201X中考数学复习第15课时二次函数的综合性问题

解：如解图①，过点D作DE⊥y轴交于点E，
∵AM⊥DM，∴∠AMO＋∠DME＝90°，
∵∠MAO＋∠AMO＝90°，∴∠MAO＝∠DME
，∵AM＝MD，∠AOM＝∠DEM＝90°， ∴Rt△AMO≌Rt△MDE(AAS)，
例1题解图①
∴MO＝DE＝1，
∴点M的坐标为(0，1)；
(3)求△ABC的面积及四边形AOBD的面积； 【思维教练】要求△ABC的面积，可以以 AC为底，BO为高来计算；对于求不规则图 形的面积，常将所求图形分割成几个可以直 接利用面积公式计算的规则图形，通过规则 例1题图③ 图形的面积和或差计算求解．如本题中求四 边形AOBD的面积，因其形状不规则
于点E， ∴点E(－1，0)，AE＝2，OE＝1，DE＝4， ∴S四边形AOBD＝S△ADE＋S梯形OBDE＝
A1 E·DE＋ 1 (BO＋DE)·OE＝1 ×2×4＋
2
2
2
×1 (3＋4)×1＝ 1 5 ；
2
2
例1题解图②
(4)在x轴上方的抛物线上是否存在一点G，使得 S△ACG＝2，若存在，求点G的坐标；若不存在， 说明理由； 【思维教练】观察图形可知△ACG的面积为 例1题图④ AC·yG，过点G作GG′⊥x轴交于点G′，设点G的 横 坐 标 为 g ， 以 AC 为 底 ， GG′ 为 高 即 可 得 到 S△ACG关于g的函数解析式，再令用g表示的
例1题解图⑤
∴即SS△ ＝A－BP＝3 p21 2O－A9·PpP＝′＝－
1 2
3
×3×(－p2－3p)＝－ (p＋ 3 )2＋2 7 ，
3 2
p2－ 9 p， 2
2
2
2
2
8
∵点P在第二象限的抛物线上，
∴－3< p<0，
3 ∵－
2
＜0，3
27
∴当p＝－ 2 时，S有最大值，最大值为 8 .
例2 如图，在平面直角坐标系xOy中， 抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)， 与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝ kx＋3，抛物线的顶点为D，对称轴与 直线BC交于点E，与x轴交于点F. (1) 求抛物线的解析式；
第一部分 夯实基础 提分多
第三单元 函数
第15课时 二次函数的综合性问题
重难点精讲优练
例1 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与 直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与 x轴的另一个交点为C.抛物线对称轴为直线l ，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E. (1)求直线AB的解析式及点D、点C的坐标；
S△ACG为2，求解即可．
解：假设存在点G，使得S△ACG＝2. 连接AG，GC，如解图③， ∵点G在x轴上 方的抛物线上，过点G作GG′⊥x轴交于点 例1题解图③ G′，设点G的坐标为(g，－g2－2g＋3)， 则－g2－2g＋3>0，
∵S△ACG＝
1 2
AC·GG＝
1 2
×4×(－g2－2g＋3)，
例2题图①
【思维教练】已知A，B点坐标，可将抛物线解析式设为 交点式，然后代入C点坐标，求解即可，而C点是直线y＝ kx＋3与y轴的交点，只需令x＝0，求出y的值即可求得C 点坐标．
令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1， ∴点C的坐标为(1，0)；
(2)已知M是y轴上一点，连接AM、DM，若 AM＝DM，且AM⊥DM，求点M的坐标；
【思维教练】由于点M是y轴上的坐标，则yM＝ OM，又由于AM⊥DM，可过D作y轴垂线DE， △AOM和△MED构成“一线三等角”的全等三 例1题图② 角形，即可得到OM长度，从而得到点M的坐 标．
和△BPP′两部分，据此求出△ABP的面积，
结合二次函数性质求出其最大值即可．
解：(6)如解图⑤，∵点P在抛物线上，∴点
P 的 坐 标 为 (p ， － p2 － 2p ＋ 3) ， 过 点 P 作
PP′∥y轴交直线AB于点P′，
则P′(p，p＋3)，则PP′＝(－p2－2p＋3)－(p
＋3)＝－p2－3p，
1
∴ ຫໍສະໝຸດ Baidu×4×(－g2－2g＋3)＝2，解得g1＝－1
＋ 3 ，g2 ＝－1－ 3 ，满足题意的点G有两个，坐标为(
－1＋ 3，1)，(－1－ 3 ，1)；
(5)在x轴上是否存在一点P，使得PB＋PD的值
最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由；
【思维教练】作D关于x轴的对称点D′，连接
BD′，则BD′与x轴交点即为P点．
例1题图⑤
解：(5)存在．理由如下：如解图④，作点D
关于x轴的对称点D′，∴D′(－1，－4)，连接
BD′交x轴于点P，此时PB＋PD的值最小，为
BD′的长．
例1题解图④
设直线BD′解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则
， -k＋ b＝-4 解得 k＝7
b＝ 3
b＝ 3
∴直线BD′解析式为y＝7x＋3， 当y＝0时，x＝－3 ，
7 ∴点P的坐标为(－ 3 ，0)；
7
(6)已知点P是第二象限内抛物线上一动点，设 点P的横坐标为p，△ABP的面积为S，求S关 于p的函数解析式；当p为何值时，S有最大值， 最大值是多少？ 【思维教练】要求△ABP的面积，可构造平 例1题图⑥ 行于y轴的边，即过点P作PP′∥y轴交直线AB 于点P′，则PP′将△ABP分成△APP′
-3k+d=0 解得 k=1
d=3 ，
d=3 ，
∴直线AB的解析式为y＝x＋3， 将A(－3，0)，B(0，3)两点分别代入抛物线的解析式，得
-9-3b+c=0 解得 b=-2
c=3
，
c=3 ，
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，
化为顶点式得y＝－(x＋1)2＋4 ，
∴抛物线顶点D的坐标为(－1，4)，
故可将其分割为Rt△ADE与直角梯形OBDE，分别求出其
面积再相加，即可得到四边形AOBD的面积． 解：∵点A(－3，0)，点B(0，3)，点C(1，0)，
∴AO＝3，OC＝1，OB＝3，∴AC＝4，
∵BO⊥AC，
∴S△ABC＝
1 2
AC·BO＝ 1 2
×4×3＝6；
连接AD、DB，如解图②，∵点D(－1， 4)，DE⊥x轴
例1题图①
【思维教练】要求直线AB的解析式，可先设其一般式， 将A、B点坐标代入即可求得；再分别代入y＝－x2＋bx ＋c求出待定系数，将解析式转化为顶点式即可求得点D 坐标，令y＝0，解关于x的方程即可求出函数图象与x轴 交点的横坐标．
解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋d(k≠0)， 将A(－3，0)、B(0，3)两点分别代入直线解析式，得