初等数论试卷

一、判断题（对的写A ，错的写B ，3'1030⨯=）

1.12,,,k a a a 两两互素可以推出12,,,k a a a 互素，反之亦真。 （ ）

2.设10n n N a a a -=是整数N 的十进制表示，则0

1111(1)n

i i i N a =⇔-∑。 （ ）

3.设,,a b m 是整数，(,)1a m =，若x 通过模m 的简化剩余系，则ax b +也通过模m 的简化剩余系。 （ ）

4.对于正整数k ，Euler 函数()k ϕ的值等于模k 简化剩余系中元素的个数。 （ ）

5.形如65n +的素数有无穷多个。 （ ）

6.32514805112133=⋅⋅⋅⋅是51480的标准分解式。 （ ）

7. 已知(,,)x y z 是不定方程222x y z +=满足(,)1x y =的正整数解，则,x y 有不同的奇偶性。 （ ）

8.同余方程322310(mod5)x x x -+-≡的解数小于3。 （ ）

9. 3,5,9(mod14)x ≡是模14的全部原根。 （ ）

10.设,x y 是任意实数，则[][][]x y x y +=+。 （ ）

二、填空（3'1030⨯=）

1.159313被7除的余数是 。

2.使12347！被35k 整除的最大的k = 。

3.用(,)a b ，[,]a b 分别表示整数,a b 的最大公约数和最小公倍数，则[,](,)a b a b ＝ 。

4.设n 是正整数，12,,,k p p p 是它的全部素因数，则

()n ϕ＝ 。

5.同余方程2

1(mod61)x ≡-的解数是 。

6.设,a b 是整数，0(mod )a m ≠，则同余方程(mod )ax b m ≡有解的充要条件是

。若有解，则恰有 个解，mod m 。

7.模11的所有二次剩余是 。

8.模15的最小非负简化剩余系是 。

9.()x π表示不超过x 的素数的个数，则(45)π= 。

10.设n 的十进制表示是62427αβ，若99n ，则α= ，β= 。

三、计算题（共24分，每小题8分）

1、判断不定方程6x +12y +18z =42是否有整数解，若有解，求

其正整数解。

2、解方程)75(mod 015432=-+x x

3、求所有的素数P ，使得)(3),(2P QR P QR ∈∈-

四、证明题（共16分，每题8分）

1. 证明如43n +的素数有无穷多个。

2、设p 是素数，1,(,)1n p p a -=，则

(mod )n x a p ≡

有解的充要条件是

1

1(mod )p n a

p -≡。

若有解，则解数是n 。