2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

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2021年全国百校高考数学第六次大联考试卷(文科)

2021年全国百校高考数学第六次大联考试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合P={x|x≥1}，Q={x|y=ln(4−x2)}，则P∩Q=()A. [1,2)B. (1,2]C. (1,2)D. (2,1)2.已知i是虚数单位，若z(1−i)=i−2，则|z|=()A. √52B. √10 C. √102D. √53.命题“∃x0∈R，2x0+lnx0≤0”的否定是()A. ∀x∈R，2x +lnx>0 B. ∀x∈R，2x+lnx≥0C. ∃x0∈R，2x0+lnx0<0 D. ∃x0∈R，2x0+lnx0>04.在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于()A. 4B. 6C. 12D. 165.下列在区间(0,+∞)上为减函数的是()A. y=−sinxB. y=x2−2x+3C. y=ln(x+1)D. y=2020−x26.设m，n，l表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，则下列命题正确是()A. 若m⊥l，n⊥l，则m//nB. 若m⊥β，m//α，则α⊥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βD. 若α∩γ=m，β∩γ=n，m//n，则α//β7.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2−3x+2=0的两个实数根，且△ABC的面积为√22，则角C的大小是()A. 45°B. 60°C. 60°或120°D. 45°或135°8.若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率等于√103，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±12x C. y=±13x D. y=±2x9.已知向量a⃗=(3,100)，若λa⃗=(3λ,2μ)(λ,μ∈R)，则λμ=()A. 50B. 3C. 150D. 1310.若执行如图所示的程序框图，且输入x的值为0，则输出x的值为()A. 9B. 8C. 7D. 611.若实数x，y满足不等式组{x−y+2≥0x+y−4≤0x−3y+3≤0，则4x+8y的最大值为()A. 28B. 23C. 4D. 112.已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，率为−2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M，N两点，若|MN|=52，则该抛物线的方程是()A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=6x二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(x)的定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=1+a x(a>0且a≠1)，若f(−1)=−32，则a=．14.函数y=xe2x的图象在点(1,m)处切线的方程为______ ．15.半径为R的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个互相垂直的面都相切，若球心到墙角的距离是√3，则球的表面积是______ ．16.已知点A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−a)2+(y−3)2=4上存在点P，使得∠APB=90°，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n+log3n=log3b n，数列{b n}的前n项和．18.某中学选取20名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩(单位：分)分成范围为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]共6组，得到频率分布直方图如图所示．(1)求实数m的值；(2)若从成绩在范围[60,80)的学生中随机抽取2人，求抽到的学生成绩全部在范围[70,80)的概率．19.已知在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，DC=2AB，Q为PC的中点．(1)求证：BQ//平面PAD；(2)若PD=3，BC=√2，BC⊥BD，试在线段PC上确定一点S，使得三．棱锥S−BCD的体积为2320. 已知以椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点为顶点的四边形面积是4√3，且其离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，证明：3|AB|=4|AF|×|BF|．21. 已知函数f(x)=2x −2lnx +a ，g(x)=−ax −2，a ∈R ．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)+g(x)>0对任意的x ∈(0,12)成立，求实数a 的取值范围．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =−ty =t +4(t 是参数)，以原点O 为原点，以x 轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos(θ−π6). (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)设M(x,y)为曲线C 上任意一点，求x +y 的取值范围．23.已知函数f(x)=|2x+1|−|2x−2|．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若f(x)≤a−2对任意的x∈R成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵P={x|x≥1}，Q={x|4−x2>0}={x|−2<x<2}，∴P∩Q=[1,2)．故选：A．可求出集合Q，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z(1−i)=i−2，∴z=i−21−i =(i−2)(1+i)(1−i)(1+i)=−32−12i，∴|z|=√94+14=√102，故选：C．先利用复数的运算法则求出z，再利用复数的求模公式即可求出|z|．本题考查了复数的四则运算及模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，“∃x0∈R，2x0+lnx0≤0”的否定是∀x∈R，2x+lnx>0，故选：A直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4.【答案】A【解析】解：a1⋅a3⋅a11=a13⋅q12=(a1q4)3=a53=8，则a 2⋅a 8=a 52=4．故选：A根据等比数列的通项公式化简a 1a 3a 11=8后，得到关于第5项的方程，求出方程的解即可得到第5项的值，然后根据等比数列的性质得到a 2a 8等于第5项的平方，把第5项的值代入即可求出所求式子的值．此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道综合题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =−sinx ，在区间(0,+∞)上不具有单调性，不符合题意，对于B ，y =x 2−2x +3=(x −1)2+2，在区间(1,+∞)上为增函数，不符合题意，对于C ，y =ln(x +1)，在区间(0,+∞)上为增函数，不符合题意，对于D ，y =2020−x2=(√2020)x ，是指数函数，在区间(0,+∞)上为减函数，符合题意，故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．本题考查函数单调性的判断，涉及常见函数的单调性，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵m ，n ，l 表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面， ∴若m ⊥l ，n ⊥l ，则m 与n 平行，相交或异面，故A 错误；若m ⊥β，m//α，则α⊥β，故B 正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故C 不正确；若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m//n ，则α与β相交或平行，故D 不正确．故选：B ．由m ，n ，l 表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，知：若m ⊥l ，n ⊥l ，则m 与n 平行，相交或异面；若m ⊥β，m//α，则α⊥β；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行；若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m//n ，则α与β相交或平行．本题考查平面的基本性质和推论，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．7.【答案】D【解析】解：若a，b是方程x2−3x+2=0的两个实数根，则ab=2，△ABC的面积为12absinC=sinC=√22，可得内角C=45°或135°．故选：D．由二次方程的韦达定理和三角形的面积公式，即可得到所求值．本题考查三角形的面积公式和二次方程的根的韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1的离心率等于√103，可得a2+b2a2=109，可得ba=13，所以双曲线的渐近线方程为：y=±13x．故选：C．利用双曲线的离心率推出a，b的关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率以及渐近线方程的求法，是基础题．9.【答案】C【解析】解：因为λa⃗=(3λ,100λ)=(3λ,2μ)，所以100λ=2μ，即λμ=150．故选：C．由λa⃗=(3λ,100λ)=(3λ,2μ)，得解．本题考查平面向量共线的条件，平面向量的坐标运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得：不满足条件x >7，执行循环体，x =4，x =1 不满足条件x >7，执行循环体，x =6，x =2 不满足条件x >7，执行循环体，x =8，x =3 不满足条件x >7，执行循环体，x =10，x =4 不满足条件x >7，执行循环体，x =12，x =5 不满足条件x >7，执行循环体，x =14，x =6 不满足条件x >7，执行循环体，x =16，x =7 不满足条件x >7，执行循环体，x =18，x =8 此时，满足条件x >7，退出循环，输出x 的值为8．故选：B ．根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理．11.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y −4=0x −y +2=0，解得A(1,3)，由z =4x +8y ，得y =−x2+z8，由图可知，当直线y =−x2+z8过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为28．故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点为F( p2,0)准线方程为x=−p2，设直线MN方程为y=−2x+p，联立抛物线方程可得y2+px−p2=0，故x M+x N=y M2+y N22p =(y M+y N)2−2y M y N2p=3p2，由抛物线的定义可得|MN|=x M+x N+p=32p+p=52，解得p=1；则该抛物线的方程是y2=2x，故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线MN的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解得p即可；本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理考查化简运算能力，属于中档题．13.【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及求函数值，同时考查了计算能力，属于基础题．根据条件，得到f(−1)=−f(1)=−1−a=−32，即可求出a的值．【解答】解：由题意，当x>0时，f(x)=1+a x(a>0且a≠1)，f(−1)=−32，∴f(−1)=−f(1)=−1−a=−32，∴a=12．114.【答案】3e2x−y−2e2=0【解析】解：∵y=xe2x，∴y′=(2x+1)e2x，∴y′|x=1=3e2，又当x=1时，y=e2，∴y=xe2x的图象在点(1,m)处切线的方程为y−e2=3e2(x−1)，即3e2x−y−2e2=0．故答案为：3e2x−y−2e2=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记导数的运算法则是关键，是基础题．15.【答案】4π【解析】解：根据题意可知球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体则球心到墙角顶点的距离为正方体的对角线即√3R即√3R=√3解得：R=1故球的表面积是S=4π⋅12=4π，故答案为：4π．设球的半径为R，当球放在墙角时，同时与两墙面和地面相切可知球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体，则正方体对角线即为球心到墙角顶点的距离，由此求出球的半径，可得球的表面积．本题主要考查了空间两点的距离，以及利用构造正方体进行解题，属于基础题．16.【答案】[−√7,√7]【解析】解：如图：由题可知，A(−2,0)和B(2,0)都在圆x 2+y 2=4上，∵P 在圆(x −a)2+(y −3)2=4，∠APB =90°，∴圆x 2+y 2=4与圆(x −a)2+(y −3)2=4存在公共点，所以0≤√a 2+32≤4，解得−√7≤a ≤√7，故答案为：[−√7,√7]．根据直径所对的圆周角恒为90°，可将题设转化为求以AB 为直径的圆与圆(x −a)2+(y −3)2=4存在公共点问题来解决．本题考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．17.【答案】解：(I)当n =1时，a 1=S 1=12−1=0；当n ≥2时，S n−1=(n −1)2−(n −1)=n 2−3n +2，所以a n =S n −S n−1=2n −2(n ≥2)，经验证，当n =1时，也成立；综上，a n =2n −2；(II)由条件有2n −2+log 3n =log 3b n ，解得b n =n ×9n−1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =1×90+2×91+3×92+⋯+n ×9n−1，9T n =1×91+2×92+3×93+⋯+n ×92，相减得−8T n =90+91+92+⋯+9n−1−n ×9n =1×(1−9n )1−9−n ×9n ，整理得T n =1+(8n−1)×9n 64．【解析】(1)利用和项关系a n ={S 1, ;n =1S n −S n−1,n ≥2求解；(2)求出数列{b n }的通项公式b n =n ×9n−1，为差比型数列，利用错位相减法求和．本题考查点为利用数列的前n 项求数列的通项公式及利用错位相加法求差比型数列的前n 项和，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意，(0.010+m+m+0.030+0.025+0.005)×10=1，解得m=0.015；(2)成绩在范围[60,80)的学生人数为n=20×(0.015×10)+20×(0.030×10)=9人，成绩在范围[70,80)的学生人数q=20×(0.030×10)=6人，从9个学生中随机抽取2人的种数为C92=36种，从6个学生中随机抽取2人的种数为C62=15种，故所求概率P=1536=512．【解析】(1)利用频率之和为1，列式求解即可；(2)先求出成绩在范围[60,80)和[70,80)的学生人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：取PD的中点G，连结AG，QG，又因为Q为PC的中点，所以GQ//DC且GQ=12DC，又因为AB//DC，DC=2AB，所以GQ//AB，GQ=AB，故四边形ABQG是平行四边形，所以BQ//AG，又BQ⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以BQ//平面PAD；(2)因为在四边形ABCD中，AB//DC，AD⊥DC，DC=2AB，所以点B在线段CD的垂直平分线上，又因为BC=√2，BC⊥BD，所以BD=BC=√2，故△BCD的面积S=12×√2×√2=1，设点S到平面ABCD的距离为h，因为三棱锥S−BCD的体积为23，所以13×1×ℎ=23，解得ℎ=2，又PD ⊥平面ABCD ，所以点S 在线段PC 上靠近点P 的三等分点处．【解析】(1)取PD 的中点G ，连结AG ，QG ，证明四边形ABQG 是平行四边形，可得BQ//AG ，由线面平行的判定定理证明即可；(2)确定点B 在线段CD 的垂直平分线上，求解△BCD 的面积，设点S 到平面ABCD 的距离为h ，根据锥体的体积求出h ，然后由PD ⊥平面ABCD ，即可得到点S 的位置．本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体体积的计算等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵以椭圆C 的顶点为顶点的四边形面积是4√3，∴4×12ab =4√3， ∴ab =2√3，又∵椭圆的离心率为12，∴a 2−b 2a 2=(12)2， ∴a 2=4，b 2=3，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 与椭圆的方程{x =my +1x 24+y 23=1，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴由韦达定理可得，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，∴3|AB|=3√m 2+1|y 1−y 2|=3√m 2+1 √(y 1+y 2)2−4y 1y 2=36(m 2+1)3m 2+4，∵A(x 1,y 1)，F(1,0)，∴|AF|=√(x 1−1)2+(y 1−0)2=√my 12+y 12=√m 2+1|y 1|，同理可得|BF|=√m 2+1|y 2 |，∴4|AF|×|BF|=4(m 2+1)|y 1y 2|=4(m 2+1)⋅93m 2+4=36(m 2+1)3m 2+4，∴3|AB|=4|AF|×|BF|，即得证．【解析】(1)根据已知条件，结合椭圆的离心率公式，即可求解．(2)设l 为x =my +1，将直线l 与椭圆联立方程可得，(3m 2+4)y 2+6my −9=0，再结合韦达定理，以及两点之间的距离公式，即可证明．本题考查了直线与椭圆的综合知识，需要学生能够熟练掌握公式，且本题计算量大，属于难题．21.【答案】解：(1)因为f(x)=2x −2lnx +a ，定义域为(0,+∞)，所以f′(x)=2−2x =2x−2x ，当0<x <1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，当x >1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，f(x)的单调递增区间为(1,+∞)；(2)由题意可得，f(x)+g(x)>0对任意的x ∈(0,12)成立，即a >2+2lnx 1−x对任意的x ∈(0,12)成立，令ℎ(x)=2+2lnx 1−x ，则ℎ′(x)=2x −2+2lnx (1−x)2，令m(x)=2x −2+2lnx ，则m′(x)=−2+2x x 2，当x ∈(0,12)时，m′(x)<0，则m(x)在(0,12)上单调递减，又当x =12时，m(x)>0，所以当x ∈(0,12)时，m(x)>0，即当x ∈(0,12)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,12)上单调递增，故ℎ(x)<ℎ(12)=2−4ln2，所以a ≥2−4ln2，故实数a 的取值范围为[2−4ln2,+∞)．【解析】(1)求出f′(x)，利用导数的正负确定函数f(x)的单调性即可；(2)利用参变量分离将问题转化为a >2+2lnx 1−x 对任意的x ∈(0,12)成立，构造ℎ(x)=2+2lnx 1−x ，利用导数求解ℎ(x)的性质以及取值范围，即可得到a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．22.【答案】解：(1)由{x =−t y =t +4(t 是参数)，消去参数t ，可得直线的普通方程为x +y −4=0，由ρ=6cos(θ−π6)，得ρ2=6ρ(√32cosθ+12sinθ)，即ρ2=3√3ρcosθ+3ρsinθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−3√3x −3y =0；(2)由(1)得，曲线C 的方程为(x −3√32)2+(y −32)2=9，令x −3√32=3sinθ，y −32=3cosθ，则x +y =3sinθ+3cosθ+3√3+32=3√2sin(θ+π4)+3√3+32． ∴x +y 的取值范围是[3√3−6√2+32,3√3+6√2+32].【解析】(1)直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，展开两角差的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 的参数方程形式，可得x +y =3sinθ+3cosθ+3√3+32，再由辅助角公式化积，利用三角函数求最值，即可求得x +y 的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)因为函数f(x)=|2x +1|−|2x −2|，所以不等式f(x)<0为|2x +1|−|2x −2|<0，即(2x +1)2<(2x −2)2，化简得12x <3，解得x <14，所以不等式f(x)<0的解集为(−∞,14)；(2)因为函数f(x)=|2x +1|−|2x −2|≤|(2x +1)−(2x −2)|=3，所以f(x)max ≤3；又因为f(x)≤a −2对任意的x ∈R 成立，所以3≤a −2，解得a ≥5，所以实数a的取值范围是[5,+∞)．【解析】(1)不等式f(x)<0化为|2x+1|<|2x−2|，两边平方后求出不等式的解集；(2)求出函数f(x)的最大值，不等式化为f(x)max≤a−2，由此实数a的取值范围．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十二)文科数学

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|04}P x R x =∈≤≤，{|||3}Q x R x =∈<，则P Q ⋃=（） A. [3,4] B. (3,)-+∞C. (,4]-∞D. (3,4]-【答案】D 【解析】【分析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可.【详解】由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-， ∴(3,4]P Q ⋃=-，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.2.x ，y 互为共轭复数，且()23i 46i x y xy +-=-则x y +=（）A. 2B. 1C. 22D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用待定系数法求解，设复数i x a b =+，则其共轭复数i y a b =-，然后将x ，y 代入()23i 46i x y xy +-=-中化简，可求出,a b 的值，从而可求出复数x ，y 的模.【详解】设i x a b =+，i y a b =-，代入得()()22223i 46i a a b -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1=a ，1=b ，所以22x y +=.故选：C【点睛】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.3.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A. 20B. 27C. 54D. 64【答案】B 【解析】分析】设大正方体的边长为x ，从而求得小正方体的边长为3122x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，利用概率模拟列方程即可求解．【详解】设大正方体的边长为x 312x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，则22312200x x N x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，解得：27N ≈ 故选B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题．4.如图所示，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（）A.12B.13C. 2D.23【答案】B 【解析】分析：从A 点开始沿着三角形的边转到D ，则把要求的向量表示成两个向量的和，把BD 写成BC 的实数倍，从而得到AD 1344AB AC =+，从而确定出13,44λμ==，最后求得结果. 详解：34AD AB BD AB BC =+=+3()4AB AC AB =+-1344AB AC =+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.5.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】B 【解析】【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数；∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |；（﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ．故选B ．【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（）A. 23B. 226 D. 2【答案】B 【解析】【分析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，分别计算4个面的面积，即可得到结果. 【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，故1AC =，2PA =，5BC PC ==22AB =23PB =，∴12112ABC PAC S S ∆∆==⨯⨯=， 1222222PAB S ∆=⨯⨯=，123262PBC S ∆=⨯=∴该多面体的侧面最大面积为2 故选：B ．【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.7.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A. 1353⎛⎝ B. 5,13)C. 13(5,)⎛+∞ ⎝⎭D. 5)(13,)+∞【答案】C 【解析】【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN +最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>，如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或22135,13c c a a >∴<<或5,ca >∴双曲线C的离心率的取值范围为131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围. 8.为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A. 1i i =+B. 2i i =+C. 3i i =+D. 4i i =+ 【答案】B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为B.34C.32【答案】B 【解析】3cos cos 5a Bb Ac -=∴由正弦定理，得35sinAcosB sinBcosA sinC -=， C A B sinC sin A B π=-+⇒=+（）（），， ∴35sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+（），整理，得4sinAcosB sinBcosA =，同除以cosAcosB ，得4tanA tanB = ，由此可得23311144tanA tanB tanBtan A B tanAtanB tan BtanB tanB（），--===+++A B 、是三角形内角，且tan A 与tanB 同号，A B ∴、都是锐角，即00tanA tanB ＞，＞，144tanB tanB +≥= 33144tan A B tanB tanB-=≤+（），当且仅当14tanB tanB =，即12tanB = 时，tan A B -（）的最大值为34．故选B ．10.已知函数()()22π2sin cos sin 024r f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则w 的取值范围是( )A. 30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先将()f x 化简为()sin f x x ω=，由()f x 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，有π0π2ω≤≤，()f x 在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得2ππ325π365ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，从而得出答案. 【详解】2ππ2cos 1cos 1sin 242x x xωωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2sin 1sin sin sin f x x x x x ωωωω=+-=.令π2π2x k ω=+可得π2π2k x ωω=+，()f x 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，π0π2ω∴≤≤解得12ω≥. 令ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+，解得：π2ππ2π22k k x ωωωω-+≤≤+，()f x 在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，2ππ325ππ62ωω⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤.综上，1325ω≤≤.故选：B.【点睛】本题考查利用三角函数的单调性和最值情况求参数范围，考查了分析解决问题的能力，属于中档题.11.过双曲线()222210x y a b a b-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=，O 为坐标原点，且OAB 内切圆半径为312a -，则该双曲线的离心率为( ) A.233B.3C.433D.31+【答案】A 【解析】【分析】设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形,则tan bAOF a=∠可得离心率. 【详解】因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =，所以OA a =，31NA MN a ==-，所以313322NO OA AN a a a =-=--=-，所以tan 3MN b AOF a NO =∠==，得2231b e a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，属于中档题.12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A. 86πB. 46πC. 26πD.6π【答案】D 【解析】【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，34466633V R ∴=π=π⨯=π，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“()0x 0,∞∃∈+，00lnx x 1=-”的否定是______．【答案】()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-；故答案为()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-；【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14. 观察分析下表中的数据：多面体面数（）顶点数（) 棱数（)三棱锥5 6 9五棱锥6 6 10立方体6 8 12猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________. 【答案】2F V E +-=【解析】试题分析：①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,10F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：6,8,12F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：2F V E +-=，故答案为2F V E +-= 考点：归纳推理.15.设函数()()e 1x f x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．【答案】1(,)2-∞- 【解析】【分析】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m 的取值范围.【详解】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=，当[]2,0x ∈-时，()0f x '≤，此时函数()f x 单调递减；当(]0,2x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增. ()()00e 011f =-=-，即函数()f x 在[]22-,上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线，当0m =时，()0g x =，显然10-<不符合题意；当0m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 的最小值为()1g m =，则1m <-，与0m >矛盾；当0m <时，()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 的最小值为()22g m =，则12m ->，即12m <-，符合题意. 故实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.16.某小商品生产厂家计划每天生产A 型、B 型、C 型三种小商品共100个，生产一个A 型小商品需5分钟，生产一个B 型小商品需7分钟，生产一个C 型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个A 型小商品可获利润8元，生产一个B 型小商品可获利润9元，生产一个C 型小商品可获利润6元．该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是__________元.【答案】850【解析】【分析】由题意将原问题转化为线性规划的问题，然后利用线性规划的方法求解最值即可.【详解】依题意，每天生产的玩具A 型商品x 个、B 商品y 个、C 商品的个数等于：100−x −y ，所以每天的利润T =8x +9y +6(100−x −y )=2x +3y +600.约束条件为：()*57410060010000,0,,x y x y x y x y x y N ⎧++--⎪--⎨⎪∈⎩，整理得*3200100,x y x y x y N +⎧⎪+⎨⎪∈⎩.目标函数为T =2x +3y +600.如图所示,做出可行域.初始直线l 0:2x +3y =0，平移初始直线经过点A 时，T 有最大值．由3200100x y x y +=⎧⎨+=⎩得5050x y =⎧⎨=⎩. 最优解为A (50,50)，此时T max =850(元).即最大日利润是850元.【点睛】本题主要考查线性规划的实际应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.已知数列{}n a 、{}n b 满足：114a =，1n n ab +=，121n n n b b a +=-. （1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．【答案】（1）见解析，23n n b n +=+；（2）1a ≤ 【解析】【分析】（1）由已知变形为112n n b b +=-，再构造111111n n b b +-=---，从而证明数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求通项公式；（2）由（1）可知113n n a b n =-=+，再写出n S ，利用裂项相消法求和，4n n aS b <恒成立整理为()()()()213682404334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=<++++恒成立，分1a =，1a >和1a <三种情况讨论*n N ∈时恒成立求a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()111122n n n n n n n nb b b a a b b b +===-+--， ∴11112n n b b +-=--，∴12111111n n n n b b b b +-==-+---． ∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以-4为首项，-1为公差的等差数列． ∴()14131n n n b =---=---，∴12133n n b n n +=-=++．（2）∵113n n a b n =-=+． ∴()()12231111455634n n n S a a a a a a n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⨯⨯++()114444n n n =-=++， ∴()()()()21368244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=++++．由条件可知()()213680a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设()()()21328f n a n a n =-+--，当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立．当1a <时，对称轴3231102121a a a -⎛⎫-⋅=--< ⎪--⎝⎭，()f n 在[)1,+∞为单调递减函数． ()()()113684150f a a a =-+--=-<，∴154a <，∴1a <时4n n aS b <恒成立．综上知：1a ≤时，4n n aS b <恒成立．【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.18.如图，ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，24EB FD ==.（1）求证：EF AC ⊥；（2）求几何体EFABCD 的体积.【答案】（1）详见解析；（2）3【解析】【分析】（1）由FD ⊥平面ABCD ,EB ⊥平面ABCD 可得//EB FD ,则E ,F ,D ,B 四点共面,先证得AC ⊥平面EFDB ,再证明EF AC ⊥即可；（2）由菱形的性质及60DAB ∠=︒,可求得BD ,AO ,CO ,由（1）可知四边形EFDB 为直角梯形,再利用 C EFDB A EFDB EFABCD V V V --=+几何体求解即可.【详解】（1）证明:如图,连接BD ,交AC 于O ,FD ⊥平面ABCD ,EB ⊥平面ABCD ,//EB FD ∴,E ∴,F ,D ,B 四点共面,AC ⊂平面ABCD ,AC EB ∴⊥,设DB AC O =,四边形ABCD 为菱形,AC DB ∴⊥,DB EB B ⋂=,AC ∴⊥平面EFDB ,EF ⊂平面EFDB ,AC EF ∴⊥（2）//EB FD ,EB BD ⊥,∴四边形EFDB 为直角梯形,在菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒,2AB =,∴2BD =,3AO CO ==,∴梯形EFDB 的面积(24)262S +⨯==, AC ⊥平面EFDB , C EFDB A EFDB EFABCD V V V --∴=+几何体11··4333S AO S CO =+= 【点睛】本题考查线面垂直的性质的应用,考查线线垂直的证明,考查几何体的体积,考查运算能力. 19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n P n P n --⎛⎫+= ⎪⎝=⎭，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.①求该团队挑战成功的概率；②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人数X 的可能值及其概率.【答案】（1）0.024a =，0.026b =，0.9；（2）①0.999361；②1，2，3；0.009.【解析】【分析】(1)根据中位数为47，则在频率分布直方图中时间位于47左边的小长方形的面积之和为0.5，可求出a 的值, 时间位于47右边的小长方形的面积之和为0.5，可求出b 的值.(2) ①先分别求出三人解密成功的概率，然后先求出三人都没有解密成功的概率，再求出团队解密成功的概率.②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别10.9p =，20.91p =，30.929p =，X 的取值为1，2，3,在计算概率.【详解】（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，()0.0150.014550.03450.0447450.5b ∴⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得0.026b =；0.0430.032550.010100.5a ∴⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =；第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=，第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，令“该团队挑战成功”的事件为A ，“挑战不成功”的事件为A ，()()()()10.910.9110.9290.10.090.0710.000639P A =---=⨯⨯=，∴该团队挑战成功的概率为()()110.00016390.999361P A P A =-=-=（或该团队挑战成功的概率为0.90.10.910.10.090.9290.999361P =+⨯+⨯⨯=）②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别1p ，2p ，3p ，根据题意知X 的取值为1，2，3；则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=，()()()310.910.910.10.090.009P X ==--=⨯=.【点睛】本题考查根据评论分布直方图以及中位数计算参数的值，和计算概率，属于中档题.20.如图，设抛物线C 1:24(0)y mx m =->的准线1与x 轴交于椭圆C 2：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F 2，F 1为C 2的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ，连接PF 1并延长其交C 1于点Q ，M 为C 1上一动点，且在P ，Q 之间移动.（1）当32a +取最小值时，求C 1和C 2的方程；（2）若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ 面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.【答案】（1）24y x =-,22143x y +=；（21256，此时42:6633MP y x =+【解析】【分析】（1）由题意，c m =和12c e a ==，得到2a m =，3b m =，根据32a +取最小值时1m =，即可求得抛物线和椭圆的方程；（2）用m 表示出椭圆的方程，联立方程组得出P 点的坐标，计算出12PF F ∆的三边关于m 的式子，从而确定实数m 的值，求出PQ 得距离和M 到直线PQ 的距离，利用二次函数的性质，求得MPQ ∆面积取最大值，即可求解．【详解】（1）由题意，抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线方程为:l x m =，椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2(,0)F c ，所以c m =，又由12c e a ==，则2a m =，b =，所以2a b +取最小值时1m =，所以抛物线C 1:24y x =-，又由2a =，23b =，所以椭圆C 2的方程为22143x y +=．（2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，b=，设椭圆的标准方程为2222143x y m m+=，0011(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y =，即2,33m P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，于是153mPF =，21723m PF a PF =-=，12623m F F m ==，又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =，此时抛物线方程为212y x =-，1(3,0)F -，(2,P -，则直线PQ 的方很为3)y x =+，联立23)12y x y x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝.所以25||2PQ ==，设2,((12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为d ，则2753022d t ⎛=+- ⎝⎭，当2t =-时，max 753024d ==，所以MPQ ∆的面积最大值为12522416⨯⨯=，此时MP：y =+. 【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数()ln xf x a x e=+，其中a 为常数．（1）若直线y x e2=是曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）当1a =-时，若函数()()ln xg x f x b x=-+在[)1+∞，上有两个零点．求实数b 的取值范围．【答案】(1) 1a = (2) 11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）设切点()00,x y ，由题意得000012,2ln a e x ex x a xee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可得结果；（2）函数()()ln x g x f x b x =-+在[)1+∞，上有两个零点等价于，函数ln ln x xy x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点，设ln ()ln (0)x x h x x x x e =+->，利用导数可得函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e =，结合1(1)h e=-，()323313h e e e e =+-<-，从而可得结果.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()a x aef x e x ex +'=+=，曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为y x e 2=.由题意得000012,2ln a e x ex x a xee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，0x e =.所以a 的值为1.（2）当1a =-时，()ln x f x x e =-，则11()x e f x e x ex-'=-=，由()0f x '>，得x e >，由()0f x '<，得0x e <<，则()f x 有最小值为()0f e =，即()0f x ，所以ln ()ln x xg x x b e x=--+，(0)x >，由已知可得函数ln ln x xy x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点，设ln ()ln (0)x xh x x x x e=+->，则211ln 1()x h x x x e -'=+-22ln ex e e x x ex+--=，令2()ln x ex e e x x ϕ=+--，22()2e ex e x x e x x xϕ--'=--=，由220ex e x --<，可知()0x ϕ'<，所以()x ϕ在(0,)+∞上为减函数，由()0e ϕ=，得0x e <<时，()0x ϕ>，当x e >时，()0x ϕ<，即当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<，则函数()h x 在(0,)e 上为增函数，在(,)e +∞上为减函数，所以，函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e=，又1(1)h e =-，()322331341h eee e e=+-<-<-<-，所以，当函数()g x 在[1,)+∞上有两个零点时，b 的取值范围是11b e e-<，即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2,1x t y t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1:C y =以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭. （Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅的取值范围；（Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值. 【答案】（Ⅰ）1]；. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式BA BP ⋅，结合三角函数知识求解；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线2C ，结合参数的几何意义可求. 【详解】（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10,(1,0),(0,1)x y A B ++=∴--.1C 的方程可化为221(0)x y y +=≥，设点P 的坐标为(cos ,sin ),0θθθπ≤≤，cos sin 111]4BA BP πθθθ⎛⎫∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-=.直线l的标准参数方程为212x y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），代入2C得：270m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m +==-< ,故12,m m 异号12QM QN m m ∴-=+=‖‖【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标之间转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.选修4–5：不等式选讲23.已知函数()223f x x x m =+++, m R ∈． (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1） 12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）322m ≥--【解析】【分析】（1）当2m =- 时，f （x ）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，分段解不等式即可．（2）f （x ）＝|2x|+|2x+3|+m ＝33,02343,2m x x m x ⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当302x -<<时，得23m x x +≥+ ，当32x ≤-时，得253m x x≥++，利用恒成立求最值，可得m 的取值范围．【详解】（1）当m ＝﹣2时，f （x ）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当，解得；当恒成立当解得﹣2，此不等式的解集为（2）当x ∈（﹣∞，0）时f （x ）＝|2x|+|2x+3|+m ＝33,02343,2m x x m x ⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当302x -<<时，得23m x x+≥+恒成立，由当且仅当即时等号成立．∴，∴当32x ≤-时，得243x m x x --+≥+．∴253m x x ≥++恒成立，令253y x x=++，，∵22228375559932y x =-≥-=-=⎛⎫⎪⎝⎭'- ，∴在上是增函数．∴当时，取到最大值为356-∴.又3517332266-=--<-- 所以322m ≥--【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查利用恒成立求参数的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(六)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（） A. {}1A B ⋂=B. RA B A ⋂=C.()(]R0,1A B ⋂=D.A B =R【答案】B 【解析】1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ ；R A B ⋃≠；故选B.2.若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（）A.12B. 12-C.12i D. 12i -【答案】A 【解析】【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部.【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 3.命题：“00x ∃>，使()0021x x a ->”，这个命题的否定是()A. 0x ∀>，使()21xx a -> B. 0x ∀>，使()21xx a -≤ C. 0x ∀≤，使()21xx a -≤D. 0x ∀≤，使()21xx a ->【答案】B 【解析】试题分析：由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1xx a ⋅-≤使），故选B. 考点：逻辑问题中的特称命题的否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.4.已知向量()2,1a =，()0,1b =-，(),3c k =.若()()2//a b b c -+，则k 的值为（） A.83B. 2C. 1-D.43【答案】A 【解析】【分析】分别求出2,a b b c -+的坐标，根据平行向量的坐标关系，即可求解【详解】()()(),3,2(4,3)2,1,,01),2,(,c k a a b b c k b =-=+===-，()()82//,830,3a b b c k k -+∴-==.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.5.等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（） A. 1- B. 32-C. 1D.32【答案】A 【解析】【分析】根据已知结合等差中项的定义，建立关于q 的方程，即可求解. 【详解】等比数列{}n a 不具有单调性，1q =或0q <，5a 是4a 和33a 的等差中项，所以54323a a a =+， 2230,1q q q --=∴=-或32q =（舍去）.故选:A.【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项基本量的计算，属于基础题. 6.一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为（）A. 123B. 24C. 123+D. 2423+【答案】B 【解析】【分析】根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为23424S cl ==⨯⨯=，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是（） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D 【解析】【分析】依次假设甲、乙、丙、丁四人获奖，并根据题意只有一句是对的，可判断谁获奖，即可得出结论.【详解】若甲获奖，则这四个说的四句话都是错的，不合题意；若乙获奖，则甲、乙、丁三人说的话是对的，不合题意；若丙获奖，则甲、丙两人说的话是对的，不合题意；若丁获奖，则只有乙说的是对的，符合题意，所以获奖同学是丁. 故选:D.【点睛】本题考查合情推理，考查逻辑推理能力，属于基础题. 8.||4cos x y x e =-图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,)+∞上的单调性即可得出结论．【详解】显然||4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，4si (4si n n )x xy x x e e =-'+=--，显然当(]0,x π∈时，0y '<，当(,)x π∈+∞时，34x e e e π>>>，而4sin 4x ≥-，所以(4sin )0xy x e -+'<=，∴(4sin )0xy x e -+'<=在(0,)+∞上恒成立， ∴||4cos x y x e =-在(0,)+∞上单调递减．故选D ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】【分析】由条件可看出11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角．【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =+=∴1tan 3BAC ∠160BAC ∠=︒. 故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.若函数()31y x ax a R =++∈在区间()3,2--上单调递减，则a 的取值范围是（）A. [)1,∞+B. [)2,0-C. (],3∞-- D.(],27∞--【答案】D 【解析】【分析】由 2'30y x a =+≤在区间()3,2--上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．【详解】解：()31y x ax a R =++∈在区间 ()3,2--上单调递减，2'30y x a ∴=+≤在区间 ()3,2--上恒成立，即 23a x ≤-在区间 ()3,2--上恒成立，()2327,12x -∈--，27a ∴≤-．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题. 11.已知0,0a b >>，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（） A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()x f x g x e=，利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数，并将所求不等式化为()()0g x g >，利用单调性可解出该不等式.【详解】构造函数()()xf xg x e =，()()()0x f x f x g x e '-'∴=>，所以，函数()y g x =为R 上的增函数，由()02f =，则()()0002f g e ==，()2xf x e >，可得()2xf x e>，即()()0g x g >， 0x ∴>，因此，不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二.填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S =_________. 【答案】55 【解析】()()111626755a d a d a d a +-+=+==，1111161111552a a S a +=⋅==. 14.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --= 【解析】【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=，故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.15.设变量x ，y 满足约束条件23602y x x y y ≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z 2x y =-的最小值为________.【答案】83- 【解析】【分析】做出满足不等式组的可行域，根据图形求出目标函数的最小值.【详解】做出可行域如下图所示，当z 2x y =-过点A 时，取得最小值，联立2360y x y =⎧⎨+-=⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即4(,2)3A ，所以z 2x y =-的最小值为83-. 故答案为:83-.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.16.四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD 是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA ⊥平面ABCD ，PA=5，则该球的表面积为．【答案】50π 【解析】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球， ∵长方体的对角线长等于球的直径， ∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR 2=50π．故答案为50π．【点评】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．三.解答题17.已知数列{}n a 中，12n n a a +-=且1239a a a ++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}2nn a +的前n 项和nS．【答案】(1) 21n a n =- (2) 2122n n S n +=+-【解析】【分析】（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；（2）()2212nnn a n +=-+，分别求解等差数列与等比数列的前n 项和即可【详解】解：（1）12n n a a +-=，∴等差数列{}n a 的公差为2，()()1231111222369a a a a a a a ∴++=++++⨯=+=，解得11a =，因此，()12121n a n n =+-=-；（2）()2212nnn a n ∴+=-+，()()()123123232(21)2nn S n ⎡⎤=+++++++-+⎣⎦()123[135(21)]2222n n =++++-+++++，()21212(121)22212nn n n n+-+-=+=+--，因此，2122n n S n +=+-．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题 18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知sin()sin 03b Cc B π--=.（1）求角C 的值；（2）若4a =，c =ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π=；（2）【解析】【分析】（1）用正弦定理边化角，利用两角差正弦，求出C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解；（2）利用余弦定理，建立b 的方程，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）1sin()sin 0,sin (sin )sin sin 32b C c B B C C C B π--=-=，10,sin 0,sin ,tan 2B B C C C π<<∴≠==，20,3C C ππ<<∴=；（2）由余弦定理可得2222282cos 416c b a ab C b b ==+-=++，24120b b +-=解得2b =或6b =-（舍去）， 113sin 4223222S ab C ==⨯⨯⨯=， ABC ∆∴的面积为23.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、正弦定理与余弦定理的应用、三角函数的面积公式，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接SB，,E G分别是,BC SC的中点，//EG SB∴.又SB⊂平面11,BDD B EG⊄平面11BDD B，所以直线//EG平面11BDD B.（2）连接,,SD F G分别是,DC SC的中点，//FG SD∴.又∵SD⊂平面11,BDD B FG⊄平面11,BDD B//FG∴平面11BDD B.又EG⊂平面,EFG FG⊂平面,EFG EG FG G⋂=，∴平面//EFG平面11BDD B.【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，60DAB∠=，PD⊥平面ABCD，2PD AD==，点E、F分别为AB和PD的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求点A 到平面PEC 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）30d =. 【解析】【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离.【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形，所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，222cos EC EB BC EB BC EBC =+-⋅⋅∠11421272=++⨯⨯⨯= PDE ∆中227PE PD DE =+=在PDC ∆中2222PC PD CD =+=故EQ PC ⊥，5EQ AF ==，1225102PEC S ∆=⨯⨯=，131322AEC S ∆=⨯⨯=，所以由A PEC P AEC V V --=得：113102332d ⋅=⋅⋅，解得3010d =.21.已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，单调递减区间是(,ln 2)-∞；（2）1m e >-. 【解析】【分析】（1）求出()f x '，解不等式()0,()0f x f x ''><，即可求出结论；（2）由已知求出a ，通过函数有解，分离参数，构造函数，利用新函数的最值转化求解即可. 【详解】（1）(),()xxf x e ax f x e a '=-=-，当0a >时，()0,ln ,()0,ln f x x a f x x a ''>><<，()f x 单调递增区间是(ln ,)a +∞，单调递减区间是(,ln )a -∞，当2a =时，()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，递减区间是(,ln 2)-∞；（2）当0a ≤时，()0,()f x f x '>在(,)-∞+∞单调递增，无极值不合题意，当0a >时，由（1）可得ln x a =取得极小值，函数()f x 在0x =处取得极小值，1a1(),[,2]2x f x e x mx x =-<∈有解，1x e m x ∴>-，设1()1,[,2]2x e g x x x =-∈不等式在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，min ()m g x ∴>，22(1)()x x x e x e e x g x x x--'==，当1()0,1,()0,122g x x g x x ''<<<><<， ()g x ∴在1(,1)2单调递减，在(1,2)单调递增，1,()x g x =取得极小值，也是最小值为(1)1g e =-，1m e ∴>-.【点睛】本题考查函数的单调性、不等式能成立问题，应用导数求函数的单调性、极值最值，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极，z 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点()0M ，1．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值．【答案】(Ⅰ) 曲线C 的普通方程()2224x y -+=，直线l 的直角坐标方程10x y +-=；(Ⅱ)1【解析】【分析】（I ）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程.利用sin ,cos y x ρθρθ==，求得直线l 的直角坐标方程.（II ）写出直线l的参数方程，根据参数的几何意义，求得MA MB ⋅.【详解】（I ）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数可得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=，直线l 极坐标方程为sin()42πρθ+=，即sin cos 10ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程10x y +-=.（II ）直线l 过点()0,1M ，倾斜角为3π4，所以直线的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，代入()2224x y -+=，化简得210t ++=，则12t t +=-121t t =，设1||MA t =，2||MB t =，所以121MA MB t t ⋅=⋅=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的运用，属于中档题.。

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设集合{}|12A x x =<<， {}|B x x a =<，若A B A =，则a 的取值范围是（）A. {}|2a a ≤B. {}|1a a ≤C. {}|1a a ≥D. {}|2a a ≥【答案】D 【解析】因为A B A ⋂=，所以A B ⊆，因为集合{}|12A x x =<<， {}|B x x a =<，所以2a ≥.故选D.2.已知复数z 满足z i=2+i ，i 是虚数单位，则|z |=( )C. 2【答案】D【解析】由题意得2i12i iz +==-，所以|z |5=．选D ． 3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6：S 3=1：2，则S 9：S 3=（） A. 1：2 B. 2：3C. 3：4D. 1：3【答案】C 【解析】【分析】本题考查的知识点是性质，即若{a n }等比数列，则S m ，S 2m-m ，S 3m-2m ，…也成等比数列，则由S 6：S 3=1：2，则S 6-S 3：S 3=-1：2，则S 9-S 6：S 6-S 3=-1：2，由此不难求出S 9：S 3的值．【详解】解：∵{a n }为等比数列则S 3，S 6-S 3，S 9-S 6也成等比数列由S 6：S 3=1：2 令S 3=x ，则S 6=12x, 6312S S x -=-, 则S 3：S 6-S 3=S 6-S 3：S 9-S 6=-1：2 则S 9-S 6=14x 则S 9=34x 则S 9：S 3=34x ：x=3：4 故选C ．【点睛】本题主要考察等差数列与等比数列的重要性质，若{a n }等差数列，则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m ，…也成等差数列；若{a n }等比数列，则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m ，…也成等比数列（其中S m 不为零）；4.已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.5. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且=2.347x ﹣6.423； ②y 与x 负相关且=﹣3.476x+5.648； ③y 与x 正相关且=5.437x+8.493； ④y 与x 正相关且=﹣4.326x ﹣4.578．其中一定不正确的结论的序号是（） A. ①② B. ②③C. ③④D. ①④【答案】D 【解析】【详解】【分析】试题分析：由题意得，当回归系数ˆ0b>时，y 与x 正相关；当回归系数ˆ0b <时，y 与x 负相关，所以只有①④是不正确的，故选D. 考点：回归系数的意义.6.已知l ，m ，n 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. l m ⊥，l n ⊥，且,m n α⊂，则l α⊥B. 若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβC. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m n ，n α⊥，则m α⊥ 【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理判断A 是否正确；根据三点是否在平面的同侧来判断选项B 是否正确；根据直线与平面位置关系，来判断C 是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，来判断D 是否正确.【详解】对于选项A ，若//m n 时，l 与α不一定垂直，所以A 错误；对于选项B ，若三点不在平面的同侧，则α与β相交，所以B 错误；对于选项C ，,m m n α⊥⊥，有可能n ⊂α，所以C 错误；对于选项D ，根据平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，所以D 正确. 故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查线面平行垂直、面面平行的判定，属于基础题.7.在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（） A.29B.C.13D.3【答案】D 【解析】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆心到直线()2y k x =-的距离为，要使直线()2y k x =-与圆221x y +=相交，则1<，解得k <<∴在区间[]1,1-上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=有公共点的概率为()11P ⎛- ⎝⎭==--故选D. 8.已知()f x a b =⋅其中()2cos ,2a x x =，()cos ,1b x =，x ∈R .则()f x 的单调递减区间是（） A. (),123k k Z k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B. (),123k k Z k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C. (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. (),63k Z k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量的数量积运算和三角恒等变换，得到()f x 的解析式，再利用余弦函数的性质求解. 【详解】因为()2cos ,3sin 2a x x =-，()cos ,1b x =，x ∈R ，所以()22cos 3sin 2cos 23sin 212cos 213πf x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+=++ ⎪⎝⎭，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得63k xk ππππ，所以()f x 的单调递减区间是(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角函数的化简与性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.函数(01)xxa y a x=<<的图像的大致形状是（） A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】分x ＞0与x ＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【详解】,0,0x x x a x xa y x a x ⎧>==⎨-<⎩且10a >>，根据指数函数的图象和性质，()0,x ∈+∞时，函数为减函数，(),0x ∈-∞时，函数为增函数，故选D ．【点睛】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．10.抛物线24y x =的焦点到双曲线2221y x b -=的一条渐近线的距离是32，则双曲线的虚轴长是（）A. 3B. 23C. 3D. 6【答案】B 【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为y bx =，因此231b =+，3b =，虚轴为223b =，故选B ．11.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，3PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（） A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：分析可知球心在PB 的中点．因为AC BC ⊥，1AC BC ==，所以2AB =．所以225PB PA AB =+=5R =245S R ππ==．故A 正确．考点：三棱锥的外接球．12.已知函数log ,0()2,30a x x f x x x >⎧=⎨+-≤≤⎩（0a >且1a ≠），若函数()f x 的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是（） A. (0,1) B. (1,3)C. (0,1)(3,)+∞ D. (0,1)(1,3)⋃【答案】D 【解析】log a y x =关于y 轴对称函数为()log a y x =-，01a <<时，()log a y x =-与y 2,30x x =+-≤≤的图象有且仅有一个交点，函数()f x 的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，01a <<符合题意，当1a >时，要使()log a y x =-与y 2,30x x =+-≤≤的图象有且仅有一个交点，则log 31,13a a >∴<<，综上所述，a 的取值范围是,()()0,11,3，故选D.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质及数学的转化与划归思想. 属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，将函数对称问题转化为函数交点问题是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在梯形ABCD 中，2A π∠=，2AB =，2BC =，32AD =，点E 为AB 的中点，则CE BD ⋅=___________.【答案】2- 【解析】【分析】根据题意以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立平面直角坐标系，求得,CE BD 的坐标，然后利用数量积定义求解.【详解】以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系：则()()32,0,0,,0,0,22C E B D ⎛⎛ ⎝⎝⎭，232,,,22CE BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭， 312CE BD ⋅=-+=-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14.曲线()()31f x x x x=->上一动点()()00,P x f x 处的切线斜率的最小值为________. 【答案】【解析】【分析】根据曲线()()310f x x x x=->，求导得到()2213f x x x +'=，再利用基本不等式求得导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值. 【详解】因为曲线()()310f x x x x=-> 所以()2213f x x x+'= ()2002013k f x xx +'==≥=202013x x =，即20x =.所以在点()()00,P x f x 处的切线斜率的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15.已知两圆2210x y +=和()()22120x y a -+-=相交于A ，B 两个不同的点，且直线AB 与直线310x y -+=垂直，则实数a =__________．【答案】3 【解析】由题意直线AB 与连心线平行，即310a -=-，3a =． 16.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.【答案】4 【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a 1=,设操作n 次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ,则a n+1=a n ·, ∴a n =a 1q n-1=()n ,∴()n <,得n≥4. 【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.在ABC 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）210. 【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理可求AB 的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cos A ，再利用同角三角函数的关系求出sin A ，由二倍角公式求出sin 2A ，cos2A ，根据两角差的正弦公式可求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【详解】（Ⅰ）在中，根据正弦定理，sin sin AB BCC A=，于是sin 225sin BCAB CBC A=== （Ⅱ）在ABC ∆中，根据余弦定理，得222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅于是25sin 1cos A A =-=从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55A A A A A A ===-=2sin 2sin 2cos cos 2sin 44410A A A πππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18.去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A ,B,C ,D 四个等级，等级评定标准如下表所示. 评估得分 [60,70)[70,80)[80,90)[90,100)评定等级 D C B A（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率. 【答案】（1）众数是75，平均数是75.4；（2）35．【解析】【分析】（1）由最高小矩形的底边中点估计众数，利用中位数将小矩形面积分为左右两侧均为0.5求解中位数即可；（2）列出所有可能的事件，然后找到满足题意的事件的个数，最后利用古典概型计算公式求解概率值即可. 【详解】（1）最高小矩形的底边中点为75，估计得分的众数为75分．直方图中从左至第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28,0.16,0.08，则第二个小矩形的面积为 1-0.28-0.16-0.08=0.48.所以650.28750.48+850.16950.0875.4x =⨯+⨯⨯+⨯=，故估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4.（2）A 等级的频数为250.082⨯=，记这两家分别为,;a b B 等级的频数为250.164⨯=，记这四家分别为,,,c d e f ，从这6家连锁店中任选2家，共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,b d b e b f c d c e c f d e d f e f ，共有15种选法.其中至少选1家A 等级的选法有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c ()()(),,,,,b d b e b f 共9种，则93155P ==，故至少选一家A 等级的概率为35. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，ABC ∆为边长为2的正三角形，//AE CD ，且AE ⊥平面,2 2.ABC AE CD ==，（1）求证：平面BDE ⊥平面BCD ；（2）求三棱锥D BCE -的高.【答案】(1)见解析;(2) 3h =【解析】试题分析：（1）取BD 边的中点F ，BC 的中点为G ，四边形AEFG 为平行四边形，由AG ⊥平面BCD 可知，EF ⊥平面BCD ，可证．（2）由D BCE V -=三棱锥 B ACDE V 四棱锥-- E ABC V -三棱锥和等体积法可求角．试题解析：(1)如下图所示：取BD 边的中点F ，BC 的中点为G ，连接AG ，FG ，EF ，由题意可知，FG 是ΔBCD 的中位线所以FG AE 且FG AE =，即四边形AEFG 为平行四边形，所以AG EF由AG ⊥平面BCD 可知，EF ⊥平面BCD ，又EF ⊂面BDE ，故平面BDE ⊥平面BCD（2）过B 做BK AC ⊥，垂足为K ，因为AE ⊥平面ABC ，所以BK ⊥平面ACDE，且BK 22=⨯=所以B ACDE V -=四棱锥 111232⨯+（）2⨯=E ABC V 三棱锥-= 11232⨯⨯⨯13= 所以D BCE V -=三棱锥 B ACDE V 四棱锥-- E ABC V 三棱锥-=33= 因为AB AC 2==，AE 1=，所以BE CE ==BC 2= 所以ECB 1S 22=⨯⨯2= 设所求的高为h ，则由等体积法得12h 3⨯⨯3=所以h =【点睛】面面垂直普通一般通过证明线面垂直来证明，求点到面的距离，常用的方法有①等面积、等体积法②距离转化，常用平行转化和相似转化．本题是利用了等体积法求点到面的距离．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1M 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 平行于OM ，且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点.若AOB ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距m 的取位范围.【答案】（1）22182x y +=；（2）()(⋃. 【解析】试题分析：（1）根据题意得22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩解方程即可得椭圆方程；（2）由直线l 平行于OM ，得直线l 的斜率12OM k k ==，AOB ∠为钝角等价于12120OA OB x x y y ⋅=+<，直线l 与椭圆C 联立，利用韦达定理即可求范围.试题解析：（1）依题意有22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的方程为22182x y +=. （2）由直线l 平行于OM ，得直线l 的斜率12OM k k ==，又l 在y 轴上的截距为m ，所以l 的方程为12y x m =+. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222240x mx m ++-=. 因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，所以()()2224240m m ∆=-->，解得22m -<<.设()()1122,,,A x y B x y ，又AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<且0m ≠，则121212121122OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212125042m x x x x m =+++<，将212122,24x x m x x m +=-=-代入上式，化简整理得22m <，即m <<故m的取值范围是()(⋃.。

2021年新高考数学衡水金卷模拟六（含参考答案详解）

2021年新⾼考数学衡⽔⾦卷模拟六（含参考答案详解）2021年新⾼考数学衡⽔⾦卷模拟（六）（本卷满分：150分考试时间：120分钟）⼀、单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求.1．设集合{}|2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（）A ．{}|12x x <≤B ．{}2|1x x -≤≤C ．{}2,1,1,2--D ．{}1,22．在复平⾯内，复数1zi+所对应的点为()2,1-，i 是虚数单位，则z =（） A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．“1ab >”是“10b a>>”（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知13513,,,sin ,cos()2παβπααβ??∈=+=，则β=（） A ．23π B ．56π C ．34π D ．1112π5．已知数列{n a }的前n 项和n S 满⾜：n m n m S S S ++=，且1a ＝1，那么10a ＝( ) A ．1B ．9C ．10D ．556．某教师⼀天上3个班级的课，每班上1节，如果⼀天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师⼀天的课表的所有不同排法有（） A ．474种B ．77种C ．462种D ．79种7．过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则AFOF=（） A ．43B ．34C ．4D ．548．已知函数()xf x xe =，⽅程()()2+1=0f x tf x +()t R ∈有四个实数根，则t 的取值范围为（）A ．21,e e ??++∞B ．21,e e ??+-∞-C ．21,2e e ??+-- D ．212,e e ??+ ??⼆、多项选择题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列判断正确的是（） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平⾯α，直线//m 平⾯β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；C ．若随机变量ξ服从⼆项分布：414,B ξ??~ ??,则()1E ξ=； D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件.10．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 11．已知()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数，且()(4)f x f x =-，则函数()f x 的零点是（） A ．0B ．4±C ．8D ．-812．如图,正⽅体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平⾯11ABC D 所成的⾓等于4πB ．点C 到⾯11ABC D的距离为2C ．两条异⾯直线1D C 和1BC 所成的⾓为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -三、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.13．已知在平⾯直⾓坐标系中，()2,0A -，()1,3B ，O 为原点，且OM OA OB αβ=+，（其中1αβ+=，α，β均为实数），若()1,0N ，则MN 的最⼩值是_____.14．从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，则()P A 等于______. 15．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意1x ，2x D ∈，当122x x a +=时，恒有12()()2f x f x b +=，则称点(,)a b 为函数()y f x =图象的对称中⼼.研究函数()23cos()32f x x x π=+-的某⼀个对称中⼼，并利⽤对称中⼼的上述定义，可得到1240344035()()()()2018201820182018f f f f ++++的值为_______________.16．给出下列五个命题：①已知直线a 、b 和平⾯α，若//a b ，//b α，则//a α；②平⾯上到⼀个定点和⼀条定直线的距离相等的点的轨迹是⼀条抛物线；③双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则直线b y x m a =+()m R ∈与双曲线有且只有⼀个公共点；④若两个平⾯垂直，那么⼀个平⾯内与它们的交线不垂直的直线与另⼀个平⾯也不垂直；⑤过()2,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于1P 、2P 两点，线段12PP 中点为P ，设直线l 斜率为1k ()0k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于12-. 其中，正确命题的序号为_______.四、解答题：本⼩题共6⼩题，共70分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷六(附带答案及详细解析)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（模拟卷六）本试卷共5页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。

.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。

一、选择题=（）1.5−i1+iA. 2−3iB. 3−3iC. 2−2iD. 3+2i2.在30名运动员和6名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会，若抽取的n人中教练员只有1人，则n=（）A. 5B. 6C. 7D. 83.已知集合A={x|−1<x<2}，B={x|x2+2x≤0}，则A∩B=（）A. {x|0<x<2}B. {x|0≤x<2}C. {x|−1<x<0}D. {x|−1<x≤0}4.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若其中一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的四分之一，样本容量为160，则该小长方形这一组的频数为（）A. ３２B. 0.2C. ４０D. 0.25 5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A. 4B. 6+4√2C. 4+4√2D. 2 6.图中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 20 7.已知椭圆的中点在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12 ，离心率为 13 ，则椭圆的方程为（）．A. x 236+y 224=1B. x 236+y 220=1C. x 232+y 236=1D. x 236+y 232=1 8.如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A. 23B. 163 C. 6 D. 与点O 的位置有关9.执行如图所示的程序框图,若输入的n的值是100,则输出的变量S和T的值依次是()A. 2 500,2 500B. 2 550,2 550C. 2 500,2 550D. 2 550,2 50010.方程log5x+x−2=0的根所在的区间是（）A. (2,3)B. (1,2)C. (3,4)D. (0,1)11.若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是（）A. 1ab >12B. 1a+1b≤1 C. √ab≥2 D. a2+b2≥812.等差数列{a n}的通项公式a n=2n+1，其前n项和为S n，则数列{s nn}前10项的和为（）A. 120B. 70C. 75D. 100二、填空题13.已知向量a→=（√3，1），b→=（0，﹣1），c→=（k，√3）．若a→-2b→与c→共线，则k=________14.某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为________．15.双曲线x2m −y26=1的一条渐近线方程为y=3x，则实数m的值为________．16.设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________ 写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三、解答题17.锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知√3bcosC+csinB=√3a. （1）求角B的大小；（2）若b=√3，求ΔABC的周长的取值范围．18.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= √2．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．19.已知函数f(x)=(kx−1)e x−k(x−1)．（1）若f(x)在x=x0处的切线斜率与k无关，求x0；（2）若∃x∈R，使得f(x)＜0成立，求整数k的最大值．20.“硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.在华为的影响下，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)( i=1,2,3,⋯,10)的数据，得的影响，统计了近10年投入的年研发费用x，与年销售量yi到如图所示的散点图.参考数据和公式： ln2≈0.69 ， ln7≈1.95 .对于一组数据 (u 1,v 1) ， (u 2,v 2) ，…，(u n ,v n ) ，其回归直线 v ̂=α̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： β̂=∑u i v i −nu ̅v ̅n i=1∑u i 2−nu ̅2n i=1=∑(u i −u ̅)(v i −v ̅)n i=1∑(u i −u ̅)2n i=1 ， α̂=v̅−β̂u ̅ .（1）利用散点图判断， y =a +bx 和 y =c +dlnx (其中a ，b ，c ，d 为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由)（2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：其中令 w 1=ln x i ， w ̅=110∑w i10i =1 . 根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程，并预测投入的年研发费用28千万元时的年销售量；（3）从这10年的数据中随机抽取3个，记年销售量超过30(千万件)的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.21.已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦点为F点Q是抛物线C上的一点，且点Q的纵坐标为4，点Q到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l不经过Q点且与抛物线交于A，B两点，QA，QB的斜率分别为K1，K2，若K1K2＝﹣2，求证：直线AB过定点，并求出此定点．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为{x=1+cosφy=1+sinφ( φ为参数)，过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A、B两点．（1）求l和M的极坐标方程；（2）当α∈(0，π4]时，求|OA|+|OB|的取值范围．23.已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+ 15；4（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）1.设i(1i)z =-，则z =（） A. 1i - B. 1i +C. 1i --D. 1i -+【答案】A 【解析】【分析】先根据复数的乘法运算，求得z ，再求其共轭复数即可. 【详解】因为i(1i)z =-1i =+，故可得z =1i -. 故选：A.【点睛】本题考查集合的乘法运算，以及共轭复数的求解，属基础题. 2.已知集合{}2|230A x x x =--≤，{|24}B x x =≥，则A B =（）A. [1,3]-B. [2,)+∞C. [2,3]D. [1,2]-【答案】C 【解析】【分析】首先解不等式求出集合A 、B ，然后再根据集合的交运算即可求解. 【详解】由{}{}[]2|230131,3A x x x x x =--≤=-≤≤=-，{}[){|24}22,B x x x x =≥=≥=+∞，所以A B =[2,3].故选：C【点睛】本题考查了集合的交运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题. 3.已知向量(1,2)a b +=，(3,0)a b -=-，则a b ⋅=（） A. 1 B. 1-C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】根据向量加减的坐标运算求出()1,1a =-，()2,1b =，再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由(1,2)a b +=，(3,0)a b -=-，两式联立，可得()1,1a =-，()2,1b =，所以1211a b ⋅=-⨯+=-. 故选：B【点睛】本题主要考查了向量加减、数量积坐标运算，考查了学生的基本运算能力，属于基础题. 4.已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（） A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∨【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>, 或=12a b =-，时，则22a b > 不成立. 则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假. 故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.5.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. 278-B. 18-C.18D.278【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知函数是以2为周期的函数，从而可得5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据函数为奇函数可得1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将12x =代入表达式即可求解.【详解】由()f x 满足(2)()f x f x +=，所以函数的周期2T =，又因为函数()f x 为奇函数，且当01x ≤≤时，3()f x x =，所以51112228f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题. 6.已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（） A. 4B. 2C. 1D. 8点A 到抛物线的准线：14x =-的距离为：014d x =+，利用抛物线的定义可得：001544x x +=，求解关于实数0x 的方程可得：01x =. 本题选择C 选项.7.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin21cos2αα-=,则cos α（）A.15B.C.3D.【答案】D 【解析】【分析】由2sin 22sin cos ,cos22cos 1ααααα==-,代入已知式子中,可求出2sin cos αα=,再结合22sin cos 1αα+=即可求解.【详解】解:2sin21cos2αα-=,24sin cos 1cos22cos αααα∴=+=即2sin cos αα=.又22sin cos 1αα+= cos 5α∴=±0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0α∴> cos 5α∴=故选:D.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 10B. 5C. 20D. 30【答案】C 【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图：三棱柱截去一个三棱锥，利用棱柱与棱柱的体积公式即可求解. 【详解】由几何体的三视图可得几何体的直观图：三棱柱111ACD AC D -截去一个三棱锥1D ACD -，如图：该几何体的体积：111111143543520232ACD A C D D ACD V V V --=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、棱柱的体积公式、棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.9.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，若双曲线上存在一点A 使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线的离心率为（） A.5B.10 C.15 D.5【答案】B 【解析】因为123AF AF =，根据双曲线的几何定义可得，12222a AF AF AF =-=，所以21,3AF a AF a ==．在12Rt F AF ∆中，因为2112,3,2AF a AF a F F c ===，所以222(3)(2)a a c +=，即2252a c =，所以c a =，则c e a ==，故选B ． 10.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（） A.320πB.310π C.4π D.25π 【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=（a ，b 为直角边，c 为斜边），求出圆的面积，再利用几何概型-面积比即可求解.【详解】由题意两直角边为8,15a b ==，斜边17c ==，所以内切圆半径81517322a b c r +-+-===，所以落在其内切圆内的概率：2331208152P ππ⨯==⨯⨯，故选：A【点睛】本题考查了几何概型的概率计算公式-面积型，属于基础题.11.函数()cos (0)f x x ωω=>在区间π[0,]2上是单调函数，且()f x 的图像关于点3()4π,0M 对称，则ω=（） A.23或103B.23或2 C.143或2 D.103或143【答案】B 【解析】【分析】由函数的单调区间，解得ω的取值范围，结合对称中心，即可求得结果. 【详解】因为()cos (0)f x x ωω=>在区间π[0,]2上是单调函数，则由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得0,2x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2πωπ≤，解得(]0,2ω∈.又因为()f x 的图像关于点3()4π,0M 对称，故可得3cos 04πω=，即3,42k k Z πωππ=+∈，解得42,33k k Z ω=+∈. 结合ω的取值范围，即可得23ω=或2.故选：B .【点睛】本题考查由余弦型函数的单调区间以及对称中心，求参数范围的问题，属基础题. 12.函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A. ()0,2 B. ()2,+∞C. 3360,6e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解. 【详解】()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数()()23xf x x e=-图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_______.【答案】甲. 【解析】【分析】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高．故答案为甲【点睛】画茎叶图时的注意事项（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶；（2）将茎上的数字按大小次序排成一列．（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧．（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较． 14.已知2()2(2)f x x xf '=+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为________. 【答案】610x y ++= 【解析】【分析】求出导函数()22(2)f x x f ''=+，令2x =，求出()2f '，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出()1f 以及()1f '，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】由2()2(2)f x x xf '=+，则()22(2)f x x f ''=+，当2x =时，(2)42(2)f f ''=+，解得()24f '=-，所以2()8f x x x =-，()28f x x '=-，即()17f =-，(1)2186f '=⨯-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()761y x +=--，即为610x y ++=.故答案为：610x y ++=【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45，与观测站A距离B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北(045)θθ<<的C 处，且4cos 5θ=，已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．【答案】85【解析】由已知，03sin ,45,5BAC θθ=∠=- 所以，0272cos cos(45=cos 210BAC sin θθθ∠=-+=）（），由余弦定理得，2222cos(45BC AB AC AB AC θ=+-⋅⋅-）72=800+100-22021034010⨯⨯=,故285BC =，该货船的船速为485/小时．考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．16.已知三棱锥O ABC -中，,,A B C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ︒∠=，且三棱锥O ABC -3O 的表面积为________. 【答案】52π 【解析】【分析】利用面积公式求出ABC 的面积，再利用余弦定理求出AC 的长度，利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，根据勾股定理求出球的半径，由球的表面积公式即可求解. 【详解】ABC 的面积122sin12032ABCS=⨯⨯= 设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则113333O ABC ABCV S h h -===3h =，在ABC 中，由余弦定理2222cos1208412AC AB BC AB BC =+-⋅=+=，∴=AC设ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理则2sin120AC r =，解得2r ，设球的半径为R ，则22213R r h =+=，所以球O 的表面积为2452S R ππ==.故答案为：52π【点睛】本题考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式、三角形的面积公式以及余弦定理解三角形，正弦定理解三角形的外接圆半径，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，636S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ；（Ⅱ）设n T 为数列1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项的和，求证：1n T <. 【答案】（Ⅰ）21n a n =-，2n S n = （Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案. （Ⅱ）211111n S n n n n n ==-+++，根据裂项求和法计算得到111n T n =-+得到证明. 【详解】（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ，由3718a a +=，636S =得59a =，1612a a +=，即149a d +=，12512a d +=，解得11a =，2d =.∴21n a n =-，2135(21)n S n n =++++-=. （Ⅱ）2n S n =，∴211111(1)1n S n n n n n n n ===-++++， ∴11111111122311n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<++，即1n T <.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18.某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：乙教师分数频数分布表分数区间频数[40,50) 3[50,60) 3[60,70)15[70,80)19[80,90)35[90,100]25（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；（2）从对乙教师的评分在[40,60)范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在[50,60)范围内的概率；（3）如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）【答案】(1)32人；（2）15；（3）乙可评为年度该校优秀教师【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出70分以上的频率，总频率之和为1可得70分以下的频率，由频率100⨯即可求解.（2）根据频数分布表[)40,50有3人，[50,60)有3人，分别进行标记，利用列举法求出随机选出2人的基本事件个数，然后再求出评分均在[50,60)范围内的基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.（3）利用平均数=小矩形的面积⨯小矩形底边中点横坐标之和，求出甲的平均分，再利用平均数的公式求出乙的平均分即可得出结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知，70分以上的频率为()0.0280.0220.018100.68++⨯=， 70分以下的频率为10.680.32-=，所以对甲教师的评分低于70分的人数：0.3210032⨯=.（2）由频数分布表[)40,50有3人，[50,60)有3人，记[)40,50的3人为A 、B 、C ，[50,60)的3人为1、2、3，随机选出2人：(),A B ，(),A C ，(),1A ，(),2A ，(),3A ，(),B C ， (),1B ， (),2B ，(),3B ，(),1C ， (),2C ，(),3C ，()1,2，()1,3，()2,3，共15种；评分均在[50,60)的抽取方法：()1,2， ()1,3，()2,3，共3种；所以2人评分均在[50,60)范围内的概率31155P ==. （3）由频率分布直方图可得[50,60)的频率为：()10.0040.0220.0280.0220.018100.06-++++⨯=甲教师的平均数为：=0.0445+0.0655+0.2265+0.2875+0.2285+0.1895x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯甲76.2=，乙教师的平均数为：0.03450.03550.15650.19750.35850.259580.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙，由于乙教师的平均数大于80分，故乙可评为年度该校优秀教师.【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、频数分布表、古典概型的概率计算公式，考查了学生的数据分析处理能力，属于基础题.19.如图1，在Rt ABC ∆中, 90,,C D E ∠=分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2.（1）求证：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由.【答案】（1）见解析（2）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ .【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可证DE ⊥平面A 1DC ，从而有DE ⊥A 1F ，又A 1F ⊥CD ，可证A 1F ⊥平面BCDE ，问题解决；（2）取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ ∥BC ，平面DEQ 即为平面DEP ，由DE ⊥平面1A DC ，P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，可证A 1C ⊥平面DEP ，从而A 1C ⊥平面DEQ ．试题解析：（1）证明：由已知得AC BC ⊥且//,DE BC DE AC ∴⊥，1DE A D ∴⊥，又1,DE CD A D CD D ⊥⋂=，DE ∴⊥平面1A DC ，面1A F ⊂平面1A DC ，1DE A F ∴⊥，又11,A F CD DE CD D A F ⊥⋂=∴⊥平面BCDE ，1A F BE ∴⊥.（2）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ .理由如下：如图，分别取11,A C A B 的中点,P Q ，则//PQ BC .//,//.DE BC DE PQ ∴∴平面DEQ 即为平面DEP .由（1）知DE ⊥平面11,A DC DE AC ∴⊥，又P 是等腰三角形1DA C 底边1A C 的中点1A C DP ∴⊥，1DE DP D AC ⋂=∴⊥平面DEP ，从而1A C ⊥平面DEQ ，故线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ .点睛：证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论(),a b a b αα⊥⇒⊥；（3）利用面面平行的性质(),a a ααββ⊥⇒⊥；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.如图,椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上一点P 与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为12，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点2F 的直线l 交椭圆22221x y a b+=于,A B 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PA PB ⋅为定值？证明你的结论.【答案】（1）22143x y +=（2）存在定点11(,0)8P ,使得PA PB ⋅为定值. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据点P 与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为12，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（Ⅱ）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去y 可得关于x 的一元二次方程，PA PB ⋅表示为1212x x y y +，利用韦达定理化简可得()222581243n k n k ++++，令581243n +=可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴. 故椭圆的方程为.（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,,则,,可得.设点,那么,若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,此时,, 当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得, 此时,,,, 综上,在轴上存在定点,使得为定值. 【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数21()2f x lnx ax x =--．（1）若函数()f x 在[1，)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，是否存在整数k ，使不等式[()1](2)x f x x k x +->-在1x >时恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a 14≤-；（2）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）对原函数求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出a 的取值范围；（2）问题转化为即(1)20xlnx k x k -++>在1x >时恒成立，令()(1)2g x xlnx k x k =-++，1x >求导后分0k 和0k >求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【详解】解：（1）函数()f x 在[1，)+∞上单调递增， 1()10f x ax x ∴'=-- 在[1，)+∞ 上恒成立， 2211111()24a x x x ∴-=--， ∴当2x =时，()211124x --有最小值14-， 14a ∴-；（2）1()1f x ax x'=--，f ∴'（1）11a a =--=-，函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，0a ∴=，()f x lnx x ∴=-，不等式[()1](2)x f x x k x +->-在1x >时恒成立，(2)xlnx x k x ∴->-在1x >时恒成立，即(1)20xlnx k x k -++>在1x >时恒成立，令()(1)2g x xlnx k x k =-++，1x >，()g x lnx k ∴'=-，当0k 时，()0g x '>在(1,)+∞上恒成立，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，()g x g >（1）10k =->，则1k >，矛盾，当0k >时，令()0g x '=，解得k x e =，令()0g x '>，解得：k x e >，令()0g x '<，解得：1k x e <<，()g x ∴在(1,)k e 单调递减，在(k e ，)+∞单调递增，()()(1)220k k k k min g x g e ke k e k k e ∴==-++=->，令()2k h k k e =-，0k >，()2k h k e ∴'=-，当2k ln <时，()0h k '>，函数()h k 单调递增，当2k ln >时，()0h k '<，函数()h k 单调递减，()(2)2222(21)0max h k h ln ln ln ∴==-=-<，∴不存在整数k 使得20k k e ->恒成立，综上所述不存在满足条件的整数k ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，导数的几何意义，还运用分离参数法和函数构造法解决恒成立问题，同时考查了数学转化思想方法以及推理能力和运算能力，属难题．选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）22.已知直线l的参数方程为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=（m 为常数，且0m ＞），直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）若2AB =，求实数m 的值；（2）若点P 的直角坐标为(1,2)-，且4PA PB ⋅＞，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）9(,)4+∞.【解析】【分析】（1）将直线的参数方程化为为普通方程，曲线C 的极坐标方程化为普通方程，再利用直线与圆的弦长公式求解.（2）直线的参数方程与圆的普通方程联立，根据参数的几何意义，则有12||||||PA PB t t ⋅=求解.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=，化为直角坐标系下的普通方程为：222x y my +=，即222()x y m m +-=.直线l 的普通方程为：10x y +-=，而点(0,)m 到直线l的距离为d =所以||2AB =，即2230m m +-=，又因为0m >，所以1m =.（2）显然点P 在直线l上，把1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3450t m m +--+=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t .则22(3)4(45)0m m ∆=---+>，解得1m <-1m >. 则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>，解得94m >或14m <.而0m >，∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长，参数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.23.已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=.（1）求2a b c ++的取值范围；（2）求证：14918a b c ++≥. 【答案】（1）7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由条件等式将b c +用a 表示，再从0,0,0a b c ＞＞＞，进一步求出a 的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明149()36a b c a b c ++++≥，利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）依题意，20a b c -=+＞，故02a ＜＜. 所以()22217224a b c a a a ⎛⎫++=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以()22722244a b c +++-=≤＜，即2a b c ++的取值范围为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （2）因为0,0,0a b c ＞＞＞，所以()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭14+≥ 1436+==当且仅当12,,133a b c ===时，等号成立，又因为2a b c ++=，所以14918a b c++≥. 【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.。

2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)

2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列｛如｝中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列｛Qn ｝的前〃项和，则S 15=（在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为（A 1B 丄 A- 3b∙ 2）,则CRqrIB=（）2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=（D- 2若它们的中位数相同，平均数也相同, 复数 Z= （sinθ - 2cosθ） + （sinθ+2cosθ） Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为（）a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（)饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中，正确的有（② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是：“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件；④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1：MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限)，且7B =4AF,直线/与圆M 相切，则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点，则αD. 3,焦点为化圆M ：10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中，ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点，则^-AF= __________ .15.若数列｛如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列｛ττ—｝的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为''赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为寺，若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列｛如｝中，a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列｛/｝的通项公式；TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示，A ( - 1,⑷)，B (3,・山)为图象上的两点，HZAOB=Q i其中O为坐标原点，0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于X的线性回归方程，=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式：回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起，使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证：DC丄平而ABC；■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点，且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼，且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程；(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C ： x 2+y 2=4相交于A, B 两点，沁NAB 的面积最大时，求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；(Il )当GE (0, 2)时，求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间［0, 3］上的最小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作答时请写清题号•［选修4«4:坐标系与参数方程］坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离；(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.［选修4・5:不等式选讲］23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈［1, 2］, Λ-k-rtl≤ 1恒成立，求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中，直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数)，在极一、选择题1. 解：因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选：B.2. 解：T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选：C.3・解：根据茎叶图知，乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9；故选：A.4. 解：在等差数列｛如｝中， T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列｛伽｝的前H 项和，故选：B.5. 解：∙.∙d>0, b>0,两直线人：3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时，等号成立. 故选：C.6. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的值，OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选：C.7. 解：根据题意，设圆柱的高为九圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍，即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心，半径为,•的球内，其体积W = 4：T ,故选：C.8.解：对于①：相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强；越趋近于0,相关性越弱，故①错误；对于②：命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是："对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④：f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时，f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立，此时f (%)没有极值点，故不符合条件；故选：A.x+y-3≤09.解：作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示，k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时，1+片严一-3=1,当1 +/=3 时，l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选：C.10. 解：根据题意，函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数，排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时，/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选：D.He 解：如图，设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3，则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・故选：B.12. 解：函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根，而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根，lns-2x ,一 .、， / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点，y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知，d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选：A. 二、填空题13. 解：由三视图还原原几何体如图，P：.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心，・：这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解：根据题意，作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得，AF=yAB+yAC ， =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为：于.15. 解：数列仙｝的前"项和为S“，对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时，自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 （SH-SH .1） + {a n - 6∕π 1） =O tQ 1所以数列{a n ］是以号为首项，才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(七)文科数学

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（七）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知集合{}220|A x x x =-<，{|10}B x x =-≥，则集合A B =（）．A. {|02}x x <<B. {|01}x x <≤C. {|1}x x ≥D. {|12}x x ≤<【答案】D 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再结合集合交集的运算，即可求得AB ，得到答案．【详解】由题意，集合{}2|20{|02}A x x x x x =-<=<<，{|10}{|1}B x x x x =-≥=≥，所以集合{|12}A B x x =≤<．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答正确求解集合,A B ，再结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力． 2.若312z i=+（i 表示虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】按照复数的运算法则，先将312z i=+化为z a bi =+形式，再按照复数的几何意义，即可求解. 【详解】()()()31233636121212555i i z i i i i --====-++- ∴复数z 对应的点在第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的运算及复数的几何意义，属于基础题.3.若1sin()3πα+=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）．A. 89-B. 9-C.9D.89【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，求得sin α的值，再利用同角三角函数基本关系式可求cos α，最后利用二倍角的正弦函数公式可求sin 2α的值．【详解】由1sin()3πα+=，可得1sin 3α=-，又因为,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可得cos 3α==，所以1sin 22sin cos 2339ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式、基本关系式，以及正弦的倍角公式的化简求值，着重考查了推理与计算能力．4.设x ，y 满足约束条件2330233010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值是（）A. ﹣4B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】画出约束条件对应的平面区域，结合图形找出目标函数的最优解，求出目标函数的最大值．【详解】解：画出x ，y 满足约束条件2330233010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩的平面区域，如图阴影部分，由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由平移可知，当直线y x z =-+过点A 时，直线y x z =-+的截距最大，z 取得最大值；由102330y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得()3,1A -，可得2z x y =+=，即z 的最大值是2．故选：C【点睛】本题考查了线性规划问题，准确作出平面区域是前提，然后再通过直线平移的方法解决问题. 5.下面四个条件中，是a b >成立的充分而不必要的条件为（）． A. ac bc >B. 1a b >-C. 33a b >D. 22log log a b >【答案】D 【解析】【分析】由22log log a b >，求得a b >，反之不成立，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解．【详解】由题意，因为22log log a b >，可得a b >成立，反之，当a b >时，根据对数函数的性质，22log log a b >不一定成立，所以a b >成立的充分而不必要的条件为22log log a b >．故选：D ．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及充分条件、必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力．6.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为205，则h 的值为（）．A. 5B. 10C. 25D. 210【答案】C 【解析】【分析】首先由三视图还原得到一个四棱锥，进而利用锥体的体积公式，列出方程，即可求解．【详解】根据给定的几何体的三视图，可得底面边长分别为5和6的长方形，高为h 的一个四棱锥体，如图所示：又由该四棱锥的体积为1562053V h =⨯⨯⨯=，解得25h =．故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．7.已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,，则该双曲线的标准方程为（）．A. 221416x y -=B. 221164y x -=C. 22128x y -=D. 22144176y x -=【答案】A 【解析】【分析】根据渐近线方程，设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点的坐标求出k 的值，即可得到双曲线的标准方程．【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为2y x =，设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4,，可得24k =，解得4k =，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根据双曲线的渐近线方程求解双曲线的方程，其中解答中熟练应用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（）．A.115B.215C. 15D.415【答案】C【解析】【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13，可得能够组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有2615n C ==种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数133m C ==，所以其中能够组成孪生素数的概率是31155m p n ===．故选：C ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．9.如图，正方形ABCD 中，M N 、分别是BC CD 、的中点，若,AC AM BN λμ=+则λμ+=（）A. 2B. 83C.65D. 85【答案】D 【解析】试题分析：取向量,AB BC 作为一组基底，则有11,22AM AB BM AB BC BN BC CN BC AB =+=+=+=-，所以1111()()2222AC AM BN AB BC BC AB AB BC λμλμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又AC AB BC =+，所以111,122λμμλ-=+=，即628,,555λμλμ==+=. 10.已知函数()2sin()0,22f x x ππωφωφ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭为其图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若5BC =，则()f x 的解析式为（）． A .()2sin 36f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()2sin 312f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()2sin 48f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()2sin 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据5BC =，列出方程，求得ω的值，再根据正弦函数的图象的对称中心，求出ϕ的值，即可得到函数的解析式．【详解】由题意，函数()2sin()f x x ωφ=+，1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭为其图象的对称中心，因为,B C是该图象上相邻的最高点和最低点，可得BC =5=，解得3πω=，又由1,32k k Z +=⋅∈πφπ，即,6k k Z =-∈πφπ，令0k =，可得6πφ=-，则()f x 的解析式为()2sin 36f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．11.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928︒'，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的三个顶点A ，C ，E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M ABF -，O BCD -，N DEF -，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构．如图，以下四个结论①BDF MON ≌；②BF MN <；③B ，M ，N ，D 四点共面；④异面直线DO 与FP 所成角的大小为10928︒'．其中正确的个数是（）．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】不妨设正六边形的边长为1，①由已知可得BDF 与MON △3的等边三角形，即可判断出正误；②由①可知：BF MN =，即可判断出正误；③由已知可得：四边形BMND 是平行四边形，即可判断出正误；④利用异面直线DO 与FP 所成角的范围即可判断出正误．【详解】由题意，不妨设正六边形的边长为1，①由BDF 与MON △3的等边三角形，∴BDF MON ≌，正确； ②由①可知：BF MN =，因此②不正确；③由已知可得：四边形BMND 是平行四边形，因此B ，M ，N ，D 四点共面，正确； ④异面直线DO 与FP 所成角不可能为钝角10928︒'．因此不正确．其中正确的个数是2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，平面的基本性质，以及异面直线所成角的判定的知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力．12.已知函数()x f x xe =，要使函数2()[()]2()1g x m f x f x =-+恰有一个零点，则实数m 的取值范围是（）．A. 22,0e e ⎡⎤--⎣⎦B. (22,0{1}e e ⎤--⋃⎦C. 22,0ee+⎡⎤-⎣⎦ D. (22,0{1}e e ⎤-+⋃⎦【答案】B 【解析】【分析】先利用导数求出函数()f x 的单调性和极值，画出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，由函数()f x 的图象可知方程2210mt t -+=，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于1e-，分类讨论，即可求解．【详解】由题意，函数()x f x xe =，x ∈R ，则()(1)x x x f x e xe e x ='=++，当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为1(1)f e-=-，函数()f x 的大致图象，如图所示：函数2()[()]2()1g x m f x f x =-+恰有一个零点，等价于方程2[()]2()10m f x f x -+=只有一个根，令()f x t =，由函数()f x 的图象可知方程2210mt t -+=，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于1e-，①当0m =时，方程为210t -+=，∴12t =，符合题意， ②当0m ≠时，若440m ∆=-=，即1m =时，方程为2210t t -+=，解得1t =，符合题意，若>0∆，即1m <时：设2()21t mt t ϕ=-+，（ⅰ）当0m <时，二次函数()x ϕ开口向下，又(0)10ϕ=>，要使方程2210mt t -+=只有一个正根，且负根小于1e -，则()10e 10ϕϕ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩，即2 12101me emm⎧⋅++>⎪⎪<⎨⎪<⎪⎩，可得220e e m--<<，（ⅱ）当01m<<时，二次函数()xϕ开口向上，又因为(0)10ϕ=>，则方程2210mt t-+=有两个不等的正根，不符合题意，综上所求，实数m的取值范围是：220e e m--<≤或1m=，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程的解，构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，结合根的分布求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．二、填空题13.数学竞赛后，小明、小华、小强各获一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌．老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌．”老师只猜对了一个，那么小明获得的是________．【答案】铜牌【解析】【分析】根据小明得奖的情况，分类讨论，即可判断得到答案．【详解】由题意，若小明得金牌，则小明得金牌，小华不得金牌这两句话都正确，故不合题意；若小明得银牌，小华得金牌，则这三句话全是错误的，故不合题意；若小明得银牌，小华得铜牌，则小华不得金牌，小强不得铜牌是正确的，不合题意；若小明得铜牌，小华得金牌，小强得银牌，故合题意；若小明得铜牌，小华得银牌，小强得金牌，故不合题意，故小明得铜牌，故答案为：铜牌．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论进行判定是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理能力． 14.若函数lg ,0(),0xx x f x a b x >⎧=⎨+≤⎩且(0)3f =，(1)4f -=，则((3))f f -=____________. 【答案】1 【解析】【分析】首先根据两个函数值求,a b ，再求()3f -和()()3ff -.【详解】根据条件可知0134a b a b -⎧+=⎨+=⎩，解得：12a =，2b =即()lg ,122xx f x ⎧⎪=⎨⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 00x x >≤ ， ()310f -=，()()()310lg101f f f -===故填：1.【点睛】本题考查分段函数求值，意在考查基本的计算能力，属于简单题型.15.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点(2,0)F 且倾斜角为34π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为12，则椭圆的方程为________．【答案】22184x y +=【解析】【分析】根据条件可得直线l 的方程为2y x =-+，联立直线与椭圆的方程，表示出M 的坐标，进而可得2212OMb k a ==，解出2a ，2b 的值，即可求解．【详解】由题意，过点(2,0)F 且倾斜角为34π的直线方程为0(2)y x -=--，即2y x =-+，联立方程组222221y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222222440a b x a x a a b +-+-=，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224a x x a b +=+，212224b y y a b+=+，所以22222222,a b M a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，可得2212OM b k a ==，又因为2c =且222c a b =-，解得28a =，24b =，故椭圆的方程为22184x y +=．故答案为：22184x y +=．【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，直线的点斜式方程，以及椭圆的标准方程及几何性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力．16.在ABC ∆中，已知6AB =,60A ∠=︒，BC 边上的中线19AD =，则sin B =________．【答案】217【解析】【分析】根据图形，由中线长定理可得：()222262192a b +=⨯+，再利用余弦定理可得：222cos 2b c a A bc+-=解得a b 、的值，再次利用余弦定理求解出cos B ，根据同角三角函数关系解得sin B ．【详解】解：如图所示，由中线长定理可得：222262192a b +=⨯+，由余弦定理得到：222cos 2b c a A bc+-=，即22136226b a b +-=．联立成方程组()22222213622662192b a ba b ⎧+-=⎪⎪⋅⋅⎨⎪+=⨯+⎪⎩，解得：274a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故22227cos 2247a cb B ac +-===由22sin +cos 1B B =可得，22821sin 1cos 149B B =-=-=．故答案为：217【点睛】本题考查了余弦定理的知识，方程思想是解决本题的关键.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且12AF EF DE AD ===．（Ⅰ）证明平面ABF ⊥平面CDF ；（Ⅱ）平面CDF 将多面体ABCDEF 分成两部分，求两部分的体积比．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）4:1．【解析】【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连接FG ，可得DF AF ⊥，AB DF ⊥，即可得DF ⊥平面ABF ，从而证明平面ABF ⊥平面CDF ；（Ⅱ）作FM AD ⊥于M ，过E 作EN AD ⊥于N ，作//MG AB ，MH //CD ．利用多面体ABCDEF 的体积E CDNH F ABGM FMG ENH V V V V ---=++，求得多面体ABCDEF 的体积，进而求得F CDE V -，得到答案．【详解】（Ⅰ）由题意，多面体ABCDEF 的底面ABCD 是正方形，可得AB CD ⊥，又由梯形ADEF ⊥底面ABCD ，梯形ADEF底面ABCD AD =，AB 平面ABCD ，所以AB ⊥平面ADEF ，因为DF ⊂平面ADEF ，所以AB DF ⊥，因为梯形ADEF 中，12AF EF DE AD ===，取AD 的中点G ，连接FG ，所以12FG AD =，所以DF AF ⊥，又因为AF AB A ⋂=，所以DF ⊥平面ABF ，又由DF ⊂平面CDF ，所以平面ABF ⊥平面CDF ．（Ⅱ）如图所示，作FM AD ⊥于M ，过E 作EN AD ⊥于N ，作//MG AB ，NH //CD ． ∵梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且12AF EF DE AD ===． ∴FM ⊥面ABCD ，EN ⊥面ABCD ，在Rt AFD 中，由2AD AF =可得60FAD ︒∠=，令122AF EF DE AD ====，则3FM EN ==1AM ND ==，多面体ABCDEF 的体积为：112031432342323F ABGM E CDNH FMG ENH V V V V ---++==⨯⨯+⨯=．由（1）及对称性可得AE ⊥平面CDE ，∵2AD EF =，//EF AD ，∴F 到面CDE 的距离等于A 到面CDE 的距离的一半，即F 到面CDE 的距离等于132d AE ==故111434233323F CDE CDEV S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=． ∴平面CDF 将多面体ABCDEF 分成两部分，两部分的体积比为4:1．【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和．已知2a 是1a 与5a 的等比中项，636S =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12n a n n b a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-，*n N ∈；（Ⅱ）12065499n n n T +-=+⋅ 【解析】【分析】（Ⅰ）等差数列的公差设为d ，且d 不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得()12214n a n n n b a n +=⋅=-⋅，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】解：（Ⅰ）n S 是公差d 不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，由2a 是1a 与5a 的等比中项，可得2215a a a =，即21114a d a a d +=+（）（），化为12d a =，由636S =，可得116153636a d a +==，解得11a =，2d =，则()12121n a n n =+-=-，*n N ∈；（Ⅱ）()12214n a n n n b a n +=⋅=-⋅，则{}n b 的前n 项和()14316564214nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，故()141163645256214n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，两式相减可得()134216644(21)4nn n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⋅()()1116144221414n n n -+-=+⋅--⋅-，化简可得：12065499n n n T +-=+⋅．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，解决通项公式常见的方法是基本量法；本题还考查了数列求和的知识，解决数列求和知识的常见方法是裂项求和法、错位相消法等.19.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q是抛物线上的一点，(1,FQ =．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点()2,0作直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一点A ，使得x 轴平分MAN ∠？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）存在，()2,0A -【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y Q y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由(1,FQ =即可求出p 的值，从而得到抛物线C 的方程；（Ⅱ）对直线l 的斜率分情况讨论，当直线l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x 轴上任意一点A （不与点()2,0重合），都可使得x 轴平分MAN ∠；当直线l 的斜率存在时，由题意可得0AM AN k k +=，设直线l 的方程为：()()20y k x k =-≠与抛物线方程联立，利用韦达定理代入0AM AN k k +=得48a =-，解得2a =-，故点()2,0A -．【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∵点Q 在物线C ：22y px =上，∴设200,2y Q y p ⎛⎫⎪⎝⎭，(200,22y pFQ y p ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，∴200122y pp y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为：24y x =；（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x 轴上任意一点A （不与点()2,0重合），都可使得x 轴平分MAN ∠；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()()20y k x k =-≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()224y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 得：()22224440k x k x k -++=，212244k x x k+∴+=，124x x =（*），假设在x 轴上是否存在一点(),0A a ，使得x 轴平分MAN ∠， ∴0AM AN k k +=，∴12120y y x a x a+=--， ∴()()()()1221120y x a y x a x a x a -+-=--，又()112y k x =-，()222y k x =-， ∴()()()1212212122240x x a x x a x x a x x a -+++=-++，把（*）式代入上式化简得：48a =-， ∴2a =-， ∴点()2,0A -，综上所求，x 轴上存在一点()2,0A -，使得x 轴平分MAN ∠．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的知识，解决直线与圆锥曲线的问题时，往往会采用设而不求的思想进行求解.20.某传染病疫情爆发期间，当地政府积极整合医疗资源，建立“舱医院”对所有密切接触者进行14天的隔离观察治疗．治疗期满后若检测指标仍未达到合格标准，则转入指定专科医院做进一步的治疗．“舱医院”对所有人员在“入口”及“出口”时都进行了医学指标检测，若“入口”检测指标在35以下者则不需进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院进行治疗．以下是20名进入“舱医院”的密切接触者的“入口”及“出口”医学检测指标：（Ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（回归方程的系数精确到0.1）（Ⅱ）如果60是“舱医院”的“出口”最低合格指标，那么，“入口”指标低于多少时，将来这些密切接触者将不能进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院接受治疗．（检测指标为整数）附注：参考数据：20177650i ii x y==∑，202167100i i x ==∑．参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x ynx yb xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】（Ⅰ）ˆ0.539.8y x =+．（Ⅱ）低于41【解析】【分析】（Ⅰ）结合表格中的数据ˆa和ˆb 的公式计算出回归方程的系数即可得解；（Ⅱ）把60y =代入回归方程，算出x 的值即可得解．【详解】（Ⅰ）由表格中的数据，可得20111110552020i i x x ====∑，2011135067.52020ii y y ====∑，所以201202221776502055.567.527250.5671002055.55495ˆi ii ii x y nx ybxnx ==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-∑∑，67.50.555.5ˆ39.7539.ˆ8y x ab =-=-⨯=≈，所以y 关于x 的回归方程为ˆ0.539.8yx =+．（Ⅱ）当60y =时，有600.539.8x =+，解得40.441x =≈，所以当“入口”指标低于41时，将来这些密切接触者将不能进入“舱医院”而是直接进人指定专科医院接受治疗．【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及线性回归分析的应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力． 21.已知函数21()(1)ln (1)2f x x a x a x a =-++>．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设x 1，x 2为函数()f x 的两个极值点，求证()()12732f x f x a ++<．【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间(,)a +∞，(0,1)，单调递减区间(1,)a ；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）先求得函数的导数，然后结合导数与单调性的关系，即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()2127131422f x f x a a a a na ++-=-++-，构造新函数21()ln 42g a a a a a =-++-，1a >，转化为求解()g a 的范围问题，结合导数及函数性质可求．【详解】（Ⅰ）由题意，函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++的定义域(0,)+∞，且2(1)(1)()()(1)(),1a x a x a x x a f x x a x a x x-++--'=-+=>+=，当x a >或01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x a <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故函数的单调递增区间(,)a +∞，(0,1)，单调递减区间(1,)a ；（Ⅱ）不妨设12x x <，则由（1）可知11x =，2x a =，所以()()12773(1)()322f x f x a f f a a ++-=++- 21171(1)ln 3222a a a a a a a =--+-+++-21142a a a na =-++-，令21()ln 42g a a a a a =-++-（其中1a >），则()2ln g a a a '=-++，可得1()10g a a''=-+<，即()g a '在(1,)+∞上单调递减，且(3)ln310g '=->，(4)ln 420g '=-<，故存在0(3,4)a 使得()0g a '=，即002ln 0a a -+=，当()01,a a ∈时，()0g a '>，()g a 单调递增，当()0,a a ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单调递减，故当0a a =时，()g a 取得最大值()2000001n 42l g a a a a a =-++- ()200001242a a a a =-++--200142a a =--，因为0(3,4)a ，结合二次函数的性质可知，当04a =时，(4)0g =，故()(4)0g a g <=，所以()()127302f x f x a ++-<，即()()12732f x f x a ++<．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22.在平面直角坐标系xOy中，直线:3l y x =，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求曲线C 被直线l 截得的弦长；（Ⅱ）与直线l 垂直的直线EF 与曲线C 相切于点Q ，求点Q 的直角坐标．【答案】112⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或112⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（Ⅰ）首先把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出弦长．（Ⅱ）利用直线垂直的充要条件的应用求出圆的切线方程，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出切点的直角坐标．【详解】（Ⅰ）由题意，曲线2cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，可得22cos ρρθ=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，可得曲线的直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，其中圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆心(1,0)到直线0x -=的距离12d ==，所以曲线C 被直线l截得的弦长为l ==（Ⅱ）因为直线EF 与直线l 垂直，设直线EF的方程为y b =+，由直线EF 与曲线C 相切，可得圆心(1,0)到直线y b =+的距离1d ==，解得2b =或2，所以直线EF的方程为2y =+或2y =+．设切点(,)Q x y，联立方程组22(1)12x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，解得112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，方程组22(1)12x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，解得112x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即切点坐标为1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了推理与运算能力．23.已知()|2||2|(0)f x x m x m m =--+>的最小值为52-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）已知0a >，0b >，且22a b m +=，求证：331b a a b +≥．【答案】（Ⅰ）1m =；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出()f x 的最小值，与已知最小值相等列式可求出；（Ⅱ）利用分析法，结合基本不等式，即可证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数32()223,223,2x m x m m f x x m x m x m m x m x m x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，可得()f x 在区间,2m ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以函数()f x 的最小值为min 5()3222m m m f x f m ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭，又因为函数()f x 的最小值为52-，可得5522m -=-，解得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）0a >，0b >，且221a b +=，要证331b a a b+≥，只要证44b a ab +≥，即证()222222a b a b ab +-≥，即证22210a b ab +-≤，即证(21)(1)0ab ab -+≤，即证21ab ≤，即证222ab a b ≤+，显然2212a b ab +≥=，当且仅当2a b ==时取等号．所以331b a a b+≥．【点睛】本题主要考查了含有绝对值函数的最值的求解，以及不等式的证明，其中解答中合理去掉绝对值号，转化为分段函数，以及合理利用分析法，结合基本不等式进行证明是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}11A x x =-<<，{}0B x x =<，则AB =（） A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合A B . 【详解】{}11A x x =-<<，{}0B x x =<，因此，(),1A B ⋃=-∞.故选：D.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.已知：()32z i i =-，则z =（）A. 23i -B. 23i +C. 32i +D. 32i -【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法计算得出复数z ，再利用共轭复数的定义可求得复数z .【详解】()3223z i i i =-=+，因此，23z i =-.故选：A.【点睛】本题考查共轭复数的计算，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3.某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（）A. 20B. 16C. 14D. 12【答案】B 【解析】【分析】利用总人数乘以高二学生所占的比例可求得结果.【详解】由题意可知，高二学生所占的比例为0.32，所以，高二年级应抽取人数为500.3216⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查利用扇形统计图计算频数，考查计算能力，属于基础题.4.已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（）A. 3B. 10C. 3D. 5 【答案】B【解析】分析】先求出a b +，再利用()0a a b ⋅+=求出t ，再求b .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+由()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+= ()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-，10=b故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题. 5.已知双曲线()22105x y m m-=>的一个焦点为()3,0F -，则其渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 5y x =±C. 52y x =±D. 25y x =± 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的一个焦点坐标求出m 的值，进而可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由于双曲线()22105x y m m-=>的一个焦点为()3,0F -，则2354m =-=，双曲线的标准方程为22154x y -=，其渐近线方程为5y x =±. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了利用双曲线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.6.已知tan 3α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A. 45- B. 35 C. 35 D. 45【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式得出222222cos sin sin 2cos 2cos sin 2cos sin παααααααα-⎛⎫+==-= ⎪+⎝⎭，利用弦化切思想可求得结果. 【详解】22222222cos sin 1tan 4sin 2cos 2cos sin 2cos sin 1tan 5παααααααααα--⎛⎫+==-===- ⎪++⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查三角求值，涉及诱导公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.7.为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为（）A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3 【答案】C【解析】【分析】将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为a 、b 、c 、d 、e ，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为a 、b 、c 、d 、e ，从上述五个节日中任取两个节日，所有的基本事件有：ab 、ac 、ad 、ae 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，共10种情况，其中，事件“中秋节被选中”所包含的基本事件有：ad 、bd 、cd 、de ，共4种情况，因此，所求事件的概率为.40410=. 故选：C.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.8.已知ln a π=，12b e -=，1lg 2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，则ln ln 1a e π=>=；指数函数x y e =在R 上为增函数，则10201e e -<<=，即01b <<；对数函数lg y x =在()0,∞+上为增函数，则1lglg102c =<=. 因此，a b c >>.故选：A.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.9.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（）AB.C. D. - 【答案】A【解析】【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点(M(222p =⨯，2p =， ()1,0F ，MF k =故选：A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.10.侧棱长与底面边长都相等的四棱锥P ABCD -中，若E 为侧棱PB 的中点，则异面直线PD 与AE 所成角的正弦值为（）A. 3B. 23C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】作出图形，连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，可得出异面直线PD 与AE 所成的角为AEO ∠，通过解三角形可求得sin AEO ∠，即可得解.【详解】设四棱锥P ABCD -的棱长为2，连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，如下图所示：则点O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，//OE PD ∴，所以，异面直线PD 与AE 所成的角为AEO ∠，且112OE PD ==，122AO AC ==223AE PA PE =-=， 222AO OE AE ∴+=，AO OE ∴⊥，则26sin 3AO AEO AE ∠===. 故选：A. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般通过平移直线法找出异面直线所成角，考查计算能力，属于中等题.11.在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若23b =cos 320B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（） A. 123+ B. 3 C. 3 D. 623+【答案】D【解析】【分析】由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC 的周长. 【详解】cos 32sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=， sin 2sinC A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =，2a ∴=，24c a ==，因此，ABC 周长是623a b c ++=+故选：D.【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.12.若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（）A. 1011B. 1010C. 2020D. 2021【答案】B【解析】【分析】利用奇函数的定义求得a 的值，可得出函数()y f x =的解析式，并求出该函数的定义域，解不等式()0f x ≥，进而可得出该不等式的整数解的个数. 【详解】()20202020202020201010log log 10101010a ax f x a x x --⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()202020201010log 1010a ax f x x-+-=-，由于函数()y f x =为奇函数，则()()0f x f x +-=，即2020101020201010110101010a ax a ax x x ---+⋅=+-， ()22222202010101010a a x x ∴--=-，则()2222020101010101a a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得1a =， ()20201010log 1010x f x x-∴=+，解不等式101001010x x ->+，即101001010x x -<+，解得10101010x -<<，由()0f x ≥，可得10101101010101010x x x -⎧≥⎪+⎨⎪-<<⎩，解得10100x -<≤，因此，不等式()0f x ≥的整数解的个数是1010.故选：B.【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，在求解函数不等式时，不要忽略了函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线()122ln f x x x=-+在1x =处的切线方程为__________．【答案】320x y --=【解析】【分析】求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可求得所求切线的方程.【详解】()122ln fx x x =-+，()221f x x x'∴=+，()11f ∴=，()13f '=，因此，曲线()122ln f x x x =-+在1x =处的切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故答案为：320x y --=.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.14.实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为__________.【答案】10【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数截距可求.【详解】解：作出可行域如下：由2z x y =-得1122y x z =-，平移直线1122y x z =-，当1122y x z =-经过点B 时，截距最小，z 最大解得()6,2B -2z x y =-的最大值为10故答案为：10【点睛】考查可行域画法及目标函数最大值的求法，基础题.15.设m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，βn//，//αβ，则//m n ；②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则βn//；④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥．其中正确的是__________（填序号）．【答案】②④【解析】【分析】利用空间中直线与直线的位置关系可判断命题①的正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断命题②的正误；利用线面垂直的性质可判断命题③的正误；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，若//m α，βn//，//αβ，则m 与n 平行、相交或异面，命题①错误；对于命题②，设l αβ=，若αβ⊥，则存在n ⊂α，使得n l ⊥，则n β⊥，又m β⊥，则//m n ，m α⊄，//m α∴，命题②正确；对于命题③，m α⊥，//αβ，则m β⊥，又m n ⊥，则βn//或n β⊂，命题③错误；对于命题④，过直线m 作平面γ，使得a αγ⋂=，//m α，m γ⊂，则//a m ， m l ⊥，则a l ⊥.αβ⊥，l αβ=，a β∴⊥，//a m ，m β∴⊥，命题④正确.因此，正确命题的序号为②④.故答案为：②④.【点睛】本题考查空间中线面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.16.设函数()sin 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭时，若()2020,x a ∈时，()f x 存在零点和极值点，则整数a 的最小值为__________．【答案】2021【解析】【分析】由()2020,x a ∈计算出4x ππ+的取值范围，根据题意可得出关于实数a 的不等式，进而可得出整数a 的最小值. 【详解】当()2020,x a ∈时，2020444x a ππππππ+<+<+，由于函数()y f x =在区间()2020,a 上存在零点和极值点，则20214a πππ+>，可得120214a >-，因此，整数a 的最小值为2021. 故答案为：2021. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的零点与极值点求参数，解答的关键就是求出4x ππ+的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项.（1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n a n +的前n 项和n S .【答案】（1）见解析，21n n a =-（2）1222n n S n +=+-【解析】【分析】（1）根据等差中项的定义得112n n a a +-=，然后构造新等比数列{}1n a +，写出{}1n a +的通项即可求（2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得112n n a a +-=，即121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.即有()111122n n n a a -+=+⋅=，所以21n n a =-.（2）由（1）知，数列{}2n a n +的通项为：2221n n a n n +=+-，()()123222213521n n S n ∴=+++++++++-()2122122212n n n n +-=+=+--故1222n n S n +=+-.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.18.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各50人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示：感兴趣无所谓合计男性 26 24 50 女性 3020 50合计 56 44100根据以上数据能否有95%的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？（参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.635（2）在感兴趣的会员中随机抽取10人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分10分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”（分数不低于9.5分）、“满意”（分数不低于平均分且低于9.5分）、“基本满意”（分数低于平均分）三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．【答案】（1）没有95%的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，理由见解析；（2）35. 【解析】【分析】（1）计算2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）计算出这10个数据的平均数，记这10人中“满意”的4人分别为a 、b 、c 、d ，“很满意”的2人分别记为1、2，列举出所有的基本事件，并确定事件“这两人中至少有一人是“很满意”会员”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】解：（1）由列表可得：()()()()()()22210026203024500.649 3.8415050564477n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯．所以没有95%的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关；（2）由茎叶图知，这10个数据的平均数为()17.67.98.28.58.99.19.29.39.59.88.810⨯+++++++++=．依题意这10人中“满意”的有4人，记为a 、b 、c 、d ，“很满意”的有2人，记为1、2．从这6人中任取2人，所有的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),1a 、(),2a 、(),b c 、(),b d 、(),1b 、(),2b 、(),c d 、(),1c 、(),2c 、(),1d 、(),2d 、()1,2，共15个基本事件，记A 为从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人至少有一人很满意，则A 中包含的基本事件有：(),1a 、(),2a 、(),1b 、(),2b 、(),1c 、(),2c 、(),1d 、(),2d 、()1,2，共9个基本事件.所以()93155P A ==．【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.19.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求点B 到该平面的距离．【答案】（1）见解析；（2）3. 【解析】【分析】（1）直接作出符合条件的截面即可；（2）设点B 到该平面的距离为h ，利用等体积法得出J HIB B HIJ V V --=，进而求得h 的值.【详解】（1）截面如下图所示：其中F 、G 、H 、I 、J 分别为边11C D 、1DD 、AD 、AB 、1BB 的中点．（2）设点B 到该平面的距离为h ，则由J HIB B HIJ V V --=可知1133HIB HIJ S JB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，所以2211122sin231323HIBHIJSJBh Sπ⨯⨯⨯=⨯⨯==．因此，点B到该平面的距离为3. 【点睛】本题考查截面的作法，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力，属于中等题.20.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点)F，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若2MP PN =，求MON △的面积．【答案】（1）22186x y +；（2. 【解析】【分析】（1）由题意可知点2⎭在椭圆C 上，利用椭圆的定义可求得a 值，结合c 的值可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为2y kx =+，将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由2MP PN =得出122x x =-，结合韦达定理求得2k 的值，再由三角形的面积公式可求得MON △的面积.【详解】（1）依题意有c =C的焦点坐标为()，且点2⎭在椭圆C 上，由椭圆的定义可得2a ==即a =b ∴=，因此，椭圆C 的方程为22186x y +；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，由2MP PN =，得()12122222x x y y -=⎧⎨-=-⎩．由题意直线MN 的斜率存在，所以设直线MN 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程整理，得()22431680k x kx ++-=，所以1221643kx x k -+=+，122843x x k -=+．将122x x =-代入上式可得，22216824343k k k --⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，解得2120k =．所以MON △的面积1212MONSOP x x =⋅-====. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积的计算，涉及向量共线问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21.函数()()21ln 12f x x ax a x =-+-（a R ∈且0a ≠）．（1）若2a =-，判断函数()f x 的单调性；（2）当2a <时，求证：()y f x =的图象恒在函数()()21102y a x x =-->的图象的下方．【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，分别解不等式()0f x '>和()0f x '<可求得函数()y f x =的增区间和减区间；（2）构造函数()()()2112g x f x a x =+-，利用导数证明出()max 0g x <即可证得结论成立. 【详解】（1）当2a =-时，函数()2ln 3f x x x x =+-的定义域为()0,∞+，()()()2123123121x x f x x x xx x x -+'=+-=-=-，令()0f x '>，可得102x <<或1x >；令()0f x '<，可得112x <<.因此，函数()y f x =的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）令()()()211ln 22a g x f x a x x x =+-=-+，其中0x >， ()111xg x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增；当1x >时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减. 所以，函数()y g x =在1x =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 1102ag x g ==-<，所以，()0g x <恒成立，即当2a <时，()y f x =的图象恒在函数()()21102y a x x =-->的图象的下方．【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.【答案】（1）曲线1:2cos C ρθ=，曲线(222:3C x y +=（2）y =.【解析】【分析】（1）用1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C 的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭，代入到1:2cos C ρθ=和2C ：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解.【详解】解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨=⎩ ()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=故1C ：2cos ρθ=将ρθ=两边同时乘以ρ，得2sin ρθ= 因为222,sin x y y ρρθ=+=，所以220x y +-= 得2C的直角坐标方程(222:3C x y +=.（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭由2cos θϕρθ=⎧⎨=⎩，得||2cos OA ϕ=，由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得||OB ϕ=故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭当3πϕ=时，OA OB +取得最大值此时直线的极坐标方程为：()3R πθρ=∈，其直角坐标方程为：y =.【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()1f x x =-，不等式()()15f x f x +-<的解集为{}x m x n <<. （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +≥. 【答案】（1）1m =-，4n =.（2）见解析【解析】【分析】（1）分三种情况讨论即可（2）将m ，n 的值代入，然后利用均值定理即可.【详解】解：（1）不等式()()15f x f x +-<可化为125x x -+-<.即有1325x x ≤⎧⎨-<⎩或12x <<或2235x x ≥⎧⎨-<⎩. 解得，11x -<≤或12x <<或24x ≤<.所以不等式的解集为{}14x x -<<，故1m =-，4n =. （2）由（1）知，0nx y m ++=，即41x y +=，由0x >，0y >得，()1111445549x yx y x y x y y x⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即16x =，13y =时等号成立.故119x y +≥，即9x y xy +≥. 【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.。

2021年高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（4）数学（适用新高考地区）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3,4}P =，{3,4,5}Q =，则()U P Q =（）A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2}2.复数z 满足(i)(2i)5z --=，则z =（）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i +3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.7B.15C.25D.354.曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（）A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+5.函数π()sin cos 6f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的值域为（）A.[2,2]-B.[C.[1,1]-D.,22⎡-⎢⎣⎦6.函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（）A.0B.1C.2D.37.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35 310 110则X 的数学期望E X =()（）A.32B.2C.52D.38.已知实数x ，y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据i i (,)x y (i 1,2,3,,)n =，用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.85 5.1ˆ87yx =-，则下列结论中正确的是（） A.y 与x 具有正线性相关关系 B.回归直线过样本的中心点(,)x yC.若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可估计其体重为50.29kg10.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中正确的是（）A.MC AN ⊥B.GB AMN 平面C.CMN AMN ⊥平面平面D.DCM ABN 平面平面11.能够把圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数()f x 称为圆O 的“亲和函数”，下列函数中，是圆O 的“亲和函数”的为（）A.32()4f x x x =+B.5()ln5xf x x -=+ C.e e ()2x xf x -+=D.()tan5x f x =12.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一个宋时小文物，如图，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面由半椭圆1C ：22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c b+=<（其中222a b c =+，0a b c >>>）组成．设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，若宝珠的体积是32π3，1F ，2F 在宝珠珠面上，012F F F 是等边三角形，给出以下四个命题，其中是真命题的有（）A.椭圆1C 的离心率为217B.椭圆2C 的离心率大于椭圆1C 的离心率C.椭圆2C 的焦点在y 轴上D.椭圆2C 的长、短轴之比大于椭圆1C 的长、短轴之比第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(六)数学(文科)

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =则UA B =（）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,7C. {}1,2D. {}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】利用集合的交、并、补运算即可求解.【详解】由集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5,6B =，所以{}1,2,7UB =，又集合{}1,2,3,4A =，所以UA B ={}1,2.故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补的混合运算，属于基础题. 2.下列各式的运算结果虚部为1的是（） A. ()1i i - B.21i+ C. 22i +D. ()21i i +-【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简即可求解.【详解】对于A ，()211i i i i i -=-=--，虚部为1-；对于B ，()()()()221i 21i 21i 1i 1i 1i 1i --===-++--，虚部为1-；对于C ，22211i +=-=，虚部为0；对于D ，()22112i i i i i i +-=++-=，虚部为1；故选：D【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，需熟记21i =-，属于基础题.3.从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到校门口值日，则甲和丁不在一起值日的概率为（） A .13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】首先利用组合求出值日的总排法：22426C C ⋅=，再求出甲和丁排在一起的排法：12A ，利用间接法可得甲和丁不在一起的排法，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】由题意可得值日的总排法：22426C C ⋅=，甲和丁排在一起的排法：12A ，所以甲和丁不在一起的排法：2214224C C A ⋅-=，所以甲和丁不在一起值日的概率为：4263P ==. 故选：C【点睛】本题主要考查了排列、组合的简单应用，古典概型的概率计算公式，属于基础题.4.若实数x ，y 满足22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最大值是（）A. 9B. 12C. 3D. 6【答案】A 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由2z x y =-得2y x z =-，平移直线2y x z =-，由图像可知当直线2y x z =-经过点A 时，直线2y x z =-的截距最小，此时z 最大，由1220yx y=-⎧⎨+-=⎩，解得41xy=⎧⎨=-⎩，即()4,1-A，max 2419z=⨯+=.故选：A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，解题的关键是理解目标函数的几何意义，属于基础题.5.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. ①②③B. ②③C. ①②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据折线图，分析图中的数据逐一判断即可.【详解】由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故①正确；由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故②正确；根据图像在2016－2018年这3年中，折线的斜率基本相同，故每年的增幅基本持平，故③正确；故选：A【点睛】本题考查了折线图，考查了统计与推理，属于基础题.6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于则椭圆C 的方程为（）A. 2214x y +=B. 22163x y +=C. 22142x y +=D. 22143x y +=【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得2a b =，2c =222a b c =+即可求解. 【详解】由长轴长是短轴长的2倍，所以24a b =，即2a b =，焦距等于2c =c =.由222a b c =+，解得1b =，2a =，所以椭圆的标准方程：2214x y +=.故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、椭圆的标准方程，属于基础题.7.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（） A. []6,63k k ππ+，k Z ∈ B. []63,6k k ππ-，k Z ∈ C. []6,63k k +，k Z ∈ D. []63,6k k -，k Z ∈【答案】D 【解析】【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*22n n S a n N +=∈，42S a =（） A. 2 B.132C.152 D.172【答案】C 【解析】【分析】利用n S 与na 的关系，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列的前n 项和的公式以及通项公式即可求解.【详解】由()*22n n S a n N +=∈，当1n =时，可得12a =，当2n ≥时，1122n n S a --+=，两式作差可得：122n n n a a a -=-，即()122n n a a n -=≥，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⋅=，()4422212151222S a --∴== 故选：C【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的定义、等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和的公式，属于基础题.9.已知四边形ABCD 为平行四边形，2AB =3AD =，M 为CD 中点，2BN NC =，则AN MN ⋅=（） A.13 B.23C. 1D.43【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则可得23AN AB BC =+，1123MN AB BC =-，再利用向量数量积的运算即可求解.【详解】()1123AN MN AB BN DC CB ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭()1123AB BN AB BC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211323AB BC AB BC ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22121212329293AB BC =-=⨯-⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了向量的加、减、数乘以及数量积的运算，需掌握三角形法则，属于基础题.10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x ax =+，若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线过点()2,0，则a =（）A. 34-B. 1C. 2D.34【答案】D 【解析】【分析】设0x ≥时，则0x -≤，利用函数的奇偶性求出函数在[)0,+∞上的解析式，并求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可求解.【详解】设0x ≥时，则0x -≤，当(],0x ∈-∞时，()22f x x ax =+，所以()22f x x ax -=-，又()()f x f x -=-，所以()22f x x ax -=-，即()22f x x ax =-+，所以()112f a =-+又()22f x x a '=-+，所以()122f a '=-+，所以1202212a k a -+-==-+-，解得34a =.故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的基本运算，属于基础题.11.“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（）A. 61.897510⨯立方尺B. 63.795010⨯立方尺C. 52.530010⨯立方尺D. 51.897510⨯立方尺【答案】A 【解析】【分析】求出棱柱底边梯形的面积，利用棱柱的体积公式即可求解. 【详解】()640205012651897500 1.8975102V +⨯=⨯==⨯（立方尺），故选：A【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，需熟记柱体的体积公式，属于基础题.12.已知函数()2y f x =-的图象关于点()2,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()cos sin f x x f x x '>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A. ππ336f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ππ336f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.ππ2346⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ππ243f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】求出函数的奇偶性，令()()sin f x g x x=，求出函数的导函数，根据函数的单调性判断即可. 【详解】由题意可得，函数()2y f x =-的图象关于点()2,0对称，故()f x 的图像关于原点对称，故()f x 是奇函数，由函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()cos sin f x x f x x '>，令()()sin f x g x x=，故()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()()sin f x g x x=在()0,π上单调递减，由()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，则()g x 为偶函数，所以336g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即3336sin sin sin sin 3363f f f f ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B【点睛】本题主要考查了构造函数判断函数的单调性、利用单调性比较函数值的大小，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()12,1x x f x x -≤=>⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦__________．【答案】14；【解析】【分析】利用分段函数的解析式，将2x =-代入即可求解. 【详解】由()12,1xx f x x -≤=>⎪⎩，则()()212224f f f --===⎡⎤⎣⎦. 故答案为：14【点睛】本题考查了求分段函数的函数值以及指数的运算，属于基础题.14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11S =，525S =，则6S =__________．【答案】36；【解析】【分析】利用等差数列的前n 项和公式求出首项与公差，再利用前n 项和公式即可求解. 【详解】由11S =，525S =，则11511545252S a dS a ==⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得11a =，2d =，所以61656630362dS a ⨯=+=+=. 故答案为：36【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.15.已知过点()1,0的直线l 被圆22670x y x +--=截得的弦长为l 的方程为_________．0y -=0y +；【解析】【分析】首先验证当直线的斜率不存在时，不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程：()1y k x =-，圆的圆心为()3,0，半径为4r =216+=，由此能求出直线方程.【详解】当直线的斜率不存在时，则1x =，代入圆的方程，解得y =±，此时弦长为当直线的斜率存在时，设直线的斜率为()1y k x =-，由圆22670x y x +--=，整理可得()22316x y -+=，即圆心为()3,0，半径为4r =，=，直线l 被圆22670x y x +--=截得的弦长为216+=，解得k =，即直线l0y --=0y +=.0y -=0y +=【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、垂径定理、点斜式方程以及点到直线的距离公式，属于基础题. 16.的三棱锥A BCD -中，3BC AC BD AD ====，CD =AB <锥外接球的表面积为__________．【答案】61π3．【解析】【分析】取AB 的中点E ，连接CE ，DE ，设AE BE x ==，从而可得CE DE =，取CD 的中点F ，连接EF，求出EF =AB <，求出1x =，利用对称性可知外接球的球心O 在EF 上或EF 的延长上，根据勾股定理求出外接球的半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】取AB 的中点E ，连接CE ，DE ，由3BC AC BD AD ====，设AE BE x ==，所以22239CE DE x x ==-=-，取CD 的中点F ，连接EF ，则2222954EF xx =--=-所以1112152333A BCD CDECDECDEV S AE SBE Sx -=⋅+⋅=⋅=，即112152323CD EF x ⋅⋅⋅=2112152542323x x ⇒⋅⋅-=，解得3x =1x =，又22AB <1x =，即2AB =，所以3EF=利用对称性可知外接球的球心O 在EF 上或EF 的延长线上，若球心O 在EF 上，设OF a =，所以222OD OE AE =+ 即(()222513a a +=+，此时a 无解，即球心O 在EF 的延长上，所以)222513a a +=+，解得3a =261512R a =+=所以三棱锥的外接球面积为：26143S R ππ==.故答案为：61π3【点睛】本题考查了多面体的外接球问题、球的表面积公式，求解的关键是找出球的球心，属于难题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()tan 2tan b A c b B =-．（1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积为b c +=a 的值．【答案】（1）π3A =（2）a = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，再利用两角和的正弦公式的逆应用以及三角形的内角和性质即可求解.（2）利用三角形的面积公式可得12bc =，从而可求出2226b c +=，再利用余弦定理即可求解. 【详解】解：（1）由正弦定理得，()sin sin sin 2sin sin cos cos A BB C B A B⋅=-⋅ 因为sin 0B ≠，所以sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=()sin 2sin cos A B C A += sin 2sin cos C C A =因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =．（2）因为1sin 24ABC S bc A ===△ 所以12bc =，因为b c +=22250b bc c ++=，所以2226b c +=，根据余弦定理得，2222cos 261214a b c bc A =+-=-=所以14a =．【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用、三角形的面积公式，需熟记定理以及公式，属于基础题.18.在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且有//AB DC ，12AC CD DA AB ===．（1）证明：BC PA ⊥；（2）若222PA PC AC ===Q 在线段PB 上，满足2PQ QB =，求三棱锥P ACQ -的体积．【答案】（1）见解析（243【解析】【分析】（1）设2AB a =，则AC CD DA a ===，在ABCS中，由余弦定理可得BC 3a =，从而可得90ACB ∠=︒，即证出BC AC ⊥，根据平面PAC ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面P AC ，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）由PA PC ⊥，23P ACQ Q PAC B PAC V V V ---==，结合三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：不妨设2AB a =，则AC CD DA a === 由ACD 是等边三角形得，π3ACD ∠= ∵//AB DC ，∴π3CAB ∠=由余弦定理得，2222π2cos 33BC AC AB AC AB a =+-⋅⋅⋅= 即BC 3a =，所以222BC AC AB +=，所以90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥ 又平面PAC ⊥平面ABCD 平面PAC平面ABCD AC =BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面P AC∵PA ⊂平面P AC ，∴BC PA ⊥．（2）依题意得，PA PC ⊥23P ACQ Q PAC B PAC V V V ---==2133PAC S BC =⨯⋅ 211332PA PC BC =⨯⨯⨯⋅⋅ 211432223332=⨯⨯⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理以及等体法求三棱锥的体积，属于中档题. 19.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下.（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图：①从B 类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%把握认为“满意度与用电量高低有关”？附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）0.0044x =，186（2）①1528，②没有把握【解析】【详解】（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 186=度.（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =. ②因为2K 的观测值()22469631212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”. 20.已知函数()()ln R af x x a x=+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x a ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）1a = 【解析】【分析】（1）求出函数的定义域以及函数的导函数()2x af x x-'=，分类讨论：当0a ≤或0a >时，根据()f x '的正负可得到函数的单调性. （2）由（1）当0a ≤时，取12x =代入求得ln 2a ≥，显然不成立；当0a >时，若()f x a >，只需()min f x a ≥，由（1）可得()()min ln 1f x f a a a ==+≥，构造函数()()ln 10h a a a a =-+>，利用导数求得()h a 有最大值()10h =，从而可得1a =.【详解】解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+ 又()221a x afx x x x'-=-= ①当0a ≤时，在()0,∞+上，()0f x '>，()f x 是增函数； ②当0a >时，()0f x '=，得x a =，在()0,a 上，()0f x '<，()f x 是减函数；在(),a +∞上，()0f x '>，()f x 是增函数．（2）由（1）知 ①当0a ≤时，1ln 222f a a ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭，即ln 2a ≥不成立；②当0a >时，()f x a >，即()min f x a ≥，因为0a >，由（1）知：当x a =时，()f x 取得极小值也是最小值，所以()()min ln 1f x f a a a ==+≥ 即ln 1ln 10a a a a +≥⇔-+≥成立令()()ln 10h a a a a =-+>()1110a h a a a-'=-==，解得1a =，在()0,1上，()0h a '>，所以()h a 是增函数，在()1,+∞上，()0h a '<，()h a 是减函数，所以，当1a =时，()h a 有最大值()10h = 要使得()0h a ≥ 即：1a =所以实数a 的取值范围是1a =【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用、导数要不等式恒成立中的应用，考查了分类讨论的思想，属于难题. 21.已知抛物线21:4C y x =，过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 的准线上的投影分别P 、Q ．（1）已知()1,0D -，若()0OA OB OD OD ++⋅=，求直线l 的方程；（2）设P 、Q 的中点为M ，请判断PF 与MB 的位置关系并说明理由．【答案】（1）114y x =+（2）//PF MB ．见解析【解析】【分析】（1）将抛物线方程化为24x y =，求出焦点()0,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据向量的坐标运算由()0OA OB OD OD ++⋅=可得121x x=+，再根据2114x y =，2224x y =，两式相减求出直线的斜率，利用点斜式即可求解.（2）依题意求出抛物线C 的准线方程为：1y =-，设直线l 的方程为：1y kx =+，将直线与抛物线联立消y 得2440x kx --=，由韦达定理可得124x x k +=，124x x =-，然后由一直求出()1,2PF x =-，212,12x x MB y -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】解：（1）抛物线21:4C y x =，化为24x y =，所以抛物线C 的焦点()0,1F 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以()11,OA x y =，()22,OB x y =，()1,0OD =-，()()12121,OA OB OD x x y y ++=+-+由()0OA OB OD OD ++⋅=，得121x x =+，又2114x y =，2224x y =，两式相减得：()()()1212124x x x x y y -+=-，所以121214y y x x -=-，所以直线l 的方程为：114y x =+．（2）//PF MB ，理由如下：依题意可知抛物线C 的准线方程为：1y =-，依题意可设直线l 的方程为：1y kx =+，联立2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消y 得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-，又()1,1P x -，()2,1Q x -，12,12x x M +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()1,2PF x =-，1221222,1,122x x x x MB x y y +-⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()2112212x x x y -⨯--+ 21121x x x y x =-++ 212x x y =+()2121x x kx =++1212x x kx x =++()440k k =+-=所以//PF MB ，所以//PF MB ．【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了向量共线的坐标表示，考查了学生的计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，已知直线1:0l x =，直线20l y -=以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C 以及直线1l ，2l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O 、A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于O 、B 两点，求AOB 的面积．【答案】（1）6cos ρθ=，()1π:R 6l θρ=∈，()2π:R 3l θρ=∈．（2【解析】【分析】（1）根据题意消参求出曲线C 的直线坐标方程，然后利用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可求解. （2）把π6θ=代入曲线C 的极坐标方程，得出π6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理，把π3θ=代入曲线C 的极坐标方程，得出π3,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）依题意，由曲线C 的参数方程33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）消参得()2239x y -+=，故曲线C 的普通方程为2260x y x +-=由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ= 1l ，2l 的极坐标方程为()1π:R 6l θρ=∈，()2π:R 3l θρ=∈．（2）把π6θ=代入6cos ρθ=，得1ρ=π6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把π3θ=代入6cos ρθ=，得23ρ=，所以π3,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1211ππsin 3sin 2236AOB S AOB ρρ⎛⎫=∠=⨯⨯-= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化、直线与曲线相交时的极坐标方程的解法、三角形的面积公式，属于基础题.23.设函数()f x x a =+．（1）当2a =-时，求不等式()1143f x ≤<的解集；（2）若0ε>，()13f ε-<，()23f b a ε--<，证明24a b ε+-<．【答案】（1）5734xx ⎧<≤⎨⎩或9743x ⎫≤<⎬⎭（2）见解析【解析】【分析】（1）将2a =-代入，分类讨论去掉绝对值符号，解不等式组，求并集即可.（2）利用绝对值三角不等式以及不等式的性质即可求解.【详解】解：（1）当2a =-时，()2f x x =-，则()111124343f x x ≤≤⇔≤-< 11122333111222444x x x x x ⎧⎧-<-<-<⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪-≥-≤--≥⎪⎪⎩⎩或解得57337944x x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤≥⎪⎩或，即5734x <≤或9743x ≤< 则所求不等式的解集为5734x x ⎧<≤⎨⎩或9743x ⎫≤<⎬⎭（（2）由已知，0ε>，()113f a ε-=-<，()223f b a b ε--=-< 则22422221233a b a b a b εεε+-=-+-≤-+-<+= 所以24a b ε+-<得证【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及不等式的性质，属于基础题.。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(八)文科数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（八）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z =(i 为虚单位)的共轭复数为（）A.i B.i C. i + D. i -【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法运算化简z ，再求得其共轭复数z .【详解】依题意,z i z i ===故选：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题. 2.已知集合{}|2,nA x x n ==∈N ，{}|28B x x x =<-.则AB =（）A. {1,2,4}B. {}1,2,4,6,8C. {2,4,8}D. {}1,2,4,8【答案】D 【解析】【分析】解一元一次不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】由{|14}B x x =<，可知{}1,2,4,8A B ⋂=. 故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.3.若变量x y ，满足约束条件2101010x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩，则=2z x y -的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此求得z 的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y -=到可行域边界()2,1B -时，目标函数z 取得最大值为()2214-⨯-=. 故选：B[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082707456/EXPL ANA TION/982d80f2f2de400eb995bb75a5dce055.png]【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为（） [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082715648/STEM /739a4f8d0bff4af5a7ec8dffa30bcf36.png]A. 20πB. 21πC. 22πD. 23π【答案】A 【解析】【分析】根据三视图判断出原图的结构，由此求得原图的体积.【详解】由三视图知，该几何体是由38个半径为2的球和1个底面半径为2、高为4的圆柱组合而成.其体积为23342422083πππ⨯⨯+⨯⨯=. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图求体积，属于基础题.5.如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（） [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003111653376/2445331454345216/STEM /65cc0b9e0b754895abe2ba74b410e80c.png]A. 该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C. 该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元【答案】D 【解析】【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.6.已知α22sin αα=，则cos2α等于（） A.23B.29C. 13-D. 49-【分析】22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可.【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=，所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.7.已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（）A.2B.C. D. 【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理可得227a b ab +-=，结合2=1a b +可得a ，b ，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得2272cos a b ab C =+-=22a b ab +-，由22721a b ab a b ⎧=+-⎨=+⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以，11sin 2322ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.8.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，23()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（）A. (,1)-∞-B. (1,)-+∞C. (,2)-∞-D. (2,)-+∞【分析】由定义在R 上的奇函数的性质，可得(0)0f =，求出1a =，于是可得()f x 在0x ≥时的解析式23()log (1)(0)x f x x x =+≥+，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，再由()f x 为定义在R 上的奇函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，利用函数单调性即可解决．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，解得1a =，所以，当0x ≥时，32()log (1)f x x x =++．当[0,)x ∈+∞时，函数3log (1)y x =+和2yx 在[0,)x ∈+∞上都是增函数，所以()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增，由奇函数的性质可知，()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故()(34)5(34)2f x f x f +>-⇔+>-，即有342x +>-，解得2x >-．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的转化能力，属于中档题．9.已知双曲线2213y C x -=：的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，则1211PF PF +的取值范围为（） A. 41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (0,2]C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】设P 在右支，21PF ，利用双曲线的定义化简1211PF PF +，根据2PF 的取值范围，求得1211PF PF +的取值范围.【详解】不妨设点P 在右支上.所以21PF ，所以12221111141233PF PF PF PF +=++=+，故1211PF PF +的取值范围为40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10.已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（） A. 6π B.4π C.3π D.12π【答案】C 【解析】【分析】cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 【详解】∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.11.已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A. 1y x =+或1y x =-- B. 1122y x =+或1122y x =-- C. 22y x =+或22y x =--D. 22y x =-+【答案】A 【解析】【分析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切，易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，，则直线AM 的方程为(1)y x .[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003111653376/2445331454517248/EXPL ANA TION/e914bc848b324cd5ba782914783ac2be.png] 故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12.已知函数()f x 满足当0x 时，(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（）A. (5,)+∞B. (2,4)C. (3,5)D. (3,4)【答案】C 【解析】【分析】根据周期性和对称性，作出函数()f x 在(,0]-∞上的图象关于原点对称的图象，根据题意得到函数()log a f x x =的图象与所作的图象有3个交点，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的图象关于原点对称的图象，如图所示.若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对.则函数()log a f x x =的图象与所作的图象有3个交点，所以1log 31log 51a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得35a <<.[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082871296/EXPL ANA TION/d21c78063fde4ea08aedc9f50a97e136.png] 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的周期性、图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小題5分，共20分.13.已知(1,1),2,a b a b =-=⊥，则b =___________.【答案】(1,1)或(1,1)-- 【解析】【分析】设出b 的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得b .【详解】设(,)b x y =，有202x x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩ 或11x y =-⎧⎨=-⎩. 故(1,1)或(1,1)--故答案：(1,1)或(1,1)--【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为___________. 【答案】16【解析】【分析】先求得基本事件的总数，由此求得每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率. 【详解】设三张贺卡编号为1,2,3，则每个同学从中抽取一张，基本事件为123,132,213,231,312,321，故共有6个基本事件，每个同学抽到的都是自己写的贺卡的事件有1种，故每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为16. 故答案为：16【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.15.半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】画出图像，设出底面边长和高，求得底面正三角形的外接圆半径2O A ，利用球的半径列方程，求得底面边长和高的关系式，求得正三棱柱的侧面积的表达式，利用基本不等式求得其最大值.【详解】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，.底面边长与高分别为,x h ，则2O A x =， [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082920448/EXPL ANA TION/7a94ecddaa4e4eafb3f3c11f331a94d3.png]在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，.3S xh =，()222222221291212124322xx S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭，当且仅当x =此时正三棱柱的侧面积的最大值为S =故答案为：【点睛】本小题主要考查球的内接几何体侧面积的有关计算，考查最值的求法，属于中档题.16.已知函数()2()(ln 1)1f x ax x ax x =----，若()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(12)，【解析】【分析】首先利用导数判断出21ln 1x x +>+，由此化简不等式()0f x <，分离常数a 得到2ln 11x x a x x++<<，由此分别利用基本不等式和导数求得21x x+的最小值与ln 1x x +的最大值，由此求得a 的取值范围.【详解】()f x 定义域为()0,∞+，构造函数()()2ln 0g x x x x =->，())2'111212x g x x x xx+--=-==，由于0x >，令()'0g x =解得x =，所以0,2x⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 递减， 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()gx 递增，所以()g x 在()0,∞+上的极小值也即是最小值为111ln ln 2022222g ⎛⎫=-=+> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2ln 0g x x x =->，也即当0x >时，22ln 1ln 1x x x x >⇒+>+. 所以由()2()(ln 1)10f x ax x ax x =----<，得2ln 11x ax x +<<+，可得2ln 11x x a x x++<<，其中221222x x xxx+==. 令ln 1()x h x x +=，'221(ln 1)ln ()x x h x x x -+==-.可得函数()h x 的增区间为(0,1).减区间为(1,)+∞，可得()(1)1h x h =.即ln 11x x+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2)故答案为：(12)，【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O . [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082961408/STEM /683e78a8bec542899c7f2675f6f504f4.png] （1）求证：AC ⊥平面11BB D D ；（2）求点A 到平面OBD 的距离.【答案】（1）见解析；（2 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据直棱柱的性质得到1AC DD ⊥，由此证得AC ⊥平面11BB D D .（2）利用等体积法，由O ABD A OBD V V --=列方程，解方程求得点A 到平面OBD 的距离. 【详解】(1)证明：60AB AD BD BAD ︒==∴∠=，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .1AC DD ∴⊥11,,AC BD AC DD BD DD D ⊥⊥⋂=.∴AC ⊥平面11BB D D(2)设点A 到平面OBD 的距离为h ，1112323O ABD V -=⨯⨯⨯=22OD OB BD ====，12OBD S ∆==132A OBD V h -=⨯有13=，解得7h =.故点A 到平面OBD 的距离为7. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查点面距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下： [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702083026944/STEM /cbc746b152cb41dfa4e0b82ca081e919.png]（1）求a b ，的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（2）求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)【答案】（1）0.01a =，5b =，乙公司的影响度高；（2）36.75 【解析】【分析】（1）根据频率之和为1求得a ，根据频数之和为40求得b .分别求得甲、乙公司导游的优秀率，由此判断出乙公司的影响度高.（2）结合频率分布直方图，求得甲公司一年内导游旅游总收入的中位数.利用平均数的计算方法，计算出乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.【详解】(1)由直方图知(0.020.0250.0352)101a +++⨯=,可得0.01a =，由频数分布表知22010340b ++++=，可得5b =，甲公司的导游优秀率为(0.020.01)10100%30%+⨯⨯=，乙公司的导游优秀率为13100%32.5%40⨯=，由于30%32.5%<，所以乙公司的影响度高.(2)甲一年内导游旅游总收人的中位数为：0.50.10.253034.290.035--+≈；乙一年内导游旅游总收入的平均数为2520103152535455536.754040404040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图、频数分布表的阅读与分析，考查中位数、平均数的计算，属于基础题.19.已知数列{}n a ，{}n b 满足1111113,1,22,1n n n n n n n n a b a a b b a a b b ++++==-=--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T .【答案】（1）11222222nn n n n n a b =++=--；（2）2132244n n n S n +=-++；2132244n n n T n +=---【解析】【分析】（1）11)2(n n n n a b b a +++=+，114a b +=，可得{}n n a b +为公比为2的等比数列，111n n n n a a b b ++=--+可得{}n n a b -为公差为1的等差数列，再算出{}n n a b +，{}n n a b -的通项公式，解方程组即可；（2）利用分组求和法解决. 【详解】（1）依题意有()111121n n n n n n n n a b a b a b a b ++++⎧+=+⎨-=-+⎩又111142a b a b +=-=；.可得数列{}n n a b +为公比为2的等比数列，{}n n a b -为公差为1的等差数列，由()()111112(1)n n n n n a b a b a b a b n -⎧+=+⨯⎪⎨-=-+-⎪⎩，得121n n n n n a b a b n +⎧+=⎨-=+⎩解得12221222nn n n n a n a ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩故数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为11222222nn n n n n a b =++=--；. （2）()21212(1)322124244n n nn n n n S n+-+=++=-++-， ()21212(1)322124244n n n n n n n T n+-+=--=----.【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.20.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F .直线2l x =：被称作为椭圆C 的一条准线.点P 在椭圆C 上(异于椭圆左、右顶点)，过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q . （1）求证：PF QF ⊥.（2）若点P 在x 轴的上方，0k ，求PQF △面积的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】【分析】（1）联立直线m 的方程和椭圆C 的方程，利用判别式列方程，求得P 点的坐标，求得Q 点的坐标，通过计算得到0FP FQ ⋅=，由此证得PF QF ⊥.（2）求得||,||FP FQ ，由此求得三角形PQF 面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形PQF 面积的最小值.【详解】(1)点F 的坐标为(1,0).联立方程2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 后整理为()222214220k x ktx t +++-= 有()()222216421220k t k t ∆=-+-=,可得2221t k =+，2222221kt kt kx k t t=-=-=-+，222212121k t t y t k k t=-+==++.可得点P 的坐标为21,k t t ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为(2,2)k t +，21211,,kk t FP tt t t +⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2)FQ k t =+.有220k t k tFP FQ t t++⋅=-+=. 故有PF QF ⊥.(2)若点P 在x 轴上方，必有1t由(1)知2222222(2)1(2)1(2)1||||(2)k t k t k t FP FQ k t +++++=+===+；2222221(21)1441(22)41)2222PQFk k kt t t kt t S FP FQ t t t+++++-+++=⋅⋅===2341312222t kt t k t t+-==+-因为0k ≥时.由(1)知k =3122PQF t S t ∆=-由函数31()1)22t f t t t=-单调递增，可得此时(1)1PQFS f =.故当1t =时，PQF ∆的面积取得最小值为1.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数2()()x f x e ax a =-∈R .（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞有两个零点，分别为12x x ，，求证：124x x +>. 【答案】（1）1y x =+；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（2）利用()()120,0f x f x ==列方程，利用换元法，求得12x x +的表达式为2(1)ln 1t tt +-，将所要证明的不等式2(1)ln 41t t t +>-转化为2(1)ln 01t t t -->+，构造函数2(1)()ln (1)1x g x x x x -=-+，利用导数证得()(1)0g x g =，由此证得124x x +>成立.【详解】(1)由()2xf x e ax '=-，有(0)1,(0)1f f '==.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+(2)不妨设210x x >>.令21(1)x t t x =>. 由122122x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩.有212221x x x e t x -⎛⎫== ⎪⎝⎭两边取对数，有212ln x x t -= 又由()()()212121212112(1)ln 11x x x x t t tx x x x x x t t +-+++==-=---若证124x x +>，只需证2(1)ln 41t t t +>-.可化为2(1)ln 01t t t -->+.令2222(1)14(1)()ln (1),()01(1)(1)x x g x x x g x x x x x x --=-=-=>+++'，可得函数()g x 单调递增.所以()(1)0g x g =. 故当1t >时，2(1)ln 01t t t -->+ 故若函数()f x 在区间(0,)+∞有两个零点，必有：124x x +>【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数证明不等式，属于中档题.22.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数.02απ≤<).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，曲线C 与直线l 其中的一个交点为A ，且点A 极径00ρ≠.极角002πθ≤<（1）求曲线C 的极坐标方程与点A 的极坐标；（2）已知直线m 的直角坐标方程为0x -=，直线m 与曲线C 相交于点B (异于原点O )，求AOB ∆的面积.【答案】（1）极坐标方程为2cos ρθ=，点A 的极坐标为1 3π⎛⎫⎪⎝⎭，（2【解析】【分析】（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；（2）只需算出A 、B 两点的极坐标，利用1|sin()|2A B A B S ρρθθ=-计算即可. 【详解】（1）曲线C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数，02απ≤<)22222(1)122cos 2cos x y x y x ρρθρθ⇔-+=⇔+=⇔=⇔=，将3πθ=代入，解得01ρ=，即曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭. （2)由（1），得点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭，由直线m 过原点且倾斜角为6π，知点B 的极坐标为6π⎫⎪⎭，11sin 2364ABO S ππ∆⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.23.已知函数()|2||4|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若函数()f x 的图象恒在直线|1|y m =-的上方，求实数m 的取值范围【答案】（1）[1,5]（2）(1,3)- 【解析】【分析】（1）零点分段法分2x ≤，24x <<，4x ≥三种情况讨论即可；（2）只需找到()f x 的最小值即可.【详解】（1）由26,2()2,2426,4x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩.若2x ≤时，()264f x x =-+≤，解得12x ≤≤；若24x <<时，()24f x =≤，解得24x <<；若4x ≥时，()264f x x =-≤，解得45x ≤≤；故不等式()4f x ≤的解集为[1,5].（2）由()|(2)(4)|2f x x x ≥---=，有|1|2m -<，得13m -<<，故实数m的取值范围为(1,3)-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.。

2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷(六)文科数学

2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}240A x x =->∣，{}015B x x =<+≤∣，则()RA B =（）A.(]2,1--B.(]2,1-C.[)1,2-D.()2,2-2.已知函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数图像（） A.关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线6x π=对称C.关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线3x π=对称3.函数()3||()2x f x x x e =-的图像大致是（）A. B. C. D.4.两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为3km ，5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与B 的距离为（）A.6kmB.C.7kmD.5.已知函数ln ()x xf x e=的极值点为0x x =，则0x 所在的区间为（） A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2D.()2,e6.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(4)f x f x +=-，且当03x ≤≤时，()2xf x -= ，则()2020f =（） A.116B.14C.4D.167.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x x =确定出来2x =，类比上述结论可得()222log 1log 1log (1)+++⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦的正值为（）A.1C.2D.48.设1ln 3a =，31log 2b =，ln312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<9.已知a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，命题:p 若222a b c +>，则ABC △为锐角三角形，命题:q 若a b >，则cos cos A B <.下列命题为真命题的是（） A.q →∧B.()p q ∨⌝C.()()p q ⌝∧⌝D.()p q ⌝∨10.平行四边形ABCD 中，3AB = ，2AD = ，60BAD ∠=︒ ，若AE AB AD λ=+，且DB AE ⊥，则λ的值为（） A.3B.4C.5D.611.将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=（）A.12-B.12C.12.已知函数32()log 2xf x b x-=++，若()1f a =，()3f a -= ，则log b a =（） A.-1B.0C.1D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数1122()log (1)log (3)f x x x =-++的单调递增区间为__________.14.函数()cos(2)sin f x x x π=+-的最大值为__________. 15.若函数ln ()x f x x=与()x ag x e b -=-的图像在1x =处有相同的切线，则a b +=__________.16.已知a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，向量(tan tan m B C =+，(tan tan 1,1)n B C =-，且m n ∥，2a =则ABC △周长的取值范围是__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知函数16()1x f x a a+=-+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若()2(1)20f a f a -+≥，求a 的取值范围. 18.（12分）已知a ，b ，c 分别为非等腰ABC △内角A ，B ，C 的对边，2222sin sin A a c b B c+-=. （1）证明：2C B =；（2）若3b =，c =，求ABC △的面积 19.（12分）已知函数22()cos 212sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，已知1()2f A =，2a b c =+，且9AB AC ⋅=，求a 的值. 20.（12分）已知向量a 在向量()1,3b =方向上的投影为2，()2a b a -⊥. （1）求向量a 与b 的夹角；（2）求2a b -的值；（3）若向量34c a b =-，d ma b =+， c d ∥，求m 的值. 21.（12分）函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示.（2）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在[]2,a -有5个零点，求a 的取值范围. 22.（12分）知函数()xx ae f x e x=-. （1）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）若0x >时，()1f x <，求a 的取值范围.文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.[)1,1-或()1,1- 14.2 15.2 16.(]4,6三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.解析：（1）由(0)0f =，解得3a =，当3a =时，1631()13331x x x f x +-=-=++，()()f x f x -=-，符合题意，故3a =.∵2()131x f x =-+，31(1,)x+∈+∞，∴()22,031x -∈-+，∴()()1,1f x ∈-，故函数()f x 的值域是()1,1-.（6分）（2）∵2()131xf x =-+在R 上递增； ∴()()222(1)20(1)212f a f a f a f a a a -+≥⇔-≥-⇔-≥-，解得1a ≤-或12a ≥， ∴实数a 的取值范围是1,1(1,)[2,0]2⎡⎫+∞-⎪⎢⎣⎭.（10分）18.解析：（1）由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=， ∴2sin 2cos 2sin cos sin sin A ac B A BB c C==， ∴sin 2sin B C =，2B C =或2B C π=-，由2B C π=-得A B =，不符合条件，∴2C B =.（6分）（2）由（1sin sinsin 2sin cos B BC B B==，∴2cosB ==，解得1a =或3（舍），∴112ABC S =⨯⨯=△.（12分）19.解析：（1）1()2cos 2sin 2226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+得()36k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（5分）（2）由1()2f A =得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22666A ππππ<+<+，∴5266A ππ+=，∴3A π=，∵9AB AC ⋅=，∴cos 9bc A =，∴18bc =，由余弦定理得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，∴224318a a =-⨯，∴a =.（12分） 20.解析：（1）由已知得2||a bb ⋅=，∴4a b ⋅=， ∵(2)a b a -⊥，∴(2)0a b a -⋅=，∴28a =，||22a =. 设向量a 与b 的夹角为，则2cos ||||b a b a θ⋅==⨯，∴4πθ=.（6分）（2）22|2|4432a b a a b b -=-⋅+=-=（9分）（3）∵c d ∥，∴c d λ=，∴34()a b ma b λ-=+，∴34m λλ=⎧⎨-=⎩，解得34m =-.（12分）21.解析：（1）由图可得22T πω==，∴ωπ=，∴sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∵||ϕπ<，∴32ππϕ+=，∴6πϕ=，∴()sin 6f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（6分）（2）∵[2,]x a ∈-，∴2, 666x a ππππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，由题意结合函数sin y x =的图像可得346a ππππ≤+<，∴172366a ≤<.（12分） 22.解析：（1）()22()x e x ax a f x x-+-'=，令20x ax a -+-=，当0∆≤，即04a ≤≤时，()0f x '≤ ，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a <时，0∆>，20x ax a -+-=的两根为1x =，2x =，∵210x x <<，∴()f x 在()10,x 上递增，在()1,x +∞上递减；当4a >时，0∆>，210x x <<，∴()f x 在()20,x ，()1,x +∞上递减，在()21,x x 上递增.（6分）（2）由已知可得x xxe xa e +<在()0,+∞上恒成立，令()x x xe xg x e +=，则()()()211()x x x x x x x x xe e e xe x e e x g x e e ++-+-+'==，令()1xh x e x -=+，则()10xh x e '=->，∴()(0)2h x h >=，∴()0g x '>，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，∴()(0)0g x g >=，∴0a ≤.（12分）。

2021届高三新高考数学模拟(六)试卷

干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其
相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……
癸巳；……，共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽. 2020 年是“干支纪年
法”中的庚子年，那么 2086 年出生的孩子属相为（）
且b−a 1
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 某市举办了一次主题为“厉害了，我的国”的知识竞赛活动，为准备这次竞赛活动，
对甲乙两个代表队的 5 次预选赛的成绩（单位：分）进行了统计，结果如下：
代表队第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
92
96
98
95
94
乙
94
95
97
C.
圆 O1 : x2 + y2 − 2x = 0 和圆 O2 : x2
+
y2
− 4y = 0 公共弦长为 2 5 5
D. 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强
8. 在日常生活中，石子是我们经常见到的材料. 现有一棱长均为 3 的正四棱锥 S − ABCD
石料的顶角和底面一个角损坏，某雕刻师计划用一平行于底面 ABCD 的截面截四棱锥
符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9. 某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、
生物、政治、历史、地理 6 门学科中任选 3 门进行学习. 现有甲、乙、丙三人，若同学
甲必选物理，则下列结论正确的是（）
A. 甲的不同的选法种数为 10

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2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（六）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|02A xx⎧⎫=>⎨-⎩⎭∈⎬N，则集合UA的子集的个数为（）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】分析】通过解不等式12x>-，得到集合A，进而得出{0,1,2}UA=.因为集合中有3个元素，故其子集个数为32个.【详解】由102x >-得2x >，则{}|2A x x =∈>N {}{}20,1,2U A x x ∴=∈≤=N ，则UA 的子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，若412a ii+-∈R ，则实数a 的值是（） A. 2- B. –1C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算，求出复数.因为该复数是实数，所以令其虚部为零，求出a 的值. 【详解】4(4)(12)82412(12)(12)55a i a i i a a i i i i +++-+==+--+，且412a ii+-∈R ， 240a ∴+=，即2a =-.故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的分类知识，属于基础题.3.用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况，规定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，根据随机生成的10组三位数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337，则预计未来三天仅有一天降雨的概率为（） A.12B.13C.49D.25【答案】D 【解析】【分析】从所给的随机三位数中找出有且仅有一个13之间的数字的三位数，即表示未来三天仅有一天降雨.据古典概型的计算公式，即可得出结果.【详解】题中规定：1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，在10组三位随机数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337中， 439 918 288 374这4组随机数仅含有一个13的数，即表示未来三天仅有一天降雨，根据古典概型的概率计算公式可知，其概率42105p ==. 故选：D.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.4.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若342332,32S a S a =-=-，则首项1a =（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】将已知两式相减，可得出434a a =，则该等比数列的公比为4q =，再将用1a 和q 来表示2332S a =-，即可解得1a 的值.【详解】由34233232S a S a =-⎧⎨=-⎩得3433a a a =-，即434a a =，则该等比数列的公比为4q =，2332S a =-21113()2a a q a q ∴+=-，即1115162a a =-，12a ∴=.故选：B.【点睛】本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的关键.属于基础题.5.已知0,,cos22sin 212πααα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.12B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简，结合(0,)2πα∈可得cos 2sin αα=，再利用平方关系，即可求出sin α.【详解】cos22sin 21αα=-，即cos212sin 2αα+=，∴由二倍角公式可得22cos 4sin cos ααα=，(0,)2πα∈，cos 0α∴>，则cos 2sin αα=又22sin cos 1αα+=，且sin 0α>5sin α∴=. 故选：C.【点睛】本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，属于基础题.6.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（）（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】B 【解析】【分析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的43倍，故折线长度构成一个以43为公比的等比数列，写出其通项公式4()3nn a a =⋅，则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，只需求解不等式4()1003n n a a =>，即可得解. 【详解】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ，由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列，4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.7.已知α，β为两个不同平面，m ，n 为两条不同直线，则下列说法不正确的是（） A. 若m α⊥，n α⊥，则//m n B. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αC. 若m α⊥，m β⊥，则//αβD. 若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥【答案】B 【解析】【分析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行逐一判断，即可得解. 【详解】对于A ，m α⊥，n α⊥，根据线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两直线平行，选项A 正确；对于B ， m α⊥，m n ⊥，根据线面垂直的定义以及线面平行的判定定理可知n ⊂α或//n α，故选项B 错误；对于C ， m α⊥，m β⊥，根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理可得//αβ，故选项C 正确；对于D ，由m α⊥和αβ⊥可知//m β或m β⊂，又n β⊥，则由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知，m n ⊥，故选项D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，属于基础题.8.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且点(),n n a S 在直线3210x y --=上，则43S S =（） A.157B.4013C.112D. 3【答案】B 【解析】【分析】由题得3210n n a S --=，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，求出13(2n n a a n -=≥且)n N *∈，11a =，从而判断出数列{}n a 是等比数列.再利用等比数列的求和公式，即可求出比值. 【详解】点(),n n a S 在直线3210x y --=上，3210n n a S ∴--=，当2n ≥时，113210n n a S ----=，两式相减，得：13(2n n a a n -=≥且)n N *∈，又当1n =时，113210a S --=，则11a =，{}n a ∴是首项为1，公比为3的等比数列，1(13)31132n n n S ⨯--==-， 443331403113S S -∴==-. 故选：B.【点睛】本题考查了数列中由n S 与n a 的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，属于中档题.9.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则a =（） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，可在圆上任取一点()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-，与椭圆方程联立，利用0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理可求得实数a 的值.【详解】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为(，该点在圆226x y +=上，所以，226a +=，解得2a =；当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为1k 、2k ，设两切线的交点坐标为()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-，联立()002212y kx y kx x y a a⎧=+-⎪⎨+=⎪+⎩，消去y 得()()()()()()2220000222220a k a x k a y kx x a y kx a a ⎡⎤++++-++--+=⎣⎦，()()()()()()2222200004242220k a y kx a k a a y kx a a ⎡⎤⎡⎤∆=+--++⋅+--+=⎣⎦⎣⎦，化简得()2220000220k a x kx y a y ⎡⎤+-++-=⎣⎦，由韦达定理得()2122012a y k k a x -==-+-，整理得()220022240a x y a +-+=-=，解得2a =. 综上所述，2a =. 故选：B.【点睛】本题考查利用椭圆两切线垂直求参数，考查分类讨论思想以及方程思想的应用，属于中等题. 10.已知正数a 、b 满足1410a b a b+++=，则+a b 的最大值是（） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】【分析】将+a b 当作整体，在原式的两边同时乘以+a b ，使14a b+这一部分配凑基本不等式的条件，从而得到一个关于+a b 的二次不等式，求解即可.【详解】由1410a b a b +++=，得14()()10()a b a b a b a b++++=+，24()()a b a b a b a b ++∴+++24()5b aa b a b=++++ 10()a b =+，210()()5a b a b ∴+-+-4b a a b =+4≥= 当且仅当4b a a b=，即2b a =时，等号成立， 2()10()90a b a b ∴+-++≤，则19a b ≤+≤.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式，将+a b 看成一个整体，是本题的关键，属于中档题.11.双曲线221313y x -=的上、下焦点为1F 、2F ，P 是双曲线上位于第一象限的点，4OP =，直线1PF 交x轴于点Q ，则2PQF 的内切圆半径为（）A.B. 2C. 3D.【答案】A 【解析】【分析】分析出122F PF π∠=，并设1F P m =，可得出2F P m =+PQ t =，利用切线长定理可求得2PF Q △的内切圆半径.【详解】易知，双曲线221313y x -=的上焦点为()10,4F 、()20,4F -，又124OP OF OF ===，122F PF π∴∠=，设1F P m =，则223F P m =+PQ t =，则211F Q FQ F P PQ m t ==+=+，设2PF Q △的内切圆与边PQ 、2PF 、2F Q 切于点M 、N 、Q ，由切线长定理得PM PN =，22F N F D =，MQ DQ =，2MPN π∠=，2EN PF ⊥，EM PQ ⊥，且EM EN =，则四边形PMEN 为正方形，所以，(()2223232PF PQ F Q m t m t PM +-=++-+==，则3PM =，因此，2PF Q △3故选：A.【点睛】本题考查双曲线中三角形内切圆半径的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()f x 满足()()2f x f x =，当[1,2)x ∈时，()ln f x x =，则函数()()0y f x ax a =->在)4[1x ∈,上的零点个数()g a 的值域为（）A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D. {0,1,2,3,4}【答案】B 【解析】【分析】先由求出[2,4)x ∈时，()ln2xf x =.再将函数()()0y f x ax a =->的零点问题，转化为函数()y f x =的图象与直线(0)y ax a =>的公共点的问题，利用数形结合思想，即可判断出公共点个数，求出函数()g a ，从而求出()g a 的值域.【详解】由()()2f x f x =知()()2x f x f =，设[2,4)x ∈，则[1,2)2x∈，则()()ln 22x xf x f ==，ln ,[1,2)()ln ,[2,4)2x x f x x x ∈⎧⎪∴=⎨∈⎪⎩，令()()0y f x ax a =->=0，即()f x ax =，∴函数()()0y f x ax a =->的零点个数，即为函数()f x 与直线(0)y ax a =>的交点个数，若(0)y ax a =>与函数()ln ,[1,2)f x x x =∈的图象相切，设切点为11(,ln )M x x ，则切线斜率1111ln 1x k x x ==， 1[1,2)x e ∴=∉，故不能相切，若(0)y ax a => 与函数()ln,[2,4)2xf x x =∈的图象相切，设切点为22(,ln )2x N x ，则切线斜率2222ln 2122x k x x =⋅=，22[2,4)x e ∴=∉，故也不能相切，又(2,ln 2)A ，(4,ln 2)B ，则ln 22OA k =，ln 24OB k =， ln 20,2ln 2ln 2()1,42ln 22,04a g a a a ⎧≥⎪⎪⎪∴=≤<⎨⎪⎪<<⎪⎩，则()g a 的值域为{0,1,2}.故选：B.【点睛】本题考查了代入法求函数的解析式，函数的零点个数，考查了转化思想和数形结合思想，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3 【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为__________.【答案】34 【解析】【分析】对*21(1,)nn n a a n N --=+-∈分奇偶进行讨论，得出数列21{}n a -是常数列，数列2{}n a 是公差为2的等差数列，然后用分组求和法，即可求解. 【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴当n 为奇数时，21210n n a a +--=，则数列21{}n a -是常数列，2112n a a -==；当n 为偶数时，2222n n a a +-=，则数列2{}n a 是以23a =为首项，2的等差数列，129139248()()a a a a a a a a a ∴+++=+++++++4325(342)2⨯=⨯+⨯+⨯ 34=.故答案为：34.【点睛】本题考查了数列递推求通项，等差数列的判定，分组求和法，等差数列的求和公式.考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形， SA ⊥面ABC ， 2SA =,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是_____________ .【答案】283π【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球∵ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴ABC ∆的外接圆半径r =，设球的半径为R ，因为SA ⊥面ABC ， 2SA =, 所以222284243R r =+=， ∴外接球的表面积为22843R ππ=，故答案为283π点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()()31f f a f a -⎡⎤⎣⎦=的实数a 的取值集合为__________. 【答案】2{|3a a 或2log 3}a = 【解析】【分析】由31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩知，当1a <时，()2f a <，当1a ≥时，()2f a ≥.令()t f a =，对t 进行分类讨论，结合分段函数解析式，求出t 的值，再进一步求出a . 【详解】当1a <时，()312f a a =-<，当1a ≥时，()2f a ≥ 令()t f a =，若1t <，()31f t t =-，与已知解析式相符，311a ∴-<，即23<a ；若1t ≥，则()2tf t = 由231t t =-，得1t =或3，当1t =时，()311t f a a ==-=，23a =；当3t =时，()23at f a ===，2log 3a =. 故答案为：2{|3a a或2log 3}a =. 【点睛】本题考查了求分段函数的自变量的问题，考查了分类讨论思想，注意解题过程中分类讨论标准的适当选取，做到不重不漏.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.17.若ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且224()si sin n sin sin sin 3A B C B C -=-. （1）求cos A ；（2）若ABC A 的角平分线AD 长的最大值.【答案】（1）13；（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式化角为边，再由余弦定理求出cos A ；（2）由（1）的结论1cos 3A =及ABC sin A =和4bc =.再由二倍角公式求出cos23A =.将ABC 拆分成两个三角形ABD △和ACD ，利用面积相等，求出AD ，再利用基本不等式求出其最大值.【详解】解：（1）由正弦定理sin sin sin A B Ca b c ==，及224()si sinn sin sin sin 3A B C B C -=-，可得224()3b c a bc -=-，即22223b c a bc +-=，∴由余弦定理得：2221cos 23b c a A bc +-==；（2）由1cos 3A =，得sin A =， cos23A ==， 1sin 23S ABC bc A ==，则4bc =，由ABCABDACDS SS=+得111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 2cos2cos 22A Abc bc A AD b c ∴=≤==+，当且仅当2b c ==时，等号成立，即max AD =. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，基本不等式的应用，属于中档题.18.如图，正方体ABCD A B C D '''-'的棱长为4，点E 、F 为棱CD 、B C ''的中点.（1）求证：//CF 平面B ED ''；（2）求点D '到平面ACF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【解析】【分析】（1）取C D ''的中点M ，连接CM 、FM ，证明出平面//CFM 平面B ED ''，利用面面平行的性质可证明出//CF 平面B ED ''；（2）取A B ''的中点N ，连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N '，证明出F 、N 、A 、C 四点共面，利用等体积法计算出点D 到平面ANF 的距离，即为所求. 【详解】（1）取C D ''的中点M ，连接CM 、FM ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，//CD C D ''且CD C D ''=，E 、M 分别为CD 、C D ''的中点，//CE D M '∴且CE D M '=，∴四边形CED M '为平行四边形，//CM D E '∴，CM ⊄平面B ED ''，D E '⊂平面B ED ''，//CM ∴平面B ED ''，F 、M 分别为B C ''、C D ''的中点，//FM B D ''∴，FM ⊄平面B ED ''，B D ''⊂平面B ED ''，//FM ∴平面B ED ''， CMFM M =，∴平面//CFM 平面B ED ''，CF ⊂平面CFM ，//CF ∴平面B ED ''；（2）取A B ''的中点N ，连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N '，N 、F 分别为A B ''、B C ''的中点，//FN A C ''∴，在正方体ABCD A B C D ''''-中，//AA CC ''且AA CC ''=，所以，四边形AA C C ''是平行四边形，//A C AC ''∴，//FN AC ∴，F ∴、N 、A 、C 四点共面，FND '的面积为221142422622FND A B C D A D N C D F B NFS SSS S''''''''''=---=-⨯⨯⨯-⨯=， AA '⊥平面A B C D ''''，∴三棱锥A D NF '-的体积为1164833A D NF D NF V S AA ''-'=⋅=⨯⨯=.由勾股定理得22224225AN AA A N ''=+=+=1222FN A C ''==226A F AA A F '''=+=.在ANF 中，22210cos 210AN NF AF ANF AN NF +-∠==-⋅， 2310sin 1cos 10ANF ANF ∴∠=-∠=， ANF ∴的面积为11310sin 2522622ANFSAN NF ANF =⋅∠=⨯=，设点D 到平面ACF 的距离为h ，由D ANF A D NF V V ''--=，即116833ANFS h h ⋅=⨯⨯=，解得4h =. 因此，点D 到平面ACF 的距离为4.【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力与推理能力，属于中等题.19.某连锁餐厅新店开业，打算举办一次食品交易会，招待新老顾客试吃.项目经理通过查阅最近5次食品交易会参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量y （袋），得到如下统计表：（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+；（2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有13万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）.参考公式：()()()112221ˆn niii ii i nniii x x y y x y nx ybxnxx x ===---==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：511343i ii x y==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑.【答案】（1） 2.51y x =-；（2）餐厅应该购买31袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为9920元. 【解析】【分析】（1）计算出x 、y 的值，利用题中的数据结合最小二乘法公式求出b 和a 的值，即可得出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+；（2）由（1）中求出的线性回归方程计算13x =时y 的值，再根据题意计算对应的利润值，比较大小即可．【详解】（1）由表格中的数据可得1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.4252.5558510.45i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-，因此，y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-；（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当13x =时， 2.513131.5y =⨯-=，即预计需要原材料31.5袋.40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩，当31t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+.当30t =时，30030209020L =⨯+=；当31t =时，70031380319920L =⨯-⨯=；当32t =时，70031.5380329890L =⨯-⨯=.综上所述，餐厅应该购买31袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为9920元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了利润计算问题，是中档题．20.已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的中点E 的横坐标为32，5AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知点()1,2D ，过点()4,0作直线l 交抛物线于M 、N 两点，求DM DN ⋅的最大值，并求DM DN ⋅取得最大值时直线l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）当直线l 的方程为40x y +-=时，DM DN ⋅取最大值1.【解析】分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得出12322x x +=，利用焦点弦长公式可求得p 的值，进而可得出抛物线C 的方程；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，设直线l 的方程为4x my =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积公式将DM DN ⋅表示为以m 为自变量的函数，利用二次函数的基本性质可求得DM DN ⋅的最大值及其对应的直线l 的方程.【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于线段AB 的中点E 的横坐标为32，则12322x x +=，由抛物线的焦点弦长公式得1235AB x x p p =++=+=，解得2p =. 因此，抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，设直线l 的方程为4x my =+，联立244y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去x 并整理得24160y my --=.由韦达定理得344y y m +=，3416y y =-.()()()()333333,1,21,23,2DM x y x y my y =-=--=+-，同理可得()443,2DN my y =+-，()()()()()()()234343434332213213DM DN my my y y m y y m y y ⋅=+++--=++-++()()()22216143213483411m m m m m m =-++-+=---=-++.当1m =-时，DM DN ⋅取最大值1，此时，直线l 的方程为40x y +-=.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中平面向量数量积的最值的求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()xf x ae x =-有两个零点1x 、2x .（1）求实数a 的取值范围;（2）若213x x ≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）⎛ ⎝⎦. 【解析】【分析】（1）由()0f x =得xx a e =，构造函数()x xg x e=，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，作出函数()y g x =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围；（2）由题意推导出1201x x <<<，分1103x <≤和1113x ≤<两种情况讨论，结合213x x ≥以及函数()y g x =的单调性得出1x 的取值范围，再由()1a g x =以及函数()y g x =的单调性可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()x f x ae x =-，令()0f x =，可得xxa e =，构造函数()x xg x e=，则直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点. ()1xxg x e -'=，令()0g x '=，得1x =，列表如下： x(),1-∞1()1,+∞()g x ' +-()g x极大值所以，函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，且在1x =处取得极大值()11g e=.当0x <时，()0x x g x e =<；当0x >时，()0x g x x e=>，如下图所示：如上图可知，当10a e<<时，直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点，因此，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知1>0x ，20x >，且()()12g x g x =，2113x x x ≥>，1201x x ∴<<<.①若1103x <≤，则21130x x >≥>，合乎题意； ②若1113x <<，则131x >，2131x x ≥>且函数()x x g x e=的单调递减区间为()1,+∞， ()()213g x g x ∴≤，即()()113g x g x ≤，即111133x x x x e e ≤，解得1ln 32x ≤，此时11ln 332x <≤. 综上所述，1x 的取值范围是ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.函数()x x g x e =在区间ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，()()1ln 302g g x g ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭，即306a <≤.因此，实数a 的取值范围是30,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数以及函数不等式求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于难题.（二）选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭；设()22Q ,ρθ，则由2sin 333{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭；所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.如图，AB 是半圆的直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB 、C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x 、y 表示线段OD ，CD 的长度：（2）若0a >，0b >，2a b +=，求44a b +的最小值.【答案】（1）2x y OD +=，222x y CD +=（2）2 【解析】【分析】（1）AB 为直径，AB x y =+，OD 为半径，则2x y OD +=.Rt OCD △中，利用勾股定理，可求出222x y CD +=（2）Rt OCD △中CD OD ≥2222++x y x y ，即可得222()122a b a b ++≥=.再令22,x a y b ==，2212a b +≥≥，由此解得442a b +≥. 【详解】解：（1）直径AB x y =+，则半径2x y OD +=，在Rt OCD △中，CD ===即CD = （2）由（1）知，CD OD ≥，2+x y ，当且仅当x y =时，等号成立， 222()122a b a b ++∴≥=，令22,x a y b ==2212a b +≥≥ 442a b ∴+≥（当且仅当1a b ==时，等号成立）， 44a b ∴+的最小值为2.【点睛】本题考查了勾股定理，基本不等式的变形应用，考查了转化的思想，属于中档题.。