风险理论第1章 效用理论和保险
《效用理论在保险中的应用》范文
《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中一个重要的概念，它主要研究个体如何根据自身偏好和需求对物品或服务进行价值评估。
在保险行业中，效用理论的应用显得尤为重要。
保险产品和服务的设计、定价、风险管理等各个环节，都需要以效用理论为基础，以满足客户的需求和期望。
本文将探讨效用理论在保险中的应用，并分析其重要性和优势。
二、效用理论与保险产品设计1. 客户需求分析保险公司在设计产品时，首先要了解客户的需求和偏好。
通过运用效用理论，保险公司可以分析客户对不同保险产品的效用评价，进而确定产品的设计方向。
例如，对于寿险产品，客户可能更关注保障程度、保费价格、理赔速度等方面，保险公司需要根据这些因素设计出满足客户需求的产品。
2. 产品定价策略在保险产品定价过程中，保险公司需要考虑到风险、成本、利润等因素。
效用理论可以帮助保险公司确定客户对价格的敏感度，以及不同价格水平对客户效用的影响。
通过分析这些因素，保险公司可以制定出合理的定价策略，以满足客户需求，同时保证公司的盈利。
三、效用理论与保险服务优化1. 提升客户满意度保险公司通过优化服务流程、提高服务质量等方式，可以提升客户满意度。
效用理论可以帮助保险公司了解客户对服务的期望和需求，从而针对性地改进服务。
例如，保险公司可以优化理赔流程，提高理赔速度和效率，以满足客户对快速获得赔偿的期望。
2. 增强客户忠诚度通过提供满足客户需求和期望的保险产品和服务，保险公司可以增强客户的忠诚度。
效用理论可以帮助保险公司识别出高价值客户，并针对这些客户制定个性化的服务策略。
例如，对于长期合作的客户，保险公司可以提供专属的优惠政策、增值服务等，以增强客户的忠诚度和黏性。
四、效用理论在风险管理中的应用1. 风险评估与定价在保险业务中，风险评估和定价是关键环节。
效用理论可以帮助保险公司评估不同风险水平对客户效用的影响，从而制定合理的风险定价策略。
通过分析历史数据和客户信息，保险公司可以更准确地评估风险，并制定出符合实际情况的定价方案。
风险理论第1章效用理论与保险
实
布
概微
务
、
率积
风
论分
、、
02
Ⅰ
01
试准 科 第一章 效用理论与保险 2 第二章 个体风险模型 3 第三章 聚合风险模型 4 第四章 破产理论 5 第五章 保费原理
本章主要内容 本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原
理以及在第保费一设章计中效的应用用理，并论分析与了保不同风险 险 态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效
上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
状况的效用均衡方程中解出：
如果U (x)是一个非减的连续函数，则有 P P 。
如果 P P，那么达成交易会同时增加被保险人与
保险人双方的期望效用。
相同的决策，即
等价于
效用函数的 确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这 效益函数，因此效用函数是客观存在的， 但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他 们对这些问题的回答来决定该决策人的 效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货 币，你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资
如果上面的不等号成立，意味着他的期望效用将会提高。
如果用 P 代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以下效 用均衡方程的解
E u w X u W P ， （1.10）
由于 u 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。
如费果P 承E 保U（损W失2）XP 。保X 险 U人W 方，那面么保：险人将以保
现代精算风险理论 第1章_效用理论与保险2007
可以证明（见习题 1.4
第
3
题）
d
E
X
X
d
以
及 2 d Var X X d 是 d 的 连 续 函 数 ． 注 意
0 2 0 0, EX 和 2 VarX .
有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。 被保险人是风险厌恶者。 风险厌恶者的效用函数的特点：
1． 边际效用递减u'(x) 0 ； 2． 凹函数 u''(x) 0 。
定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则
其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效 用函数，有
下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为
止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者
就可以获得2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益
是
n1
2n
1 2
n
．然而，除非
P
很小，否则很少有人会
参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望
收益．
在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和
厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%
的机会不损失。
B：100%的机会夫去20元。 选择A？或B？
1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份 保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？
对于这样的决策，效用函数u 应该具有怎样的形式？
选择 w=0．假设u 0 0 和u 1 1 ．
当b = 1 时，他选择A； u( 1) 1 [u(0) u(1)]
效用理论与保险
• Absolute risk aversion coefficient： r(w) = − u (w) u (w)
• Relative risk aversion parameter: r(w) = −w u (w) u (w)
例 1.2.4（ 风 险 厌 恶 系 数 ） 给定效用函数u(x)，我 们如何近似计算风险X 最大保费P + ？ 解：设E [X ] = µ和V ar[X ] = σ 2 。u(·)在点w − µ处 展开，得
1.4 停 止 损 失 再 保 险 的 最 优 性
• 再保险合同只承保保险人的一部分风险。停止损 失再保险承保损失超过制定免赔额的超额部分。 • 定义如下：如果损失为X (X ≥ 0)，则理赔支付 为 (X − d)+ = max{X − d, 0} = X − d, X > d 0, X≤d
• 保险人保留损失小于d的风险（自留额），同时 再保险公司支付损失的剩余部分。
1.3 效 用 函 数 族
• • • • •
linear utility: u(w) = w quadratic utility: u(w) = −(α − w)2 (w ≤ α) logarithmic utility: u(w) = log(α + w)(w > −α) exponential utility: u(w) = −αe−αw (α > 0) c power utility: u(w) = w c (w > 0, c ≤ 1)
例 1.3.1（ 指 数 保 费 ） 假 设 一 保 险 人 使 用 参 数 为α的指数效用函数，对于风险X ，最小保费P − 应 为多少？ 解 ： 把U (x) = −αe−αx 带 入U (W ) = E [U (W + P − − X )]，得
《效用理论在保险中的应用》范文
《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言在当今的社会中，保险已成为风险管理的重要组成部分，对于个体、家庭和企业而言，它都是一种重要的经济保障手段。
效用理论作为经济学的重要分支，为保险业提供了坚实的理论基础和决策支持。
本文旨在探讨效用理论在保险领域的应用，分析其如何帮助保险公司和投保人做出更合理的决策。
二、效用理论概述效用理论是经济学中研究个体如何根据自身偏好进行选择的理论。
它通过衡量个体对不同结果的主观偏好程度，即效用，来预测个体的行为决策。
在保险领域，效用理论主要关注投保人对于风险的态度以及其为了转移风险而支付的保费的心理接受程度。
三、效用理论与保险产品定价1. 风险评估与定价：保险公司使用效用理论来评估风险并确定保险产品的价格。
通过分析投保人的风险偏好和预期效用，保险公司能够制定出合理的保费，既能够覆盖风险成本，又能吸引潜在客户。
2. 定制化产品：基于效用理论，保险公司可以开发出更加符合消费者需求的定制化保险产品。
通过了解客户对风险的厌恶程度和对保障的追求，保险公司能够提供个性化的保险计划，从而提高消费者的满意度和忠诚度。
四、效用理论与保险决策1. 投保决策：投保人在购买保险时，会基于自己的风险承受能力和对风险的厌恶程度进行决策。
效用理论可以帮助投保人量化其风险厌恶程度，从而决定是否购买保险以及购买多少保险。
2. 保障选择：在购买保险时，投保人需要选择不同的保障项目和保额。
效用理论可以帮助投保人权衡不同保障项目和保额的效用和成本，从而做出最优的保障选择。
五、效用理论在保险业中的应用案例以寿险产品为例，保险公司可以通过效用理论分析不同年龄、职业和健康状况的投保人对风险的厌恶程度和对未来生活保障的需求。
基于这些分析，保险公司可以设计出更加符合消费者需求的寿险产品，如定期寿险、终身寿险等。
同时，保险公司还可以通过调整保费和保障范围来满足不同消费者的需求，提高产品的竞争力。
六、结论效用理论在保险业中的应用具有重要意义。
第一章 风险理论与保险学说
如自然、生理、社会现象
不确定性（个体事件）
时间、空间、结果上的不确定性
可测性 （大量事件） 未来性 （时间） 可变性 （科技进步、政治与社会改变）
3、风险的三个概念(要素）
风险因素：产生风险的原因
实质风险因素备缺陷。 道德风险因素 心理因素
风险评价
是指在风险识别和风险估测的基础上， 把风险发生的概率、损失的程度，结合 其他因素综合起来考虑，得出系统发生 风险的可能性及其危害程度，并与公认 的安全指标比较，确定系统的危险等级， 采取相应措施的过程。
选择风险管理技术
根据风险评价结果，为实现风险管理目标，选 择风险管理技术并实施风险管理的过程。 风险管理技术： 控制型：降低损失频率和减少损失程度。 财务型：提供基金和订立保险合同等方式， 对无法控制的风险做出财务安排。
风险管理效果评价
对风险管理技术的实用性及其收益情况 进行分析、检查、修整和评估。---考察 实施风险管理的可行性、可操作性和有 效性。
自留
对风险的自我承担。 优点：减少潜在的损失、节约费用支出 和取得基金运用收益等。 缺点：一旦发生大的风险，个人可能无 法承担。
转移（转嫁）
是指一些单位和个人为避免承担损失， 有意识地将损失或与损失有关的财务后 果转嫁给另一单位或个人去承担的一种 风险管理方式。 保险转嫁：投保。 非保险转嫁：出让转嫁、合同转嫁。 如：股票转让； 将有风险的企业承包给另外一方。
损失补偿说
认为保险是一种损失补偿合同，一 方获得约定的报酬后，承担另一个 因风险引起损失的合同。 ----马歇尔（英）、马修斯（德）
损失分担说
在同一危险中，由大多数人分担 个人的损失。 -----瓦格勒（德）
保险经济学 第一章
❖ Rothschild和Stiglitz（1970）证明了前三种表示方式 的等价性，即都可利用“均值不变价差”来表示风 险的不同；但第四种风险度量的定义方式和前面三 种是不等价的。
第二节 效用函数
一、效用函数的概念
❖定义2 设u为由集合X到实数集R中的实值函数， 为定义在 X上的一个偏好关系。若对任意x，y∈ X，且x y，有
❖ 在上述７个公理的基础上，我们约定：消费者在决策过程中 必须遵循最大期望值原则，即选择期望收益（或效用）最大 的方案作为自己的最优方案。
二、期望效用函数
❖ 保险经济学与一般建立在实物产品基础上的经济学的不同之 处就在于：一般经济学研究的是消费者如何在实物产品或服 务之间进行比较，而保险经济学研究的是消费者如何在非常 抽象的对象（如风险、随机变量）之间进行选择。
❖ 定理2 关于X上偏好关系 的完全效用函数存在的充要条件 是： 为弱序，且X上有一个序稠密的可数子集。
第三节 期望效用理论
一、不确定性条件下消费者行为的公理体系
❖
符 个号概率L(事x1件,P的,x两2)种表可示能一的个结简果单，抽P签和，１其-中P分x 别1 x和表1 示x 2
表示一
x 2和
发生的概率。
❖ 公理3 简单抽签的可比性。设x1 x2 ，则 （1）若P1＞P2，则 L 1 ( x 1 ,P 1 ,x 2 )L 2 ( x 1 ,P 2 ,x 2 ) ； （2）若P1 =P2 ，则 L1(x1,P1,x2)～ L2(x1,P2,x2)。
❖ 公理4 偏好的可度量性。对任一可能的结果x，存在π(x) ，其中０≤π(x)≤１，使得
有关序稠密性的条件是否成立。
❖ 定义4 设u为R上关于 的效用函数（或完全效用函数） ，若对p，q∈ R ，α∈[0,1］，有
风险理论 第一章
5．保险人的组织形式包括国有独资保险 公司、 股份有限公司、 相互保险公司、 公司 、 股份有限公司 、 相互保险公司 、 相互 保险社、保险合作社和劳合社等。 保险社、保险合作社和劳合社等。 保险中介主要包括保险代理人、 6．保险中介主要包括保险代理人、保险 经纪人和保险公估人等。 经纪人和保险公估人等。
二、保险市场的构成要素
（一）保险市场的主体 供给方。 供给方。 需求方。 需求方。 保险市场中介。 保险市场中介
第一节 保险市场概述
二、保险市场的构成要素 （二）保险市场的客体
保险市场的客体是指保险市场上供求 双方具体交易的对象 交易的对象， 双方具体交易的对象，即保险商品和相关 服务。 服务。
第一节 保险市场概述
三、保险市场的特征
（一）保险市场是直接的风险市场 （二）保险市场是非即时清结市场 （三）保险市场是特殊的“期货”交易市场 保险市场是特殊的“期货”
第二节 保险市场经营主体
一、保险人 二、保险中介
第二节 保险市场经营主体
一、保险人
（一）国有独资保险公司
我国的公司法规定，国有独资公司(state 我国的公司法规定， 是指国家单独出资、 国家单独出资 sole funded corporation)是指国家单独出资、 由国务院或者地方人民政府授权本级人民政府 国有资产监督管理机构履行出资人职责 出资人职责的 国有资产监督管理机构履行出资人职责的有限 责任公司。 责任公司。
（二）保险市场国际化的表现形式 跨国保险公司及相关经营机构的设立。 跨国保险公司及相关经营机构的设立。 国际化的再保险市场。 国际化的再保险市场。 保险公司境外投资。 保险公司境外投资。 保险公司的境外融资。 保险公司的境外融资。
第三节
保险学第1章风险风险管理与保险课件
损失抑制风 风险自
险自留
留
在选择采用何种处理方
法处理某种风险时，可 以参考图1—3种的选择
低
损失频率
高
方案。
保险学第1章风险、风险管理与保
3）心理风险因素是与人的心理状态有关的无形因素，又称风 纪风险因素。
保险学第1章风险、风险管理与保
2024/1/14
险
10
1．1．4风险的组成要素
2．风险事故 风险事故是指可能引起人身伤亡或财产损失
的偶然事件，是造成风险损失的直接原因， 又是风险因素所诱发的直接结果。 3．风险损失 在风险管理中，损失是指非故意的、非预期 的和非计划的经济价值的减少。
保险学第1章风险、风险管理与保
2024/1/14
险
24
1．2．3风险管理的过程
2．风险的识别
风险的识别是整个风险管理的基础，是在风险事故 发生之前，运用各种方法系统地、全面地、连续 地认识所面临的各种风险，以及分析风险事故发 生的潜在原因。
表格和问卷识别法
风险列举法
财务报表分析法
安全检查表
（1）风险管理的主体是各种经济单位，个人、家庭、 企业以及其他法人团体都可以看作独立的经济单位。
（2）风险管理强调的是人们的主动行为。
（3）风险管理地目的是以尽可能小的成本来换取最大 的安全保障和经济利益。
保险学第1章风险、风险管理与保
2024/1/14
险
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1．2．2风险管理的方法
对于某一特定的风险，人们可以使用以下几种管理 方法：回避、防损与减损、自留和转移，当然也 可以采用上述两种或更多方法的综合。
风险理论——精选推荐
第一章风险与风险决策理论第一节风险的含义一、风险的含义▪在不同的领域关于风险的定义不同。
▪在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等。
▪在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，风险常被分为纯粹风险和投资风险两种。
▪有人主张风险是客观存在的，因而应该被客观的度量，也有人强调风险是因人而异的主观概念。
▪对风险附加各种特殊的含义以适应其在不同领域中的应用，如社会风险、政治风险和自然风险等等。
▪等等▪风险是自然状态的不确定性（Uncertainty）与人的行为相结合而蕴含的某种后果；是相对于面临着某种不确定性状态的某个人或某些人而言的。
▪与风险直接有关的三要素：（1）自然状态的不确定性；（2）人的主观行为；（3）自然与人结合所蕴含的潜在后果。
▪最常见的三种情况：（1）从当事人或决策者的角度出发讨论潜在后果以及其所对应的不确定性，而且往往是关心不利的潜在后果；（通常的风险理论，我们主要讨论的内容）（2）从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度（Risk Attitude），或者比较一群人各自风险态度之间的差异；（度量和比较决策这个对风险的态度是风险研究的重要组成部分）（3）参照某个决策者的问题和目标来讨论每项备选方案的风险大小。
（投资分析和管理决策的核心内容）二、保险精算问题保险业务通常分成寿险和非寿险；寿险以被保险人的生命为标的，以生死为事故；非寿险是指除了寿险外的一切保险业务。
二者关系：虽然二者在本质上都是保险，但人寿保险的保修期相对较长，损失分布规律也相对比较稳定；而非寿险则多为短期保险，标的的损失情况也五花八门，损失情况较为复杂。
无论是人寿保险还是非寿险，在其经营和管理的过程中都需要在各个环节和各种层次上作一系列的管理决策，这就是保险公司内控系统中的核心问题，也称为精算问题：即如何制定合理的保费；如何提留适当的准备金；如何确定自留风险和安排再保险，等等。
《效用理论在保险中的应用》
《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中一个重要的概念，它关注的是个体对物品或服务的偏好和价值判断。
在保险行业中，效用理论的应用尤为重要，因为它能够帮助保险公司更好地理解客户需求，设计出更符合客户需求的保险产品，同时也能帮助客户更好地评估保险产品的价值和风险。
本文将探讨效用理论在保险中的应用，分析其重要性及实际运用。
二、效用理论与保险产品设计1. 客户需求分析效用理论的核心思想是个体对物品或服务的偏好和价值判断。
在保险产品设计中，保险公司需要运用效用理论来分析客户的偏好和需求。
通过调查问卷、访谈等方式，了解客户对保险产品的期望、关注点以及风险承受能力，为产品设计提供依据。
2. 保险产品定制根据客户需求分析结果，保险公司可以设计出符合客户需求的保险产品。
例如，对于风险承受能力较低的客户，可以设计出保障范围广泛、保费较低的保险产品；对于追求高保障的客户，可以提供定制化的保险方案，以满足其特殊需求。
三、效用理论与保险产品定价1. 风险评估效用理论可以帮助保险公司更准确地评估风险。
通过分析客户的历史数据、行为习惯、健康状况等因素，评估客户发生风险的概率，进而确定保险产品的定价。
这种定价方式更加合理，能够更好地反映市场的供求关系。
2. 价格策略制定在确定保险产品的定价时，保险公司需要运用效用理论来制定价格策略。
价格策略应考虑到客户的支付能力、市场竞争力以及公司的利润目标等因素。
通过合理定价，既可以吸引客户购买保险产品，又能保证公司的盈利能力。
四、效用理论与保险索赔1. 索赔决策在处理保险索赔时，保险公司需要运用效用理论来评估索赔的合理性。
通过对索赔案件的调查、审核和分析，判断索赔是否符合保险合同约定的条件。
这有助于保险公司避免虚假索赔和欺诈行为，保障公司的经济利益。
2. 客户满意度提升通过合理、公正地处理索赔案件，可以提高客户的满意度。
当客户认为保险公司的索赔处理流程公正、合理时，他们会更加信任保险公司，从而增加对公司的忠诚度。
《风险理论》第一章效用理论与保险习题课
第一章 效用理论与保险【知识要点】1、 边际效用递减原理与最大期望效用原理边际效用递减原理：个人对财富需求的满足程度是由他的效用值来衡量的，他对财富的满足程度随着财富的增加而增加，但增加的速度却在逐渐减小，这就是经济学中所述的边际效用递减原理。
最大期望效用原理：在具有风险和不确定的情况下，个人行为的动机和准则是为了获得最大期望效用值。
2、 Jensen 不等式如果一个决策人是一个风险厌恶者，其效用函数()u x 是一个凹函数，即满足 ',"0u u >≤，对于随机损失X ，则有如下不等式：()[]()E u X u E X ⎡⎤≤⎣⎦这意味着，决策人认为确定性损失的效用值不低于随机损失。
3、 Arrow-Prant 指数为了比较决策者之间风险态度的差异，引入了Arrow- Prant 指数，定义如下：()"'a R x u u =-为绝对风险指数（风险厌恶系数）； ()"'r R x x u u =-为相对风险指数。
风险态度及Arrow-Prant 指数的关系4、 效用原理与保险定价保险人承保必须满足如下不等式：()()E u w P X u w ⎡⎤+-≥⎣⎦其中w 是保险人的初始资产，P 是收取的保费，X 是承保损失的随机变量，此式的含义就是承保后财产的效用期望值应不低于承保前财富的效用值。
对于被保险人而言，有下面的不等式：()()u w P E u w X ⎡⎤-≥-⎣⎦其中w 是被保险人的财富，P 是缴纳的保费，X 是其面临的损失随机变量，此式表明被保险人购买保险后财富的效用值应大于购买前财富的期望值。
当收取的保费P 介于承保人必须收取的最低保费P -和被保险人愿意支付的最高保费P +之间时，保险合同才可能成立。
5、 停止损失（再）保险在这种保险合同中，保险人只赔付超过一定限额的损失，即 () X 0,,d dI X X d X d≤⎧=⎨->⎩，其中免赔额由下式确定：()()()d dP E I x x d f x dx ∞⎡⎤==-⎣⎦⎰停止损失（再）保险不仅使其期望效用最大，而且使自留风险的方差最小。
风险理论总结
总结第一章效用理论与保险具体内容包括风险决策的基本问题描述、期望效用原理、风险态度分析、保费设计原理分析、最优再保险的结论及其应用。
1. 期望效用模型（The expected utility model）在期望效用模型中，被保险人是一个风险厌恶型的理论决策者，为了争取一个安全的金融地位，有Jen sen不等式：定理1.2.3 如果v（x）是一个凸函数，Y是一个随机变量，则E[V（Y）1_V（EIY]）,其中等号成立当且仅当V（J在丫的支撑集上是线性的或Var（Y）二°Exponential utility(指数效用函数)u( ) - -：e~-Power utility幂数效用函数）5. 停止损失（再）保险（Stop-loss rein sura nee）停止损失（再）保险不仅使其期望效用最大，而且使自留风险的方差最小, 使得期望利润更高。
第二章个体风险模型这一章主要讨论保险人风险组合的理赔总额S的分布函数。
讨论在给定的时间期间、保单组合中保单数固定的情况下，保单组合总损失的模型，这里的基本问题是每个个体保单的损失模型和独立个体保单和的模型。
具体内容包括：个体保单的理赔分布分析，用卷积法计算独立随机变量和的分布，用矩母函数法计算独立随机变量和的分布，最后介绍用正态分布近似计算总理赔的分布。
1. 个体风险模型（The in dividual risk model）:ns =》x设 V ，其中X i代表第张保单可能发生的理赔额，并且该模型满足下列假定：（1）独立同分布；（2）每张保单至多发生一次理赔；（3）保单总数n是固定的，即模型是封闭的。
2. 个体风险模型中S的分布（1）卷积方法（Convolution）两个连续随机变量和的卷积公式F s = P X = f x,y dxdy F s-x *F xS Y Xx+y 兰s两个离散随机变量和的卷积公式：F S s ii F Y S X f x xx ：s（2）矩母函数法（mgf）n’ntSM S t = E e tS -i-M x i M x i t［二1 I 1(3) 两个重要的概率公式E(X)=E(IB)=E(E(B|I))Var(X) =Var(E(IB)) E(Var(B|I))本章的难点是如何利用上面两个公式计算个别保单理赔的数学期望和方差。
风险管理
1.1 效用
效用是决策者对决策后果的一种感受、反应或倾向，是决策者的价值 观和偏好在决策活动中的综合反映。在经济学中，效用是用来衡量消费者 从一组商品和服务之中获得的幸福或者满足的尺度。数学上一般用效用函 数 u(x) 来度量，x 为消费者消费商品或服务的数量。 定义 1.1.1 设 C 是后果集，u 是 C 的实值函数，若对所有的 c1 , c2 ∈ C, c1 ≥ c2 ，当且仅当 u(c1 ) ≥ u(c2 )，则称 u(C ) 为效用函数。 定义 1.1.2 消费者在某一特定时期内，消费一定量的商品或商品组合所 得到的总的满足程度，称为总效用。 定义 1.1.3 某种物品消费量增加 1 单位物品的消费所得到的效用或效 用量的增量，称为边际效用。
第一章以存在是因为人们愿意为其所面临的风险获得一定的保 障，为此需要一定额度的保费。在本章，我们概述一个经济学理论，并用 之来解释为什么被保险人愿意支付高于纯保费的保费。解释这个现象的 理论假设决策者使用函数值 u(w) 去衡量其财富，而不是用财富 w 本身 去衡量，尽管通常他们自己都没有意识到这一点。若决策者必须下随机 损失 X 和 Y 之间做出选择，那他会比较 E [u(w − X )] 和 E [u(w − Y )] 并 选择期望效用较大的那个损失。利用这个模型，对于随机损失 X , 拥有 财富 W 的被保险人就可以决定为此支付的最大保费 P + 。这可由均衡方 程 E [u(w − X )] = u(w − P ) 求出。对于由均衡方程决定的保费 P + ，被保 险人觉得投保与否的效用没有差别。这个模型也可用于保险合同的另一方。 保险人使用自己的效用函数和可能的附加费用，决定一个最小保费 P − 如 果被保险人的最大保费 P + 超过保险公司的最小保费 P − ，那么当保费介 于 P + 与 P − 之间时，保险公司与被保险人的双方效用都增加了。 尽管不能精确地决定一个人的效用函数，但我们可以给出它的一些合 理的性质。例如，更多的财富通常意味着更高的效用水平，因此 u(w) 应是
保险学原理魏华林第一章 风险与保险(笔记完成)
保险学原理魏华林第一章风险与保险（笔记完成）●第一节风险及其特点●一、风险的概念风险的真正含义是指引致损失的事件发生的一种可能性●二、风险的特征●(一)客观性风险是一种客观存在。
从总体上说，风险不可能完全排除正是风险的客观存在，决定了保险经济的必要性●(二)损害性损害是风险发生的后果，凡是风险都会给人们的利益造成损害。
保险不是保证风险的不发生，而是保证消除风险发生的后果，即对损失进行经济补偿●(三)不确定性不确定性表现在三个方面：时间、空间上的不确定性，损失程度的不确定。
风险的偶然性形成了经济单位与个人对保险的需求，而风险的不确定性使之成为可保风险。
●(四)可测定性风险总体而言服从于某种概率分布。
对一定时期内特定风险发生的频率和损失率，是可以依据概率论原理加以正确测定的，即把不确定性化为确定性风险客观存在的确定性和发生的不确定性，构成了保险的风险，两者缺一不可，而且可测定性奠定了保险费率厘定的基础●三、风险因素、风险事故和损失●(一)风险因素也称风险条件，是指引发风险事故或在风险事故发生时致使损失增加的条件●1.实质风险因素实质风险因素是指有形的并能直接影响事件的物理功能的风险因素。
例如，汽车厂家生产的刹车系统、发动机功能等，建筑物的坐落地址、建筑材料、结构、消防系统等，均是实质风险因素。
●2.道德风险因素道德风险因素是指与人的品行修养有关的无形因素。
例如，诈骗、纵火等恶意行为或不良企图，均属道德风险因素。
●3.心理风险因素心理风险因素是指与人的心理状态有关的无形因素。
例如，人的疏忽、过失、投保后片面依赖保险等，均属心理风险因素。
●(二)风险事故也称风险事件，是指损失的直接原因或外在原因，也即指风险由可能变为现实，以致引起损失的结果。
风险事故是损失的媒介物。
火灾、爆炸、地震、车祸、疾病等，是风险事故常见的表现形式●(三)损失是指非故意的(unintentional)、非计划的(unplanned)和非预期的(unexpected)经济价值(economic value)的减少。
《保险经济学》第一讲：效用、风险与风险态度PPT课件
P
1 n
n
X
k
1
n
k 1
19
• 切贝雪夫大数法则说明，当n足够大时，平均每个被保险人实际 获得的赔偿金额与每个被保险人获得的赔偿金额的期望值之间的 差异很小，或者说，平均每个人获得的赔款与赔款的期望值之差 的绝对值小于这一事件，在n→∞时是个必然事件。而保险公司从 投保人那里收取的纯保费（不包括保险公司的管理费用、税收和 利润等）应等于每个被保险人获得的赔偿金的期望值。切贝雪夫 大数法则又指明了期望值在n→∞时等于实际赔偿额的平均值。尽 管实际赔偿额的平均值事先是无法知道的，但保险人可以根据以 前的统计资料知道同类损失的平均值是多少。所以当n足够大时， 保险人从投保人哪里收取的保险费应该是以前损失的平均值。这 就是保险公司从投保人那里收取多少的保险费的基本依据，如果 风险汇聚的加入者达不到一定的“大数”，保险公司就无从知道 应该向每个投保人收取多少保险费，保险也就失去了最基本的精 算基础。
E[W ] PW1 (1 p)W 如果一个彩票购买者期望值的效用等于彩票的期望效用，即若：
U (E[W ]) U[PW1 (1 p)W2 ] PU (W1) (1 p)U (W2 )
说明他仅对期望值感兴趣，对风险是不在意的，则称他为风险中性者。
38
风险中性者的效用函数具有以下性质： 1) 财富数量的增加导致满足程度的上升。 2）边际效用恒定。
当风险是相互独立的时候，汇聚安排可以抑制风险， 风险管理的价值因此而显现出来。
15
例子：假设蓝猫和黑猫下一年度发生20万元损失的概率都为20%， 且两者的事故损失不相关。
16
• 如果蓝猫和黑猫决定在他们之间进行风险汇聚，也就是说，不论 谁发生意外，两个人同意均担发生的损失，这时看期望损失和标 准差如何变化：
第1章 风险与保险
100万*5=500万
500万/100=5万 保险人（保险公司） 收取5.5万 （0.5万用于经营管理，也是利润 来源） 保险人 被保险人 保险标的 保险基金 保险费
投保人把损害风险以交付保险费的方
式转移给保险人，由于保险人集中了 大量的同质风险，因而能借助大数法 则来预测损害发生的概率，并据此制 定保险费率，通过向大量投保人收取 的保险费形成保险基金来补偿其中少 数被保险人的意外损害。
1. 2.
3.
定义：引起风险事故的原因和条件 本质：是风险事故的潜在原因；是风 险损失的间接原因 分类： ① 有形风险因素：自然、物质（实质） ② 无形风险因素：道德、心理（行为）
定义：造成生命或财产损害的偶发
事件 是风险损失的直接原因（风险因素 是损失的间接原因） 风险事故意味着风险的可能性转化 为现实性
保险的得以成立的基本条件 1. 2. 3. 4. 5.
可保风险 大量同质风险的集合与分散 保险费率的制定 保险基金的建立 保险合同的订立
从广义上讲，是指可以利用
风险管理技术来分散、减轻或 转移的风险 从狭义上看，则是指可以用 保险方式来处理的风险 一般所言的可保风险是指狭 义的可保风险。
导致损失的随机事件发生与否不
确定（0，1） 损失发生的时间和地点不确定 损失发生的原因和结果不确定
（一）风险的客观性 （二）风险的普遍性 （三）风险的可测性 （四）风险的可变性 （五）风险的社会性
自然灾害 意外事故
空间：无处不在 时间：无时不有
个别风险的发生是偶然的 总体风险具有可测性（通过对
社会保险
商业保险 政策性保险
定义：国家或政府通过立法形式，采取强手
段对劳动者因遭遇年老、疾病、生育、伤残、 失业和死亡等社会特定风险而暂时或永久失 去劳动能力、失去生活来源或中断劳动收入 时的基本生活需要提供经济保障的一种制度。 包括：养老保险；医疗保险；失业保险；工 伤保险；生育保险 链接：社会保障包括社会福利、社会保险、 社会救助、社会优抚和安置等制度组成
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效用理论的几个基本假设
假设决策者使用函数值u w （被称为效用函数）去衡量
其财富，而不是用财富w 本身去衡量。 如果决策者必须在随机损失 X 和 Y 之间进行选择，他会
去比较 E u w X 和 E u w Y ，并选择期望效用
较大的那个损失。 利用这个模型，对于随机损失 X，拥有财富w 的被保险
使用风险厌恶系数 r ，则对风险X 所需最大保 费 P 近似为 由上式可见，均值-方差保费原理是合理的。
注意到 u x 用auxb 替换时，r w 并没有改变。
从（1.18），我们可以看到风险厌恶系数真正反 映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，需 要支付的保费也越大。
，
其中等号成立当且仅当v 是线性的或Var Y 0；对
于一个凹的效用函数u，有
，
Jensen不等式的证明
证：设随机变量Y
的分布函数是
F
y
，则
E
v
Y
v
ydF
y
。
将v Y 在 E Y 点展开成泰勒级数：
v Y v v' Y v" Y 2 Y 2 2
因为v Y 是凸函数，v" 0，因此
引进一个评估财富 w 的效用函数 u ，
决策基于期望 E u w X ， 如果有二个损失 X，Y，比较 E u w X 与
E[u(w Y )]的大小来决定。
效用函数u x与其线性变换au x b,a 0的
等价性。
为比较两个随机损失 X 和 Y，无论选择效用函
数u x本身还是它的线性变换au x b，都会得出
• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能
比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。
结论：因为这么大的损失一但发生可 能导致破产，因此可以付出比期望值 高的费用为风险投保。
例 1.2.1(圣彼得堡悖论) 以价格 P 元参与如下的
由大数定律可知：
X1 X2 ... Xn E X
n
然而，事实上，没有哪个保险人以损失的期望值 承保。
风险厌恶系数
效用函数 u( x) 在财富 W 处的风险厌恶系数
r(w)为
r(w) u''(w) u'(w)
（1.17）
显然，对于风险厌恶者，总有 r(w) 0
而对于风险偏好的人，有 r(w) 0
§1.1 引言
本书第二至第四章讨论的个体风险模型、聚 合风险模型和破产理论，无疑是分析和解决保险 公司经营管理中诸多关键问题如产品定价、准备 金提留、再保险自留额安排等问题的基础。然而 这些讨论都是基于对理赔风险的正确把握进行的， 这仅是问题的一个方面。
本章是从另外的角度，也就是从决策者的主 观角度来讨论风险决策问题，具体是从保险人或 被保险人的偏好出发讨论他们的风险态度。并用 效用函数作为描述和度量决策者偏好和风险态度 的工具。
➢ 但是由于所面对的具体问题和环境的不同，每个 人对风险这个概念的理解和描述也各不相同。
➢ 风险是“无法预知”或“未卜先知”的。
讨论题
1. 根据自身经历，对风险进行描述；
2. 2. 试想，如果人类能具备预知未来的 能力，世界会是什么样子？我们的生 活又会是什么样子？
二、风险的三要素
风险与三个因素直接有关： ➢ 自然状态的不确定性（人们不能预知的或无法
控制的自然状态—风险的客观或外部原因）； ➢ 人的主观行为的不确定性（当事人或决策
者的行为—风险的主观或内部原因）； ➢ 两者结合所蕴涵的潜在后果。
三、风险的保险学定义
在保险学中，风险由两部分构成： ➢ 潜在不利后果的严重程度如何； ➢ 发生不利后果的可能性多大。
风险被简单地定义为“潜在损失的概率”。
边际效用原理的主要涵义
商品和财富的效用概念。如果用 x 代表某件商品 的价值或者一定的财富值，那么该个体对这件商 品或这笔财富的满足程度，或者说它对于该个体 的主观价值就是 x 的效用。
边际效用递减原理。它包含两层含义，其一说明 人们对于商品和财富的占有是多多益善的，因此
效用函数 ux 是一个增函数，即一阶导数
v Y v v' Y Y 2
上面不等式两侧分别对dF y 积分并略去高阶无穷小项，得
E vY v v E Y
对于凹函数u x ，因u" x 0，上面的不等式反号。
根据Jensen 不等式确定保费
（1）被保险人方面：
现在，假设一个风险厌恶型的被保险人拥有财富
第一章 效用理论与保险
本章主要内容 本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原 理以及在保费设计中的应用，并分析了不同风险 态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效 用原理给出了一定条件下最优再保险的结论。 具体内容包括风险决策的基本问题描述、期望 效用原理、风险态度分析、保费设计原理分析、 最优再保险的结论及其应用。
u' x 0；其二说明随着商品或财富数额的不
断增加，满足程度虽然也在增加，但增加的速度
却在不断下降，即u x是个凹函数，二阶导数
u" x 0。
最大期望效用原理
上述原理提出了效用函数的概念和常见效用函数的特 征。但是在有些经济决策中面临着不确定的情况，也就是 说商品或财富的价值是不确定的、随机的，下面的原理揭 示在这种情况下进行经济决策的基本原则。
风险厌恶者的效用函数u x 的特点： u' x 0, u" x 0，凹函数
风险偏好者的效用函数u x 的特点： u' x 0, u" x 0，凸函数
风险中性人的效用函数u x 的特点：： u' x 0, u" x 0，直线
定理 1.2.3 ( Jensen 不等式）如果v 是一个凸函数， Y 是一个随机变量，则
准精算师资格考试科目
01数学基础（Ⅰ）：微积分、线性代数、运筹学 02数学基础（Ⅱ）：概率论、数理统计、应用统计 03复利数学 04寿险精算数学 05风险理论：损失分布、风险模型、效用理论 06生命表基础 07寿险精算实务 08非寿险精算数学与实务 09综合经济基础
课程内容
第一章 效用理论与保险 第二章 个体风险模型 第三章 聚合风险模型 第四章 破产理论 第五章 保费原理
会不损失。 B：100%的机会失去10元。 选择A？或B？
选择B：厌恶风险 选择A ：偏好风险
§1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为 B ，发生 概率为 0.01 的风险，他可以将损失进行 投保，并愿意为这份保单支付保费 P，B 和 P 之间有何种关系？
根据均衡方程，该个体愿意支付的最 大保费为 P 0.01B。
（2）保险人方面：
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。 如果 E U W P X U W ，那么保险人将以保
费 P 承保损失 X 。 上述不等式意味着保险人选用的效益函数是
个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
本 w 的个体使用效用函数 u 衡量其财富的价值。他面
临两种选择： A． 以概率 1/2 损失 b 元； B． 仅支付固定的 b/2 元。 他的决策是这样的： 当 b = 1 时，他选择 A；（风险偏好） 当 b =4 时，他选择 B；（风险厌恶） 当 b =2 时，两种选择等价。（风险中性）
效用函数的基本特征
精算师要解决的几个基本问题： （1）保费设计；（2）准备金评估；（3）再
保险设计；（4）资产负债与偿付能力管理。
中国精算师资格考试
中国精算师资格考试分为两个层次，第一层 次为准精算师资格考试，第二层次为精算 师资格考试。
准精算师考试目的在于考察考生对保险精算 的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保 险精算实务，考试课程共设9门，均为必考 课程。
为三种：风险厌恶、风险偏好和风险 中性。
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%
的机会什么也得不到。 B：100%的机会得到10元。 选择A？或B？
选择A：偏好风险；选择B ：厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去10000元钱，99.9%的机
例 1.2.4 （风险厌恶系数）给定效用函数
u x ，我们如何近似计算针对风险 X 所
需最大保费 P ？
记 E X 和 2 分别表示 X 的均值与方差，
利用u 在点 w 处级数展开的前几项，有
在后面式子的两边同时取期望，得到
P
将（1.13）与（1.14）代入（1.10），得到
因此，风险X 的最大保费 P 近似为
相同的决策，即
等价于
效用函数的确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这 效益函数，因此效用函数是客观存在的， 但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他 们对这些问题的回答来决定该决策人的 效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货币， 你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资
效用的概念是丹尼尔.伯努利在解释圣彼得堡悖论 时提出来的主要包括两条原理：边际效用递减原 理和最大期望效用原理。 边际效用递减原理：个人对所追求的商品和财富 的满足程度由其效用值衡量，且随着其商品和财 富的绝对数量的增加而增加，但增加的速率却随 着其绝对数量的增加而逐渐降低。
讨论题：举例说明上述原理的正确性。
最大期望效用原理：在具有风险和不确定的条件下，个 人进行决策的行为动机和准则是获得最大的期望效用值， 而不是获得最大的实际金额的期望值。
上述原理刻画了风险和不确定情况下的一般决策准则， 它表明，在有风险和不确定的情形，人们一般追求最大的 期望效用。