求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)

求函数值域 、 周期的方法总结（适合高一）

求值域

一、直接法：（从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围）例1．求函数2+=x y 的值域。

二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法）例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例3．求函数125

x y x -=+的值域。 四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函

数的值域，如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法

求解。例4．求函数2y x =

五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数()0>+=k x

k x y 的值域（k x <<0时为减函数；k x >时为

增函数））例5．求函数y x =

六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211

x y x -=+的值域。 七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）例7．求函数11-++=x x y 的值域。 除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ，通过方程有实根，0≥∆，从而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的解法），在今后的学习中，会具体讲述。

周期

一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立

则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论

1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

4、 y=f(x)满足f(x+a)=

()

x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()

x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1()()1()

f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()

f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一

个周期。 9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数

()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；

11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0), 则f(

2T )=0.