自由电子与布洛赫电子的区别
布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理
正格基矢
倒格基矢
a1、a 2、a 3 ,
b 1、b 2、b 3
例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、 第三布里渊区。
aa
a1 ai a2 a j
a2 a j
aa
a1 ai
2π ( i j )
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a 2π
b2 j a
例3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的
扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 a，b。
解: a1 ai
a2 bj
2π (i j)
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a
b2 2π j
b
b
倒格仍为矩形。
a2 bj
a1 ai
a
2π
b
2π
a
j
i
第一区
第二区
目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分 布是准连续的。一个波矢对应的体积为：
b1 ( b2 b3 ) Ω* (2π)3 (2π)3 N1 N2 N3 N N Ω VC
一个波矢代表点对应的体积为： (2π)3 VC
电子的波矢密度为：
Vc ( 2 π) 3
下面我们证明
(r
Rn
)
eikRn
(r)
k(r
2 Rn )
k(r) 2
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面
波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述
电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。
5.1.2 k的取值和范围
设晶体在a1、a2、a3方向各有N
固体物理学：第四章 第九节 布洛赫电子在恒定电场中的准经典运动
4. 在外加电场，磁场中空穴的准经典运动方程为 空穴的运动方程是带正电荷的粒子的运动方程
五、导体、绝缘体和半导体的能带特征
在一种固体中，存在着未填满的能带，那么它必定 是导体。
如果所有能带中，只有全满带或者全空带，那么它 是绝缘体。
半导体在绝对零度下，所有能带是全满或者全空。 但禁带很窄，在有限温度下有少量的满带电子被激 发到空带中，形成少量空穴的价带和少量电子的导 带。
布洛赫电子的行为则完全不同，因为布洛赫电子 通常都有复杂的能带结构，不能写出v(t) 和 k(t)的 明显关系，但总可以写成下面的函数形式：
因为v(k(t))是倒空间的周期函数，因此速度是时间 的有界函数，当E平行于一个倒点阵矢量时，速度 将随时间振荡。
如果电子在t=0时刻k=0，那么v(k)=0，有效质量m*>0。随着时 间增加，不断被加速，越过A点后，有效质量m*<0，电子被 减速，一直到B点，速度变为0。随着k的继续增加，进入第二 布里渊区C点。在简约能区图式中，C点将折回到第一布里渊 区的等价点C’。这里C和C’相差一个倒格矢，电子在k空间 循环运动。
布洛赫电子的准经典运动过程中，晶格的周期场始终 起了关键的作用，这种作用隐含在E(k)函数中。 一个电子载有的电流比例与它的速度，于是在布洛赫 电子的准经典模型中，直流电场将感生出交变电流， 这种效应成为布洛赫振荡，其周期为：
其中2pi/d是沿着电场方向两个区界的距离。在一维情 况下，就是第一布里渊区的宽度，其振荡频率为：
2.
空穴的能量应该是从满带中失去一个电子，系统能量的变化：
逸失电子在带内位置越低，需要更多的功，系统的能量越 高。如果令价带能量零点位于带顶，并且能带是对称的， 可以构造一个近满带对应的空穴能带，如图所示：
固体电子1---布洛赫理论
i k R m
完全不影响本征值(Rm)的值。
为了使k能与(Rm)的值一一对应，可将k限制在倒空间b1、b2、 b3形成的倒格子原胞之中，实际上最方便的办法是选在第一布 里渊区。 k的表达式：
k l l1 l b1 2 b 2 3 b 3 N1 N2 N3
代表k空间均匀分布的点，因为l1、l2、l3由周期性边界条件可知 为整数。每个点对应一个波矢取值，占据的k空间体积为：
如果忽略势能项U(r)，上面方程的解就是自由电子的平面 波波函数。 在一般情况下，晶格周期势场 U(r) 的形式比较复杂，求解 单电子薛定谔方程依然是十分困难的。因此在处理实际问题
时需要根据具体的情况采用不同的近似方法。
7
2 2 2 2 1 e2 U ( R , , R , ) U ( r , , r , , R , , R , ) (rj ,, R j ,) E (rj ,, R j ,) j n 0 1 n 1 j 1 n 2 m 2 M 2 4 r n j ' j ' j j 0 j ', j
(r R m ) T (R m ) (r) (R m ) (r)
作为电子波函数，(r)和(r+Rm)都要求满足归一化条件：
2 2 2 2 2 | ( r R ) | dr | ( R ) ( r ) | dr | ( R ) | | ( r ) | dr | ( R ) | 1 m m m m
即：
ei ( Rm Rn ) ei ( Rm ) ei ( Rn )
(R m R n ) (R m ) (R n )
上式仅当与Rn呈线性关系才能得到满足，取：
自由电子与布洛赫电子的区别
自由电子与布洛赫电子的区别-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1自由电子与布洛赫电子的区别（哈尔滨工业大学 材料科学与工程系1419002班）摘要：在1928年，布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体物理特性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill ，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet ，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov ，1892年）等独立地提出。
随后表产生了布洛赫电子的概念。
本文主要探讨自由电子与布洛赫电子的区别。
关键词：自由电子；布洛赫电子；区别1 基本概念1.1 自由电子 自由电子(free electron)按照电子的运动范围定义指不被约束在某一个特定原子内部的电子，在化学中是指在分子中与某个特定原子或共价键无关的电子。
当这种电子在受到外电场或外磁场的作用时，能够在物质（晶体点阵）中或真空中运动。
因此自由电子也叫做离域电子。
由金属的电子云模型理论可以确定，金属晶体中存在自由电子。
自由电子的多少会影响晶体的导电性和导热性，自由电子愈多，电传导的能力愈强，而大部分的金属晶体都有较多的自由电子，所以金属都具有良好的导热性和导电性。
1.2 布洛赫定理晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有如下形式其中k 为电子的波矢，Rn 是晶格矢 上述理论称为布洛赫(Bloch)定理。
布洛赫定理的另一种表述为，存在以波矢 使得对属于布拉维格子的所有格矢 成立。
1.3 布洛赫电子用布洛赫函数描述的电子称为布洛赫电子。
)(e )(r u r k rk i k ⋅=ψ)()(r u R r u k n k =+k n R 332211a n a n a n R n ++=)(e )(r R r n R k i n ψψ⋅=+2 区别研究2.1周期性质晶体的平移周期性不仅仅是几何图形的周期性，而且每个原子胞的各种物理化学性质也是一样的，因此，所有单胞内电子的密度分布特性也是一样的。
自由电子与布洛赫电子的区别
自由电子与布洛赫电子的区别（哈尔滨工业大学 材料科学与工程系1419002班）摘要：在1928年，布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体物理特性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill ，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet ，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov ，1892年）等独立地提出。
随后表产生了布洛赫电子的概念。
本文主要探讨自由电子与布洛赫电子的区别。
关键词：自由电子；布洛赫电子；区别1 基本概念1.1 自由电子 自由电子(free electron)按照电子的运动范围定义指不被约束在某一个特定原子内部的电子，在化学中是指在分子中与某个特定原子或共价键无关的电子。
当这种电子在受到外电场或外磁场的作用时，能够在物质（晶体点阵）中或真空中运动。
因此自由电子也叫做离域电子。
由金属的电子云模型理论可以确定，金属晶体中存在自由电子。
自由电子的多少会影响晶体的导电性和导热性，自由电子愈多，电传导的能力愈强，而大部分的金属晶体都有较多的自由电子，所以金属都具有良好的导热性和导电性。
1.2 布洛赫定理 晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有如下形式其中k 为电子的波矢，Rn 是晶格矢 上述理论称为布洛赫(Bloch)定理。
布洛赫定理的另一种表述为，存在以波矢 使得对属于布拉维格子的所有格矢 成立。
1.3 布洛赫电子用布洛赫函数描述的电子称为布洛赫电子。
)(e )(r u r kr k i k ⋅=ψ)()(r u R r u k n k =+k n R 332211a n a n a n R n ++=)(e )(r R r n R k i n ψψ⋅=+2 区别研究2.1周期性质晶体的平移周期性不仅仅是几何图形的周期性，而且每个原子胞的各种物理化学性质也是一样的，因此，所有单胞内电子的密度分布特性也是一样的。
布洛赫定理、一维近自由电子近似
布洛赫定理在固体物理、表面物 理等领域有广泛应用，是理解周
期性结构中粒子行为的基础。
一维近自由电子近似研究现状
1
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述 一维晶体中电子的运动。
2
在一维近自由电子近似中，电子被视为在周期性 势场中运动的粒子，其波函数具有一维周期性。
3
目前，一维近自由电子近似已被广泛应用于研究 一维晶体中的电子结构和物理性质，如电荷密度 波、自旋密度波等现象。
发展更精确的理论模型和计算方法，以更准确地 描述一维晶体中电子的运动和相互作用。
探索一维近自由电子近似在其他领域的应用，如 光子晶体、表面等离激元等。
感谢您的观看
THANKS
这一定理表明，在周期性势场中，电子的波函数具有与周期性势场相同的周期性 。
布洛赫定理对一维近自由电子近似的影响
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述在一维空 间中运动的电子的行为。这种近似忽略了电子之间的相互 作用以及更高阶的能量修正。
根据布洛赫定理，一维近自由电子近似中的波函数应该是 具有周期性的。这意味着，在计算电子的能量和波函数时， 需要考虑周期性势场的影响。
布洛赫定理指出，如果一个函数在一个区间内可积，那么这个函数在这个区间内的积分等于该函数在 区间内任意分割的子区间上的积分的极限。这个定理在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用。
02 一维近自由电子近似的基 本概念
1. 布洛赫定理的表述
布洛赫定理表述为：对于周期性势场， 电子运动的波函数具有Bloch函数的周期 性。即，对于晶体中的电子，其波函数 可以表示为：Ψ(r)=u(r)exp(ik·r)，其中 u(r)是周期性函数，k是波矢。
一、布洛赫定理
自由电子气和布洛赫电子的异同研究
自由电子气和布洛赫电子的异同研究张馨予1121900130哈尔滨工业大学 材料学院，材料科学与工程一班（1219001）摘 要：为了研究晶体中电子的运动状态，建立了多种理论和模型。
本文主要介绍自由电子气模型、布洛赫模型及原理的推导及特点，并比较其异同。
关键词：自由电子气模型；布洛赫模型；布洛赫原理1 自由电子气模型1.1 自由电子气模型假设（1）自由电子近似（Free electron approximation ）：忽略电子——离子的相互作用 独立电子近似（Independent electron approximation ）：忽略电子——电子之间的相互作用（2）电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改变也是突然的。
（3）电子在dt 时间所受碰撞的几率正比于dt/τ，τ通常被成为弛豫时间（Relaxation time ），相应的近似被成为弛豫时间近似（Relaxation time approximation ）。
（4）电子通过碰撞处于热平衡状态。
电子热平衡的获得被假定通过一个简单的途径达到，即碰撞前后的速度没有关联（电子对自己的速度历史没有记忆）。
电子热平衡分布满足Bolzmann 统计 （经典统计）。
1.2 金属的直流电导 1.2.1电导率由欧姆定律（Ohm ’s law ）：R I V ⋅=，欧姆定律更一般的形式（微分形式）：E J⋅=σ按照自由电子气模型分析：假定t 时刻电子的平均动量为p(t)，经过dt 时间，电子没有受到碰撞的几率为 1-dt/τ，那么这部分电子对平均动量的贡献为])()([1)(dt t F t p dt dt t p+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+τ （1）式中F(t)是电子所受的外力。
对于受到碰撞的电子对平均动量的贡献：这部分电子的比率为dt/τ，它们受到碰撞后无规取向（动量无规取向对平均动量无贡献）。
这部分电子对平均动量的贡献在于受到碰撞前从外场获得的动量，由于碰撞发生在t+dt 时刻或之前，因此对平均动量的总贡献小于dt t F dt ⋅⋅)()/(τ，这里涉及dt 的二次项，是个二阶小量，可以略去。
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
对于自由电子气体，能量为
εn (k ) =
2k 2 2m
∇kεn (k )
=
2
m
k
；
k
=
1
(2mε
)
1 2
三维下，对应等能面为球面，所以单位体积的能态密度为：
∫ g (ε ) = 2
n
(2π )3
dsε
=2
4π k 2 =
1
(2m3
)
1 2
ε
1 2
∇k εn (k ) 8π 3 2k / m π 2 3
米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。
5. 如何理解金属自由电子气体的简并性？
答 ：在 统 计 物 理 中 ，把 体 系 与 经 典 行 为 的 偏 离 ，称 为 简 并 性 (degeneracy)。在
绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经
典 的 自 由 电 子 气 体 (Drude)的 模 型 ，电 子 在 T=0 时 的 平 均 能 量 为 零 。因 此 ，在 T=0K
如此对全部电子气来说要出现沿磁感应强度 B 方向的净磁矩，因而，出现了泡利
4.1布洛赫定理、一维近自由电子近似
试求电子在该态的波矢。 解: 根据 Bloch 定理, 而
π
ψ k ( x + na) = eiknaψ k ( x)
a π
ψ k ( x + na) = sin ( x + na)
π = sin x + nπ = sin a a
所以
=e
inπ
sin
πx
a
x cos nπ
V (ξ )d ξ = Vn
否则
k ' |V | k = 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成
ψ k = ψ k0 +ψ k(1)
= Vn 1 ikx e +∑ 2 L n ℏ 2 2π k − k + 2m a 1 e 2 L n
Tα f (r ) = f (r + aα ), α = 1, 2,3
其中 a1, a2, a3 为晶格三个基矢
显然这些算符是相互对易的
Tα Tβ f (r ) = Tα f (r + a β ) = f (r + a β + aα )
= Tβ Tα f (r )
或
Tα Tβ − Tβ Tα = 0
它具有晶格周期性
ℏ2 2 Tα Hf (r ) = − ∇ r + aα + V (r + aα ) f (r + aα ) 2m ℏ2 2 = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m
= HTα f (r )
金属中的电子气的理论
金属中的电子气的理论金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。
由F。
布洛赫和L。
—N。
布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能,在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。
金属中自由电子之间有很强的相互作用,在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。
近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。
一、托马斯-费米近似方法在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下,处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制,因此，动能就会远小于相互作用能。
这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉,被称为托马斯—费米(Thomas—Fermi）近似。
一维定态GP 方程变为则玻色子的密度分布为同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况我们得到凝聚体的半径为则系统的粒子数为将上式变换一下，得到化学势μ 满足其中单粒子基态的特征半径为边界R 满足化学势u 和边界R 都是随着粒子个数N 和相互作用强度U 1的增加而增加的.在处理多电子原子问题中，、通常采用Hartree-Fook 近似方法比较好，但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后，可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点，就是计算机只能进行数值计算，而不能解出一般形式，我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。
费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a 的立方体盒子中运动。
盒子内部势能为0。
盒外势能为无限大，这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质，如电子能级，电子的最高能量，电子的平均能量，电子气的压强，电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处，可以推出原子核的质量公式，跟实验结果比较符合得很好.对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法，这是一个统计方法。
自由电子_精品文档
自由电子引言自由电子是指在材料中能够自由移动的带负电的粒子。
自由电子是电流的基本携带者，是电子学和半导体物理学中的关键概念。
本文将探讨自由电子的起源、特性以及在现代科技和工程中的应用。
一、自由电子的起源自由电子最早是由英国科学家约瑟夫·约翰·汤姆逊于1897年通过电子的阴极射线实验证实的。
他使用了一种特殊的装置，将高电压施加于阴极表面，观察到电子从阴极表面发射出来，并在一个具有正电荷的阳极上产生荧光。
汤姆逊的实验结果表明，阴极射线是由带负电的粒子组成的，这些带负电的粒子后来被命名为“电子”。
自由电子的起源可以追溯到原子结构中，它们来自于原子中最外层的电子壳层。
在原子中，电子被绑定在原子核周围的能级上，当外部能量作用于原子时，其中的电子可以被激发或获得足够的能量以克服原子核的吸引力而脱离原子，从而形成自由电子。
二、自由电子的特性自由电子具有许多特性，这些特性是理解电子学和半导体物理学的基础。
1. 带负电荷：自由电子带有负电荷，通常用“-e”表示。
电子的电量等于元电荷e的负值，即-1.6 ×10^-19库仑。
2. 质量和自旋：电子具有一定的质量，约为9.11×10^-31千克，是原子中最轻的带电粒子。
此外，电子还具有自旋，自旋可以理解为电子围绕自身轴线旋转所产生的现象。
电子的自旋可以是正号或负号，分别表示为↑和↓。
3. 运动特性：自由电子在材料中具有运动的能力。
它们能够自由地在材料中移动，并且能够以一定的速度进行导电。
自由电子的运动受到材料的结构和电场等因素的影响。
三、自由电子的应用自由电子在现代科技和工程领域中有着广泛的应用。
1. 电流传导：自由电子是电流的基本携带者。
在导体中，自由电子可以自由地在原子间移动，因此导体具有良好的导电性。
电流的传导是通过电子的移动而实现的。
2. 电子器件：各种电子器件，如晶体管、集成电路等，利用了电子的特性来实现信号放大、开关控制等功能。
布洛赫定理及它的指导意义
JISHOU UNIVERSITY《固体物理》期末考核报告布洛赫定理及它的指导意义布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫（Felix Bloch ）而得名。
布洛赫波由一个平面波和一个周期函数u （r ）（布洛赫波包）相乘得到。
其中u （r ）与势场具有相同周期性。
布洛赫波的具体形式为：式中k 为波矢。
上式表达的波函数称为布洛赫函数。
当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem ），其中为晶格周期矢量。
可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。
平面波波矢k（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。
对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n以区别。
这些能带的能量在k的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。
在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。
在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。
上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢k是一个守恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群速度为守恒量。
换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷。
从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符（Hamiltonian）与平移算符（translation）的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。
更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。
布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov，1892年）等独立地提出。
固体物理导论
布洛赫电子与自由电子的异同研究材料科学与工程学院 学号：1141900225 姓名：曾波一，自由电子基本概念：自由电子按照电子的运动范围定义指不被约束在某一个特定原子内部的电子，在化学中是指在分子中与某个特定原子或共价键无关的电子。
当这种电子在受到外电场或外磁场的作用时，能够在物质（晶体点阵）中或真空中运动。
因此自由电子也叫做离域电子。
离域电子是在分子、离子或固体金属中的电子，其不止与单一原子或单一共价键有关系，而是因为有游离电子包含在分子轨道中，延伸到几个相邻的原子。
自由电子的多寡会影响物质的导电性和导热性，自由电子愈多，电传导的能力愈强，而大部分的金属都有相当数量的自由电子，非金属则相反，但是亦有例外，如石墨。
二，布洛赫电子基本概念：布洛赫电子即为遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波函数描述的电子。
布洛赫定理表述为：只要单电子近似成立，周期势场中的单电子波函数为 ikr k k (r)e u (r)=ψ 而且，u k (r) 是与晶体平移一致的周期性函数即)()(r u R r u k k =+始终，R m 是格矢，321332211,m m m a m a m a m R m ++=均为整数。
布洛赫定理是晶体中单电子近似的必然结果，它的成立并不依赖于单电子所受周期势函数的具体形式。
三，区别研究周期性质：要求布洛赫电子的周期函数的表达形式与布洛赫函数的形式是一样的。
并且由于波函数何以相差任意一个模量为1的复数因子，所以何以确定的是布洛赫电子应当具有和晶体平移周期一致的周期特性。
由于自由电子模型的定义中明确了晶格内部的能量势场对自由电子没有影响效果。
因此自由电子并没有影响其周期性的晶格内在影响因素，即自由电子并没有周期特性。
有效质量与惯性质量：有布洛赫波函数以及经典力学中的牛顿第二定律何以定义电子的有效质量。
布洛赫电子的有效质量是在形式上描述外场作用对布洛赫电子准动量的影响，与经典力学类比的有效质量。
【固体物理学】自由电子和布洛赫电子的异同研究
自由电子和布洛赫电子的异同研究哈尔滨工业大学材料科学与工程学院缪克松摘要：特鲁德研究金属的导热、导电性质时，提出了“金属自由电子论”。
洛伦兹在特鲁德的基础上，进一步用经典统计来处理金属中的自由电子，说明了不少的热电现象，之后索末菲对该理论加入了量子修正，从而得出了自由电子的量子理论弥补了经典自由电子理论的缺陷。
实际上，我们碰到的问题是大量相互作用多种粒子的多体问题，我们采用近自由电子简化为布洛赫电子问题并在某些重要领域中得到了良好的应用。
关键词：自由电子量子力学布洛赫电子能带论1自由电子模型经典自由电子理论认为金属中的价电子就像气体分子，是经典粒子。
它们无相互作用，在金属内自由运动，相互碰撞，并与离子碰撞，达到热平衡，用经典波尔兹曼分布来描述。
基于经典自由电子理论的基础，可以得到关于固体电学性质完全合理的结果，但在解决固体热容量问题上经典自由电子理论用波尔兹曼分布来描述自由电子气，无法解释金属中自由电子的比热容。
因为按能量均分定理,n个价电子的金属，应具有3nkB/2的热容，这与实验值不符。
需通过量子理论解释。
在索末菲的金属自由电子模型中，共有化电子当成完全自由的电子看待，忽略了金属离子的作用，认为整个晶体中势场是均匀的，因为在室温时我们没有观察到金属发射电子，即在金属内部静止电子的势能比在金属外的静止电子的势能要低一些，因此可以把一个电子在越过金属——真空世界时的势能变化当做是陡变的。
于是以一个势能盒子的物理模型代表金属的内部，假定金属中自由电子和气体分子一样，之间没有相互作用，各自独立地在势能为零的场中运动，据此确定由薛定谔方程确定电子的能量和波函数。
2布洛赫电子——近自由电子模型固体中存在大量的电子，它们的运动是相互关联的，这是一个多体问题。
晶体中的电子是在规格排列的正离子势场中运动，由于相互作用，价电子不再专属于某个原子，在晶体中作共有化运动，即电子是在周期场中运动，在单电子近似中，我们假定电子所受到的场，是固定粒子的场加上由于所有其它电子的电荷分布所产生的平均场，由于晶格的周期性，不难理解，晶体中的等效势场必定具有晶格的周期性。
论电子的一分为二
论电子的一分为二电子是原子的基本组成部分，其带有负电荷。
在物理学中，电子被认为是量子力学的基本粒子之一。
它们是围绕原子核运动的，不参与原子核反应，但是却具有很多重要的物理性质和应用。
电子可以被分为自由电子和束缚电子。
自由电子是指独立于原子核的电子，可以自由移动。
在固体中，自由电子负责导电和导热。
它们可以在电场或热量激励下产生并自由移动。
自由电子的运动是受到量子力学的限制和规律的，因此具有微粒性和波动性。
自由电子在电磁场中运动时也会被极化并呈现一些有趣的特性。
束缚电子是被原子核束缚的电子。
它们被分为内层和外层电子。
内层电子与原子核的作用非常紧密，几乎不参与化学反应。
外层电子则是化学反应中最活跃的电子。
在晶体中，外层电子形成键结构，构成晶体的基本结构。
束缚电子的运动是受到原子核和其他电子的影响，并且具有能带理论的特性。
能带理论指的是介质中电子能量的分布情况，其中能量被表示为电子波函数的波动量。
能带分为价带和导带。
处于价带中的电子是不活跃的，不能参与电导和热传导。
导带中的电子则是活跃的，可以自由地移动。
能带理论解释了材料的导电和热传导等性质，对于提高材料的性能有重要作用。
电子的一分为二也可以理解为电子的波粒二象性，即电子既具有粒子性又具有波动性。
粒子性体现在电子在实验室中表现出来的具体粒子特性，例如电子的质量、电荷、能量等。
而波动性则体现在电子在空间中呈现为波动形态的性质，如波长、频率、速度等。
电子的波粒二象性是量子力学基本原理的一部分，对于解释电子行为和应用有重要意义。
总的来说，电子的一分为二可以指自由电子和束缚电子之分，也可以指电子的波粒二象性。
不同的分法都有其重要的物理性质和应用。
对于理解和应用电子行为，我们需要综合考虑不同的分法，并利用量子力学和能带理论等工具进行分析和解释。
高二物理易混淆的电学概念介绍
高二物理易混淆的电学概念介绍在物理的学习中，有些概念是比较容易混淆的，学生需要注意，下面店铺的小编将为大家带来高二物理易混淆的知识点的介绍，希望能够帮助到大家。
高二物理易混淆的电学概念1、电子与电荷电子是物质中的一种基本粒子，它带负电。
电荷是人们对电的一种传统的认识。
在古代，因人们对电的本质缺乏认识，认为电是附着在物体表面上的，因而把电称为电荷。
物体带电和带了电荷是同一个意思。
现在大家所说的电荷，一般是指带电的物质微粒，如带电的原子核、质子、电子及正、负离子等。
显然电荷这一概念的范围要比电子大。
2、自由电子与自由电荷自由电子是指脱离了原子核束缚的电子，而自由电荷既可以是自由电子，也可以是正、负离子。
金属导体中的自由电荷是自由电子，酸、碱、盐的水溶液中的自由电荷则主要是正、负离子。
3、带电与导电带电是指物体失去电子或得到多余的电子，从而使物体对外显电性。
导电则是指导体中有电流，其实质是导体中有大量的自由电荷作定向移动。
4、导体与绝缘体容易导电的物体叫做导体。
不容易导电的物体叫做绝缘体。
导体容易导电是因为导体内部有大量可以自由移动的电荷，而绝缘体不容易导电是因为绝缘体内几乎没有自由电荷。
导体和绝缘体之间并没有绝对的界限，在一定条件下两者可相互转化。
如在常温下玻璃是一种非常好的绝缘体，但在加热到红炽状态时，它就变成了导体。
5、导体与导线导体是指容易导电的物体。
而导线则是指用导电性能较好的金属制成的电线，它一般用来连接电路元件使之组成电路，一般导线的电阻很小，常常可以忽略不计。
6、电中性与电中和电中性是指一种状态，即原子核所带的正电与核外电子总共带的负电电量相等，整个原子对外不显电性。
电中和是指一种过程，当两个带等量异种电荷的物体相互接触时，带负电的物体上多余的电子转移到带正电的物体上，从而使两个物体都恢复成不带电的状态。
7、电源与电压电源是指能够提供持续电流的装置，或定义为是把其他形式的能量转化为电能的装置。
固体物理晶体中的电子状态
能量：一个能级列变为一个能带。
单电子近似（准自由近似和紧束缚近似），又称为能带论
5.5晶体中电子的准经典运动
在量子力学中晶体中布洛赫电子的运动由波 包来描述。所谓波包由空间分布在r0附近的Δr 范围内，波矢取值在k0附近的Δk范围内的布洛 赫电子态组成,ΔrΔk必须满足不确定关系。一 般Δk必须小于第一布里渊区的线度，这样Δr 必须远大于晶体原胞的线度，只能在这个线度 内，布洛赫电子可以看作经典粒子。
净电流为0，不导电
施加外电场
k轴上各点均以完全相同的速度移动，电子在布里
渊区中不再分布对称，电流密度不能完全抵消。
净电流不为0，参与导电
不满带导电
F
不满带导电
三、导体和非导体模型
实际晶体中，电子从低到高填充能带，形成一系列 的满带。最外层价电子填充的能带，称为价带。
导体：价带是不满带。 非导体：价带也是满带。
三种近似方法：
1. 自由电子近似：（适用于金属晶体）
波函数： Aeikr 能量：E 2k 2 准连续
2m
2. 准自由电子近似：（适用于晶体中原子的外层电子）
波函数： uk reikr 布洛赫函数
能量：准连续的能量在布里渊区边界突变，分裂为能带。
3. 紧束缚近似：（适用于晶体中原子的内层电子）
有效质量大
k
x
kx
曲率愈小，有效质量愈大； 曲率愈大，有效质量愈小。
2. 有效质量有正、有负
能带底部，d 2E
dk 2
0,m*
0
能带顶部，d 2E 0,m* 0
dk 2
m*
m* 2
d2E dk 2
k
x
自由电子与布洛赫电子的异同研究
自由电子与布洛赫电子的异同研究xx(哈尔滨工业大学 材料学院，哈尔滨 150001)摘要：在1928年，布洛赫波的概念首次由菲利克斯·布洛赫研究晶态固体的导电性时提出，随之便有了布洛赫电子的概念。
本文主要探讨自由电子与布洛赫电子的异同，以此来加深对两者的认识。
关键词：自由电子；布洛赫电子；异同1 基本概念 1.1 自由电子(离域电子)自由电子(free electron)，即离域电子，在化学中是指在分子中与某个特定原子或共价键无关的电子。
主要是金属导体中的自由电荷。
自由电子的多寡会影响物质的导电性和导热性，自由电子愈多，电传导的能力愈强，而大部分的金属都有相当数量的自由电子，非金属则相反，但是亦有例外，如石墨。
离域电子是在分子、离子或固体金属中的电子，其不止与单一原子或单一共价键有关系，而是因为有游离电子包含在分子轨道中，延伸到几个相邻的原子。
典型的例子，离域电子可在共厄系统和介离子化合物中被发现。
人们渐渐地了解到，电子在σ 键结的阶段也会被游离。
例如甲烷键结的电子其共享五个原子。
1.2 布洛赫定理晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有如下形式其中k 为电子的波矢，Rn 是格矢上述理论称为布洛赫(Bloch)定理。
布洛赫定理的另一种表述为，存在以波矢 ，使得对属于布拉维格子的所有格矢 成立。
1.3 布洛赫电子布洛赫电子(Bloch electron)即为遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波函数描述的电子。
2 异同研究2.1 不同点2.1.1 自由电子模型)(e )(r u r k r k i k ⋅=ψ)()(r u R r u k n k =+k n R 332211a n a n a n R n ++=)(e )(r R r n R k i n ψψ⋅=+电子是受到原子核的吸引力而围绕在原子核周围做运动的。
原子核的吸引力有强弱之分，当两个不同的原子相接近时，在周围具有一定条件下（例如温度的升高），加快了核外电子的运动速度，使电子被吸引力更强的原子核吸引过去而脱离了原来的原子核形成了自由电子。
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自由电子与布洛赫电子
的区别
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自由电子与布洛赫电子的区别
（哈尔滨工业大学 材料科学与工程系1419002班）
摘要：在1928年，布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体物理特性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill ，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet ，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov ，1892年）等独立地提出。
随后表产生了布洛赫电子的概念。
本文主要探讨自由电子与布洛赫电子的区别。
关键词：自由电子；布洛赫电子；区别
1 基本概念
自由电子
自由电子(free electron)按照电子的运动范围定义指不被约束在某一个特定原子内部的电子，在化学中是指在中与某个特定或无关的。
当这种电子在受到外电场或外磁场的作用时，能够在物质（晶体点阵）中或真空中运动。
因此自由电子也叫做离域电子。
由金属的电子云模型理论可以确定，金属晶体中存在。
自由电子的多少会影响晶体的性和性，自由电子愈多，的能力愈强，而大部分的晶体都有较多的自由电子，所以金属都具有良好的导热性和导电性。
布洛赫定理
晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有如下形式 其中k 为电子的波矢，Rn 是晶格矢 上述理论称为布洛赫(Bloch)定理。
布洛赫定理的另一种表述为，存在以波矢 使得
对属于布拉维格子的所有格矢 成立。
布洛赫电子
)(e )(r u r k
r k i k ⋅=ψk
n R
用布洛赫函数描述的电子称为布洛赫电子。
2 区别研究
周期性质
晶体的平移周期性不仅仅是几何图形的周期性，而且每个原子胞的各种物理化学性质也是一样的，因此，所有单胞内电子的密度分布特性也是一样的。
因此要求布洛赫电子的周期函数的表达形式与布洛赫函数的形式是一样的。
并且由于波函数何以相差任意一个模量为1的复数因子，所以何以确定的是布洛赫电子应当具有和晶体平移周期一致的周期特性。
由于自由电子模型的定义中明确了晶格内部的能量势场对自由电子没有影响效果。
因此自由电子并没有影响其周期性的晶格内在影响因素，即自由电子并没有周期特性。
电子速度
自由电子热运动的平均速度与温度有关，当导体的温度越高时自由电子的热运动速率就越大。
而当导体两端加上电压后，自由电子受电场力作用而定向漂移，由于电场的传播速率等于光速，因此几乎在导体两端加上电压的同时，导体中就建立了电场，导体中的自由电子就受到电场力作用同时做定向移动而形成电流，所以电流的速度等于光速，但电流的速度不代表自由电子的速度。
布洛赫电子在准经典的情况下，电子在正格子中运动的平均速度可以用布洛赫电子的群速度来描述。
与之相关的仅仅只有电子的频率。
当由含有时间变量的布洛赫函数来描述电子的波函数是可以看出电子的平均速度强烈的依赖于其空间等能面的形状。
并且由于晶体的内部的等能面也存在周期性（与晶体的倒格矢成周期性关系）所以布洛赫电子的平均速度也应具备周期性，并且倒格矢G为其周期。
并且速度在空间中会有反演周期性，即K和-K两个状态的电子速度的大小相等，方向相反。
有效质量与惯性质量
有布洛赫波函数以及经典力学中的牛顿第二定律何以定义电子的有效质量。
在准经典近似下，布洛赫电子有效质量是二阶张量，有电子能级在K空间的各向异性决定的，显然不同于电子的有效质量并且有布洛赫波函数的复杂性，有效质量可正可负。
另外加速度的方向与外加力场的方向在一般情况下是不同的。
此影响在于两个方面。
一是布洛赫电子的准动量并不是布洛赫电子的真是动量，直塞电子与其他粒子相互作用是具有的动量的属性。
二是由于电子除了受到外场的作用还会受到晶体内的场的作用，所以布洛赫电子的有效质量是在形式上描述外场作用对布洛赫电子准动量的影响，与经典力学类比的有效质量。
而自由电子则不考虑外场对其的影响作用，所以对于自由电子而言，它的有效质量就等于其惯性质量。
参考文献：
[1]费维栋.《固体物理（Solid State Physics）》 [M].哈尔滨工业大学出版社,2014.。