一元一次不等式的解法(教师版).doc
《一元一次不等式组的解法 》 教案精品 2022年数学
9．3 一元一次不等式组第1课时 一元一次不等式组的解法1．理解一元一次不等式组及其解集的概念； 2．掌握一元一次不等式组的解法；(重点)3．会利用数轴表示一元一次不等式组的解集．(难点)一、情境导入你能列出上面的不等式并将其解集在数轴上表示出来吗？ 二、合作探究探究点一：在数轴上表示不等式组的解集不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜3，x ≥1的解集在数轴上表示为( )解析：把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，它们的公共局部是1≤x ＜3.应选C.方法总结：利用数轴确定不等式组的解集，如果不等式组由两个不等式组成，其公共局部在数轴上方应当是有两根横线穿过．探究点二：解一元一次不等式组解以下不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥1，x ＋2＜2x ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧3〔x ＋2〕＞x ＋8，x 4≥x －13.解析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求它们的公共局部．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥1，①x ＋2＜2x .②解不等式①，得x ≥2，解不等式②，得x ＞2.所以这个不等式组的解集为x ＞2.将不等式组的解集在数轴上表示如下：(2)⎩⎪⎨⎪⎧3〔x ＋2〕＞x ＋8，①x 4≥x －13.②解不等式①，得x ＞1，解不等式②，得x ≤4. 所以这个不等式组的解集是1＜x ≤4. 将不等式组的解集在数轴上表示如下：方法总结：解一元一次不等式组的一般步骤：先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来，然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共局部．也可利用口诀确定不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找．探究点三：求不等式组的特殊解求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x －12－2x －13＜13的整数解．解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x 的整数值即可．解：⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，①x －12－2x －13＜13.②解不等式①，得x ≤2，解不等式②，得x ＞－3.故此不等式组的解集为－3＜x ≤2，x 的整数解为－2，－1，0，1，2.方法总结：求不等式组的特殊解时，先解每一个不等式，求出不等式组的解集，然后根据题目要求确定特殊解．确定特殊解时也可以借助数轴．探究点四：根据不等式组的解集求字母的取值范围假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ≥0，1－2x ＞x －2无解，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≥－1B ．a ＜－1C ．a ≤1D ．a ≤－1解析：解第一个不等式得x ≥－a ，解第二个不等式得x ＜1.因为不等式组无解，所以－a ≥1，解得a ≤－1.应选D.方法总结：根据不等式组的解集求字母的取值范围，可按以下步骤进行：①解每一个不等式，把解集用数字或字母表示；②根据条件即不等式组的解集情况，列出新的不等式．这时一定要注意是否包括边界点，可以进行检验，看有无边界点是否满足题意；③解这个不等式，求出字母的取值范围．三、板书设计一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧概念解法不等式组的解集⎩⎪⎨⎪⎧利用数轴确定解集利用口诀确定解集解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的根底之上，解不等式组时，先解每一个不等式，再确定各个不等式的解集的公共局部．教学中可以把利用数轴与利用口诀确定不等式组的解集结合起来，互相验证15．1.2 分式的根本性质1．通过类比分数的根本性质，说出分式的根本性质，并能用字母表示．(重点) 2．理解并掌握分式的根本性质和符号法那么．(难点)3．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分、通分的理论依据．(重点) 4．能正确、熟练地运用分式的根本性质，对分式进行约分和通分．(难点)一、情境导入中国古代的数学论著中就有对“约分〞的记载，如?九章算术?中就曾记载“约分术〞，并给出了详细的约分方法，这节课我们就来学习分式化简的相关知识，下面先来探索分式的根本性质．二、合作探究探究点一：分式的根本性质【类型一】 利用分式的根本性质对分式进行变形以下式子从左到右的变形一定正确的选项是( )A.a ＋3b ＋3＝a b B.a b ＝acbcC.3a 3b ＝a bD.a b ＝a 2b2 解析：A 中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的根本性质，故A 错误；B 中当c ＝0时不成立，故B 错误；C 中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C 正确；D 中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的根本性质，故D 错误；应选C.方法总结：考查分式的根本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．【类型二】 不改变分式的值，将分式的分子、分母中各项系数化为整数不改变分式0.2x ＋12＋0.5x的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )A.2x ＋12＋5xB.x ＋54＋x C.2x ＋1020＋5x D.2x ＋12＋x解析：利用分式的根本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘以10得2x ＋1020＋5x .应选C.方法总结：观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据分式的根本性质让分子和分母同乘以某一个数即可．【类型三】 分式的符号法那么不改变分式的值，使以下分式的分子和分母都不含“－〞号． (1)－3b 2a ；(2)5y －7x 2；(3)－a －2b 2a ＋b. 解析：在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分式的值不变．解：(1)原式＝－3b 2a ；(2)原式＝－5y 7x 2；(3)原式＝－a ＋2b 2a ＋b.方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．探究点二：最简分式、分式的约分和通分 【类型一】 判定分式是否是最简分式以下分式是最简分式的是( ) A.2a 2＋a ab B.6xy 3aC.x 2－1x ＋1D.x 2＋1x ＋1解析：A 中该分式的分子、分母含有公因式a ，那么它不是最简分式．错误；B 中该分式的分子、分母含有公因数3，那么它不是最简分式．错误；C 中分子为(x ＋1)(x －1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x ＋1)，那么它不是最简分式．错误；D 中该分式符合最简分式的定义．正确．应选D.方法总结：最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．【类型二】 分式的约分约分：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4；(2)x 2－2xyx 3－4x 2y ＋4xy 2. 解析：先找分子、分母的公因式，然后根据分式的根本性质把公因式约去． 解：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4＝5a 3bc 3〔－a 2〕5a 3bc 3·5c ＝－a25c； (2)x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2＝x 〔x －2y 〕x 〔x －2y 〕2＝1x －2y. 方法总结：约分的步骤：(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．【类型三】 分式的通分通分： (1)b 3a 2c 2，c －2ab ，a5cb 3； (2)1a 2－2a ，a a ＋2，1a 2－4. 解析：确定最简公分母再通分．解：(1)最简公分母为30a 2b 2c 2，b 3a 2c 2＝10b 430a 2b 3c 2，c －2ab ＝－15ab 3c 330a 2b 3c 2，a 5cb 3＝6a 3c30a 2b 3c2；(2)最简公分母为a (a ＋2)(a －2)，1a 2－2a ＝a 2＋2a a 〔a ＋2〕〔a －2〕，aa ＋2＝a 3－2a 2a 〔a ＋2〕〔a －2〕，1a 2－4＝aa 〔a ＋2〕〔a －2〕.方法总结：通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．三、板书设计分式的根本性质1．分式的根本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．2．符号法那么：分式的分子、分母及分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变；假设只改变其中一个的符号或三个全变号，那么分式的值变成原分式值的相反数．本节课的流程比拟顺畅，先探究分式的根本性质，然后顺势探究分式变号法那么．在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习．一步一步的来完成既定目标．整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效．。
人教版七年级下册数学课件 第九章 不等式与不等式组 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法
第九章 不等式与不等式组
9．2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
1．(3 分)下列各式中，是一元一次不等式的是( B)
A.x2－2x＞1
B．x3 －1＞x－2 1
C．1x －2≥0 D．x＋y2 ＜－1
2．(3 分)已知 xa－1＋3＜5 是关于 x 的一元一次不等式，则 a＝_2__．
9．若点 P(3a－2，2b－3)在第二象限，则(C )
A．a＞23 ，b＞32
B．a＞23 ，b＜32
C．a＜23 ，b＞32
D．a＜23 ，b＜32
10．(呼和浩特中考)若不等式2x＋ 3 5 －1≤2－x 的解集中 x 的每一个值， 都能使关于 x 的不等式 3(x－1)＋5＞5x＋2(m＋x)成立，则 m 的取值范围是(C )
三、解答题(共 36 分) 13．(10 分)当 x 取何值时，代数式6x－4 1 －2x 的值：(1)大于－2；(2)不大于 1－2x.
解：(1)由题意，得6x－4 1 －2x＞－2，解得 x＜72 (2)由题意，得6x－4 1 －2x≤1－2x，解得 x≤56
14．(10 分)已知关于 x 的方程x＋3m －2x－2 1 ＝m 的解为负数，求 m 的取值范围． 解：解方程得 x＝－m＋34 ，∵方程的解为负数，∴－m＋34 ＜0，解得 m＞34
6．(12分)解下列不等式，并在数轴上表示出解集： (1)3x－1≥2(x－1)； 解：去括号，得3x－1≥2x－2，移项，得3x－2x≥－2＋1，合并同类项，得x≥－1. 将不等式的解集表示在数轴上如下：
x－2 (2) 5
－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋2 4
＞－3.
解：去分母，得2(x－2)－5(x＋4)＞－30，去括号，得2x－4－5x－20＞－30， 移项，得2x－5x＞－30＋4＋20，合并同类项，得－3x＞－6， 系数化为1，得x＜2.将不等式的解集表示在数轴上如下：
人教版七年级数学下册《一元一次不等式第1课时：一元一次不等式的概念和解法》精品教学课件
概念：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一 次不等式(linear inequality in one unknown).
一
元
解一元一次不等式的步骤：
一
去分母：不等号两边各项都乘所有分母的最小公倍数.
次
去括号：当括号前是“–”时，要注意括号内各项变号.
不
移项：从不等号的一边移到另一边，注意变号.
=
2x–1 3
.
如上解何表：在示去数呢分轴？母，得：3(2+x)= 2(2x–1).
去括号，得：6+3x=4x–2.
移项，得：3x – 4x≥–2– 6.
移项，得：3x – 4x= –2– 6.
合并同类项，得：– x ≥ –8. 系数化为1，得：x≤8.
合并同类项，得： – x = –8. 0 系数化为8 1，得：x = 8.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1) 2(1+ x)＜3； (2)22+x≥2x3–1 .
总结一下，解一元 一次不等式的解题
步骤是什么？
解：(1) 2(1+ x)＜3； 去括号，得：2+2x＜ 3.
(2)22+x≥2x3–1 . 去分母，得：3(2+x)≥ 2(2x–1).
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9.2 一元一次不等式
一元一次不等式
学习目标
1.了解一元一次不等式的概念.
一
2.掌握一元一次不等式的解法.
元
3.能通过类比解一元一次方程的过程，获得解一元一次不等式的思路，即依据
一
次
一元一次不等式的性质，将一元一次不等式化简为x＞a或x＜a的形式.
八年级一元一次不等式(教师讲义带答案).
第四章一元一次不等式(组)考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（3-5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式（6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
人教版数学七年级下册一元一次不等式第一课时一元一次不等式及其解法课件
褴褛衣内可藏志。 志不真则心不热，心不热则功不贤。
第九章 不等式与不等式组
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是
A．13(x＋2)＞4x－1
B．(1＋x)(1－x)＞5
C．x＋2 1－4≤x
第九章 不等式与不等式组
(2)2x－74≥94.
解：去分母，得2x－7≥9， 移项，得2x≥9＋7， 合并同类项，得2x≥16． 系数化为1，得x≥8，其解集在数轴上表示，如图2所示．
第九章 不等式与不等式组
4．解下列各题： (1)解不等式：2(5x＋3)≤x－3(1－2x)； (2)解不等式：2x＋ 3 2－3x＋ 2 1＜1，并把解集表示在数轴上． 解：(1)去括号，得 10x＋6≤x－3＋6x， 移项、合并同类项，得 3x≤－9， 系数化为 1，得 x≤－3． 所以原不等式的解集是 x≤－3．
解：移项，得 2x－4x＞－3，即－2x＞－3． 去括号，得4x＋4－9x－3＜6，
但方程两边同乘(或除以)一个负数时，方程的解不变． 6．已知3m－5x3＋m＞4是关于x的一元一次不等式， 系数化为1，得x＞－1．
3 移项、合并同类项，得7x≥－14， 系数化为 1，得 x＜2，其解集在数轴上表示，如图 1 所示． 去括号，得3x＋12＋4x＋2≥0，
志之所趋，无远勿届，穷山复海不能限也;志之所向，无坚不摧。 去括号，得3x＋12＋4x＋2≥0， 志之所趋，无远勿届，穷山复海不能限也;志之所向，无坚不摧。
(1)2x＋3＞4x； 解：(1)∵3m－5x3＋m＞4是关于x的一元一次不等式，
(2)求这个不等式的解集． 【第二关】 建议用时6分钟 ②不等式中，当两边同乘(或除以)一个负数时，不等号的方向改变；
常见不等式的解法
常见不等式的解法(教师版)一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式1、2x+3>52、-2x+5<63、ax>14、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41->x ,则a =______.二、一元二次不等式1、22x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1)＜0的解是______.a ＜x ＜a 15、已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则b a +的值为______.-146、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______..x <-5或x >57、方程实数根，有两个不相等的 0122=+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______.041≠->m m 且8、不等式02≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __.-1;-69、函数的定义域为22--=x x x f )(______________{2≥x x 或}1-≤x10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______. m ＞511、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________ 【0,8】1）标准化：移项通分化为()()f xg x>(或()()f xg x<)；()()f xg x≥(或()()f xg x≤)的形式，2）转化为整式不等式（组）()()0 ()()0()()00()0 ()()f xg xf x f xf xg xg xg x g x≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；1. 不等式22231372x xx x++>-+的解集是 2. 不等式3113xx+>--的解集是3. 不等式2223712x xx x+-≥--的解集是 4. 不等式1111x xx x-+<+-的解集是5. 不等式229152x xx--<+的解集是 6. 不等式2232712x xx x-+>-+的解集是7. 不等式2121x xx+≤+的解集是 8. 不等式2112xx->-+的解集是9. 不等式23234xx-≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)xx x-<+-的解集是答案1. 2. (-2，3)3. 4.5. 6. 7. 8. (1，2)9. 10.无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。
湘教版八年级数学 4.3 一元一次不等式的解法(学习、上课课件)
③
x+
2 x
≥
2；④
x
≤
0；⑤
3x
－
y
＜
5，其中属于一元
一次不等式的是 __②__④___．(只填序号)
感悟新知
解题秘方：紧扣一元一次不等式的“三要素”进 知1－练 行识别 .
解：①中未知数的最高次数是 2，故不是一元一次不等式； ② y － 1 ＞ 3 是一元一次不等式； ③中左边不是整式，故不是一元一次不等式； ④ x ≤ 0 是一元一次不等式； ⑤中含有两个未知数，故不是一元一次不等式 .
有无数多个解
解(集)的形 式
x=a
x<a( x ≤ a)或 x>a( x ≥ a)
感悟新知
知3－练
例3 [中考·宜昌节选] [母题教材 P142 练习 T1 ]解不等式：
x
－ 3
1≥
x
－ 2
3
+1．
解题秘方：根据解一元一次不等式的步骤求出解集．
感悟新知
解：去分母，得 2( x－1) ≥ 3( x－3) +6， 去括号，得 2x－2 ≥ 3x－9+6， 移项，得 2x－3x ≥ －9+6+2， 合并同类项，得 －x ≥ －1， 系数化为 1，得 x ≤ 1．
知数的所有取值，是所有解 的集合，而不等 式的解是使不等式成立的未知数的值 . 2.联系：解集包括所有的解，所有的解组成了 解集.
知2－讲
感悟新知
例2 下列说法中，正确的有(
)
知2－练
① 4 是不等式 x+3 ＞ 6 的解；② x+3 ＜ 6 的解集是 x ＜ 2；③ 3 是不等式 x+3 ≤ 6 的解；④ x ＞ 4 是不等 式 x+3 ≥ 6 解集的一部分．
9.2 一元一次不等式(1)不等式的解法——去分母 课件 2023-2024学年人教版数学七年级下册
3
x≥4,则m的值( D )
A．14
B．7
C．－2
D．2
2−1
5＋1
8．x_______时,式子
的值大于
＋1的值.
<－1
3
2
思维过关
−
1
9．已知关于x的方程
＝ 的解为正数,求a的取值范围.
3
2
解:去分母,得2(x－a)＝3.去括号,得2x－2a＝3.
3＋2
移项,得2x＝3＋2a.系数化为1,得x＝
x≥5
2
2−1
2．不等式
－5≤0的非负整数解共有___个.
6
2
2
1 1
3．解不等式 x＋ ≥ x,并在数轴上表示其解集.
3
2 2
解:去分母,得4x＋3≥3x.
移项,得4x－3x≥－3.
合并同类项,得x≥－3.
在数轴上表示其解集如下:
5−11
7
4．下面是小红同学解不等式
≤2x－ 的过程,请认真阅读并完成相
3
2
解:去分母,得4x＋3(3x－1)≥－42.
去括号,得4x＋9x－3≥－42.
移项,得4x＋9x≥－42＋3.
合并同类项,得13x≥－39.
系数化为1,得x≥－3.
在数轴上表示不等式的解集如下:
1
4．已知关于x的不等式2x－a<－5的解集如图所示,则a的值为___.
巩固提能
−3
1．(2022·安徽)不等式 ≥1的解集为______.
解:去括号,得4－3x＋3≤2x＋2.
移项,得－3x－2x≤2－4－3.
合并同类项,得－5x≤－5.
系数化为1,得x≥1.
人教版七年级数学下册优秀教学案例：9.2.1一元一次不等式的解法(第二课时)
（一）知识与技能
1.理解一元一次不等式的解法的概念，掌握解一元一次不等式的基本步骤和方法。
2.能够运用一元一次不等式的解法解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
3.熟练运用数学符号和语言表达一元一次不等式的解法，培养数学表达和沟通能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论和分享，培养学生团队协作和互动交流的能力。
（二）讲授新知
1.引入一元一次不等式的解法的概念，解释解法的意义和目的。
2.讲解一元一次不等式的解法的基本步骤和方法，包括移项、合并同类项、系数化为1等。
3.通过示例和练习，让学生跟随教师的讲解，逐步理解和掌握一元一次不等式的解法。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，给出一些实际问题，让学生合作讨论并尝试解决。
（五）作业小结
1.布置相关的练习题目，让学生巩固和加深对一元一次不等式的解法的理解和掌握。
2.要求学生在作业中运用一元一次不等式的解法解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.在下一节课开始时，让学生分享和讨论作业中的问题和解决方法，总结学生的学习成果和问题。
五、案例亮点
1.生活情境的导入：通过利用多媒体展示与生活实际相关的一元一次不等式问题，引发学生的兴趣和思考。这种情境创设使学生能够更好地理解和贴近实际问题，激发他们的学习动力和热情。
2.问题导向的教学策略：在教学过程中，引导学生提出问题，激发学生思考一元一次不等式的解法的本质和规律。通过问题的引导，培养学生的问题解决能力和思考能力，使他们能够更深入地理解和掌握知识。
3.小组合作的学习方式：将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流和讨论，培养学生的团队合作能力和沟通能力。通过小组合作，学生能够相互学习、相互帮助，提高他们的学习效果和综合能力。
第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组(教师版)
第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组知识精要一、不等式的解集1、不等式解的全体叫做不等式的解集。
（注：一般情况下一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。
）2、不等式的解集可以再数轴上直观的表示出来。
如：在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈).如图所示:同样，如果某个不等式的解集为x≤-2,那么它表示x取那些数？此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画实心圆点.如图所示:引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。
2、一元一次不等式组1、有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。
4、解一元一次不等式组的一般步骤是:（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。
【典型例题】例1. 解不等式3(1)5182x x x +-+>-【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号．【答案与解析】解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x -5)， 去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20， 移项，得8x+3x+4x ＞8+20-3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1．得．53x >∴不等式的解集为．53x >【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：ax ＝bax ＞bax ＜b解：当a ≠0时，；b x a=当a ＝0，b ≠0时，无解；当a ＝0，b ＝0时，x为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a>当a ＜0时，；b x a<当a ＝0，b ≥0时，无解；当a ＝0，b ＜0时，x 为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a<当a ＜０时，；b xa>当a ＝0，b ≤0时，无解；当a ＝0，b ＞0时，x 为任意有理数．【变式】(湖南益阳)解不等式，并把解集在数轴上表示出来．5113x x -->解：去分母得5x -1-3x ＞3，移项、合并同类项，得2x ＞4， 系数化为1，得x ＞2，解集在数轴上的表示如图所示．例2.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：一户居民每月用电量x （单位：度）电费价格（单位：元/度）0＜x≤200a 200＜x≤400b x ＞4000.92（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a ，b 的值．（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案；（2）根据题意列不等式，解不等式．【答案与解析】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设李叔家六月份最多可用电x 度，根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300，解得：x≤450．答：李叔家六月份最多可用电450度．【总结升华】考查了一元一次方程组与一元一次不等式的应用．注意根据题意得到等量关系是关键．例3. 解不等式组： ，并求出正整数解。
衔接教程-第6讲、简单不等式的解法(教师版)
第3讲简单不等式的解法知识点1、一元一次不等式1、解法：ax b +0>0<0a >b x a >-b x a <-a <b x a <-b x a >-2、步骤：①利用不等式性质1，去分母移项整理；②利用不等式性质3，去系数（注意系数为负，不等号一定要变号）；③写结果。
3、注意：一次项系数是否为0的情况，即讨论0a =，此时解集无解或恒成立。
如：0ax b ax b+>⇒>-当0,0a b =>时：解集为任意实数；当0,0a b =<时：解集为无解。
1、解法：2(0)ax bx c a ++>24b ac∆=-0∆>0∆=0∆<图像20ax bx c ++=12,x x x x ==12x x x ==无解20ax bx c ++>2x x >或1x x <1x x ≠所有实数20ax bx c ++≥2x x ≥或1x x ≤所有实数所有实数20ax bx c ++<12x x x <<无解无解20ax bx c ++≤12x x x ≤≤12x x x ==无解2、步骤：（1）首正：整理成一般形式化二次项系数为正。
若为负，不等号一定变号；（2）求根：检验判别式，若0∆≥，计算一元二次方程的两根。
①首选因式分解法求出12,x x （其中12x x <）；②无法因式分解的用求根公式；③若0∆<，对二次三项式进行配方变形成2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++，再结合完全平方式为非负数的性质求解。
（3）根据不等号方向确定解集“0>”型的解为12x x x x <>或(“两根之外”)；“0<”型的解为12x x x <<(“两根之间”)；有等号，一律取等。
知识点3、分式不等式1、解分式不等式的基本思路：将分式不等式转化为整式不等式，利用符号法则进行求解。
华师版数学七年级下册8.2.3解一元一次不等式(共2课时25页)
(4) -4x＞3
概括总结 一元一次不等式的定义： 只含一个未知数，并且含未知数的式子都是整式，
未知数的次数都是 1，像这样的不等式，叫做一元一 次不等式.
练一练
下列不等式中，哪些是一元一次不等式?
(1) 3x＋2＞x－1 ✓ (2) 5x＋3＜ 0
✓
(3) 1 ＋3＜5x －1 ✕ x
(4) x (x－1)＜2x ✕
x 4
≤
9.
解得 x ≤ 12.
因此要满足下午 4 点以前必须返回
出发点，小华他们最远能登上 D 山顶.
典例精析
例1 某童装店按每套 90 元的价格购进 40 套童装，应 缴纳的税费为销售额的 10%. 如果要获得不低于 900 元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
分析： 本题涉及的数量关系是： 销售额－成本－税费≥纯利润(900元).
生联想，根据小草的结构发明了锯子.
鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比” 也是数学学习中常用的一种重要方法.
合作探究
思考 观察下面的不等式： (1) x－7＞26 (2) 3x－7＞26 (3) 2 x ＞50
3
它们有哪些共同特征？ 左右两边都是整式； 都只含有一个未知数； 未知数的次数是 1.
步骤
华师版七下数学教学课件
8.2 解一元一次不等式
8.2.3 解一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的实际应用
导入新课
回顾与思考
1. 应用一元一次方程解实际问题的步骤：
实际问题
设未知数
找相等关系
检验解的 合理性
解方程
列出方程
2. 将下列生活中的不等关系翻译成数学语言.
(1) 超过 ＞ (2) 至少 ≥
2.4一元一次不等式的解法(教案)
此外，将实际问题抽象为一元一次不等式这一环节，对学生来说也是一个挑战。他们在提取关键信息、建立数学模型方面还存在一定的困难。我觉得在以后的教学中，可以多引入一些与生活密切相关的案例，引导学生学会从实际问题中提取关键信息，提高他们建立数学模型的能力。
在课堂实践活动中，我发现学生们在分组讨论和实验操作环节表现得相当积极，能够主动思考、交流、合作。这说明他们对于动手操作和团队合作的学习方式更感兴趣。因此，我计划在今后的教学中，更多地采用这种方式，激发学生的学习兴趣和主动性。
在学生小组讨论环节，我注意到有的小组在讨论中能够深入探讨问题，有的则稍显表面。为了提高讨论效果，我觉得在以后的教学中，我需要更加关注学生的讨论过程，适时给予指导和启发，帮助他们深入思考问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元一次不等式的定义及其性质，包括不等式两边同乘（除）以正数、负数时不等号的方向变化，以及合并同类项时的规则。
-掌握一元一次不等式的解题步骤，包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。
-能够运用一元一次不等式的解法解决实际问题，特别是涉及生活情境的问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元一次不等式的基本概念、性质、解法步骤以及在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元一次不等式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.2.2不等式的解集(新教材教师用书)
2.2.2不等式的解集(教师独具内容)课程标准：1.了解不等式的解集和不等式组的解集的概念，会求一元一次不等式组的解集.2.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法.3.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.教学重点：1.求一元一次不等式组的解集.2.绝对值不等式的解法．教学难点：绝对值不等式的几何解法.【知识导学】知识点一不等式的解、不等式的解集及不等式组的解集的概念(1)□01未知数的值称为不等式的解．(2)□02所有解组成的集合称为不等式的解集．(3)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的□03解集的交集称为不等式组的解集．知识点二绝对值不等式一般地，含有□01绝对值的不等式称为绝对值不等式．知识点三数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为□01|a－b|，记作□02AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝□03a＋b2，这就是数轴上的中点坐标公式．【新知拓展】1．解绝对值不等式的主要依据解绝对值不等式的主要依据是绝对值的定义、绝对值的几何意义及不等式的性质．2．绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式2x－3≤1的解集为{x|x≤2}．()(2)若|x|≥a的解集为R，则a＜0.()(3)|x－1|＞1的解集为{x|x＞2或x＜－2}．()(4)|x－a|＜|x－b|⇔(x－a)2＜(x－b)2.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)不等式|x|>x的解集是()A．{x|x≤0} B．{x|x<0或x>0} C．{x|x<0} D．{x|x>0} (2)不等式|3x－2|<1的解集为()A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 (3)不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．(4)已知数轴上，A (－2)，B (x )，C (5)，若A 与C 关于点B 对称，则x ＝________；若线段AB 的中点到C 的距离小于3，则x 的取值范围是________．答案 (1)C (2)B (3)[－1，＋∞) (4)32 (6,18)题型一 一元一次不等式组的解法 例1 解下列不等式组： (1)⎩⎨⎧2x －1＞x ＋1， ①x ＋8＜4x －1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥x ＋11， ①2x ＋53－1＜2－x . ②[解] (1)将①式移项、合并同类项，得x ＞2.将②式移项、合并同类项，得3x ＞9.系数化为1，得x >3. 所以不等式组的解集为(3，＋∞)． (2)将①式移项、合并同类项，得x ≥8. 将②式去分母，得2x ＋5－3＜6－3x .移项、合并同类项，得5x <4.系数化为1，得x <45. 所以不等式组的解集为∅. 金版点睛解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后写出不等式组的解集.[跟踪训练1] x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x －1≤7－32x 都成立？解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3(x －1)，①12x －1≤7－32x .②将①式去括号，得5x ＋2＞3x －3.移项、合并同类项，得2x >－5.系数化为1，得x >－52. 将②式移项，合并同类项，得2x ≤8.系数化为1，得x ≤4. 所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，4，所以x 可取的整数值是－2，－1,0,1,2,3,4.题型二 |ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 例2 解下列不等式： (1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[解] (1)|5x －2|≥8可化为5x －2≥8或5x －2≤－8，解得x ≥2或x ≤－65， 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－65∪[2，＋∞)．(2)原不等式等价于不等式组⎩⎨⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由|x －2|≥2，得x －2≤－2或x －2≥2， 所以x ≤0或x ≥4.由|x －2|≤4，得－4≤x －2≤4，所以一2≤x ≤6.故原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0或4≤x ≤6}，即[－2,0]∪[4,6]． 金版点睛形如|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型的不等式，均可采用等价转化法进行求解，即|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c .[跟踪训练2] 解下列不等式： (1)|2x －3|≤1；(2)|4－3x |＞5.解 (1)由|2x －3|≤1可得－1≤2x －3≤1， 所以1≤x ≤2.故原不等式的解集为[1,2]．(2)由|4－3x |>5可得4－3x >5或4－3x <－5，所以x <－13或x >3，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞). 题型三 |x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c 型不等式的解法 例3 解下列不等式：(1)|x ＋1|＋|x －1|≥3；(2)|x －3|－|x ＋1|＜1.[解] (1)解法一：如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么点A ，B 之间的点到A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在点A 左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离之和为3，A 1对应数轴上的x .由－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设点B 右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离之和为3，B 1对应数轴上的x ， 由x －1＋x －(－1)＝3，得x ＝32，从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 解法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3， 解得x ≥32.综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎨⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴交点的横坐标是－32和32.从图像可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(2)解法一：如图所示，在数轴上－1,3，x 对应的点分别为A ，C ，P ，而点B 对应的实数为12，点B 到点C 的距离与到点A 的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含点B )时，不等式成立，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法二：原不等式⇔①⎩⎨⎧x ≤－1，－(x －3)＋(x ＋1)＜1或②⎩⎨⎧－1＜x ＜3，－(x －3)－(x ＋1)＜1或③⎩⎨⎧x ≥3，(x －3)－(x ＋1)＜1，解得①的解集为∅，②的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜3，③的解集为{x |x ≥3}． 综上可知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0，构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1，则y ＝⎩⎨⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1＜x ＜3，－5，x ≥3.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.由图像可知，当x >12时，有y <0， 即|x －3|－|x ＋1|－1<0，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.金版点睛形如|x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c型不等式的解法这种类型的不等式在求解时有三种方法：(1)利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，是解绝对值不等式最简单的方法，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键．(2)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．(3)构造函数，利用函数图像求解，这种方法体现了函数与方程的思想，准确画出函数图像并求解函数图像与x 轴的交点坐标是解题的关键．[跟踪训练3] 解下列不等式：(1)|x －1|－|5－x |＞2；(2)|2x －1|＋|3x ＋2|≥8.解 (1)原不等式即为|x －1|－|x －5|>2， 其等价于①⎩⎨⎧ x ＜1，1－x －(5－x )＞2或②⎩⎨⎧1≤x ≤5，x －1－(5－x )＞2或 ③⎩⎨⎧x ＞5，x －1－(x －5)＞2， 解得①无解，②的解集为{x |4<x ≤5}，③的解集为{x |x >5}，故原不等式的解集为(4，＋∞)． (2)①当x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，所以x ≤－95；②当－23<x <12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，所以x ∈∅； ③当x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇔x ≥75，所以x ≥75. 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75，＋∞.1．不等式组⎩⎨⎧x ＋3＞0，3(x －1)≤2x －1的解集为( )A ．(－3,0]B ．(－3,2]C ．∅D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－3，－45答案 B解析 解不等式组⎩⎨⎧x ＋3＞0， ①3(x －1)≤2x －1， ②将①式移项，得x ＞－3.将②式去括号，得3x －3≤2x －1.移项、合并同类项，得x ≤2.所以不等式组的解集为(－3,2]，故选B.2．不等式|4－x |≥1的解集为( ) A ．[3,5] B ．(－∞，3]∪[5，＋∞) C ．[－4,4] D ．R答案 B解析 |4－x |≥1⇒x －4≥1或x －4≤－1，即x ≥5或x ≤3.所以所求不等式的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞)．故选B.3．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0) D ．(－4，－2)∪(0,2) 答案 D解析 由1＜|x ＋1|＜3，得1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1，所以0＜x ＜2或－4＜x ＜－2.所以所求不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．4．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________． 答案 [1，＋∞)解析 解法一：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，两边平方，得(x ＋1)2≥(x －3)2，解得x ≥1， 故所求不等式的解集为[1，＋∞)．解法二：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．5．解不等式|x ＋2|＋|x －1|＜4.解 |x ＋2|＝0和|x －1|＝0的根－2,1把数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个区间上|x ＋2|＋|x －1|有不同的表达式，它们构成了三个不等式组． (1)当x ≤－2时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔－2－x ＋1－x ＜4⇔－2x ＜5⇔x ＞－52， 所以不等式组⎩⎨⎧x ≤－2，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2.(2)当－2＜x ＜1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋1－x ＜4⇔3＜4，所以不等式组⎩⎨⎧－2＜x ＜1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为(－2,1)． (3)当x ≥1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋x －1＜4⇔2x ＜3⇔x ＜32， 所以不等式组⎩⎨⎧x ≥1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.因此原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2∪(－2,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5＞1－x ，x －1≤34x －18的解集为( )A ．(－∞，－12) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，12 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5＞1－x ，x －1≤34x －18可化为⎩⎨⎧2x ＋15＞3－3x ， ①8x －8≤6x －1. ② 解不等式①，得x ＞－125.解不等式②，得x ≤72.所以原不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，72.故选B.2．“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|x －1|＜2成立⇔－1＜x ＜3成立，x (x －3)＜0成立⇔0＜x ＜3成立，又－1＜x ＜3⇒/0＜x ＜3,0＜x ＜3⇒－1＜x ＜3，∴“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的必要不充分条件．故选B.3．不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B ．[1,4] C ．[－2,1]∪[4,7] D ．(－2,1]∪[4,7) 答案 D解析 不等式等价于⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得－2<x ≤1或4≤x <7.所以原不等式的解集为(－2，1]∪[4,7)．故选D. 4．不等式|x －1|＋|x －2|≥5的解集为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，1]∪[2，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[2，＋∞) 答案 A解析 画数轴可得：当x ＝－1或x ＝4时，有|x －1|＋|x －2|＝5.由绝对值的几何意义可得，当x ≤－1或x ≥4时，|x －1|＋|x －2|≥5，故选A.5．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3答案 D解析 由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1.由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3.二、填空题6．不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 答案 [0,4]解析 原不等式可转化为－1≤|x －2|－1≤1，故0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4，故所求不等式的解集为[0,4]．7.|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为________．答案 (－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 ∵分母|x ＋3|＞0且x ≠－3，∴原不等式等价于|2x －1|－2＞0，即|2x －1|＞2， ∴2x －1＞2或2x －1＜－2，解得x ＞32或x ＜－12.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞32或x ＜－12且x ≠－3，即(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 8．已知不等式|ax ＋b |＜2(a ≠0)的解集为{x |1＜x ＜5}，则实数a ，b 的值为________． 答案 1，－3或－1,3解析 原不等式等价于－2＜ax ＋b ＜2.①当a ＞0时，解得－2＋b a ＜x ＜2－ba ，与1＜x ＜5比较，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋ba ＝1，2－ba ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3.②当a ＜0时，解得2－b a ＜x ＜－2＋ba ，与1＜x ＜5比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b a ＝1，－2＋ba ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3. 综上所述，a ＝1，b ＝－3或a ＝－1，b ＝3. 三、解答题 9．解下列不等式：(1)|4x ＋5|≥25；(2)|3－2x |＜9； (3)1＜|x －1|＜5；(4)|x －1|＞|x －2|.解 (1)因为|4x ＋5|≥25⇔4x ＋5≥25或4x ＋5≤－25⇔4x ≥20或4x ≤－30⇔x ≥5或x ≤－152，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－152∪[5，＋∞)．(2)因为|3－2x |＜9⇔|2x －3|＜9⇔－9＜2x －3＜9⇔－6＜2x ＜12⇔－3＜x ＜6， 所以原不等式的解集为(－3,6)．(3)因为1＜|x －1|＜5⇔1＜x －1＜5或－5＜x －1＜－1⇔2＜x ＜6或－4＜x ＜0， 所以原不等式的解集为(－4,0)∪(2,6)．(4)|x －1|＞|x －2|⇔(x －1)2＞(x －2)2⇔x 2－2x ＋1＞x 2－4x ＋4⇔2x ＞3⇔x ＞32， 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.10．解不等式|3x －2|＋|x －1|＞3.解 ①当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝2－3x ＋1－x ＝3－4x ，由3－4x ＞3，得x ＜0. ②当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1，由2x －1＞3，得x ＞2，∴x ∈∅. ③当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，由4x －3＞3，得x ＞32，∴x ＞32. 故原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.B 级：“四能”提升训练1．若|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值． 解 当a ≤－1时，|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎨⎧－3x ＋2a －1(x ≤a )，x －2a －1(a <x ≤－1)，3x －2a ＋1(x >－1)，所以(|x ＋1|＋2|x －a |)min ＝－a －1， 所以－a －1＝5，所以a ＝－6. 当a >－1时，|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎨⎧－3x ＋2a －1(x ≤－1)，－x ＋2a ＋1(－1<x ≤a )，3x －2a ＋1(x >a )，所以(|x ＋1|＋2|x －a |)min ＝a ＋1， 所以a ＋1＝5，所以a ＝4. 综上可知，a ＝－6或a ＝4.2．已知P ＝|2x －1|＋|2x ＋a |，Q ＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12时，|2x －1|＋|2x ＋a |≤x ＋3，求a 的取值范围．解 (1)解法一：当a ＝－2时，不等式为|2x －1|＋|2x －2|＜x ＋3. 当x ≥1时，4x －3＜x ＋3⇒x ＜2； 当x ≤12时，－4x ＋3＜x ＋3⇒x ＞0； 当12＜x ＜1时，1＜x ＋3⇒x ＞－2.综上可知，当a ＝－2时，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3的解集为(0,2)．解法二：当a ＝－2时，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图像如图所示，由图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0，所以原不等式的解集为(0,2)．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12时，P ＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝1＋a ，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |≤x ＋3化为1＋a ≤x ＋3， 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.。
一元一次不等式的解法(教师版)
一元一次不等式的解法（基础)知识讲解【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2。
能够熟练解一元一次不等式；3。
掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜"、“≤”、“≥”或“＞”连接,不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接,等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1。
解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法:与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式,解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母;（2)去括号；(3）移项；（4）化为ax b >(或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.要点诠释：(1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时,若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘以(或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变．要点三、不等式的解及解集1。
不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法(1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x —2≤6的解集为x ≤8．（2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点":若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言,x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？(1)3x+5＝0 （2)2x+3＞5 （3)384x < （4)1x≥2 (5）2x+y ≤8 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断,（1）是等式;(4)不等式的左边不是整式；（5)含有两个未知数．【答案与解析】解：（2）、(3）是一元一次不等式．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式2.解不等式：2)1x (3)1x (2-+<-，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【答案与解析】解:去括号，得:23x 32x 2-+<-移项、合并同类项，得:3x <-系数化1得:3x ->这个不等式的解集在数轴上表示如图：【总结升华】在不等式的两边同乘以（或除以）负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三：【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ）.【答案】C 。
2021年初中数学 六年级春季班第11讲：一元一次不等式(组)及其解法-教师版
（1） x 3 3 ； 2
（2） 2x 5 4 x 0.5 ；
（3） 3x 21 2x 5 x 1 ．
【难度】★★
【答案】（1） x 0 ；（2） x 7 ；（3） x 7 ；数轴上的表示见解析．
2
2
【解析】（1）移项可得： x 0 ，解得： x 0 ； 2
（2）去括号可得： 2x 5 4x 2 ，移项可得 2x 7 ，解得： x 7 ； 2
如果 a b ，则 m2 1 a _______ m2 1 b ；
如果
a
b
，则
a m2
1
_____
bt;；<．
【解析】因为 m2 1 0 ，所以不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变；因为 m2 1 0 ，所以不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等
模块三：一元一次不等式组
知识精讲
1、 一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
2、 不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．
3、 解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组．
4、 解一元一次不等式组的一般步骤 （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集； （3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
例题解析
【例 8】 检验 3， 3 是否是不等式 3x 2 1 2x 的解． 【难度】★ 【答案】3 不是不等式的解；-3 是不等式的解 【解析】将 3 代入不等式中，可得不等式不成立，则 3 不是不等式的解；将-3 代入不等式
中不等式成立，则-3 是不等式的解． 【总结】考察不等式解的定义．
(完整word版)第11章一元一次不等式与一元一次不等式组教案及单元备课
4、议一议:
1. 讨论下列式子的正确与错误.
（1）如果 a＜b，那么 a+c＜b+c;
（2）如果 a＜b，那么 a－c＜b－c;
（3）如果 a＜b,那么 ac＜bc; 2.设 a＞b,用“＜”或“＞”号填空.
（4）如果 a＜b,且 c≠0,那么 a ＞ b . cc
（1）a+1 b+1;
（2）a－3 b－3;
教学重点 掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。
教学难点 一元一次不等式的解法。
教法、学法
分析
自主探究与小组合作交流相结合．
媒体使用 和选择
教学过程
二次备课
1、 创设情境，引入新课
(1) 不等式的三条基本性质是什么?
(2) 运用不等式基本性质把下列不等式化成 x>a 或 x<a 的形式。
（1）a－3 b－3; （2） a
b;
22
5b;
（5）当 a＞0,b 0 时，ab＞0;
（7）当 a＜0,b 0 时，ab＞0;
三、课堂小结：
（3）－4a －4b; （4）5a
（6）当 a＞0,b （8）当 a＜0,b
0 时，ab＜0; 0 时，ab＜0.
四、作业：
板书设计
2．不等式的基本性质
教学反思
（3）3a 3b;
（4） a
b;
4
4
（5）－ a 7
－ b ; （6）－a －b. 7
5、变式训练：
1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－2＜3;
（2）6x＜5x－1; （3） 1 x＞5; 2
（4）－4x＞3.
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初二下册第二章一元一次不等式及不等式组一元一次不等式的解法（基础）知识讲解【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2.能够熟练解一元一次不等式；3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2x50 是一个一元一次不等式．3要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式( 单项式或多项式 ) ；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为 1.(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜” 、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项；(4) 化为ax b（或ax b）的形式（其中a 0）； (5) 两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集 .要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变．要点三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3. 不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示: 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2 ≤6 的解集为x≤8．(2)用数轴表示 : 不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定” ：一是确定“边界点” ，二是确定方向．(1) 确定“边界点” ：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2) 确定“方向” ：对边界点 a 而言， x＞ a 或 x≥ a 向右画；对边界点 a 而言， x＜ a 或 x≤ a 向左画．注意：在表示 a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些?3 x 8 (4)1 ≥ 2 (5)2x+y≤8(1)3x+5＝0(2)2x+3＞5(3)4x【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1) 是等式； (4) 不等式的左边不是整式；(5) 含有两个未知数．【答案与解析】解： (2) 、 (3) 是一元一次不等式．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．类型二、解一元一次不等式2.解不等式： 2(x 1) 3( x 1) 2 ，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【答案与解析】解：去括号，得：2x 2 3x 3 2移项、合并同类项，得：x 3系数化 1 得：x 3这个不等式的解集在数轴上表示如图：【总结升华】在不等式的两边同乘以( 或除以 ) 负数时，必须改变不等号的方向．举一反三：【变式】不等式2(x+1) ＜ 3x+1 的解集在数轴上表示出来应为().【答案】 C.3. （ 2016?连云港）解不等式，并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x 的系数化为 1 即可．【答案与解析】解：去分母，得：1+x＜ 3x ﹣ 3，移项，得： x﹣ 3x＜﹣ 3﹣ 1，合并同类项，得：﹣2x＜﹣ 4，系数化为1，得： x＞ 2，将解集表示在数轴上如图：【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．去分母时，不要漏乘不含分母的项．举一反三：【变式】若 y1 x 13, y2 2x 5 1,问x取何值时，y1y2．5 4【答案】解：∵ y1 x 13, y2 2x 5 1, 5 4若 y1 y2，则有x1 3 2x 5 15 4即 x 101 6∴当x 101y2．时， y164. 关于 x 的不等式2x-a ≤ -1 的解集为 x≤-1 ，则 a 的值是 _________．【思路点拨】首先把 a 作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤ -1 即可得到关于 a 的方程，解方程即可求解．【答案】－１【解析】由已知得：a 1 a 1x ，由 1 ，得 a 1 ．2 2【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号．举一反三：【变式 1】如果关于x 的不等式 (a+1)x ＜a+1 的解集是x＞ l ，则 a 的取值范围是 ________．【答案】 a 1 .【变式 2】求不等式1+≥2﹣的非正整数解．【答案】解： 1+≥2﹣6+3（ x+1）≥ 12﹣ 2（ x+7）6+3x+3≥12﹣ 2x﹣ 143x+2x≥12﹣ 14﹣ 6﹣35x≥﹣ 11x≥﹣ 2所以非正整数解为0，﹣ 1，﹣ 2．类型三、不等式的解及解集5.对于不等式 4x+7(x-2) ＞ 8 不是它的解的是 ( ).A．5 B．4C．3D．2【思路点拨】根据不等式解的定义作答．【答案】 D【解析】解：当 x＝5 时， 4x+7(x-2)＝41＞8，当x＝4 时，4x+7(x-2) ＝30＞8，当x＝3 时，4x+7(x-2) ＝19＞8，当 x＝2 时， 4x+7(x-2) ＝8．故知 x＝ 2 不是原不等式的解．【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．6. 不等式 x＞ 1 在数轴上表示正确的是().【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．【答案】 C【解析】解：∵不等式x＞ 1∴在数轴上表示为:故选 C ．【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点” ，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向” ，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．举一反三：【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．A ．－ 2＜ x ＜ 4 B. － 2＜ x ≤4 C. －2≤ x ＜ 4 D.－ 2≤x ≤ 4【答案】 B. 【巩固练习】 一、选择题1．下列各式中，是一元一次不等式的是（） .A.5+4 ＞8B.2x － 1C.2x ≤ 5D. 1－ 3x ≥ 0x2．已知 a ＞ b ，则下列不等式正确的是 ( ).A ． -3a ＞ -3bB ．ab3 3C ． 3-a ＞ 3-b D． a-3 ＞ b-33. 下列说法中，正确的是 ( ).A ． x ＝3 是不等式 2x ＞ 1 的解B ． x ＝ 3 是不等式 2x ＞ 1 的唯一解C ． x ＝3 不是不等式 2x ＞1 的解D ． x ＝ 3 是不等式2x ＞ 1 的解集4. 在下列解不等式的过程中，错误的一步是（）A ．去分母得 5（2+x ）＞ 3（ 2x ﹣ 1）B ．去括号得 10+5x ＞6x ﹣ 3C ．移项得 5x ﹣6x ＞﹣ 3﹣10D．系数化为 1 得 x ＞3 5. 不等式 4 3x 2x 6的非负整数解有（ ） .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 个6. （ 2016?六盘水）不等式 3x+2 ＜ 2x+3 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质：(1)如果 x+2＞ 5，那么 x_______3 ；根据是 _______．(2) 如果3 a1，那么 a_______ 4；根据是 ________．4 3(3) 如果 2 x3，那么 x________9 ；根据是 ________．32(4) 如果 x-3 ＜ -1 ，那么 x_______2；根据是 ________．8. 若 a ＞ 0，则关于 x 的不等式 ax ＞ b 的解集是 ________；若a ＜ 0，则关于 x 的不等式以 ax ＞b 的解集是 _______．59. 不等式 x﹣4≤的解集是．10. 不等式 4x 6 7x 12 的非负整数解为．11. （ 2017?新城区校级模拟）不等式﹣x+2＞ 0 的最大正整数解是．12.若 m＞ 5，试用 m表示出不等式 (5 － m)x＞ 1－ m的解集______．三、解答题13．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．（ 1） 5x﹣ 12＜ 2（ 4x﹣ 3）；（2）≥﹣1．14． a 取什么值时，代数式3－2a 的值：(1) 大于 1？(2)等于1？(3) 小于 1？15． y 取什么值时，代数式2y－ 3 的值：(1)大于 5y－ 3 的值？(2)不大于 5y－3 的值？16．求不等式64－ 11x＞ 4 的正整数解．【答案与解析】一、选择题1.【答案】 C；【解析】考查一元一次不等式的概念；2.【答案】 D；【解析】考查一元一次不等式的性质；3.【答案】 A ；4.【答案】 D；【解析】解：去分母得， 5（ 2+x）＞ 3（ 2x﹣1）去括号得， 10+5x ＞ 6x﹣ 3，移项得， 5x﹣ 6x ＞﹣ 3﹣ 10，合并同类项得，﹣x＞﹣ 13，系数化为 1 得， x＜ 13，故 D 错误．故选 D．5.【答案】 C；【解析】先求得解集为x 2 ，所以非负整数解为：0,1,2 ；6.【答案】 D；【解析】解：3x+2 ＜ 2x+3 移项及合并同类项，得x＜ 1，故选 D．二、填空题7.【答案】(1)＞，不等式基本性质1；(2)＞，不等式基本性质3；(3)＜，不等式基本性质2； (4) ＜，不等式基本性质 1；8. 【答案】b， xb x ；a a【解析】不等式两边同除以一个正数，不等号不变；不等式两边同除以一个负数，不等号改变方向 .9.【答案】 x≥﹣ 2；【解析】解： x﹣4≤3（ x﹣4）≤ 4x﹣ 103x ﹣12≤4x﹣ 103x ﹣4x≤﹣ 10+12﹣x≤2x≥﹣ 2．故答案为： x≥﹣ 2．10．【答案】 0， 1， 2；【解析】解不等式得x 211.【答案】 5．【解析】解：﹣x+2 ＞ 0，移项，得：﹣x＞﹣ 2，系数化为1，得： x＜ 6，故不等式﹣x+2 ＞0 的最大正整数解是5．12.【答案】 x m 1．m 51 m m 1【解析】∵ m 5 ，∴ 5 m0，所以(5－m)x＞1－m，可得： x5 m m 5三、解答题13.【解析】解：（ 1）去括号得： 5x﹣ 12＜8x﹣ 6，5x﹣ 8x＜﹣ 6+12，﹣3x＜ 6，x＞﹣ 2，在数轴上表示不等式的解集为：；（2）去分母得：3（3x﹣ 2）≥ 5（ 2x+1）﹣ 15，9x﹣6≥10x+5﹣ 15，9x﹣10x≥﹣ 15+5+6，﹣x≥﹣ 4，x≤4，在数轴上表示不等式的解集为：．14. 【解析】解： (1) 由 3-2a ＞ 1，得 a ＜ 1；(2) 由 3-2a ＝ 1，得 a =1 ； (3) 由 3-2a ＜ 1，得 a ＞ 1．15. 【解析】解： (1) 由 2y-3 ＞ 5y-3 ，得 y ＜0；(2) 由 2y-3 ≤ 5y-3 ，得 y ≥ 0．16. 【解析】解：先解不等式的解集为x ＜60,11所以正整数解为 1，2， 3， 4， 5．拓展：【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？ （1） x（ 2）11 （ 3） x2 2（ 4） xy 3（ 5） x1x【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断． 【答案与解析】解： (1) 是一元一次不等式． （ 2）（ 3） (4)(5) 不是一元一次不等式，因为： （2）中分母中含有字母，（3）未知数的最高次数不是 1 次，（4）不等式左边含有两个未知数， （ 5）不是不等式，是一元一次方程．【总结升华】 一元一次不等式的定义主要由三部分组成： ①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是 1，三个条件缺一不可．类型二、解一元一次不等式2. 求不等式﹣ ≤ 的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来．【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简， 使得分子、 分母上的小数化成整数， 然后根据不等式的性质 2 去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数．【答案与解析】解：原不等式可化为：﹣ ≤ 去分母，得 6（ 4x ﹣10）﹣ 15（ 5﹣ x ）≤ 10（ 3﹣ 2x ）去括号，得 24x ﹣ 60﹣75+15x ≤30﹣ 20x移项，得24x+15x+20x≤30+60+75合并同类项，得59x≤165把系数化为1，得 x≤，解集 x≤的非负整数解是：0， 1， 2，数轴表示是：【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．举一反三：【变式 1】解不等式：【答案】3 [ 2 (x1) 2] x 22 3 4解：去括号，得x1 3 x2 43 x移项、合并同类项得： 6系数化 1，得x 84故原不等式的解集是x 8 .【变式 2】代数式的值不大于的值，求 x 的范围．【答案】解：根据题意得：解不等式≤，去分母得： 6﹣ 3（ 3x﹣ 1）≤ 2（ 1﹣ 2x），去括号得： 6﹣9x+3≤2﹣ 4x，移项得： 4x﹣9x≤2﹣ 6﹣ 3，合并同类项得：﹣ 5x≤﹣7，解得： x≥．3.m 为何值时，关于x 的方程：【思路点拨】从概念出发，解出方程（用【答案与解析】解： x-12m+2=6x-15m+35x=3m-1 x 6m 1 5m 11？6x 的解大于3 2m表示 x），然后解不等式．x 3m 1 5由 3m 1 1 5解得 m＞ 2【总结升华】此题亦可用x 表示 m，然后根据 x 的范围运用不等式基本性质推导出m的范围．举一反三：【变式】已知关于2x m 2 xm 是正整数，则 m ．x 方程x 的解是非负数，3 3【答案】 1 或 2.4. （ 2016?杭州模拟）若关于x， y 的二元一次方程组的解满足 x﹣ y＞﹣ 3.5，求出满足条件的m 的所有正整数解．【思路点拨】先解出方程组再解不等式．【答案与解析】解：由方程组的两个方程相减得：x﹣ y= ﹣0.5m ﹣ 2∴﹣ 0.5m﹣ 2＞﹣ 3.5，∴m＜ 3，∴满足条件的m 的所有正整数解为m=1， m=2．【总结升华】本题考查了巧解二元一次方程组，有时根据具体问题，可以不必解出x , y 的具体值．能得出关于m 的不等式是解此题的关键．类型二、不等式的解及解集5. 若关于x的不等式x a只有三个正整数解，求 a 的取值范围.【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定 a 的范围．【答案】 3 a 4 .【解析】解：∵不等式x a 只有三个正整数解，∴三个正整数解为：1， 2， 3，∴3 a 4 ，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．举一反三：【变式】已知x a 的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是．【答案】 3 a 4 .类型四、逆用不等式的解集6. 若关于x的不等式mx n 的解集为 x 3，则关于 x 的不等式5( 2m n)x m 5n 0 的解集．10【思路点拨】先根据第一个不等式确定m, n 的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解．【答案】 x 10. 7【解析】解：由 mx n 的解集为x 3 可知得： m 0 ，n3 ，即 n 3 m5 m 5 5 将上式代入 (2m n) x m 5n 0 ，化简整理得：7mx 2m ，又 m 010 5.所以 x7【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定m0 ．【巩固练习】一、选择题1．已知关于 x 的不等式( m 1)x|m| 0 是一元一次不等式，那么m的值是 ( ).A． m＝1 B ．m＝± 1 C ． m＝-1 D ．不能确定2．由m n 得到 ma2 na2，则a应该满足的条件是（） .A． a＞ 0 B ． a＜ 0 C ． a≠ 0 D ． a 为任意实数3．已知y1 2 x 5 ， y2 2x 3 ，如果 y1 y2，则x的取值范围是（） .A． x＞ 2 B ． x＜ 2 C ． x＞ -2 D ． x＜ -24．设 a， b 是常数，不等式+ ＞ 0 的解集为 x＜，则关于 x 的不等式 bx-a ＜ 0 的解集是（）A． x＞ B ．x＜ - C ． x＞ - D ．x＜5．（ 2016?南充）不等式＞﹣ 1 的正整数解的个数是（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个6. 关于x的不等式2x a 2 的解集如图所示，则a的值是（）.A．0 B．2 C ．-2 D．-4二、填空题7．（ 2016?绍兴）不等式＞+2 的解是．8．若不等式（3m-2） x＜ 7 的解集为x＞，则m的值为．9．比较大小：3a2 3b2 6 ________ 2a2 4b2 1.10．已知 -4 是不等式ax 5 的解集中的一个值，则 a 的范围为________. 11．若关于 x 的不等式3x a 0 只有六个正整数解，则 a 应满足 ________.12. 已知x a的解集中的最小整数为 2 ，则a的取值范围是.三、解答题13．若 m、n 为有理数，解关于 x 的不等式2＞ n．( － m－ 1)x14.当 x 为何值时，代数式 - x+3 的值比 6x-3 的值大．10 k k( x 5)15. 当2(k 3) 时，求关于 x 的不等式x k 的解集．3 416.已知 A＝ 2x2＋ 3x＋ 2， B＝ 2x2－ 4x－ 5，试比较 A 与 B 的大小．【答案与解析】一、选择题1.【答案】 C；【解析】m 1, m 1 0 ，所以 m1；2. 【答案】 C；【解析】由 m n 得到 ma2 na2 ，不等式两边同乘以a2 ，不等号方向没变，所以a2 0,即 a 0 ；3. 【答案】 B；【解析】 y1 y2，即2x 5 2x 3 ，解得： x 2 .4.【答案】 B；【解析】解：解不等式+ ＞ 0，移项得：＞ -，∵解集为x＜，∴ - =，且a＜0．∴b= -5a ＞ 0， =- ．解不等式bx-a ＜ 0，移项得： bx＜ a，两边同时除以 b 得： x＜，即 x＜ - ．故选 B．5.【答案】 D ．【解析】解：去分母得：3（x+1）＞ 2（2x+2 ）﹣ 6，去括号得： 3x+3 ＞ 4x+4﹣ 6，移项得： 3x﹣ 4x＞ 4﹣ 6﹣ 3，合并同类项得：﹣x＞﹣ 5，系数化为 1 得： x＜ 5，故不等式的正整数解有1、2、3、4 这 4个.6. 【答案】 A；【解析】因为不等式2x a 2a 2的解集为 x ，再观察数轴上表示的解集为a 22 0x1 ，因此1，解得 a2二、填空题【解析】去分母，得：3（ 3x+13）＞ 4x+24 ，去括号，得： 9x+39 ＞4x+24 ，移项，得： 9x﹣ 4x ＞24﹣ 39，合并同类项，得：5x＞﹣ 15，系数化为1，得： x＞﹣ 3，故答案为： x＞﹣ 3．8.【答案】 - ；【解析】解：∵（3m-2）x＜ 7 的解集为x＞，∴x＞，∴=- ，解得 m=- ．故答案为： - ．9. 【答案】＞；【解析】 (3a 2 3b 2 6) (2 a 2 4b 2 1) a 2 b 25 0 ，所以 3a 2 3b 2 6 2a 2 4b 2 1 .10．【答案】 5；a45【解析】将 -4 代入得：4a5 ，所以 a.411. 【答案】 18 a 21；aa【解析】由已知得： x ， 67，即 18 a21.3 312. 【答案】 3 a2【解析】画出数轴分析得出正确答案.三、解答题13. 【解析】解： Q m 21 0, ∴ m2 1 0.2＞ n ，∴ ( － m －1)x两边同除以负数（－ m 2－ 1）得： xn 1n .nm 2 m 2 1∴原不等式的解集为：x.m 2114. 【解析】解：由题意得， -x+3＞ 6x-3 ，去分母得， -x+18 ＞ 6（ 6x-3 ）， 去括号得， -x+18 ＞ 36x-18 ， 移项得， -x-36x ＞ -18-18 ， 合并同类项， -37x ＞-36 ，把 x 的系数化为 1 得， x ＜．因此，当＜时，代数式 - x+3 的值比 6x-3 的值大．15. 【解析】解： 2(k10 k3)36k -18＜10-kk ＜4k (x 5)k 4xkx-5k ＞4x-4k( k 4) x ＞ kx＜k．k 416.【解析】解： A B 7x 7,当 x 1时， A B ；当 x 1时， A B ；当 x 1时， A B.。