函数周期性的五类经典题型
函数的周期性练习题
函数的周期性练习题函数是数学中的重要概念之一，它描述了输入和输出之间的对应关系。
在数学中，周期性函数是一类特殊的函数，它们具有周期性的特征。
本文将为大家介绍一些与函数周期性相关的练习题，以帮助大家更好地理解和应用函数的周期性。
练习题1：正弦函数的周期性考虑函数y = sin(x)。
我们知道正弦函数是一个周期为2π的函数，即在区间[0, 2π]内完整地重复自身。
请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，sin(x)的取值范围是多少？2. 在区间[π, 2π]内，sin(x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，sin(x)的取值范围是多少？4. 在区间[0, 8π]内，sin(x)的取值范围是多少？练习题2：余弦函数的周期性考虑函数y = cos(x)。
余弦函数也是一个周期为2π的函数，它与正弦函数在图像上有类似的特点。
请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，cos(x)的取值范围是多少？2. 在区间[π, 2π]内，cos(x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，cos(x)的取值范围是多少？4. 在区间[0, 8π]内，cos(x)的取值范围是多少？练习题3：周期性函数的图像变换现在考虑函数y = sin(x) + 1。
这个函数是对正弦函数进行了图像上的平移。
请回答以下问题：1. 在区间[0, 2π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？2. 在区间[0, 4π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？3. 在区间[0, 8π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？练习题4：周期性函数的复合考虑函数y = sin(2x)。
这个函数是对正弦函数进行了图像上的压缩。
请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，sin(2x)的取值范围是多少？2. 在区间[0, 2π]内，sin(2x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，sin(2x)的取值范围是多少？练习题5：周期性函数的复合和平移考虑函数y = cos(2x - π)。
高中函数周期性问题(含训练题及解析)
f x-【详解】(2由条件可知函数在区间)(252f=函数在区间[0,4C ．(sin)(cos )33f f ππ> D ．33(sin )(cos )22f f >【答案】B 【解析】因为()()2f x f x =+，所以()f x 周期为2，因为当[]3,4x ∈时, ()2f x x =-单调递增，所以[]()1,0?,x f x 时∈- 单调递增，因为()f x 偶函数，所以[]()0,1,x f x ∈时 单调递减，因为110sin cos 122<<<，1sin1cos10,>>> 1> sin cos 033ππ>>,331sin cos 022>>> 所以11sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()sin1cos1f f <, sin cos 33f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,33sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.6．已知()f x 是在R 上的奇函数，满足()()2f x f x =-，且[]0,1x ∈时，函数()21x f x =-，函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,95⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,5D ．()5,9【答案】D【解析】由题得，令()log ah x x =，定义域为0x >，()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，即()f x 和()h x 的图像在定义域内有3个交点，()(2)(2)[2(2)](4)(4)f x f x f x f x f x f x =-=--=---=--=-，故函数()f x 的一个周期是4，又[]0,1x ∈时，函数()21x f x =-，且图像关于轴x=1对称，由此可做出函数(),()f x h x 图像如图，若两个函数有3个交点，则有log 51log 91a a <⎧⎨>⎩，解得59a <<，则a 的取值范围是(5,9).7．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：∵任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有。
高中数学函数的周期性练习
高中数学函数的周期性练习题型一：求周期问题【例1】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ）A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数C. 周期为40的奇函数D. 周期为40的偶函数【例2】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期【例3】 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数．给出以下3个命题：①函数()f x 的周期是6；②函数()f x 的图象关于点302⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，真命题的个数是（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．0【例4】 若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和()2b x b a =>对称，则f (x )的一个周期为（ ） A ．2a b + B ．2()b a - C ．2b a - D ．4()b a -【例5】 已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ，都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =⋅，且(0)0f ≠．⑴求证：()f x 为偶函数；⑵若存在正数m 使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值（T ≠0）．典例分析【例6】 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，(1)0f a =>．⑴求1()2f 及1()4f ； ⑵证明()f x 是周期函数；题型二：求值问题【例7】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++L 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-【例8】 （2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________.【例9】 （2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。
函数周期性的题型和解题方法
函数周期性的题型和解题方法在高一数学教材中，函数的基本性质重点讲了函数的单调性和奇偶性，对于函数的另一个重要性质——周期性却基本没怎么涉及，但是不管是平时考试还是高考，函数周期性都是非常重要的考点，并且以不同方式告诉函数的周期。
在函数周期性的学习中，我们首先要能快速识别给出的函数是否是周期函数，其次需要学会利用函数周期性来解题。
一、判断周期函数若f(x+T)=f(x)，那么f(x)就是以T为周期的周期函数。
在学习过程中，需要重点掌握以下几个函数的周期：①f(x+a)=f(x+b)，T=|a-b|；特别地，f(x+a)=f(x-a)，T=|2a|；②f(x+a)=-f(x)，T=|2a|；③f(x+a)=±1/f(x)，T=|2a|；④若f(x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，那么f(x)的一个周期为T=2|a-b|；⑤若f(x)的图像有两个对称中心(x1,y1)和(x2,y2)，那么f(x)的一个周期为T=2|x1-x2|；⑥若f(x)的图像既是轴对称又是中心对称图形，若对称轴是x=a，对称中心是(b,c)，则T=4|a-b|。
二、求值利用函数周期性求函数值，通常会告诉函数在某个区间上的解析式，但是所求的函数值是在已知区间外的，此时需要利用周期性将所求函数值转换到已知的区间内。
比如上面的例题，利用周期性将f(-6)转化为f(0)，将f(6)转化为-f(-1)的值。
三、求周期求函数的周期，除了掌握周期性的定义以及(一)中所讲的几种基本类型外，作出函数也是一个非常重要的方法。
作出图像后，直接在图像上找到图像循环部分对应点的横坐标之间的最小距离就是该函数的最小正周期，也是解题中最常用到的周期值。
四、周期性＋奇偶性本题中，先根据关系式f(x-4)=-f(x)算出f(x)的周期为T=8，再根据单调性和奇偶性作出满足要求的一个函数图像，并根据函数图像分析解决问题。
如果f(x)的对称轴是直线x=a，其图像与直线y=b相交于x1,x2两点，那么必有x1+x2=2a。
第15课 函数的周期性(经典例题练习、附答案)
第15课 函数的周期性◇考纲解读掌握周期函数的定义及最小正周期的意义.◇知识梳理对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期.1.周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数_____为函数的周期.2.周期函数的性质：① ()()x f T x f =+()f x ⇒的周期为_____；②()()()x f x f a x f ⇒-=+的周期为_____；③如()()()x f x f a x f ⇒=+1的周期为_____； ④()()()x f x f a x f ⇒-=+1的周期为_____； ⑤()()()1()1f x f x a f x f x -+=⇒+的周期为_____； ⑥()()()1()1f x f x a f x f x ++=⇒-的周期为_____； ⑦()()()f x a f x b f x +=+⇒的周期为_____；⑧如果奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-()f x ⇒的周期为_____；⑨如果偶函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-()f x ⇒的周期为_____；◇基础训练1.设f (x )是定义在R 上最小正周期为T 的函数，则f (2x ＋3)是（ ）A.最小正周期为T 的函数B.最小正周期为2T 的函数C.最小正周期为2T 的函数 D.不是周期函数 2. 设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2,f f a >=则（ ）A. a >2B. a <-2C. a >1D. a <-13.（2006山东）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( )A.－1B.0C. 1D.24．（2007深圳一模）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数 ◇典型例题例1. （安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________例2. 已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式◇能力提升1．已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，对2)3()2()2( -=--=+∈f x f x f R x ，当有都时，)2007(f 的值为（ ）A ．2B ．4C ．－2D ．－42.（2007安徽）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A.0B.1C.3D.5 3 .(2008珠海质检理)定义在R 上的奇函数)(x f 满足：对于任意,(3)()x R f x f x ∈+=-有，若(1)2f =，(5)f =则 ____.4．(2008中山一模)设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则)5.2004(-f =_______.5.（2007广州二模）已知函数)x (f 满足1(x)(1)2,(x 1)1(x)f f f f +=+=-，则(3)f 的值为_________, (1)(2)(3)(2007)f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为_____________. 6.（2007北京海淀） 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在1,12上单调递增，且满足()(1)f x f x ，给出下列结论：①(1)0f ；②函数()f x 的周期是2；③函数()f x 在1,02上单调递增； ④函数(1)f x 是奇函数.其中正确的命题的序号是 .第15课 函数的周期性◇知识梳理1.T ．2.① T ；②a 2；③a 2；④2a ；⑤2a ；⑥a 4；⑦a b -；⑧a 4；⑨2a ； ◇基础训练1. C ，2. D ，3. B ,4. A .◇典型例题例1．解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。
函数的周期性历年经典习题
常见结论 (约定a>0)函数关于某点对称（a,b ）,f(x)=2b-f(2a-x)函数关于x=a 对称 f(a+x)=f(a-x)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 例1：设()f x 是定义在R 上的奇函数，(4)()f x f x +=－且(3)f =5，则(21)f =－______________，(2005)f =______________例2：设()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足1(2)()f x f x +=，当0≤x ≤1，()f x =2x ，则(7.5)f =______________例3：设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)(2)f x f x -=+， (1)f =2，则(2)(7)f f +=______________练习1、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________2、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)23．已知函数)(x f y =是一个以4为最小正周期的奇函数，则=)2(f（ ）A ．0B ．－4C ．4D ．不能确定 4、 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____5、定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________6、已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值7、已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根8、已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ）A. 周期为20的奇函数B. 周期为20的偶函数C. 周期为40的奇函数D. 周期为40的偶函数1.定义在R 上的函数f (x )是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．42．已知函数f ()x 是定义域为R 的偶函数，且f ()x ＋2＝f ()x ，若f ()x 在[]－1，0上是减函数，那么f ()x 在[]2，3上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数3．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(－6,6)内解的个数的最小值是( )A ．10B ．8C ．6D ．45．(2009年深圳调研)设f (x )＝1＋x 1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f [f k (x )]，k ＝1,2，…，则f 2009(x )＝( )A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x6．(2009年山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)7．(2009年山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.8．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使 f (x )＝－12在[0,2009]上的所有x 的个数． 9．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2009,2009]上的根的个数，并证明你的结论．。
高中数学函数的周期性与常考题(附经典例题与解析)
函数的周期性与常考题【知识点分析】：函数的周期性设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)1. 型的周期为T。
定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。
【相似题练习】1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．336B．337C．338D．3391．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）A．﹣2+2B．2+2C．2D．【知识点分析】：2. 型的周期为。
证明：。
特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。
【相似题练习】2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【知识点分析】：3. 型的周期为2a。
证明：【相似题练习】1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣161．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【知识点分析】：4. 型的周期为2a。
函数周期性的五类经典题型
周期性类型一：判断周期函数1.求下列函数是否为周期函数（1），满足（2），满足（3），满足（4），满足答案：（1）令∴∴∴T=2周期函数（2）∴T=4周期函数（3）∴T=4（4）∴T=8类型二：求值1.已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为() A．－1 B．－2C．2 D．1解析：选A因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(－2 013)＋f(2 014)＝－f(2 013)＋f(2 014)＝－f(1)＋f(0)．又当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(－2 013)＋f(2 014)＝－1＋0＝－1.2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．（对定义域的运用）解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)． f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1. 答案：－13.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 016)＝________.解析：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，进而f (2 016)＝f (336×6)＝f (0)＝3－1＝13. 答案：134.已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝______. （转化） 答案 2解析 当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2.5.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________. （利用周期和奇函数改变范围）押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性. 答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－1. 6.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5 解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为4的周期函数。
函数的周期性
3若f x x 12 0 x 2，求x 6,8时
f x的解析式。
解：
（1）因 f(x)为奇函数，且定义域为R, 所以f(0)=0
（2）T=4
f (x) f (x) （应用奇函数）
f (2 x)
(应用关于x=1对称)
f (2 x) （再应用奇函数）
1、函数的周期T可以是正数，也可以 是负数。
2、若T是函数的周期，则T的任何正 整数倍也一定是函数的周期。
3、若函数的所有周期中有一个最小 的正值，则称其为函数的最小正周期。
注意：今后所称周期，若无特别说明， 均指函数的最小正周期。
练习： 1已知是定 义在实数集上的周期函数，且
满足 f (1) 1 ，T 2 求 f (2009)
f (4 x) （再应用奇函数）
f [4 (4 x)] (再应用关
f (8 x)
于x=2对称)
T 8
f (x) f (x 2) f (x 1) -------（1）
f (x 1) f (x 3) f (x 2) -------（2）
将（2）代入（1）得
f (x) [ f (x 1) f (x 3)] f (x 1)
f (x) f (x 3) 0 f (x) f (x 3)
f (x) f (x 3) { f [(x 3) 3]} f (x 6)
T 6
因 f(x)为奇函数，且定义域为R, 所以
f(0)=0
又因周期T=3， 所以f(3)=f(0)=0
由奇函数 f (T ) f ( T )
f [2 (2 x)] (再应用关
f (4 x)
于x=1对称)
(1) f (x a) f (x)
函数的周期性练习题
函数的周期性练习题函数的周期性练习题函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的周期性则是指函数在一定范围内的数值变化是有规律的重复出现的特性。
在学习函数的周期性时，我们需要掌握一些相关的练习题，以加深对这一概念的理解。
一、正弦函数的周期性练习题正弦函数是最常见的周期性函数之一，它的图像呈现出波浪形状。
我们可以通过以下练习题来加深对正弦函数周期性的理解。
1. 求解正弦函数y = sin(x)的周期是多少？解析：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，函数的数值变化会重复出现。
2. 求解正弦函数y = 2sin(x)的周期是多少？解析：对于y = 2sin(x)这个函数，我们可以发现它的系数是2，即函数的振幅是2倍。
振幅的变化不会影响函数的周期，因此，这个函数的周期仍然是2π。
3. 求解正弦函数y = sin(2x)的周期是多少？解析：对于y = sin(2x)这个函数，我们可以发现它的参数是2，即函数的自变量是原来的两倍。
根据函数周期的定义，我们可以得出新函数的周期是原来的周期除以参数，即周期为2π/2 = π。
二、余弦函数的周期性练习题余弦函数也是一种常见的周期性函数，它的图像呈现出波浪形状，与正弦函数相似。
以下是一些与余弦函数周期性相关的练习题。
1. 求解余弦函数y = cos(x)的周期是多少？解析：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 求解余弦函数y = 3cos(x)的周期是多少？解析：对于y = 3cos(x)这个函数，我们可以发现它的系数是3，即函数的振幅是3倍。
振幅的变化不会影响函数的周期，因此，这个函数的周期仍然是2π。
3. 求解余弦函数y = cos(3x)的周期是多少？解析：对于y = cos(3x)这个函数，我们可以发现它的参数是3，即函数的自变量是原来的三倍。
根据函数周期的定义，我们可以得出新函数的周期是原来的周期除以参数，即周期为2π/3。
三、其他周期性函数的练习题除了正弦函数和余弦函数，还有许多其他的周期性函数，如正切函数、指数函数等。
历年函数的周期性高考题
J例—设/(x)是定义在虫上的奇函数，/( %• 4- f (Afi /(3) - 5 ,则/(- 2 T -------------------------- ，7(200 5) = -------------------------例2：设/\x)是定义在R上的偶函数，且满足/(X - 2) - -^―,当OWxWl, /(x) - 2x, fW则Z(7.5) = _______________例3=设/(x)是定义在人上的奇函数，且/(x- 2)= /(x - 2) > /(I) = 2 »则/(2>/ ______________________ 练习1、函数对于任意实数*満足条件八：—打=广：，若门1)=一5贝」/(/(5))- --------------------2、已知定义在R上的奇函数f (x)满定f仗+2) =-f (x),则,f⑹的值为(A)-l (B) 0 (C) 1 (D)23、已知函数y = /(x)杲一个以4为最小正周期的奇函数，则/(2)= ()A. 0B. —4C. 4D.不能确定4、设/(x)是(-30,7)上的奇函数，/(x・ 2) - -/(x),当OSxSl 时，/(x) - x ,则/(47.5)等于 ______5、定义在尺上的偶函数/⑴満足./(x ・2)・/(x),且在［-3,-2］上是减函数，若zQ是锐角二角彫的两个内角，则/(sin a), /(cos P)的大小关系为______________6、已知/(X；是偶函数，且/(I) =993, g(x) = /(x-l)是奇函数，求/(2005)的值7、已知定义在R上的函数/(x)杲以2为周期的奇函数，则方程/(X)- 0在［-2,2］上至少有_________ 个实数根8、已知/(对杲定义在*上的函数，/(10^x)= /(10-x)且/Q0-x) = -/(20-x),则r(x).<()A.周期为20的奇函数B.周期为20的偶函数C.周期为40的哥函数D.周期为40的偶函数1.定义在R上的函数人x）是奇函数又是以2为周期的周期函麹则人1）+用）+刃）等于（）A. -1B. 0C. 1D. 42.已知函数Xx）是定义域为R的偶函埶且Xv+2）=X.x）,若HQ在［一1，0］上是减函瓠那么兀）在［2, 3］上是（）A.増函数B.减函数C.先増后减的函数D.先减后増的函数3.加）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且几2）=0,则方程夬x）=0在区间（一6,6）內解的个数的最小值杲（）A. 10B. 8C. 6D. 45. （2009年深勿训研）设爪）=］_］又记/Kx）=Xx）,尼心尸厲怠）］，^=12,…，则上血（x）6.（2009年山东卷）已知定义在R上的奇函数爪），满足Hx—4）=Tx）,且在区间［0,2］±是増函数，则（）A. /（-25）＜AH）＜/（80）B. 口80）勺11）勺一25）C. /（11）＜/＜80）＜/＜-25）D. X-25）＜7（SO）＜/（11）7.（2009 山东卷）已知定义在R上的奇函数用），满足人x—4丿=一金），且在区间［02］上是増函数，若方程加）=«（加＞0疮区间［—8,8］上有四个不同的槻Xi，X：, X4，则Xl+x：+xs+忌= ________ .S.已知函数人x）的定义域为&且满定爪+2）= —朋）.⑴求证：介丿是周期函数；⑵若血为奇函数，且当00勿时，用）=冬，求使金）=二在［0』009］上的所有x的个数.9.设函数介）在（一8, +8）上满足X2-x）=/（2+x＞人7—x）=/（7+x）,且在闭区间［0：7］上, 只有八1）=几3）=0.⑴试判断函数_）=几）的奇偶性；（2）试求方程朋）=0在闭区间［-2009,2009］上吊根的个数，并证明你的结论.—、选环题1.已知定义在R上的奇函数㈱淹足心-2A-f(Q贝J贞6)笊值対(A. -1B. 0C. 1D. 22・已知函数>=/(x)是一个以4为眾小正司期的奇函数卩则/(2)= ()A. 0B. -4C. 4D.不能确定3. (29CO江阿已知跚：/(x)是(ax)上的偶刃数，若对干30, 2)-/(x),且当xu [0,2)时，/(x) - tcg：(x +1),则/(-2008)-/(200$)的值为( 〉A. -2B. -1C. 1D. 24函^f(i)对干仟意买敷x满尼圣件f(x・ 2) = — .若：(1)・-5・则f(f(、))等于() f(x)1 1A. 5 B -5 C - D ——5 55 /(“)杲定义在W上的曲数./(10-r) = /(10-r)且/(：0")=一/(“士巧・则/⑴是() A 周用为？0的奇压儼B周手为？0的渦冈费C.周期为40的奇函数D.周期为40的偶躅6 •偶函数fg是以2为周期的函数,且当Je 0,1)时，/ x)= 2X-1 ,则/(log:10)的值为(4 3 3. - C.-- D.-5 5 87 •已知•禺函数v =f(x)满足f(x -1) = f(x_l),且当x € [-1,0]时，f(x) = 3x + -, 9 则片(心门)的值等于()50 45S.设八x)是定义在人上以6为周期的函数，f (x)在03)内单调谨减，且y=/3的图象关于直逵对称.则下面正确的結论是()A. /(1.5)</(3.5)</(«5)B. /(3.5)</(1.5)</(6.5)C・.・：「—\)<八1二 D. /(3.5)</-6.5)</(1.5)9 (07安釵)定义在R上函数/ x；既是苛鹹，又是周播函驗I是它的一个正盾期若得方程/(x) - 0 在囲区「叫-八门上的根的个荻记为"，则4可能为( )A.OB.l C3 D510・/(x)是定义在K二的以3为匮期的苛匪数，且/〔2).0衣区间(0,0)内解的个荻的就小追()A. 6B. 7C. 4D. 511.已知定义在*上的函較八)的图象关于成中心对称，且满；.7(-1 -1.4 2/(0) = -2.则/⑴〒/(2)・・・・*(2010)的童为( )C. 0D. 1【答累】BACDC二、蝮空题1.函数门・1对丁任意实数，荷足金件八一!—，若/|1)■・5则/(/| 5)］■ __________________________ 2虫丄的函数/⑴是収2为周軀的奇函数，贝烧程八x)=J 在］-2.2］丄至少有 ______________ 个实数根. 3 fCO 为 R 上的奇因敢•对 eR.5) - /(x) = 0 S/(2) = b /(200S) - ____________ 4. 设函数y = /(x)定义在R 上笊奇函数，且)=/仗)图像关于直纭“:对称，皿 F(l) + f(2) + f(3) + F(4) + f(5) = __________________ ・5设画数F(J 為R 上的奇因数.且f(翼) 心 3)-0.若f( 1)・f(2)<lo a 2 •則a 的取信范1围是 ___________6 定义在(-X,- X )上的I 禺因数f(x)荷足f(x ・l) = - f(x),且在［-1,0］上是增画瓠 下面是关于f(x)的判断^①f(x)是周期函数' ③f(X)在［0, 1］上定増鹹； 具中正碉的判断罡_____________ 7.设函敦/")是定义在;?上的奇函数.对于任意的"八 都有一门“儿 1T(K )当 0 < r < 1 时，/(w)・2x,则/(11.5)-【答宾】1. ： 2. 5： 3 "1： 4 0： 5.0cd€—.a>l ：6 (D ①④：7.・1・5 2 【.碱/(门定义在R 上.目満足/(x.2)[l-/；r)]=1-/(x).八1) = 12.求/(2DH)的洎.*)2.已知函数/'(X )的图象关于点--:0 I 对称，且wR/(x) = -/(X+^-),又/(T 4，/(0)=-2> 求 f(l)-/(2)-/•⑶一 ...-/(200G)的值。
用函数周期性解题的常见类型
用函数周期性解题的常见类型灵活应用函数周期性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型，供师生们参考.例1.（1996年高考题）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于()（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.分析 ：此题的关键在于求)(x f y =的周期，如果类比模型函数x y sin =及诱导公式x x sin )sin(-=+π，将由x y sin =最小正周期为π2，可以猜想)(x f 周期为422=⨯，会使问题得以解决.解：[][])()()2()2(2)4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+).(,5.0)5.7(,)(,10)5.0()5.0()5.08()5.7(.4),()4(B f x x f x f f f f x f x f 选择时故函数的周期为∴-=∴=≤≤-=-=-=∴=+∴二、比较函数值大小例 2.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981x x f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小. 解：))((R x x f ∈ 是以2为周期的偶函数，)1514()15146()15104()171()171()1716()17101(),1916()1916()19166()1998(f f f f f f f f f f f =+==-=-==-=-=∴ 又19981)(x x f = 在[]1,0上是增函数，且1151419161710<<<<，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(f f f f f f <<<<∴即三、求函数解析式例 3.（1989年高考题）设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.解：设1211212),12,12(<-<-⇒+<<-∴+-∈k x k x k k k x0I x ∈ 时，有22)2()2(121,)(k x k x f k x x x f -=-<-<-∴=得由)(x f 是以2 为周期的函数，2)2()(),()2(k x x f x f k x f -=∴=-∴.例4．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时，[]).21(4)1(243)4(2)()4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f四、判断函数奇偶性例5.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.解：由)(x f 的周期为4，得)4()(x f x f +=，由)2()2(x f x f -=+得)4()(x f x f +=-，),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.五、确定函数图象与x 轴交点的个数例6.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.解：由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.六、在二项式中的应用例7.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.解：191919191)191(9291922909291192920929292+⋅++++=+=C C C C 1)137()137()137()137()1137(9291922909291192920929292+⨯+⨯++⨯+⨯=+⨯=∴C C C C 因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，故9292天为星期四.八、复数中的应用例8.（上海市1994年高考题）设)(2321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7. 分析：运用i z 2321+-=方幂的周期性求值即可. 解：10)1(,11=⇒=-∴=--n n n z z z z z ，)(.4)(,,1).(13),(31,31,1min 3B n n k N k k n N k k n n z 故选择最小时即的倍数必须是=∴=∴∈+=∴∈=--∴=九、解“立几”题例9.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
函数周期性练习题
函数周期性练习题函数周期性练习题函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
而函数的周期性是函数理论中的一个重要概念，它在解决实际问题时起到了重要的作用。
本文将通过一些练习题来深入探讨函数的周期性。
1. 练习题一：给定函数f(x) = sin(x)，求解函数的周期。
解析：函数f(x) = sin(x)是一个三角函数，它的周期是2π。
这是因为sin(x)在区间[0, 2π]上的取值是一样的，即sin(0) = sin(2π) = 0，sin(π/2) = sin(5π/2) = 1等等。
2. 练习题二：给定函数g(x) = cos(2x)，求解函数的周期。
解析：函数g(x) = cos(2x)是一个三角函数，它的周期是π。
这是因为cos(2x)在区间[0, π]上的取值是一样的，即cos(0) = cos(π) = 1，cos(π/2) = cos(3π/2) = 0等等。
3. 练习题三：给定函数h(x) = tan(x)，求解函数的周期。
解析：函数h(x) = tan(x)是一个三角函数，它的周期是π。
这是因为tan(x)在区间[0, π]上的取值是一样的，即tan(0) = t an(π) = 0，tan(π/4) = tan(5π/4) = 1等等。
4. 练习题四：给定函数k(x) = 2^x，求解函数的周期。
解析：函数k(x) = 2^x是一个指数函数，它的周期是无穷大。
这是因为指数函数的图像是一条逐渐上升或下降的曲线，没有明显的周期性。
通过以上练习题，我们可以看出不同类型的函数具有不同的周期性。
三角函数的周期是有限的，而指数函数的周期是无穷大的。
这是因为三角函数的图像在一定区间内重复出现，而指数函数的图像则没有明显的重复特征。
函数的周期性在实际问题中有广泛的应用。
例如，在物理学中，周期函数常常用来描述物体的周期性运动；在工程学中，周期函数可以用来分析电路中的交流信号；在经济学中，周期函数可以用来描述经济波动等等。
函数周期性的五类解决方案
函数周期性的五类解决方案1. 正弦和余弦函数函数$f(x) = \sin(x)$和$f(x) = \cos(x)$是最常见的周期性函数。
它们的周期为$2\pi$，即函数在每个$2\pi$的间隔内重复。
这两种函数在物理学、工程学和信号处理等领域应用广泛。
2. 周期性指数函数指数函数可以具有周期性特征，例如函数$f(x) = e^{ix}$，其中$x$是实数，$i$是虚数单位。
当$x$取某些特定值时，指数函数可以重复自身。
这类函数在量子力学和波动理论等领域中经常出现。
3. 周期性傅立叶级数傅立叶级数是由一组基本周期函数的线性组合构成的函数。
通过适当选择基函数的系数，可以得到各种周期性函数。
傅立叶级数在信号处理、图像处理和通信系统设计中具有重要应用。
4. 周期性三角多项式周期性三角多项式是具有周期性形式的三角函数的多项式。
例如，函数$f(x) = 2\sin^3(x) - \sin^2(x)$是一个周期性三角多项式，它具有周期$2\pi$。
这类函数在波动理论和电路分析等领域中有广泛应用。
5. 周期性离散函数离散函数是定义在离散集合上的函数，它们也可以具有周期性。
例如，函数$f(n) = (-1)^n$在整数集合上具有周期2。
这类函数在数字信号处理和计算机科学中常常遇到。
总结起来，函数周期性的五类解决方案包括正弦和余弦函数、周期性指数函数、周期性傅立叶级数、周期性三角多项式和周期性离散函数。
对于不同的问题和应用，选择适当的解决方案可以帮助我们更好地理解函数的周期性特征和行为。
热点2-2 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
热点2-2 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x x a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
(完整版)函数的周期性练习题兼答案
函数周期性分类解析一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= )(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； 12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
函数周期性的五类经典题型
解析：因为f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．（对称轴）
所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，
由y＝，得x2－2x＋y2＝0，
即(x－1)2＋y2＝1，
画出函数f(x)和直线y＝k(x＋1)的图象.
因为直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，所以根据函数图象xx，<k<.
2.已知f(x)是Rxx最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]xx与x轴的交点个数为________．
A．－1B．－2
C．2D．1
解析：选A 因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(－2 013)＋f(2 014)＝－f(2 013)＋f(2 014)＝－f(1)＋f(0)．又当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(－2 013)＋f(2 014)＝－1＋0＝－1.
2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．（对定义域的运用）
即y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．
因为f(x)在[0，2]上是增函数，
所以f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图象．
其图象也关于x＝－6对称，
(完整版)函数的周期性练习题兼答案
函数周期性分类解析x，使 f (x T) f (x) 恒成立一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、f x f x a ，则y f x 是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期3、若函数f x a f x a ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期fx15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周fx 期。
6、f(x a) 1 f (x)，则 f x 是以T 2a为周期的周期函数.1 f (x)7、f(x a) 11 f f((x x))，则 f x 是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 f (x)(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2( b-a) 是它的一个周期。
10、函数y f (x) x R 的图象关于两点 A a,y0 、B b,y0 a b 都对称，则函数f(x)是以2 b a 为周期的周期函数；11、函数y f (x) x R 的图象关于A a, y0和直线x b a b 都对称，则函数 f (x) 是以4 b a 为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。
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周期性
函数的周期性
基本知识方法
1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，
则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,
① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；
②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；
③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；
⑤1()()1()
f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-
+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()
f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 类型一：判断周期函数
1.求下列函数是否为周期函数
（1）
，满足
（2），满足
（3），满足
（4），满足
类型二：求值 1.已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 013)＋f (2 014)的值为( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．1
2.若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．（对定义域的运用）
3.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －1， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 016)＝________. 4.已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当
x >12
时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝______. （转化） 5.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15
，则f (log 220)＝________. （利用周期和奇函数改变范围）
6.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，
f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5
7.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1
，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32
)，则a ＋3b 的值为________． 类型三：求周期 1.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]的最小正周期是________． 类型四：周期+奇偶性
1.若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( ) （数形结合，类似于正余弦函数图像）
A ．(1，3)
B ．(－1，1)
C ．(－1，0)∪(1，3)
D ．(－1，0)∪(0，1)
2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程
f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．类型五：综合
1.偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝2x－x2，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是__________.
2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．
3.已知f(x)是R上最小正周期为4的奇函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[2,4]的解析式为________．
4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为( )
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
5函数
()
f x
对于任意实数x满足条件
()
()
1
2
f x
f x
+=
，若
()15,
f=-
则
()
()5
f f=
6设
()
f x
是
()
+∞
∞
-,上的奇函数，()()x f
x
f-
=
+2，当0≤x≤1时，()x
x
f=，则f
（7.5）等于（）
A.0.5
B.－0.5
C.1.5
D.－1.5。