可靠性中常用的概率分布
质量管理课程-Weibull分布
案例三
总结词
复杂系统的Weibull分布可靠性评估
详细描述
质量管理课程中，我们还通过案例研究探讨 了复杂系统的Weibull分布可靠性评估。针 对由多个子系统组成的复杂系统，我们首先 识别了各子系统的故障模式和失效机制，然 后使用Weibull分布模型对各子系统的可靠 性进行了评估。最后，我们综合各子系统的 可靠性特征，对整个复杂系统的可靠性进行 了分析和预测。这一案例研究有助于提高我
案例二
总结词
机械部件故障模式的Weibull分布应用
详细描述
在质量管理课程中，我们还探讨了机械部件故障模式的Weibull分布应用。针对不同类 型的机械部件，我们收集了其故障数据，并使用Weibull分布模型进行拟合。通过对比 不同部件的Weibull分布参数，我们分析了各部件的故障模式和可靠性特征，为预防性
Weibull分布的特性
总结词
Weibull分布具有形状参数和尺度参数两个参数，决定了分布 的形状和尺度。
详细描述
Weibull分布有两个参数，一个是形状参数λ（lambda），一个 是尺度参数k。形状参数决定了分布的形状，尺度参数决定了分 布的尺度。当形状参数λ=1时，Weibull分布退化为指数分布。
识别潜在故障模式
通过FMEA分析，识别产品或过程中可能出 现的故障模式。
分析故障影响
评估每种故障模式对产品质量、安全性、可 靠性和其他关键性能指标的影响。
确定风险优先级
根据故障影响程度和发生概率，确定风险优 先级，为改进措施提供依据。
制定预防措施
针对高风险故障模式，制定有效的预防措施， 降低其发生概率或减轻其影响程度。
掌握如何利用软件进行Weibull分布的拟合、分析和绘 图。
概率分布的种类与性质
概率分布的种类与性质概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率。
不同的随机变量具有不同的概率分布，而概率分布又可以分为多种种类。
本文将介绍常见的概率分布种类及其性质。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量取有限个或可数个值的概率分布。
常见的离散型概率分布有以下几种：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是最简单的离散型概率分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果（正面或反面）。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种重要的离散型概率分布，它描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中k=0,1,...,n，C(n,k)为组合数，p为成功的概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中k=0,1,2,...，λ为平均发生率。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量取值为连续区间内的概率分布。
常见的连续型概率分布有以下几种：1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型概率分布，它在给定区间内的取值概率相等。
均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a为区间下界，b为区间上界。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种重要的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线，对称分布于均值周围。
韦伯分布检验
韦伯分布检验
韦伯分布是一种概率分布，用于描述在可靠性工程和寿命检验中常见的可靠性或寿命数据。
韦伯分布检验是一种统计方法，用于检验一组数据是否符合韦伯分布。
以下是韦伯分布检验的一般步骤：
1.收集数据：收集需要进行韦伯分布检验的数据。
这些数据应该是一组寿命时间或可靠性数据，并且需要是连续的数据。
2.数据预处理：对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
确保数据的质量和可靠性。
3.绘制直方图：将预处理后的数据绘制成直方图，观察数据的分布情况。
直方图可以帮助我们初步判断数据是否符合韦伯分布的形状。
4.计算统计量：计算韦伯分布的统计量，包括均值、方差、偏度、峰度等。
将这些统计量与韦伯分布的理论值进行比较，初步判断数据是否符合韦伯分布。
5.进行拟合优度检验：进行拟合优度检验是检验数据是否符合韦伯分布的关键步骤。
常用的拟合优度检验方法包括卡方检验、柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验等。
这些检验方法可以比较实际数据与韦伯分布的理论值，判断数据的拟合程度。
6.判断结果：根据拟合优度检验的结果，判断实际数据是否符合韦伯分布。
如果拟合优度检验的结果表明实际数据与韦伯分布的理论值相似，那么可以认为这组数据符合韦伯分布。
否则，需要进一步考虑其他分布的可能性。
需要注意的是，在进行韦伯分布检验时，选择合适的统计量和检验方法是非常重要的。
同时，要充分理解韦伯分布的性质和特征，以便更好地解释检验结果。
可靠性中常用的概率分布
(3-4)
指数分布的累积分布函数
F(x)=1-e-x
(3-5)
——若产品在一定时间区间内的失效数服从泊松分布，则该产品的 寿命服从指数分布。
3.5 正态分布
正态分布密度函数定义为：
f (x)
1
2
exp
1 2
x
2, x来自其中： －均值， －标准差。
(3-6)
标准正态分布
例如，对于图(下左)中所示的两种分布形式（一种为 Weibull分布，另一种为正态分布），虽然它们的概率密度 函数曲线差别很小，但其累积分布函数（反映可靠性特征） 在小概率区域的差别却十分显著，如图(下右)所示。
Probability density function
Probability
0.35
当 (t) 为常数时，满足上述条件的计数过程 {N (t),t 0} 为
时齐泊松随机过程。
泊松随机过程的概率密度分布
(t) 0.5 h 1
P(m, t )
n
t/h
3.4 指数分布
指数分布的定义
指数分布的密度函数为
e x
f (x) 0
式中为常数，是指数分布的失效率。
(x 0; 0)
(3-3)
P{X k} Cnk pk (1 p)nk
(k 0,1,2,..., n)
泊松过程
泊松随机过程作为一种重要的计数过程， 可以很好地用于描述“顾客流”、“粒子流” 、“信号流”等事件的概率特性。
设 {N(t),t 0} 为一计数过程，且满足以下条件： (1) N(0)=0； (2) {N (t),t 0} 是一个独立增量过程，即任取 0 t1 t2 tm
失效率函数
jmp weibull分布数学概念介绍
jmp weibull分布数学概念介绍
Weibull分布是一种概率分布，常用于描述时间、可靠性和寿命数据。
它由瑞士工程师Ernst H. Weibull在1951年提出，因此得名。
Weibull分布的概率密度函数通常表示为：
f(x) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)
其中，f(x)是随机变量X的概率密度函数，x是随机变量的取值，k是形状参数(shape parameter)，λ是尺度参数(scale parameter)。
形状参数决定了分布的形状，尺度参数决定了分布的尺度。
当形状参数k大于1时，分布呈现递增的曲线，即先增长后减小。
当k小于1时，分布呈现递减的曲线，即先减小后增长。
当k等于1时，分布是指数分布。
Weibull分布的期望值E(X)，方差Var(X)和标准差σ可通过下式得到：
E(X) = λ * Γ(1 + 1/k)
Var(X) = λ^2 * (Γ(1 + 2/k) - (Γ(1 + 1/k))^2)
σ = sqrt(Var(X))
其中，Γ(x)是伽马函数。
Weibull分布常用于可靠性工程和寿命数据分析，可用于评估
产品的可靠性和寿命特性。
同时，Weibull分布还具有广泛的应用领域，如金融、气象、生态学等。
总结起来，Weibull分布是一种常用的概率分布，用于描述时间、可靠性和寿命数据。
它由形状参数k和尺度参数λ决定，具有不同形状的曲线。
可靠性概率分布讲解
关于可靠性分布函数及其工程应用的讨论学号：*********姓名：***目录一、引言 (3)二、分布函数及其应用的讨论 (3)（一）、指数分布 (3)1.定义： (3)2.指数分布的可靠度与不可靠度函数 (4)3.图像分析 (4)4.应用 (5)（二）、正态分布 (6)1.定义： (6)2.正态分布的可靠度与不可靠度函数 (6)3.失效率函数 (6)4.图像分析 (7)5.应用 (8)（三）、对数正态分布 (9)1.定义： (9)2.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数 (9)3.对数正态分布失效率 (9)4.图像分析 (9)5应用 (11)（四）、威布尔分布 (12)1.三参数威布尔分布的定义： (12)2.可靠度与不可靠度函数 (12)3.威布尔分布失效率 (12)4.图像分析 (12)5.应用 (15)三、小结 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、引言可靠性是指产品在规定的条件下，规定时间内，完成规定功能的能力，是对产品无故障工作能力的度量。
可靠性作为衡量产品质量的一个重要的指标，已广泛的应用于各个工程领域。
与可靠性相反，产品丧失规定功能称为失效或故障。
工程机械系统是由零件和部件组成的，零件或部件的失效会导致系统的失效。
然而，失效的原因是多种多样的，如结构缺陷、工艺缺陷、使用不当、老化等等。
引起每种失效的原因也可能是不同的，如性能退化可能由于疲劳、蠕变、裂纹扩展、磨损或者腐蚀等导致的[1]。
实践表明，系统或零、部件的失效时间往往是不确定的，要定量描述系统或零、部件的失效时间，应当采用统计学方法。
将失效时间作为一个随机变量，用一个恰当的概率分布函数去描述它。
从数据的统计分析中找出产品寿命分布的规律，是进一步分析产品故障，预测故障发展，研究其失效机理及制定维修策略的重要手段。
可靠性分析与评估是可靠性分析中非常重要的一部分，它是指在产品的寿命周期内，根据产品的可靠性分布模型、结构，以及相关的可靠性信息，利用统计方法，对产品的可靠性指标做出估计的过程。
理解概率分布函数常见分布公式详解
理解概率分布函数常见分布公式详解概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）是描述随机变量取值概率分布的函数，常用于统计学和概率论中。
在统计学中，常见的概率分布函数有众多的公式。
本文将详细解释几种常见的概率分布函数公式，包括均匀分布、正态分布、指数分布和泊松分布。
一、均匀分布均匀分布是最简单的概率分布函数之一，它在一个有限区间内的取值是均匀分布的。
均匀分布的概率密度函数公式为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别是区间的上下界。
均匀分布的期望值（均值）为（a + b）/ 2，方差为（b - a）^2 / 12。
二、正态分布正态分布是自然界和社会现象中常见的概率分布函数。
它在统计学中有着重要的地位。
正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x - μ)^2/(2σ^2)))其中，μ是期望值（均值），σ是标准差。
正态分布的期望值和方差分别为μ和σ^2。
三、指数分布指数分布是描述事件发生的时间间隔的概率分布函数，常用于可靠性工程和排队论中。
指数分布的概率密度函数公式为：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是事件发生率。
指数分布的期望值为1 / λ，方差为1 / λ^2。
四、泊松分布泊松分布是描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布函数，常用于描述稀有事件的发生情况。
泊松分布的概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）公式为：P(X = k) = (λ^k * exp(-λ)) / k!其中，λ是单位时间或空间内事件的平均发生率。
泊松分布的期望值和方差均为λ。
以上是几种常见的概率分布函数公式的详细解释。
这些概率分布函数在不同领域的应用非常广泛，能够描述和解释各种随机现象的概率分布情况。
可靠性基本概念
可靠性设计主要符号表可靠性的概念可靠性的经典定义：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力产品：指作为单独研究和分别试验对象的任何元件、设备或系统，可以是零件、部件，也可以是由它们装配而成的机器，或由许多机器组成的机组和成套设备，甚至还把人的作用也包括在内。
在具体使用“产品”这一词时，其确切含义应加以说明。
例如汽车板簧、汽车发动机、汽车整车等。
规定条件：一般指的是使用条件,环境条件。
包括应力温度、湿度、尘砂、腐蚀等，也包括操作技术、维修方法等条件。
规定时间：是可靠性区别于产品其他质量属性的重要特征，一般也可认为可靠性是产品功能在时间上的稳定程度。
因此以数学形式表示的可靠性各特征量都是时间的函数。
这里的时间概念不限于一般的年、月、日、分、秒，也可以是与时间成比例的次数、距离。
例如应力循环次数、汽车行驶里程。
规定功能：道德要明确具体产品的功能是什么，怎样才算是完成规定功能。
产品丧失规定功能称为失效，对可修复产品通常也称为故障。
怎样才算是失效或故障，有时很容易判定，但更多情况则很难判定。
当产品指的是某个螺丛，显然螺栓断裂就是失效；当产品指的是某个设备，对某个零件损坏而该设备仍能完成规定功能就不能算失效或故障，有时虽有某些零件损坏或松脱，但在规定的短时间内可容易地修复也可不算是失效或故障。
若产品指的是某个具有性能指标要求的机器，当性能下降到规定的指标后，虽然仍能继续运转，但已应算是失效或故障。
究竟怎样算是失效或故障，有时要涉及厂商与用户不同看法的协商，有时要涉及当时的技术水平和经济政策等而作出合理的规定。
能力：只是定性的理解是比较抽象的，为了衡量检验，后面将加以定量描述。
产品的失效或故障均具有偶然性，一个产品在某段时间内的工作情况并不很好地反映该产品可靠性的高低，而应该观察大量该种产品的工作情况并进行合理的处理后才能正确的反映该产品的可靠性，因此对能力的定量需用概率和数理统计的方法。
按产品可靠性的形成，可靠性可分为固有可靠性和使用可靠性。
二参数威布尔分布
二参数威布尔分布
二参数威布尔分布是一种常见的概率分布，也是一种可靠性分析中常用的分布。
它的概率密度函数为：
$$f(x)=frac{beta}{alpha}(frac{x-gamma}{alpha})^{beta-1}exp[ -(frac{x-gamma}{alpha})^{beta}]$$
其中，$alpha$ 和 $beta$ 分别是形状参数和尺度参数，$gamma$ 是位移参数。
二参数威布尔分布的特点是它的故障率函数是单峰的，并且可以描述一些具有逐渐加速的失效率的系统。
该分布在可靠性分析、风险评估、医学统计学等领域有广泛应用。
二参数威布尔分布的参数估计可以使用最大似然估计法或贝叶
斯估计法。
在实际应用中，我们可以使用统计软件对数据进行分析，并得到相应的分布参数，从而进行可靠性分析和风险评估。
- 1 -。
可靠性
2.1 可靠性的定义和要点定义：产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的能力。
要点：1) 产品：任何设备、系统或元器件。
2) 规定条件：包括使用时的环境条件和工作条件。
环境条件：温度、湿度、振动、冲击、辐射等；工作条件：维护方法、储存条件、操作人员水3) 规定时间：产品的规定寿命。
4) 规定功能：产品必须具备的功能和技术指标。
2.2 可靠性特征量定性的概念故障：产品丧失规定的功能。
失效：不可修复或不予修复产品出现的故障。
维修：保持或恢复产品完成规定功能而采取的技术管理措施。
维修性：可维修产品在规定时间内，按照规定的程序或方法进行维修，使其恢复到完成规定功能的可能性。
可用性(可利用度或有效度)：可维修产品在某时刻所具有的，或能维持规定功能的可能性。
定量的概念（可靠性指标）:以上统称为可靠性尺度。
可靠度：产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率。
它是时间的函数。
例2-1 某批电子器件有1000个，开始工作至500h内有100个损坏，工作至1000h共有500个损坏，求该批电子器件工作到500h和1000h的可靠度。
解：由可靠度公式:有2 失效概率密度f(t)失效概率密度函数f(t)的观测值为产品在单位时间内失效个数占产品总数的概率，即：失效概率密度函数与不可靠度和可靠度的关系为: 3 失效率λ(t)定义：当产品工作到t 时刻，在此后的单位时间内发生失效 的概率，也称为故障率。
数学表达式:失效率的统计观测值:结合以上两式：将前式从0到t 积分，则得：于是得:上式称为可靠度函数R(t)的一般方程。
当λ(t)为恒定值时， 就是指数分布可靠度函数的表达式。
说明：(1)R(t)，F(t)，f(t)，λ(t)可由1个推算出其余3个。
(2)R(t)，F(t)是无量纲量，以小数或百分数表示。
f(t)， λ(t)是有量纲量，以1/h 表示。
比如，某型号滚动轴承的失 效率为λ(t)=5*10-5/h ，表示105个轴承中每小时有5个失 效，它反映了轴承失效的速度。
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用1. 常数分布（Constant distribution）：概率密度函数（Probability Density Function，PDF）为常数，表示特定区间内的概率相等。
这种分布常用于模拟实验或作为基线分布进行比较。
2. 均匀分布（Uniform distribution）：概率密度函数为一个常数，表示在特定区间内的各个取值的概率相等。
均匀分布经常用于随机抽样，以确保样本的代表性。
3. 二项分布（Binomial distribution）：概率密度函数描述了进行n次独立二类试验中成功次数的概率分布。
二项分布在实验设计、质量控制和市场研究中广泛应用。
4. 泊松分布（Poisson distribution）：5. 正态分布（Normal distribution）：概率密度函数为指数函数形式，常用来描述自然界中众多连续变量的分布，例如身高、体重等。
正态分布在统计学和金融学中广泛应用。
6. χ2分布（Chi-square distribution）：概率密度函数描述了n个独立标准正态分布随机变量的平方和的分布，是假设检验和方差分析中常用的分布。
7. t分布（t-distribution）：概率密度函数描述了标准正态分布随机变量与一个自由度为n的卡方分布随机变量的比值的分布。
t分布在小样本推断和回归分析中常用。
8. F分布（F-distribution）：概率密度函数描述了两个自由度为m和n的卡方分布随机变量的比值的分布。
F分布在方差分析、回归分析和信号处理中常应用。
9. 负二项分布（Negative binomial distribution）：概率密度函数描述了进行一系列独立二类试验中直到第r次取得第k 次成功的概率。
负二项分布在可靠性工程和传染病模型中常用。
10. 伽马分布（Gamma distribution）：概率密度函数描述了多个指数分布随机变量的和的分布，常被用于描述连续事件的时间间隔。
gamma分布和正态分布 卡方分布
gamma分布和正态分布卡方分布Gamma分布、正态分布和卡方分布是统计学中常见的概率分布模型，它们在不同领域和应用中都发挥着重要作用。
本文将深入探讨这三种分布的定义、特性、应用以及它们之间的关系。
一、Gamma分布定义：Gamma分布是一种连续概率分布，常用于描述随机事件的等待时间或事件发生次数。
特性：Gamma分布由两个参数形成，形状参数（shape parameter）和尺度参数（scale parameter），其中形状参数决定了分布的形状，尺度参数影响了分布的尺度。
应用：在可靠性工程、医学统计学等领域，Gamma分布常用于建模寿命数据、医学测试结果等。
二、正态分布定义：正态分布，又称高斯分布，是一种连续概率分布，其特点是对称、钟形曲线。
特性：正态分布由两个参数完全确定，均值和标准差，其中均值决定了分布的位置，标准差决定了分布的分散程度。
应用：正态分布在自然界、社会科学、工程等领域有广泛应用，例如测量误差、考试成绩等。
三、卡方分布定义：卡方分布是一种特殊的概率分布，常用于统计推断，尤其是卡方检验。
特性：卡方分布的参数为自由度，自由度决定了分布的形状，当自由度增加时，卡方分布逐渐趋近于正态分布。
应用：卡方分布广泛用于统计学中的假设检验，例如拟合优度检验、独立性检验等。
四、比较与关系相互关系：当自由度为偶数时，卡方分布的平方根服从自由度为偶数的正态分布。
Gamma 分布可以被视为卡方分布在某些条件下的特例。
形状差异：正态分布为对称的钟形曲线，而Gamma分布和卡方分布的形状取决于其参数，可能呈现偏斜或右偏的形状。
应用场景：正态分布常用于描述连续型变量，而Gamma分布常用于描述等待时间或计数型变量。
卡方分布则更侧重于假设检验。
五、结论Gamma分布、正态分布和卡方分布是统计学中重要的概率分布模型，它们各自具有独特的特性和应用场景。
深入理解这三种分布的性质和相互关系，有助于在不同统计问题中选择适当的分布模型，提高统计推断的准确性和可靠性。
可靠性工程师考试资料
一、可靠性概论1.1 可靠性工程的发展及其重要性1、可靠性工程起源与第二次世界大战（日本，齐藤善三郎）。
20 世纪60 年代是可靠性全面发展的阶段，20 世纪70 年代是可靠性发展步入成熟的阶段,20 世界80 年代是可靠性工程向更深更广的方向发展。
2、1950 年12 月，美国成立了“电子设备可靠性专门委员会”,1952 年8 月，组成“电子设备可靠性咨询组（AGREE) ，1957 年 6 月发表《军用电子设备可靠性》, 标志着可靠性已经成为一门独立的学科，是可靠性发展的重要里程碑。
3、可靠性工作的重要性和紧迫性：①武器装备的可靠性是发挥作战效能的关键，民用产品的可靠性是用户满意的关键②成为参与国际竞争的关键因素③是影响企业盈利的关键④是影响企业创建品牌的关键⑤是实现由制造大国向制造强国转变的必由之路。
4、可靠性关键产品是指一旦发生故障会严重影响安全性、可用性、任务成功及寿命周期费用的产品、价格昂贵的产品。
1.2 可靠性定义及分类1、产品可靠性指产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力. 概率度量成为可靠度. 2、寿命剖面是指产品从制造到寿命终结或退出使用这段时间内所经历的全部事件和环境的时序描述，包含一个或几个任务剖面。
任务剖面是指产品在完成规定任务这段时间内所经历的事件和环境的时序描述。
3、产品可靠性可分为固有和使用可靠性，固有可靠性水平肯定比使用可靠性水平高. 产品可靠性也可分为基本可靠性和任务可靠性。
基本可靠性是产品在规定条件下和规定时间内无故障工作的能力，它反映产品对维修资源的要求。
任务可靠性是产品在规定的任务剖面内完成规定功能的能力。
同一产品的基本可靠性水平肯定比任务可靠性水平要低。
1.3 故障及其分类1、故障模式是指故障的表现形式，如短路、开路、断裂等。
故障机理是指引起故障的物理、化学或生物的过程。
故障原因是指引起故障的设计、制造、使用和维修等有关的原因。
2、非关联故障是指已经证实未按规定的条件使用而引起的故障，或已经证实仅属某项将不采用的设计所引起的故障，关联故障才能作为评价产品可靠性的故障数。
常见概率分布 应用场景
常见概率分布应用场景
常见的概率分布主要包括：二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布和伽马分布等。
这些概率分布在不同的领域和场景中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 二项分布：在二项试验中，每次试验只有两个结果，成功和失败。
二项分布常用于描述一系列独立重复的试验中成功次数的概率分布，例如投硬币、掷骰子等。
2. 泊松分布：泊松分布常用于描述单位时间或单位面积内某个事件发生的次数的概率分布。
例如描述单位时间内电话呼入量的分布、单位面积内事件发生的频率等。
3. 正态分布：正态分布（高斯分布）是最常见的连续型概率分布，常用于描述各种自然现象的变量，如身高、体重、测试成绩等。
在统计学和随机过程中也广泛应用，如回归分析、假设检验、随机游走等。
4. 指数分布：指数分布用于描述连续随机变量的时间间隔或寿命的概率分布。
经常应用于可靠性工程、生存分析等领域，如设备故障发生的时间、产品寿命等。
5. 伽马分布：伽马分布常用于描述连续随机变量的等待时间的概率分布。
在可靠性工程、排队论、风险分析等领域中有广泛应用。
例如等待时间、服务时间等。
除了上述常见的概率分布外，还有其他一些概率分布如贝努力
分布、几何分布、均匀分布等也有各自的应用场景。
不同的概率分布适用于不同的实际问题，选择正确的概率分布对于分析和解决问题非常重要。
可靠性概论
图1-14（ b）所示为形状参数m=2和尺度参数η=1（曲 14 线分布宽度）时，位置参数δ不同时的曲线分布图。由图 可见，曲线的形状、分布宽度不变，只是曲线在横坐标上 的位置改变。
图114(b)m 2, 1时不同 (位置)的f (t)
图1-14（ c）所示为形状参数m = 2和位置参数δ= 0时， 15 尺度参数η（曲线分布宽度）不同时的曲线分布图。由图可 见，η↓→ 曲线宽度↓→ f (t )↑。
根据条件概率
R(t0
t)
P(T
t0
t
T
t0 )
P(T
t0 t,T P(T t0 )
t0 )
P(T t0 t) P(T t0 )
R(t0 t) R(t0 )
e-(t0 t) et0
e-t0 et
e-t0
e-t
R(t) P(T
t)
返回1
二、威布尔分布
11
威布尔分布在可靠性理论中是适用范围较广的一种 分布。
t = θ(平均寿命)。
5
(1 -19)
4. 指数分布的失效率函数λ(t)
6
(t) 常数
（1- 20）
指数分布的失效率函数的图形如图1－13所示。
5. 指数分布的平均寿命θ（MTTF或MTBF）
7
对可修产品一般用MTBF 表示平均寿命θ，称“平均无
故障工作时间”
对可不修产品一般用MTTF 表示平均寿命θ，称“失效 前的平均工作时间”
值可查附表1求得（见下页）。
图1-19正态分布的累积 失效概率函数
26 摘自附表1正态分布表
3.正态分布的可靠度函数 R（t）
27
工程可靠性选讲(2)：重力荷载的概率分布
试验观察 样本 {X1, X 2,, X n}
客观世界
数学模型
由直方图推断 fX (x)
fX (x) x
X
=
1 n
∑
X
i
∑
= S 2
1 n −1
(Xi − X )2
统计估计
均值 µ ≈ X 方差 σ 2 ≈ S 2
随机变量模型的统计建模过程
次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
注意到平稳二项过程中荷载出现与否与荷载出现幅值大小彼 此独立，故
F= ∆ti (a) P(Q(t) ≤ a, t ∈ ∆ti ) = pF (a) +=q pF (a) + (1− p)
=1− p[1− F (a)] 因此有
FM (a) ={1− p[1− F (a)]}r
令 m = p r 为在 [ 0, T ]上出现 R ( t) > 0 的次数，则可证明下式近似成立：
荷载间隔(kN) 出现次数 出现频率
82.25~83.25 1 83.25~84.25 7 84.25~85.25 11 85.25~86.25 6 86.25~87.25 2
0.037 0.259 0.407 0.222 0.074
反映荷载变异性的概率模型
1、随机变量模型
常见的随机变量模型： （１）正态分布； （２）对数正态分布； （３）极值Ｉ型分布
k 0=k 0
(a)]k +1
(λT )k
k!
e−λT
∑ = F (a)e−λT ∞ [λT = ⋅ F (a)]k F (a)e−λT ⋅ eλTF (a)
k =0
k!
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名
称记号概率分布及其定义域、参数
条件
均值
E(X)
方差
D(X)
图形
二
项
分
布
np npq
二项分布：当进行一种试验只有两种可能的结果时，叫成败型试验。
在可靠性工程中，二项分布可用来计算部件相同并行工
作冗余系统的成功概率，也适用于计算一次使用系统的成功概率。
返回
可靠性中常用的概率分布
名称记号概率分布及其定义域、参
数条件
均值
E(X)
方差
D(X)
图形
泊松
分布
P（λ）
λλ
泊松分布：一个系统，在运行过程中由于负载超出了它所能允许的范围造成失效，在一段运行时间内失效发生的次数X是一
随机变量，当这随机变量有如下特点时，X服从泊松分布。
特点1：当时间间隔取得极短时，智能有0个或1个失效发生；特点2：出
现一次失效的概率大小与时间间隔大小成正比，而与从哪个时刻开
始算起无关；特点3：各段时间出现失效与否，是相互独立的。
例
如：飞机被击中的炮弹数，大量螺钉中不合格品出现的次数，数字
通讯中传输数字中发生的误码个数等随机变数，就相当近似地服从
泊松分布。
名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值
E(X)
方差D(X)图形
超几何分
布
H(n,M,N)
返回
可靠性中常用的概率分布名
称记号概率分布及其定义域、参数条件
均值
E(X)
方差
D(X)
图形
指
数
分
布
e(λ)
指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。
有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。
它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。
指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。
可靠性中常用的概率分布
名称记号概率分布及其定义域、
参数条件
均值E(X)方差D(X)图形
威布尔分
布(Ⅲ型极
值分
布)W(k,a,b)
威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率纸很容
易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿命试验的数据处
理。
可靠性中常用的概率分布
名称记号概率分布及其定义
域、参数条件
均值
E(X)
方差
D(X)
图形
正态分
布(高斯
分
布)N(μ,σ)
μσ2
正态分布：是在机械产品和结构工程中，研究应力分布和强度分布时，最常用的一种分布形式。
它对于因腐蚀、磨损、疲劳而引起的失效分布特别有用。