2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

(考试时间:2019年6月30日上午9:00) 沈成友整理

一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)

1、设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=

2、设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n=

3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期=

4.设点P,Q 分别在函数y=2x 和y=log 2x 的图象上，则|PQ|的最小 值=

5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2

≤1的概率=

6、在边长为I 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=

7、设H 是△ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ∠AHB= 8、把1，2，…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是1,2,…,n .

例如：3123894765T ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在T 100

的第i 行第j 列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分)

9、如图所示，设ABCD 是矩形，点E, F 分别是线段AD, BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D, H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:∠HAB=3∠GAB.

10、设O 是坐标原点，双曲线C:上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A,B 两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB 的面积S 是定值。（2）求△AOB 的外心P 的轨迹方程

.

11、（1）求证：对于任意实数x,y,z 都有: )222x 23y z xy yz zx ++≥++.

（2）是否存在实数，使得对于任意实数x.y,z 下式恒成立？ ()222x 23y z k xy yz zx ++≥++，试证明你的结论.

12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

考试时间:2019年6月30日上午9:00

1.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i -+.

2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =21

3. 3.函数()sin 2sin3sin 4f x x x x =++的最小正周期=2π.

4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值=

5、从1,2,,10⋅⋅⋅中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=

115

. 6、在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段

1AC 相切，则小球半径的最大值=

45

- 7、设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则

cos AHB ∠=6

-

. 8、把21,2,,n ⋅⋅⋅按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ⋅⋅⋅.

例如：3123894765T ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95.

9、如图所示，设ABCD 是矩形，点,E F 分别是线段,AD BC 的中点，点G 在线段EF 上，点,D H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:3HAB GAB ∠=∠.

10、设O 是坐标原点，双曲线:C 22

221x y a b

-=上动点M 处的切线交C 的两条渐近

线于,A B 两点.

(1)求证：ABC ∆的面积S 是定值;

（2）求AOB ∆的外心P 的轨迹方程.

11.（1）求证：对于任意实数,,x y z 都有:)22223x y z xy yz zx ++++..

（2）是否存在实数k >,,x y z 下式恒成立？

()22223x y z k xy yz zx ++≥++

试证明你的结论.

标答：

12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.