8.2非齐次振动方程和输运方程解析
非齐次振动方程和输运方程
ut a 2u xx f ( x，t ) u x (0，t ) u x (l，t ) 0 u ( x， 0) 0
(2)化为
(3)按原先方法求解, 只需将t换成 t ； t ( 4) u( x，t ) v( x，t； )d
vt a 2 vxx 0 vx (0，t ) vx (l，t ) 0 v( x， ) f ( x， )
§8.2 非齐次振动方程和输运方程
(齐次边界条件) 一、傅里叶级数法
由分离变量法得出的结果提示：可以直接设非齐 次方程的解为傅里叶级数的形式：
u ( x，t ) Tn (t ) X n ( x)
n
傅里叶系数不是常数， 是时间t的函数
基本函数族Xn(x)为该 定解问题相应的齐次 方程在所给齐次边界 条件下的本征函数
t (d 0)
(3)解该定解问题，与之前解的方法一致，只是将 解的结果中t换成 t 即可 (4)叠加：将持续力看成一系列前后相继作用的瞬 时力的迭加，则所有瞬时力引起的振动等效于持 续力引起的振动
u ( x，t ) u ( x，t ) v( x，t； )d
( ) t t
vtt a 2 v xx 0 v(0，t ) v(l，t ) 0 v( x， ) 0 vt ( x， ) f ( x， )
3、按t=0的初始条件求解，只需将t换成 t ； t 4、叠加 u( x，t ) v( x，t； )d
0
对于输运问题 (1)定解问题为
(二)冲量定理法步骤：初始条件均为零 1、定解问题：
utt a 2u xx f ( x，t ) u (0，t ) u (l，t ) 0 u ( x， 0) ut ( x， 0) 0
机械动力学与振动学讲义_8
8-5 杆振动的固有频率和振型 设 代入杆运动方程得
u ( x, t ) = U ( x)φ (t )
U ( x)
2 d 2φ (t ) 2 d U ( x) c = φ (t ) dt 2 dx 2
改写成
1 d 2φ (t ) 1 d 2U ( x ) 2 c = = −ω 2 2 2 U ( x ) dx φ (t ) dt
解得 固有频率 振型
B = 0，和 sin kl = 0 => kl = nπ
ωn = kn2
EI n 2π 2 = 2 l ρA
EI ρA nπ x l
Yn ( x ) = Dn sin kn x = Dn sin
各种边界条件梁的振型：
8-7 连续系统振型函数的正交性 杆的振型函数的正交性： 杆振动的第 i 阶与第 j 阶振型函数 Ui(x)和 Uj(x)分别满足下列微分方程
Y
x =0
=0 = 0 =>
x =0
=>
A+C = 0
d 2Y dx 2
Y
x =l
A−C = 0， ∴A = C = 0
=0 =0
x =l
=> =>
B sinh kl + D sin kl = 0
B sinh kl − D sin kl = 0
d 2Y dx 2
© 2011 by T X WU
52
机械振动与动力学_8
y = Y ( X )e iωt = Ce i (ωt + kx ) − ρAω 2 + EIk 4 = 0 ⎛ρA 2⎞ ⎛ ρA 2⎞ k1−4 = ± ⎜ ω ⎟ 和 ±i ⎜ ω ⎟ ⎝ EI ⎠ ⎝ EI ⎠
振动方程通解表达式 -回复
振动方程通解表达式-回复“振动方程通解表达式”是一个数学概念，是用来描述振动系统的运动规律的。
在这篇文章中，我们将深入探讨振动方程通解表达式的含义、推导过程以及其应用。
首先，让我们了解一下什么是振动方程。
振动方程是描述物体在受到某种力作用下发生振动的数学方程。
它是由牛顿第二定律导出的，并且通常以二阶线性常微分方程的形式表达。
对于简谐振动而言，振动方程可以简化为更为简洁的形式。
振动方程的通解是指可以适用于所有振动系统的解。
为了求解通解，我们需要先求解特解，再根据特解推导出通解。
下面我们将一步一步回答如何得到振动方程的通解表达式。
首先，假设我们有一个线性振动方程，可以写成如下形式：m * x''(t) + b * x'(t) + k * x(t) = F(t)其中，m是物体的质量，b是阻尼系数，k是弹性系数，x(t)是物体位置关于时间的函数，F(t)是外力函数，而x''(t)和x'(t)则分别表示位置函数的二阶和一阶导数。
接下来，我们将使用拉普拉斯变换来求解这个方程。
通过拉普拉斯变换，我们可以将振动方程转化为一个代数方程。
首先，将位置函数x(t)的拉普拉斯变换表示为X(s)，即：X(s) = L{x(t)} = ∫[0,∞] (x(t) * e^(-st)) dt我们可以通过对方程两边进行拉普拉斯变换，将其转化为一个代数方程。
考虑到拉普拉斯变换的性质，我们可以得到如下结果：m * s^2 * X(s) + b * s * X(s) + k * X(s) = F(s)其中，F(s)是外力函数F(t)的拉普拉斯变换表示，s是拉普拉斯变量。
通过整理上述方程，我们可以得到振动方程在拉普拉斯域的形式：( m * s^2 + b * s + k ) * X(s) = F(s)然后，我们可以将X(s)表示为F(s)和系统的特征函数的乘积。
特征函数通常用H(s)表示，它是一个与系统的质量、阻尼和弹性有关的函数。
齐次方程的自由振动与输运问题
u ( x, t ) X ( x)T (t ) 并代入方程得
a 2 X T 0 XT
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0
X (l ) 0
X (0) 0
2 现用 a XT 遍除各项即得
T X 2 aT X X "X 0 X (0) 0 X (l ) 0
2n 1 l l 3l 5l x , , , , 2n 2n 2n 2n
0
l
0
l /2
l
点数为2，3，4的驻波形状
于是我们也可以说,解u ( x, t ) 是由一系列频率不同 （成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加 而成的． 所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小 和位相
n πa 的差异，由初始条件决定，而圆频率 n l
如果
0则
X ( x) C1 cos x C2 sin x
(C1 sin l C 2 cos l ) 0
现确定积分常数 C2 0
0 C2 0
C1 sin l 0 因此 C1 0 否则方程无解，只有
2
n 2 sin x 0 x n l n
本征值问题。虽然我们是从驻波引出解题的线索,其实
整个求解过程跟驻波并没有特殊的联系，从数学上讲，
完全可以推广应用于线性齐次方程和线性齐次边界条
件的多种定解问题。这个方法，按照它的特点，叫作 分离变数法。
用分离变数法得到的定解问题的解一
般是无穷级数,不过,在具体问题中,级数 里常常只有前若干项较为重要,后面的项
2 u ( x, t ) A cos x cos t T
具有非齐次定解条件的弦振动方程的解
具有非齐次定解条件的弦振动方程的解弦振动方程描述了弦的振动行为，而非齐次定解条件指的是在方程中加入外力或边界条件，使方程不再是齐次的，并且给出了初值或边界条件。
$$\frac{{\partial^2 u}}{{\partial t^2}} = c^2\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + F(x,t)$$其中，$u(x,t)$是弦在位置$x$、时间$t$的位移，$c$是传播速度，$F(x,t)$是外力函数。
我们以一根不可伸长的、固定在两端的弦为例，假设我们已知弦的初始位移$u(x, 0)$和初始速度$\frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x, 0)$，以及边界条件$u(0, t)$和$u(L, t)$。
其中，$L$是弦的长度。
为了解非齐次定解条件下的弦振动方程，可以使用分离变量法或叠加法。
首先，我们假设振动解可以表示为分离变量的形式：$$u(x,t)=X(x)T(t)$$将上述表达式代入弦振动方程中，得到：$$X''(x)T(t) = \frac{1}{{c^2}}T''(t)X(x) +\frac{{F(x,t)}}{{c^2}}$$由于左边只含有$x$的变量，右边只含有$t$的变量，因此必须等于一个常数，我们设其为$-\omega^2$：$$\frac{{X''(x)}}{{X(x)}} = -\omega^2 =\frac{{T''(t)}}{{c^2T(t)}} + \frac{{F(x,t)}}{{c^2}}$$上述方程可以拆分为两个方程：1. $X''(x) + \omega^2 X(x) = 0$（齐次方程）2. $T''(t) + c^2\omega^2 T(t) = F(x,t)$（非齐次方程）解第一个方程，得到一般解：$$X(x) = A\sin(\omega x) + B\cos(\omega x)$$其中，$A$和$B$是待定常数。
非齐次方程的冲量定理法求解
于是
lA π a(t −τ ) nπ v= sin ωτ sin cos x l l πa
于是
u = ∫ v(x, t;τ )dτ
0
t
lA π a(t −τ ) nπ =∫ sin ωτ sin cos x dτ 0π a l l π at π a ω sin − sin ω t lA nπ l l cos x = 2 2 π a πa l 2 ω − 2 l
Tn ' (0) = 0
nπ a 2 Tn"(t) + ( ) Tn (t) = fn (t) l Tn (0) = 0 2 l nπξ fn (t) = ∫ f (ξ , t) sin dξ Tn ' (0) = 0 l 0 l
nπ a Tn (t) = ∫0 fn (τ )sin l (t −τ ) dτ nπ a l
t
T0 ' (t) = Asin ω t
n=0
T0 ' (t) = Asin ω t T0 (0) = 0
nπ a 2 Tn ' (t) + ( ) Tn (t) = 0 l
n≠0
Tn (0) = 0
T0 (t) = A
ω
(1− cosω t)
u(x, t) =
Tn (t) = 0
A
ω
(1− cosω t)
τ τ +∆τ t
t
f(x,t)
τ τ +∆τ t
u
(τ ) tt (τ )
t
−a u
x=0 x=l t =τ
2 (τ ) xx
=0
u
=0 =0
u u
(τ )
(τ )
山东大学工科研究生数学物理方法class14第2节非齐次振动方程和输运方程.ppt
na(t
l
)
cos
nx
l
系数 An ( ), Bn ( ) 由初始条件确定，把上式代入初始条件：
A0 (
)
n1
An (
) cos
nx
l
0
17
B0 (
)
n1
Bn (
)
nx
l
cos
nx
l
A cos
nx
l
s in x
右边的 Acos nx sinx 也是傅里叶余弦级数，只有一个单项n＝1
l
两边比较系数可得：
系数，上述两边都是傅立叶余弦级数，由于基本函数族 cos nx
l 的正交性，等式两边对应于同一基本函数的傅立叶系数必相等：
T0 (0) 0
1 l
l
( )d
0
T0(0) 0
1 l
l
( )d
0
Tn (0) n
Tn(0) n
2 l
2 l
l ( ) cos n
0
l
l
(
)
cos
n
0
l
d
同时，量纲分析也可以侧面证明此法是正确的！
（2）冲量定理法的数学验证 即要验证通过积分得到的解u（x，t）是原非齐次振动方程定
解问题的解。
首先来验证边界条件：v |x0 0, v |xl 0 故有：
t
t
u |x0 0 v |x0 d 0, u |xl 0 v |xl d 0
边界条件
初始位移： u |t0
t
0 f (x, ) (t )d
其中 F(x, ) (t )d 为作用在很短的时间区间 ( , d ) 9
数学物理方法习题解答
习题解答
向安平
B xiangap@ xiangap@
成都信息工程学院光电技术系 2006 年 9 月 11 日
前 言
本书供电子科学与技术专业和光信息科学与技术专业《数学物理方法》课程教学使用． 本教学参考书仅供授权读者在计算机上阅读，不能编辑、拷贝和打印．经作者授权，可取消全 部限制． 在第一版中只收录了必要的试题，以后将增补习题的数量和类型，在每章增加内容小结和解题 方法讨论．欢迎读者提供建议． 作为本书的第一版，错误和排版差错在所难免，敬请读者指正．
§ 1.1 复数与复数运算
1. 下列式子在复平面上各具有怎样的意义? (1) | x |≤ 2. (2) | z − a |=| z − b | （a 、b为复常数）. (3) Rez > 1 2. (1) | x |≤ 2 解一：|z| = | x + iy| = 部． x2 + y2 ≤ 2，或 x2 + y2 ≤ 4．这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内
z?az?bx?a12y?a22x?b12y?b22于是x?a12y?a22x?b12y?b22即2y?a2?b2b2?a22x?a1?b1a1?b1y?a2b22x?a1b12a1?b1b2?a22a2b2这是一条直线是一条过点a和点b连线的中点a1b12且与该直线垂直的直线
数 学 物 理 方 法
解二：按照模的几何意义，|z|是复数z = x + iy与原点间的距离，若此距离总是≤ 2，即表示 以原点为圆心而半径为2的圆内部． (2) |z − a| = |z − b| ( a、b为复常数)． 解一：设z = x + iy, z = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 ； ( x − a1 )2 + (y − a2 )2 , ( x − b1 )2 + (y − b2 )2 ,
振动的力学方程
振动的力学方程一、振动的力学方程那点事儿嘿，小伙伴们！今天咱们来唠唠振动的力学方程。
这振动的力学方程啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开很多物理世界的大门呢。
咱们先想象一下生活中的振动场景。
比如说，吉他的琴弦在弹奏的时候会振动，发出美妙的声音。
这琴弦的振动其实就可以用振动的力学方程来描述。
从最基本的来说，振动可以分为简谐振动。
简谐振动的力学方程有它独特的形式，就像一个有规律的小宇宙一样。
再说说单摆吧。
单摆的摆动也是一种振动。
当我们把一个小球系在一根绳子上，然后轻轻拨动小球，它就会来回摆动。
这个摆动的过程就和振动的力学方程紧密相关。
我们可以通过分析小球的受力情况来推导出它的力学方程。
小球受到重力和绳子的拉力，这两个力的相互作用就决定了它的振动状态。
还有汽车在行驶过程中，如果遇到不平整的路面，车身也会产生振动。
工程师们就需要利用振动的力学方程来设计汽车的减震系统，让我们坐在车里感觉更舒服。
在研究振动的力学方程时，我们要考虑到很多因素。
比如说，振动的幅度、频率还有相位。
这些因素就像是一个拼图的各个小块，只有把它们都找齐了，才能完整地理解振动的力学方程。
而且哦，不同的振动系统可能会有不同的边界条件。
这些边界条件就像是给振动的力学方程设定了一个特殊的舞台，在这个舞台上，方程会有不同的表现形式。
从数学的角度来看，振动的力学方程可能会涉及到微积分的知识。
我们要通过对物体的运动状态进行微分和积分运算，才能得到准确的方程表达式。
振动的力学方程在很多学科领域都有重要的应用。
在机械工程中，它可以帮助我们设计更稳定、更高效的机械结构；在声学领域，它能解释声音是如何产生和传播的；在电子学中，也和电路的振荡等现象有关。
反正就是说呢，振动的力学方程是一个非常有趣又超级有用的东西。
它就像一个隐藏在我们生活各个角落的小精灵，只要我们用心去发现，就能感受到它的奇妙之处。
数学物理方法课程教学大纲
《数学物理方法》课程教学大纲（供物理专业试用）课程编码：140612090学时：64学分：4开课学期：第五学期课程类型：专业必修课先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》教学手段：（板演）一、课程性质、任务1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。
2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。
理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。
可以在后续的选修课中加以介绍。
3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。
注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。
但是，它与其它的数学课有所不同。
本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。
因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。
学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。
教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。
二、课程基本内容及课时分配第一篇复数函数论第一章复变函数（10）教学内容：§1.1．复数与复数运算。
复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。
武汉大学数学物理方法3_2非齐次方程—纯强迫振动
本节注意：
A 代入<4>式得： u ( x , t ) = (1 − cos ω t ) ω
(1)以上方法也适于求解带有其他齐次边界条件的非齐次 方程的定解条件，其主要精神是： <i> 先考虑对应的齐次问题，用分离变量法求得其齐次问 题的固有函数； <ii> 将未知函数按本征函数展开，其展开系数为另一变 量的系数，代入原非齐次方程和初始条件（或另一变量的 边界条件），得另一变量的常微分方程定解问题； <iii> 求常微分方程定解问题的解代入展开式得原定解问 题得解。这种分离变量的方法按其特点又叫本征函数。
而u ( x, t ) = ∫ v( x, t ;τ )dτ
0
t
所以我们可以想到，对于：
utt = a u xx + f ( x, t ) u | x =0 = 0 u | x =l = 0 u | = 0 t =0 ut |t =0 = 0
2
也可以先用冲量原理求解
根据冲量原理，先求解：
(1) 用分离变量法求得对应的齐次问题（即对应的齐次方 程连同齐次边界条件）的本征函数。 (2)将未知函数 u ( x，y )[或 u ( x，t )等]按上面求得的本征函 数展开，其展开系数为另一变量的函数，代入非齐次方程 和初始条件（或另一变量的边界条件），得到关于时间因 子的常微分方程的初值条件（或另一单元函数的常微分方 程的边值问题），用常数变易法或拉氏变换法可求得其 解。 (3)将所求得的解代入未知函数的展开式中，即得到原定解 问题的解。这种分离变量的方法按其特点又叫本征函数 （或固有函数）法。
3、有界弦（杆）的纯强迫振动的解：
将<8>代入<4>，得定解问题<1>~<3>的解为：
第八章第二节 非齐次振动方程和输运方程
例2 将例1中的初始条件改为零值，用冲量定理法求解，
即求定解问题
utt a2uxx
Acos x
l
s in t;
ux x0 0, ux xl 0; u t0 0, ut t0 0.
解：用冲量定理法先求解定解问题
vtt a2vxx 0; 变为齐次
vx x0 0, vx xl 0;
v t 0
d ,...n
0...8.2.7
Tn(t)的常微分方程的解是
n 0:
Tn
n2 2a2
l2
Tn
0...n
1
T0t 0 T0t A Bt
用初始条件： T00 A 08.2.7 T00 B 0
T0t 0 0t...8.2.8
n 1:
T1
2a2
l2
T1
A s in t...n
1
T1t
Al
a
1
2 2a2
l2
sin at
l
a sint
l
1
cos
at
l
l
a
1
sin
at
l
,... 8.2.9
详细求解过程
Hale Waihona Puke n 0,1:Tnn2 2a2
l2
Tn
0...n
1
Tn
t
n
cos
nat
l
l
na
n
sin
nat
l
....8.2.10
把Tn(t)的解代入u(x,t)得出
ux,t Al
0... n
1
3、求解Tn(t)的常微分方程后，代入1即可。
把u(x,t)的傅里叶余弦级数代入初始条件,得
振动方程波动方程
振动方程波动方程振动方程和波动方程是物理学中重要的概念，涉及到很多领域，比如力学、声学等。
本文将分步骤阐述这两个方程及其应用。
一、振动方程1、概念：振动方程是描述物体振动的方程，表达式为m(x)'' + kx = 0，其中m是物体的质量，k是物体的弹性系数，x是物体的位移。
2、推导过程：假设物体振动的位移为x(t)，速度为v(t)，加速度为a(t)，那么有以下三个式子：v(t) = dx(t)/dta(t) = dv(t)/dt = d^2x(t)/dt^2由于物体的振动是受弹性力和外力的作用，所以可以列出以下公式：ma = -kx其中m是物体的质量，a是物体的加速度，k是弹性系数，x是物体的位移。
把上式用v和x表示出来，则有：m(d^2x(t) / dt^2) = -kx(t)这就是振动方程的表达式。
3、应用：振动方程广泛应用于机械振动、电子振动等领域。
例如，有些机械装置发生共振时，会发出沉闷的低音，这就是振动方程的应用之一。
二、波动方程1、概念：波动方程是描写波动传播的方程，包括机械波、电磁波等；通常表达式为d^2u(x,t) / dx^2 = 1/v^2 * d^2u(x,t) / dt^2，其中u是波的振幅，x和t分别为空间和时间坐标，v为波的传播速度。
2、推导过程：波动方程是由质点振动传播而来，描写质点的受力情况来推导的。
假设沿着x轴传播的机械波的振幅为u(x,t)，波的传播速度为v，则有以下式子：1. 法向受力方程：F = ma，其中m是质点的质量，a是质点的加速度，F是在某时刻x处的受力，可以表示成F = -dV/dx，其中V为波势函数。
于是有以下公式：m(d^2u / dt^2) = -dV/dx = -d^2u / dx^2 * k其中k是弹性系数。
2. 波方程：由于波的传播速度为v，所以有以下公式：v = w/k其中w是波的圆频率。
把k代入波的受力方程，整理得出波动方程：d^2u(x,t) / dx^2 = 1/v^2 * d^2u(x,t) / dt^23、应用：波动方程广泛应用于物理、化学、信息科学等领域。
非齐次方程的求解问题
x l
0
t 0 0
0
时刻以前，瞬时热源不起作用， t 0 0 时刻瞬时热源起作用。瞬时热源发出的热量使 系统温度升高。
d
c ( t 0 t 0 ) cf ( x, )
2
0时刻瞬时热源已经作用完， t a u xx 0
可以齐次化。
一、两端固定弦的受迫振动问题：
由于边界条件已是齐次的， 如果能将泛定方程也化成齐次 的，便可以求解。所以用叠加 原理，令
u u
(1)
u
( 2)
utt a 2u xx f ( x, t ) u x 0 0, u x l 0 u t 0 ( x), ut t 0 ( x)
f ( x, )
从时刻 t 0 时刻开始，瞬时力不再起作用，
方程转化为齐次方程。
【例题一】
utt a u xx Acon
2
x
ux
x 0
0 ux
x l
l 0
sin t
u t 0 0 ut
【解】应用冲量定理求解
t 0
0
tt a 2 xx 0 x
从物理学的角度理解，受迫振动是由受迫力引起的振
动与初始状态下引起振动的合成。其中：
u (1)为受迫振动引起的位移， u ( 2 )为初始条件下引起的位移。
第一组方程（关于 u
()
的方程）就是曾经讨论过的，
可以直接求解。方程二（关于 u ( 2 ) 的方程）是非齐次， 但边界条件、初始条件都为齐次的。现关键是如何求解方
定解问题转化为：
t 0 f ( x, )（或采用方程两边积分的形式得到该式）
振动方程和运动方程
振动方程和运动方程
1. 振动方程：振动方程描述了物体在固定点周围振动的运动规律。
通常用一阶或二阶常微分方程表示，例如简谐振动的振动方程为：x'' + ω^2x = 0（其中x''表示加速度，ω表示角频率，x表示位移）。
2. 运动方程：运动方程描述了物体在空间中的运动规律。
它可以是一维、二维或三维的，通常用二阶或更高阶的微分方程表示，例如牛顿第二定律可以表示为F = ma（其中F表示力，m表示质量，a表示加速度）。
在绝对平稳的惯性参考系里，运动方程可以用欧拉-拉格朗日方程表示，它也是一个二阶微分方程。
需要注意的是，振动方程和运动方程虽然都可以用微分方程表示，但它们描述的物理运动现象是不同的。
振动方程通常描述固定点附近的周期性运动，而运动方程描述的是物体在空间中的各种非周期性运动。
第八章第三节 非齐次边界条件的处理
0 vtt a 2vxx
t t x2 tx a2 t t
2l
l
wx x0 0, wx xl 0
w x 0 0 x2 0x
t0
2l
wt
t0
x
0 0
2l
x2
0x
2009年5月7日
补充练习：
将下面非齐次边界条件的问题转变为齐次边界条件的定解问题
ut a2uxx 0 x l,t 0 ux 0,t w1t,ux l,t w2t ux,0 x
l l
xdx 2 A
n
Tn
n2 2a2
l2
Tn
Fn
2A
n
根据
dy Pxy Qx
dx
y Ce Pxdx e Pxdx Q x e Pxdxdx
得:
Tn t
B e
n2 2a
l2
2
t
n
2Al2
n3 3a2
代入w(x,t)得
w x,t
Bne
n
2 2a2
l2
t
n1
2 Al2
由此确定 X x A sinl asinx a,从而
vx, t
A
sin l
sin
x
a
sin t....8.3.17
a
令ux,t vx,t wx,t....... 8.3.18
将(8.3.17),(8.3.18)代入(8.3.11)~(8.3.13)
wtt a 2 wxx vtt a 2 vxx 0...8.3.19
w 60 t 0
应用傅里叶级数法求解w(x,t)—非齐次项不含t，不宜用冲量定
理法。
wx,t
Tn tsin
振动的数学分析
《振动的数学分析》简谐振动的运动学本节主要讲解 ：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。
一 . 简谐振动的运动学方程由牛顿第二定律知：x m k m F a -== 即：022=+x m k dt x d 再令m k =20ω得：02022=+x dt x d ω方程02022=+x dtx d ω的通解为 ：⑴⑴ 式就是简谐振动的运动学方程， 该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。
二 . 描述简谐振动的物理量 1 . 周期（ T ）完成一次全振动所用的时间：对弹簧振子：km T πωπ22==2. 频率（ ）单位时间内完成的全振动的次数：的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即： 圆频率 。
3. 振幅物体离开平衡位置的最大位移。
振幅可以由初始条件决定。
如： t=0 时刻， ，由⑴式可得：αcos 0A x =, αωsin 000A dtdx v t x -===∴ ⑵4. 位相和初位相振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。
但仅知振幅频率还不够，还须知道φ才能完全决定系统的运动状态。
叫简谐振动的相位 。
当时，叫 初相位 。
由：⑶若：已知初始条件：，则 ⑶式有：⑷⑸⑷，⑸式中的任意一个即可确定初位相。
相位差 ：两振动相位之差 。
讨论 ：⑴若 是 的整数倍，则振动同相位；⑵若 是奇数倍，则振动相位相反；⑶若 ，则称 超前 ；⑷若，则称落后。
相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。
例 1 ：一弹簧振子， 时， 求振动的初位相 。
解 ：∴ 在第一象限，例 2 ：讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
解 ：设：αωφ+=t x 0，20παωφ++=t v παωφ++=t a 0则：所以：速度的位相比位移的位相超前 2π 加速度的位相比速度的位相超前2π； 加速度的位相比位移的位相超前。
理解 ： 加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。
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对于y '' P 1 ( x) y ' P 2 ( x) y q ( x) 特解为：Y(x) y1
下面求特解Tn* (t ), 令T1n (t ) cos
y2 y1 q( x)dx y2 q( x)dx w( y1 , y2 ) w( y1 , y2 )
n at n at , T2 n (t ) sin l l t T ( ) t T ( ) * 2n Tn (t ) T1n (t ) f n ( )d T2 n (t ) 1n f ( ) d 0 w( ) 0 w( ) n n a n a sin T1n ( ) T2 n ( ) n a l l w( ) T1n '( ) T2 n '( ) n a n a n a n a l sin cos l l l l n a n a sin cos n at t l f ( )d sin n at t l f ( ) d Tn* (t ) cos n n l 0 n a l 0 n a l l l t n a sin[ (t )] f n ( ) d 0 n a l cos
(二)介绍用两种方法求解非齐次振动方程：傅里叶级数法、冲量定理法 A.首先讨论弦在外力作用下的强迫振动问题 utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0) (1) (2) u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) ( x), u ( x, t ) ( x) (0 x l ) (3) t t 0 t 0 1.傅里叶级数法 根据边界条件(2)可设u ( x, t )的试探解为：u ( x, t ) Tn (t ) sin
其中y1、y2是齐次方程y '' P 1 ( x ) y ' P 2 ( x ) y 0的两个线性无关的特解。 线性无关：指C1 y1 C2 y2 0, 当且仅当C1 C2 0 w( y1 , y2 ) y1 y1 ' y2 y2 ' （朗斯基行列式） 0 ,w 0则y1、y2线性无关。
n 2 2 a 2 比较系数：Tn ''(t ) Tn (t ) f n (t ) ~ 二阶线性常系数非齐次微分方程 2 l 该非齐次方程的通解为对应齐次方程的通解与本身一特解之和构成。 n at n at Tn (t ) Tn 0 (t ) Tn *(t ), Tn 0 (t ) An cos Bn sin l l
0
Байду номын сангаас
Tn (0)和Tn '(0)由初始条件定： n x 2 l n x u ( x, t ) t 0 ( x) Tn (0)sin Tn (0) ( x)sin dx n 0 l l l n 1 n x 2 l n x ut ( x, t ) t 0 ( x) Tn '(0)sin Tn '(0) ( x)sin dx n 0 l l l n 1
8.2 非齐次振动方程和输运方程
教学重点：介绍用傅里叶级数法和冲量定理法求解非齐次振动方程 和输运方程。
(一)关于线性非齐次方程的解的定理（高数3：237） 定理1：线性非齐次方程的通解等于它的任何一个特解与对应齐次 方程的通解之和。y Ay1 +By2 Y ( x) 定理2：线性非齐次方程的特解可由对应齐次方程的基本解组的线性组合 通过求积得到。 对于y '' P 1 ( x ) y ' P 2 ( x) y q ( x) 特解为：Y(x) y1 y2 y1 q ( x)dx y2 q ( x)dx w( y1 , y2 ) w( y1 , y2 )
n at n at l t n a Tn (t ) Tn (t ) Tn *(t ) An cos Bn sin sin[ (t )] f n ( )d 0 l l n a l 确定系数An , Bn . n a l 令t 0, 得Tn (0) An , Tn '(0) Bn Bn Tn '(0) l n a
n 1
n x l
n 2 2 a 2 n x 代入(1)式得： [ T ''( t ) T ( t )]sin f ( x, t ) n n 2 l l n 1
将f ( x, t )展为傅氏级数：f ( x, t )
n 1
n x 2 l n x f n (t ) sin , f n (t ) f ( x, t ) sin dx 0 l l l
Tn (t ) Tn (0) cos
n at l n at l t n a Tn '(0) sin sin[ (t )] f n ( )d 0 l n a l n a l
( B)书P204例1
x 2 解：根据(2)式，可设 u a u A cos sin t (1) xx tt l n x u ( x , t ) T ( t ) cos (2) n u x x 0 0, u x x l 0 l n 0 u ( x), u (3) t t 0 ( x) t 0 代入(1)式得： n2 2 a 2 n x x [ T ''( t ) T ( t )]cos A cos sin t (5) n n 2 l l l n 0 2a2 比较法：T1 ''(t ) 2 T1 (t ) A sin t (6) l n 2 2 a 2 Tn ''(t ) Tn (t ) 0 (n 1)(7) 2 l 对(7)式：n 0, T0 (t ) A0 B0t , 且T0 (0) A0，T0 '(0) B0