定积分的证明题
定积分的证明题https://www.360docs.net/doc/35426698.html,work Information Technology Company.2020YEAR
题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :400=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴<=∈-?=??→→→∞ →∞→π π ξξξ π π ξπ ξξπ xdx dx x n n n n n n n n n n Q 题目3证明题 一般 。 使内至少存在一点证明:在,内可导,且在设函数0) (f ],[0 )(0)(],[)(=' ==?ξξb a dx x f a f b a x f b a 解答_ 。 使,在一点应用罗尔定理,可知存上,在区间,使 存在一点由积分中值定理,在0) (b)(a,) (a ,] [0 ) (0 ))( ()( ),(11111='?∈=∴=-=?ξξξξξξξf a f a b f dx x f b a b a 题目4证明题 一般 。 为正整数时证明:当, 设?? =+=a na dx x f n dx x f n a x f x f 0 0 )()( )()( 解答_
定积分不等式
第三章 一元积分学 第三节 定积分值的估计及不等式 定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题,方法多样,用到的知识(微分学的知识,积分学的知识等)也很多。总的说来: (1)主要用积分学的知识,除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外,以下几个简单的不等式也是有用的: (i )若]),[( )()(b a x x g x f ∈≤,则?? ≤b a b a dx x g dx x f )()( . (ii )? ?≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| . (iii )若b d c a b a x x f ≤≤≤∈≥]),,[( 0)(,则?? ≤b a d c dx x f dx x f )()(. (iv)(柯西不等式)??? ≤b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([ 222 (2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法. (3)利用二重积分、级数等.值得注意的是:题目的解法往往有多种,同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法. 例1.判断积分 ? π 20 2sin dx x 的符号 分析:这个积分值是求不出来的.如果被积函数在积分区间上有确切的符号,那么积分值的符号很容易判断.如果被积函数在积分区间上有正、有负,那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间,然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值(实际上是比较积分值的绝对值).本题中被积函数2 sin x 在积分区间上有正、有负,先作换元:2 x t =,把积分变为 dt t t dx x ?? =ππ 2020 2 sin 21sin 后,问题更清晰,因而想到 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 至此积分的符号凭直觉已经能判断了.但严格说明还需做一些工作,上式右端两个积分 的积分区间不一样,为了方便比较,应将两个积分放在同一积分区间上进行比较.有了这些分析和思路后,解答就容易了. 解:令2 x t =,则 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin = +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 对上式右端后一积分换元π+=u t 得 ? ? ?+-=+-=π π π π π π 2sin sin sin dt t t du u u dt t t 从而 =? π 20 2sin dx x -= ?π0sin (21dx t t )sin 0 ? +π π dt t t
探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法 摘要:文章针对被积函数的特性,给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。 关键词:定积分 不等式 证法 不等式的证明在高等数学的学习中很常见,但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式,首先要看被积函数,其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1.运用定积分中值定理证明 定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积,即将定积分转化为函数来证明不等式。 例1:设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增,证明a ?∈[0,1]有? a dx x f 0 )(≥? 1 )(dx x f a . 证明:由原不等式变形得 ? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a (, 即是要证:? -a dx x f a 0 )() 1(≥?1 )(dx x f a , 对左式,)(x f 在[0,1]上连续,
故 由定积分中值定理知: [] a ,01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?(, 同理对右式:[]12,a ∈ ?ξ使)()1()(2 1 ξ f a a dx x f a -=?, 显然,ξ1<ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增, ∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂,它的条件也极其简单,易于掌握。 2.运用辅助函数证明 构造辅助函数F(x)证明不等式,首先是做函数将要证结论中的积分上限(下限)换成x ,移项使不等式的一边为零,另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x),并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。 例2:设)(x f 在[a ,b]上连续,且)(x f >0. 试证:2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥?? 证明:构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --= ? ? (将b 换成x ), 则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()('
定积分习题
定积分习题
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第九章 定 积 分 练 习 题 §1定积分概念 习 题 1.按定积分定义证明:?-=b a a b k kdx ).( 2.通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{}i ξ,把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分: (1)?∑=+= 1 1 22 33 )1(4 1:;n i n n i dx x 提示 (2)?10;dx e x (3)?b a x dx e ; (4)12(0).(:)b i i i a dx a b x x x ξ-<<=?提示取 §2 牛顿一菜布尼茨公式 ??1.计算下列定积分: (1)?+1 0)32(dx x ; (2)?+-1 022 11dx x x ; (3)?2ln e e x x dx ; (4)?--1 2 dx e e x x ; (5)? 30 2tan π xdx (6) ? + 9 4 ;)1(dx x x (7)?+4 0;1x dx (8)?e e dx x x 12 )(ln 1 2.利用定积分求极限: (1));21(13 34lim n n n +++∞→ (2);)(1)2(1)1(1222lim ??????++++++∞→n n n n n n (3));21 )2(111( 222lim n n n n n +++++∞ →
(4))1sin 2sin (sin 1lim n n n n n n -+++∞→ ππ 3.证明:若f 在[a,b]上可积,F 在[a,b]上连续,且除有限个点外 有F '(x)=f (x),则有 ()()().b a f x dx F b F a =-? §3 可积条件 1.证明:若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割,则∑∑?≤?' .''T T i i i i χωχω 2.证明:若f在[a ,b ]上可积,[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ?. 3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。证明:若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b ]上可积时,g 在[a,b]上也可积,且 ()().χχχχd g a b d f a b ??= 3.设f 在[a,b]上有界,{}[], ,b a a n ?.lim c a n n =∞ →证明:在[a ,b]上只有 () ,2,1=n a n 为其间断点,则f在[a,b ]上可积。 4.证明:若f在区间?上有界,则 ()()()()"','".sup sup inf f f f f χ χχχχχχχ∈? ∈? ∈? -=-。 §4 定积分的性质 1.证明:若f与g都在[a ,b]上可积,则 ∑?=→=?n i b a i i i T dx x g x f x g f 1 0,)()()()(lim ηξ 其中i i ηξ,是T所属小区间△i中的任意两点,i=1,2…,n . 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)??101 ;2 dx x xdx 与 ?(2)??20 20 .sin π π xdx xdx 与 3.证明下列不等式:
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第九章 定 积 分 练 习 题 §1定积分概念 习 题 1.按定积分定义证明:?-=b a a b k kdx ).( 2.通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{}i ξ,把定积分看作 是对应的积分和的极限,来计算下列定积分: (1)?∑=+= 1 1 22 33 )1(4 1:;n i n n i dx x 提示 (2)?10;dx e x (3)?b a x dx e ; (4 )2(0).(:b i a dx a b x ξ<<=? 提示取 §2 牛顿一菜布尼茨公式 1.计算下列定积分: (1)?+1 0)32(dx x ; (2)?+-1 022 11dx x x ; (3)?2ln e e x x dx ; (4)?--1 02dx e e x x ; (5)?302tan π xdx (6)?+94;)1(dx x x (7)?+4 0;1x dx (8)?e e dx x x 12 )(ln 1 2.利用定积分求极限: (1));21(13 34lim n n n +++∞→Λ (2);)(1)2(1)1(1222lim ?? ????++++++∞→n n n n n n Λ (3));21 )2(111( 2 22lim n n n n n +++++∞ →Λ
(4))1sin 2sin (sin 1lim n n n n n n -+++∞→Λππ 3.证明:若f 在[a,b]上可积,F 在[a,b]上连续,且除有限个点 外有F '(x )=f (x),则有 ()()().b a f x dx F b F a =-? §3 可积条件 1.证明:若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割,则 ∑∑?≤?' .'' T T i i i i χωχω 2.证明:若f 在[a,b]上可积,[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ?. 3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。证明:若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时,g 在[a,b]上也可积,且 ()().χχχχd g a b d f a b ??= 3.设f 在[a,b]上有界,{}[], ,b a a n ?.lim c a n n =∞ →证明:在[a,b]上只有 ()Λ,2,1=n a n 为其间断点,则f 在[a,b]上可积。 4.证明:若f 在区间?上有界,则 ()()()()"','".sup sup inf f f f f χ χχχχχχχ∈? ∈? ∈? -=-。 §4 定积分的性质 1.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,则 ∑?=→=?n i b a i i i T dx x g x f x g f 1 0,)()()()(lim ηξ 其中i i ηξ,是T 所属小区间△i 中的任意两点,i=1,2…,n. 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小:
定积分的证明题
题目1证明题 容易 d X 证明 (x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx J a 解答_ X a (x-t)f (t)dt X = [(X —t)df(t) X X =(X 一 t)f(t) a + [ f(t)dt X = (^-X) f (a) + [ f (t)dt d X ^X a (X -t)f(t)dt --f(a) f(x) f (x) - f (a)。 题目2证明题 容易 由积分中值定理,在[0,…]上存在点',使 4 Iim 4 Sin n XdX= Iim Sin n ( 0) G 三[0,] n 》::0 n 匚 4 4 Iim Sin n 4 J 0 Q 0 . sin :: 1 .Iim Sin n =0 n _O π .Iim 4 Sin n XdX= 0。 —0 0 题目3证明题 一般 b 设函数 f (x)在[a,b ]内可导,且 f(a)=0, f(x)dx = 0 -a 证明:在[a,b ]内至少存在一点?使f 「)=0。 解答_ 由积分中值定理,在(a,b)存在一点'1,使 b [ f (x)dx = f (: 1)(b -a) = 0 f ( 1 ) =0 在区间[a , 1]上,应用罗尔定理,可知存 在一点 二(a , ' 1) (a,b)使f ( J=0b 题目4证明题 一般 设 f (x) = f (x +a), na a 证明:当n 为正整数时 0 f (x)dx = n .°f(x)dx 解答 利用积分中值定理证明 解答 π :Ijm 4 Sin n XdX 二 0 n 0 0
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1.利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ,两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2.利用定积分的几何意义,证明下列等式: ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3.估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4.根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5.计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6.计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7.当x 为何值时,函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值? 8.计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ,其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ,l 为正整数,且l k ≠,试证下列各题: ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法 摘要:文章针对被积函数的特性,给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。 关键词:定积分 不等式 证法 不等式的证明在高等数学的学习中很常见,但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式,首先要看被积函数,其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1.运用定积分中值定理证明 定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积,即将定积分转化为函数来证明不等式。 例1:设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增,证明a ?∈[0,1]有 ? a dx x f 0 )(≥ ?1 )(dx x f a . 证明:由原不等式变形得? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a (, 即是要证:? -a dx x f a 0 )() 1(≥?10 )(dx x f a , 对左式,)(x f 在[0,1]上连续, 故 由定积分中值定理知: [] a ,01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?(, 同理对右式:[]12,a ∈ ?ξ使)()1()(2 1 ξ f a a dx x f a -=?,
显然,ξ1<ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增, ∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂,它的条件也极其简单,易于掌握。 2.运用辅助函数证明 构造辅助函数F(x)证明不等式,首先是做函数将要证结论中的积分上限(下限)换成x ,移项使不等式的一边为零,另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x),并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。 例2:设)(x f 在[a ,b]上连续,且)(x f >0. 试证:2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥?? 证明:构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --=? ? (将b 换成x ), 则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()(' = ??? -+x a x a x a dt dt x f t f dt t f x f 2) ()()() ( =dt x f t f t f x f x a )2) ()()()((-+? ∵)(x f >0,∴ 02) () ()()(≥-+x f t f t f x f , 又a 2076字定积分中的几何证明方法与证明
定积分中的几何直观方法与不等式的证明 摘要:一些高指数的不等式,如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话,一般都要分01p <<与1p >进行讨论证明,往往证明起来很麻烦,若借助数学分析中的定积分来进行证明的话,会大大简化其证明工序,也很简单,灵活的选取合适的初等函数进行定积分,再求和会得到意想不到的效果。 关键词:高指数;不等式;算术—几何均值;定积分;数列 1 引言 文[1]中给出了一个不等式: 11 2(11)21n i n n i =+-<<-∑ (1n >) (1) 田寅生对(1)进行了指数推广,其结果是 命题1【2】 设p R ∈且0p >,1p ≠,1n >,则有 1111111[(1)1]1111n p p p k n n p k p p --=+-<<-+---∑ (2) 文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式,分01p <<与1p >进行讨论证明,读者不难看出,不仅过程繁琐,而且对其证明思路难以把握。文[3] 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文[4]借助定积分的方法,给出了一种很自然的证明【4】: 命题1的证明【4】 当0p >,1k ≥时,对于1k x k <<+,有(1)p p p k x k <<+,即 111 (1)p p p k x k <<+,
两边取积分,得 1 111 11(1) k k k p p p k k k d x d x d x k x k +++<<+? ??, (3) 即得 11111[(1)](1)1p p p p k k k p k --<+-<+- (4) 对(3)两边分别求和,即得 111 1111[(1)1]1111n p p p k n n p k p p --=+-<<-+---∑ (5) 命题1得证。 该证明方法简单自然,几何意义直观。不等式(3)的几何意义是:如图1,以1 p y x = 为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间,根据定积分的几何意义,即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。 (图1) 在文[5]中,又把(1)式推广为: 命题2【5】 已知{}n a 为等差数列且10a >,公差0d >,则 1111 1221 ()()n n i n i a a a a a d d a +=-<<-+∑ (6) 其证明方法与文[1]本质上是一样的。本文将借鉴[4]中方法,即利用定积分的几何直观方法,把有关结果作进一步的推广。
定积分练习题及答案(基础)
第六章 定积分练习题及答案 一、填空题 (1) 根据定积分的几何意义,?-=+2 1)32(dx x 12 =-?dx x 2 024π ,=?π0 cos xdx ____0____ (2)设?-=1110)(2dx x f ,则?-=1 1)(dx x f _____5____, ?-=1 1)(dx x f ____-5___,?-=+1 1]1)(2[51dx x f 512 . (3) =?102sin dx x dx d 0 (4) =?2 2sin x dt t dx d 4sin 2x x 二、选择题 (1) 定积分?12 21ln xdx x 值的符号为 (B ) .A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定
三、计算题 1.估计积分的值:dx x x ?-+3 121 解:设1)(2+=x x x f ,先求)(x f 在]3,1[-上的最大、最小值, ,) 1()1)(1()1(21)(222222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ,由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知,2 1)(21≤≤- x f 由定积分性质得 221)()21(2313131=≤≤-=-???---dx dx x f dx 2.已知函数)(x f 连续,且?- =10)()(dx x f x x f ,求函数)(x f . 解:设 a dx x f =?10)(,则a x x f -=)(,于是 a adx xdx dx a x dx x f a -=-=-==????2 1)()(1 0101010, 得41=a ,所以4 1)(+=x x f . 3. dx x x x ?++1 31 222) 1(21 解:原式=dx x x dx x x x x )111()1(1213 121312222++=+++?? 3112+-= π 4. ?--1 12d x x x 解:原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 5. ?--1 12d x x x 解:原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 6. ?-1 02dx xe x