2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

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2018年全国高中数学竞赛试题

2018年全国高中数学竞赛试题2018年全国高中数学竞赛试题是高中学生们用来展示自己数学才能的重要考试。

本文将分析该考试试题的难度和内容，并探讨其对学生数学能力的要求。

首先，我们来看一下2018年全国高中数学竞赛试题的整体难度。

根据学生们的反馈和考试后的统计数据，该试题的难度较大。

其中一些问题涉及到高等数学的知识和概念，对学生的推理和解题能力提出了很高的要求。

其次，我们来分析2018年全国高中数学竞赛试题的内容。

整个试卷由选择题和解答题两个部分组成。

选择题主要涵盖了数论、代数、几何等数学相关的知识点。

这些选择题通过简洁清晰的语言描述问题，并要求学生选出正确的答案。

解答题则要求学生从实际问题出发，进行推理、计算和解决问题的过程。

这些解答题不仅考察了学生的数学知识，还考察了学生的分析能力和解决问题的思路。

此外，2018年全国高中数学竞赛试题还在难度上进行了适当的增加。

这样做的目的是为了激励学生们更加努力地学习和提高自己的数学水平。

这些增加的难题旨在考察学生的数学思维方式和解决问题的能力，使学生能够更好地应对未来学习和工作中的复杂数学问题。

综上所述，2018年全国高中数学竞赛试题是一套难度适中、内容丰富的试题。

通过这样的考试，学生们可以展示他们在数学方面的才能和潜力。

同时，这些试题还能够提高学生的数学思维能力和解决问题的能力，对他们今后的学习和发展有着积极的促进作用。

当然，与考试试题的难度和内容相比，学生们在备考过程中的努力和准备也是至关重要的。

只有通过不断的学习和练习，才能更好地理解和掌握数学知识，应对各种各样的数学竞赛试题。

因此，学生们需要制定科学合理的学习计划，并积极参加各种数学竞赛活动，不断提高自己的数学水平和竞赛能力。

最后，希望广大学生们能够充分利用2018年全国高中数学竞赛试题，不仅仅是作为一次考试，更是一次锻炼和成长的机会。

相信通过不断的努力和坚持，每一个学生都能在数学竞赛中取得优异的成绩，展现自己的才能和潜力。

【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)

|T,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T，第一行是1,2,,n.例如：=⎢894⎥.题号一2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30）二总分9101112得分评卷人复核人注意：1.本试卷共12小题，满分150分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3.书写不要超过装订线；4.不得使用计算器.一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）1.设三个复数1,i,z在复平面上对应的三点共线，且z|=5，则z=.2.设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n=.3.函数f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=.4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log x的图象上，则|PQ|的最小值=2.5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率=.6.在边长为1的正方体ABCD-A B C D内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC相切，则小球11111半径的最大值=.7.设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB=.⎡123⎤8.把1,2,n3⎢⎥⎢⎣765⎥⎦设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)=.二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）9.如图所示，设ABCD是矩形，点E,F分别是线段AD,BC的中点，点G在线段EF上，点D,H关于线段AG的垂直平分线l对称.求证:∠HAB=3∠GAB.D HCE lG FA B213 2 π 210．(1) M ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程 x 0 x - y 0 y = 1 ．(3 分)b 2y 0 , x 0 + y ⎪ ， B ( x 2 , y 2 ) = x 0 -y 0 , b a -b ⎭0 010. 设 O 是坐标原点，双曲线C : x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0,b > 0) 上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近线于 A , B两点.（1）求证: △AOB 的面积 S 是定值；（2）求 △AOB 的外心 P 的轨迹方程.11. （1）求证：对于任意实数 x , y , z 都有 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥3( xy + yz + zx ) .（2）是否存在实数k >试证明你的结论.3 ，使得对于任意实数 x , y , z 下式恒成立？x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥ k ( x y + yz +zx )12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.参考答案和评分标准一、填空题（每题 8 分，共 64 分）1 2 3 45 6 7 84 - 3i 或 - 3 + 4i 1 + ln(ln 2) ln 21 154 - 65 -6 6(34,95)二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分） 9．由 E , F 分别是 AD , BC 的中点，得 EF // AB ⊥ AD ．(3 分) 设 P 是 E 关于 l 的对称点，则 EP // AG ⊥ l ，故四边形 AEPG 是等腰梯形． (8 分) 进而 ∠PAG = ∠EGA = ∠GAB ， ∠APG = ∠GEA ，从而 AP ⊥ HG ． (13 分) 再由 HP = DE = EA = PG ，得 ∠HAP = ∠PAG = ∠GAB ． (18 分) 因此， ∠HAB = 3∠GAB ．(21 分)a 2⎛ a b ⎫ ⎛ a - b ⎫ ⎪ ⎪与渐近线方程联立，得 A ( x 1, y 1 ) = x ⎝ a + b a b ⎭ ⎝ a x 0上述两式相乘，得P的轨迹方程为a2x2-b2y2=1(a2+b2)2．11故x2+2y2+3z2≥3(xy+yz+zx)．22，∑x(2017-x)=2M．当且仅当每个x=1008或1009时，N取得最小值C10092018-⨯1008=2C3．(16分)从而，S=1x y-x y=ab是定值．21221(2)由(1)可设A(λa,λb),B(a,-b),P(x,y)，λ为非零常数．λλ由P A=PO=PB，得(x-λa)2+(y-λb)2=x2+y2=(x-a)2+(y+b)2．(9分) (12分) (15分)λλ从而有ax+by=λ(a2+b2)，ax-by=1(a2+b2)．22λ(18分) (21分)411．(1)由均值不等式，1x2+3y2≥3xy，x2+3z2≥3xz，y2+3z2≥3y z．2222 (2)x2+2y2+3z2-k(xy+yz+zx)=(x-k y-k z)2+(2-k2)y2+(3-k2)z2+(k2-k)y z22442(8分) (14分)上式≥0恒成立当且仅当2-k2≥0且(k2-k)2≤4(2-42k24)(3-k2)．4(18分)化简得k≤22且k3-6k2+24≥0．显然，k=2>3满足要求．(22分) 12．设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，x是以第i个顶点为端点的红色线段数目，则有iM+N=C320182018i i(10分) ii=1321009N=2C3是可以取到的，例如把线段i→i±j mod2018(1≤i≤2018,1≤j≤504)染成红1009色，其它线段染成蓝色．(22分)。

2018年全国高中数学竞赛试题

2018年全国高中数学竞赛试题数学作为一门科学，一直以来都被视为培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要学科。

在中国，每年都会举行全国高中数学竞赛，以选拔数学方面的优秀人才。

2018年的全国高中数学竞赛试题也是备受关注的焦点。

本文将针对2018年全国高中数学竞赛试题进行分析和解答。

试题一是一道关于函数的题目。

给定一个函数f(x) = x^2 + bx + c，已知f(-1) =2和f(1) = 6，求函数f(x)的解析式。

解答这道题需要运用函数的性质和代数运算的规则。

首先，根据已知条件，我们可以列出两个方程，分别是：1 + b + c = 2和1 -b +c = 6。

解这个方程组可以得到b = -3和c = 4。

因此，函数f(x)的解析式为f(x) = x^2 - 3x + 4。

试题二是一道关于数列的题目。

给定一个等差数列{an}，已知a1 = 2，a2 = 5，求第n项an的表达式。

解答这道题需要运用数列的性质和数学归纳法。

首先，我们可以根据已知条件列出递推公式an = a1 + (n-1)d，其中d为公差。

代入已知的a1和a2可以得到2 + d = 5，解得d = 3。

因此，数列{an}的递推公式为an = 2 + 3(n-1)。

进一步化简得到an = 3n - 1。

试题三是一道关于概率的题目。

已知甲、乙两个人轮流掷一个公正的硬币，甲先掷。

如果硬币正面朝上，则甲得1分；反之，乙得1分。

第一个得到5分的人获胜。

问甲获胜的概率是多少？解答这道题需要运用概率的概念和技巧。

首先，我们可以列出甲获胜的可能情况，即甲连续获胜5次或甲获胜4次，乙获胜1次，再甲获胜1次。

根据硬币正反面朝上的概率均为1/2，我们可以计算出甲获胜的概率为1/2^5 + 4/2^5 = 1/32 + 1/32 = 1/16。

以上只是2018年全国高中数学竞赛试题的三道题目，其中涉及到了函数、数列和概率等数学的基础知识和解题技巧。

数学竞赛试题的设计旨在考察学生的数学思维能力和解决问题的能力，因此需要学生具备扎实的数学基础和灵活运用数学知识的能力。

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。

2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。

2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。

进而可得 U2,2 ， S 4,1 ，代入椭圆方程解得： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ，从而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。

2018年安徽省黄山市高三第一次联理科数学试题及答案

黄山市2018届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．3． m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四命题：① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ;③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α⊂n n m ,//，则α//m .其中真命题的序号是（） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 4．设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则（）A.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数C.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 D.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数5．如右图,若程序框图输出的S 是126,则判断框①中应为（） A ．?5≤n B ．?6≤n C ．?7≤n D ．?8≤n6．若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[0,1]x ∈时，(),f x x =则方程3()log ||f x x =的解个数是（）A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．若{}n a 是等差数列，首项公差0d <，10a >，且201320122013()0a a a +>,则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（） A ．4027 B ．4026 C ．4025 D ．40248．已知00(,)M x y 为圆222(0)x y a a +=>内异于圆心的一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是（）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交 9．已知n为正偶数，用数学归纳法证明11111111...2(...)2341242n n n n -+-++=++++++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n =（）时等式成立（）A ．1n k =+B ．2n k =+C ．22n k =+D ．2(2)n k =+ 10. 已知向量α、β、γ满足||1α=，||||αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=．若对每一确定的β,||γ的最大值和最小值分别为m 、n ，则对任意β，m n -的最小值是（）A ．12 B ．1 C ．2D ．2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共共5小题，每小题5分，共25分11.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射3主视图俯视图侧视图疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为万只．12.二项式1022⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中的第________项是常数项．13．一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一边长为3cm 的矩形,左视图是一个边长为2cm 的等边三角形,则这个几何体的体积为________．14.已知z=2x +y ，x ，y 满足,2,,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是． 15．给出如下四个结论：① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ② 命题“若a b >，则221ab >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；③ 若随机变量~(3,4)N ζ，且(23)(2)P a P a ζζ<-=>+，则3a =； ④ 过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有2条．其中正确结论的序号是______________________________．[来源:状.元.源Z.y.y.100]三、解答题：本大题共共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16. （本小题满分12分）已知函数()23sin cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M .（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知函数()exf x tx =+（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当e t =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数t 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小．19.（本小题满分12分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。

2018年高中数学竞赛初赛试题

2018年高中数学竞赛初赛一、填空题（每题7分，共10题，共70分）1. 函数y=│cos x │-cos 2x （x ∈R ）的值域2. 已知（a+bi ）2=3+4i ，其中a,b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2+b 2=3. 圆心在抛物线x 2=2y 上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程4. 设函数f （x ）=x 24-1x-x ，则不等式f （1-x 2）+f （5x-7）<0的解集为 5. 已知等差数列{a n }的前12项的和为60，则321a a a +++...+12a 的最小值6. 已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为7. 在△ABC 中，AB=5,AC=4，且=12，设P 为平面ABC 上一点，则的最小值为8. 设g （n ）=∑=nk n k 1),(，其中n ∈N *，（k,n ）表示k 与n 的最大公约数，则g （100）的值为9. 将1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数随机填入3×3的方格表中，每个小方格填一个数，且所填各部相同，则使每行，每列所填数之和都是奇数的概率是（第9题图）10. 在1,2,3,4，...1000中，能写出a 2-b 2+1（a,b ∈N ）的形式，且不能被3整除的数有个二、解答题（每题20分，共4题，共80分）11. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O 的方程为x 2+y 2=4,过P （0,1）点的直线l 与圆O 交于A,B ，与x 轴交于Q ，设，，求证：μλ与为定值. yA P QO x B（第11题图）12. 已知{a n } 是公差为d 的等差数列，且a 1+t 223(1). 求实数t,d 的值；(2). 若正整数满足m＜p＜r，a m-2m=a p-2t p=a r -2t r=0，求数组（m，p，r）和相应的通项公式a n 。

13.如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于P，△ABD与△ABC的内心分别为I1和I2，直线I1I2分别与AC,BD交于M,N，求证：PM=PN.（第13题图）14.从1,2,3,4.......，2050这2050个数中任取2018个组成集合A，把A中的每个染上红色或蓝色.求证：总存在一种染色方法使得每600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：①这600个红数的和等于这600个蓝数的和；②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.。

【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

1【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2018年6月30日上午9:00)一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)1、设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=2、设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n=3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期=4.设点P,Q 分别在函数y=2x 和y=log 2x 的图象上，则|PQ|的最小值=5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤1的概率=6、在边长为I 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=7、设H 是△ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ∠AHB=8、把1，2，…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分)9、如图所示，设ABCD 是矩形，点E, F 分别是线段AD, BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D, H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:∠HAB=3∠GAB.10、设O 是坐标原点，双曲线C:上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A,B 两点。

（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB 的面积S 是定值。

（2）求△AOB 的外心P 的轨迹方程.11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222x23y z xy yz zx ++≥++.（2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？()222x23y z k xy yz zx++≥++，试证明你的结论.12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.232018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷考试时间:2019年6月30日上午9:001.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i -+.2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =213.3.函数()sin2sin3sin4f x x x x =++的最小正周期=2π.4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值=5、从1,2,,10⋅⋅⋅中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=115. 6、在边长为1的正方体1111ABCD A BC D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值 7、设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cosAHB ∠=6-. 8、把21,2,,n ⋅⋅⋅按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ⋅⋅⋅.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95.9、如图所示，设ABCD 是矩形，点,E F 分别是线段,AD BC 的中点，点G 在线段EF 上，点,D H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:3HAB GAB ∠=∠.。

2018年全国高中数学联赛真题(一试和二试)(A卷)试题(教师版)

1 1
x2 f (x) 2
的解集为
．
解析 [π − 2, 8 − 2π]．由 f (x) 为偶函数及在 [0, 1] 上严格递减知，f (x) 在 [−1, 0] 上严格递增，再结合 f (x) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f (x) 的严格递增区间．注意到 f (π − 2) = f (π) = 1, f (8 − 2π) = f (−2π) = f (2π) = 2，所以 1 f (x) 2 ⇔ f (π − 2) f (x) f (8 − 2π)，而 1 < π − 2 < 8 − 2π < 2，故原不等式组成立当且仅当 x ∈ [π − 2, 8 − 2π]．
·
1 b2
2 · |F1F2| · |yP | = a2 −
= b2
16 · · · yP
11 =· a√2 1+5．b2
=
1，解得
a2
=
20, b2
=
5．从而
5. 设 f (x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 [0, 1] 上严格递减，且满足 f (π) =
1,
f
(2π)
=
2，则不等式组
离实部与虚部后等价于 ax2 + 2ax + 2 = 0，①
bx2 − 2bx = 0．②
若 b = 0，则 a2 = 1，但当 a = 1 时，① 无实数解，从而 a = −1，此时存在实数
√
x = −1 ± 3 满足 ① ，② ，故 z = −1 满足条件．若 b = 0，则由 ② 知 x ∈ {√0, 2}，但
=
− sin ∠M OC
=
MC −
=

2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛答案的分析与反思

2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛答案的分析与反思
阳友雄（519055）
2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛中有这样一道题：
11. (1) 求证：对于任意实数 x, y, z ，都有 x2 + 2 y2 + 3z2 ≥ 3(xy + yz + zx)
(2) 是否存在实数 k > 3 ，使得对于任意实数 x, y, z 下式恒成立？
2
2
一个小小的正负号导致了错误，真是一子不慎满盘皆输！既然知道了原因，就容易修正
三.对官方答案的修正
解： f =x2 + 2 y2 + 3z2 − k(xy + yz + zx) =x2 − k( y + z)x + 2 y2 + 3z2 − kyz
=[x − k ( y + z)]2 − k 2 ( y2 + z2 + 2 yz)+2 y2 + 3z2 − kyz
3z2 拆成 nz2 + (3 − n)z2 ，然后用基本不等式试试
x2 + 2 y2 + 3z2 = kx2 + my2 + (1− k)x2 + nz2 + (2 − m) y2 + (3 − n)z2
≥ 2 kmxy + 2 (1− k)nxz + 2 (2 − m)(3 − n) yz
注意到待求证的式子为 x2 + 2 y2 + 3z2 ≥ 3(xy + yz + zx)
不妨取=x 3= , y 2= , z 1，此时左边 = 20 ，右边 =22 ，左边 < 右边，上式不成立

2018年全国高中数学联合竞赛试卷(一试)(B卷)(附答案详解)

2018年全国高中数学联合竞赛试卷（一试）（B 卷）一、单空题（本大题共8小题，共64.0分）1. 设集合A ={2,0,1,8}，B ={2a|a ∈A}，则A ∪B 的所有元素之和是______．2. 已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1，在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ与底面所成角不大于45°，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为______． 3. 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc +def 是奇数的概率为______．4. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，n⃗ =(3,1)是l 的一个法向量，已知数列{a n }满足：对任意的正整数n ，点(a n+1,a n )均在l 上，若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______．5. 设α，β满足tan(α+π3)=−3，tan(β−π6)=5，则tan(α−β)的值为______． 6. 设抛物线C ：y 2=2x 的准线与x 轴交于点A ，过点B(−1,0)作一直线l 与抛物线C 相切于点K ，过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点M ，N ，则△KMN 的面积为______． 7. 设f(x)是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[1,2]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=0，则不等式组{0≤x ≤10≤f(x)≤1 的解集为______．8. 已知复数z 1，z 2，z 3满足|z 1|=|z 2|=|z 3|=1，|z 1+z 2+z 3|=r ，其中r 是给定实数，则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实部是______(用含有r 的式子表示)．二、解答题（本大题共3小题，共56.0分） 9. 已知数列{a n }，a 1=7，a n+1a n=a n +2，n =1，2，3，⋯.求满足a n >42018的最小正整数n ．10. 已知定义在R +上的函数f(x)={|log 3x −1|,0<x ≤94−√x,x >9，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，且满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc 的取值范围．11.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点与上、下顶点，设P，Q是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ//AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R.证明：线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形．答案和解析1.【答案】31【解析】解：因为集合A={2,0,1,8}，B={2a|a∈A}={0,2,4,16}，所以A∪B={0,1,2,4,8,16}，所以A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31．故答案为：31．先求出集合B，然后由集合并集的定义求出A∪B，即可得到答案．本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的定义，属于基础题．2.【答案】3π【解析】解：圆锥的顶点P在底面上的投影即为底面中心，设为O，所以∠OQP即为直线PQ与底面所成的角，因为直线PQ与底面所成角不大于45°，则tan∠OQP=OPOQ≤1，即OQ≥1，所以所求的区域面积为π⋅22−π⋅12=3π．故答案为：3π．圆锥的顶点P在底面上的投影即为底面中心，设为O，由线面角的定义可知，∠OQP即为直线PQ与底面所成的角，由题意求出OQ≥1，由圆的面积公式求解即可．本题考查了动点轨迹的求解，直线与平面所成角的理解与应用，圆的面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．3.【答案】110【解析】解：将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，基本事件总数n=6!，当abc+def为奇数时，abc，def必为一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的排列，这样有3！×3！=36种情况，由对称性可知满足条件的情况有：36×2=72种，∴abc+def是奇数的概率为P=726!=110．故答案为：110．基本事件总数n=6!，当abc+def为奇数时，abc，def必为一奇一偶，求出满足条件的情况有72种，由此能求出abc+def是奇数的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】−32【解析】【分析】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查与应用．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=−13a n，则数列{a n}为公比q为−13的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．【解答】解：直线经过坐标原点，n⃗=(3,1)是l的一个法向量，可得直线l的斜率为−3，即有直线l的方程为y=−3x，点(a n+1,a n)均在l上，可得a n=−3a n+1，即有a n+1=−13a n，则数列{a n}为公比q为−13的等比数列，可得a3=a2q=6×(−13)=−2．所以a1a2a3a4a5=(−2)5=−32．故答案为：−32．5.【答案】−74【解析】解：因为α，β满足tan(α+π3)=−3，tan(β−π6)=5，所以由两角差的正切公式可知tan[(α+π3)−(β−π6)]=tan(α+π3)−tan(β−π6)1+tan(α+π3)tan(β−π6)=−3−51+(−3)×5=47，所以tan(α−β+π2)=47，即cot(α−β)=−47，所以tan(α−β)=−74故答案为：−74．由已知利用两角差的正切公式，诱导公式即可计算得解．本题主要考查了两角差的正切公式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】12【解析】解：设直线l与MN的斜率为k，则l：x=1k y−1，MN：x=1ky−12，将l于C联立，得方程y2−2ky+2=0，由△=4k2−8=0可得k=±√22，将MN于C联立，得方程y2−2ky+1=0，于是|y M−y N|=√(y M+y N)2−4y M y N=√4k2−4=2，结合l与MN平行，可知S△KMN=S△BMN=|S△BAM−S△BAN|=12|AB|⋅|y M−y N|=12⋅12⋅2=12故答案为：12．设出直线l与，MN的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、面积公式即可求解．本题考查了直线与抛物线位置关系，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】[2π−6,4−π]【解析】解：由f(x)为偶函数且在区间[1,2]上严格递减，可得f(x)在[−2,−1]上严格递增，又因为f(x)是以2为周期的函数，所以f(x)在[0,1]上严格递增， f(4−π)=f(π−4)=f(π)=1，f(2π−6)=f(2π)=0，所以0≤f(x)≤1⇔f(2π−6)≤f(x)≤f(4−π)，而0<2π−6<4−π<1，所以原不等式组∈[2π−6,4−π]．故答案为：[2π−6,4−π]．根据函数的奇偶性、单调性和周期性可得f(x)在[0,1]上严格递增，由f(π)=1，f(2π)=0得出f(4−π)=1，f(2π−6)=0，从而由0≤f(x)≤1得出f(4−π)≤f(x)≤f(2π−6)，从而可得原不等式组的解集．本题主要考查函数的单调性、奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．8.【答案】r 2−32【解析】解：记w =z 1z 2+z 2z 3+z3z 1，由复数模的性质可知，z 1−=1z 1，z 2−=1z 2，z 3−=1z 3，故w =z 1z 2− +z 2z 3−+z 3z 1−，r 2=(z 1+z 2+z 3)(z 1−+z 2−+z 3−)=|z 1|2+|z 2|2+|z 3|2+w +w −=3+2Rew ，解得Rew =r 2−32，故z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实部是r 2−32．故答案为：r 2−32．根据已知条件，结合复数模公式，以及复数实部的概念，即可求解．本题主要考查复数模公式，以及复数实部的概念，属于难题．9.【答案】解：由a n+1a n=a n +2知a n+1+1=(a n +1)2，故a n +1=(a 1+1)2n−1=82n−1=23×2n−1，故a n =23×2n−1−1，显然{a n }单调递增，由于a 11=23072−1<24036=42018， a 12=26144−1>24036=42018，故满足a n >42018的最小正整数n 为12．【解析】略略10.【答案】解：不妨设a <b <c ，由于f(x)在(0,3]上严格单调递减，在[3,9]上严格单调递增，在[9,+∞)上严格打电脑递减，又f(3)=0，f(9)=1，结合图象可知a ∈(0,3)，b ∈(3,9)，c ∈(9,+∞)，所以f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1)，由f(a)=f(b)得，1−log 3a =log 3b −1，取log 3a +log 3b =2，所以ab =32=9，所以abc =9c ，又0<f(x)=4−√c <1，所以c ∈(9,16)，所以abc =9c ∈(81,144)，所以abc 的取值范围为(81,144)．【解析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a <b <c ，由图象得ab 是个定值，利用数形结合思想去解决即可．本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．11.【答案】证明：设点P 坐标为(x 0,y 0)，由于OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OR ⃗⃗⃗⃗⃗ //OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OP⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，故存在实数λ，μ，使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，此时点Q ，R 的坐标可分别表示为(λ(x 0+a),λy 0)，(μ(x 0−a),μy 0)，由于Q ，R 都在椭圆上，于是λ2[(x 0+a)2a 2+y 02b 2]=μ2[(x 0−a)2a 2+y 02b 2]=1，结合x 02a 2+y 02b2=1知，上式可化为λ2(2+2x 0a)=μ2(2−2x 0a)=1，解得λ2=a2(a+x 0),μ2=a2(a−x 0)，因此|OQ|2+|OR|2=λ2[(x 0+a)2+y 02]+μ2[(x 0−a)2+y 02]， =a 2(a+x 0)[(x 0+a)2+y 02]+a2(a−x 0)[(x 0−a)2+y 02]=a(a+x 0)2+ay 022(a+x 0)+a(a−x 0)2+ay 022(a−x 0)=a 2+ay 022(1a+x 0+1a−x 0)=a 2+ay 022⋅2aa 2−x 02=a 2+a 2b 2(1−x 02a 2)a 2−x 02=a 2+b 2=|BC|2，∴线段OQ ，OR ，BC 能构成一个直角三角形．【解析】设点P 坐标为(x 0,y 0)，依题意，存在实数λ，μ，使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则点Q ，R 的坐标分别为(λ(x 0+a),λy 0)，(μ(x 0−a),μy 0)，然后再验证|OQ|2+|OR|2=|BC|2即可得证．本题考查椭圆性质以及平面向量在解析几何中的运用，对运算能力要求较高，属于较难题目．。

2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)

则(�� + ��)��2 + 2(�� − ��)�� + 2 = 0，
整理得：(��2 + 2�� + 2) + (��2 − 2��)�� = 0
由图结合对称性得：
��1 = �� − 2, ��2 = 2�� − [4 + 2(2�� − 6)] = 8 − 2�� 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ��(��) ≤ 2在[1，2]内
分析：�� + ��为偶数，则��与��奇偶性相同，
故当�� ≥ 2 时，
�� = √�� ± √�� − 1 ≤ √�� + √�� − 1 < 2√�� (2) ��与��+1异号时结论显然成立，
当��与��+1同号时：由(1)得�� = ±√��，不妨得：�� = √�� − √�� − 1
6. 设复数��满足|��|=1，使得关于�� 的方程z��2 + 2��̅�� +
2 = 0有实根，则这样的复数��的和为

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)_PDF压缩

证明：存在 x0 ∈[1, 9] ，使得 f (x0 ) ≥ 2 ．证法 1：只需证明存在 u, v ∈[1, 9] ，满足 f (u) − f (v) ≥ 4 ，进而由绝对值不
等式得
f (u) + f (v) ≥ f (u) − f (v) ≥ 4 ，
故 f (u) ≥ 2 与 f (v) ≥ 2 中至少有一个成立．
注意到 f (4 ) f ( 4) f () 1, f (2 6) f (2) 0 ，
所以
0 f (x) 1 f (2 6) f (x) f (4 ) ，
而 0 2 6 4 1 ，故原不等式组成立当且仅当 x [2 6, 4 ] ．

4 7
，即
tan

2

4 7
，从而
tan(

)

cot

2

7 4
．
6. 设抛物线 C : y2 2x 的准线与 x 轴交于点 A ，过点 B (1, 0) 作一直线 l 与
抛物线 C 相切于点 K ，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线 C 交于点 M , N ，则 KMN
…………………5 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
即 log3 a log3 b 2 ，因此 ab 32 9 ．于是 abc 9c ．又
…………………10 分
0 f (c) 4 c 1，
…………………15 分
故 c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中， A 、 B 与 C 、 D 分别是椭圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ

2018年全国高中数学联合竞赛试题(A卷)与答案

⇒ bx(x − 2) = 02.
2
2
当
b
=
0
时，由
a2
+ b2
2
=
1
⇒
a
=
±1.
代入
1
得
a
=
1
时
x
无解，于是
a
=
−1
⇒ z = a + bi = −1；当 x = 0 时，代入 1√得 2 = 0 无解；
√
当
x
=
2
时，代入
1
得
a
=
1 −
⇒
b
=
±
15
⇒
z
=
a
+
bi
=
1 −
±
15 i.
4
4
44
所以满足条件的复数
3 的圆环区域. 其面积为 9π − π = 8π.
3. 将 1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d, e, f ，则 abc + def 是偶数的概率
为
.
解答
只有 abc 和 def 一奇一偶时，abc + def 是奇数，且仅当 a, b, c 均为奇数时，abc
所以 B C 的元素个数为 24. 2. 设点 P 到平面 α 的距离为 √3，点 Q 在平面 α 上，使得直线 P Q 与 α 所成角
不小于 30◦ 且不大于 60◦，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
.
解答
设 P O ⊥ 平面 α 于 O，则点 Q 的轨迹为平面 α 上以 O 为圆心，半径为 1 和
2018年全国高中数学联合竞赛试题 (A 卷)

2018年全国高中数学联赛A试题+答案

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为．答案：24．解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C，故B C 的元素个数为24．2. 设点P 到平面的距离为，点Q 在平面上，使得直线PQ 与所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．解：设点P 在平面上的射影为O ．由条件知，tan OP OQP OQ ，即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为．答案：910．解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶数的概率为72729116!72010−=−=．4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P ．已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为．答案解：由对称性，不妨设(,)P P P x y 在第一象限，则由条件知112,122P P x PT PS y PV PU ，即(2,1)P ．进而由1,2P x PU PS 得(2,2),(4,1)U S ，代入椭圆C 的方程知2222111144161a b a b，解得2220,5a b ．从而121212PF F P P S F F y y ．5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ，则不等式组12,1()2x f x的解集为．答案：[2,82] ．解：由()f x 为偶函数及在[0,1]上严格递减知，()f x 在[1,0] 上严格递增，再结合()f x 以2为周期可知，[1,2]是()f x 的严格递增区间．注意到(2)()1,(82)(2)(2)2f f f f f ，所以1()2(2)()(82)f x f f x f ，而12822 ，故原不等式组成立当且仅当[2,82]x ．6. 设复数z 满足1z ，使得关于x 的方程2220zx zx 有实根，则这样的复数z 的和为．答案：32．解：设22i (,,1)R z a b a b a b ．将原方程改为2(i)2(i)20a b x a b x ，分离实部与虚部后等价于2220ax ax ，① 220bx bx ．②若0b ，则21a ，但当1a 时，①无实数解，从而1a ，此时存在实数1x 1z 满足条件．若0b ，则由②知{0,2}x，但显然0x 不满足①，故只能是2x ，代入①解得14a ，进而bz ．综上，满足条件的所有复数z 之和为312．7. 设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC，则sin BAC 的值为．答案解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径2R ．由条件知，2AC AO AB BO，①故112AC BO ．取AC 的中点M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且B 与A 位于直线OM 的同侧．于是1cos cos(90)sin 4MCBOC MOC MOC OC．在BOC 中，由余弦定理得BC ，进而在ABC中，由正弦定理得sin 2BC BAC R． 8. 设整数数列1210,,,a a a 满足1012853,2a a a a a ，且1{1,2},1,2,,9i i i a a a i ，则这样的数列的个数为．答案：80．解：设1{1,2}(1,2,,9)i i i b a a i ，则有11011292a a a b b b ，① 2345285567b b b a a a a b b b ．②用t 表示234,,b b b 中值为2的项数．由②知，t 也是567,,b b b 中值为2的项数，其中{0,1,2,3}t ．因此237,,,b b b 的取法数为021222323333(C )(C )(C )(C )20 ．取定237,,,b b b 后，任意指定89,b b 的值，有224 种方式．最后由①知，应取1{1,2}b 使得129b b b 为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列129,,,b b b 唯一对应一个满足条件的数列1210,,,a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为20480 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()f x 为3log 1,09,()49.x x f x x设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ，求abc 的取值范围．解：不妨假设a b c ．由于()f x 在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,) 上严格递减，且(3)0,(9)1f f ，故结合图像可知(0,3)a ，(3,9)b ，(9,)c ，并且()()()(0,1)f a f b f c ． …………………4分由()()f a f b 得331log log 1a b ，即33log log 2a b ，因此239ab ．于是9abc c ． …………………8分又0()41f c ， …………………12分故(9,16)c ．进而9(81,144)abc c ．所以，abc 的取值范围是(81,144)． …………………16分注：对任意的(81,144)r ，取09rc =，则0(9,16)c ∈，从而0()(0,1)f c ∈．过点00(,())c f c 作平行于x 轴的直线l ，则l 与()f x 的图像另有两个交点(,())a f a ，(,())b f b （其中(0,3),(3,9)a b ），满足()()()f a f b f c ，并且9ab ，从而abc r =．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1) 对任意正整数n ，有n a(2) 对任意正整数n ，有11n n a a ．证明：(1) 约定00S ．由条件知，对任意正整数n ，有221111(2)()()n n n n n n n n n a S a S S S S S S ，从而220n S n S n ，即n S （当0n 时亦成立）． …………………5分显然，1n n n a S S ． …………………10分(2) 仅需考虑1,n n a a 同号的情况．不失一般性，可设1,n n a a 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则11n n n S S S ，故必有1n n S S ，此时1n n a a从而11n n a a ． …………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x 的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ，求PF 的所有可能值．解：设222123123,,,,,444y y y A y B y P y，由条件知123,,y y y 两两不等且非零．设直线AB 的方程为1x ty ，与抛物线方程联立可得2440y ty ，故124y y ． ① 注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为220x y dx ey ，与24y x 联立得，4210164y d y ey ．该四次方程有123,,,0y y y y 这四个不同的实根，故由韦达定理得12300y y y ，从而312()y y y ．②…………………5分因PF 平分APB ，由角平分线定理知，12PA FA yPB FB y ，结合①、②，有2222312222231212112122222222222321222132()()16(2)44()16(2)()44y y y y y y y y y PA yy PB y y y y y y y y y2222422122122224212112(8)16(416)64192(8)16(416)64192y y y y y y y y y y ， ………………10分即62226222112122126419264192y y y y y y y y ，故 224224121122()(192)0y y y y y y ．当2212y y 时，21y y ，故30y ，此时P 与O 重合，与条件不符．当422411221920y y y y 时，注意到①，有22221212()192()208y y y y ． …………………15分因22121282y y y y ，故满足①以及2212y y 的实数12,y y 存在，对应可得满足条件的点,A B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF ．…………………20分2018年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,,,n n a a a b b b A B 均为正实数，满足,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤= ，且1212n n b b b Ba a a A≤ ．证明：1212(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1n n b b b B a a a A ++++≤++++ ．证明：由条件知，1,1,2,,i i i b k i n a =≥= ．记BK A=，则1212n n b b b B a a a A ≤ 化为12n k k k K ≤ ．要证明11111ni i i ik a KA a A =++≤++∏． ① 对1,2,,i n = ，由于1i k ≥及0i a A <≤知，11111111i i i i i i i i i k a k k k A k k a a A A +−−+=−≤−=++++．结合12n K k k k ≥ 知，为证明①，仅需证明当0,1(1,2,,)i A k i n >≥= 时，有1211111ni n i k A k k k A A A =++≤++∏． ②…………………20分对n 进行归纳．当1n =时，结论显然成立．当2n =时，由120,,1A k k >≥可知1212122111(1)(1)0111(1)k A k A k k A A k k A A A A +++−−⋅−=−≤++++， ③ 因此2n =时结论成立． …………………30分设n m =时结论成立，则当1n m =+时，利用归纳假设知，11121111111111111m m i i m m m i i k A k A k A k k k A k A A A A A A +++==+++++ =⋅≤⋅ +++++∏∏ 12111m k k k A A ++≤+ ，最后一步是在③中用121,m m k k k k + （注意1211,1m m k k k k +≥≥ ）分别代替12,k k ．从而1n m =+时结论成立．由数学归纳法可知，②对所有正整数n 成立，故命题得证．…………………40分二、（本题满分40分）如图，ABC 为锐角三角形，AB AC ，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC 的外接圆 BAC和 BC 的中点，F 为ABC 的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ．证明：若BN EM ，则DF FG ．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由条件知，DE 为ABC 外接圆的直径，DE BC 于M ，AE AD ．记I 为ABC 的内心，则I 在AE 上，IF AB ．由NB AB 可知(180)90NBE ABE ABN ADE90ADE MEI ．① …………………10分又根据内心的性质，有EBI EBC CBI EAC ABI EAB ABI EIB ，从而BE EI ．结合BN EM 及①知，NBE MEI ≌ ． …………………20分于是90180EMI BNE BFE EFI ，故,,,E F I M 四点共圆．进而可知9090AFM IFM IEM AGM ，从而,,,A F G M 四点共圆． …………………30分再由90DAG DMG 知，,,,A G M D 四点共圆，所以,,,,A F G M D 五点共圆．从而90DFG DAG ，即DF FG ． …………………40分三、（本题满分50分）设,,n k m 是正整数，满足2k ≥，且21k n m n k−≤<．设A 是{1,2,,}m 的n 元子集．证明：区间0,1n k−中的每个整数均可表示为a a ′−，其中,a a A ′∈．证明：用反证法．假设存在整数0,1n x k∈ −不可表示为a a ′−，,a a A ′∈．作带余除法m xq r =+，其中0r x ≤<．将1,2,,m 按模x 的同余类划分成x 个公差为x 的等差数列，其中r 个等差数列有1q +项，x r −个等差数列有q 项．由于A 中没有两数之差为x ，故A 不能包含以x 为公差的等差数列的相邻两项．从而1,2,12()22,2|,2q x q q q n A r x r q x r q + ⋅ + =≤+−= ⋅+ ① 这里α 表示不小于α的最小整数． …………………20分由条件，我们有()2121k kn m xq r k k >+−−． ②又0,1n x k ∈ −，故(1)n k x >−． ③情形一：q 是奇数．则由①知，12q n x +≤⋅． ④ 结合②，④可知，1()22121q k kx n xq r xq k k +⋅≥>+≥−−，从而21q k <−．再由q 是奇数可知，23q k ≤−，于是1(1)2q n x k x +≤⋅≤−，与③矛盾．情形二：q 是偶数．则由①知，2qn x r ≤⋅+． ⑤结合②，⑤可知，()221q k x r n xq r k ⋅+≥>+−，从而1(1)2(21)2121xq k k xr k k k −−<<−−−，故2(1)q k <−．再由q 是偶数可知，24q k ≤−，于是(2)(1)2qn x r k x r k x ≤⋅+≤−+<−，与③矛盾．综上可知，反证法假设不成立，结论获证． …………………50分四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1n ≥， 1n a +是与1ni i a =∑互素，且不等于1,,n a a 的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现．证明：显然11a =或21a =．下面考虑整数1m >，设m 有k 个不同素因子，我们对k 归纳证明m 在{}n a 中出现．记1n n S a a =++，1n ≥．1k =时，m 是素数方幂，设m p α=，其中0α>，p 是素数．假设m 不在{}n a 中出现．由于{}n a 各项互不相同，因此存在正整数N ，当n N ≥时，都有n a p α>．若对某个n N ≥，n p S ，那么p α与n S 互素，又1,,n a a 中无一项是p α，故由数列定义知1n a p α+≤，但是1n a p α+>，矛盾！因此对每个n N ≥，都有|n p S ．但由1|n p S +及|n p S 知1|n p a +，从而1n a +与n S 不互素，这与1n a +的定义矛盾． …………………10分假设2k ≥，且结论对1k −成立．设m 的标准分解为1212k km p p p ααα=．假设m 不在{}n a 中出现，于是存在正整数N ′，当n N ′≥时，都有n a m >．取充分大的正整数11,,k ββ−，使得11111max k k n n N M p p a ββ−−′≤≤=> ．我们证明，对n N ′≥，有1n a M +≠． …………………20分对任意n N ′≥，若n S 与12k p p p 互素，则m 与n S 互素，又m 在1,,n a a 中均未出现，而1n a m +>，这与数列的定义矛盾．因此我们推出：对任意n N ′≥，n S 与12k p p p 不互素．()∗情形1．若存在(11)i i k ≤≤−，使得|i n p S ，因1(,)1n n a S +=，故1i n p a +，从而1n a M +≠（因|i p M ）． …………………30分情形2．若对每个(11)i i k ≤≤−，均有i n p S ，则由()∗知必有|k n p S ．于是1k n p a + ，进而1k n n p S a ++，即1k n p S +．故由()∗知，存在00(11)i i k ≤≤−，使得01|i n p S +，再由11n n n S S a ++=+及前面的假设(11)i n p S i k ≤≤−，可知01i n p a +，故1n a M +≠． …………………40分因此对1n N ′≥+，均有n a M ≠，而1max n i N M a ′≤≤>，故M 不在{}n a 中出现，这与归纳假设矛盾．因此，若m 有k 个不同素因子，则m 一定在{}n a 中出现．由数学归纳法知，所有正整数均在{}n a 中出现． …………………50分。

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