蒙特卡洛方法

(x1 (i),x2 (i), ,xs(i))，得到积分的近似值。
其中Dg s为N区域D N sDiN s的1g体(x积1(i),。x2 (这i), 是,数xs(值i))方法难以作到的。
另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统 形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特 卡罗方法，不会有原则上的困难。
通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为
N
上式中 与置信度α是一一对应的，根据问题的要 求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确 定出 。
下面给出几个常用的α与的数值：
α 0.5 0.05 0.003
0.674 1.96 3 5
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特
卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法 是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须 使用其估计值
• 对于任意离散型分布：
F(x) Pi xi x
• 其P离2散中，型x…1分，为布x相2，的应直…的接为概抽离率样散，方型根法分据如布前下函述：数直的接跳抽跃样点法，，P有1，
• 间接蒙特卡洛模拟方法。人为地构造出一 个合适的概率模型，依照该模型进行大量 的统计实验，使它的某些统计参量正好是 待求问题的解。
例：布冯(Buffon)投针实验
• 在平滑桌面上划一组相距为s的平行线，向 此桌面随意地投掷长度l=s的细针，那末从 针与平行线相交的概率就可以得到π的数值。
针与线相交概率
lim P
N
NXNE (X)x 2 1
xet2/2dt
x
平均值
当N充分大时，有如下的近似式
P X N E (X ) N 2 20 e t2/2 d t1
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
这表明，不等式
XN
E(X)
近似地以概率
N
1－α成立，且误差收敛速度的阶为 O(N1/2)。
误差容易确定。
程序结构简单，易于实现。
缺点
收敛速度慢。
误差具有概率性。
在粒子输运问题中， 计算结果与系统大小 有关。
1) 能够比较逼真地描述具有随机性质 的事物的特点及物理实验过程
从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物 理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用 蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本 身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、 形象的特点。
•求得分布函数为
F (x )xf(x )d xxe x d x 1 e x
直接抽样法
• 设 为[0,1]区间上均匀分布的随机数,令F(x)
解得:
x1ln1()
应为分布函数在[0,1]均匀分布
• 注意到 (1) 和 同样服从[0,1]的均匀分布，
故有
x 1 ln()
• 直接随机抽样使用简单，但如果分布函数F(x) 不能解析求出或太复杂，不易求其反函数， 则不易采用该方法。
1点试验
Scircle thit
S t square shot
精度不高！！
=3.14173
例：求解定积分
• 定积分计算
• 随机向正方形内掷点， 总掷点N，落于曲线下 方的为M，N足够大时， I=M/N
MC思想总结
• 当问题可以抽象为某个确定的数学问题时， 应当首先建立一个恰当的概率模型，即确 定某个随机事件A或随机变量X，使得待求 的解等于随机事件出现的概率或随机变量 的数学期望值。然后进行模拟实验，即重 复多次地模拟随机事件A或随机变量X。最 后对随机实验结果进行统计平均，求出A出 现的频数或X的平均值作为问题的近似解。
• 目前，已经广泛的应用于社会科学，材料， 物理，系统工程，科学管理，生物遗传等 领域。可以说，有随机工程事件的领域， 就可以应用Monte Carlo模拟。
MC的基本思想
• 直接蒙特卡洛模拟方法。求解问题本身就 具有概率和统计性的情况，该方法是按照 实际问题所遵循的概率统计规律，用计算 机进行直接的抽样试验，然后计算其感兴 趣的统计参数（计算机实验）。
（间接MC）
MC方法概述
• 为了得到具有一定精确度的近似解，所需随机试 验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验 相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方 法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使 用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出 现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试 验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成， 使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的 科学技术中发挥应有的作用。
• 如已知某变量x满足正态分布（高斯分布）， 要求抽样变量序列x1,x2,x3,…xN,使之满足给 定的分布。
直接抽样法
• 当随机变量的分布函数已知或可以通过分 布密度函数积分得到，且比较简单。这时 可采用直接随机抽样法
• 如试按以下分布密度函数，对随机变量进 行抽样。
ex x0 0
f(x) 0 else
s
N次投针，M次相交，当N足够大时： 2M
N
求Pi转化为求一随机过程的参数。
• 一些人进行了实验，其结果列于下 表：
实验者
年份 投计次数 π的实验值
沃尔弗(Wolf) 1850 5000
3.1596
斯密思(Smith) 1855 3204
3.1553
福克斯(Fox)
1894 1120
3.1419
拉查里尼 (Lazzarini)
如：求连续掷两颗骰子，点数之和大于6 且第一次掷出的点数大于第二次掷出点数的概率。
2) 受几何条件限制小
在计算s维空间中的任一区域Ds上的积分
时的，几无何g 论特 区征 D 域的s 条Dg s(的件x 1 ,形，x 2 状就, 多可,么以x s) 特从d殊D1 d sx ，中2 只均xd 要匀s 能产x 给生出N个描点述Ds
伪随机数
• 实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计
算而产生的伪随机数。 n k T (n ,n 1 , ,n k 1 )n , 1 , 2 ,
• 这样的伪随机数从数学意义上讲已经一点不是随 机的了。
• 只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统计检 验（证明其均匀性和独立性），我们就可以把它 当作真随机数而放心地使用。这样我们就可以很 经济地、重复地产生出随机数。
• 例 如 ， 取 2r=4, 并 取 x0=6406, 则
x02=41036836,[x02/10r]=410368,
而
x0=410368(mod104),则x1=0368
乘同余法
• 乘同余方法是由Lehmer在1951年提出来的， 它的一般形式是：对于任一初始值x1，伪随机 数序列由下面递推公式确定：
• (2) 确定性模拟方法。它是通过数值求解一个个的 粒子运动方程来模拟整个系统的行为。如分子动力 学（Molecular Dynamics）方法以及原胞自动机方 法等等。
Why Monte Carlo（MC）?
MC方法的起源
• 起源于思想起源于von Neumann（冯.诺依 曼）等人在研究原子弹时对裂变材料的中 子扩散问题的探讨。
MC方法随机理论的基础
MC方法的随机理论基础
g(u)均匀分布
MC方法随机理论的基础
• 大数法则
MC方法随机理论的基础
中心极限定理
该同定分理布指，出且具，有如有果限随非机零变的量方序差列σX2 1，，即X2，…，XN独立
0 2(x E (X )2 ) f(x )d x
f(X)是X的分布密度函数。则
• 所以在考虑蒙特卡洛方法的精确度时，不能只是 简单地减少方差和增加模拟次数，还要同时兼顾 计算费用，即机时耗费。通常以方差和费用的乘 积作为衡量方法优劣的标准。
蒙特卡罗方法的特点
优点
能够比较逼真地描述具有随机 性质的事物的特点及物理实验 过程。
受几何条件限制小。
收敛速度与问题的维数无关。
具有同时计算多个方案与多个 未知量的能力。
第六讲 蒙特卡洛方法
计算机模拟方法分类
• (1)蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，又称随机模拟方法 或统计试验方法。它是通过一个合适的概率模型不 断产生随机数序列来模拟过程。自然界中有的过程 本身就是随机的过程，物理现象中如粒子的衰变过 程、粒子在介质中的输运过程...等。当然蒙特卡洛 方法也可以借助慨率模型来解决不直接具有随机性 的确定性问题。
4) 具有同时计算多个方案与多个未知 量的能力
a.同时计算多种方案。对于那些需要计算多个方案的 问题，使用蒙特卡罗方法有时不需要像常规方法那样 逐个计算，而可以同时计算所有的方案，其全部计算 量几乎与计算一个方案的计算量相当。
b.例如，对于均匀介质的平板，要计算若干种厚度的 打靶穿透概率时，只需计算最厚的一种情况，其他厚 度的穿透概率在计算最厚一种情况时稍加处理便可同 时得到。
1) 收敛速度慢
如前所述，蒙特卡罗方法的收敛速度为 O(N1/2) 一般不容易得到精确度较高的近似结果。对于维数少 （三维以下）的问题，不如其他方法好。
2) 误差具有概率性
由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下估 计的，所以它的误差具有概率性，而不是一般意义下 的误差。
随机数的产生
• 由于MC是在计算机上的随机模拟试验。因 此，如何产生随机数，如何进行给定分布 的随机数抽样，是直接和间接MC方法的关 键。
直接抽样法
• 自变量x在区间[a,b]均匀分布，如何对其随
机抽样？ • 其概率密度函数为：
1 f (x) ba
0
x[a,b] 其他
• 于是它的分布函数为：P(x) xf(x)d xb x a a
• 则最常用的在区间[a,b]上的均匀抽样是
x a (b a ), [0 ,1 ]
离散性随机变量的直接抽样
• 产生均匀伪随机数的方法有平均取中法、乘同余 法。