线性方程组的迭代法及程序实现

线性方程组的迭代法及程序实现

学校代码:11517 学号:200810111217 HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING 毕业论文

题目线性方程组的迭代法及程序实现

学生姓名

专业班级

学号

系 (部)数理科学系

指导教师职称

完成时间 2012年5月20日河南工程学院

毕业设计(论文)任务书

题目:线性方程组的迭代法及程序实现专业:信息与计算科学学号 : 姓名一、主要内容:

通过本课题的研究,学会如何运用有限元方法来解决线性代数方程组问题,特别是Gaussie-Seidel迭代法和Jacobi迭代法来求解线性方程组。进一步学会迭代方法的数学思想,并对程序代码进行解析与改进,这对于我们以后学习和研究实际问题具有重要的意义。本课题运用所学的数学专业知识来研究,有助于我们进一步掌握大学数学方面的知识,特别是迭代方法。通过这个课题的研究,我进一步掌握了迭代方法的思想,以及程序的解析与改进,对于今后类似实际问题的解决具有重要的意义。

二、基本要求:

学会编写规范论文,独立自主完成。

运用所学知识发现问题并分析、解决。

3.通过对相关资料的收集、整理,最终形成一篇具有自己观点的学术论文,以期能对线性方程组迭代法的研究发展有一定的实践指导意义。

4.在毕业论文工作中强化英语、计算机应用能力。

完成期限: 2012年月指导教师签名:专业负责人签名:

年月日

目录

中文摘要....................................................................................Ⅰ英文摘要 (Ⅱ)

1 综述 1

2 经典迭代法概述

3 2.1 Jacobi迭代法 3 2.2 Gauss?Seidel迭代法

4 2.3 SOR(successive over relaxation)迭代法 4 2.4 SSOR迭代法

5 2.5 收敛性分析5 2.

6 数值试验 6

3 matlab实现的两个例题8 3.1 例1 迭代法的收敛速度8 3.2 例 2 SOR迭代法松弛因子的选取 12致谢16参考文献17附录19

线性方程组的迭代法及程序实现

摘要线性代数方程组的迭代方法是一种极限方法是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法。它的基本思想是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解,是一种逐步逼近的方法。迭代法将n阶线性方程组变形为某种迭代公式。对于任意给定的迭代初始值,由某一迭代格式便可生成一向量序列,我们的目的是求解方程组的解,因此我们会希望向量序列的极限逼近方程组的解。本文首先介绍了求解大型线性方程组的主要迭代算法,对一些经典迭代法Jacobi方法、Gauss?Seidel方法、SOR方法和SSOR方法进行了详细的讨论,其次着重讨论了经典迭代法的收敛性,详细总结并给出了各种迭代方法的收敛性定理,并通过举例及其Matlab程序实现进一步阐述了迭代法的收敛性。

关键字线性方程组/Jacobi迭代法/Gauss-Seidel方法/SOR方法/收敛性Iterative method and procedures

for implementation

of the linear equations

ABSTRACT The iterative method of linear algebraic equations is an extreme method is an effective method for the solution of large sparse matrix equations. The basic idea is to a certain limit process to gradually approach the exact solution of linear equations, a step-by-step approximation method. The iterative method will be iterative formula for a deformation of n linear equations. For any given iteration of the initial value, by an iterative scheme can generate a vector sequence, our aim is the solution to solving the equations, so we will want to limit

approximation the solution of equations of vector sequences. This paper first introduces the main iterative algorithm for solving large linear equations, a detailed discussion of some classical iterative method Jacobi method, Gauss-Seidel method, SOR and SSOR methods, followed focused on the classical iterative convergence of the method, summarized in detail and gives a variety of iterative methods convergence theorem, and further elaborated by example and Matlab program iterative methods.

KEYWORDS linear equations , Jacobi iterative method , Gauss-Seidel method ,the SOR method,convergence

1 综述

在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题,而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时,经离散后,常常归结为求解行如Axb的大型线性方程组。20世纪50年代至70年代,由于电子计算机的发展,人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Axb的近似解,用某种极限过程去逐渐逼近精确解,并发现了许多非常有效的迭代方法。迭代法是按照某种规则构造一个向量序列{x},使其极限向量x是Axb的精确解。因此,对迭代法来说一般有下面几个问题:(1)如何构造迭代序列?(2)构造的迭代序列是否收敛?在什么情况下收敛?(3)如果收敛,收敛的速度如何?我们应该给予量的刻划,用以比较各种迭代法收敛的快慢。(4)因为计算总是有限次的,所以总要讨论近似解的误差估计和迭代过程的中端处理问题,这又和舍入误差的分析有关。迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss-Seidel方法、SOR方法、SSOR方法,这几张迭代方法是最常