连续系统振动(b)-梁的弯曲振动

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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
固有频率和模态函数
变截面梁：
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) [ EI ] S f ( x , t ) m( x, t ) 2 2 2 x x t x
讨论梁的自由振动 2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) [ EI ] S 0 2 2 2 x x t
x0 或 l
( x) 0
（2）简支端
y( x, t ) 0
挠度和弯矩为零
( x) 0
( x ) 0
2 y ( x, t ) M EI 0 x0 或 l 2 x
（3）自由端 弯矩和剪力为零 M 2 y ( x, t ) F 0 x0 或 l M EI 0 s 2 x x (年 x1 )月 ( x ) 0 y ( x, t ) ( x ) q (t ) 2015 240 日
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
y( x, t ) aii ( x) sin(i t i )
2015年1月24日 《振动力学》
i 1
7
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
常见的约束状况与边界条件
（1）固定端
y( x, t ) 0
挠度和截面转角为零
y ( x, t ) 0 x ( x) 0
当i 3时 模态函数：
1 i l (i ) , (i 3,4,) 2
3l 10.996
i ( x) cos i x cosh i x i (sin i x sinh i x), (i 1,2,) cos i l cosh i l cos i l cosh i l i , (i 1,2,) sin i l sinh i l sin i l sinh i l 2 EI 2015年1月24日 2 4 15 a 2 0 《振动力学》
2
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
C1 C3 C4 0
( x) C1 cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
i l i , (i 1,2,)
频率方程： sin l 0
固有频率：
模态函数： 模态形状
i 2 EI i ( ) , (i 1,2,) l S i i ( x) sin x, (i 1,2,) l
固定铰：挠度和截面弯矩为零
滑动铰：挠度和截面弯矩为零
y
0
x
( 0) 0 (l ) 0
(0) 0 (l ) 0
C4 0
C1 C3 0 C2 sin l C4 sinh l 0 C2 sin l C4 sinh l 0
2 0
2
24 日 可通过梁的边界条件确定 Ci (i2015 1年 ~1月 4) 和 《振动力学》
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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
等截面梁：
主振动：
y ( x, t ) ( x) q (t ) ( x) a sin( t )
4 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) EI S 0 4 2 x t
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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
自由端：弯矩和截面剪力为零
y
(0) 0 (0) 0 (l ) 0 (l ) 0
频率方程：
0
x
cos l cosh l 1
解得： 当 i 0 时
0l 0 对应刚体模态 当 i=1,2,3时 1l 4.730 2l 7.853
根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：
y ( x, t ) ( x) q (t ) ( x) a sin( t )
代入自由振动方程：
( EI ) 2 S 0
( 4) 4
4
EI 2 a 等截面梁： ( x) ( x) 0 a0 S 通解： ( x) C1 cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
x
S 梁横截面积
外部力： m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩 f(x,t): 单位长度梁上分布的外力 假设：
梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内外载荷作用在该平面内 梁在该平面作横向振动（微振）, 这时梁的主要变形是弯曲变形
在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响
2015年1月24日 《振动力学》
4
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
变截面梁的动力学方程：
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) [ EI ] S f ( x, t ) m( x, t ) 2 2 2 x x t x
等截面梁的动力学方程：
4 y 2 y EI 4 S 2 f ( x, t ) m( x, t ) x t x
C1 (cos l cosh l ) C2 (sin l sinh l ) 0 C1 (sin l sinh l ) C2 (cos l cosh l ) 0 cos l cosh l sin l sinh l 0 C1、C2 非零解条件： sin l sinh l cos l cosh l
Fs
M
m( x, t )dx
M Fs dx x
M dx x
2 y Sdx 2 t
dx
Fs
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： M dx 2 y dx （M dx) M Fs dx f ( x, t )dx Sdx 2 m( x, t )dx 0 x 2 t 2 M m( x, t ) 略去高阶小量得： Fs x
dx
Fs
2015年1月24日 《振动力学》
3
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
f ( x, t )dx
力平衡方程 ：
F 2 y Sdx 2 ( Fs s dx) Fs f ( x, t )dx 0 t x
Fs 2 y f ( x, t ) S 2 x t
2 y ( x, t ) 材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系： M ( x, t ) EI x 2
变截面梁的动力学方程：
2 2 2 y ( x , t ) y ( x, t ) 2015年1月24日 [ EI ] S f ( x , t ) m( x, t ) 2 2 2 《振动力学》 x x t x
对应的各阶模态函数：
i ( x) cos i x cosh i x i (sin i x sinh i x), (i 1,2,)
cos i l cosh i l , (i 1,2,) i 24日 2015年1月 sin i l sinh i l
y
0
x
节点位置
第一阶模态
2015年1月24日 《振动力学》
第二阶模态
一个节点
第三阶模态
两个节点
第四阶模态
三个节点
13
无节点
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
例：两端自由梁的固有频率和模态函数
背景：导弹飞行 系统类别：半正定系统 存在刚体模态
0
y
x
2015年1月24日 《振动力学》
导弹飞行1
导弹飞行2
欧拉－伯努利梁（Bernoulli-Euler Beam）
2
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
f(x,t): 单位长度梁上分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩
令： y(x,t): 距原点 x 处的截面在 t 时刻
的横向位移
y
f ( x, t )
y( x, t )
0
m( x , t )
( 4) ( x) 4 ( x) 0 ( x) C1 cosx C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
i
第 i 阶主振动：
i ( x)
无穷多个
y (i ) ( x, t ) aii ( x) sin(it i )
a i 和 i由系统的初始条件确定
频率方程： sin l 0
i l i , (i 1,2,)
EI 2 a ( x) C cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x 2 0 12 a0 S
2015年1月24日 1 《振动力学》
4
i 2 EI , (i 1,2,) 固有频率： i ( ) l S
《振动力学》

4
2
2 a0
EI a 10 S
2 0
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 铅垂梁的前三阶模态形状
第一阶模态
节点位置
无节点
第二阶模态
第三阶模态
一个节点
两个节点
2015年1月24日 《振动力学》
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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
例：简支梁固有频率和模态函数
解： 一端固定铰，一端滑动铰
a0
S
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 自由梁的模态形状
第二阶模态 第三阶模态
第四阶模态
第五阶模态
2015年1月24日 《振动力学》
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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频 率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠 度曲线。
y
0
x
l
2015年1月24日 《振动力学》
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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
解：
梁的自由振动方程：
y
0
x
l
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) [ EI ] S 0 2 2 2 x x t
边界条件 固定端： y (0, t ) 0 自由端： y (l , t ) 0
机械振动理论
连续系统的振动
• 一维波动方程
• 梁的弯曲振动 • 集中质量法 • 假设模态法 • 模态综合法
• 有限元法
2015年1月24日 《振动力学》 1
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
• 梁的弯曲振动
细长梁的横向弯曲振动 动力学方程
y
f ( x, t )
m( x , t )
0 梁参数： 单位体积梁的质量 E 弹性模量 I 截面对中性轴的惯性积
当 i=1,2,3时
简化
cos l cosh l 1 0
频率方程
1l Байду номын сангаас 1.875
2l 4.694
3l 7.855
2i 1 il , (i 3,4,) 当i 3时 2 EI 2 , (i 1,2,) 各阶固有频率： i ( i l ) 4 Sl
x
dx
x
f ( x, t )dx
微段受力分析
2 y Sdx 2 : t
Fs , M :
截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力 微段所受的外力 微段所受的外力矩
M
Fs
m( x, t )dx
M Fs dx x M dx x
f ( x, t )dx :
m( x, t )dx :
2 y Sdx 2 t
《振动力学》 8
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
例：求悬臂梁固有频率和模态函数
解： 一端固定，一端自由
边界条件
固定端：挠度和截面转角为零 自由端：弯矩和截面剪力为零
0
y
x
( 0) 0 ( 0) 0 (l ) 0 (l ) 0
C1 C3
C2 C4
( x) C cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
2015年1月24日 1 《振动力学》
4
2
2 a0
EI 2 a0 9 S
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
cos l cosh l sin l sinh l 0 sin l sinh l cos l cosh l