蒙特卡洛方法在材料学中的应用讲解
蒙特卡洛方法的应用
它利用随机数或伪随机数来进行 大量模拟，并通过统计结果来估 计问题的解。
蒙特卡洛方法的原理
蒙特卡洛方法的原理基于大数定律和 中心极限定理，即当样本量足够大时 ，样本均值趋近于总体均值，并且样 本的标准差趋近于总体标准差。
通过在计算机上生成大量随机样本， 蒙特卡洛方法能够近似求解某些难以 直接求解的问题。
蒙特卡洛方法的应用
目录
• 蒙特卡洛方法简介 • 蒙特卡洛方法在金融领域的应用 • 蒙特卡洛方法在物理和工程领域的应用 • 蒙特卡洛方法在社会科学领域的应用 • 蒙特卡洛方法的优缺点 • 未来展望
01
蒙特卡洛方法简介
蒙特卡洛方法的定义
01
蒙特卡洛方法是一种基于概率统 计的数值计算方法，通过随机抽 样来模拟系统的行为或求解数学 问题。
蒙特卡洛方法的参数（如抽样次数）对结 果影响较大，需要仔细调整和优化。
06
未来展望
蒙特卡洛方法的发展趋势
算法优化
随着计算能力的不断提升，蒙特卡洛方法的算法 将进一步优化，提高计算效率和精度。
交叉学科应用
蒙特卡洛方法将与更多学科交叉融合，拓展其在 物理、化学、生物、金融等领域的应用。
并行计算
并行计算技术的发展将加速蒙特卡洛方法的运算 速度，使其能够处理更大规模和更复杂的问题。
为政策制定提供依据。
社会学
01
社会网络模拟
蒙特卡洛方法可以模拟社会网络 的形成和演化，有助于了解社会 关系的动态变化。
02
社会行为模拟
03
社会政策评估
通过模拟个体的决策过程和社会 互动，蒙特卡洛方法可以揭示社 会行为的内在机制。
蒙特卡洛方法可以评估不同社会 政策的实施效果，为政策调整提 供科学依据。
Monte_Carlo方法必备知识
Grain Boundary Dynamics as a Tool for Microstructure Control
Plastic Deformation & Heat Treatment
Motion Motion of of Grain GrainBoundaries Boundaries
different
Recrystallization & Grain Growth Structure
Thermodynamics
Kinetics
Mikrostructure
Control & Analysis
Grain Boundary Dynamics
Material Properties 材料设计优化与生物医用材料研究室
•
•
材料设计优化与生物医用材料研究室
• 研究晶粒长大的目的之一是控制晶粒尺寸。晶粒尺寸既反 映金属材料的微观组织特征，又直接影响材料的性能。例 如低碳钢中晶粒尺寸与材料的机械性能、脆性转变温度有 直接关系。 1.细化晶粒
结构钢： 改善韧性同时提高强度 变形铝合金：提高强度，改善产品表面粗糙度和提高变形能力 超塑性合金：提高其常温强度而降低其高温强度，实现超塑性的关键
材料设计优化与生物医用材料研究室
NN考虑单元的6个最近邻格点与12个次近邻格点以及8个第三近邻的格点。
材料设计优化与生物医用材料研究室
界面能由描述原子相互作用的哈密尔顿算子来定义。下式中J>0可以理解 为相邻原子间的相互作用能。对于任意格点 i，其界面能Ei为：
Ei J (1 Si S j ), Si S j
•
晶粒长大：无应变多晶体材料在退火过程中系统平均晶粒尺寸逐渐增 大的现象。晶粒长大可以是初次再结晶的后继过程，即发生于形变试 样初次再结晶完成以后的继续退火过程中，也可以发生在无原始形变 试样的退火处理过程中。晶粒长大可以分为正常晶粒长大和异常晶粒 长大。 正常晶粒长大的特点是长大速度比较均匀，在长大过程中晶粒的尺寸 分布和形状分布几乎不变。异常晶粒长大是组织中少数晶粒吞并基体 中其他较小的晶粒而长大。 某种意义上讲，晶粒长大研究是一个金属学理论问题，但就这一研究 的起源和最终服务目的而言，晶粒长大研究是与材料性能密切相关 的。随着人们对材料的组织、结构与性能之间相互关系认识的深入， 越来越显出晶粒长大研究对控制和改善材料性能的重要性。
计算材料学概述之蒙特卡洛方法详解课件
组合优化方法
针对组合优化问题，通过随机搜索和迭代优 化求解。
分子动力学模拟中的蒙特卡洛方法
01
分子动力学模拟是一种基于物理 模型的模拟方法，通过蒙特卡洛 方法可以模拟分子间的相互作用 和运动轨迹。
02
蒙特卡洛方法在分子动力学模拟 中主要用于求解势能面和分子运 动轨迹，通过随机抽样和迭代优 化实现分子运动状态的模拟。
重要性
随着科技的发展，计算材料学已成为 材料科学研究中不可或缺的工具，有 助于加速新材料的发现和优化现有材 料的性能。
计算材料学的主要研究方法
分子动力学模拟
01
基于原子或分子的动力学行为，模拟材料的微观结构和动态性
质。
蒙特卡洛方法
02
通过随机抽样和概率统计方法研究材料的宏观性质和相变行为
。
密度泛函理论
蒙特卡洛方法可以与分子动力学模拟结合，实现更精确的原子尺 度模拟。
元胞自动机
蒙特卡洛方法可以与元胞自动机结合，模拟复杂系统的演化过程。
有限元分析
蒙特卡洛方法可以与有限元分析结合，实现更高效的数值计算。
蒙特卡洛方法在材料设计中的应用前景
新材料发现
蒙特卡洛方法可用于预测新材料性能，加速新材料发现和开发进 程。
总结词
通过蒙特卡洛方法模拟复合材料的界面行为，包括界面润湿性、粘附力和传质过程等。
详细描述
利用蒙特卡洛方法模拟复合材料的界面行为，分析不同组分间的相互作用和界面结构， 预测材料的界面润湿性、粘附力和传质过程等性能，为复合材料的制备和应用提供理论
依据和技术支持。
蒙特卡洛方法的发
05
展趋势与展望
蒙特卡洛方法的未来发展方向
计算统计量
根据模型和抽样结 果，计算所需的统 计量或系统参数。
计算材料学第四章原子模拟方法
计算材料学第四章原子模拟方法引言原子模拟方法是计算材料学中一种重要的研究工具，通过使用计算机模拟原子及分子的运动和相互作用，可以推测材料的物理性质和化学反应等关键信息。
本文将介绍原子模拟方法的基本原理和常用的模拟技术，以及它们在材料学研究中的应用。
分子动力学模拟分子动力学模拟是一种基于牛顿运动定律的模拟方法。
在该方法中，通过运动方程对材料中的原子进行追踪，模拟出原子之间的相互作用和运动。
分子动力学方法可以提供材料的力学性质、热学性质和动力学过程等信息。
基本的分子动力学模拟过程包括确定原子的势能函数、计算原子之间的相互作用力、求解运动方程以及更新原子的位置和速度等步骤。
其中，势能函数的选择是分子动力学模拟的关键，一般可以采用经典力场或量子力场来描述原子之间的相互作用。
根据系统的尺度和研究目的，可以选择不同精度和复杂度的势能函数。
分子动力学模拟在材料学研究中有广泛的应用。
例如，通过模拟材料表面的原子运动，可以了解材料的表面形貌和吸附行为，为表面处理和催化反应等过程提供理论依据。
此外，分子动力学模拟还可以用于研究材料的力学行为和相变过程，对材料的变形和断裂等现象进行预测和优化。
蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于随机数的计算方法，通过统计学的方法模拟系统的宏观行为。
在蒙特卡洛模拟中，通过随机抽样的方法确定系统状态，然后根据概率分布函数计算系统的性质。
蒙特卡洛模拟在材料学中有广泛的应用，特别是在热力学和统计物理方面。
通过蒙特卡洛模拟，可以研究材料的相变行为、热力学性质以及相图等信息。
例如，可以通过蒙特卡洛模拟研究材料的晶体生长过程，优化材料的结构和性能。
蒙特卡洛模拟的关键在于随机数的生成和抽样方法的选择。
常见的蒙特卡洛模拟方法包括Metropolis算法和细胞自动机等。
这些方法可以通过合理的抽样和统计分析，得到系统的平衡态和非平衡态的信息。
分子静力学模拟分子静力学模拟是一种基于力学平衡的模拟方法，用于分析材料中原子之间的静态力学平衡。
蒙特卡洛方法在材料学中的应用
蒙特卡洛方法在材料科 学中的应用举例
利用蒙特卡洛方法计算陶瓷刀具平均磨损寿命 在连续切削的条件下, 陶瓷刀具的失效形式是以磨粒 磨损为主的磨损失效, 其磨损寿命由材料的断裂韧性、 硬度和切削过程的参数决定. 利用蒙特卡洛方法分别随 机生成断裂韧性与硬度的样本值, 利用连续车削试验确 定切削过程参数, 将得到的样本值与切削参数相结合可 计算刀具在相应切削条件下的磨损寿命及其可靠性 具体的MC模拟分析如下, 对于确定的切削过程, 断裂 韧性和硬度都很好地符合Weibull 分布（概率模型）， 其累积失效概率函数为
x n 1 2s 10
缺点：a,周期较短，b,所得序列有向小端偏移的倾向。
2, 乘同余法
对于xi-1，乘积λxi-1除以M后余数为xi
xi MODxi 1 , M
ri xi / M
其中x0, λ, M为选定的常数，例如：x0=1, λ=513, M=242 等。得到的周期 T ≈ 2×1010，基本满足一般需要。
2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生 随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。 通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分 布的随机数，方可进行随机模拟试验。
3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和 选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包 括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的 随机解。 5. 统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的 精度估计。
（二）物理方法产生随机数
用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些 物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在 计算机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随 机数发生器。用来作为随机数发生器的物理源主 要有两种：一种是根据放射性物质的放射性，另 一种是利用计算机的固有噪声。 用物理方法产生的随机数序列无法重复实现（缺 点），不能进行程序复算，给验证结果带来很大 困难。而且，需要增加随机数发生器和电路联系 等附加设备，费用昂贵。因此，该方法也不适合 在计算机上使用。
蒙特卡洛方法在材料学中的应用
其中F(x)可以由计算机产生的0~1的随机数产 生，m为形状参数，A为位置参数，η为比例参数。
x为符合W eibu ll 分布的随机数. 这样, 如果知道 断裂韧性和硬度的W eibu ll 分布, 根据上式能够 产生任意2 项力学性能参数的随机样本值. 再根 据式,
可计算出相应的磨损寿命值, 取其平均值后即可得到 该种刀具的平均磨损寿命. 采用该方法可通过较少的 试验获得大量的样本值, 从而加快了研究进程和减少试 验开支.
设针投到地面上的 位置可以用一组参数 （x,θ）来描述，x为针 中心的坐标，θ为针与 平行线的夹角，如图所 示。
任意投针，就是意味 着x与θ都是任意取的，但x 的范围限于［0，a］，夹 角θ的范围限于［0，π］。 在此情况下，针与平行线 相交的数学条件是x ≤ l· sinθ
针在平行线间的位置
则投针N次，相交次数为n，则相交的概率为：
（四）利用计算机产生随机数的方法：
1， 乘方取中法： 设x0为一个4s位数。把x02截头去尾，只保留中间2s位，作为 数列的下一个数x1。 对于十进制： x n 1
2 xn 2s MOD s ,10 10
——MOD是求余数运算。则[0,1]区间的随机数为：
rn 1
[0,1]区间均匀分布的随机数
是蒙特卡罗方法研究的一个重要内容。如果得到[0,1]区间均匀 分布的随机数，则任何区间[a,b]之内的随机数都可以得到：
[0,1]
随机数的要求：
R a b a
1，足够多个随机数能遍布[0,1]范围，非周期性，遍历性。 2，在[0,1]中每个小区间出现的机会相等，等概率性。 并不是一个简单的问题。stdlib.h里面的random()函数可以在低 精度的情况下使用。
蒙特卡罗模拟方法在材料科学中的应用
蒙特卡罗模拟方法在材料科学中的应用在材料科学中，蒙特卡罗模拟方法被广泛应用。
蒙特卡罗模拟是一种用于计算物理和数学问题的随机模拟方法。
它以概率统计为基础，通过大量重复的随机抽样，对某个问题进行数值模拟。
在材料科学中，蒙特卡罗模拟可以用于模拟材料的结构和性质，预测材料的行为和性能。
蒙特卡罗模拟方法最早用于计算核物理问题。
在20世纪50年代，美国洛斯阿拉莫斯国家实验室的尼古拉斯·梅特罗波立斯引入了蒙特卡罗模拟方法，并将其用于核武器设计。
此后，蒙特卡罗模拟被广泛应用于物理、化学、生物学、金融等领域。
在材料科学领域，蒙特卡罗模拟方法可以用于模拟材料的结构和性质。
例如，蒙特卡罗模拟可以用于模拟金属合金的晶格缺陷，预测合金的热力学性质和机械性能。
蒙特卡罗模拟还可以用于模拟液态和固态材料的分子结构，分析材料的化学反应和材料的热力学行为。
蒙特卡罗模拟方法的核心思想是随机抽样。
通过大量的随机抽样，可以得出一个问题的概率分布。
例如，蒙特卡罗模拟可以用于计算材料中晶格缺陷的形成概率。
首先，我们需要将晶格缺陷的形成看作一种随机过程。
然后，我们可以通过大量的随机抽样，模拟这种随机过程的概率分布。
最后，我们可以将概率分布转换为实际的物理量，如材料的热力学性质和机械性能。
蒙特卡罗模拟方法有几个优点。
首先，蒙特卡罗模拟方法可以处理复杂的随机系统。
例如，我们可以用蒙特卡罗模拟方法计算材料中复杂的化学反应和相变过程。
其次，蒙特卡罗模拟方法可以处理高维问题。
例如，我们可以用蒙特卡罗模拟方法计算材料中的多相流问题。
最后，蒙特卡罗模拟方法非常灵活，可以根据问题的具体需求进行模拟。
蒙特卡罗模拟方法在材料科学中的应用有很多。
例如，在材料的纳米加工中，蒙特卡罗模拟可以用于研究材料的表面形貌和纳米结构。
在材料的相变过程中，蒙特卡罗模拟可以用于预测材料的晶体结构和移位的位置。
在材料的金属加工过程中，蒙特卡罗模拟可以用于分析材料的力学行为和热力学性质。
monte carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用
monte carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用
随着金属材料表面凝固后结构的研究，已经越来越受到关注。
在宏观级别，它与尺寸和形状效应有关，如表面的粗糙度和摩擦特性。
在微观级别，它与定向凝固行为有关，也就是组织结构中晶体晶格形状和大小的变化。
在宏观和微观级别上，定向凝固微观组织模拟都是极其复杂的过程，模拟后的结果非常容易受到随机扰动的影响。
因此开发一种可以精确模拟定向凝固微观组织变化过程的有效算法就成为了材料工程
领域的热点问题。
目前，Monte Carlo方法已经成为定向凝固微观组织模拟的一种有效的方法。
它的基本原理是根据模拟的环境情况来随机探索系统可能的状态，并从中选择最佳状态。
在定向凝固模拟中，Monte Carlo
方法可以简化组织分布的计算，使空间结构变化的计算效率大大提高。
在实际应用中，Monte Carlo方法可以用来模拟各种定向凝固组织，如多孔晶体、断裂晶体、无定向凝固晶体以及各种合金的晶体组织。
它可以模拟凝固过程中晶胞形状、晶粒形状及其尺寸的变化，也可以在定向凝固中模拟各类不同组相之间的相变。
此外，Monte Carlo方法可以应用于分析定向凝固行为的原因。
它可以用来研究不同空间形状对定向凝固的影响，并研究不同应力水平对定向凝固的影响。
它还可以用来评估不同温度、湿度和其他环境因素对定向凝固过程的影响。
总之，Monte Carlo方法是一种有效且功能强大的定向凝固微观
组织模拟方法，它可以模拟组织结构的变化，并分析定向凝固行为的原因。
它的应用不仅可以提高模拟的准确性，还可以改善材料的性能，为材料工程领域的研究和应用奠定坚实的基础。
蒙特卡洛方法的应用课件
材料属性模拟
蒙特卡洛方法可以模拟材料的物理和化学属性，如热导率、电 导率、扩散系数等，为材料的选择和应用提供依据。
结构可靠性分析
蒙特卡洛方法可以用于结构可靠性分析，通过模拟结构在 不同工况下的失效概率，评估结构的可靠性和安全性。
系统可靠性分析
系统可靠性评估
蒙特卡洛方法可以用于评估系统 的可靠性，通过模拟系统在不同 条件下的运行状态，评估系统的 可靠性和故障概率。
控制系统优化
蒙特卡洛方法可以用于控制系统的优化，通过模拟控制系 统的不同参数和控制策略，优化控制系统的性能和稳定性 。
控制系统故障诊断
蒙特卡洛方法可以用于控制系统的故障诊断，通过模拟控 制系统的运行状态和故障模式，诊断控制系统的故障和问 题。
05
蒙特卡洛方法在社会科学领 域的应用
人口统计学模拟
总结词
要点一
金融风险管理
蒙特卡洛方法可以用于评估金融衍生品的风险，通过模拟 标的资产价格的波动，计算出衍生品的价值及其波动性。
要点二
物理模拟
蒙特卡洛方法可以用于模拟物理现象，如粒子运动、气体 扩散等，通过大量模拟实验得出物理量的统计结果。
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它通过构造一个概率模型或随机过程 ，将需要求解的问题转化为一个概率 问题，然后通过大量的随机抽样来近 似求解该概率问题。
蒙特卡洛方法的原理
蒙特卡洛方法的原理基于大数定律和中心极限定理，通过大量的随机抽样来逼近真实概率分布的特征 值或概率质量函数。
在每个抽样点上，根据问题的具体条件和约束，进行相应的计算和判断，最终得到问题的近似解。
化学反应模拟
总结词
蒙特卡洛方法在化学领域常用于模拟化 学反应的过程和机理。
蒙特卡罗模拟在材料科学中应用举例
转变规则——能量最小原理
如何实现界面的迁移:单胞状态的转变 转变规则:随机选择一个邻居,如果转变后系统能 量降低(考虑能量起伏). 如何计算能量:体积能(动力);界面能(阻力): 体积能EV计算: EV=0 EV(0)=ER
界面能
如何计算一个单胞界面能 界面能:异类邻居数之和. 界面能 XN=(/-1,-1,-1,0,0,1,1,1/) YN=(/-1,0,1,-1,1,-1,0,1/) DO II=1,8 ISB(II)=IS(I+XN(II),J+YN(II)) END DO E0=COUNT(ISB.NE.IS(I,j))
任意选邻居再计算能量
随机选取一个邻居CELL 及能量变化 ISTR=ISB(8*RAN(ISEED)+1) IF(ISTR.EQ.IS)CYCLE ETR=COUNT(ISB.NE.ISTR)
能量判断
单个元胞的体积能Ev与元胞的一个面的能量Es 之比: Ev=8Es 能量变化与能量起伏 DEB=ETR-E0 DEV=EV(ISTR)-EV(IS) DE=DEB+DEV+2.5*RAN(ISEED))-1.25
2 i j max
∑(X
j =1
j i
× Xi )
j
随机行走:原子扩散的平均距离与原子跳动次数的平方根成正比. 随机行走:原子扩散的平均距离与原子跳动次数的平方根成正比. 平均距离与原子跳动次数的平方根成正比
!Monte Carlo Simulation of One Dimensional Diffusion INTEGER X,XX(1:1000,1:1000) REAL XXM(1:1000) X:INSTANTANEOUS POSITION OF ATOM XX(J,I):X*X ,J:第几天实验,I:第几步跳跃 XXM(I): THE MEAN OF XX WRITE(*,*) "实验天数Jt,实验次数 Ic" READ(*,*) Jt, Ic
蒙特卡罗法在半导体器件模拟中的应用
蒙特卡罗法在半导体器件模拟中的应用
1 蒙特卡洛法在半导体器件模拟中的应用
蒙特卡洛法（Monte Carlo methods）是一种数学和计算方法，旨在通过概率统计的方式来解决复杂的问题。
蒙特卡洛法不需要推导出完整的推理结论，而是根据抽样分布得到期望值。
近年来，蒙特卡洛法已经成为一种重要的电路模拟技术，可应用于半导体器件的性能分析和模拟。
半导体器件的建模和模拟往往伴随着大量计算，用蒙特卡罗法可以大大减少计算量。
使用蒙特卡洛法，可以简化模拟结果的数量，从而为建模提供有效的信息。
通过蒙特卡洛法，可以经过简化的运算，将复杂的集合转换成一组多维量度来提取其特征。
此外，蒙特卡洛模拟也非常适合电路优化。
在进行优化时，可以模拟各种参数，以监控变量的影响范围。
例如，对一个器件的噪声性能进行优化时，可以模拟器件的外部引脚和里面各个参数，监测它们之间的协同影响。
蒙特卡洛模拟不仅可以减少模拟中所耗费的时间成本，而且误差也更小。
如果采用传统的模拟方法，要获得准确的结果，需要运行多次模拟，而每次模拟都耗时较长。
然而，利用蒙特卡洛模拟，即使只进行一次模拟，得出的结果也可以大致满足需求。
蒙特卡罗法在半导体器件模拟的应用可以大大减少模拟的时间，并产生更准确的结果，同时可以减少计算。
由于蒙特卡洛法可用于优化电路，因此它对半导体行业发展具有重要意义。
计算材料学之蒙特卡洛方法论述
计算材料学之蒙特卡洛方法一、计算材料学主要内容计算材料学涉及材料的各个方面，如不同层次的结构、各种性能等等，因此，有很多相应的计算方法。
在进行材料计算时，首先要根据所要计算的对象、条件、要求等因素选择适当的方法。
要想做好选择，必须了解材料计算方法的分类。
目前，主要有两种分类方法：一是按理论模型和方法分类，二是按材料计算的特征空间尺寸(Characteristic space scale)分类。
材料的性能在很大程度上取决于材料的微结构，材料的用途不同，决定其性能的微结构尺度会有很大的差别。
例如，对结构材料来说，影响其力学性能的结构尺度在微米以上，而对于电、光、磁等功能材料来说可能要小到纳米，甚至是电子结构。
因此，计算材料学的研究对象的特征空间尺度从埃到米。
时间是计算材料学的另一个重要的参量。
对于不同的研究对象或计算方法，材料计算的时间尺度可从10-15秒（如分子动力学方法等）到年（如对于腐蚀、蠕变、疲劳等的模拟）。
对于具有不同特征空间、时间尺度的研究对象，均有相应的材料计算方法。
目前常用的计算方法包括第一原理从头计算法，分子动力学方法，蒙特卡洛方法，有限元分析等。
下面主要介绍蒙特卡罗方法：蒙特卡罗方法：一、方法的简介蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
与它对应的是确定性算法这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。
蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。
它是以概率统计理论为基础的一种方法。
由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。
蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。
计算材料学概述 之 蒙特卡洛方法.详解
随机数产生的办法
关于随机数的几点注意
注1 由于均匀分布的随机数的产生总是采用某个确定 的模型进行的，从理论上讲，总会有周期现象出现的。 初值确定后，所有随机数也随之确定，并不满足真正 随机数的要求。因此通常把由数学方法产生的随机数 成为伪随机数。 但其周期又相当长，在实际应用中几乎不可能出 现。因此，这种由计算机产生的伪随机数可以当作真 正的随机数来处理。 注2 应对所产生的伪随机数作各种统计检验，如独 立性检验，分布检验，功率谱检验等等。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规 则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机 地”投掷N个点，若有M个点落于“图形”内，则该“图形” 的面积近似为M/N。
用该方法计算π的基本思路是： 1 、根据圆面积的公式： s=πR^2 ,当R=1时，
11
面积的计算
辛普逊方法
蒙特-卡洛方法
在长方形中均匀投N0组(x,y) 如 y<f(x), 则 N=N+1
I = ΣSn
f (x)
Hale Waihona Puke I =(N/N0)×S0f (x)
S0
S
x x
MC 的优点 MC与传统数学方法相比，具有直观性强，简便易行的优点，该方
法能处理一些其他方法无法解决的负责问题，并且容易在计算机 上实现，在很大程度上可以代替许多大型、难以实现的复杂实验 和社会行为。无污染、无危险、能摆脱实验误差。
Monte Carlo方法之随机数的产生
许多计算机系统都有随机数生成函数 F90: call random_seed
call random_number(a) 2、ISEED=RTC()
计算材料学
实验者 年代 投掷次数 相交次数 圆周率估计值 沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596 史密斯 1855 3204 1219 3.1554 德摩根 1880 600 383 3.137 福克斯 1884 1030 489 3.1595 拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929 赖纳 1925 2520 859 3.1795 布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问 题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学 问题，为概率论和蒙特卡罗方法的发展起到一定 的推动作用。
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面积的计算
辛普逊方法
蒙特-卡洛方法 蒙特 卡洛方法 在长方形中均匀投N 在长方形中均匀投 0组(x,y) 如 y<f(x), 则 N=N+1
I = ΣSn
f (x)
I =(N/N0)×S0
f (x)
S0 S
x x
MC与传统数学方法相比，具有直观性强，简便易行的优点， MC与传统数学方法相比，具有直观性强，简便易行的优点， 与传统数学方法相比 直观性强 该方法能处理一些其他方法无法解决的负责问题， 该方法能处理一些其他方法无法解决的负责问题，并且容 易在计算机上实现，在很大程度上可以代替许多大型 代替许多大型、 易在计算机上实现，在很大程度上可以代替许多大型、难 以实现的复杂实验和社会行为。无污染、无危险、 以实现的复杂实验和社会行为。无污染、无危险、能摆脱 实验误差。 实验误差。 注意以下两点： 注意以下两点： Monte Carlo方法利用随机抽样的方法来求解物理问题 方法利用随机抽样的方法来求解物理问题; 方法利用随机抽样的方法来求解物理问题 数值解法:从一个物理系统的数学模型出发 从一个物理系统的数学模型出发,通过求解一 数值解法 从一个物理系统的数学模型出发 通过求解一 系列的微分方程来的导出系统的未知状态; 系列的微分方程来的导出系统的未知状态 Monte Carlo方法并非只能用来解决包含随机过程的问题 方法并非只能用来解决包含随机过程的问题: 方法并非只能用来解决包含随机过程的问题 例如:用 方法计算定积分. 例如 用Monte Carlo方法计算定积分 方法计算定积分 对这样的问题可将其转换成相关的随机过程, 然后用Monte 对这样的问题可将其转换成相关的随机过程 然后用 Carlo方法进行求解 方法进行求解
monte+carlo(蒙特卡洛方法)解析
蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，广泛应用于金融学、物理学、工程学和计算机科学等领域。
它的原理是通过随机抽样来估计数学模型的结果，通过大量重复实验来逼近真实值。
在本文中，我们将探讨蒙特卡洛方法的原理、应用和局限，并共享个人对这一方法的理解和观点。
1. 蒙特卡洛方法的原理蒙特卡洛方法的核心思想是利用随机数来处理问题。
它通过生成大量的随机数，利用这些随机数的统计特性来近似求解问题。
在金融衍生品定价中，我们可以使用蒙特卡洛方法来模拟股票价格的随机漫步，从而估计期权合约的价格。
通过不断模拟股票价格的变化，并计算期权合约的价值，最终得到一个接近真实值的结果。
2. 蒙特卡洛方法的应用蒙特卡洛方法在金融领域被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等问题。
在物理学中，蒙特卡洛方法可以用于模拟粒子的运动，求解无法用解析方法求解的复杂系统。
在工程学和计算机科学中，蒙特卡洛方法可以用于求解概率分布、优化问题和模拟系统行为。
3. 蒙特卡洛方法的局限虽然蒙特卡洛方法有着广泛的应用，但也存在一些局限性。
蒙特卡洛方法通常需要大量的随机抽样，计算成本较高。
随机性导致了结果的不确定性，需要进行大量的实验才能得到可靠的结果。
蒙特卡洛方法在高维问题和高精度要求下计算效率低下，需要借助其他数值方法进行辅助。
4. 个人观点和理解个人认为蒙特卡洛方法是一种非常强大的数值计算方法，能够解决复杂问题和高维问题。
它的随机性使得结果更加贴近真实情况，有利于处理实际情况中的不确定性和风险。
但是在实际应用中，需要注意随机抽样的方法和计算成本，并且需要结合其他数值方法进行验证和辅助，以确保结果的准确性和可靠性。
总结回顾蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，通过大量重复实验来逼近真实值。
它在金融学、物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
然而，蒙特卡洛方法也存在一些局限性，需要结合其他数值方法来弥补其不足。
个人认为蒙特卡洛方法是一种强大的数值计算方法，能够处理复杂和高维问题，但在实际应用中需要注意其随机性和计算成本。
蒙特卡洛方法在高分子材料中的应用解析
例6-5：中子扩散问题
原子核反应堆的壁是铅制的，对中子起屏蔽作用。中子从反 应堆内侧进入壁内与铅原子发生碰撞。求出穿透铅壁中子数 的百分比，被吸收入铅壁中子数的百分比，以及重新返回反 应堆中子数的百分比。
如：由于聚合反应本身的随机性特点，高分子系综内各个 成员之间存在着与其生成机理密切相关的特定分布，即体 系中所生成的高分子链并非具有相同的分子量，而是存在 着所谓的分子量分布问题；在多元聚合中，多元共聚物不 仅具有分子量分布，而且导致了不同种单元在高分子链上 的排列问题，即所谓的序列分布；在多官能团的聚合反应 中的支化和凝胶化问题；高分子链的热降解和辐射降解等 等，无一不是随机性问题。
(1)随机性和统计独立性要好； (2)容易在计算机上实现； (3)省时，存贮量小； (4)伪随机数的周期长。
乘同余法
乘同余法由Lehmer首先提出。由于采用乘同余法具有 在计算机上容易实现、快速等优点，因此乘同余法已被 广泛采用。乘同余法的迭代公式为，
xn1 xn (mod M )
当周期很大时，可用 rn xn / M
作为[0，1]区间上均匀分布的伪随机数序列。（给出初始值x0 及参数λ、M）
一个简单的例子
xn1 6xn (mod11), rn xn /11 （ 6, M 11）
当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3...... 如果令 3, x0 1 ,得到序列:
这里为样本中第l条链的末端距平方49为了使得格子链模型能更为有效地推广到研究高浓度直至熔体的高分子体系的动力学问题陆建明和杨玉良在larson等提出的键长涨落模型的基础上提出了适合于研究高浓度多链体系动力学的空格扩散算按照键长涨落模型模型链的键长允许取两个数值即方格子的边长一般取为1和格子的对角线边长的2倍
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是蒙特卡罗方法研究的一个重要内容。如果得到[0,1]区间均匀 分布的随机数，则任何区间[a,b]之内的随机数都可以得到：
[0,1]
R a b a
随机数的要求：
1，足够多个随机数能遍布[0,1]范围，非周期性，遍历性。 2，在[0,1]中每个小区间出现的机会相等，等概率性。 并不是一个简单的问题。stdlib.h里面的random()函数可以在低 精度的情况下使用。
蒙特卡洛方法
蒙特卡罗方法又称统计模拟(Statistical Simulation)方 法，它用随机数对问题的概率模型进行数值模拟从而 获得问题的解。
蒙特卡洛方法的由来
• 是由Metropolis在二次世界大战期间提出的：Manhattan计 划，研究与原子弹有关的中子输运过程；
• Monte Carlo是摩纳哥（monaco)的首都，该城以赌博闻名
2，随机方法要达到一定的精度，所耗时间较长。（缺点）
3，用随机方法计算，一个关键的问题是随机数的取得。（关 键）
蒙特卡洛方法的原理
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有 概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结 果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟 次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计 值求平均的方法得到稳定结论。
（一）随机数表
为了产生随机数，可以使用随机数表。随机数表是 由0，1，…，9十个数字组成，每个数字以0.1的等 概率出现，数字之间相互独立。这些数字序列叫作 随机数字序列。如果要得到n位有效数字的随机数， 只需将表中每n个相邻的随机数字合并在一起，且 在最高位的前边加上小数点即可。例如，某随机数 表的第一行数字为7634258910…，要想得到三位有 效数字的随机数依次为0.763，0.425，0.891。
用物理方法产生的随机数序列无法重复实现（缺 点），不能进行程序复算，给验证结果带来很大 困难。而且，需要增加随机数发生器和电路联系 等附加设备，费用昂贵。因此，该方法也不适合 在计算机上使用。
（三）伪随机数
在计算机上产生随机数最实用、最常见的方法是数学方法， 即用如下递推公式：
nk T ( n , n1 ,, nk1 ), n 1,2,
蒙特卡洛的模拟步骤
1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随 机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些 特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主 要特征参量方面要与实际问题或系统相一致
2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生 随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。 通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分 布的随机数，方可进行随机模拟试验。
因为随机数表需在计算机中占有很大内存，而且也 难以满足蒙特卡罗方法对随机数需要量非常大的要 求，因此，该方法不适于在计算机上使用。
（二）物理方法产生随机数
用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些 物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在 计算机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随 机数发生器。用来作为随机数发生器的物理源主 要有两种：一种是根据放射性物质的放射性，另 一种是利用计算机的固有噪声。
Nicholas Metropolis (1915-1999)
Monte-Carlo, Monaco
掷针实验（蒲丰实验）
为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样 的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相 间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利 用准确的关系式：
由于这两个问题的存在，常称用数学方法产生的随机数 为伪随机数。
（四）利用计算机产生随机数的方法：
1， 乘方取中法：
设x0为一个4s位数。把x02截头去尾，只保留中间2s位，作为 数列的下一个数x1。
对于十进制：
xn1
MOD
xn2 10s
,102s
——MOD是求余数运算。则[0,1]区间的随机数为：
经常使用的是k=1的情况，其递推公式为：
n1 T (n )
用数学方法产生的随机数，存在两 个问题：
1, 递推公式和初始值确定后，整个随机数序列便被唯一确 定。不满足随机数相互独立的要求。
2, 由于随机数序列是由递推公式确定的，而在计算机上所 能表示的[0，1]上的数又是有限的，因此，这种方法产生 的随机数序列就不可能不出现无限重复。对于k=1的情况， 只要有一个随机数重复，其后面的随机数全部重复，这与 随机数的要求是不相符的。
3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和 选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包 括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的 随机解。
5. 统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的 精度估计。
[0,1]区间均匀分布的随机数
P 2l
a
求出π值
2l 2l ( N )
aP a n
其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典 概率论中著名的蒲丰问题。
一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者
年份 投计次数 π的实验值
沃尔弗(Wolf) 1850 5000
斯密思(Smith) 1855 3204
的范围限于［0，a］，夹
角θ的范围限于［0，π］。
在此情况下，针与平行线
相交的数学条件是x ≤
l ·sinθ针在平行线来自的位置则投针N次，相交次数为n，则相交的概率为：
P 0
l sind a
2l
a
n N
2l 2l ( N )
aP a n
说明：
1，用随机方法可以解决一些比较难于用确定性方法解决的问 题。（优点）
福克斯(Fox)
1894 1120
拉查里尼 (Lazzarini)
1901 3408
3.1596 3.1553 3.1419 3.1415929
设针投到地面上的
位置可以用一组参数 （x,θ）来描述，x为针 中心的坐标，θ为针与
平行线的夹角，如图所 示。
任意投针，就是意味
着x与θ都是任意取的，但x