双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)

双曲线常见题型与典型方法归纳

考点一 双曲线标准方程及性质

1.双曲线的定义

第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

（1）距离之差的绝对值.

（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；

当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；

当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）

A ．椭圆

B ．线段

C ．双曲线

D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。 2双曲线的标准方程及几何性质

标准方程

)0,0(12

2

22>>=-b a b y a x )0,0(12

2

22>>=-b a b x a y 图形

性 质

焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o

焦距 | F 1F 2|=2c 2

22c b a =+

范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||

对称 关于x 轴，y 轴和原点对称

顶点 （-a ，0）。（a ，0） （0，-a ）（0，a ）

轴 实轴长2a ，虚轴长2b

离心率

)1(>=

e a

c

e （离心率越大，开口越大） 准线

c

a x 2

±=

c

a y 2

±=

通径

22b d a

=

22b d a

=

渐近线

x a

b y ±

= x b

a

y ±

=

注意：等轴双曲线

（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：2

2

2

x y a -=或2

2

2

y x a -= （3）离心率e =

渐近线y x =±

（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为2

2

(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论

（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是a

b 2

2

考点二 双曲线标准方程

一 求双曲线标准方程的方法

（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；

②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。

注：若双曲线过两点，可设双曲线方程为：2

2

1(0)mx ny mn +=<。

如 已知双曲线过点(A -与4)B ，求双曲线的标准方程

方法一 ： 运用定义

【典例1】已知动圆M 与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆22

2:(4)2C x y -+=内切，求动圆圆心M 的轨

迹方程。

【典例2】已知1F （-4，0），2F （4，0），动点P 分别满足下列条件，求点P 的轨迹方程： （1） 12||||||2-=PF PF ，（2） 12||||2-=PF PF

【典例3】动点M 到定点F （4，0）的距离和直线94x =

的距离的比为4

3

，则M 的轨迹方程

【典例4】已知ABC ∆中，C （-2，0），B （2，0），1

sin sin sin 2

B C A -=，求顶点A 的轨迹方程.

练习 1已知双曲线的实轴长为8，直线MN 过焦点1F 交双曲线的同一分支与M ，N 且7=MN ,则2MNF ∆的周长（2F 为另一个焦点）为 （ ） A. 28 B. 30 C. 24 D. 20

2． 双曲线14122

222=--+m y m x 的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关

方法二 ： 运用待定系数法

步骤 ①定位 ②设方程 ③定值

【典例1】求下列双曲线的标准方程；

（1）焦点是1(30)F -，

20y -=（2）渐进线是y x =±，经过点（3，2） （2）实轴长为4，虚轴长为2 （3）准线方程为x=4，离心率为2 （4） 焦点为（4，0），（-4，0），经过(2,0)

（5）双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程为2y x =，焦距为4，则双曲线的标准方程为 。

考点三 双曲线的几何性质

题型一 几何性质简单应用

【典例1】双曲线22

1412

x y -=，求（0）画草图（1）焦点，焦距（2）实轴的长，虚轴的长，（3）离心率，左右准线方程，（4）渐进线的方程(5)焦点到渐近线的距离（6）焦点到准线的距离；（7）P 在右支上，则P 到左焦点的距离的最小值是 .

练习 （1）双曲线

22

166

-=y x ，离心率是 ，渐近线方程是 。 (2)双曲线22

22 1 (,0)x y a b a b

-=>的左右顶点为1A ，2A ，虚轴下上端点为1B ，2B ，左右焦点为1F ，2F . 若以12

A A 为直径的圆内切于菱形1122F

B F B ，切点分别为,,,A B

C

D （从第一象限按逆时针顺序）则 （Ⅰ）双曲线的离心率e = ；

（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值1

2

S S = .

题型二 求与离心率及渐近线有关问题 【典例1】离心率

（1）双曲线141222

2

222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=（） A.3 B.5 C.3 D.2