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2018年考研数学二试题及答案解析

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1
（1）若 lim(e ax bx) x 1 ，则（）
x 2
2
x 0
A. a
1 , b 1 2
B. a
1 , b 1 2

x
0
f (t )dt tf ( x t )dt ax 2
0
x
（II）若 f ( x) 在区间[0,1]上的平均值为 1，求 a 的值。（ 17 ）设平面区域 D 由曲线
x t sin t (0 t 2 )与x轴围成，计算二重积分 y 1 cos t
（8）.设 A ， B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩，（X A. r ( A C. r ( A
Y ）表示分块矩阵，则（）
AB) r ( A) B) max{r ( A), r ( B)}
B. r ( A D. r ( A
BA) r ( A)
B) r ( AT BT )
2
3 x cos t 在 t 对应点的曲率为 3 4 y sin t
（12）曲线
.
（13）设函数 z z ( x, y) 由方程 ln z e
z 1
xy 确定，则
z x (2, 1 )
2
.
（14）设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 为线性无关的向量组，若 A1 21 2 3 ,
( x 2 y)dxdy
D
（18）已知常数 k ln 2 1 ，证明 ( x 1)( x ln x 2k ln x 1) 0

2018年考研数学(二)真题及答案解析(完整版)

C. a 1 , b 1 2
D. a 1 , b 1 2
【答案】B
【解析】
1 lim e ax bx e e e x
2
1 x2
ln ex ax2 bx
lim
x0
x2
lim ex 2axb x0 2 x ex ax2 bx
lim ex 2axb x0 2x
x0
lim
f 0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0,
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0
D 不可导：
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 -x
2 x
1, 2
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
1 2
x
1
x x0
2
f 0 f 0
3.设函数
f
x
1, 1,
则
A. a 3, b 1 C. a 3, b 1
g
x 1b
1 1 b b
2
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 2 a
1 a
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 1 2 2
1 a
a
3
4. .设函数 f x 在0,1 上二阶可导，且 1 f xdx 0, 则 0

2018年考研数学二真题及答案

x 1
lim ( f (x) g(x)) 1 a, lim ( f (x) g(x)) 2, a 3 ，
x 1 x0
x0
lim ( f (x) g(x)) 1, lim ( f (x) g(x)) 1 b,b 2 ，选 D. 1
(x 2 y)dxdy
D
（18）已知常数 k ln 2 1，证明(x 1)(x ln x 2k ln x 1) 0
2
（19）一根绳长 2m，截成三段，分别折成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长
时所得的面积总和最小，并求该最小值。
（20）已知曲线
L: y
4 9
【解答】对于选项 A:取 f ( x ) x 选 D.
1
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(5) 【答案】选 C.

【解答】 M
.
（15）三、解答题：15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
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求不定积分 e arctan
（23）已知 a 是常数，且矩阵
（I）求 a （II）求满足
AP B 的可逆矩阵 P
3
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2018 考研数学二答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．请将答案写在答题纸指定位置上．．．．（1）【答案】选 B. 【解答】lim(e ax2

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及标准答案

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
(总分：150.00，做题时间：180分钟)
一、单项选择题
选择题：1?8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(总题数：8，分数：32.00)
1. （分数：4.00）
A.a=1/2，b=-1
(1) 求f(x1,x2,x3) = 0 的解
(2) 求f(x1,x2,x3) 的规范型（分数：11.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(
）
解析：
12.曲线对应点处的曲率为__________。（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：
2/3
）
解析：
13.设函数z = z(x，y)由方程l __________。
（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：
1/4
）
正确答案：(
)
解析：
19.将长为2m的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________
2
）
解析：
三、解答题
解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

考研数学二历年真题word版

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()=(1)(2)()x x nx f x e e e n ---其中n 为正整数,则'(0)f = ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n --(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==+++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d (1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有0,0,x y∂∂><∂∂（x,y ）（x,y ）则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1C ，2C ，3C ，4C 均为任意常数,则下列数列组相关的是( )(A) 1α，2α，3α (B) 1α，2α，4α (C) 2α，3α，4α (D) 1α，3α，4α(8) 设A 为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若()123,,P ααα=，()1223+,,Q αααα=,则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202/x d yd x== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11)设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13)曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14)设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = . 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，（I ）求a 的值;（II ）若0x →当时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe +-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:L y lnx =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围城,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点(0)f '(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；（II ）记（I ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭（I）计算行列式A；(II）当实数a为何值时，方程组Axβ=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001Aaa⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T Tf x x x x A A x=的秩为2，（I）求实数a的值；（II）求正交变换x Qy=将f化为标准形.2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

(完整版)2018考研数学二真题.docx

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共32 分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1（ 1）若lim( e x ax2bx) x21,则（）x 0(A) a 1， b1(B) a1,b1(C) a11, b 1 (D) a,b 1 2222（ 2）下列函数中，在x 0 处不可导的是（）(A) f x x sin x(B)f x x sin x (C)f x cos x(D)f x cos x1,x02ax, x1（ 3）设函数f (x)x,1x 0 ,若f ( x)g(x)在上连续，则（）1,x0, g ( x)Rx b, x0(A) a 3,b1(B)a3,b2 (C)a3, b1(D)a3,b2（ 4）设函数f (x)在[0,1]上二阶可导，且10,则（）f ( x)dx(A) 当f( x)0时 , f (10(B)当 f(x)0时 , f (10 ))22(C)当 f( x)0时 , f(10(D)当 f(x)0时 , f (10 ))221x21xxdx, K（ 5）设M22dx, N2 2 1cos x dx, 则（）21x2e2(A) M N K(B) M K N(C) K M N(D) K N M02x2xy)dy12x2xy)dy（ 6）dx(10dx(1（）1x x5(B)5(C)77(A)363(D)6110（ 7）下列矩阵中与矩阵01 1 相似的为（）001111101(A)011(B)0110010011 11 1 0 1(C) 01 0(D) 01 00 0 1 0 0 1（ 8）设 A, B 为n 阶矩阵，记 rX 为矩阵 X 的秩， X ,Y 表示分块矩阵，）则（(A) r A, AB r A(B)r A, BAr A(C)r A, Bmax r A ,r B(D) rA, Br A T B T二、填空题： 9~14 题，每小题 4 分，共 24 分 .（ 9） lim x 2 [arctan(x1) arctanx]x（ 10）曲线 y x 2 2ln x 在其拐点处的切线方程是（ 11）1dx25x 4x3（ 12）曲线xcos 3 t ，在t 对应点处的曲率为y sin 3 t4（ 13）设函数 zx, y 由方程 ln z e z 1xy 确定 ,则zx (2, 1 )2（ 14）设 A 为3阶矩阵 ,1,2 , 3是线性无关的向量组 , 若 A 1 2 12则 A 的实特征值为.三、解答题： 15~23 小题，共 94 分。

2018考研数学二真题及答案解析-文都版

1
世纪文都教育科技集团股份有限公司
应选(D). 方法二：因为 f ( x) cos
x , f (0) 1 cos x x 1 1 x 2 不存在 x
lim
x 0
f ( x) f (0) lim x 0 x
lim
x 0
f ( x) 在 x 0 处不可导，选（D）

N 2
1 x x 1 dx ，因为 e x x 1 ，所以 x 1 x e 2 e
3
世纪文都教育科技集团股份有限公司
K 2 1 cos x dx ， 1 cos x 1
2

即
所以由定积分的比较性质 K M N ，应选（C）. 6.
A. M N K . C. K M N . 答案：（C）解析： M

B. M K N . D. K N M .

2 2
1 x
1 x2
2
dx =
2 2
2x 1 2 1 x
2 dx 1dx ， 2
4.设函数 f ( x ) 在 0,1 上二阶可导，且

1
0
f ( x)dx 0, 则
2
世纪文都教育科技集团股份有限公司
1 2 1 C.当 f '( x ) 0 时， f ( ) 0. 2
A.当 f '( x ) 0 时， f ( ) 0. 答案：（D）
1 2 1 D.当 f "( x ) 0 时， f ( ) 0. 2
（B） lim
x 0
1 2 - x cos x -1 f ( x) - f (0) （C） lim = lim = lim 2 = 0 ，可导 x 0 x 0 x 0 x x x 1 - x cos x -1 f ( x) - f (0) （D） lim = lim = lim 2 不存在，不可导 x 0 x 0 x 0 x x x

2018年考研数学二试题及答案解析

(全国统一服务热线：400—668—21551Born to win2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若212lim()1xx x e ax bx →++=,则（）()A 1,12a b ==- ()B 1,12a b =-=-()C 1,12a b == ()D 1,12a b =-=【答案】B（2）下列函数中,在0x =处不可导是（）()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x xC f x xD f x x====【答案】D（3）设函数10()10x f x x -<⎧=⎨≥⎩，21()100ax x g x xx x b x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩,若()()f x g x +在R 上连续,则（） ()A 3,1a b == ()B 3,2a b == ()C 3,1a b =-= ()D 3,2a b =-=【答案】D（4）设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且1()0f x dx =⎰,则（A ）当()0f x '<时, 1()02f < （B ）当()0f x ''<时, 1()02f < （C ）当()0f x '>时, 1()02f < （D ）当()0f x '>时, 1()02f <【答案】D（5）设2222(1)1x M dx x ππ-+=+⎰,22221x x N dx e ππ-+=⎰,22(1cos )K x dx ππ-=+⎰,则,,M N K 的大小关系为（A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >>【答案】C2 2全国统一服务热线：400—668—2155Born to win!精勤求学自强不息（6）222121(1)(1)x x xxdx xy dy dx xy dy -----+-=⎰⎰⎰⎰（A ）53（B ）56（C ）73（D ）76【答案】C（7）下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 111()011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()011001B -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111()010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()010001D -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭【答案】A（8）设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则（A ）()()r A AB r A = （B ）()()r A BA r A = （C ）()max{(),()}r A B r A r B = （D ）()()T T r A B r A B =【答案】A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=_______(10) 曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程是______ (11)25143dx x x +∞=-+⎰_______(12) 曲线33cos sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩在4t π=对应点的曲率为（13）设函数(,)z z x y =由方程1ln z z exy -+=确定，则1(2,)2______zx∂=∂（14）设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组，若(全国统一服务热线：400—668—21553Born to win11232233232,2,A A A αααααααααα=++=+=-+，则A 的实特征值为【答案】2三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求不定积分21x xe e dx -⎰（16）（本题满分10分）已知连续函数()f x 满足20()()xxf t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰，(1)求()f x ，(2) 若()f x 在区间[0,1]上的平均值为1,求a 的值（17）（本题满分10分）设平面区域D 由曲线sin ,(02)1cos ,x t t t y t π=-⎧≤≤⎨=-⎩与x 轴围成,计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰（18）（本题满分10分）已知常数ln21k ≥-.证明2(1)(ln 2ln 1)0x x x k x --+-≥（19）（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

2018年考研数学二真题及答案解析

2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++→x bx ax e xx ，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数⎩⎨⎧≥-=010,1)(x x x f ，＜，⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且⎰=10)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f '时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ''时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f '时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ''时，0)21(＜f 5.设dx x x M ⎰-++=22221)1(ππ，dx e xN x ⎰-+=221ππ，dx x K ⎰-+=22)cos 1(ππ，则（A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）NM K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-⎰⎰⎰⎰----dy xy dx dy xy dx x xx x1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-11（B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-01（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-11（D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-018.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++∞→=。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题（4分×8） 1. 若()212lim 1x x x e ax bx→++=，则（）A 、 1,12a b ==- B 、1,12a b =-=- C 、1,12a b == D 、1,12a b =-= 解选B 。

因()2122201lim 1lim 0x x xx x e ax bx e ax bxx →→++-++=⇔=；由此可知02lim 012x x e ax b b x →++=⇒=-，及021lim 022x x e a a →+=⇒=-。

2.下列函数在x = 0处不可导的是（） A 、()sin f x x x = B、()f x x = C 、()cos f x x = D、()f x =解选D 。

详见数学一的第1题。

3.设函数2,11,0(),(),101,0,0ax x x f x g x x x x x b x -≤-⎧-<⎧⎪==-<<⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩，若()()f x g x R +在上连续，则（） A 、 3,1a b == B 、3,2a b == C 、3,1a b =-= D 、3,2a b =-= 解选D 。

计算得21,1()()1,101,0ax x f x g x x x x b x --≤-⎧⎪+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩，因()()f x g x R +在上连续，故21210b+1a +-=--+=-及，解得3,2a b =-=。

4. 设函数()f x 在上[0,1]二阶可导，且1()0f x dx =⎰，则（）A 、当()0f x '< 时，1()02f <B 、当()0f x ''< 时，1()02f <C 、当()0f x '> 时，1()02f <D 、当()0f x ''> 时，1()02f <解选D 。

2018年考研数学二试题与答案解析(完整版)

B. a 3, b 2 D. a 3, b 2
lim f x g x lim f x lim g x 1 0 1
x 0 x 0
lim f x g x lim f x lim g x 1 b 1 1 b b 2
6. A.

0
1
dx
2 x2
x
1 xy dy 0 dx x 1 xy dy
B.
1
2 x2
5 3 7 C. 3
【答案】C 【解析】如图, dx
1
5 6 7 D. 6
1 2 x2

0
2 x2
x

(1 xy )dy dx
0

x
(1 xy )dy (1 xy )dxdy dxdy S D
2

e
x0 2 x
lim
e
e x 2 ax b
x
ax 2 bx

e
x0
lim
e x 2 ax b 2x
lim e x 2 ax b 0 b 1 e x 2 ax b x0 lim 0 1 e x 2 ax b x0 2x a lim 0 2 2x x0
x 0 x 0
x 1 x 1
lim f x lim g x 1 2 a 1 a f x g x xlim 1 x 1 lim f x lim g x 1 1 2 2 1 a a 3 f x g x xlim 1 x 1