湖南省长沙市周南中学高一数学第一次月考试卷讲解课件
湖南高一高中数学月考试卷带答案解析
湖南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若且是，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2.若点P在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（）A．B．C．D．3.下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C．D．4.已知（）A．B．C．D．5.（）A．B．C．D．6.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则等于（）A．B．C．D．7.函数图像的对称轴方程可能是（）A．B．C．D．8.设，，，则（）A．B．C．D．9.函数的最小值和最大值分别为（）A．－3，1B．－2，2C．－3，D．－2，10.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）A．1B．C．D．2二、填空题1.sin150cos150=2.若角的终边经过点，则的值为3.已知则4.函数的最小正周期为5.关于三角函数的图像，有下列命题：①与的图像关于y 轴对称；②与的图像相同；③与的图像关于y轴对称；④与的图像关于y轴对称；其中正确命题的序号是三、解答题1.已知，计算：（1）（2）（3）2.已知函数的最大值为，最小值为，求函数的单调区间、最大值和最小正周期．3.已知求的值。
4.函数（）的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为,（1）求函数的解析式;（2）设,则,求的值.5.已知函数图象上一个最高点为P（2，2），由这个最高点到相邻最低点间的曲线与X轴相交于点Q（6，0）。
（1）求这个函数的解析式；（2）写出这个函数的单调区间。
6.已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数在区间上的值域。
湖南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.若且是，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限,则是第三象限角.【考点】任意角的三角函数。
2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =i1+i ，则|z |＝（ ） A ．√22B ．√2C ．12D ．12．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（3，9）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（5，7）3．在△ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果B ＝30°，C ＝105°，a ＝4，则b ＝（ ） A ．2√2B ．3√2C ．√6D ．5√64．若△ABC 中，cos A =12，BC ＝2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值是（ ）A ．2√2B ．1+√3C ．√3D ．25．已知复数z 满足|z |﹣z ＝1+i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1﹣iD ．1+i6．已知复数z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）（a ∈R ）的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．﹣27．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（5，4），则以向量a →与b →为基底表示向量c →的结果是（ ） A ．135a →−65b → B ．133a →−143b →C ．−72a →−92b →D ．143a →+133b →8．已知在△ABC 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝3，c ＝2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ）A ．−14B ．√152C ．−√154D ．√154二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ，则n 可以是（ ） A ．104B ．106C ．108D ．10910．已知向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），下列说法正确的有（ ） A ．若a →∥b →，则m =−38B ．若m ＝0，则a →与b →夹角的正弦值为45C ．若a →⊥b →，则m =−32D ．若|a →+b →|＝13，则m ＝﹣8或1611．已知i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足|z |＝0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1•z 2＝0C ．若复数z ＝a +ai （a ∈R ），则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足z 2＝3+4i ，则z 对应的点在第一象限或第三象限12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是（ ）A ．a =3，c =2√2，cosC =23B ．a =3，c =4，cosC =13C ．a =1，b =2，sinB =23D ．b =1，sinB =13，C =π3三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．复数−1+4i 4+i= ．14．设a →，b →为单位向量，且|a →−b →|＝1，则|2a →+b →|＝ ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2√7，b ＝2，A ＝60°，则c ＝ ．16．已知向量a →=(2sinx ，1)，b →=(1，cosx)，则a →⋅b →的最大值为 ；若a →∥b →且x ∈（﹣π，0），则x 的值为 ．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，i 为虚数单位．（1）若复数z 1+az 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若z =z 1z 2，求z 的共轭复数z ．18．已知向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2）． （1）若a →∥b →，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；（2）若θ＝45°，2a →−t b →与√2a →+b →垂直，求实数t 的值．19．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）．（其中i 为虚数单位，且i 2＝﹣1） （1）若|z |2﹣2z =7+4i ，求z ；（2）若z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020，求a ﹣b 的值．20．已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若b 2−a 2a+c=2R sin C ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A•sin B sin C ．（1）若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； （2）若sin B +sin C ＝√62，求C ．22．在①2a cos C+c＝2b，②cos2B−C2−cosBcosC=34，③（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =i1+i ，则|z |＝（ ） A ．√22B ．√2C ．12D ．1【解答】解：∵复数z =i 1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i−i 21−i 2=1+i 2=12+12i ，∴|z |=√(12)2+(12)2=√22．故选：A ．2．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（3，9）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（5，7）【解答】解：向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（5，7）． 故选：D ．3．在△ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果B ＝30°，C ＝105°，a ＝4，则b ＝（ ） A ．2√2B ．3√2C ．√6D ．5√6【解答】解：∵B ＝30°，C ＝105°， ∴A ＝45°， 由正弦定理可得：4sin45°=b sin30°，解得b =4×12√22=2√2．故选：A ．4．若△ABC 中，cos A =12，BC ＝2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值是（ ）A ．2√2B ．1+√3C ．√3D ．2【解答】解：∵BA →⋅BC →=|BA →||BC →|cosB ，CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cosC ，|BC →|=|CB →|=2，∴BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|=2cosB +2cosC ，∵cosA =12，A +B +C =π，A 为△ABC 的内角， ∴sinA =√32，A =π3，∴2cos B +2cos C ＝2cos B ﹣2cos （A +B ）＝cos B +√3sinB =2sin(B +π6)， ∵0＜B ＜2π3， ∴0＜sin(B +π6)≤1， ∴0＜2siin(B +π6)≤2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值为2．故选：D ．5．已知复数z 满足|z |﹣z ＝1+i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1﹣iD ．1+i【解答】解：设z ＝a +bi ，因为|z |﹣z ＝1+i ，所以√a 2+b 2−(a +bi)=1+i ，即√a 2+b 2−a −bi =1+i ，所以{√a 2+b 2−a =1−b =1，解得a ＝0，b ＝﹣1，所以z ＝﹣i ． 故选：B ．6．已知复数z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）（a ∈R ）的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．﹣2【解答】解：z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）＝3a +2ai ﹣9i ﹣6i 2＝3a +6+（2a ﹣9）i ， 所以复数z 的实部与虚部分别为3a +6，2a ﹣9， 则3a +6+2a ﹣9＝7，得a ＝2． 故选：C ．7．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（5，4），则以向量a →与b →为基底表示向量c →的结果是（ ） A ．135a →−65b →B ．133a →−143b →C ．−72a →−92b →D ．143a →+133b →【解答】解：设c →=x a →+y b →，即（5，4）＝x （1，2）+y （﹣2，1），则{x −2y =52x +y =4，得x =135，y =−65，即c →=135a →−65b →，故选：A ．8．已知在△ABC 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝3，c ＝2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ） A ．−14B ．√152C ．−√154D ．√154【解答】解：最大角是A ，根据余弦定理：cosA =b 2+c 2−a 22bc =9+4−162×3×2=−14，且A ∈（0，π），∴sinA =√1−cos 2A =√1−116=√154． 故选：D ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ，则n 可以是（ ） A ．104B ．106C ．108D ．109【解答】解：因为（1+i ）2＝1+2i ﹣1＝2i ，（1﹣i ）2＝1﹣2i ﹣1＝﹣2i ， 又（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ， 所以(1+i)n=[(1+i)2]n2=(2i)n2，(1−i)n=[(1−i)2]n2=(−2i)n2，故(2i)n2=(−2i)n 2，即2n 2⋅(i)n2=(−1)n 2⋅2n 2⋅(i)n 2，故当n2为偶数时，（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ．故选：AC ．10．已知向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），下列说法正确的有（ ） A ．若a →∥b →，则m =−38B ．若m ＝0，则a →与b →夹角的正弦值为45C ．若a →⊥b →，则m =−32D ．若|a →+b →|＝13，则m ＝﹣8或16 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），若a →∥b →，则3m ＝﹣8，则m =−83，A 错误； 对于B ，若m ＝0，则a →=（0，2），则|a →|＝2，|b →|＝5，a →•b →=6，则cos ＜a →，b →＞=610=35，则sin ＜a →，b →＞=45，B 正确，对于C ，若a →⊥b →，则a →•b →=−4m +6＝0，解可得m =32，C 错误，对于D ，a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），则a →+b →=（m ﹣4，5），若|a →+b →|＝13，即（m ﹣4）2+25＝169，解可得m ＝﹣8或16，D 正确， 故选：BD ．11．已知i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足|z |＝0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1•z 2＝0C ．若复数z ＝a +ai （a ∈R ），则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足z 2＝3+4i ，则z 对应的点在第一象限或第三象限 【解答】解：对于A ，|z |＝0，则z ＝0，故A 正确；对于B ，设z 1＝a 1+b 1i （a 1，b 1∈R ），z 2＝a 2+b 2i （a 2，b 2∈R ）．由|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，得|z 1+z 2|2＝（a 1+a 2）2+（b 1+b 2）2＝|z 1﹣z 2|2＝（a 1﹣a 2）2+（b 1﹣b 2）2，则a 1a 2+b 1b 2＝0，而z 1•z 2＝（a 1+b 1i ）（a 2+b 2i ）＝a 1a 2﹣b 1b 2＝2a 1a 2不一定等于0，故B 错误；对于C ，z ＝a +ai （a ∈R ），若a ＝0，则z 为实数，若a ≠0，则z 为虚数，z 不可能为纯虚数，故C 错误；对于D ，设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由z 2＝3+4i ，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ，∴{a 2−b 2=32ab =4，解得{a =2b =1，或{a =−2b =−1． ∴z 对应的点在第一象限或第三象限，故D 正确． 故选：AD ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是（ ）A ．a =3，c =2√2，cosC =23B ．a =3，c =4，cosC =13C ．a =1，b =2，sinB =23D ．b =1，sinB =13，C =π3【解答】解：对于A ，由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得8＝9+b 2﹣2×3×b ×23，即b 2﹣6b +1＝0，解得b ＝3±2√2，可得△ABC 有两个解，故错误；对于B ，由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得16＝9+b 2﹣2×3×b ×13，即b 2﹣2b ﹣7＝0，解得b ＝1+2√2，（负值舍去），可得△ABC 有一个解，故正确； 对于C ，由a ＜b ，sin B =23，可得cos B ＝±√53，可得角B 不唯一，故错误； 对于D ，由sin π3=√32＞13，且B ＜2π3，故B 为锐角且有唯一解，可得△ABC 有一个解，故正确； 故选：BD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．复数−1+4i 4+i= i ．【解答】解：−1+4i 4+i=(−1+4i)(4−i)(4+i)(4−i)=−4+i+16i−4i 242+12=−4+17i+417=17i 17=i ．故答案为：i ．14．设a →，b →为单位向量，且|a →−b →|＝1，则|2a →+b →|＝ √7 ． 【解答】解：∵|a →|=|b →|=1，|a →−b →|=1， ∴(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=2−2a →⋅b →=1， ∴2a →⋅b →=1，∴|2a →+b →|=√(2a →+b →)2=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√4+2+1=√7．故答案为：√7．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2√7，b ＝2，A ＝60°，则c ＝ 6 ．【解答】解：在△ABC 中，a =2√7，b =2，A =60°， 根据正弦定理，2√7sin60°=2sinB，∴sinB =√2114， ∴cosB =5√714，根据余弦定理，5√714=22⋅2√7⋅c，解得c ＝4或6，据题意知，B ＜60°，C ＞60°， ∴c ＞2√7， ∴c ＝6． 故答案为：6．16．已知向量a →=(2sinx ，1)，b →=(1，cosx)，则a →⋅b →的最大值为 √5 ；若a →∥b →且x ∈（﹣π，0），则x 的值为 −3π4． 【解答】解：a →⋅b →=2sin x +cos x =√5sin （x +φ），其中tan φ=12， ∵x ∈R ，∴a →⋅b →的最大值为√5． ∵a →∥b →，∴2sin x cos x ＝1，即sin2x ＝1， ∴2x =π2+2k π，即x =π4+k π，k ∈Z ， ∵x ∈（﹣π，0），∴取k ＝﹣1，x =−3π4． 故答案为：√5；−3π4．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，i 为虚数单位．（1）若复数z 1+az 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若z =z1z 2，求z 的共轭复数z ．【解答】解：（1）复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，所以z 1+az 2＝（1﹣2i ）+a （3+4i ）＝（1+3a ）+（4a ﹣2）i ； 由该复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以{1+3a ＞04a −2＜0，解得−13＜a ＜12，所以实数a 的取值范围是（−13，12）；（2）化简z =z 1z 2=1−2i 3+4i =(1−2i)(3−4i)32−(4i)2=−5−10i 25=−15−25i ，z 的共轭复数z =−15+25i ．18．已知向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2）． （1）若a →∥b →，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；（2）若θ＝45°，2a →−t b →与√2a →+b →垂直，求实数t 的值．【解答】解：（1）∵向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2），a →∥b →， ∴2cosθ1=sinθ−2，∴tan θ＝﹣4， ∴3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ=3tanθ−22tanθ+1=3×(−4)−22×(−4)+1=2．（2）∵θ＝45°，∴a →=（√2，√22）， ∴2a →−t b →=（2√2−t ，√2+2t ），√2a →+b →=（3，﹣1）， ∵2a →−t b →与√2a →+b →垂直，∴（2a →−t b →）•（√2a →+b →）＝（2√2−t ）×3+（√2+2t ）×（﹣1）＝0， 解得t =√2．19．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）．（其中i 为虚数单位，且i 2＝﹣1） （1）若|z |2﹣2z =7+4i ，求z ；（2）若z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020，求a ﹣b 的值． 【解答】解：（1）由已知可得，a 2+b 2﹣2a +2bi ＝7+4i ，∴{a 2+b 2−2a =72b =4， 解之得{a =3b =2，或{a =−1b =2，∴z ＝3+2i 或z ＝﹣1+2i（2）由复数相等的性质，可知a =1−3+5−7+9−11+⋯−2019+2021=1+2+2+⋯+2︸505个=1011，b =2−4+6−8+10−12+⋯+2018−2020=−(2+2+⋯+2)︸505个=−1010．∴a ﹣b ＝2021．另解：z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020① ∴zi ＝1i +2i 2+3i 3+4i 4+5i 5+…+2020i 2020+2021i 2021②∴①﹣②得：z （1﹣i ）＝1+i +i 2+i 3+i 4+…+i 2020﹣2021i 2021＝1﹣2020i ∴z =1−2021i 1−i =(1−2021i)(1+i)(1−i)(1+i)=2022−2020i2=1011−1010i ， ∴a ＝1011，b ＝﹣1010， ∴a ﹣b ＝2021．20．已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若b 2−a 2a+c=2R sin C ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．【解答】解：（1）因为△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得c sinC=2R ，所以b 2−a 2a+c=c ，整理可得：c 2+a 2﹣b 2＝﹣ac ，所以cos B =a 2+c 2−b 22ac =−ac 2ac =−12， 因为B ∈（0，π）， 可得B =2π3． （2）因为B =2π3，b =√7，c ＝2， 所以由正弦定理b sinB=c sinC，可得sin C =c⋅sinB b=√217， 因为c ＜b ，C 为锐角，可得cos C =√1−sin 2C =2√77，所以sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C =√32×2√77+（−12）×√217=√2114． 21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A•sin B sin C ．（1）若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； （2）若sin B +sin C ＝√62，求C ． 【解答】解：由sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A •sin B sin C 得，b 2+c 2﹣a 2＝2√33bc sin A ＝2bc cos A ， 故√33sinA =cosA ，即tan A =√3， 由A 为三角形内角得A =π3，因为b =√3c ，△ABC 的面积为S ＝3=12bc ×√32=√34×√3c 2，故c ＝2，b ＝2√3； （2）因为A =π3， 故sin B +sin C ＝sin C +sin （2π3−C ）=32sinC +√32cosC =√62， 即√32sinC +12cosC =√22， 所以sin （C +π6）=√22，由C 为三角形内角得，C =π12． 22．在①2a cos C +c ＝2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③（sin B +sin C ）2＝sin 2A +3sin B sin C 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 _____． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（1）选①，由正弦定理得2sin A cos C +sin C ＝2sin B ， 所以2sin A cos C +sin C ＝2sin （A +C ）＝2（sin A cos C +cos A sin C ），即sin C （2cos A ﹣1）＝0，又C ∈（0，π），所以sin C ＞0，所以cosA =12， 又A ∈（0，π），从而得A =π3． 选②，因为cos 2B−C2−cosBcosC =1+cos(B−C)2−cosBcosC =1−cosBcosC+sinBsinC2=1−cos(B+C)2=34，所以cos(B +C)=−12，cosA =−cos(B +C)=12，又因为A ∈（0，π），所以A =π3． 选③因为（sin B +sin C ）2＝sin 2A +3sin B sin C ， 所以sin 2B +sin 2C +2sin B sin C ＝sin 2A +3sin B sin C ， 即sin 2B +sin 2C ﹣sin 2A ＝sin B sin C ， 所以由正弦定理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，因为A∈（0，π），所以A=π3．（2）由（1）得A=π3，又a＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣ab≥2bc﹣bc＝bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取得等号，S¡÷ABC=12bcsinA≤12×4×√32=√3，所以ABC面积的最大值为√3．。
湖南省长沙市2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题含解析
2023年下学期高一第一次月考数学（答案在最后）（时量：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“200,1x x ∃∈≠R ”的否定是（）A.2,1x x ∀∈=RB.2,1x x ∀∉=RC.200,1x x ∃∈=R D.200,1∃∉=x x R 【答案】A 【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“200,1x x ∃∈≠R ”的否定是“2,1x x ∀∈=R ”.故选：A.2.设集合A 含有2-，1两个元素，B 含有1-，2两个元素，定义集合A B ，满足1x A ∈，2x B ∈且12x x A B ∈e ，则A B 中所有元素之积为（）A.8- B.16- C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】根据集合A B 的定义先求出集合A B ，然后再把集合中所有元素相乘即可求解.【详解】由题意{}2,1A =-，{}1,2B =-，由集合A B 的定义可知，集合A B 中有以下元素：①()212-⨯-=，②224-⨯=-，③()111⨯-=-，④122⨯=，根据集合中元素满足互异性去重得{}4,1,2A B =--e ，所以A B 中所有元素之积为()4128-⨯-⨯=.故选：C.3.若函数()31y f x =+的定义域为[]2,4-，则()y f x =的定义域是（）A.[]1,1- B.[]5,13- C.[]5,1- D.[]1,13-【答案】B 【解析】【分析】根据函数()31y f x =+中[]2,4x ∈-，即可得出[]315,13x +∈-，即可选出答案.【详解】因为函数()31y f x =+的定义域为[]2,4-，即24x -≤≤所以53+113x -≤≤所以()y f x =的定义域是[]5,13-故选:B.【点睛】本题考查隐函数的定义域，属于基础题.解本题的关键在于正确理解函数的定义域是x 的取值范围与同一个函数其括号里面的取值范围一样.4.下列命题正确的是（）A.“a b >”是“22a b >”的充分条件B.“a b >”是“22a b >”的必要条件C.“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D.“a b >”是“22ac bc >”的必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A ：由a b >推不出22a b >，如0a =，1b =-满足a b >，但是22a b <，故A 错误；对于B ：由22a b >推不出a b >，如1a =-，0b =满足22a b >，但是a b <，即a b >不是22a b >的必要条件，故B 错误；对于C ：由a b >推不出22ac bc >，当0c =时220ac bc ==，故C 错误；对于D ：若22ac bc >，则20c ≠，即20c >，所以a b >，即a b >是22ac bc >的必要条件，故D 正确；故选：D5.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若A ＝{1，2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )等于（）A.1B.3C.5D.7【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()1C B =或()3C B =，进而讨论a 的范围，确定出()C B ，最后得到答案.【详解】因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =，由20x ax +=，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-或a >0，-a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -<<时，方程220x ax ++=无实根，若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<<或0a <<，则()2C B =，不符合题意.所以{0,S =-，故()3C S =.故选：B .【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0∆时，容易遗漏a =0时的情况，注意仔细分析题目.6.函数[]y x =在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如[1.5]1,[2.3]3,[3]3=-=-=．那么不等式24[]12[]50x x -+≤成立的充分不必要条件是（）A.15[,22B.[1,2]C.[1,3)D.[1,3]【答案】B 【解析】【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为24[]12[]50x x -+≤，则[]()[]()21250x x --≤，则[]1522x ≤≤，又因为[]x 表示不大于x 的最大整数，所以不等式24[]12[]50x x -+≤的解集为：13x ≤<，因为所求的时不等式24[]12[]50x x -+≤成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式24[]12[]50x x -+≤解集的一个非空真子集即可，选项中只有[1,2]⫋[)1,3.故选：B .7.已知1,0,0x y y x +=>>，则121x x y ++的最小值为（）A.54B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.【详解】1x y += ，12x y ∴++=，1(1)11221441x y x y x x y x y +++∴+=++++，0,0y x >> ，10,041y x x y +∴>>+，111152144144x y x x y x y +∴+=++≥+++，当且仅当141y x x y +=+，即23x =，13y =时等号成立，故选：A8.黎曼函数()R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，()R x 在[]0,1上的定义为：当q x p =（p q >，且p ，q 为互质的正整数）时，()1R x p=；当0x =或1x =或x 为()0,1内的无理数时，()0R x =.已知a ，b ，[]0,1a b +∈，则（）注：p ，q 为互质的正整数()p q >，即q p为已约分的最简真分数.A.()R x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.()()()R a b R a R b ⋅≥⋅C.()()()R a b R a R b +≥+ D.以上选项都不对【答案】B 【解析】【分析】设q A x x p ⎧⎫==⎨⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，然后对A 选项，根据黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义分析即可求解；对B 、C 选项：分①a A ∈，b A ∈；②a B ∈，b B ∈；③a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a Bb A ∈⎧⎨∈⎩分析讨论即可．【详解】解：设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，对A 选项：由题意，()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，其中p 是大于等于2的正整数，故选项A 错误；对B 、C 选项：①当a A ∈，b A ∈，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅；②当a B ∈，b B ∈，则()()()R a b R a R b +=+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅＝0；③当a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a B b A ∈⎧⎨∈⎩，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅，所以选项B 正确，选项C 、D 错误，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义去分析.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，则下列选项正确的是（）A.0b <且0c >B.0a b c -+>C.0a b c ++> D.不等式20ax bx c ++>的解集是{|21}x x -<<【答案】ABD 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出a 的正负以及,,a b c 的关系，由此可判断各选项的对错.【详解】因为20ax bx c -+>的解集为()1,2-，解集属于两根之内的情况，所以a<0，又因为0420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，所以2b ac a =⎧⎨=-⎩；A ．0,20b a c a =<=->，故正确；B ．因为()11,2∈-，所以0a b c -+>，故正确；C ．因为解集为()1,2-，所以0a b c ++=，故错误；D ．因为20ax bx c ++>即为2220ax ax a +->，即220x x +-<，解得()2,1x ∈-，故正确；故选：ABD.10.命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为假命题，则实数m 的取值可以是（）A.1- B.0 C.1D.2【答案】ABC 【解析】【分析】先求出命题为真命题时实数m 的取值范围，然后利用补集思想求出命题为假命题时m 的取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】若命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为真命题，则()2Δ242440m m =--=->，解得1m >，所以当命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为假命题时，1m £，符合条件的为A 、B 、C 选项.故选：A BC.11.设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b =,，则有：()(),,G a b A a b ≤，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D ．H ．Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b--+=+，其中p 为有理数．如：()0.50.50.50.50.5,11a b L a b a b --+==+．下列关系正确的是（）A.()()0.5,,L a b A a b ≤ B.()()0,,L a b G a b ≥C.()()21,,L a b L a b ≥D.()()1,,n n L a b L a b +≤【答案】AC 【解析】【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可.【详解】A ：()()0.5,,112a bL a b A a b +===，故A 对；B：001102(,)(,)a b ab L a b G a b a b a b --+==≤++，故B 错；C ：()222,a b L a b a b+=+，()1,2a b L a b +=，而()()()()()22222222222222122,1,22a b a b L a b a b a b L a b a b ab a b aba b +++++===≥+++++，故C 对；D ：由柯西不等式，()()()()()112111112211(,)1(,)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b L a b a b a b L a b a b a b a b++++--+--+++++==≥=++++，故D 错.故选：AC.12.已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A.224a b -≤B.214a b+≥C.若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D.若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【答案】ABD 【解析】【分析】根据集合{}20,0x x ax b a ++=>子集的个数列方程，求得,a b 的关系式，对A ，利用二次函数性质可判断；对B ，利用基本不等式可判断；对CD ，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，所以2240,4a b a b ∆=-==，由于0a >，所以0b >.A ，()22224244a b b b b -=-=--+≤，当2,b a ==时等号成立，故A 正确.B ，21144a b b b +=+≥=，当且仅当114,,2b b a b ===时等号成立，故B 正确.C ，不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，120x x b =-<，故C 错误.D ，不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，即不等式20x ax b c ++-<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则1212,x x a x x b c +=-=-，则()()22212121244416x x x x x x a b c c -=+-=--==，4c ∴=，故D 正确，故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，那么f (x )的解析式为________.【答案】()(0,1)1xf x x x x=≠≠-+.【解析】【分析】用1x代换已知式中的x ，可得，注意x 有取值范围．【详解】解：由111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭可知，函数的定义域为{x |x ≠0，x ≠﹣1}，用1x代换x ，代入上式得：f (x )=111x+=1x x +，故答案为：()(0,1)1xf x x x x=≠≠-+．【点睛】本题考查求函数解析式，掌握函数这定义是解题关键．求解析式时要注意自变量的取值范围．14.设集合{43}M xx =-<<∣，={+2<<21,}N x t x t t -∈R ∣，若M N N ⋂=，则实数t 的取值范围为____________．【答案】(],3-∞【解析】【分析】由M N N ⋂=可知N M ⊆，讨论N =∅与N ≠∅，即可求出答案.【详解】因为M N N ⋂=，所以N M ⊆，当N =∅时：2213t t t +≥-⇒≤，满足题意；当N ≠∅时：+2<21>34+262132t t t t t t t --≤⇒≥--≤≤⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩，无解；所以实数t 的取值范围为(],3-∞.故答案为：(],3-∞15.已知函数()2f x x =-，()()224R g x x mx m =-+∈，若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，则m 的取值范围______．【答案】54⎡⎢⎣【解析】【分析】由题意可判断(){}(){},12,45y y g x x y y f x x =≤≤⊆=≤≤，由此求出()[]2,3f x ∈，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.【详解】由题意知(){}(){},12,45y y g x x y y f x x =≤≤⊆=≤≤；当[]4,5x ∈时，()[]2,3f x ∈，故()()224R g x x mx m =-+∈需同时满足以下两点：①对[]1,2x ∀∈时，()2243g x x mx =-+≤∴12m x x≥+恒成立，由于当[]1,2x ∀∈时，1y x x=+为增函数，∴1522,24m m ≥+∴≥；②对[]1,2x ∀∈时，()2242g x x mx =-+≥，∴22m x x≤+恒成立，由于2x x+≥2x x =，即[1,2]x =时取得等号，∴2m m ≤∴≤∴54m ⎡∈⎢⎣，故答案为：54⎡⎢⎣16.若,a b R ∈，且22231a ab b +-=，则22a b +的最小值为_______.【答案】14【解析】【分析】根据a 2+2ab ﹣3b 2=1得到(a +3b )(a ﹣b )=1，令x =a +3b ，y =a ﹣b ，用x ，y 表示a ，b ，然后代入a 2+b 2，利用均值不等式求解.【详解】由a 2+2ab ﹣3b 2=1得(a +3b )(a ﹣b )=1，令x =a +3b ，y =a ﹣b ，则xy =1且a 34x y +=，b 4x y-=，所以a 2+b 2=(34x y +)2+(4x y -)22252184x y ++=≥，当且仅当x 2=，y 25=时取等号.故答案为14.【点睛】本题主要考查均值不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（其中第17题10分，18~22题每题12分，共70分）17.已知全集U =R ，集合502x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{}11,B x a x a a =-<<+∈R .（1）当2a =时，求()()U UA B ⋂痧；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(){1U UA B x x ⋂=≤痧或}5x >（2）{}34a a ≤≤【解析】【分析】（1）当2a =时，求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()()U U A B ⋂痧；（2）分析可知，BA ，利用集合的包含关系可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】因为{}50252x A x x x x ⎧⎫-=≤=<≤⎨⎬-⎩⎭，当2a =时，{}13B x x =<<，因为全集U =R ，则{2U A x x =≤ð或}5x >，{1U B x x =≤ð或}3x ≥，因此，()(){1U U A B x x ⋂=≤痧或}5x >.【小问2详解】易知集合{}11,B x a x a a =-<<+∈R 为非空集合，因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则BA ，所以，1215a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得34a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是{}34a a ≤≤.18.已知a ，b ，c 均为正实数，且1a b c ++=．（1）求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）求111a b c++的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】（1）根据111111111++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c a b c a b c a b c a b c 结合基本不等式即可得证；（2）根据111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++结合基本不等式即可得解.【小问1详解】原式111a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()b c a c a b abc+++=222bc ac ababc≥8abc abc=8=.当且仅当13a b c ===是取等号，所以1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】原式a b c a b c a b c a b c++++++=++3b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3≥2339=⨯+=.当且仅当13a b c ===是取等号，所以111a b c++的最小值为9．19.已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..【答案】（1）64（2）18【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将28x y xy +=变形为分式型281y x +=，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.【小问1详解】∵0x >，0y >，280x y xy +-=，∴28xy x y =+≥=，当且仅当28x y =时取等号，8≥∴64xy ≥，当且仅当416x y ==时取等号，故xy 的最小值为64.【小问2详解】∵28x y xy +=，则281y x+=，又∵0x >，0y >，∴2828()()101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=，当且仅当212x y ==时取等号，故x y +的最小值为18.20.济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为()()8265660p t Q t t -=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.【答案】（1）2300+402,2<10()=500,1020t t t p t t -≤≤≤⎧⎨⎩；450（2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.【解析】【分析】（1）由题设，有2()500(10)p t k t =--且(2)=372p ，求k 值，进而写出其分段函数的形式即可.（2）由（1）写出()Q t 解析式，讨论210t ≤<、1020t ≤≤求最大值即可.【小问1详解】由题设，当210t ≤<时，令2()500(10)p t k t =--，又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴2(2)500(102)372p k =--=，解得=2k .∴2300+402,2<10()=500,1020t t t p t t -≤≤≤⎧⎨⎩，故=5t 时，2(5)5002(105)450p =-⨯-=，所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人.【小问2详解】由（1）知：25626016,2<10()=134460,1020t t t Q t t t--≤-≤≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∵210t ≤<时，()260132Q t ≤-当且仅当=4t 等号成立，∴210t ≤<上max ()(4)132Q t Q ==，而1020t ≤≤上，()Q t 单调递减，则max ()(10)74.4Q t Q ==，综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.21.已知二次函数22y ax bx =++（a ，b 为实数）（1）若1x =时，1y =且对()2,5x ∀∈，0y >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若1x =时，1y =且对[]2,1a ∀∈--，0y >恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）3a >-（2）11,44⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意求出1b a =--可得()2120y ax a x =-++>对()2,5x ∀∈恒成立，分离参数，即得2max 2x a x x -⎛⎫> ⎪-⎝⎭，令()20,3t x =-∈，则可得()123f t t t=++，利用基本不等式即可求得答案；（2）由题意()212y ax a x =-++，变更主元：令a 为主元，视x 为参数，则()()220g a x x a x =-+->，对[]2,1a ∀∈-恒成立，由此可得不等式组，即可求得答案.【小问1详解】将1x =，1y =代入得1,1a b b a +=-∴=--∴()2120y ax a x =-++>对()2,5x ∀∈恒成立，即()22a x x x ->-对()2,5x ∀∈恒成立，当()2,5x ∈时，由于2y x x =-在()2,5上单调递增，故22220x x ->->，∴2max2x a x x -⎛⎫> ⎪-⎝⎭，()2,5x ∀∈，令()20,3t x =-∈，则()()()2213232223t t f t t t t t t t ===≤=-+++-+++，当且仅当2t t=，即()0,3t =时等号成立，∴3a >-【小问2详解】由题意()()21,12b a y ax a x =-+∴=-++，变更主元：令a 为主元，视x 为参数，令()()22g a x x a x =-+-，对[]2,1a ∀∈-，()()220g a x x a x =-+->恒成立，故只需()()()2222220120g x x x g x x x ⎧-=-++->⎪⎨-=--+->⎪⎩，即2222020x x x ⎧--<⎨-<⎩，解得1111,,4444x x x ⎧⎛⎫<<+⎪∴∈ ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪<<⎩.22.已知函数()f x =，()g x =．（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）已知a 为非零实数，记函数()()()x x h f g x a =-的最大值为()m a ，求()m a ．【答案】（1）[]0,2，2⎤⎦（2）12,0211(),2222a a am a a aaa⎧⎛⎫⎪-<≠⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎪=+≤≤⎨⎝⎭⎪⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩且【解析】【分析】（1）根据根式的概念可得()f x定义域，再计算()22f x=+求解可得()f x值域；（2）令2t⎤=⎦，设函数()22aF t t t a=-++，2t⎤∈⎦，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可.【小问1详解】定义域：[]0,220xxx≥⎧⇒∈⎨-≥⎩，()222f x x x=+=+-+2=+当[]0,2x∈时，()[]2110,1x--+∈，∴()[]()22,4,0f x f x∈≥，∴()2f x⎤∈⎦；【小问2详解】()h x=-2t⎤=+⎦，则22222tt-=+，设()22222t aF t t a t t a-=-=-++，2t⎤∈⎦，1°若a<0，此时二次函数对称轴10ta=<<()()max2F t F=2a=-.2°若0a >，此时对称轴：10t a =>，①当12a >即102a <<时，开口向下，则()()max 2F t F =2a =-；12a ≤≤即122a ≤≤，对称轴1t a =，开口向下，则()max 1F t F a ⎛⎫= ⎪⎝⎭12a a =+，③1a <即2a >时，开口向下，()max F t F==综上：12,0211(),2222a a a m a a a a a ⎧⎛⎫⎪-<≠ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪=+≤≤ ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎩且.。
2021年高三数学第一次月考试题湘教版 理
2021年高三数学第一次月考试题湘教版 理考试范围：集合、逻辑、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式(含选讲) 立体几何.时量：120分钟 总分：150分一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．集合若,则（ ）A ．B ．C ．D ． 2．命题“”的否定是（ ） A ． B ． C ． D ．3．已知分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．B ．C ．D ． 5．同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知命题:是成立的充分不必要条件；命题:若不等式对恒成立，则，在命题① ② ③ ④中，真命题是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④7．若，则（ ） A ． B ． C ． D ．8．不等式≤0对于任意及恒成立，则实数的取值范围是（ ）俯视图正视图 侧视图（第4题图）A ．≤B ．≥C ．≥D ．≥9．已知函数是R 上的可导函数，且的图象是连续不断的，当时，有，则函数的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10．在平面上，，,.若，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．二．填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在答题．．卡．中对应题号后的横线上。
11．已知且，则 .12．如图，两块阴影部分的面积和为________．13．若关于的不等式 的解集为，则 .14.已知正实数满足，则的最小值为 .15．在当今的信息化社会中，信息安全显得尤为重要，为提高信息在传输中的安全性，通常 在原信息中按一定规则对信息加密，设定原信息为，（i=1，2，3… n ），传输当中原信息中的1都转换成01，原信息中的0都转换成10，定义这种数字的转换为变换，在多次的加密过程中，满足，k=1，2，3，…． （1）若A 2：10010110，则A 0为____ ；（2）若A 0为10，记中连续两项都是l 的数对个数为，k=l ，2，3，…，则 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分。
长沙市周南中学高一数学第一次月考试题【含答案】
B． x2 y2 xy
C． x2 xy y2
D． x2 xy y2
5．设 ， a c 1 c ， b c c 1 ，则有 ( )
A． a b
B． a b
C． a b
D． a 、 b 的关系与 c 的值有关
6. 已知集合 M 2, a 2 , P 2,2a,若 M P 有三个元素,则实数 a 的取值集合为( )
根（若有两个相等的实数根,则 a 0 ,不符合题意）,且方程 x 2 ax 2 0 有两个相等的实
a 2
数根,所以
a
2
0 42
0
,解之得: a
2
2:
综上所述,实数 a 的所有可能取值构成集合 S 0,2 2,2 2 .
∴ CS 3.
12..已知函数{x | x2 ax b 0, a＞0}有且仅有两个子集，下列四个命题
B．Z{x|x<m 或 x>-n}XXK]
C．来{x|－n<x<m}源
D．{x|m<x<-n}[
【答案】C
【解析】方程(m－x)(n＋x)＝0 的两个根为 m，－n.因为 m＋n>0，所以 m>－n，结合二次函
数 y＝(m－x)·(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n<x<m}．故选 C
10．若正实数 a, b ，满足 a b 1，则 b 3 的最小值为（ C ） 3a b
围．
22.（12 分）已知二次函数（1）若的解集为解关于 x 的不等式 （2）若对任意的不等式恒成立，求 的最大值
长沙市周南中学高一数学第一次月考试题参考答案
命题与审核：高一备课组
一、单选题：每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
湖南高一高中数学月考试卷带答案解析
湖南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知数列是等差数列，且，则等于（）A．B．C．D．2.下列命题中，错误的个数有________个①平行于同一条直线的两个平面平行．②平行于同一个平面的两个平面平行．③一个平面与两个平行平面相交，交线平行．④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．A．0个B．1个C．2个D．3个3.已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线的方程为（）A．B．C．D．4.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A．B．C．D．5.设偶函数f（x）的定义域为R，当时f（x）是增函数，则的大小关系是（）A．＞＞B．＞＞C．＜＜D．＜＜6.的最大值为（）A．B．C．1D．27.若任取成立，则称是上的凸函数．试问：在下列图像中，是凸函数图像的为（）8.已知n次多项式f（x）＝an x n＋an－1x n－1＋…＋a1x＋a，用秦九韶算法求f（x）的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）A．n，n B．2n，n C．，n D．n＋1，n＋19.设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）A ．2B ．C ．D ．410.已知等比数列｛｝中，=2×3,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和的值为（ ）A ．3－1B ．3（3－1）C ．D ．二、填空题1.函数的定义域为_______________．2.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_________．3.按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．4.已知函数是偶函数，且，则的值为________．5.在中，面积为，则_________．三、解答题1.（本小题满分12分） 已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．2.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC．（Ⅱ）求证：AB⊥PB；（Ⅲ）若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．3.（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．4.（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）设是函数图象的一条对称轴，求的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．5.（本小题满分13分）设关于的一元二次方程（）有两根和，且满足．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）求证：数列是等比数列；（Ⅲ）当时，求数列的通项公式，并求数列的前项和．6.（本小题满分13分）已知，点A（s, f（s））, B（t, f（t））（Ⅰ）若,求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若函数的导函数满足：当|x|≤1时，有||≤恒成立，求函数的解析表达式；（Ⅲ）若0<a<b, 函数在和处取得极值，且,证明：与不可能垂直．湖南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知数列是等差数列，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差数列的性质得，又因为，所以,故选C 【考点】等差数列的性质：与首末两端等距离的项的和相等。
高一下第一次月考数学 教师版 (1)
长沙市周南中学高一下期第一次月考试卷（数学）(满分150分，考试时间120分钟)一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={}|21x x >，1|01x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M ∩N ＝（ ） A ．[0，1) B ．(0，1) C ．(－1，+∞) D ．(1，+∞)【答案】B2．复数21+i的虚部为（ ） A ．1 B ．－1C ． －iD ． i【答案】B3. 一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且直观图O A B C ''''的面积为2，则原梯形的面积为（ ）A. 2B. C. 4D.【详解】由斜二测画法知，4S S =直观原图，又2S =直观，S ∴=原图 故选：D . 4．函数f (x )＝ln x xx的大致图象为（ ）【答案】A5、已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，则a b >是 cos cos A B <的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 6、已知，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】， 当且仅当，即时，取等号． 7．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg 20.3≈，结果取整数）（ ）A ． 23天B ． 33天C ． 43天D ． 50天 【答案】B8、在锐角三角形ABC中，1cos ,7,67A AB AC π⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭ 则()AB BC •=A.B. 40C.D. 34【详解】由同角三角函数基本关系可得， 则，()23372374014AB BC AB AC AB •=•-=••-=- 故选A 102x <<(12)x x -1214181162112121(12)2(12)()2228x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=212x x =-14x =二、 多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ac ＞bdD ．0c da b->解：因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以a ＞b ＞0，0＞c ＞d ，对于A ，因为0＞c ＞d ，由不等式的性质可得c 2＜cd ，故选项A 正确； 对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则a ﹣c ＝3，b ﹣d ＝3，所以a ﹣c ＝b ﹣d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则ac ＝﹣2，bd ＝﹣2，所以ac ＞bd ，故选项C 错误；对于D ，因为ad ＜0，bc ＜0，因为a ＞b ＞0，d ＜c ＜0，则ad ＜bc ，所以，故，故选项D 正确．故选：AD ．10．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．把y ＝f （x ）图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g （x ）＝2cos2x的图象C ．f （x ）在区间[，]上单调递减D ．（，0）是y ＝f （x ）图象的一个对称中心解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，。
湖南省长沙市周南梅溪湖中学高一数学上学期第一次月考试题(2021年整理)
湖南省长沙市周南梅溪湖中学2018-2019学年高一数学上学期第一次月考试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖南省长沙市周南梅溪湖中学2018-2019学年高一数学上学期第一次月考试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2018-2019学年度长沙市周南梅溪湖中学高一上学期第一次模拟检测数学试题卷一、选择题。
（本大题共12小题,每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项最符合题意。
） 1．设全集U R =，集合{}2log 2x x A =≤，()(){}310x x x B =-+≥，则()U B A =（ ） A ．(],1-∞- B ．(](),10,3-∞- C ．()0,3 D ．[)0,32．已知集合2{|lg()}A x y x x ==-，集合2{|0(0)}B x x cx c =-<>错误!未找到引用源。
，若A B ⊆错误！未找到引用源。
,则c 的取值范围为（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞ 3．下列四组中的,，表示同一个函数的是( ）． A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 4．已知，则（ ）．A ．B ．C ．D ．5．给定下列函数:① ② ③ ④，满足“对任意，当时，都有"的条件是（ ） A ． ①②③ B． ②③④ C． ①②④ D． ①③④ 6．设 ，则A ．B ．C ．D ．7．设非空集合满足：当时，有．给出如下三个命题：①若，则； ②若,则；③若,则．其中正确命题的个数是A ． 0B ． 1C ． 2D ． 38．若函数f (x ）＝（k －1）a x－a －x(a >0且a ≠1）在R 上既是奇函数，又是减函数,则g (x ）＝log a (x ＋k )的图象是下图中的 （ ）．A ．B ．C ．D ．9．已知函数 ,且，则( ） A ． B ． C ． D ．10．对于函数()f x 的定义域中任意的1x ，2x （12x x ≠），有如下结论（ ） （1）1212()()()f x x f x f x +=⋅；（2）1212()()()f x x f x f x ⋅=+；(3）1212()()0f x f x x x ->-；（4）1212()()()22x x f x f x f ++<．当()2x f x =时，上述结论中正确的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．011．已知函数()21)(-=x ax f ，若()104f =，则函数()f x 的单调递减区间是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．[)2,-+∞ D.(],2-∞-12．已知函数，．方程有六个不同的实数解，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题.（本大题共4个小题，每小题5分.满分20分。
2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题的。
1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.已知，则( )A.B. C.D.3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )A. B.C.D.4.函数的图象与直线为常数的交点最多有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数x 的值为A. 1B.C. 1或D.或6.下列命题：①若，则②若，，则③的充要条件是且④若，，则⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中真命题的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 57.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，，，，则向量的模为( )A. B. 2 C. D. 48.设函数，则的最小正周期( )A. 与a有关，且与b有关B. 与a有关，但与b无关C. 与a无关，且与b无关D. 与a无关，但与b有关二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，，且，下列结论正确的是( )A. B.C. D. 的最小值为810.要得到函数的图象，可以将函数的图象得到( )A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位C. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍11.已知，下列关系可能成立的有( )A. B. C. D.12.下列论断中，正确的有( )A. 中，若A为钝角，则B. 若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数C. 若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称D. 向量，，满足，则或三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
长沙市周南中学09-10学年高一第一次月考试卷及答案解析(原始打印版)
长沙市周南中学09-10学年高一第一次月考试卷数 学 2009.10.8命题人:曹干铁 时量:120分钟 总分:150分一．选择题:本大题共8小题；每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果A=}1|{->x x ，那么( )A ．A ⊆0B ．A ∈}0{C ．A ∈ΦD ．A ⊆}0{ 2．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．22(),()()f x x g x x == B ．0()1,()f x g x x ==C ．()()()()t t g x x x x x f =⎩⎨⎧<-≥=,00 D ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-3．设全集},1|{},0)3(|{,-<=<+==x x B x x x A R U 则右图中阴 影部分表示的集合为A ．}13|{-<<-x xB ．}03|{<<-x xC ．}0|{>x xD ．}1|{-<x x 4．下列函数中，值域是R + 的是( )A ．y=122+-x xB ．()()+∞∈++=,012x x x y C ．()N x x x y ∈++=1212D ．11+=x y 5．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1)6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0<x 时，()f x 等于( ) A ．1+-x B ．1+x C ．1--x D ．1-x7．函数()()2122+-+=x a ax x f 在区间(]4,∞-上为减函数，则a 的取值范围为A ． 0＜a ≤51 B ．0≤a ≤51C ．0＜a ＜51D ．a >51 8．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x x x g x f 1212+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-，则当211x x <<时,有( )A ． ()()()211x f x f g <<B ．()()()121x f x f g <<C ．()()()211x f g x f <<D ．()()()121g x f x f <<二.填空题:本大题共7个小题，共35分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上.9．在我校刚闭幕的田径运动会上，高一某班有23名同学参加了田赛，有19名同学参加了径赛，又已知该班共有34名同学参加了此次运动会，则该班有_____名同学既参加了田赛又参加了径赛。
湖南省长沙市周南中学2018-2019学年高一上第一次月考数学试题
周南中学2018-2019学年度第一学期高一数学第一次月考试题一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}，，332|=≤=a x x A 则下列关系式成立的是（ ）A.A a ∉B.A a ⊆C.{}A a ⊆D.A ∈∅2.计算322a a a∙的结果为（ ） A.23a B.61a C.65a D.56a3.已知集合{}{}，，，1|1|2+==∈+==x y y N R x x y y M 则=N M （ ）A.()10，B.{}10，C.{}1|-≥x xD.{}1|≥y y4.下列各组函数中,()x f 与()x g 表示同一函数的是（ ）A.()()()42x x g x x f ==与B.()()2422+-=-=x x x g x x f 与C.()()33x x g x x f ==与D.()()112-=-=x x g x x x f 与5.已知集合{}{}b a N M ，，，，=-=011为2:x x f →从M 到N 的映射，则b a +等于( )A.1B.0C.-1D.26.已知()，＜，π，＞，⎪⎩⎪⎨⎧==00002x x x x x f 那么()()()3-f f f 的值等于（ ）A.0B.πC.2πD.97.函数()xx x f -++=211的定义域为（ ） A.()∞+-，1 B.[)()∞+-，，221 C.[)21，- D.[)∞+-，18.函数()()2122+-+-=x a x x f 在(]4，∞-上是增函数,则实数a 的取值范围是（ ）A.5≥aB.3≥aC.3≤aD.5≤a9.若函数()x f 是奇函数,当0＜x 时,()x f 的解析式是()()，x x x f -=1则当0＞x 时,()x f 的解析式是（ ）A.()()x x x f --=1B.()()x x x f -=1C.()()x x x f +-=1D.()()x x x f +=110.已知定义在区间[]a a -+132，上的函数()x f 的图象关于原点对称,则()4++=a ax x g 在R 上是（ ）A.增函数,奇函数B.减函数,奇函数C.非奇非偶的增函数D.非奇非偶的减函数11.设定义在R 上的函数()x f y =是奇函数,且在()0，∞-为增函数,()，01=-f 则不等式()0＞x f 的解集为（ ）A.[)()∞+-，，101B.()[)∞+-，，101C.()01，-D.()()∞+-，，10112.已知()，222+-=x x x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2412m m ，上任取三个数，、、c b a 均存在以 ()()()c f b f a f 、、为三边的三角形,则实数m 的取值范围为（ ） A.⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛220， B.⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛222， C.()10， D.⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡220，二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在籥题纸上)13.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱气排球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱气排球运动的人数为_________.14.函数()x x x f 22+-=的单调递增区间是_______.15.函数()()002＞＜＜，，t t x x t x x x f ⎩⎨⎧≥=是区间()∞+，0上的增函数,则实数t 的取值范围是______. 16.定义在R 的函数()x f ,已知()2+=x f y 是奇函数,当2＞x 时,()x f 单调递增,若421＞x x +且()()，＜02221--x x 记()()，21x f x f a +=则a 与0的大小关系为_________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(本小题满分10分)已知集合{}{}.2873|42|x x x B x x A -≥-=≤≤=，(1)求；B A(2)求()()B C A C R R18.(本小题满分12分)(1)已知()，3212++=+x x x f 求()x f 解析式；(2)已知()x f y =是一次函数,且有()()，89+=x x f f 求此一次函数的解析式.高斯函数[]x 的函数表示不超过x 的最大整数，例如：[][]，，21.245.3=-=-当[]22，-∈x 时:(1)写出函数()[]x x x g -=的解析式；(2)画出函数()[]x x x g -=的图象并填写下表：20.(本小题满分12分)已知函数()a xx x f ++=4(a 为常数)是奇函数. (1)求实数a 的值；(2)用定义法证明()x f 在(]20，上为减函数,并求()x f 在[]13--，上的最大值和最小值。
湖南省长沙市2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题含解析
2023级高一年级第一次月考数学科试题卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I 卷一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若a，b，c，d 为集合A 的四个元素，则以a，b，c，d 为边长构成的四边形可能是()A.矩形B.平行四边形C.菱形D.梯形【答案】D 【解析】【详解】由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.选D.点睛：集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2.命题“存在x ∈R ，()1<2f x ≤”的否定形式是（）A.任意x ∈R ，()1<2f x ≤B.任意R x ∉，()1f x ≤或()2f x >C.任意R x ∉，()1<2f x ≤D.任意x ∈R ，()1f x ≤或()2f x >【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.【详解】命题“存在x ∈R ，()1<2f x ≤”的否定形式是“任意x ∈R ，()1f x ≤或()2f x >”.故选：D3.下列各式中：①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据集合、元素之间的关系，结合集合与集合之间的有关系逐一判断即可.【详解】①：根据子集的定义可知{}{}00,1,2⊆，显然本序号不正确；②：根据子集的定义可知{}{}0,1,22,1,0⊆是正确的，显然本序号正确；③：空集是任何集合的子集，所以本序号正确；④：空集是任何集合的子集，所以本序号不正确；⑤：集合{}0,1是两个元素，(){}0,1是单元素集合，这两个集合不可能相等，所以本序号不正确；⑥：显然0是集合{}0中的元素，所以{}00∈，因此本序号不正确，正确的个数是2，故选：B4.已知()f x x =是集合A 到集合B 的函数，如果集合{}2B =，那么集合A 不可能是（）A.{}2,2- B.{}2- C.{}1,2- D.{}2【答案】C 【解析】【分析】根据函数的概念即可求解.【详解】若集合{}1,2A =-，则1A -∈，但11B -=∉，故选：C.5.设集合{{,A xy B y y ====∣∣则集合A B ⋃的真子集的个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】分别求出集合,A B 及A B ⋃，根据A B ⋃中元素个数写出其真子集的个数.【详解】集合A 表示y =+221010x x ⎧-≥⎨-≥⎩得21x =，所以{}1,1A =-，集合B 表示y =因为其定义域为{}1,1-，故{}0B =，所以{}1,0,1A B =-U ，所以集合A B ⋃的真子集的个数为3217-=.故选：C 6.110a+>是1a <-成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断，进而得出正确答案.【详解】由110a+>即10aa +>，等价于()10a a +>，解得:0a >或1a <-，由0a >或1a <-，得不出1a <-，由1a <-可得出0a >或1a <-，所以0a >或1a <-是1a <-的必要不充分条件，即110a+>是1a <-成立的必要不充分条件，故选：B.7.已知命题():1,2,1p x ax ∃∈>成立，若p 为真命题，则a 的取值范围为（）A.1a ≥B.1a >C.12a >D.12a ≥【答案】C 【解析】【分析】分离参数，转化为求函数的值域．【详解】(1,2)x ∈，因此由1ax >得1>a x ，即存在(1,2)x ∈，1>a x成立，(1,2)x ∈时，11(,1)2x ∈，因此12a >，故选：C ．8.已知关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值范围是（）A.1215a <≤B.1215a ≤≤C.1215a <<D.912a <≤【答案】A 【解析】【分析】根据二次函数的对称性可得出不等式280x x a -+≤的解集中的整数，可得出关于实数a 的不等式组，即可求解.【详解】因为28y x x a =-+的对称轴为4x =，开口向上，所以若关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则分别为3，4，5，则2238302820a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得1215a <≤.所以a 的取值范围是(12,15].故选：A二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列各组函数能表示同一个函数的是（）A.(f x ()=||g x x B.()f x x =与2()=x g x xC.(f x (g xD.2()=21f x x x --与2()=21g t t t --【答案】AD 【解析】【分析】根据定义域和解析式是否都相同来判断是否同一函数.【详解】A.()f x x ==，()||g x x =定义域和解析式都相同，是同一函数；B.2()x g x x=的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()f x x =的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数；C.()f x =(][),22,-∞-+∞U ，()g x =的定义域为[)2,+∞，定义域不同，不是同一函数；D.2()21f x x x =--，2()21g t t t =--的定义域均为R ，解析式都相同，是同一函数.故选：AD.10.若0a b <<，110c d<<，则下面四个不等式成立的有（）A.11a b> B.c d > C.a b c d> D.a ba cb d>++【答案】ACD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质直接推导可判断ABC ；先将a ba cb d>++等价变形，然后由不等式性质推导可判断D.【详解】由0a b <<可得0a b ->->，所以11a b <--∴11a b>，故A 正确；由110c d <<可得0cd >，所以110cd cd c d⋅<⋅<，即0d c <<，∴c d <，故B 不正确；因为0a b <<，110c d <<，所以0a b ->->，110c d ->->，所以11(()0a b c d -⨯->-⨯->，∴a b c d>，故C 正确；由题可知()()0a c b d ++>由于()()a ba b d b a c ad bc a c b d>⇔+>+⇔>++，由上可知0a b ->->，0d c ->->，所以0ad bc >>，所以a ba cb d>++，故D 正确；故选：ACD ．11.R x ∀∈，关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立的一个必要不充分条件是（）A.04a <<B.1a >-C.102a <<D.10a ≤【答案】BD 【解析】【分析】先求出R x ∀∈，关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立的充要条件，再根据必要不充分条件的定义可求出答案.【详解】当对于R x ∀∈，关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立，则2()40a a ∆=--<，得04a <<，对于A ，是充要条件，所以A 错误，对于B ，因为当04a <<时，1a >-一定成立，所以1a >-是关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立的一个必要不充分条件，所以B 正确，对于C，因为当102a <<时，04a <<成立，所以102a <<是关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立的一个充分不必要条件，所以C 错误，对于D，因为当04a <<时，10a ≤一定成立，所以10a ≤是关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立的一个必要不充分条件，所以D 正确，故选：BD.12.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2B.已知1x >，则4211y x x =+--的最小值为1+C.若正数,x y 为实数，若23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D.设,x y 为正数，若22931x y xy +-=，则3x y +的最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求最值判断.【详解】选项A ，当0x <时，210x y x+=<，A 错；选项B ，1x >，则10x ->，44212(1)11111y x x x x =+-=-++≥=--，当且仅当42(1)1x x -=-，即1x =B 正确；选项C ，,x y 是正数，23x y xy +=123y x⇒+=，()112122122553333x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22x y y x =，即1x y ==时等号成立，C 正确；选项D ，,x y 为正数，若22931x y xy +-=，223(3)193(2x y x y xy ++-=≤⋅，解得32x y +≤，当且仅当3x y =1=时等号成立，D 正确，故选：BCD ．第II 卷三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设全集U ＝M ∪N ＝{1，2，3，4，5}，M∩∁U N ＝{2，4}，则N ＝________．【答案】{135}，，【解析】【详解】M∪N 元素去掉M∩∁U N 元素得N ＝{1，3，5}14.若不等式2220ax ax +-<对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(16,0]-【解析】【分析】根据题意，分0a =和0a ≠，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】解：不等式2220ax ax +-<对一切实数x 都成立，当0a =时，不等式为20-<，显然成立；当0a ≠时，要使得2220ax ax +-<对一切实数x 都成立，则满足220Δ160a a a <⎧⎨=+<⎩，解得160a -<<，综上可得，实数a 的取值范围是(16,0]-.故答案为：(16,0]-.15.已知集合{}1,2,3,4M =，A M ⊆，集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.当集合A 的累积值是偶数时，这样的集合A 共有________个．【答案】13【解析】【分析】理解新定义，再利用间接法与集合子集个数的求法即可得解.【详解】因为A M ⊆，且集合{}1,2,3,4M =的子集有4216=个，其中“累积值”为奇数的子集为{}{}{}1,3,1,3共3个，故“累积值”为偶数的集合有16313-=个．故答案为：13.16.若不等式22360x mx m -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是______.【答案】()(),63,-∞-⋃+∞【解析】【分析】利用变换主元法将m 看成自变量，将x 看成参数即可求解.【详解】解：不等式22360x mx m -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立将m 看成自变量，将x 看成参数，将不等式化为：()23260x m x -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立令()()2326g m x m x =-+-即()0g m >对一切[]2,1m ∈-恒成立等价于()()2010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即224120230x x x x ⎧+->⎨-->⎩解得：3x >或6x <-所以实数x 的取值范围是：()(),63,x ∈-∞-⋃+∞【点睛】关键点睛：当所给不等式或者等式有两个变量时，将已知变量看成自变量，所求变量看成参数，即变换主元法进行求解.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（1）已知11,02x y -<<<<，求23x y -的取值范围.（2）设,R x y ∈，证明：()2222()x y xy x y -≥-【答案】（1）()8,2-;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据不等式的性质求解；（2）作差法比较大小.【详解】（1）因为11,02x y -<<<<，所以222,630x y -<<-<-<，两不等式相加，得8232x y -<-<，所以23x y -的取值范围为()8,2-.（2）()()()2222222()()x y xy x y x y x y xy x y --+---=-()22()x y x y xy -=-+⎡⎤⎣⎦()222()x y x y xy=-++2223()24y x y x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为2220,3()240,0y x y x y ⎛⎫≥+≥≥ ⎪⎝⎭-，所以()2222()0x y xy x y --≥-，所以()2222()x y xy x y -≥-.18.已知集合{221},{07},R A xa x a B x x U =-<<+=<<=∣∣.（1）若1a =，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{17}A B xx ⋃=-<<∣，(){10}U A B x x ⋂=-<≤∣ð（2）{}{}323a a a a ≤-⋃≤≤【解析】【分析】（1）根据集合并集、补集、交集的定义进行求解即可；（2）根据子集的定义，结合集合是否为空集分类讨论进行求解即可.【小问1详解】若1a =，{13}A xx =-<<∣，所以{17}A B xx ⋃=-<<∣，因为{07},R B xx U =<<=∣{0U B x x =≤ð或}7x ≥，所以(){10}U A B xx ⋂=-<≤∣ð；【小问2详解】当221a a -≥+时，即当3a ≤-时，A =∅，显然A B ⊆成立；当221a a -<+时，即当3a >-时，A ≠∅，要想A B ⊆，只需2172320a a a +≤⎧⇒≤≤⎨-≥⎩，显然满足3a >-，综上所述：实数a 的取值范围{}{}323a a a a ≤-⋃≤≤.19.甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ．（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为1p 元，2p 元（10p >，20p >，且12p p ≠），甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q ．通过比较1Q ，2Q 的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算．【答案】（1）5;245（2）第二种购物方式比较划算．【解析】【分析】（1）甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，由两次所花钱数除以购物数量可得平均价格；（2）利用平均数计算公式，分别计算出平均数，即可表示出来．再利用作差法比较两种购物方式中，哪种划算．【小问1详解】设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为：645m mm m +=+，乙两次购买这种物品平均价格为：224564n n n =+；【小问2详解】甲两次购物时购物量均为m ，则两次购物总花费为12p m p m +，购物总量为2m ，平均价格为1212122p m p m p p Q m ++==．设乙两次购物时用去的钱数均为n ，则两次购物总花费2n ，购物总量为12n n p p +，平均价格为122121222p p n Q n n p p p p ==++，121212122,2p p p p Q Q p p +∴==+12p p ≠ ，()()21212112121222022p p p p p p Q Q p p p p -+∴-=-=>++，12Q Q ∴>，故：第二种购物方式比较划算．20.已知关于x 的不等式()()110ax x -+>，R a ∈.（1）若此不等式的解集为空集，求实数a 的取值集合；（2）求这个关于x 的不等式的解集.【答案】（1）{}1-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由条件可得a<0，且方程()()110ax x -+=的两解相等，然后可得答案；（2）分0a >、0a =、10a -<<、1a =-、1a <-五种情况讨论即可.【小问1详解】要使不等式()()110ax x -+>的解集为空集，则有a<0，且方程()()110ax x -+=的两解相等，所以11a=-，即1a =-，所以实数a 的取值集合为{}1-.【小问2详解】当0a =时，不等式()()110ax x -+>为()10x -+>，解得1x <-，即解集为(),1-∞-，当0a ≠时，方程()()110ax x -+=的解为1a 、1-，所以当0a >时，不等式的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，当10a -<<时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭，当1a =-时，不等式的解集为∅，当1a <-时，不等式的解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上：当0a >时，不等式的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭，当0a =时，不等式的解集为(),1-∞-，当10a -<<时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭，当1a =-时，不等式的解集为∅，当1a <-时，不等式的解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.21.二次函数2()21(0)f x ax ax b a =-++>在区间[0,3]上有最大值4，最小值0．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设2()()4g x f x x mx =--，若()0g x ≤在1,77x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）2 ()21f x x x =-+（2）8m ≥【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质得其对称轴1[0,3]x =∈，min max ()(1)()(3)f x f f x f ==，，建立方程组，求解可得函数的解析式；（2）由（1）得21161m x x ⎛⎫≥-⋅+ ⎪⎝⎭在1,77x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，由二次函数的性质和恒成立思想可求得范围.【小问1详解】解：由题2()21(0)f x ax ax b a =-++>，得其对称轴1[0,3]x =∈，所以min max ()(1)10()(3)314f x f a b f x f a b ==-++=⎧⎨==++=⎩，解得：1a =，0b =，所以2 ()21f x x x =-+.【小问2详解】解：由（1）得()2()161g x m x x =--+，所以()0g x ≤等价于21161m x x ⎛⎫≥-⋅+ ⎪⎝⎭在1,77x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，设11,77t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即2261(3)8m t t t ≥-+=--在1,77t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，又28(3)88t -≤--≤，所以8m ≥.22.已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()0f x >的解集为{34}x x -<<∣，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<；（2）已知4,b a c =>，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x R ∈，使得2000ax bx c ++=成立，求2242a c a c+-的最小值.【答案】（1）()3,5-（2）8【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可；（2）根据二次函数的性质，结合一元二次方程根的判别式、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为()0f x >的解集为{34}xx -<<∣，所以0341234a b a b c a a c a ⎧⎪<⎪=-⎧⎪-+=-⇒⎨⎨=-⎩⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以()2222123021502150ax ax a a ax ax a x x -+---<⇒-++<⇒--<35x ⇒-<<，所以关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<的解集为()3,5-；【小问2详解】当4b =时，()24f x ax x c =++，因为()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，所以200Δ4404a a ac ac >>⎧⎧⇒⎨⎨=-≤≥⎩⎩，因为存在0R x ∈，使得2000ax bx c ++=成立，所以2440ac -≤，即4ac ≤，而4ac ≥所以有4ac =，因为0a >，a c >，所以()()2222441628222a c ac a c a c a c a c a c -++==-+≥=---，当且仅当1622a c a c-=-时取等号，即当12a c ==-取等号，2242a c a c+-的最小值为8【点睛】关键点睛：本题的关键是利用一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系，以及利用基本不等式.。
湖南省长沙市高一上学期数学第一次月考试卷
湖南省长沙市高一上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·新疆模拟) 已知集合，集合，则（）A .B .C .D .3. （2分）某工厂某种产品的产量x（千件）与单位成本y（万元）之间的关系满足y=60﹣2.5x，则以下说法正确的是（）A . 产品每增加1000件，单位成本下降2.5万元B . 产品每减少1000件，单位成本上升2.5万元C . 产品每增加1000件，单位成本上升2.5万元D . 产品每减少1000件，单位成本下降2.5万元4. （2分） (2019高一上·荆门期中) 已知函数满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·株洲期中) f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3﹣不可能是k型函数；②若函数y=﹣ x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；④若函数y= （a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．下列选项正确的是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ①④6. （2分）使得函数的值域为的实数对有（）对A . 1B . 2C . 3D . 无数7. （2分） (2019高一上·四川期中) 若对于定义域内的任意实数都有，则（）A .B .C .D .8. （2分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A .B . y=﹣tanxC .D . y=﹣x3（﹣1＜x≤1）9. （2分）设等差数列的前项和为,若,,则当取最小值时，（）A . 6B . 7C . 8D . 910. （2分） (2016高一上·潍坊期中) 如果二次函数y=ax2+bx+1图象的对称轴是x=1，并且通过点A（﹣1，7），则a，b的值分别是（）A . 2，4B . 2，﹣4C . ﹣2，4D . ﹣2，﹣411. （2分）(2017·深圳模拟) 已知f（x）= ，g（x）=|x﹣2|，则下列结论正确的是（）A . h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B . h（x）=f（x）•g（x）是奇函数C . h（x）= 是偶函数D . h（x）= 是奇函数12. （2分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（）A . 16B . 8C . -16D . -8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·嘉兴期中) 函数f（x）=x2﹣2ax+2在（﹣∞，6）内递减，则a的取值范围为________．14. （1分） (2019高一上·蓟县月考) ，根式恒有意义，则 ________.15. （1分） (2019高一上·忻州月考) 幂函数在时为减函数，则m=________。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测(月考)数学试题
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测（月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若角α的终边与单位圆相交于点1,2P ⎛ ⎝⎭，则tan α等于（ ）A．12B ．C ．D ．2．已知函数()sin 2f x x a x =++，且()5f m =，则()f m -=（ ） A ．5-B ．3-C ．1-D ．33．函数()312log 2f x x x x x=-+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知5ππcos ,sin ,log 256a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b6．若函数()22log 1,11()2,1x x f x x ax x ⎧+-<≤=⎨->⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．(],2-∞C ．[]0,1D ．[)0,∞+7．在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=（ ）A ．18B ．17C ．16D ．158．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1117,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A ．若0z z ⋅=，则0z = B ．若R z z -∈，则R z ∈ C ．若π2πcosisin 55z =+，则1z = D ．若11z z -=+，则1i z --的最小值是1 10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()(2)(2)f x y f x f y f x f y +=⋅---，且()()00,20f f ≠-=，则（ ） A ．()21f = B ．()f x 是偶函数 C ．22[()][(2)]1f x f x ++=D ．()()()()12320241f f f f ++++=L三、填空题12．如图，在直角梯形ABCD 中，224AB CD AD ===，则直角梯形ABCD 的直观图的面积为.13．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若30A =o ，且312a ==，则c 的值为.14．定义：{}max ,x y 为实数,x y 中较大的数．若,,0a b c >，则11max ,,⎧⎫+++⎨⎬⎩⎭a b bc c aca b 的最小值为．四、解答题15．已知向量()3,1a =r，5b =r ，()15a a b ⋅+=r r r .（1）求向量a r 与b r夹角的正切值； （2）若()()2a b a b λ-⊥+r r r r ，求λ的值.16．在①3sin 4cos a C c A =；②2sinsin 2B Cb B +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．然后解答补充完整的题，在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知______，a =（1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点，MC MB =，2ABM π∠=，求边c ．17．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在圆周上.记梯形ABCD 的周长为y ，CAB θ∠=.(1)将y 表示成θ的函数； (2)求梯形ABCD 周长的最大值.18．设函数()πcos3f x x =，()ln g x x =，()22e e 15x x h x =--． (1)求函数()y f x =在()0,10上的单调区间；(2)若()10,3x ∀∈，()2,x a ∃∈-∞，使()()12f x h x =成立，求实数a 的取值范围； (3)求证：函数()()()x f x g x φ=-在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，并求()()0h g x ⎡⎤⎣⎦（[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.72=，[]3.24-=-）．2.449≈，5ln 0.2234≈．19．设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，如果对于[],a b 内任意两数12,x x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则称()f x 为[],a b 上的凹函数；若()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则称()f x 为凸函数.若()f x 是区间[],a b 上的凹函数，则对任意的[]12,,,,n x x x a b ∈L ，有琴生不等式()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭L L 恒成立（当且仅当12n x x x ===L 时等号成立）. (1)证明：()11f x x=-在()0,1上为凹函数； (2)设12,,,0,2n x x x n >≥L ，且121n x x x +++=L ，求1212111n nx x xW x x x =+++---L 的最小值；(3)设12,,,n r r r L 为大于或等于1的实数，证明：12111111n r r r +++≥+++L .示：可设e i xi r =）。
湖南高一高中数学月考试卷带答案解析
湖南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.tan600°的值是（）A．B．C．D．2.已知，，那么的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知平面向量，，则向量的坐标是（）Ａ． B．Ｃ．Ｄ．4.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（）A．x="-1"B．x="3"C．x=D．x=515.已知，，，则与的夹角是（）A．30B．60C．D．1506.已知，，且⊥，则等于（）A．B．C．D．7.函数的最小正周期是（）A．B．C．2D．48.化简式子的结果是（）A． C D9.函数的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于点（－，0）对称D．关于直线x=对称10.已知图是函数）的图象上的一段，则（）C．D．11.tan600°的值是（）A．B．C．D．12.已知，，那么的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13.已知平面向量，，则向量的坐标是（）Ａ． B．Ｃ．Ｄ．14.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（）A．x="-1"B．x="3"C．x=D．x=5115.已知，，，则与的夹角是（）A．30B．60C．D．15016.已知，，且⊥，则等于（）A．B．C．D．17.函数的最小正周期是（）A．B．C．2D．418.化简式子的结果是（）A． C D19.函数的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于点（－，0）对称D．关于直线x=对称20.已知图是函数）的图象上的一段，则（）C．D．二、填空题1.2.已知点，点，若，则点的坐标是。
3.4.若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是5.函数f(x)=cosx－sinx(0≤x≤)的值域是6.7.已知点，点，若，则点的坐标是。
湖南高一高中数学月考试卷带答案解析
湖南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知平面向量，且，则（）A．－3B．3C．－1D．12.若函数，则是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数3.若，则（）A．B．C．D．4.已知、之间的一组数据如右表：则线性回归方程A．（0，0） B．（1.5,5） C．（4,1.5） D．（2,2）5.在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7.定义运算，如.已知，，则（）.A．B．C．D．二、填空题1.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，估计样本数据落在区间[10,12)内的频数为____________．2.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是．3.4.阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为，则输入的实数x的值为________．5.已知且，则在方向上的投影为________.6.向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．7.若，则的最大值是。
三、解答题1.已知，且与的夹角为120°.求：(1) ； (2) ； (3) .2.对关于的一元二次方程……，解决下列两个问题：（1）若是从三个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求方程有两个不相等实根的概率；（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求方程有两个不相等实根的概率．3.已知向量，函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）若，，求的值；（3）若，且有且仅有一个实根，求实数的值.4.设为的三个内角，且（1）求角的大小；（2）求的取值范围。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
2024年下学期10月份考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列表示集合6N N A x x ++⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭和(){}22536B x x x=+=关系的Venn 图中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】依题意可求得集合,A B ，根据集合中的元素可判断两集合之间的关系.【详解】根据题意由6N ,N x x++∈∈可得1,2,3,6x =，即{}1,2,3,6A =；解方程()22536x x+=可得256x x +=或256x x +=-，解得1x =或6x =-或2x =-或3x =-，即可得{}1,2,3,6B =---；因此可得集合,A B 有交集，但没有包含关系.故选：A2.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]π3=，[]0.60=，[]1.62-=-，那么“1x y -<”是“[][]x y =”的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】举出反例得到充分性不成立，再设[][]x y k ==，得到1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，得到答案.【详解】不妨设 1.6, 2.5x y ==，满足1x y -<，但[][]1,21.6 2.5==，不满足[][]x y =，充分性不成立，若[][]x y =，不妨设[][]x y k ==，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，故“1x y -<”是“[][]x y =”的必要条件.故选：B3.已知命题p ：x ∀∈R ，01xx >-，则p ⌝为（）.A.x ∀∈R ，01xx ≤- B.x ∃∈R ，01xx ≤-C.x ∀∈R ，01xx ≤-或10x -= D.x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定求解即可.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=.故选：D4.若正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则t xy =的取值范围为（）A.{|04}t t <≤B.{|2}t t ≥C.{|4}t t ≥D.{|16}t t ≥【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式得到4x y +≥，求出答案.【详解】正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则4x y +≥，当且仅当x y =时取等号，所以t xy =，即xy ≥，即t ≥，两边平方,结合0t >，解的16t ≥.故选：D.5.已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B.1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D6.若实数αβ，满足1312αβ-<<<-，则αβ-的取值范围是（）A.1312αβ-<-<-B.250αβ-<-<C.10αβ-<-<D.11αβ-<-<【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果.【详解】因为αβ<，所以0αβ-<，又1312α-<<-，1312β-<<-，所以1213β<-<所以11αβ-<-<，故10αβ-<-<，故选：C7.关于x 的一元二次不等式()()()2120x a x a --+->⎡⎤⎣⎦，当01a <<时，该不等式的解集为（）A.2|21a x x x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭或 B.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭C.2|21a x x x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭或 D.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】由01a <<，知10a -<，原不等式等价于()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集.【详解】由01a <<，则10a -<，原不等式等价于不等式()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭的解集，又由01a <<，则方程()2201a x x a -⎛⎫--= ⎪-⎝⎭的两根分别为1222,1a x x a -==-，当01a <<时，221a a -<-，故原不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭.故选：B8.已知长为a ，宽为b 的长方形，如果该长方形的面积与边长为1k 的正方形面积相等；该长方形周长与边长为2k 的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为3k 的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为4k 的正方形面积和周长的比相等，那么1k 、2k 、3k 、4k 大小关系为（）A.1423k k k k ≤≤≤B.3124k k k k ≤≤≤C.4132k k k k ≤≤≤D.4123k k k k ≤≤≤【答案】D 【解析】【分析】先求出21ab k =，22a b k +=3=，2442k aba b k =+，然后利用基本不等式比较大小即可.【详解】由题意可得，21ab k=①，22a b k +=3=③，2442k aba b k =+④，且,0a b >，由基本不等式的关系可知，a b +≥a b =时等号成立，由①②得，2122k k ≥，所以21k k ≥⑤，因为()22222()22+=++≤+a b a b ab a b，所以222()2a b a b ++≥，当且仅当a b =时等号成立，由②③得，2223422k k ≥，所以32k k ≥⑥，又2ab aba b ≤=+，当且仅当a b =时等号成立，由①④得，241422k kk ≤，所以41k k ≤⑦，综合⑤⑥⑦可得，4123k k k k ≤≤≤.故选：D .二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法不正确的是（）A.“a b <”是“11a b>”的必要不充分条件B.若1x y +=，则xy 的最大值为2C.若不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，则230a b c ++<D.命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∉，使得210x +≠．”【答案】ABD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A ，消元，根据二次函数性质判断B ，根据一元二次不等式的解集与二次方程的关系求,,a b c 的关系，由此判断23a b c ++的正负，判断C ，根据含量词的命题的否定方法判断D.【详解】对于A ，取1a =-，1b =，则a b <，但11a b<，取1a =，1b =-，则11a b>，但a b >，所以“a b <”是“11a b>”的既不充分也不必要条件，A 错误；对于B ，因为1x y +=，所以()2211124xy x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以xy 的最大值为14，B 错误；因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，所以0a <，且1,3为方程20ax bx c ++=的根，所以13b a +=-，13c a⨯=，所以4b a =-，3c a =，所以238920a b c a a a a ++=-+=<，C 正确；命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∈，使得210x +≠．”D 错误；故选：ABD.10.已知正数a ，b 满足238a b +=，则下列说法正确的是（）A.83ab ≤ B.227a b +>C.224932a b +≥ D.11126436a b a b +≥++【答案】ACD 【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论检验选项A,C,D ，举出反例检验选项B ，即可判断.【详解】对于A ，因为823a b =+≥，故83ab ≤，当且仅当23,238a b a b =+=,即42,3a b ==时等号成立，故A 正确;对于B ，当2,1b a ==时,2267a b +=<，B 显然错误;对于C ，因为22249(23)12641232a b a b ab ab +=+-=-≥，当且仅当42,3a b ==时等号成立，故C 正确;对于D ，由238a b +=可得()6932324a b a b +=+=,即()264324a b a b +++=,所以111264326432643242643a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭143261122242643246a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当2643a b a b +=+，即42,3a b ==时等号成立，故D 正确.故选：ACD.11.对于一个非空集合B ，如果满足以下四个条件：①(){},,B a b a A b A ⊆∈∈，②(),,a A a a B ∀∈∈，③,a b A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b a B ∈，则a b =，④,,a b c A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b c B ∈，则(),a c B ∈，就称集合B 为集合A 的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（）A.设{}1,2A =，则满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个B.设{}1,2,3A =，则集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =是集合A 的一个“偏序关系”C.设{}1,2,3A =，则含有四个元素且是集合A 的“偏序关系”的集合B 共有6个D.(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系”【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，分析出()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，从而得到足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个；B 选项，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，B 错误；C 选项，分析出()()()1,1,2,2,3,3B ∈，再添加一个元素即可，从而得到答案；D 选项，通过分析均满足四个条件，D 正确.【详解】A 选项，{}1,2A =，则(){}()()()(){},,1,1,1,2,2,1,2,2a b a A b A ∈∈=，通过分析②可知，()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，取()(){}1,1,2,2B =，或()()(){}1,1,2,2,1,2B =，或()()(){}1,1,2,2,2,1B =，故满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个，A 正确；B 选项，集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，故②不成立，故BC 选项，{}1,2,3A =，通过分析②可知，()()()1,1,2,2,3,3B ∈，结合③和④，可再添加一个元素，即()()()()()()1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2中任选一个，即取()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,2B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,3B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,2,3B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,2B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,3B =，或()()()(){}21,1,2,2,3,3,,3B =，共6个，C 正确；D 选项，(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是R 的子集，满足①，且当a b =时，()R,,a a a R '∀∈∈，满足②，当a b =时，满足③，,,R a b c ∀∈，若(),a b R '∈且(),b c R '∈，则,a b b c ≤≤，所以a c ≤，则(),a c R ∈'，满足④，故(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系，D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设,a b ∈R ，集合{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，则a b +=______【答案】0【解析】【分析】根据ba可知0a ≠，故0a b +=.【详解】由ba可知0a ≠，又{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，故0a b +=.故答案为：013.已知条件:30p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________.【答案】(],3-∞-.【分析】根据充分、必要条件的定义及命题的否定形式计算参数范围即可.【详解】由题设得:0p x ≥或3x ≤-，设P ={0x x ≥或3x ≤-}，同理可得:q x a £，设{}Q x x a =≤，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ⊆，因此3a ≤-.故答案为：(],3-∞-.14.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.【答案】12+【解析】【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE V ∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b-=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()2al a b c b=⨯++，所以22221222112l l a b c a b a b a b a b a b a b ab+++++==+=++++++221121ab a b =+++,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以121211112l l a b +≥+=+++，所以最小值为212+，故答案为：212+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知{|23}A x x =-≤≤，{|53}B x a x a =-<<，全集R U =．（1）若12a =，求A B ，A B ⋂；（2）若()U B A B =ðI ；求实数a 的取值范围．【答案】（1）9|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，3|22A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭，（2）283a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】（1）由条件根据集合运算法则求A B ，A B ⋂即可；（2）由条件可得U B A ⊆ð，根据集合包含关系列不等式可求a 的取值范围．【小问1详解】因为12a =，所以93{|53}|22B x a x a x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{|23}A x x =-≤≤，所以9|32A x x B ⎧⎫-<≤=⎨⎬⎩⎭ ，3|22A B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭ ，【小问2详解】因为()U B A B =ðI ，所以U B A ⊆ð，因为{|23}A x x =-≤≤，所以{2U A x x =<-ð或}3x >，又{|53}B x a x a =-<<，当B =∅时，U B A ⊆ð，此时35a a ≤-，接的52a ≤-，当B ≠∅时，由U B A ⊆ð，可得3532a a a >-⎧⎨≤-⎩或3553a a a >-⎧⎨-≥⎩，所以5223a -<≤-或8a ≥，综上23a ≤-或8a ≥.所以a 的取值范围23a a ⎧≤-⎨⎩或}8a ≥.16.（1）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：若ab cd >>（2）已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：222111a b c a b c ++≤++.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对（2）利用基本不等式结合1abc =可证得结论【详解】（1）因为222a b c d =++=++又因为,0a b c d ab cd +=+>>,,,a b c d >为正数，所以22>，>（2）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，当且仅当a b c ==时，取等号，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++，当且仅当1a b c ===时取等号.17.已知p ：2280x x +-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤.（1）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若q 是p 的既不充分也不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）41m -≤≤（2）1m >或4m <-【解析】【分析】（1）解不等式化简命题,p q ，由充分不必要条件列出不等式求解；（2）根据命题,p q 的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解.【小问1详解】由2280x x +-≤，可得42x -≤≤，则p ：42x -≤≤，又由()22210x m x m m -+++≤，可得1m x m +≤≤，则q ：1m x m +≤≤，若q 是p 的充分不必要条件，可得[],1m m +是[]4,2-的真子集，有412m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解可得41m -≤≤；【小问2详解】若q 是p 的既不充分也不必要条件，则[],1m m +和[]4,2-互不包含，可得12m +>或4m <-，解得1m >或4m <-.18.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ．（其中4,4y x b a >>>>）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y 同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到214((4S S x a a -=-⋅+-，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为1S ax by =+（元）；方案二的总费用为2S bx ay =+（元），由21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--，因为4,4y x b a >>>>，可得0,0y x a b ->-<，所以()()0y x a b --<，即210S S -<，所以21S S <，所以采用方案二，花费更少.【小问2详解】解：由（1）可知()()(1244S S y x b a x a a ⎛⎫-=--=-⋅+⎪-⎝⎭，令t =，则24x t =+，所以2224(1)33x t t t -=-+=-+≥，当1t =时，即5x =时，等号成立，又因为4a >，可得40a ->，所以44(4)44844a a a a +=-++≥=--，当且仅当444a a -=-时，即6,14a b ==时，等号成立，所以差S 的最小值为2483=⨯，当且仅当5,8,6,14x y a b ====时，等号成立，所以两种方案花费的差值S 最小为24元.19.已知集合{}()*1,2,3,,2N ,4n S n n n =∈≥ ，对于集合n S 的非空子集A ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于A ，则称集合A 是集合n S 的“期待子集”.（1）试判断集合{}{}123,4,5,3,5,7A A ==是否为集合4S 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（2）如果一个集合中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数.那么称该集合具有性质P .对于集合n S 的非空子集A ，证明：集合A 是集合n S 的“期待子集”的充要条件是集合A 具有性质P .【答案】（1）1A 是集合4S 的“期待子集”，2A 不是集合4S 的“期待子集”（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质P 的定义证明即可；【小问1详解】因为{}41,2,3,4,5,6,7,8S =，对于集合{}13,4,5A =，令345a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然41S ∈，42S ∈，43S ∈所以1A 是集合4S 的“期待子集”；对于集合2{3,5,7}A =，令111111357a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111152a b c ++=，因为4111,,a b c S ∈，即111N *a b c ++∈，故矛盾，所以2A 不是集合4S 的“期待子集”【小问2详解】先证明必要性：当集合A 是集合n S 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的,,n a b c S ∈，使得,,a b b c c a A +++∈，不妨设a b c <<，令x a b =+，y a c =+，z b c =+，则x y z <<，即条件P 中的①成立；又()()()20x y z a b c a b c a +-=+++-+=>，所以x y z +>，即条件P 中的②成立；因为()()()()2x y z a b c a b c a b c ++=+++++=++，所以x y z ++为偶数，即条件P 中的③成立；所以集合A 满足条件P .再证明充分性：当集合A 满足条件P 时，有存在A ∈x,y,z ，满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数，记2x y z a z ++=-，2x y z b y ++=-，2x y z c x ++=-，由③得,,Z a b c ∈，由①得a b c z <<<，由②得02x y z a z ++=->，所以,,n a b c S ∈，因为a b x +=，a c y +=，b c z +=，所以a b +，b c +，c a +均属于A ，即集合A 是集合n S 的“期待子集”【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。
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长沙市周南中学高一数学 第一次月考试题讲解
2020-10-9Fra bibliotek人生没有十全十美，如果你发现错了。重新再来，别人不原谅你，你可以自己原谅自己。千万不要用一个错误去掩盖另一个错误。 缺乏真正的朋友乃是最纯粹最可怜的孤独；没有友谊则斯世不过是一片荒野；我们还可以用这个意义来论“孤独”说，凡是天性不配交友的人其 性情可说是来自禽兽而不是来自人类。——培根 把子弟的幸福奠定在德行与良好的教养上面，那才是唯一可靠的和保险的办法。——洛克 山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌。 美好的生命应该充满期待、惊喜和感激。 立志欲坚不欲锐，成功在久不在速。——张孝祥 勇于接受别人的批评，正好可以调整自己的缺点。 多一点思考，少一份遗憾。——杨建 最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路上 ，就没有到不了的地方。 不敢冒险的人既无骡子又无马；过分冒险的人既丢骡子又丢马。——拉伯雷 讨厌一个人，但却又能发觉他的优点好处，像这样子有修养的人，天下真是太少了。 坚强的信心，能使平凡的人做出惊人的事业。——马尔顿 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 要做的事情总找得出时间和机会；不愿意做的事情也总能找得出借口。 无论何时，都要做好独自生活的准备。 用最少的浪费面对现在。 要克服生活的焦虑和沮丧，得先学会做自己的主人。 要想吸引朋友，须有种种品性。自私小器嫉忌，不喜欢成人之美，不乐闻人之誉的人，不能获得朋友。——马尔顿 内外相应，言行相称。——韩非