定积分的证明题44题

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定积分练习题

第九章定积分练习题§1定积分概念习题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示（2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ；（2）⎰+-102211dx x x ；（3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ；（5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限：（1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。

证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。

数学分析9定积分总练习题

第九章定积分总练习题1、证明：若φ在[0,a]上连续，f 二阶可导，且f ”(x)≥0，则有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt). 证：设T 为[0,a]的一个分割，其分点为n ka , k=0,1,…,n, 即x k =nka. 由f ”(x)≥0知f 凸，∴f(∑=n1k k )(x φn 1)≤∑=n1k k ))(x f(φn 1.即∑=n 1k k n a ))(x f(φa 1≥f(na)(x φa 1n 1k k ∑=). ∵f, φ在[0,a]上都可积，且f 连续， ∴令n →∞，有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt).2、证明下列命题.(1)若f 在[a,b]上连续增，F(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎰ a.x ，f(a)b].a,(x f(t)dt a -x 1xa ，则F 在[a,b]上增.(2)若f 在[0,+∞)上连续，且f(x)>0，则φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增.要使φ(x)在[0,+∞)上严格增，需要补充定义φ(0)=?证：(1)F ’(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=∈-⎰ a.x ，0b].a,(x a)-(x f(t)dt a -x f(x)2xa，根据积分中值定理知，存在ξ∈(a,x)，⎰xa f(t)dt =f(ξ)(x-a). 又f 在[a,b]上增， ∴F ’(x)=a-x )f(ξ-f(x)>0, x ∈(a,b]，∴F ’(x)≥0, x ∈[a,b]，∴F 在[a,b]上增.(2)任给x>0，有φ’(x)=2x0xx)f(t)dt (tf(t)dtf(x )f(t)dt x f(x )⎰⎰⎰- =2x0x0)f(t)dt (t)f(t)dt -(x f(x )⎰⎰.∵f(x)>0，∴(x-t)f(x)>0，∴⎰x0t)f(t)dt -(x >0，∴φ’(x)>0, x ∈(0,+∞)，∴φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增. 又+→0x lim φ(x)=⎰⎰+→x 0x00x f(t)dttf(t)dt lim=f(x )x f(x )lim 0x +→=+→0x lim x=0， ∴只要补充定义φ(0)=c ≤0，则φ(x)在[0,+∞)上严格增.3、设f 在[0,+∞)上连续，且+∞→x lim f(x)=A. 证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x1lim=A. 证：∵+∞→x lim f(x)=A ，∴任给ε>0，存在M>0，使当x>M 时，有|f(x)-A|<2ε，又当T>M 时，|A f(x)dx T 1T 0-⎰|=T1|⎰⎰-T 0T0Adx f(x )dx | =T1|⎰T0A]dx -[f(x )|≤⎰T 0dx |A -f(x)|T 1=⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+⎰T M dx|A -f(x)|T 1 ≤⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+2ε(1-TM). ∴只要取T 1=max{⎰M 0dx |A -f(x)|ε2, 2M}，则当T>T 1时，就有|A f(x)dx T 1T 0-⎰|<2ε+2ε=ε.∴⎰+∞→T 0T f(x)dx T 1lim =⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =A.4、设f 是定义在R 上的一个连续周期函数，周期为p ，证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰p 0f(t)dt p 1. 证：令x=p λ，y=λt，则⎰x0f(t)dt x1=⎰p λ0y) y)d(λ f(λp λ1=⎰p 0y)dy f(λp 1=⎰p 0 t)dt f(λp 1. 由f(t)=f(t+np), n 为任意正整数，又np)f(t lim n ++∞→= t)f(λlim λ+∞→，∴⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰+∞→p 0λ t)dt f(λp 1lim =⎰++∞→p 0n )dt np f(t p 1lim =⎰p 0f(t)dt p1.5、证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.证：设连续的奇函数f ，连续的偶函数g ，则它们的原函数分别为： F(x)=⎰x0f(t)dt +C ，G(x)=⎰x0g(t)dt +C.∵F(-x)=⎰-x 0f(t)d(t)+C=⎰x 0f(-t)d(-t)+C=-)f(t)d(-t x 0⎰+C=⎰x0f(t)dt +C=F(x)， ∴连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数又G(-x)=⎰-x0g(t)dt +C=⎰x 0g(-x )d(-t)+C=⎰x 0g(x )d(-t)+C=-⎰x0g(x )dt +C ≠-G(x)， ∴仅当G(x)=⎰x 0g(t)dt 时，G(-x)=-⎰x0g(x )dt =-G(x)，即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.6、证明许瓦尔兹不等式：若f 和g 在[a,b]上可积，则 (⎰ba f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .证：若f 和g 在[a,b]上可积，则f 2,g 2,fg 都可积. 且对于任何t, (f+tg)2也可积.∵(f+tg)2≥0，∴⎰+b a 2tg)(f =⎰ba 2(x )dx f +2t ⎰ba f(x )g(x )dx +t2⎰ba2(x )dx g ≥0.∴二元一次方程的判别式△=4(⎰ba f(x )g(x )dx )2-4⎰ba 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g ≤0.∴(⎰b a f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .7、利用许瓦尔兹不等式证明：(1)若f 在[a,b]上可积，则(dx f(x )ba ⎰)2≤(b-a)⎰ba 2(x )dx f ； (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则⎰ba f(x )dx ·⎰baf(x )dx≥(b-a)2； (3)若f,g 都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基不等式：21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰. 证：(1)记g(x)=1，∵f 和g 在[a,b]上可积，根据许瓦尔兹不等式，有 (dx f(x )ba ⎰)2 ≤⎰b a dx ·⎰b a 2(x )dx f =(b-a)⎰ba 2(x )dx f . (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则f ,f1在[a,b]上也可积. 根据许瓦尔兹不等式，⎰b a f(x )dx ·⎰baf(x )dx ≥(⎰⋅b a dx f(x)1f(x))2=(b-a)2. (3)∵⎰+ba 2dx g(x ))(f(x )=⎰⎰⎰++ba 2ba ba 2(x )dxg f(x )g(x )dx 2(x )dx f≤⎰⎰⎰⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+ba 221ba ba 22ba 2(x)dx g (x)dx g (x)dx f 2(x)dx f=221b a 221b a 2(x)dx g (x)dx f ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰. ∴21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰.8、证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)>0，则 ln ⎪⎭⎫⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1. 证：在[a,b]中插入n-1个等分点a=x 0<x 1<x 2<…<x n =b. 记f(x i )=y i >0，于是由平均值不等式na-b (y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)n n 21y y y ⋯=(b-a)e )y ln y (ln n a-b a -b 1n 1⋯+⋅.两边取极限得：⎰ba f(x )dx =na-b limn +∞→(y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)na -b lim n +∞→e)y ln y (ln na-b a -b 1n 1⋯+⋅=(b-a)e⎰balnf(x)dx a -b 1.∴⎰b a f(x)dx a -b 1≥e ⎰balnf(x)dx a -b 1，∴ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1.9、设f 为R +上的连续减函数，f(x)>0；又设a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx .证明：{a n }为收敛数列. 证：∵f 为R +上的连续减函数，∴a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx =∑=n 1k f(k)-∑⎰=+1-n 1k 1k k f(x )dx ≥∑=n 1k f(k)-∑=+1-n 1k k)-1f(k)(k =f(n)>0，即数列{a n }有下界，又a n+1-a n =f(n+1)-⎰+1n nf(x )dx ≤f(n+1)-⎰++1n n1)dx f(n =0.∴{a n }为递减数列. 由单调有界定理知{a n }收敛.10、证明：若f 在[a,b]上可积，且处处有f(x)>0，则⎰ba f(x )dx>0. 证：∵在[a,b]上处处有f(x)>0，∴使f(x)≤0的点只有有限个，对[a,b]上任一分割T ，添加这些点为分点，则在每一个小区间(x i ,x i+1)上恒有f(x)>0， ∴⎰+1i ix x f(x)dx>0, (i=0,1,…,n) 其中x 0=a, x n+1=b.∴⎰baf(x )dx =∑⎰=+ni 1i if(x )dx >0.。

定积分习题

1 1
y
x
确定 y 是 x 的函数 , 求f(x)。解：方程两端对 x 求导, 得
f ( x y ) ⋅ ( y + x y′) = ∫ f (t ) d t + x ⋅ f ( y ) ⋅ y′
1
y
令 x = 1, 得
f ( y ) y = ∫ f (t ) d t + y f (1)
1
y
+ y ′ ∫ f (t ) d t + y ⋅ f ( x)
例12. 求 lim
x →0
= cot t 。
4
∫ ⎢∫ ⎣
0
x2 0
x ⎡ u2 0
⎤ arctan(1 + t ) dt ⎥ du ⎦ = lim x →0 x ⋅ (1 − cos x )
∫
x
0
⎡ u arctan 1 + t dt ⎤ du ( ) ⎥ ⎢ ∫0 ⎣ ⎦ x2 x⋅ 2
2
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠
解: 等式两边对 x 求导, 得不妨设 f (x)≠0, 则
sin x 1 ) 2 f (x) f ′(x) = f (x⋅ 2 2 + cos x
∴ f ( x) = ∫ 1 sin x dx f ′( x) dx = ∫ 2 2 + cos x
1 = − ln (2 + cos x ) + C 2
习题课
定积分及其相关问题
一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法
曲边梯形的面积曲边梯形的面积
问题1: 问题1:
变速直线运动的路程变速直线运动的路程
问题2: 问题2:
定积分定积分的的定定性性积积质质分分定定计计积算算分积法法的分的

定积分证明题

0 0
x 0
F ( x ) f (t )dt xf ( x ) xf ( x ) f (t )dt
0 x x 0
x
x
F ( x )与( x )都是 f (t )dt的原函数
F ( x )=( x ) C F (0)=(0) 0 C 0 F ( x )=( x )
0
T
F ( a)
a T a
f ( x)dx
0
F (a ) f (a T ) f (a ) 0
F (a) C F (0) f ( x)dx
0 T
于是

a T a
f ( x)dx f ( x)dx
0
T
例5. 设 f C a, b , f x 0, x a, b ,
2 x
[ 12dt ][
a
a x
f ( x) dx] a
x
2
( x a) [ f (t )]2 dt
x
( x a) [ f ( x)]2dx,
a
a b
f ( x )dx [ f ( x )] dx ( x a )dx
2 2 a a a
M.
例 10 若 f (x) 在[a，b]上连续可导，且 f(a)=0, 2 b b 1 2 2 则 f ( x )dx (b a ) f ( x ) dx . a a 2 x , 证显然 f ( x ) a 1 f (t )dt由柯西-施瓦兹不等式, 则
f ( x) [ 1 f (t )dt )]2
由广义积分中值定理
n 1
x 1 1 1 n 1 xdx 1 x dx 1 n 1 0 0

定积分证明题

定积分证明题定积分证明题第一篇1、原函数存在定理●定理假如函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简洁的说连续函数肯定有原函数。

●分部积分法假如被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。

假如被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数肯定存在，但原函数不肯定都是初等函数。

定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质●性质假如在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论假如在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质(定积分中值定理)假如函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。

4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a定积分的应用1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)●直角坐标系下(含参数与不含参数)●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的'方程)●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积)●功、水压力、引力●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)定积分证明题第二篇一、原函数定义1 假如对任一xI，都有F(x)f(x) 或dF(x)f(x)dx则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。

江苏专转本高等数学定积分例题加习题

- 106 -第四章定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积（2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb a af x dx F b F a F x =-=⎰。

其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。

例4.1．111)edx x ⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x +=例4.2．30dx ⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰22sin πxdx x- 107 -解：原式=⎰-22cos 21πx xd =⎰+-2022cos 21|2cos 21ππxdx x x =20|2sin 414ππx +=4π 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。

例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰=112211(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=112211222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+0110)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65- 108 -例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aaf x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。

定积分的证明题

又x3 > 0,∴ 4 − x2 − x3 > 4 − x2
∴1 <
1
<1
2 4 − x2 + x3 4 − x2
∫1 1dx = 1
02 2
∫1 dx = π
0 4 − x2 6
∫ ∴ 1 < 1
dx
< π。
2 0 4 − x2 + x3 6
∫ ∫ ∫ 6. 设函数f (x)和g(x)在[a,b]上连续,证明: [ b f (x)g(x)dx]2 ≤ b f 2(x)dx ⋅ b g2(x)dx 。
dx a = − f (a) + f (x) = f (x) − f (a)。
∫ 2. 设函数f (x)在[a,b]内可导，且f (a) = 0， b f (x)dx = 0, 证明：在[a, b]内至少存在一点ξ , a
使f ′(ξ ) = 0。
证明：
由积分中值定理，在(a, b)存在一点ξ
，使
1
∫ 1. 证明 d x (x − t) f ′(t)dt = f (x) − f (a) 。
dx a 证明：
∫ x (x − t) f ′(t)dt a x
= ∫a (x − t)df (t)
xx
= (x − t) f (t) a + ∫a f (t)dt
x
= (a − x) f (a) + ∫a f (t)dt ∫ ∴ d x (x − t) f ′(t)dt
即f (a) − (x − a) ≤ f (x) ≤ f (a) + (x − a) 由定积分的不等性质, 有
b
b
b
∫a [ f (a) − (x − a)]dx ≤ ∫a f (x)dx ≤ ∫a [ f (a) + (x − a)]dx

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题目1证明题容易d x证明(x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx」a题目2证明题容易JI利用积分中值定理证明:lim 4 sin n xdx ^0 b=0题目3证明题一般b设函数f(x)在［a,b］内可导，且f(a) =0, a 证明：在［a,b］内至少存在一点•使f ()f (x)dx = 0 =0。

题目4证明题一般设f (x) = f (x +a)，na证明：当n为正整数时° f (x)dxan 0f (x)dx。

题目5证明题一般1 1 证明：oX m (1-x)n dxx n (1-x)m dx o 题目6证明题一般设f (x)在［a,b ］上有定义,且对［a,b ］上任意两点x, y,有 f (x) — f (y) _ x — y.则f (x)在［a,b ］上可积，且1题目7证明题一般设f (x)在［a,b ］上的连续,在(a,b)内可导,且f(a) = f (b) =0.b 2 证明:4 | f (x)dx 兰 M (b —a),其中 M = sup f "(x)。

a *x :bb［f (x)dx —(b —a) f (a)兰一(b —a)题目8证明题一般设f(x)在［a,b］上正值，连续，则在(a,b)内至少存在一点t ,b 1 b使f(x)dx = f(x)dx f(x)dx 。

■ a ' 2 ■ a题目9证明题一般jc 丑证明:0：：：2sin n1xdx ：：刁sin n xdx。

题目10证明题一般11 dx 二求证2°4-x2 x3 6题目11证明题一般设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。

题目12证明题一般若函数f (x)在［0,1］上连续,a 3 2 1 a2证明:o x f(x )dx xf (x)dx (a 0)。

题目13证明题一般设函数f(x)和g(x)在［a,b］上连续，b 2 b 2 b 2证明:［f(x)g(x)dx］2乞f2(x)dx g2(x)dxa a a题目14证明题一般设f (x)在［0,1］上连续，证明：02f (sin2 Jcos「d = 04f(sin2 J(cos「sin「)d「题目15证明题一般设f (x)在［a,b］上可导,且 f (x)玄M, f(a) =0,b Me证明:a f(x)dx^3(b—a)2。

定积分复习

0(xsinx)2 dx；
e
（10）ò -
1022)(1xmdx ；（11）ò
p
lnx dx ；（12）ò 20x cos xdx .
1
e
1
11.已知.. f(0) = 1, f (2) = 3, f ￠(2) = 5 ，试计算ò0
xf ￠
￠￠(2x)dx .
35 6
b
1
15
1
(5) -ln |1+ 3 cos x | +C; (6) -(3 -2x) + C; (7) -3 -2x + C; (8) -ln |1 -10 x | +C;
3 cosxx +
(9) -ln |1 -3e | +C; (10) ln | x -5x + 7| +C; (11) -e + C; (12) 2eC;
211
(arcsin x2)
dx ；（2）ò-
332423sinxx dx .
21-xx + 2x +1
7.计算下列定积分:
（1）ò
p
xdx；（2）ò xdx；（3）òp
2 12 sin
1
dx ；（4）ò
p
-322cos1pxdx；
203cossinx1022(x +1)1 xx
12.设.. f(x) 在区间[a, b] 上具有二阶连续导数，且.. f(a) = f (b) = 0 ，证明：..
1
f ￠￠(x)(x -a)(x -b)dx
ò 2 ò=
babaxdxf()

定积分专项习题

第五章定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。

2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⎰=112)1x d x 41)212π=-⎰dx x⎰-=ππ0s i n )3x d x ⎰⎰-=2220cos 2cos )4πππxdx xdx3．估计下列各积分的值 ⎰331a r c t a n )1x d x x dx exx ⎰-022)24．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x ⎰10)2与⎰+1)1(dx x5．计算下列各导数dt t dx d x ⎰+2021)1 ⎰+3241)2x x t dt dx d⎰xxdt t dx d cos sin 2)cos()3π6．计算下列极限xdt t xx ⎰→020cos lim)1 xdt t xx cos 1)sin 1ln(lim)20-+⎰→2220)1(lim)3x xt x xedt e t ⎰+→7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt tex I 02)(有极值？8．计算下列各积分 dx xx )1()12142⎰+dx x x )1()294+⎰⎰--21212)1()3x dx ⎰+ax a dx3022)4⎰---+211)5e x dx⎰π20sin )6dx xdx x x ⎰-π3sin sin )7⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题：⎰-=ππ0c o s )1k x d x πππ=⎰-kxdx 2cos )2⎰-=⋅ππ0s i n c o s )3l x d x kx ⎰-=ππ0sin sin )4lxdx kx10.计算下列定积分 ⎰-πθθ03)s i n 1()1d ⎰262cos )2ππududx xx ⎰-121221)3 dx x a x a 2202)4-⎰ ⎰+31221)5xxdx dx x ⎰-2132)1(1)6⎰-2221)7x x dx ⎰--1145)8xxdx⎰-axa x d x 20223)9 dt tet ⎰-1022)10⎰-++02222)11x x dx⎰-222cos cos )12ππxdx x⎰--223c o s c o s )13ππdx x x ⎰-++2221)(cos )14xdxx x x ⎰+π2c o s 1)15dx x11.利用函数的奇偶性计算下列积分⎰-224c o s 4)1ππθθd dx xx ⎰--2121221)(arcsin )2dx x x xx ⎰-++55242312sin )312．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx xx14．计算下列定积分⎰-10)1dx xe x⎰342sin )2ππdx x xdx xx⎰41ln )3 ⎰10arctan )4xdx x⎰202c o s )5πx d x e x dx x x ⎰π2)sin ()6⎰edx x 1)sin(ln )7 dx x ee⎰1ln )815.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。

定积分的证明题44题

题目1证明题容易d x证明(x t) f (t)dt f(x) f(a) dx a题目2证明题容易利用积分中值定理证明:lim 4 sin n xdxn 0 0题目3证明题一般设函数f(x)在［a,b］内可导，且f(a) 0,a 证明：在［a,b］内至少存在一点使f ()题目4证明题一般设f (x) f (x a)，na证明：当n为正整数时o f (x)dx f(x)dx 00。

an o f (x)dx。

1 1证明:0x m (1 x)n dx 0x n (1 x)m dx题目6证明题一般设f (x)在［a,b ］上有定义,且对［a,b ］上任意两点x, y, 有f (x) f(y) x y.则f (x)在［a,b ］上可积,且题目7证明题一般设f (x)在［a,b ］上的连续，在(a,b)内可导,且f (a) f (b)0.b证明:4 f(x)dx M(b a)2,其中M sup f (x)。

aa x bf (x)dx (b a) f (a)-(b a)2。

2设f(x)在［a,b ］上正值，连续，则在 (a,b)内至少存在一点题目9证明题一般证明：0 2 si n 1xdx °sin n xdx 。

0 0题目10证明题一般dx题目11证明题一般设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。

使 a f(x)dx bf(x)dx 1 b2 aWdX 。

求证丄20,234 x x题目12证明题一般若函数f (x)在［0,1］上连续,a 3 2 1 a2证明:°x3f(x2)dx 刁° xf (x)dx (a 0)。

题目13证明题一般设函数f(x)和g(x)在［a,b］上连续，b 2 b 2 b 2证明:［f(x)g(x)dx］ f (x)dx g (x)dx。

a a a题目14证明题一般设f (x)在［0,1］上连续，sin )d 证明：02f (sin2 )cos d 04f(sin2 )(cos题目15证明题一般设f(x)在［a,b］上可导,且f (x) M, f(a) 0,b Me证明:a f (x)dx — (b a)2题目16证明题一般设f(x)在[0,2a],(a 0)上连续，、r 2a a证明：f(x)dx Jf(x) f(2a x)]dx题目17证明题一般设k为正整数，证明:2(1) cos kxdx(2) sin 2kxdx题目18证明题一般设f(x)在［0,1］上有一阶连续导数•且f(1)f(0) 1.2i试证：。

定积分典型例题20例标准答案

定积分典型例题20例答案例1求lim —(召帚十丁2『+|||十诉3).n厂n分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限. 数难以想到，可采取如下方法：先对区间 [0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.1 1 11 1 解将区间[0, 1] n 等分，则每个小区间长为厨=丄，然后把冷二丄丄的一个因子-乘nnn nn入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即lim 12(V n r +^2^ +H|+阳) = lim 丄品+常？+川+芒)=佼dx=3.n -；•： n 2n；：n n .n " n 04例 2 f J‘2x — x 2dx = _____ .解法1由定积分的几何意义知，J2x -x 2dx 等于上半圆周(x-1)2+y 2=1 ( y 兰0)x 2,2x例 3 (1)若 f(x) = [ e^dt ,贝U f (x) =—; (2)若 f(x) = [ xf (t)dt ,求「(x)=这是求变限函数导数的问题，禾U 用下面的公式即可d v(x)£ u(x )f (t)dt = f[v(x)]v(x) -f[u(x)]u (x).可得xf (x) = 0 f (t)dt xf (x).例 4 设 f(x)连续，且[f(t)dt=x ，贝U f (26)=f(t)dt =x 两边关于 x 求导得32f(x -1) 3x =1,31若对题目中被积函解法2本题也可直接用换元法求解.令TTTTx_1 = si nt (一二兰 t 兰二),贝 V7Tdx = 2_.. 1 -sin 21 costdt= 2/"22=2 02cos tdt分析 (2) 4(1) f(x)=2xe 」 _x2—e ;由于在被积函数中 x 不是积分变量，故可提到积分号外即xf (x) =x 0 fx 3 _L与x 轴所围成的图形的面积.故x 2dx =—2「sin t令x ^=26得“3，所以f(26^-x1例5函数F(x) = [ (3 —丄)dt (x >0)的单调递减开区间为 __________ .1 1 11 解 F(x)=3 _,令F (x) ::: 0得_ 3，解之得0叮x 叮，即(0,)为所求.i ：?xx 9 9x例 6 求 f (x) = ] (1 _t)arctan tdt 的极值点.解由题意先求驻点.于是 f (x) = (1 _x)arctanx .令f(x) = 0，得x =1 , x =0 .列表如下:与y =g(x)在点(0,0)处的切线相同，其中arcs inx十2g(x) = 0 e~ dt , x [-1,1],3试求该切线的方程并求极限lim nf (-). y n分析两曲线y =f(x)与y =g(x)在点(0,0)处的切线相同，隐含条件f (0) =g (0).解由已知条件得故x =1为f (x)的极大值点，X = 0为极小值点. 例7已知两曲线y = f (x)f(°)=g(0),f(°) =g(°)二Jdt =0 ,212x 小=(-2) lim = 0 .t si nx注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则.且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知-(arcsi nx)2ef (0)二g (0) —2⑷一X=1.x =0故所求切线方程为 y =x .而护33f( ) -f(0) ―n ------ =3f (0) 3-0 n2、 0 sin 2tdt例8 求nm ---- -------------- ；分析该极限属于唁型未定式，可用洛必达法则.X?! sin tdt解x 叫=[t(t —si2x(sin x 2)2(x 2)24x 3=忸百==(一2)x m 占；=(一2)恢一沁分析易见该极限属于 -型的未定式，可用洛必达法则.1「 x 2-^lima x —01 -cosx即a = 4 , b =1为所求.Sinx234例 10 设 f (x) = 0 sint dt , g(x) =x x ,则当 x —： 0 时，f (x)是 g(x)的(A .等价无穷小.B .同阶但非等价的无穷小.C .高阶无穷小.D .低阶无穷小.2解法 1 由于 lim 竺=lim sin (sin2X)c osxT g(x) x-° 3x +4x2cosx sin (sin x)= lim lim 2 ----- x 03 4x x_Q x1 x 21 lim2 3x 0x 23故f (x)是g(x)同阶但非等价的无穷小.选B .解法2将sint 2展成t 的幕级数，再逐项积分，得到sinx21 2 3 1 3 1 7f(x)=[ [t --(t ) +HOd^-sin x —42Sin x+||| ,3! 3 42则2例11 计算.」x|dx .被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分.注在使用牛顿-莱布尼兹公式时，应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如fgdx=[-丄]32= 一，则是错误的.错误的原因则是由于被积函数在x=0处间断且在被试求正数a 与b ，使等式lim1 x t 2、[d\ -1成立.x -bsinx 0. t 21 x -bsinx 2由此可知必有 |im(1 -bcosx) = 0 , lim a x 01 - bcosx得 b =1 . 又由•"a"，得a =4 ).lim f(x)x 0g(x) .3, 1 sin x(- = lim 3 sin 4x ll|分析解2.」x|dx = 解xlimx)01 - b cosxt 2dt =「一 sin x11) 42 3 4 x x420 2二(-x)dx 0 xdx =[2x x 6 x积区间内无界•例12 设f(x)是连续函数，且f (x) =x+3.0 f(t)dt，贝U f (x) = _______ .b分析本题只需要注意到定积分af(x)dx 是常数(a, b 为常数).1 1解因f (x)连续，f(x)必可积，从而0 f (t)dt 是常数，记0f(t)dt=a ，则1 1f(x)=x+3a ，且[(x+3a)dx = ] f (t)dt =a .所以1 2 1 1[x 3ax]0 =a ，即卩 3a = a , 2 21 3 从而a ，所以 f (x) =x 一44212x 2x』1%1-x 2分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性.由定积分的几何意义可知 fj 1 —x 2dx=昱,故4d x c c例14 计算一 tf (x 2-t 2)dt ，其中f(x)连续. dx 0分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ,因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含 x ，然后再求导.解由于tf(x 2-t 2)dt = l 0f(x 2-t 2)dt 2.故令 x 2 -t 2 = u ，当 t = 0 时 u = x 2 ；当 t = x 时 u = 0，而 dt 2- -du ，所以x221 0 1 x 2[tf(x —t )dt =? [2 f(u)(-du)=? J 0 f (u)du ,故d x22 d 1 x1 2 2—0 tf (x -t )dt = —[- f (u)du] =- f(x ) 2x= xf(x ).dx 0dx 2 0错误解答 —tf (x 2-t 2)dt 二xf(x 2-x 2) =xf(0).例13 计算2 212x 2x12x2 1xdx =dx dx由于2x 21 . 1 -是偶函数，而1 . 1_x 2是奇函数，有T .1-x 2dx =0, 于是dx = 4x 21 1 -x 2dx = 41X (1-J-X)dx = 4 1dx_4 11 一 x 2dxi o J o -12x 2丄1 1x 2-x1dx =4 0JIdx - 44= 4— 7：1 2x 2xdx 0错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式d xG(X) a f(t)dt = f(X)dx曷中要求被积函数f(t)中不含有变限函数的自变量X，而f(X2—t2)含有X，因此不能直接求导，而应先换元.分析被积函数中出现幕函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法.n n nj x d( _ co sx ：)[x ( -co)s 03) ] 03-( codSx=_—+616计算1ln』dx.0 (3-x)2分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法.-ln(1 +x) “/ 丄 1 r 1 I “ 丄r1 1rdx= |n(1 x)d( ) = [ ln(1 x)]° -(3-x) 03-x，3-x 0(3-x)=-l n2 —1 1(二—)dX2 4 01 X3 — x」ln 2 -丄1 n3 .2 4JE17计算? e x sin xdx •分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法._J[ _JT _JE解由于02e x sinxdx = 02sin xde X=[e x sinx]o - 02e X cosxdxn TL=e2-『e x cos xdx , (1)而2 x 2 x x 2 2 x0 e cosxdx = 0 cosxde [e cosx]o —0 e (-sin x)dx2e x sin xdx T , (2)将(2)式代入(1)式可得Tl H2 x 2 ，- 2 x0 e sin xdx = e [ 0 e sin xdx -1],故窶1厘02e x sin xdx ^[(e 21).15计算Tt[3 xsin jr解03xs in x df cOSXdX 撐在1例18 计算o xarcsinxdx .分析被积函数中出现反三角函数与幕函数乘积的情形，通常用分部积分法.xarcs in xdx1 2 2 =0 arcsinxd (才)=[乡 arcsinx]0 i x 2-0 — d (arcsinx) 令 x 二sint ，贝U1 x 20 F 2x----- dx .—件丁 '“si nt 0 1 _si n 2t 也 costdt 0 cost 2sin2tdt 扌1「cos2t 0 2 将（2）式代入（1）式中得d ^[2- 4 sin 2t 2]04 (2)fx arcsi nxdx=2L 0 8 例19设f （x ） [0,二]上具有二阶连续导数, f 5)=3 且貞 f (x) + f Ir (x)]cos xdx = 2，求 f r (C). 分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解.由于 [[f (x) + f '(x)]cos xdx = [ f (x)d sin x +[cosxdf (x)={ [f (x)sin x ”一 f (x)sin xdx} +{[ f (x)cos x]石 +「f "(x)sin xdx} --f (二)-f(0) =2 . f （0） = -2 _ f （二）=_2 _3 = -5 . dx计算 =0 x 2 +4x +3分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算. 1 t 1 2 °（x 1 t 1 例20 t dx 1 2 = lim 0 x 4x 3 — ;2 =lim 1[l t r ：：2l n3 2 n2Ll]0=lim l(ln x 3 t 」‘2 t 3 1 )dx x 31 -In )3。

7定积分的证明题

定积分的证明题
20]上连续且单调递增，
证明:
b
ab
xf (x)dx
b
f (x)dx
a
2a
3.设f (x)在[0, 1]上连续且递减，
证明:当0 a 1时,
a
f (x)dx a
1
f (x)dx
0
0
2020/9/10
2
例4：. 设f (x)a,＋上连续，且单调增加
1
a
a
f [u(t)]dt
0
f
1 a
a 0
u(t
)dt
2020/9/10
9
15．设
S(
x
)
x
0
cos t
dt ，
（1）当 n 为正整数，且 n x ( n 1)时，
证明：2n S( x ) 2( n 1)；
（2）求lim S( x ) . x x
2
2020/9/10
10
1例6.：当f (x)是以2为周期的连续函数时，
证明 2,4，使2 f ( ) (1 ) f ( )
2020/9/10
7
12.
2020/9/10
8
13.设f (x)在[0,1]上二次可微，且f (x) 0
证明：01 f (xn )dx
f( 1 ) n 1
14. 设函数处处二阶可导且 f ( x) 0，
u(t )为任意连续函数，
证明：对任意常数a 0有
(2)
已知f
(
x)=
4
sinx cos2
x
2 xf ( x)dx,求f ( x)
0
2020/9/10
16
证明：函数G( x) 20x f (t)dt－x02 f (t)dt

定积分习题课

n
slim 0i1v(i)ti
方法:分割、近似、求和、取极限.
4
3、存在定理可积的两个充分条件：
定理1 当函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续时，
称 f( x ) 在区间 [ a ,b ] 上可积 .
定理2 设函数 f(x ) 在区间 [ a ,b ]上有界，
解: 令 txc,则
b(xc)co9(9 sxc)dx bctco9s9tdt
a
ac
因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使
ac (bc)
即
c ab
2
可使原式为 0 .
33
例12 求2min1{,x2}dx.
2
x
x2, x1 解 min1x{,x2}1x, x1 是偶函数,
原式 22min1,{x2}dx
不对 ! 因为依赖于 n,且 01.
2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .
如, P265 题4
1xp 1
1 x
p
1
1
x
p
x
p
1
(0x1)
20
例2. 求Iln i m snin n 1snin 2n 12snin nn n 1 (考研98 )
解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：
证: 令 f(x)ex2x,则 f(x)(2x1)ex2x
令 f(x)0,得 x 1 ,
2
f(0)1,
f
(12)
1 4e
,
f(2)e2
mifn(x)1 , mafx(x)e2
[0,2]
4e
[0,2]
故
2 2ex2xdx2e2

第六章定积分及应用习题

第六章定积分及应用一、填空题 1．250cos sin x xdx π=⎰_______2．当0b ≠时，1ln 0bx dx =⎰，则b =_______3．325425sin 21x xdx x x -=++⎰_______ 4．设()f x 为连续函数则[]2()()a ax f x f x dx ---=⎰.5.() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰6. 已知=+=⎰)(,)(2)(1x f dx x f x x f 则_______7．若===⎰⎰⎰2121)(,2)(,3)(dx x f dx x f dx x f 则8．利用定积分性质比较下列积分的大小： dx e I x ⎰=11 dx x I ⎰+=12)1(，则 _______33234ln ,(ln )eeI xdx I x dx ==⎰⎰，则_______9. 估计定积分3013sin dx xπ+⎰的取值范围_______10. 设()f x 可导，且lim ()1x f x →+∞=，则23lim sin()x xx t f t dt t+→+∞=⎰11. 设23()1x dxg x x =+⎰，则(1)g ''= _______ 12． 20cos limxx t dt x→=⎰113． arctan ba d x dx dx=⎰ . 14．求曲线2sin xty dt t π=⎰在2x π=处的切线方程，_______ 15．设2221()x t t xF x e dt e dt -+⎰⎰＝，则()F x '=_______16. 2()x t xf x e dt -⎰＝，则()f x '=_______17．⎰=-xdt x t dx d 0)cos(_______ 18．已知当0→x时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小，则)0(f ''= _______19.211dx x +∞-∞=+⎰_______二、选择题1.)(x f 在],[b a 上连续是⎰badx x f )(存在的（）.（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要 2. ⎰⎰==2122211)(ln ,ln dx x I dx x I 设，则（）（A ） 21I I < （B ） 21I I > （C ） 21I I = （D ）无法比较3.设 dx x x x P dx x x N xdx x x M )cos sin (,)cos (sin ,cos 1sin 4223242254222⎰⎰⎰----=+=+=ππππππ （）（A ） M P N << （B ） N P M << （C ） P M N << （D ）N M P << 4. 22222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ ( ) （A ）0；（B ）12；（C ）4π；（D ）2π5.⎰+-=+ππdx x x e x )sin (2cos （）3π.A 33π2.B 3 32π2e .C 3-1+ 32πe-e .D 3-1+ 6.203sin lim xx t dt x →⎰=( )（A ）0；（B ）1；（C ）13；（D ）∞ . 7. 下列结果正确的是（）（A ）22s i n )s i n (a dx x da d b a =⎰ （B ） 22s i n )s i n (b dx x db d ba =⎰ （C ）22s i n )s i n (x dx x dx d b a=⎰ （D ）22sin 2)sin (x x dx x dx d b a =⎰ 8. 设)(x f 为已知函数,⎰>>=t st s dx tx f tI 0,0,0)(，其中则I 的值依赖于（）（A ）依赖于s 和t ；（B ）依赖于s ，x t ,；（C ）依赖于x 和t ，不依赖于s ；（D ）依赖于s ，不依赖于t 。

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从而
= ．证毕．
证法2由于单调增加，有，从而
．
即
= = ．
故
．
例18计算．
分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
解＝＝＝．
注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如
，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.
,
故
．
例32计算．
分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．
解
．（1）
令，则
．（2）
将（2）式代入（1）式中得
．
例33设在上具有二阶连续导数，且，求．
分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．
解由于
．
故．
例34（97研）设函数连续，
，且（为常数），
．
于是可得
．
又由于
．
因此
= ．
例8设函数在上连续，在内可导，且．证明在内存在一点，使．
分析由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件即可．
证明由题设在上连续，由积分中值定理，可得
，
其中．于是由罗尔定理，存在，使得．证毕．
例9（1）若，则 =___；（2）若，求 =___．
图5－2
= = = ， = ，于是
= = ．
例43求心形线与圆所围公共部分的面积．
分析心形线与圆的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．
解求得心形线与圆的交点为 = ，由图形的对称性得心形线与圆所围公共部分的面积为

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