电磁场数学第五章第六章答案

第七次作业答案

2020年4月6日星期一

第五章

第4题

4. 一均匀杆的原长为l ，一端固定，另一端沿杆的轴线方向拉长e 而静止，突然放手任其振动，试建立振动方程与定解条件。

解：：振动方程：0,0 ),(),(2

2222><<∂∂=∂∂t l x x t x u a t t x u 初始条件：l x t

t x u x l e x u t ≤≤=∂∂=

=0,0),(,)0,(0 边界条件：0,0),(,0),0(>=∂∂==t x t x u t u l x

第11题

11. 试将方程23260xx xy yy x y u u u u u --++=化为标准型。

解：因为2

C 40B A -=>，所以该方程是双曲型的，其特征方程为

113

1dy dx ⎧-±==⎨-⎩ 特征线为1x y c -=和23x y c +=.令,3x y x y ξη=-=+得1(412)16

u u u ξηξη=--+即430u u u ξηξη-+=。

第12题

12. 把下列方程化为标准型：

（1）0254=++++y x yy xy xx u u u u u

因为,012

<-=-AC B ，所以该方程是椭圆型的，其特征方程为

i dx dy ±=-±=21

12 特征线为1)2(c x i y =+-和2)2(c x i y =--.令x i y x i y )2(,)2(--=+-=ηξ 可知x x y -=-=βα,2得ββββααu u i u u =+-

=+)20(212。

(2)0

=+yy xx yu u 因为,2y AC B -=-所以要对y 进行分类讨论：

当y<0时，该方程为双曲型的，其特征方程为

y y dx dy -±=-±=1

特征线为12c y x =-+和22c y x =--.令y x y x --=-+=2,2ηξ可得0)()

(21=--+ηξξηηξu u u ； 当y=0时，该方程为0=xx u ，已经是标准的抛物线方程；

当y>0时，该方程为椭圆型的，其特征方程为

y i y dx dy ±=-±=1

特征线为12c y i x =+和22c y i x =-.令y i x y i x 2,2-=+=ηξ得y x 2,==βα可得βββββααβu u y

u y u u 121)10(21==-

-=+

第六章

第2题

2. 研究长为l ，一端固定，另一端自由，初始位移为hx 而初始速度为零的弦的自由振动情况。

解：即求解定解问题

()()()200

00,000,00tt xx x x x l t t t u a u t x l u u t u hx u x l ====⎧=><<⎪==>⎨⎪==<<⎩ 分离变数，令()()(),u x t X x T t =，可得：2

0T a T λ''+= （1）

()()000X X X X l λ''+=⎧⎨'==⎩

（2） 由（2）解得：2

2212n n l πλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，()212sin n X x c x l π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，0,1,2,n =L 由（1）解得：()1122cos sin n n n n a n a T t A t B t l l

ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ 定解问题的通解为

()0111222,cos sin sin n n n n a n a n u x t A t B t x l l l πππ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦

∑ 由初始条件00t t u ==，得：

01122sin n n n n x l B l ππ∞=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∑ ()01,2,n B n ∴==L 。 由初始条件0t u hx ==，得：

12sin n n A hx n x l π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭=∑ ()20211222sin 12n l n n hl A hx xdx l l n ππ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝

⎭⎰ ()()202111222,cos sin 12n

n n a n hl u x t t x l l n πππ∞=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ ()220111222cos sin 12n

n n a n hl t x l l n πππ∞=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑