系统动力学2——微分方程40页
第二章动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。
在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。
在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。
在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。
§2.1 动力学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。
1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。
惯量（质量）=）加速度（力（2/)s m N 惯量（转动惯量）=）角加速度（力矩（2/)s rad m N ⋅2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。
按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。
对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。
x k F ∆=这里k 称为弹簧刚度，x ∆是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。
3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。
阻尼力通常表示为：αxc R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。
当1=α，为线性阻尼模型。
否则为非线性阻尼模型。
应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为：||1--=αx xc R 这里的“-”表示与速度方向相反§2.2 动力学建模基本定理1 动力学普遍定理对于大多数力学问题，可以使用我们熟知的牛顿动力学基本定理来解决，动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是比较直观，针对不同的问题可以选择不同的力学定理，在一般情况下利用普遍定理可以得到大多数动力学系统的数学模型。
系统动力学课程PPT共五章全
思维模型－－因果回路图－－ 流图－－ DYNAMO－－计算机模型
17
第三章 系统动力学的建模基础
3.1 思维模拟与决策陷阱 系统问题： 直觉对策： 环境污染严重 关闭工厂 乘车难 增加公共车辆 犯罪率增长 加强警力 货币供求矛盾增加 增印纸币 水产品供应不足 扩大捕捞量 知识贬值 紧缩教育投资 产品质量低下 增加广告 住房紧张 占田建房
x 指数增长 有极限增长
38
t
(1)基本正反馈模块 现象:谣言传播、企业产值增长、通货膨胀、 知识积累等 特点：非稳定、自增长、自循环
知识积累的正反馈关系
基本正反馈模块流图
39
动力学方程：
dx/dt=RT， RT =k1x， x（0）=x0， k1>0
解得：
x(t)=x0eK1t = x0et/T1
3)积分表达: LEV(t)=∫ [IR(t)-OR(t)]dt （2）速率变量（流率，Rate Variable R）
R LEV
k A
R=f(k,H,LEV,A)
27
（3）辅助变量（auxiliary variable， A)
LEV
k A
A=k*(H-LEV)
H
（4）源（Source、汇Sink)
LEV RATE
或 L(t) → R(t) → R(L)
L,R R
L(t)
R(t) 0 (a) t 0 (b) L*
33
L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图解法的基本特点： （1）既可用于分析过程有可用于综合过程 三张图象中任意给定一张可画出另外两张。 （2）求解过程的规范性 （3）轮廓性求解（精度不高） （4）难于应用于两阶以上的高阶系统。
第二章：动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。
在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。
在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。
在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。
§2.1 动力学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。
1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。
惯量（质量）=）加速度（力（2/)s m N 惯量（转动惯量）=）角加速度（力矩（2/)s rad m N ⋅2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。
按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。
对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。
x k F ∆=这里k 称为弹簧刚度，x ∆是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。
3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。
阻尼力通常表示为：αxc R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。
当1=α，为线性阻尼模型。
否则为非线性阻尼模型。
应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为：||1--=αx xc R 这里的“-”表示与速度方向相反§2.2 动力学建模基本定理1 动力学普遍定理对于大多数力学问题，可以使用我们熟知的牛顿动力学基本定理来解决，动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是比较直观，针对不同的问题可以选择不同的力学定理，在一般情况下利用普遍定理可以得到大多数动力学系统的数学模型。
系统动力学.ppt
0
0
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30 45 Time (Month)
60
张学民 xzhang2000@
管理科学与工程学科
系统动力学
一阶反馈系统的复杂性 –– 新假设
buy rate 6 4.5
14
3
1.5
0 1 19 37 55 Buyers (person) 73 91
• 左半段曲线的斜率为正，表明两个反馈环中正反馈环起主导作用 • 左半段曲线的斜率随着水平变量Buyers的增加而递减至零，意味着正反馈环的 力量逐渐削弱，水平变量Buyers的行为呈亚指数增长的特性，购买率buy rate则 随着Buyers的增长而增至其最大值 • 右半段曲线的斜率为负，且其绝对值随着水平变量Buyers的增加由零逐渐递增 的，表明负反馈环不仅起了主导作用，而且其力量在不断加强， • 水平变量Buyers的行为呈超渐近增长的特性，购买率buy rate则随着Buyers的增 长由最大值逐渐衰减至零
19
指数增长行为
渐近衰减行为
恒值行为
恒值行为
指数崩溃行为
渐近增长行为
一阶线性正反馈系统 可能有的三种行为模式
一阶线性负反馈系统 可能有的三种行为模式
张学民 xzhang2000@
管理科学与工程学科
系统动力学
非线性与主导反馈环的转移
20
• 复杂系统内部存在相互作用的或正或负的多重反馈环。 • 所谓主导反馈环就是在多重反馈环中起主导作用的反馈环。 • 当系统行为表现出指数增长(或指数崩溃)特性时，可以推断系统中必定 存在正反馈环，并且正起着主导作用。 • 当系统行为表现出寻找目标特性时，则可以推断系统中必定存在负反馈 环，并且正起着主导作用。 • 系统行为是由多重反馈环相互作用共同产生的，其行为模式主要由主导 反馈环决定。 • 主导反馈环并非是固定不变的，它(们)往往随着系统状态的变化而在各 反馈环中转移，由此产生了多种多样的复杂的系统行为。 • 实际系统几乎都具有非线性的特征。非线性关系是导致主导反馈环极性 转移的根本原因。 • 不仅要研究正反馈环或负反馈环的作用，而且要研究主导反馈环转移的 作用。 • S型增长是主导反馈环由正反馈环向负反馈环转移的实例。
系统动力学.ppt
• 动 态 ( Dynamic ) 即 系 统动力学所包含的量 是随时间变化的，能 以时间为坐标的图形 表示。譬如，人口的 增长，就业人数的增 减，城镇与农村的生 活质量和物价的涨落 等都是动态问题。学 习定义动态问题的技 巧是学习系统动力学 的第一步。
一、流体力学与系统动力学
• 古典流体力学是系统动力学的重要理论基础之一 。流体力学是研究流体处于平衡和运动时的力学 规律，以及这些规律在工程上的实际应用。系统 动力学根据流体力学原理，把社会中流动的物质 和信息比拟成流体力学中的流体，例如，水流， 流体在自然界或者人造容器中流动，产生流、流 速、积累(水平)、压力、延迟等现象。同样，系 统动力学中也用流、流速、积累、压力、延迟等 概念来描绘社会经济系统中物质和信息的流动， 这就形成系统流体动力学。
R1
库存L
R2
怎样计算水平变量？
Lim dL
dt
dt 0
L(t
dt) dt
L(t)
R1
R2
L(t dt) L(t) dt(R1 R2 )
用DT近似表示dt ，上式写成
L(t DT ) L(t) DT (R1 R2 )
一阶差分方程，符号DT表示时间的差分，即两 次计算之间时间间隔的长度。
第7章 系统动力学 (System Dynamics)
• 系统动力学原理 • 建模基本步骤 • VensimPLE软件
参考文献
• 王其藩.系统动力学.北京:清华大学出版社， 1984,1988,1994.
• 都兴富.系统动力学原理及其应用.成都:西南财经大学出 版社，1989.
• 徐建华.现代地理学中的数学方法.北京:中国高等教育出 版社,2002.
系统动力学第二章(1)PPT课件
南京农业大学管理工程系
Nanjing Agricultural University Department of Management Engineering
1
本章主要内容
2.1 系统与模型 2.2 反馈系统 2.3 系统的结构 2.4 系统的行为模式 2.5 系统的描述 2.6 SD理论的基本观点及与其他学科的关系 2.7 系统动力学的方法、过程和步骤
2、反馈系统与反馈回路
➢ 反馈系统
室温
期望室温
—
库存
+
加热器
—+
温度继电器
货物到达
图2.3 恒温系统图
+
生产
图2.4 库存-订货控制系统
发货
期望库存
—+
定货
17
2.2 反馈系统
3、反馈的作用与反馈系统的分类
➢ 反馈的作用 朝着期望目标方向调节自身的行为。
➢ 反馈的类型
根据反馈过程的特点，反馈可分为正反馈和负反馈两种。
负反馈系统（寻的系统）：负反馈回路起主导作用的系统。
加热器
室温 —
期望室温
温度继电器
图2.6 空调系统
21
2.3 系统的结构
➢ 系统的结构含义包括两个方面：一是指组成系统的单元（子 结构）及其相互关系；二是指系统内部的反馈回路结构及其 相互作用（SD观点） 。
➢ 系统的结构涉及内容： ①系统S的界限； ②元素、子系统、子结构Si (i=1,2,…,p)； ③反馈回路结构Ej (j=1,2,…,m)； ④反馈回路的组成与从属成分
8
2.1 系统与模型
1、系统
➢ 系统的分类
系统动力学2——微分方程
λ (日接触率 ↓ → tm↑ 日接触率)↓ 日接触率
病人治愈成 模型3 传染病无免疫性——病人治愈成 模型 传染病无免疫性
为健康人， 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
） 增加假设 3）病人每天治愈的比例为µ µ ~日治愈率 日 建模
N [i (t + ∆t ) − i (t )] = λNs (t )i (t ) ∆t − µ Ni (t ) ∆t
相轨线
s = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0 i
1
1
D = {( s , i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1} 在D内作相轨线 i ( s ) 内作相轨线 的图形， 的图形，进行分析
D 0
s
1
<
>
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
SIR模型 模型
F = ma ,得 m
dv = − mg sin ϕ dt
即
d 2ϕ ml 2 = −mg sin ϕ dt
ϕ
d 2ϕ g ∴ 2 = − sin ϕ ………………(2) l dt
<
>
如果只研究摆的微小振动，即当 ϕ 比较 小时，我们可以取 sin ϕ 的近似值 ϕ 代入方程(2)，即 sin ϕ ≈ ϕ . 故微小振动时摆的运动方程为
6. 通解与特解 把含有 n 个独立的任意常数 c1 , c2 ,⋯, c n 的解
y = ϕ ( x, c1 , c 2 , ⋯ , c n )
称为 n 阶方程(4)的通解.
<
>
4. 线性与非线性
dy dny 如果方程(4)的左端为 y 及 ,⋯, n 的一次有理整式，那么(4) dx dx
系统动力学模型教学课件
THANKS
感
系统动力学模型在可持续发展领域的应用
总结词
随着可持续发展理念的深入人心，系统动力 学模型将在可持续发展领域发挥更大的作用， 为解决环境、经济和社会问题提供有力支持。
详细描述
系统动力学模型可以用于研究可持续发展中 的复杂问题，如气候变化、资源利用和人口 发展等。通过模拟不同政策或措施对可持续 发展的影响，系统动力学模型可以为政策制 定者提供决策支持，促进可持续发展目标的
02
系力学模型的基本念
系统元素
变量
状态变量
速率变量
辅助变量
系统中随时间变化的因 素，可以是状态变量、 速率变量或辅助变量。
描述系统状态变化的变 量，其值在特定时刻确定。
描述状态变量变化速率 的变量，即状态变量的
导数。
用于描述系统内部机制 或相互作用的变量。
系统结构
01
02
03
04
反馈回路
描述系统内部各元素之间相互 作用的路径，是系统行为产生
04
系力学模型的分析法
仿真分析
总结词
仿真分析是系统动力学模型的核心分析方法，通过构建模型 并模拟系统行为，帮助理解系统的动态特性和行为模式。
详细描述
仿真分析基于系统动力学模型，通过设定不同的参数和初始 条件，模拟系统在不同情况下的行为表现。通过比较模拟结 果和实际数据，可以对系统的未来行为进行预测，并评估不 同政策或策略对系统的影响。
系统动力学模型的应用领域
总结词
系统动力学模型在多个领域都有广泛的应用，如企业 管理、城市规划、生态保护等。
详细描述
在企业管理领域，系统动力学模型可以用于研究企业的 战略规划、市场营销、生产管理等各个方面，帮助企业 优化资源配置，提高管理效率。在城市规划领域，系统 动力学模型可以用于研究城市的人口、经济、环境等各 个方面的动态行为和发展趋势，为城市规划提供科学依 据。在生态保护领域，系统动力学模型可以用于研究生 态系统的结构和功能，预测生态系统的发展趋势和变化 规律，为生态保护提供技术支持。
微分方程与动力系统的分析与计算
微分方程与动力系统的分析与计算微分方程与动力系统是数学中重要的研究领域，其在科学和工程中具有广泛的应用。
通过对微分方程进行分析与计算，我们可以研究和预测系统的行为和性质。
本文将介绍微分方程与动力系统的基本概念和方法，并探讨其在不同领域中的应用。
一、微分方程的基本概念与分类1.1 微分方程的定义与表示微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般可以用f(x, y, y', y'', ...) = 0来表示，其中y是未知函数，x是自变量，y'、y''等表示y的导数。
1.2 微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中的未知函数仅取决于一个自变量，而偏微分方程中的未知函数则取决于多个自变量。
二、微分方程的分析与计算方法2.1 解析解与数值解求解微分方程的方法可以分为解析解和数值解两种。
解析解通过推导和求解方程得到的解析表达式，而数值解通过数值计算方法得到近似解。
2.2 常微分方程的解法常微分方程的解法包括分离变量法、线性微分方程的常数变易法、齐次线性微分方程的特征方程法等。
2.3 偏微分方程的解法偏微分方程的解法涉及到分离变量法、特征线法、变换法等。
三、动力系统的基本概念与性质3.1 动力系统的定义与描述动力系统是描述随时间变化的系统的数学模型，由状态空间和演化规律构成。
可以通过微分方程的方式来描述系统的演化过程。
3.2 动力系统的稳定性动力系统的稳定性是指系统在扰动下是否趋于平衡状态。
可以通过线性稳定性分析、李雅普诺夫稳定性理论等方法来判断系统的稳定性。
四、微分方程与动力系统的应用4.1 自然科学中的应用微分方程与动力系统在物理学、化学等自然科学中具有广泛的应用。
例如，通过微分方程可以描述物体的运动、电路中的电流和电压等现象。
4.2 工程技术中的应用微分方程与动力系统在工程领域中也有重要的应用。
例如，通过微分方程可以描述电路的动态行为，控制系统的稳定性等。
系统动力学
例： 人口子系统的因果关系图
根据实际意义，分析顶点间的关联关系，建立 因果关系。
三、系统动力学流图模型
因果关系图：刻划两个变量的关联关系，解 决了当一个变量增加时，与它成因果关系的变量 是增加还是减少的问题。 但如何建立两个变量的量的关系？
通过绘制流图和写动力学方程统的一种模型， 它有效地解决了这一个问题。
因果关系图
定义：在系统中，若t时刻要素变量vj(t) 随vi(t)而变化，则称vi(t)到vj(t)存在因果链 vi(t)→vj(t), t∈T。 例如：年出生人口v2(t)→人口v1(t)
因果链极性
定义：设存在因果链vi(t)→vj(t), t∈T。 ①若任t∈T， vi(t)任增量Δvi(t)＞0,存在对应 Δvj(t)＞0,则称在时间区间T内，vi(t)到vj(t)的因果 链为正，记为vi(t)→vj(t), t∈T。 ②若任t∈T， vi(t)任增量Δvi(t)＞0,存在对应 Δvj(t) ＜ 0,则称在时间区间T内，vi(t)到vj(t)的因 果链为负，记为vi(t)→vj(t), t∈T。
流图提供了新的思想方法
用流位和流率描述系统 任何系统本质量只是两类：
一类是积累变量－－对应积分 一类是积累变量的对应速度变量－－对应微分
分析
因果关系图中的要素必须满足以下两个条件： 1、单位一定要明确。 在经济管理系统中，有时候，一些量的单位不明 确，我们建立因果关系时，就应该设计单位。 如，一些心理学方面的变量可被看作是具有压力 或压强的单位量。有的变量要素可以为无量纲(如比 例等)。 2、因果关系图的要素变量v(t)必须是名词或名词 短语。并对v(t)的Δv(t)(Δv(t)＞0或Δv(t)＜0)有明确的 意义。 只有满足这两条，才能建立起映射F(t)。即确定 各因果链的极性。
第三章_单自由度机械系统动力学
2. 等效构件的角加速度
d d d d dt d dt d
二、等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的函数时
以电动机驱动的鼓风机、搅拌机、离心泵以及车床等之类机械属于这种情况。这些 机器的驱动力是速度的函数，而生产阻力是常数或者是速度的函数，机器的速比是常 数。因此，其等效力矩仅仅是速度的函数，而等效转动惯量是常数，此时，用力矩形 式的运动方程式求解比较方便。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
m j Fk vk cos k F Me ( ) ( M j ) q q k 1 j 1 m
、vk / q 是由机构的尺度和位置决定的， Me表示式中的广义传动比 j / q 的变化无关。 Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q
单自由度机械系统的动力学方程2 q
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。 为了研究单自由度机械系统的真实运动，可将机械系统等效转 化为只有一个独立运动的等效构件，等效构件的运动与机构中相应 构件的运动一致。
§3.1 概 述
机械的真实运动规律是由作用于机械上的外力、各 构件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机 械在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题 （机械动力学的正问题）。本章主要研究两个问题: 第一，研究单自由度机械系统在外力作用下的真实 运动规律，即机械系统的运动随时间的变化规律。掌握 通过建立动力学模型建立力与运动参数之间的运动微分 方程来研究真实运动规律的方法。
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解
注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）
微分方程与动力系统
微分方程与动力系统近年来，微分方程与动力系统成为了数学学科中备受关注的研究领域。
它涉及到了微积分、拓扑学、几何学、物理学等多个学科。
微分方程与动力系统研究的目的是为了研究各种现象中的规律性，例如天文学、物理学、生物学、经济学等领域中的规律性。
本文将从微分方程、动力系统以及它们的应用三个方面进行探讨。
一、微分方程微分方程是数学中的重要分支，它描述了变化率与其它相关量之间的关系。
微分方程是一种方程形式，其中包含有未知函数及其导数，以及一些已知的函数。
微分方程的求解是根据已知的初始条件，求出未知的函数在某个时间点的取值。
微分方程的种类非常多，可以按照方程形式、阶数、线性性、齐次性等分类。
其中最常见的是一阶线性微分方程、二阶线性齐次微分方程、一阶非线性微分方程等。
微分方程的应用非常广泛，例如在物理学中，牛顿第二定律可以表示为一阶线性微分方程；在生物学中，生物种群的增长可以用一阶非线性微分方程表示；在经济学中，经济增长模型可以用一阶非线性微分方程表示等等。
二、动力系统动力系统是一种研究动态系统演化规律的数学模型。
它描述了系统在时间和空间上的演化过程。
动力系统包括了相空间、相流、不变集等概念，是微分方程理论的重要应用。
动力系统的研究对象可以是物理系统、生物系统、经济系统等，其研究的目的是为了理解系统的演化规律，预测系统的行为，以及设计控制系统等。
动力系统的研究方法包括了数值模拟、解析方法、拓扑方法等。
其中最常用的是数值模拟方法，它可以通过计算机模拟系统的演化过程，得到系统的行为特征。
三、微分方程与动力系统的应用微分方程与动力系统在各个领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，微分方程与动力系统可以用于描述自然界中的各种现象，例如天体运动、电磁场、热力学系统等。
在生物学中，微分方程与动力系统可以用于研究生物种群的演化规律、生物进化等。
在经济学中，微分方程与动力系统可以用于预测经济增长、设计控制系统等。
微分方程与动力系统在现代科学技术中都有着重要的应用。
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y x, c1, c2 , , cn
称 为n 阶 方 程 ( 4 ) 的 通 解 .
<>
要 确 定 微分 方 程一 个 特定 的 解，必 须满 足 一定 的 条件 ，这就 是 所
谓定解条件.
定解条件
初始条件
边界条件
定解问题 泛定方程 + 定解条件 .
而定解问题分为初值问题、边值问题等.
一. 一阶微分方程的初等解法
1. 变量分离方程
dy f x y … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 5 )
dx
<>
如果y
0
，则 dy
y
f
xdx
dy
y
f xdx
C
如果y0 ，使y0 0 ，则可知y y0 也是(5)的解.
例 1. 解方程dy x
dx y
解为x2 y2 C 例 2. 解方程dy y2 cos x
dx
<>
并求满足初始条件y x0 1 的特解.
下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，如图所示，试确定摆的运
动方程.
<>
取 反 时 针 运 动 方 向 作 为 摆 与 铅 垂 线 所 成 角 的 正 方 向 ， 质 点 M 沿 圆 周 的 切 向 速 度v 可 以 表 为 v l d . 作 用 于 质 点M 的
dt
重 力 mg 将 摆 拉 回 平 衡 位 置 A ， 把 重 力 mg 分 解 为 两 个 分 量MQ
dx
若Qx 0 ，(6)变为dy Pxy ，称为一阶齐线性微分方程.
dx
由分离变量法，得通解为y Ce Pxdx . 现来求(6)的通解，用常数变易法.
令y Cxe Pxdx为(6)的解. 则dy dCx e Pxdx CxPxe Pxdx
个以上
<>
5. 解 和 隐 式 解
若 函 数 y x 代 入 方 程 (4) 后 ， 能 使 它 变 为 恒 等 式 ， 则 称 函 数 y x为 方 程 (4)的 解 . 若 关 系 式 x, y 0 决 定 的 隐 函 数 y x 是 (4) 的 解 ， 则 称 x, y 0 为 方 程 (4)的 隐 式 解 .
通解为y 1 .
sin x C
特解为y 1 .
1sinx
2. 可化为变量分离方程的类型.
①
齐次方程dy g y .
dx x
作变量变换u y
x
即y ux,于是
dy xduu dx dx
<>
3. 一阶线性微分方程
dy Pxy Qx………………………………………(6)
6. 通 解 与 特 解 把 含 有n 个 独 立 的 任 意 常 数 c1 , c 2 , , c n 的 解
y x, c1, c2 , , cn
称 为n 阶 方 程 ( 4 ) 的 通 解 .
<>
4. 线 性 与 非 线 性
如
果
方
程
(4)的
左
端
为
y
及
dy dx
,
,
dny dx n
dt 2
l
<>
如 果 只 研 究 摆 的 微 小 振 动 ， 即 当 比 较
小 时 ， 我 们 可 以 取 sin 的 近 似 值 代 入 方 程 ( 2 ) ， 即 sin .
故微小振动时摆的运动方程为
d 2 g 0 … … … … … … … … … … … … … … … … …
§1 微分方程简介 §2 传染病模型 §3 战争模型 §4 最优捕鱼问题
§1 微分方程简介
一. 引例 1.固定指数的人口增长模型（马尔萨斯人口模型）
假设单位时间内人口增长量与当时的人口数xt 成正比，比例系 数为r .（ xt 为时刻t 的人口数）
又设 xt （较大的数）为连续可微函数，且xt t 0 x0 .任给t 时刻
不是线性方程的方程称为非线性方程.
(1)、 (3)是 线 性 的 ， (2)是 非 线 性 的 .
<>
5. 解 和 隐 式 解
若 函 数 y x 代 入 方 程 (4) 后 ， 能 使 它 变 为 恒 等 式 ， 则 称 函 数 y x为 方 程 (4)的 解 . 若 关 系 式 x, y 0 决 定 的 隐 函 数 y x 是 (4) 的 解 ， 则 称 x, y 0 为 方 程 (4)的 隐 式 解 .
的 一 次 有 理 整 式 ， 那 么 (4)
为 n 阶线性微分方程.一般n 阶线性微分方程具有如下形式：
dny dx n
d n1 y
a1 x dx n 1
a n1 x
dy dx
an xy
f x
这 里 a1x ,… ,an x .f x
x
是
的已知函数.
及时间增量t ，则
xt t xt rxt t
<>
两边除以t ，并令 t 0 ，得
dxt
dt
rxt …………………………………………………(1)
x0 x0
2 . 数学摆（单摆）问题
数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点M ，在重力作用
和 MP ， 第 二 个 分 量 （ 力 ） MP 的 数 值 等 于 mg sin ， 由 牛 顿 第
二定律
F ma , 得 m dv mg sin
dt
即 ml d 2 mg sin
dt 2
d 2 g sin … … … … … … ( 2 )
dt 2 l
… … … (3)
一. 微分方程的基本概念
1 . 微 分 方 程 ：联 系 着 自 变 量 、未 知 函 数 以 及 它 的 导 数 的 关
系 式 称 为 微 分 方 程 .例 如 (1)、 (2)、 (3).
微分方程
பைடு நூலகம்
常微分方程 方程中自
偏微分方程 方程中自
变量的个数只有一个 变量的个数为两个或两