2014北京市朝阳区高考数学(文)二模试题(附答案)

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5 （考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）若全集{}

,,,U a b c d =，

{}

,A a b =，

{}

B c =，则集合

{}d 等于

（A ）

()U A B ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U A

B ð （2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为

（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2x y =

（3）已知抛物线2

2x y =,则它的焦点坐标是

（A ）1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫ ⎪

⎝⎭

（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是

（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5 （5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界) 用不等式组可表示为

（A ）

10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪

+-≤⎨⎪≥⎩

（B ）

10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≥⎩

（C ）

10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪≤⎩

（D ）

10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪

+-≤⎨⎪≤⎩

（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为

（A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12

（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1

1a d ==，则8

n n S a +的最小值为 （A ）10 （B ）92 （C ）72 （D ）1

2+

( 8 )已知平面上点

{2200(,)()()16,

P x y x x y y ∈-+-=其中

}

22004x y +=，当

0x ，0y 变

化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是

(A) 4π (B) 16π

( C) 32π （D ）36π

第二部分（非选择题

共110分）

二、填空题：本大题共

6小题，每小题5分，共

30

分．把答案填在答题卡上．

9.计算12i

1i

+=

-

.

10.已知两点()

1,1A ，

()

1,2B -，若

1

2BC BA =

，则C 点坐标

是 .

11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．

12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是 ；表面积是 ．

13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m . 14.在如图所示的棱长为2的正方体

1111ABCD A B C D -中，作与平面

1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___；

截得的平面图形中面积最大的值是___.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题满分13分）

在

ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =，

π3A =

.

（Ⅰ）若b =C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求边b 的长.

16. （本小题满分13分）

某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段

75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单

位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少

A 2

2

俯视图

侧视图

正视图

（第12题图）

于90小时的学生人数；

（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率． 17. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平

面PAD ；

（Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；

（Ⅲ）若PA PD AD

==，

求证：平面PAB ⊥平面PCD ． 18.（本小题满分13分）

已知函数

e ()x

a f x x ⋅=

（a ∈R ,0a ≠）. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点

()1,(1)f 处切线的方程；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）当

()

0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1

2，右焦点到右顶点的距离为1.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使

O A O B O A O B

+=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分13分）

已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1

()0

2f =，数列{}n

a 满足：

()n a f n =，*n ∈N .

（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;