2010_第三章_3有色噪声系统的Kalman滤波

3.2.7 系统噪声或观测噪声是有色噪声的卡尔曼滤波
在前面推导Kalman 滤波方程时，都是假定)(k w 和)(k v 都是白噪声。

而实际上，多数情况下，)(k w 和)(k v 可能是有色噪声。

通常情况下，对一些特定的有色噪声可通过成型滤波器化成白噪声，现举例说明如何把某些特定的有色噪声用白噪声通过成型滤波器来表示的问题。

设)(k ξ是一平稳随机序列，其相关函数为
||,j i t t j i De R --=，j i t t >
并可写出成型滤波器方程如下
)()(),1()1(k n k k k k ++ψ=+ξξ
式中的),1(k k +ψ为成型滤波器转移阵
||1),1(k k t t e k k --+=+ψ
)(k n 为均值为零的白噪声序列
{}0)(=k n E ， {}
kj t t T k k e D j n k n E δ)1()()(||21--+-= 下面分三种情况讨论有色噪声情况的Kalman 滤波：
1）控制系统附加噪声是有色噪声，观测系统附加噪声是白噪声；
2）控制系统附加噪声是白噪声，观测系统附加噪声是有色噪声；
3）控制系统和观测系统的附加噪声均为有色噪声。

有色序列的类型还有许多种，本节仅讨论高斯—马尔可夫型随机序列。

理由不言而喻，人们知道，任何一个高斯—马尔可夫型随机序列，都可以看成是高斯白噪声驱动下，某个离散线性系统的状态序列。

因此，可以通过扩充状态变量法，来把附加噪声是有色的情况白化！下面分情况进行具体的讨论。

3.2.7.1 控制系统附加噪声是有色噪声，观测系统附加噪声是白噪声 设系统状态和观测方程为
)(),1()(),1()1(k w k k k x k k A k x +Γ++=+ (3.2.7.1)
)()()()(k v k x k C k z +=
(3.2.7.2) 式中)(k w 为高斯—马尔可夫型随机序列（有色噪声）。

由于)(k w 为高斯—马尔可夫型随机序列，故
)()(),1()1(k k w k k H k w η++=+
这里}0),({≥k k η为与)0(W 不相关的高斯白噪声。

且
1）}0),,1({≥+k k k H 为已知；
2）{}0)(=k E η，{})(var )(k k Q ηη=为已知；
3）}0),({≥k k η与}0),({≥k k w 和)0(x 互不相关。

对于这种情况，一般采用扩充状态变量法，为此，定义新的符号
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()()(*
k w k x k x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++Γ+=+),1(0),1(),1(),1(*k k H k k k k A k k A '⎥⎦⎤⎢⎣⎡+'=+0)1()1(*k C k C ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=+ΓI k k 0),1(* 则系统(3.2.7.1)－(3.2.7.2)可被改写为
)(),1()(),1()1(****k k k k x k k A k x η+Γ++=+ (3.2.7.3)
)()()()(**k v k x k C k z += (3.2.7.4)
这样，式(3.2.7.3)-(3.2.7.4) 就是系统噪声和观测噪声均为白噪声情形的Kalman 滤波问题了！对式(3.2.7.3)-(3.2.7.4)可直接利用前面推导的公式。

然后再利用式(3.2.7.3)和(3.2.7.4)与(3.2.7.1)和(3.2.7.2)的关系，可以得出系统 (3.2.7.1)-(3.2.7.2)最优估计的递推关系式。

3.2.7.2 控制系统附加噪声是白噪声，观测系统附加噪声是有色噪声 设系统状态方程和观测方程为
)(),1()(),1()1(k w k k k x k k A k x +Γ++=+ (3.2.7.5)
)1()1()1()1(++++=+k k x k M k y ξ (3.2.7.6)
其统计特性如下
{}0)(=k w E ，{}
j k T k Q j w k w E ,)()()(δ= 式中)1(+k ξ是均值为零的正态分布的有色噪声序列，可用成型滤波器表示如下
)()(),1()1(k n k k k k ++ψ=+ξξ (3.2.7.7)
)(k n 为均值为零的白噪声序列，其统计特性为
{}0)(=k n E {}
kj T k S j n k n E δ)()()(= 依然可用扩大状态变量维数的方法，把)(k ξ作为状态变量的一部分，这样得到新
的状态方程和观测方程。

对新的模型直接利用Kalman滤波基本公式。

另外，由于扩大状态变量维数法，使滤波器的维数增加，计算量增大了。

所以，可以考虑选用其他方法。

这里，采用改变观测方程的方法，使等效观测方程的附加噪声为白噪声，这样就可以直接利用前面推导的Kalman滤波基本方程了！
把式(3.2.7.7)代入式(3.2.7.6)可得
k
+k
+
x
yξ(3.2.7.6)
+
k
M
k
=
(
)1
+
)1
)1
(
(
(+
)1
ξ(3.2.7.7)
k+
k
k
+
+ξ
k
=
ψ
)
(
)
n
(
)
(k
(
)1
,1
M
k
k
x
k
y+
k
+
+ξ(3.2.7.8）
k
=
+
ψ
+
+
(k
)
,1
(
(
k
)
(
)
)1
n
)1
(
(
)1
由式(3.2.7.6)，可得
k
y
k
x
k
k
M
k
+
=
k
ψ(3.2.7.9）
ψ
+
+
ψ
+
kξ
(
)
(
)
(
,1
)
(
)
k
(
,1
(k
k
)
)
,1
)
(
将式(3.2.7.8)与式(3.2.7.9)作差可得
)()()(),1()1()1()
(),1()()(),1()
()(),1()1()1()(),1()1(k n k x k M k k k x k M k k k k x k M k k k n k k k k x k M k y k k k y ++ψ-++=+ψ-+ψ-++ψ+++=+ψ-+ξξ
令)(),1()1()(k y k k k y k z +ψ-+=，上式化简为
)()()(),1()1()1()(k n k x k M k k k x k M k z ++ψ-++= (3.2.7.10）
将状态方程(3.2.7.5)代入式(3.2.7.10)可得
)
()(),1()1()()](),1(),1()1([)()()(),1()](),1()(),1()[1()(k n k w k k k M k x k M k k k k A k M k n k x k M k k k w k k k x k k A k M k z ++Γ+++ψ-++=++ψ-+Γ+++= 即
)()(),1()1()()](),1(),1()1([)(k n k w k k k M k x k M k k k k A k M k z ++Γ+++ψ-++= (3.2.7.11) 称式(3.2.7.11)为等效观测方程，)(k z 是等效观测值。

等效观测方程与原始观测方程比较有以下两个特点：
1) 等效观测值)(k z 只含有白噪声)()(),1()1(k n k w k k k M ++Γ+；它与系统噪声)(k w 是
相关的。

2) )(k z形式上被当作k时刻的观测值，看起来是)(k
x的线性函数，而实际上确是x的线性函数。

k
)1
(+
因此，针对式(3.2.7.5）和(3.2.7.11）得到的滤波预测值事实上是滤波估计值。

另外，由于等效观测方程的系统误差())(
k
w
k
k
M+
Γ
+
+和状态方程的系统误差
(k
)
k
)
,1
(
n
)1
(
w是相关的，因此，对式(3.2.7.5）和(3.2.7.11）可利用前面推导的相关噪声的滤波(k
)
关系式来求解。

注释：控制系统附加噪声是有色噪声、观测系统附加噪声是有色噪声是3.2.7.１和3.2.7.2两种情况的综合。