DW=DM，连接MW，∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE=∠BDE=∠MDW=60∘，AD=BD.又∵DM=DW，∴△WDM是等边三角形，∴MW=DM.在△WGM和△DBM中，∵{∠W=∠MDB，MW=DM，∠WMG=∠DMB，∴△WGM≅△DBM，∴BD=WG=DG+DM，∴AD=DG+DM．(3)DG−ND=AD，理由：：延长BD至H，使得DH=DN，如图，由(1)得DA=DB，∠A=30∘．∵DE⊥AB于点E，∴∠2=∠3=60∘，∴∠4=∠5=60∘，∴△NDH是等边三角形，∴NH=ND，∠H=∠6=60∘，∴∠H=∠2．∵∠BNG=60∘，∴∠BNG+∠7=∠6+∠7，即∠DNG=∠HNB．在△DNG和△HNB中，{∠DNG=∠HNB，DN=HN，∠H=∠2∴△DNG≅△HNB(ASA)，∴DG=HB．∵HB=HD+DB=ND+AD，∴DG=ND+AD，∴DG−ND=AD．【考点】等腰三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定直角三角形的性质等边三角形的判定【解析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；（2）延长ED使得DW=DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≅△DBM即可得出BD=WG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；（3）利用等边三角形的性质得出∠H=∠2，进而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≅△HNB即可得出答案．【解答】(1)证明：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB．∴∠ABC=60∘，BC=12∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠DBA=∠A=30∘，∴DA=DB．∵DE⊥AB于点E．AB，∴AE=BE=12∴BC=BE，∴△EBC是等边三角形.(2)解：AD=DG+DM，理由：如图，延长ED使得DW=DM，连接MW，∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE=∠BDE=∠MDW=60∘，AD=BD.又∵DM=DW，∴△WDM是等边三角形，∴MW=DM.在△WGM和△DBM中，∵{∠W=∠MDB，MW=DM，∠WMG=∠DMB，∴△WGM≅△DBM，∴BD=WG=DG+DM，∴AD=DG+DM．(3)DG−ND=AD，理由：：延长BD至H，使得DH=DN，如图，由(1)得DA=DB，∠A=30∘．∵DE⊥AB于点E，∴∠2=∠3=60∘，∴∠4=∠5=60∘，∴△NDH是等边三角形，∴NH=ND，∠H=∠6=60∘，∴∠H=∠2．∵∠BNG=60∘，∴∠BNG+∠7=∠6+∠7，即∠DNG=∠HNB．在△DNG和△HNB中，{∠DNG=∠HNB，DN=HN，∠H=∠2∴△DNG≅△HNB(ASA)，∴DG=HB．∵HB=HD+DB=ND+AD，∴DG=ND+AD，∴DG−ND=AD．。
河南郑州黄河中学2019初二双基竞赛预赛试题-数学
河南郑州黄河中学2019初二双基竞赛预赛试题-数学【一】选择题〔每题6分，共42分〕1.假如错误！未找到引用源。
的值为〔〕〔A〕1〔B〕－1〔C〕±1〔D〕不确定2.以下所表达的图形中，是全等三角形的只有〔〕(A)两边相等的两个直角三角形(B)一边和一角对应相等的两个直角三角形(C)边长为1厘米的两个等边三角形(D)一个钝角相等的两个等腰三角形3.如图，L1//L2，且∠EAB＝300，∠BCD＝450，∠2＝2∠1，則∠2＝(A)400(B)500(C)600(D)7004.图(一)为某校782名学生小考成绩的次数分配直方图，假设以下有一选项为图(一)成绩的累积次数分配直方图，那么此图为哪一个？5.如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为(1,0)、(2,0).假设在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x轴向右滚动，那么滚动过程中，以下何者会通过点(75,0)？(A)A(B)B(C)C(D)D6.下表为72人参加某商店举办的单手抓糖果活动的统计结果.假设抓到糖果数的中位数为a，众数为b，那么a＋b之值为多少？(A)20(B)21(C)22(D)237.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，假设灰色三角形面积为错误！未找到引用源。
平方公分，那么此方格纸的面积为多少平方公分？(A)11(B)12(C)13(D)14【二】填空题〔1到5题每题8分，6、7两题每题9分，共58分〕1.有一只手表每小时比准确时间慢3分钟,假设在清晨4:30与准确时间对准,那么当天上午手表指示的时间是10:50,准确时间应该是.2.下表记录了某次钓鱼竞赛中,钓到n条鱼的选手数:：〔1〕冠军钓到了15条鱼;(2)钓到3条或更多条鱼的所有选手平均钓到6条鱼;(3)钓到12条或更少鱼的所有选手平均钓到5条鱼;那么参加钓鱼竞赛的所有选手共钓到条鱼.3、如图，直角边长是20m的等腰直角三角形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB=BC=CD＝4m，现用长5m的绳子将一头牛栓在一棵树上，为了使牛在草地上活动区域的面积最大，应将绳子栓在处、4、如图，横向或纵向的两个相邻格点的距离基本上1、假设六边形〔能够是凸的或凹的〕的顶点都在格点上，且面积为6，画出三个形状不同的如此的六边形、5.把8张不同的扑克牌交替的分发成左右两叠：左一张，右一张，左一张，右一张，…；然后把左边一叠放在右边一叠上面，称为一次操作.重复进行那个过程，为了使扑克牌恢复到最初的次序，至少要进行操作的次数是.6.一个长方体的长、宽、高分别为9cm,6cm,5cm，先从那个长方体上尽可能大的切下一个正方体，再从剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体，那么通过三次切割后剩余部分的体积为cm3.7.边长为整数，周长为20的三角形共有个.参考答案。
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全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9：00--11：00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】（A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ．解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1.∴201520132014c b a ++=201520131020141+⨯+-）（=0.2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，则代数式144+-z x 的值是【 】（A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ．解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】（A ）a （B ）b （C ）c （D ）d图2图1d cb aNM【答】C ．解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图NM B A B A 图2图1dc b aNM （第3题图）2，首先确定B 点，所以线段d 与AM 重合，MN 与线段c 重合.4. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列7个代数式ab ，ac ，bc ，ac b 42-，c b a ++，c b a +-，b a +2中，其值为正的式子的个数为【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）4个以上【答】C ．解：由图象可得：0>a ，0<b ，0>c ，∴0<ab ，0>ac ，0<bc . 抛物线与x 轴有两个交点，∴042>-ac b .当x =1时，0<y ，即0<++c b a .当x =1-时，0>y ，即0>+-c b a .从图象可得，抛物线对称轴在直线x =1的左边，即12<-ab，∴02>+b a .所以7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个. 5. 如图，Rt △OAB 的顶点O 与坐标原点重合，∠AOB =90°，AO =2BO ，当A 点在反比例函数xy 1= （x >0）的图象上移动时，B 点坐标满足的函数解析式为【 】（A ）x y 81-= （x <0） （B ）x y 41-=（x <0）（C ）x y 21-= （x <0） （D ）xy 1-=（x <0）【答】B ． 解：如图，分别过点,A B 分别做y 轴的垂线,AN BM ，那么ANO ∆∽OMB ∆，则.4)(2==∆∆OBOA S S OMB ANO .81,2121=∴=⨯=∆∆OMB ANO S AN ON S （第5题图）-11O yxOABxy41=⨯∴BM OM ，故xy 41-=.6．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为【 】（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）6【答】B ．解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点, 即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 7．已知223<<-x ，化简2)9(32--+x x 得 . 【答】6-3x ． 解：∵223<<-x ，∴032>+x ，09<-x ， 原式=63932-=-++x x x .8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为52，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 . SDC GFEPN Q【答】256． 解：设口袋中蓝色玻璃球有x 个，依题意，得5296=++x x ，即x =10，所以P （摸出一个红色玻璃球）=25610966=++. 9. 若214x x x ++=，则2211x x++== . 【答】8．解：∵412=++x x x ，∴31=+xx . 则9)1(2=+x x ，即7122=+xx .∴.81122=++x x10．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB =30°，AB =2，将Rt △OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt △OCD ，则AB 扫过的面积为 .【答】π．解：∵Rt △OAB 中，∠AOB =30°，AB =2，∴AO =CO =32，BO =DO =4，∴阴影部分面积=AOB COD OBD OAC S S S S +--△△扇形扇形=OBD OAC S S -扇形扇形=360)32(9036049022⨯⨯-⨯⨯ππ=π.11．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上时，CA 1= .【答】122±． 解：过A 1作A 1M ⊥BC ，垂足为M ，设CM =A 1M =x ，则BM =4－x ，在Rt △A 1BM 中，（第10题图）A 1E D CBA （第11题图）222121)4(9x BM B A M A --=-=，∴2)4(9x --=2x ，∴x =A 1M =222±， ∴在等腰Rt △A 1CM 中，C A 1=122±.12．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m 是关于x 的方程（x －a ）（x －b ）（x －c ）（x －d ）=2014中大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，则m 的值为 .【答】20．解：∵（m －a ）（m －b ）（m －c ）（m －d ）=2014，且a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，因为m 是大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，∴（m －a ）、（m －b ）、（m －c ）、（m －d ）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，∴（m －a ）+（m －b ）+（m －c ）+（m －d ）=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5，∴m =20.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x 本，大笔记本y 本，钢笔z 支，则有3461075=++z y x ，z y 2=.易知0＜x ≤69，0＜y ≤49，0＜z ≤34, ……………………………………4分∴34610145=++z z x ，346245=+z x ，即524346zx -=.∵x ，y ，z 均为正整数，z 24346-≥0，即0＜z ≤14∴z 只能取14，9和4. …………………………………………………8分①当z 为14时， 524346zx -==2，z y 2==28. 44=++z y x .②当z 为9时， 524346zx -==26，z y 2==18. 53=++z y x .③当z 为4时， 524346zx -==50，z y 2==8. 62=++z y x .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. ……………………………………………………………………14分14.如图，在矩形ABCD 中，AD =8，直线DE 交直线AB 于点E ，交直线BC 于F ，AE =6.（1）若点P 是边AD 上的一个动点（不与点A 、D 重合），,H DE PH 于⊥设DP 为x ,四边形AEHP 的面积为y ,试求y 与x 的函数解析式； （2）若AE =2EB .①求圆心在直线BC 上，且与直线DE 、AB 都相切的⊙O 的半径长； ②圆心在直线BC 上，且与直线DE 及矩形ABCD 的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在Rt AED ∆中，.10,8,6=∴==ED AD AE290,,.43.,.108655624.25AED PHD PHD EAD PDH EDA PHD EAD x DH PH DH x PH x y S S x ∆∆∠=∠=︒∠=∠∴∆≅∆∴==∴==∴=-=-…………………………………………………………5分（2）①//,AD BC EBF ∴∆∽EAD ∆.3.1068EF BF∴== 5, 4.EF BF ∴==………………………7分若⊙1O 与直线DE 、AB 都相切，且圆心1O 在AB 的左侧，过点1O 作DF G O ⊥11于1G ，则可设.1111r B O G O ==1111111,5334222EO F EBO EBF S S S r r ∆∆∆+=∴⋅+⋅=⋅⋅. 解得.231=r …………………10分若⊙2O 与直线DE 、AB 都相切，且圆心2O 在AB 的右侧，过点2O 作DF G O ⊥22于2G ，则可设.2222r B O G O ==.5102136)4(21.2121222222r r G O DF DC FO S D FO ）（）（+=++∴⋅⋅=⋅⋅=∆解得.62=r即满足条件的圆的半径为23或6.…………………………………………13分②6个.………………………………………………………………………………………16分15. 如图1，等腰梯形OABC 的底边OC 在x 轴上，AB ∥OC ，O 为坐标原点，OA = AB =BC ，∠AOC =60°，连接OB ，点P 为线段OB 上一个动点，点E 为边OC 中点.（1）连接P A 、PE ，求证：P A =PE ；（2）连接PC ，若PC +PE =32，试求AB 的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB 取最大值时，如图2，点M 坐标为（0，－1），点D 为线段OC 上一个动点，当D 点从O 点向C 点移动时，直线MD 与梯形另一边交点为N ，设D 点横坐标为m ，当△MNC 为钝角三角形时，求m 的范围.解：（1）证明：如图1，连接AE.....22.90.30,60.,//.,PE PA AE OB OAE OA BC OC OC E OBC BOC AOB AOC BOC ABO OC AB ABO AOB AB OA =∴∴∴==∴︒=∠∴︒=∠=∠∴︒=∠∠=∠∴∠=∠∴=垂直平分线段为等边三角形的中点，为…………………………………………………………5分(2)∵PC +PE =32，∴PC +P A =32.显然有OB=AC ≤PC +P A =32.……………7分在Rt △BOC 中,设AB =OA =BC=x ，则OC=2x ，OB =x 3， ∴x 3≤32，∴x ≤2.即AB 的最大值为2. …………………………10分 (3) 当AB 取最大值时，AB =OA =BC =2，OC =4. 分三种情况讨论：①当N 点在OA 上时，如图2，若CN ⊥MN 时，此时线段OA 上N 点下方的点（不包括N 、O ）均满足△MNC 为钝角三角形. 过N 作NF ⊥x 轴，垂足为F ， ∵A 点坐标为（1，3），∴ 可设N 点坐标为（a ，a 3），则DF =a －m ，NF =a 3，FC =4－a . ∵△OMD ∽△FND ∽△FCN ，.FC NF NF DF OM OD ==∴ ∴aa a m a m -=-=4331. 解得，13434+-=m ，即当0<m <13434+-时，△MNC 为钝角三角形；…14分②当N 点在AB 上时，不能满足△MNC 为钝角三角形；………………15分③当N 点在BC 上时，如图3，若CN ⊥MN 时，此时BC 上N 点下方的点（不包括N 、C ）均满足△MNC 为钝角三角形..3,1.30.//,,==∴=︒=∠=∠∴∴⊥⊥m OD OM BOC ODM OB MN MN CN BC OB ∴当3<m <4时，△MNC 为钝角三角形. 综上所述，当0<m <13434+-或3<m <4时，△MNC 为钝角三角形. …18分。