风险理论第1章 效用理论和保险

第一章 效用理论与保险
本章主要内容 本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原 理以及在保费设计中的应用，并分析了不同风险 态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效 用原理给出了一定条件下最优再保险的结论。 具体内容包括风险决策的基本问题描述、期望 效用原理、风险态度分析、保费设计原理分析、 最优再保险的结论及其应用。
引进一个评估财富 w 的效用函数 u ，
决策基于期望 E u w X ， 如果有二个损失 X，Y，比较 E u w X 与
E[u(w Y )]的大小来决定。
效用函数u x与其线性变换au x b,a 0的
等价性。
为比较两个随机损失 X 和 Y，无论选择效用函
数u x本身还是它的线性变换au x b，都会得出
本 w 的个体使用效用函数 u 衡量其财富的价值。他面
临两种选择： A． 以概率 1/2 损失 b 元； B． 仅支付固定的 b/2 元。 他的决策是这样的： 当 b = 1 时，他选择 A；（风险偏好） 当 b =4 时，他选择 B；（风险厌恶） 当 b =2 时，两种选择等价。（风险中性）
效用函数的基本特征
游戏。抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为止。
如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者就
可以获得 2n 元。因此，从该游戏中获得的期望收益
是
n1
2n
1 2
n
。然而，除非
P
很小，否则很少有人
会参加这样的游戏，因为往往抛掷几次游戏就结束
了。这就意味着人们并不仅仅看到期望收益。
边际效用递减原理
w，使用效用函数是 u ，他以保费 P 获得对损失 X
的保险保障。根据 Jensen 不等式
如果上面的不等号成立，意味着他的期望效用将会提高。
如果用 P 代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以下效 用均衡方程的解
E u w X u W P ， （1.10）
由于 u 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
效用的概念是丹尼尔.伯努利在解释圣彼得堡悖论 时提出来的主要包括两条原理：边际效用递减原 理和最大期望效用原理。 边际效用递减原理：个人对所追求的商品和财富 的满足程度由其效用值衡量，且随着其商品和财 富的绝对数量的增加而增加，但增加的速率却随 着其绝对数量的增加而逐渐降低。
讨论题：举例说明上述原理的正确性。
例 1.2.4 （风险厌恶系数）给定效用函数
u x ，我们如何近似计算针对风险 X 所
需最大保费 P ？
记 E X 和 2 分别表示 X 的均值与方差，
利用u 在点 w 处级数展开的前几项，有
在后面式子的两边同时取期望，得到
P
将（1.13）与（1.14）代入（1.10），得到
因此，风险X 的最大保费 P 近似为
人，就可以决定为此支付的最大保费 P 了。这可以由均
衡方程 E u w X u w P 求出。
保险人使用自己的效用函数和可能的附加费用，决定一 个最小的保费 P 。
如果保费介于被保险人的最大保费 P 和保险人的最小 保费 P 之间，保险人与被保险人双方的效用就都增加 了。
风险态度：对待风险的态度可以分
四、保险业务分类
寿险：以被保险人的生命为标的，以生死为事故。 寿险的保险期相对较长，损失分布的规律（生命 表）也比较稳定。
非寿险：除了寿险以外的一切保险业务，如 财物险、车辆险等。
非寿险多为短期保险，损失情况五花八门，损失 分布规律也比较复杂。
五、保险精算的基本问题
精算学以现代数学和统计学为基础, 对 保险经营中的某些问题进行定量化的分析 和研究, 为保险公司进行科学决策和提高 管理水平提供依据和方法。
，
其中等号成立当且仅当v 是线性的或Var Y 0；对
于一个凹的效用函数u，有
，
Jensen不等式的证明
证：设随机变量Y
的分布函数是
F
y
，则
E
v
Y
v
ydF
y
。
将v Y 在 E Y 点展开成泰勒级数：
v Y v v' Y v" Y 2 Y 2 2
因为v Y 是凸函数，v" 0，因此
会不损失。 B：100%的机会失去10元。 选择A？或B？
选择B：厌恶风险 选择A ：偏好风险
§1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为 B ，发生 概率为 0.01 的风险，他可以将损失进行 投保，并愿意为这份保单支付保费 P，B 和 P 之间有何种关系？
根据均衡方程，该个体愿意支付的最 大保费为 P 0.01B。
风险厌恶者的效用函数u x 的特点： u' x 0, u" x 0，凹函数
风险偏好者的效用函数u x 的特点： u' x 0, u" x 0，凸函数
风险中性人的效用函数u x 的特点：： u' x 0, u" x 0，直线
定理 1.2.3 ( Jensen 不等式）如果v 是一个凸函数， Y 是一个随机变量，则
v Y v v' Y Y 2
上面不等式两侧分别对dF y 积分并略去高阶无穷小项，得
E vY v v E Y
对于凹函数u x ，因u" x 0，上面的不等式反号。
根据Jensen 不等式确定保费
（1）被保险人方面：
现在，假设一个风险厌恶型的被保险人拥有财富
使用风险厌恶系数 r ，则对风险X 所需最大保 费 P 近似为 由上式可见，均值-方差保费原理是合理的。
注意到 u x 用auxb 替换时，r w 并没有改变。
从（1.18），我们可以看到风险厌恶系数真正反 映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，需 要支付的保费也越大。
（2）保险人方面：
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。 如果 E U W P X U W ，那么保险人将以保
费 P 承保损失 X 。 上述不等式意味着保险人选用的效益函数是
个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
➢ 但是由于所面对的具体问题和环境的不同，每个 人对风险这个概念的理解和描述也各不相同。
➢ 风险是“无法预知”或“未卜先知”的。
讨论题
1. 根据自身经历，对风险进行描述；
2. 2. 试想，如果人类能具备预知未来的 能力，世界会是什么样子？我们的生 活又会是什么样子？
二、风险的三要素
风险与三个因素直接有关： ➢ 自然状态的不确定性（人们不能预知的或无法
最大期望效用原理：在具有风险和不确定的条件下，个 人进行决策的行为动机和准则是获得最大的期望效用值， 而不是获得最大的实际金额的期望值。
上述原理刻画了风险和不确定情况下的一般决策准则， 它表明，在有风险和不确定的情形，人们一般追求最大的 期望效用。
根据这个原理，由冯· 诺伊曼（von Neumann） 和摩根斯特恩（Morgenstern）于 1947 年引入的模型 描述了决策者怎样在不确定的结果中做出选择，这个 模型包含三个内容：
状况的效用均衡方程中解出：
如果U (x)是一个非减的连续函数，则有 P P 。
如果 P P，那么达成交易会同时增加被保险人与 保险人双方的期望效用。
成交！
理论上，保险人被视为风险中性的，即对于任意 的风险 X，如果不考虑额外费用（风险附加费、 运营费和利润等），有期望保费 E[X] 就够了。
准精算师资格考试科目
01数学基础（Ⅰ）：微积分、线性代数、运筹学 02数学基础（Ⅱ）：概率论、数理统计、应用统计 03复利数学 04寿险精算数学 05风险理论：损失分布、风险模型、效用理论 06生命表基础 07寿险精算实务 08非寿险精算数学与实务 09综合经济基础
课程内容
第一章 效用理论与保险 第二章 个体风险模型 第三章 聚合风险模型 第四章 破产理论 第五章 保费原理
相同的决策，即
等价于
效用函数的确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这 效益函数，因此效用函数是客观存在的， 但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他 们对这些问题的回答来决定该决策人的 效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货币， 你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资
为三种：风险厌恶、风险偏好和风险 中性。
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%
的机会什么也得不到。 B：100%的机会得到10元。 选择A？或B？
选择A：偏好风险；选择B ：厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去10000元钱，99.9%的机
精算师要解决的几个基本问题： （1）保费设计；（2）准备金评估；（3）再
保险设计；（4）资产负债与偿付能力管理。
中国精算师资格考试
中国精算师资格考试分为两个层次，第一层 次为准精算师资格考试，第二层次为精算 师资格考试。
准精算师考试目的在于考察考生对保险精算 的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保 险精算实务，考试课程共设9门，均为必考 课程。
§1.1 引言
本书第二至第四章讨论的个体风险模型、聚 合风险模型和破产理论，无疑是分析和解决保险 公司经营管理中诸多关键问题如产品定价、准备 金提留、再保险自留额安排等问题的基础。然而 这些讨论都是基于对理赔风险的正确把握进行的， 这仅是问题的一个方面。
本章是从另外的角度，也就是从决策者的主 观角度来讨论风险决策问题，具体是从保险人或 被保险人的偏好出发讨论他们的风险态度。并用 效用函数作为描述和度量决策者偏好和风险态度 的工具。
边际效用原理的主要涵义
商品和财富的效用概念。如果用 x 代表某件商品 的价值或者一定的财富值，那么该个体对这件商 品或这笔财富的满足程度，或者说它对于该个体 的主观价值就是 x 的效用。
边际效用递减原理。它包含两层含义，其一说明 人们对于商品和财富的占有是多多益善的，因此
效用函数 ux 是一个增函数，即一阶导数
由大数定律可知：
X1 X2 ... Xn E X
n
然而，事实上，没有哪个保险人以损失的期望值 承保。
风险厌恶系数
来自百度文库
效用函数 u( x) 在财富 W 处的风险厌恶系数
r(w)为
r(w) u''(w) u'(w)
（1.17）
显然，对于风险厌恶者，总有 r(w) 0
而对于风险偏好的人，有 r(w) 0
风险理论
教材： R.卡尔斯，M.胡法兹等《现代精算风险理论》，
科学出版社，2019.
参考书：
吴岚，王燕:《风险理论》，财经出版社，2019 肖争艳:《风险理论》，人大，2019 邹公明，范兴华：《风险理论》，上海财大，2019
风险理论与保险精算概述
《风险理论》--准精算师考试科目
一、风险的概念
➢ 人们习惯用“风险”这个词来表达可能发生的不 利事件和各种灾害。
效用理论的几个基本假设
假设决策者使用函数值u w （被称为效用函数）去衡量
其财富，而不是用财富w 本身去衡量。 如果决策者必须在随机损失 X 和 Y 之间进行选择，他会
去比较 E u w X 和 E u w Y ，并选择期望效用
较大的那个损失。 利用这个模型，对于随机损失 X，拥有财富w 的被保险
控制的自然状态—风险的客观或外部原因）； ➢ 人的主观行为的不确定性（当事人或决策
者的行为—风险的主观或内部原因）； ➢ 两者结合所蕴涵的潜在后果。
三、风险的保险学定义
在保险学中，风险由两部分构成： ➢ 潜在不利后果的严重程度如何； ➢ 发生不利后果的可能性多大。
风险被简单地定义为“潜在损失的概率”。
u' x 0；其二说明随着商品或财富数额的不
断增加，满足程度虽然也在增加，但增加的速度
却在不断下降，即u x是个凹函数，二阶导数
u" x 0。
最大期望效用原理
上述原理提出了效用函数的概念和常见效用函数的特 征。但是在有些经济决策中面临着不确定的情况，也就是 说商品或财富的价值是不确定的、随机的，下面的原理揭 示在这种情况下进行经济决策的基本原则。
• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能
比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。
结论：因为这么大的损失一但发生可 能导致破产，因此可以付出比期望值 高的费用为风险投保。
例 1.2.1(圣彼得堡悖论) 以价格 P 元参与如下的