全国版高考数学必刷题：第十一单元 不等式

第十一单元 不等式考点一 不等式的性质及不等式的解法1.(2017年山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ).A.a+1b <b 2a <log 2(a+b )B.b 2a <log 2(a+b )<a+1bC.a+1b <log 2(a+b )<b 2aD.log 2(a+b )<a+1b <b 2a【解析】由题意知a>1,0<b<1,所以b 2a <1,log 2(a+b )>log 22√ab =1,2a+1b >a+1b >a+b ⇒a+1b>log 2(a+b ).故选B . 【答案】B2.(2016年北京卷)已知x ,y ∈R ,且x>y>0,则( ).A.1x -1y>0 B.sin x-sin y>0C.(12)x -(12)y <0 D.ln x+ln y>0【解析】∵x>y>0,∴1x <1y ,即1x -1y <0,故A 不正确.当x>y>0时,不能说明sin x>sin y ,如x=π,y=π2,x>y ,但sin π<sin π2,故B 不正确.∵函数y=(12)x 在R 上为减函数,且x>y>0,所以(12)x <(12)y ,即(12)x -(12)y <0,故C 正确.当x=1,y=12时,ln x+ln y<0,故D 不正确.【答案】C3.(2016年全国Ⅰ卷)设集合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A ∩B=( ).A.(-3,-32)B.(-3,32)C.(1,32)D.(32,3)【解析】因为A={x|1<x<3},B={x |x >32},所以A ∩B={x |32<x <3}=(32,3). 【答案】D4.(2016年全国Ⅲ卷)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S ∩T=( ).A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)【解析】∵S={x|x ≤2或x ≥3},T={x|x>0},∴S ∩T=(0,2]∪[3,+∞). 【答案】D考点二 简单的线性规划5.(2017年全国Ⅱ卷)设x ,y 满足约束条件{2x +3y -3≤0,2x -3y +3≥0,y +3≥0,则z=2x+y 的最小值是( ).A.-15B.-9C.1D.9【解析】由题意知目标区域如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z 过点(-6,-3)时,故所求z 取到最小值为-15.【答案】A6.(2016年山东卷)若变量x ,y 满足{x +y ≤2,2x -3y ≤9,x ≥0,则x 2+y 2的最大值是( ).A.4B.9C.10D.12【解析】由约束条件画出可行域如图(阴影部分)所示,可知x 2+y 2为可行域内的点到原点距离的平方,联立{x +y =2,2x -3y =9,解得交点为(3,-1),结合图形可知(x 2+y 2)max =(√32+(−1)2)2=10. 【答案】C7.(2016年浙江卷)在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域{x -2≤0,x +y ≥0,x -3y +4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ,则|AB|=( ). A.2√2B.4C.3√2D.6【解析】画出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.因为直线x+y=0与直线x+y-2=0平行,且直线x-3y+4=0的斜率k=13<1,所以可行域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段AB 的长度即为图中的线段EF 的长度,所以|EF|=|AB|.联立方程组{x +y =0,x -3y +4=0,解得点E 的坐标为(-1,1);联立方程组{x +y =0,x =2,解得点F 的坐标为(2,-2).所以|EF|=√(2+1)2+(−2−1)2=3√2.【答案】C8.(2017年全国Ⅰ卷)设x ,y 满足约束条件{x +2y ≤1,2x +y ≥−1,x -y ≤0,则z=3x-2y 的最小值为 .【解析】不等式组{x +2y ≤1,2x +y ≥−1,x -y ≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y ,得y=32x-z2,要求z 的最小值,即求直线y=32x-z 2的纵截距的最大值.当直线y=32x-z 2过图中点A 时,纵截距最大,由{2x +y =−1,x +2y =1,解得点A 的坐标为(-1,1),此时z=3×(-1)-2×1=-5. 【答案】-59.(2016年全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元,该企业现有甲材料 150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,由题意得,x ,y 满足的关系为 {1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0.① 目标函数z=2100x+900y.二元一次不等式组①即{3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0.②如图所示,作出二元一次不等式组②表示的平面区域(阴影部分). 将z=2100x+900y 变形,得y=-73x+z900,平移直线y=-73x ,当直线y=-73x+z900经过点M 时,z取得最大值.解方程组{10x+3y=900,5x+3y=600,得点M的坐标为(60,100).所以当x=60,y=100时,z max=2100×60+900×100=216000.【答案】216000考点三基本不等式10.(2015年陕西卷)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(√ab),q=f(a+b2),r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是().A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q【解析】由题意知,p=f(√ab)=ln√ab,q=f(a+b2)=ln(a+b2),r=12(f(a)+f(b))=12(ln a+ln b)=12ln ab=ln√ab.∵b>a>0,∴a+b2>√ab>0.又∵函数f(x)=ln x为增函数,∴p=r<q.【答案】B11.(2017年江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.【解析】一年的总运费与总存储费用之和为6×600x +4x=3600x+4x≥2√3600×4=240,当且仅当3600x=4x,即x=30时取等号.【答案】30高频考点:不等式的性质及应用;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立;解分式、指数、对数不等式;线性规划;基本不等式及其简单应用.命题特点:1.不等式的性质及应用是不等式的基础内容,主要以客观题形式呈现,难度不大.2.解一元二次不等式及分式不等式为容易题,主要以选择题、填空题出现.常与集合的交集、并集、补集结合,难度不大;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立问题是高考的热点,主要出现在综合题中,常与函数、导数联系在一起,难度较大.3.利用线性规划求目标函数的最值问题是每年高考必考内容,一般以选择题、填空题的形式出现,难度适中.利用线性规划解决实际问题也是高考的热点,试题一般是解决实际问题的最值问题,难度不大.4.对基本不等式的考查是高考热点之一,但基本不单独命题,多与其他知识综合命题.§11.1不等式性质与一元二次不等式一不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;a>b,c>d⇒a+c b+d;(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(5)可乘方:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥1);(6)可开方:a>b>0⇒√a n√b n(n∈N,n≥2).二解一元二次不等式判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)有两个相异实根x1,x2(x1<x2)有两个相等实根没有实数根的根x 1=x 2=-b 2aax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x |x ≠−b 2a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集⌀☞ 左学右考(2016皖南八校联考)已知a ,b ∈R ,下列命题正确的是( ).A.若a>b ,则|a|>|b|B.若a>b ,则1a <1bC.若|a|>b ,则a 2>b 2D.若a>|b|,则a 2>b 2已知ab>0,则“b<1a”是“a<1b”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2017资阳一诊)关于x 的不等式x 2+px-2<0的解集是(q ,1),则p+q 的值为( ).A.-2B.-1C.1D.2(2017中原名校联考)若不等式x 2-2x+5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( ).A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]知识清单一、(3) > > (4) > > (5) > (6) > 二、{x|x<x 1或x>x 2} {x|x 1<x<x 2} ⌀基础训练1.【解析】当a=1,b=-2时,选项A 、B 、C 均不正确;对于选项D ,a>|b|≥0,则a 2>b 2. 【答案】D2.【解析】由b<1a ,ab>0得ab 2<b ,又b 2>0,所以a<1b ,同理,由a<1b 可得b<1a.【答案】C3.【解析】依题意得q ,1是方程x 2+px-2=0的两根,则q+1=-p ,即p+q=-1. 【答案】B4.【解析】因为x 2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x 2-2x+5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2-3a ≤4,解得-1≤a ≤4. 【答案】A题型一 不等关系、不等式的性质及应用【例1】 (1)已知a 1,a 2∈(0,1),记M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( ).A.M<NB.M >NC.M=ND.不确定(2)(2017山东济南模拟)“x 1>3且x 2>3”是“x 1+x 2>6且x 1x 2>9”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)(2017西安八校联考)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①c a >cb;②a c<b c;③log b (a-c )>log a (b-c ).其中正确结论的序号是( ).A.①B.①②C.②③D.①②③【解析】(1)M-N=a 1a 2-(a 1+a 2-1)=a 1a 2-a 1-a 2+1=(a 1-1)(a 2-1),∵a 1,a 2∈(0,1),∴a 1-1<0,a 2-1<0,∴(a 1-1)(a 2-1)>0,即M-N>0,∴M >N.(2)x 1>3,x 2>3⇒x 1+x 2>6,x 1x 2>9;反之不成立,例如x 1=12,x 2=20,x 1+x 2=412>6,x 1x 2=10>9,但x 1<3.故“x 1>3且x 2>3”是“x 1+x 2>6且x 1x 2>9”的充分不必要条件.(3)由不等式及a>b>1知1a <1b,又c<0,所以c a >c b,①正确;由指数函数的图象与性质知②正确;由a>b>1,c<0知a-c>b-c>1-c>1,由对数函数的图象与性质知③正确.【答案】(1)B (2)A (3)D【变式训练1】(1)(2017黄冈质检)已知x>y>z ,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是( ). A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|(2)(2016贵阳期末)已知a>0,且a ≠1,m=a a2+1,n=a a+1,则( ).A.m ≥nB.m>nC.m<nD.m ≤n(3)(2017广州模拟)已知实数x ,y 满足{1≤x +y ≤3,-1≤x -y ≤1, 则4x+2y 的取值范围是 .【解析】(1)∵x>y>z ,x+y+z=0,∴3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,∴x>0,z<0. 由{x >0,y >z,可得xy>xz. (2)由题易知m>0,n>0,两式作商,得m n=a (a 2+1)−(a+1)=a a (a-1),当a>1时,a (a-1)>0,∴a a (a-1)>a 0=1,即m>n ;当0<a<1时,a (a-1)<0,∴a a (a-1)>a 0=1,即m>n.综上,对任意的a>0,且a ≠1,都有m>n. (3)令4x+2y=m (x+y )+n (x-y ),则{m +n =4,m -n =2, 解得{m =3,n =1.则4x+2y=3(x+y )+(x-y ),∵1≤x+y ≤3,∴3≤3(x+y )≤9. 又∵-1≤x-y ≤1,∴2≤3(x+y )+(x-y )≤10.∴2≤4x+2y ≤10.【答案】(1)C (2)B (3)[2,10]题型二 一元二次不等式的解法及应用【例2】(1)已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b 等于( ).A.-3B.1C.-1D.3(2)(2017惠州质检)已知不等式ax 2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式bx 2-5x+a>0的解集是( ). A.{x |-13<x <12}B.{x |-12<x <13}C.{x |x <−13或x >12}D.{x |x <−12或x >13}【解析】(1)由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A ∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.(2)由题意得方程ax 2-5x+b=0的两根分别为-3,2,于是{-3+2=--5a,-3×2=ba ⇒{a =−5,b =30,于是不等式bx 2-5x+a>0即为30x 2-5x-5>0,即(3x+1)(2x-1)>0⇒x<-13或x>12. 【答案】(1)A (2)C解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(二次项系数大于0);②确定判别式Δ的符号;③若【变式训练2】(1)不等式组{x 2-4x +3<0,2x 2-7x +6>0的解集是( ).A.(2,3)B.(1,32)∪(2,3)C.(-∞,32)∪(3,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)(2)(2017福州质检)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤12或x≥3},则f(e x)>0的解集为().A.{x|x<−ln2或x>ln 3}B.{x|ln 2<x<ln 3}C.{x|x<ln 3}D.{x|-ln 2<x<ln 3}【解析】(1)∵x2-4x+3<0,∴1<x<3.又∵2x2-7x+6>0,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x<32或x>2,∴原不等式组的解集为(1,32)∪(2,3).(2)由题意知f(x)>0的解集为{x|12<x<3},由f(e x)>0得12<e x<3,解得ln 12<x<ln 3,即-ln 2<x<ln 3.【答案】(1)B(2)D题型三解含参数的一元二次不等式【例3】(1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是().A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2](2)若0<a<1,则不等式(a-x)(x-1a)>0的解集是.(3)(2017河北张家口质检)若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是().A.(-235,+∞) B.[-235,1]C.(1,+∞)D.(-∞,235]【解析】(1)当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立;当a-2≠0时,则{a-2<0,4(a-2)2+16(a-2)<0,解得-2<a<2.故实数a的取值范围为(-2,2].(2)由题意可得原不等式为(x-a)(x-1a )<0,由0<a<1得a<1a,所以a<x<1a.(3)由Δ=a 2+8>0知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一个正根、一个负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0,解得a>-235,故a 的取值范围为(-235,+∞). 【答案】(1)D (2){x |a <x <1a} (3)A解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据:(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于【变式训练3】(1)(2017温州模拟)若不等式(x-a )(x-b )<0的解集为{x|1<x<2},则a+b 的值为( ). A.3 B.1 C.-3 D.-1(2)(2017沈阳模拟)若关于x 的二次不等式x 2+mx+1≥0的解集为R ,则实数m 的取值范围是 .【解析】(1)因为不等式(x-a )(x-b )<0的解集为{x|1<x<2}, 所以1和2为方程(x-a )(x-b )=0的两个根,则有{a =1,b =2或{a =2,b =1.所以a+b=1+2=3,即a+b 的值为3.(2)不等式x 2+mx+1≥0的解集为R ,相当于二次函数y=x 2+mx+1的最小值非负,即方程x 2+mx+1=0最多有一个实根,故Δ=m 2-4≤0,解得-2≤m ≤2.【答案】(1)A (2)[-2,2]方法 一元二次不等式的恒成立问题一元二次不等式的恒成立问题,常根据二次函数的图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.一元二次不等式的恒成立问题常常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.【突破训练】(1)若不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ).A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0](2)设函数f (x )=mx 2-mx-1(m ≠0),若对于任意x ∈[1,3],f (x )<-m+5恒成立,求m 的取值范围是 .【解析】(1)当k=0时,不等式显然成立; 当k ≠0时,要使一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则{k <0,k 2-4×2k ×(-38)<0,解得-3<k<0.综上,满足不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(-3,0].(2)要使f (x )<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx 2-mx+m-6<0,即m (x -12)2+34m-6<0在x ∈[1,3]上恒成立.令g (x )=m (x -12)2+34m-6,x ∈[1,3].当m>0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3)=7m-6<0, 所以m<67,则0<m<67;当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m-6<0, 所以m<6,即m<0.综上所述,m 的取值范围是(-∞,0)∪(0,67).【答案】(1)D (2)(-∞,0)∪(0,67)1.(2016南昌联考)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ).A .a d >b cB .a d <b cC .a c >b dD .a c <b d【解析】(法一)令a=3,b=2,c=-3,d=-2, 则a c=-1,b d=-1,排除选项C ,D ;又a d =-32,b c =-23,所以a d <b c,所以选项A 错误,故选B .(法二)因为c<d<0,所以1d <1c<0.又a>b>0,所以ad<bc.【答案】B2.(2017福建三明模拟)若集合A={x|xx-1≤0},B={x|x2<2x},则A∩B等于().A.{x|0<x<1}B.{x|0≤x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|0≤x≤1}【解析】集合A={x|xx-1≤0}={x|0≤x<1},B={x|x2<2x}={x|0<x<2},所以A∩B={x|0<x<1}.【答案】A3.(2017晋城模拟)已知a,b,c∈R,给出下列命题:①若a>b,则ac2>bc2;②若ab≠0,则a b+b a≥2;③若a>b>0,n∈N*,则a n>b n;④若log a b<0(a>0,a≠1),则(a-1)·(b-1)<0.其中真命题的个数为().A.2B.3C.4D.1【解析】当c=0时,①错;a,b异号时,②错;当x>0,n∈N*时,y=x n在(0,+∞)上单调递增,③正确;当0<a<1时,由log a b<0,得b>1,此时(a-1)(b-1)<0,当a>1时,由log a b<0,得0<b<1,此时(a-1)(b-1)<0,综上,④正确,故选A.【答案】A4.(2017年安徽合肥质检)若不等式5-x>7|x+1|与不等式ax2+bx-2>0有相同的解集,则().A.a=-8,b=-10B.a=-1,b=9C.a=-4,b=-9D.a=-1,b=2【解析】由不等式5-x>7|x+1|可知5-x>0,两边平方得(5-x)2>49(x+1)2,整理得4x2+9x+2<0,即-4x2-9x-2>0.因为两不等式的解集相同,所以可得a=-4,b=-9.【答案】C5.(2016皖南八校联考)已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式中正确的是().A.x-y>0B.x+y<0C.x-y<0D.x+y>0【解析】∵2x+3y>2-y+3-x,∴2x-3-x>2-y-3y,令f(x)=2x-3-x,则易知f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.∵f(x)>f(-y),∴x>-y,即x+y>0.【答案】D6.(2016淄博模拟)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为().A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]【解析】由x∈R,x2-2x+5≥a2-3a恒成立,先求出y=x2-2x+5的最小值,当x=1时,y min=4,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.【答案】A7.(2017广西模拟)若角α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是.【解析】∵-π2<α<β<π2,∴-π<2α<π,-π2<-β<π2,∴-3π2<2α-β<3π2.又∵2α-β=α+(α-β)<α<π2,∴-3π2<2α-β<π2.【答案】(-3π2,π2 )8.(2016枣强中学一轮检测)若关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)>0的解集为.【解析】由题意可得a=b<0,故(ax+b)(x-2)>0等价于(x+1)(x-2)<0,解得-1<x<2,故所求不等式的解集为(-1,2).【答案】(-1,2)9.(2016深圳联考)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为.【解析】由定义可知,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解得-2<x<1,所以实数x的取值范围为(-2,1).【答案】(-2,1)10.(2017北京朝阳统一考试)已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,试求函数y=f(x)x(x>0)的最小值;(2)对于∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a恒成立,试求a的取值范围.【解析】(1)依题意得y=f(x)x =x2-4x+1x=x+1x-4.因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.所以当x=1时,y=f(x)x的最小值为-2. (2)因为f (x )-a=x 2-2ax-1,所以要使得“∀x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立”,只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.不妨设g (x )=x 2-2ax-1,则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可.所以{g(0)≤0,g(2)≤0,即{0−0−1≤0,4−4a -1≤0,解得a ≥34.则a 的取值范围为[34,+∞).11.(2017广东实验中学模拟)已知0<a<b<1,则( ).A.1b >1aB.(12)a <(12)bC.(lg a )2<(lg b )2D.1lga >1lgb【解析】因为0<a<b<1,所以1b -1a =a -b ab <0,可得1b <1a ,(12)a >(12)b ,(lg a )2>(lg b )2.由lg a<lg b<0,可得1lga >1lgb. 综上可知,选项D 正确. 【答案】D12.(2016衡水二中预测)不等式x -2x 2-1<0的解集为( ).A.{x|1<x<2}B.{x|x<2且x ≠1}C.{x|-1<x<2且x ≠1}D.{x|x<-1或1<x<2} 【解析】x -2x 2-1<0⇒(x-1)(x+1)(x-2)<0⇒x<-1或1<x<2,故选D.【答案】D13.(2017河南南阳模拟)若不等式x 2+x-1<m 2x 2-mx 对任意的x ∈R 恒成立,则m 的取值范围为( ).A.(-1,53]B.(-∞,-1]∪(53,+∞)C.(-1,53)D.(-∞,53)∪(1,+∞)【解析】原不等式可化为(1-m 2)x 2+(1+m )x-1<0,若1-m 2=0,得m=1或m=-1.①当m=-1时,不等式可化为-1<0,显然不等式恒成立;②当m=1时,不等式可化为2x-1<0,解得x<12,故不等式的解集不是R ,不合题意.若当1-m 2≠0,由不等式恒成立可得{1−m 2<0,Δ=(1+m)2-4(1-m 2)×(-1)<0,解得m<-1或m>53. 综上,m 的取值范围为(-∞,-1]∪(53,+∞). 【答案】B14.(2016湖北黄冈调考)设f (x )=ax 2+bx ,若1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是 .【解析】(法一)设f (-2)=mf (-1)+nf (1)(m ,n 为待定系数), 则4a-2b=m (a-b )+n (a+b )=(m+n )a+(n-m )b , 则{m +n =4,n -m =−2, 解得{m =3,n =1,∴f (-2)=3f (-1)+f (1).又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,即5≤f (-2)≤10.(法二)由{f(-1)=a -b,f(1)=a +b, 得{a =12[f(-1)+f(1)],b =12[f(1)-f(-1)].∴f (-2)=4a-2b=3f (-1)+f (1).又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10. 【答案】[5,10]15.(2017山东青岛模拟)已知x ∈(0,+∞)时,不等式9x -m ·3x+m+1>0恒成立,则m 的取值范围是 .【解析】令t=3x(t>1),则由已知得函数f (t )=t 2-mt+m+1>0在t ∈(1,+∞)上恒成立,则m<t 2+1t -1=t+1+2t -1=t-1+2t -1+2,∵t -1+2t -1≥2√2,当且仅当t-1=2t -1,即t=√2+1时等号成立,∴m<(t 2+1t -1)min=2√2+2.【答案】(-∞,2+2√2)§11.2简单的线性规划问题一一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax+By+C>0直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域不包括Ax+By+C≥0包括不等式组各个不等式所表示平面区域的二线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x,y的函数,如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题☞ 左学右考不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( ).(2016枣强中学期末)已知变量x ,y 满足{x ≥1,y ≤2,x -y ≤0,则可行域的面积为 .设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为 .(2016年郑州第二次质量预测)已知实数x ,y 满足{2x +y ≥0,x -y ≥0,0≤x ≤a,设b=x-2y ,若b 的最小值为-2,则b 的最大值为 .知识清单一、边界直线 边界直线 公共部分二、一次 解析式 一次 (x ,y ) 集合 最大值 最小值 最大值 最小值 基础训练1.【解析】(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇒{x -2y +1≥0,x +y -3≤0或{x -2y +1≤0,x +y -3≥0.结合图形可知选C.【答案】C2.【解析】作出可行域如图(阴影部分)所示,所以可行域的面积为S=12×1×1=12.【答案】123.【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示,∵z=3x-y ,∴y=3x-z ,当该直线经过点A (2,2)时,z 取得最大值,即z max =3×2-2=4. 【答案】44.【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.由b=x-2y ,得y=12x-b 2.易知在点(a ,a )处b 取得最小值,故a-2a=-2,可得a=2.在点(2,-4)处b 取得最大值,于是b 的最大值为2+8=10. 【答案】10题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式 .(2)(2017忻州模拟)不等式组{x +y ≥2,2x -y ≤4,x -y ≥0所围成的平面区域的面积为( ).A.3√2B.6√2C.6D.3(3)已知A 为不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x ≤2 表示的平面区域,则当a 从-1连续变化到1时,动直线x+y=a 扫过A 中的区域的面积为 .【解析】(1)边界对应直线方程为x+y-1=0,且为虚线,区域中不含(0,0),由以上可知平面区域(阴影部分)满足x+y-1>0.(2)如图,不等式组所围成的平面区域为△ABC ,其中A (2,0),B (4,4),C (1,1),故所求平面区域的面积为S △ABO -S △ACO =12(2×4-2×1)=3.(3)不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x ≤2 表示的平面区域是△AOB (如图),动直线x+y=a (即y=-x+a )在y 轴上的截距从-1变化到1,动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域是阴影部分.∵△AGF ≌△BDE ,AF=1,S △AGF =12×1×12=14,S △AOB =12×2×2=2,∴阴影部分面积为2-2×14=32.【答案】(1)x+y-1>0 (2)D (3)32(1)在确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时,可用代特殊点的方法,一般选用原点.【变式训练1】(1)下面给出的四个点中,位于{x +y -1<0,x -y +1>0表示的平面区域内的点是( ).A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)(2)不等式组{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4所表示的平面区域的面积等于( ).A.32B.23C.43D.34【解析】(1)将四个点的坐标分别代入不等式组{x +y -1<0,x -y +1>0,验证可知,满足条件的只有点(0,-2).(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,解{x +3y =4,3x +y =4,得A (1,1),易得B (0,4),C (0,43),|BC|=4-43=83,∴S △ABC =12×83×1=43. 【答案】(1)C (2)C题型二 求目标函数的最值【例2】(1)(2017吉林实验中学)已知实数x ,y 满足约束条件{x +y +5≥0,x -y ≤0,y ≤0,则z=2x+4y-3的最大值是 .(2)若x ,y 满足约束条件{x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则yx的最大值为 .(3)(2016年开封模拟)设变量x ,y 满足约束条件{x -y ≤1,x +y ≥2,y ≤2,则目标函数z=x 2+y 2的取值范围为( ).A.[2,8]B.[4,13]C.[2,13]D.[52,13]【解析】(1)满足约束条件{x +y +5≥0,x -y ≤0,y ≤0的区域如图所示,目标函数z=2x+4y-3在点(0,0)处取得最大值,则z max =-3.(2)作出可行域如图中阴影部分所示, 由可行域知,在点A (1,3)处y x取得最大值3.(3)作出可行域如图中阴影部分所示,将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方,从而可得z min=|OA|2=(√1+1)2=2,z max=|OB|2=32+22=13.故z的取值范围为[2,13].【答案】(1)-3(2)3(3)C【变式训练2】(1)若x,y满足{x-y≤0,x+y≤1,x≥0,则z=x+2y的最大值为().A.0B.1C.32D.2(2)(2016厦门大学附中模拟)设变量x,y满足约束条件{x+y≤3,x-y≥−1,y≥1,则目标函数z=y+1x+1的最大值为.(3)已知实数x,y满足{x+y-1≤0,x-y+1≥0,y≥−1,则w=x2+y2-4x-4y+8的最小值为.【解析】(1)由题意作出可行域如图中阴影部分所示,当z=x+2y 经过点A (0,1)时,目标函数取得最大值,则z max =0+2×1=2.(2)作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC ),则z 的几何意义为区域内的点P 到定点D (-1,-1)的直线的斜率.由图象可知当直线过点C 时对应的斜率最小,当直线经过点A 时对应的斜率最大,由{y =1,x -y =−1,解得{x =0,y =1,即A (0,1),此时直线AD 的斜率z=1+10+1=2.(3)目标函数w=x 2+y 2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方.由实数x ,y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示,则点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又|2+2-1|2=3√22,所以w min =92.【答案】(1)D (2)2 (3)92题型三 线性规划的实际应用【例3】(1)(2016汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨;生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元,若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨,煤不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是 万元.(2)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( ).甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【解析】(1)设该企业生产甲产品x 吨,乙产品y 吨, 由题意知{x ≥0,y ≥0,3x +y ≤13,2x +3y ≤18,利润z=5x+3y ,作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线5x+3y=0并平移,易知当直线经过点(3,4)时,z 取得最大值,即生产甲产品3吨,乙产品4吨时,该企业可获得最大利润是27万元.(2)根据题意,设每天生产甲产品x 吨,乙产品y 吨,则{x ≥0,y ≥0,3x +2y ≤12,x +2y ≤8,目标函数为z=3x+4y ,作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示,作出直线3x+4y=0并平移,易知当直线经过点A (2,3)时,z 取得最大值,且z max =3×2+4×3=18,故该企业每天可获得最大利润为18万元,故选D.【答案】(1)27 (2)D解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出【变式训练3】某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个、55个,所用原料为A,B两种规格金属板,每张面积分别为2 m2,3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A,B两种规格金属板各取多少张才能完成计划,并使总的用料面积最省?【解析】设A,B两种规格金属板各取x张,y张,用料面积为z,则约束条件为{3x+6y≥45,5x+6y≥55,x,y∈N,目标函数z=2x+3y.作出不等式组所表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.将z=2x+3y变成y=-23x+z3,得斜率为-23,在y轴上截距为z3,且随z变化的一组平行直线.当直线z=2x+3y经过可行域上点M时,截距最小,即z最小,解方程组{5x+6y=55,3x+6y=45,得点M的坐标为(5,5).此时z min=2×5+3×5=25(m2).故当A,B两种规格金属板各取5张时才能完成计划,且用料面积最省.方法线性规划中的参数问题及其求解思路线性规划问题是高考的重点,也是每年高考的必考点.线性规划中的参数问题,就是已知目标函数的最值或其他限制条件,求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题.解决这类问题时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里寻求最优解,从而确定参数的值.【突破训练】(1)(2016河南六市联考)已知实数x,y满足{y≥1,y≤2x-1,x+y≤m,如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m=().A.6B.5C.4D.3(2)(2017山东济南三校联考)已知变量x ,y 满足约束条件{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z=ax+y (其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a 的取值范围为( ).A.(0,2)B.(0,12)C.(0,13)D.(13,12)【解析】(1)画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l :y=x ,平移l 可知,当直线l 经过点A 时,z=x-y 取得最小值-1,联立{y =2x -1,x -y =−1,得{x =2,y =3, 即A (2,3).又点A (2,3)在直线x+y=m 上,∴m=5,故选B.(2)约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l :ax+y=0,过点(1,1)作l 的平行线l',要满足题意,则直线l'的斜率介于直线x+2y-3=0与直线y=1的斜率之间,因此,-12<-a<0,即0<a<12.【答案】(1)B (2)B1.(2017衡水二中模拟)已知约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,kx -y ≤0表示面积为1的直角三角形区域,则实数k 的值为( ).A.1B.-1C.0D.-2【解析】先作出不等式组对应的平面区域,如图(阴影部分)所示.要使阴影部分为直角三角形,当k=0时,此三角形的面积为12×3×3=92≠1,所以不成立,所以k>0,则必有BC ⊥AB.因为x+y-4=0的斜率为-1,所以直线kx-y=0的斜率为1,所以k=1,故选A.【答案】A2.(2017江西南昌模拟)若x ,y 满足约束条件{5x +3y ≤15,y ≤x +1,x -5y ≤3,则3x+5y 的取值范围是( ).A.[-13,15]B.[-13,17]C.[-11,15]D.[-11,17]【解析】画出可行域如图中阴影部分所示.由图可知,3x+5y 在点(-2,-1)处取得最小值,在点(32,52)处取得最大值,即3x+5y ∈[-11,17].【答案】D3.(2016厦门大学附中模拟)已知x ,y 满足{y -2≤0,x +3≥0,x -y -1≤0,则x+y -6x -4的取值范围是( ).A.[0,37]B.[2,207] C.[1,137] D.[0,67]【解析】不等式组{y -2≤0,x +3≥0,x -y -1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为x+y -6x -4=x -4+y -2x -4=1+y -2x -4,而y -2x -4为区域内的点与点(4,2)连线的斜率,显然斜率的最小值为0,点(-3,-4)与点(4,2)连线的斜率最大,为-4-2-3-4=67,所以1+y -2x -4的取值范围为[1,137],故选C.【答案】C4.(2016衡水中学模拟)当变量x ,y 满足约束条件{y ≥x,x +3y ≤4,x ≥m时,z=x-3y 的最大值为8,则实数m 的值是( ).A.-4B.-3C.-2D.-1【解析】画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=x-3y 变形为y=x 3-z 3,当直线y=x 3-23过点C 时,z 取得最大值,又C (m ,m ),所以8=m-3m ,解得m=-4.【答案】A5.(2017江西八校联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A={(x ,y )|x+y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B={(x+y ,x-y )|(x ,y )∈A }的面积为( ).A.2B.1C.12D.14【解析】不等式组{x +y ≤1,x ≥0,y ≥0所表示的可行域如图①所示.设a=x+y ,b=x-y ,则此两目标函数的范围分别为a=x+y ∈[0,1],b=x-y ∈[-1,1],又a+b=2x ∈[0,2],a-b=2y ∈[0,2].则点(x+y ,x-y ),即点(a ,b )满足约束条件{0≤a ≤1-1≤b ≤1,0≤a +b ≤2,0≤a -b ≤2,作出该不等式组所表示的可行域如图②所示,由图可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S=12×2×1=1,故选B.【答案】B6.(2017北京朝阳模拟)已知点A (-2,0),点M (x ,y )为平面区域{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,3x -y -3≤0上的一个动点,则|AM|的最小值是( ).A.5B.3C.2√2D.6√55【解析】不等式组{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,3x -y -3≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示,结合图象可知|AM|的最小值为点A 到直线2x+y-2=0的距离,即|AM|min =|2×(-2)+0-2|√5=6√55. 【答案】D7.(2017江南十校模拟)若实数x ,y 满足{x -y +1≤0,x ≤0,则x 2+y 2的最小值是 .【解析】原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.∵x 2+y 2表示可行域内任意一点P (x ,y )与原点(0,0)距离的平方,∴当P 在线段AB 上且OP ⊥AB 时,x 2+y 2取得最小值,∴(x 2+y 2)min =(√2)2=12.【答案】128.(2016长沙模拟)若x,y满足约束条件{x-y+1≥0,x-2y≤0,x+2y-2≤0,则z=x+y的最大值为.【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示,易得在点A(1,12)处,z取得最大值,则z max=32.【答案】329.(2016枣强中学模拟)若实数x,y满足{2x-y≥0,y≥x,y≥−x+b,且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为.【解析】由题意作出不等式组的可行域,如图中阴影部分所示.由可行域可知目标函数z=2x+y在直线2x-y=0与直线y=-x+b的交点A(b3,2b3)处取得最小值4,所以4=2×b3+2b3,解得b=3.【答案】310.(2017九江模拟)实数x,y满足{x-y+1≤0, x>0,y≤2.(1)若z=yx,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;(2)若z=x 2+y 2,求z 的最大值与最小值,并求z 的取值范围.【解析】由不等式组{x -y +1≤0,x >0,y ≤2,作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z=yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此y x的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在).而由{x -y +1=0,y =2,得B (1,2),则k OB =21=2.∴z max 不存在,z min =2,∴z 的取值范围是[2,+∞).(2)z=x 2+y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方.因此x 2+y 2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.由{x -y +1=0,x =0,得A (0,1),∴|OA|2=(√02+12)2=1,|OB|2=(√12+22)2=5. ∴z 的最大值为5,没有最小值.故z 的取值范围是(1,5].11.(2016陕西模拟)设动点P (x ,y )在区域Ω:{x ≥0,y ≥x,x +y ≤4上,过点P 任作直线l ,设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ,则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( ).A.πB.2πC.3πD.4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,则根据图形可知,以AB 为直径的圆的面积的最大值S=π×(42)2=4π.【答案】D。