普通高中高三第一次数学模拟考试试卷含答案
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8．B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．
【详解】
由 ，得 ，
，故选 ．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．
9．D
【解析】
由题意可得 ,故选D.
考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.
10．A
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可。
（Ⅱ）利用三角形面积公式即可计算得解．
（Ⅲ）利用三角函数恒等变换的应用可得 ，结合范围 ，利用正弦函数的有界性即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由. ，得 ，
所以 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .
（Ⅲ）由题意得 .
因为0＜A＜ ，
所以 .
故所求的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．
整理，得t2＋3 t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3 ，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数几何意义求弦长，考查基本求解能力.属于基础题.
23．（1）60°； （2） ； （3） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得 ，结合范围B∈（0，π），可求 ；
【详解】
集合 ，则 或
而 ，则 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2．B
【解析】
分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
3．D
【解析】
【分析】
由已知向量的坐标求出 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】
根据 ，可得 ，
两式相减得 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
所以数列 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B 平面A1BC，BC 平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
15．曲线 在点 处的切线方程为__________．
16．已知向量 ， ， ．若 ，则 ________．
17．已知向量 与 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=______.
18．记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____________．
5．渐近线方程为 的双曲线方程是
A． B． C． D．
6．已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则该椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
7．已知复数 ， ，则复数 的虚部为（）
A． B． C． D．
8．设 为虚数单位，复数 满足 ，则
A．1B． C．2D．
9．若为 实数,且 ,则 （）
A． B． C． D．
【详解】
详解： =
【点睛】
三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
14．A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B， ， ，排除B，对C， ，排除C．对D， ，排除D，故选A．
【详解】
由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
15．
【解析】
【分析】
求导 ，可得斜率 ，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】
由 ，得 ，
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
则所求切线方程为 ，即 .
【点睛】
求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.
16．
【解析】
【分析】
由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】
， ；
，故选 ．
【点睛】
本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算．
11．D
【解析】
【分析】
【详解】
由余弦定理得 ，
解得 （ 舍去），故选D.
【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
22．（1）x2＋y2＝16.(2)
【解析】
【分析】
(1)根据三角函数平方关系消参数得结果，(2)将直线 的参数方程代入曲线 方程，利用参数几何意义以及韦达定理求弦长.
【详解】
解：(1)由曲线C： 得x2＋y2＝16，
所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将直线 的参数方程代入x2＋y2＝16，
故选：C．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．
5．B
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线方程公式，即可求出正确的结果.
【详解】
选项A的渐近线方程为： ，选项B的渐近线方程为： ，正确；选项C的渐近线： ；选项D的渐近线方程为： ；故选：B．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质,求出双曲线的渐近线方程是解题的关键,属于基础题。
普通高中高三第一次模拟考试
数学试卷
一、单选题（每题5分，共70分）
1．若集合 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 满足 ， ，则
A．4B．3C．2D．0
3．已知向量 ，且 ，则m=( )
A．−8B．−6C．6D．8
4．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）
A． B． C． D．
10．设 ， ，则
A． B． ， C． D． ，
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
12． 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则
A． B． C． D．
13．tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
14．记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
12．C
【解析】
分析：利用面积公式 和余弦定理 进行计算可得。
详解：由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。
13．D
【解析】
【分析】
本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
由题可得
,即
故答案为
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
17．源自文库
【解析】
【分析】
【详解】
∵平面向量 与 的夹角为 ，
∴ .
∴
故答案为 .
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
18．
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的 ，类比着写出 ，两式相减，整理得到 ，从而确定出数列 为等比数列，再令 ，结合 的关系，求得 ，之后应用等比数列的求和公式求得 的值.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线 与曲线 交于 两点，求线段 的长．
23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；
（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先求 ,再求出 得解.
当 时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；
当 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴ 的单调减区间为 的单调增区间为 .
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．
20．（1） 或 .
（2） .
【解析】
分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设 的公比为 ，由题设得 ．
19．（1） （2）减区间为 增区间为
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
【详解】
（1）依题意可得：
又 函数 在 处的切线为 ，
解得：
（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，
【详解】
∵ ，又 ，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
4．C
【解析】
【分析】
判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．
【详解】
椭圆 =1的焦点坐标在x轴，a= ，
P是椭圆 =1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2 ．
由已知得 ，解得 （舍去）， 或 ．
故 或 ．
（2）若 ，则 ．由 得 ，此方程没有正整数解．
若 ，则 ．由 得 ，解得 ．
综上， ．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
【详解】
分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.
三、解答题（每题12分，共60分）
19．已知函数 在 处的切线为 .
（1）求实数 的值；
（2）求 的单调区间.
20．等比数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
21．在平行六面体 中， , ．
求证：（1） ；
（2） ．
22．已知直线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线C的参数方程为 ( 为参数)．
详解：
证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB 平面A1B1C，A1B1 平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
6．C
【解析】
【分析】
利用 即可得出．
【详解】
∵ ，∴ ．
∴ = ．
故选C．
【点睛】
熟练掌握离心率计算公式 是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
利用复数四则运算求得复数 ，从而得到复数 的虚部。
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以其虚部为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的四则运算、虚部的概念，考查对概念的理解与应用。
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．
【详解】
由 ，得 ，
，故选 ．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．
9．D
【解析】
由题意可得 ,故选D.
考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.
10．A
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可。
（Ⅱ）利用三角形面积公式即可计算得解．
（Ⅲ）利用三角函数恒等变换的应用可得 ，结合范围 ，利用正弦函数的有界性即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由. ，得 ，
所以 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .
（Ⅲ）由题意得 .
因为0＜A＜ ，
所以 .
故所求的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．
整理，得t2＋3 t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3 ，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数几何意义求弦长，考查基本求解能力.属于基础题.
23．（1）60°； （2） ； （3） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得 ，结合范围B∈（0，π），可求 ；
【详解】
集合 ，则 或
而 ，则 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2．B
【解析】
分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
3．D
【解析】
【分析】
由已知向量的坐标求出 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】
根据 ，可得 ，
两式相减得 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
所以数列 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B 平面A1BC，BC 平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
15．曲线 在点 处的切线方程为__________．
16．已知向量 ， ， ．若 ，则 ________．
17．已知向量 与 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=______.
18．记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____________．
5．渐近线方程为 的双曲线方程是
A． B． C． D．
6．已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则该椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
7．已知复数 ， ，则复数 的虚部为（）
A． B． C． D．
8．设 为虚数单位，复数 满足 ，则
A．1B． C．2D．
9．若为 实数,且 ,则 （）
A． B． C． D．
【详解】
详解： =
【点睛】
三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
14．A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B， ， ，排除B，对C， ，排除C．对D， ，排除D，故选A．
【详解】
由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
15．
【解析】
【分析】
求导 ，可得斜率 ，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】
由 ，得 ，
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
则所求切线方程为 ，即 .
【点睛】
求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.
16．
【解析】
【分析】
由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】
， ；
，故选 ．
【点睛】
本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算．
11．D
【解析】
【分析】
【详解】
由余弦定理得 ，
解得 （ 舍去），故选D.
【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
22．（1）x2＋y2＝16.(2)
【解析】
【分析】
(1)根据三角函数平方关系消参数得结果，(2)将直线 的参数方程代入曲线 方程，利用参数几何意义以及韦达定理求弦长.
【详解】
解：(1)由曲线C： 得x2＋y2＝16，
所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将直线 的参数方程代入x2＋y2＝16，
故选：C．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．
5．B
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线方程公式，即可求出正确的结果.
【详解】
选项A的渐近线方程为： ，选项B的渐近线方程为： ，正确；选项C的渐近线： ；选项D的渐近线方程为： ；故选：B．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质,求出双曲线的渐近线方程是解题的关键,属于基础题。
普通高中高三第一次模拟考试
数学试卷
一、单选题（每题5分，共70分）
1．若集合 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 满足 ， ，则
A．4B．3C．2D．0
3．已知向量 ，且 ，则m=( )
A．−8B．−6C．6D．8
4．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）
A． B． C． D．
10．设 ， ，则
A． B． ， C． D． ，
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
12． 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则
A． B． C． D．
13．tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
14．记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
12．C
【解析】
分析：利用面积公式 和余弦定理 进行计算可得。
详解：由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。
13．D
【解析】
【分析】
本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
由题可得
,即
故答案为
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
17．源自文库
【解析】
【分析】
【详解】
∵平面向量 与 的夹角为 ，
∴ .
∴
故答案为 .
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
18．
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的 ，类比着写出 ，两式相减，整理得到 ，从而确定出数列 为等比数列，再令 ，结合 的关系，求得 ，之后应用等比数列的求和公式求得 的值.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线 与曲线 交于 两点，求线段 的长．
23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；
（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先求 ,再求出 得解.
当 时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；
当 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴ 的单调减区间为 的单调增区间为 .
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．
20．（1） 或 .
（2） .
【解析】
分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设 的公比为 ，由题设得 ．
19．（1） （2）减区间为 增区间为
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
【详解】
（1）依题意可得：
又 函数 在 处的切线为 ，
解得：
（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，
【详解】
∵ ，又 ，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
4．C
【解析】
【分析】
判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．
【详解】
椭圆 =1的焦点坐标在x轴，a= ，
P是椭圆 =1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2 ．
由已知得 ，解得 （舍去）， 或 ．
故 或 ．
（2）若 ，则 ．由 得 ，此方程没有正整数解．
若 ，则 ．由 得 ，解得 ．
综上， ．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
【详解】
分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.
三、解答题（每题12分，共60分）
19．已知函数 在 处的切线为 .
（1）求实数 的值；
（2）求 的单调区间.
20．等比数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
21．在平行六面体 中， , ．
求证：（1） ；
（2） ．
22．已知直线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线C的参数方程为 ( 为参数)．
详解：
证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB 平面A1B1C，A1B1 平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
6．C
【解析】
【分析】
利用 即可得出．
【详解】
∵ ，∴ ．
∴ = ．
故选C．
【点睛】
熟练掌握离心率计算公式 是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
利用复数四则运算求得复数 ，从而得到复数 的虚部。
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以其虚部为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的四则运算、虚部的概念，考查对概念的理解与应用。