函数周期性的五类经典题型

周期性

函数的周期性

基本知识方法

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，

则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,

① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

⑤1()()1()

f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()

f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 类型一：判断周期函数

1.求下列函数是否为周期函数

（1）

，满足

（2），满足

（3），满足

（4），满足

类型二：求值 1.已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 013)＋f (2 014)的值为( )

A ．－1

B ．－2

C ．2

D ．1

2.若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．（对定义域的运用）

3.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

3x －1， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 016)＝________. 4.已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当

x >12

时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝______. （转化） 5.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15

，则f (log 220)＝________. （利用周期和奇函数改变范围）

6.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，

f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ）

(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5

7.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1

，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32

)，则a ＋3b 的值为________． 类型三：求周期 1.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]的最小正周期是________． 类型四：周期+奇偶性

1.若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( ) （数形结合，类似于正余弦函数图像）

A ．(1，3)

B ．(－1，1)

C ．(－1，0)∪(1，3)

D ．(－1，0)∪(0，1)

2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程

f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．类型五：综合

1.偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝2x－x2，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是__________.

2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．

3.已知f(x)是R上最小正周期为4的奇函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[2,4]的解析式为________．

4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为( )

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

5函数

()

f x

对于任意实数x满足条件

()

()

1

2

f x

f x

+=

，若

()15,

f=-

则

()

()5

f f=

6设

()

f x

是

()

+∞

∞

-,上的奇函数，()()x f

x

f-

=

+2，当0≤x≤1时，()x

x

f=，则f

（7.5）等于（）

A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5