厦门大学高数半期考试卷
《高等数学1》半期考试题
《高等数学1》半期考试题学号姓名一、单项选择题1、函数f(x)=的定义域是( )A、[－1，1]B、(－2，2)C、(－∞，－1)∪(1，＋∞)D、(－∞，＋∞)2、下列函数中既是有界函数又是偶函数的是( )A、xarcsinxB、arctgxC、x2＋1D、sinx＋cosx3、函数y=ex－1的反函数是( )A、y=lnx＋1B、y=ln(x－1)C、y=lnx－1D、y=ln(x＋1)4、函数y=|sinx|在x=0处是( )A、无定义B、有定义，但不连续C、连续，但不可导D、连续且可导5、设y=lnx，则y″=( )A、xB、2xC、3xD、1/x6、函数y=ax2＋c在区间(0，＋∞)内单调增加，则a，c应满足( )A、a<0，c=0B、a>0，c任意C、a<0，c≠0D、a<0，c任意7、若ln|x|是函数f(x)的原函数，a≠0,那么下列函数中，f(ax)的原函数是( )A、ln|ax|B、ln|x|C、ln|x＋a|D、ln|2x|8、∫xsinxdx=( )A 、xcosx －sinx ＋cB 、xcosx ＋sinx ＋cC 、xcosx ＋sinx ＋cD 、xcosx －sinx ＋c9、方程x2＋y2＋z2＋2x －4y=1表示的空间图形为（ ）A 、平面B 、直线C 、柱面D 、球面10、函数z=arcsin(x2＋y2)的定义域为（ ）A 、x2＋y2<1B 、x2＋yC 、x2＋y2≥1D 、|x|≤1，|y|≤111、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin )(x x x x x x f 在x=0时（ ）A 、连续B 、间断C 、取极小值D 、取极大值12、已知f(x ，y)的两个偏导数存在，且f′x(x，y)>0，f′y(x，y)<0，则（ ）A 、当y 不变时，f(x ，y)随x 的增加而增加B 、当y 不变时，f(x ，y)随x 的增加而减少C 、当x 不变时，f(x ，y)随y 的增加而增加D 、上述论断均不正确13、设z=exsiny ，则dz=（ ）A 、ex(sinydx ＋cosydy)B 、exsinydxC 、excosydyD 、excosy(dx ＋dy)14、幂级数的收敛半径为（ ）A 、1B 、3C 、2D 、015、微分方程y3＋(y′)6＋xy3＋x4y2=1的阶数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、616、微分方程的通解为（ ）A 、y=±1B 、y=sinx ＋cC 、y=cos(x ＋c)D 、y=sin(x ＋c)17、微分方程满足初始条件y(0)=0的特解为（ ）A 、y=cosx －1B 、y=cosx c 、y=sinx D 、y=－cosx ＋118、设由y=sin(x ＋y)确定隐函数y=y(x)，则dy= ( ) 。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
厦门大学09-10学年第一学期《高等代数》半期考试卷
3) 记 e1, e2 , e3 为 3 维列向量，则与 3 阶行列式 e1,e 2 , e3 等值的行列式是____. D
A) e1, 2e1 + e 2 , e1 + 3e 2 - e3 ；
B) e 3,e 2 ,e1 ；
C) e1 + e 2 ,e 2 + e3, e3 + e1 ；
D) e 3 - e 2 ,e1 - e3, e3 .
4
参考答案——0910 学年第一学期厦门大学《高等代数》期中试卷
同理由 B¢B = I ，知| B |= ±1。又因为| A |= - | B | ，所以| A || B |= -1 。而
| A + B |=| A + AA¢B |=| A || I + A¢B |=| A || B¢B + A¢B |=| A || B¢ + A¢ || B |= - | B¢ + A¢ |= - | A + B |
A
=
n( n -1)
( -1) 2
æçè1 -
n i=2
1ö i ÷ø
n!。
常见错误： (1) 漏掉符号或者弄错符号。 (2) 用归纳法时，递推式错误。注：此题用归纳较为复杂。
四、 (15 分) 设 A = I - xx ¢ ，其中x 为 n 维非零列向量，x ¢ 是x 的转置，证明：
1） A2 = A 的充要条件是x ¢x = 1 ； 2） 当x ¢x = 1 时， A 是奇异的，即 A 是不可逆的。 证明：1） A2 = (I -xx ¢)(I - xx ¢) = I - 2xx ¢ + x (x ¢x )x ¢ ，记x ¢x = a ，则 A2 = I - (2 - a)xx ¢ 。 充分性：若x ¢x = 1 ，即 a = 1 ，则 A2 = I - xx ¢ = A 。 必要性：若 A2 = A ，则 (2 - a)xx ¢ = xx ¢ 。又x 为 n 维非零列向量，于是xx ¢ ¹ 0 ，因此 2 - a = 1，即 a = xx ¢ = 1。 2)（方法一）（09 级 马晴 等）由 1）知，当x ¢x = 1 时 A2 = A 。若 A 可逆，则 A = I ，从而xx ¢ = 0 ， 与x 为 n 维非零列向量矛盾。因此 A 是奇异的。 （方法二）（08 级转专业 郑光辉）当x ¢x = 1 时，Ax = (I - xx ¢)x = x - x (x ¢x ) = x - x = 0 ，由于x 为 n 维非零列向量，因此| A |= 0 ，即 A 是奇异的. （方法三）（09 级 尹浩宇 等）由于| A |=| I - xx ¢ |=|1- x ¢x |= 0 ，因此 A 是奇异的。 常见错误：对长方阵x 求行列式或逆等。
(整理)厦门大学年下学期高等数学期中考试卷及答案
-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
厦门大学《高等数学(AC)》课程试卷07年
一、填空：（每小题4分，共20分） 1、22(21)t t ∆-+= 。
2、微分方程25cos2x y y y e x '''-+=待定特解的形式为 。
3、已知12t t y C C a =+是差分方程21320t t t y y y ++-+=的通解，则a = 。
4、级数21(2)(1)9nnnn x n ∞=--⋅∑的收敛域为 。
5、微分方程20ydx xdy y xdx -+=的通解为 。
二、判断下列级数的敛散（每小题5分，共10分）：1、1!n n n n ∞=∑2、nn ∞=三、求下列方程的通解或特解：（每小题7分，共28分）1、求微分方程()0ydx y x dy +-= 满足(0)1y = 的特解。
2、求差分方程1363tt t y y +-=通解。
3、设()f x 二阶可导，并且()20()()(1)x t f x f u du dt x =+-⎰⎰，求()f x 。
4、求微分方程28cos y a y bx ''+= 的通解，其中,a b 为正常数。
四、计算下列各题：（每小题7分，共28分）1、求曲面积分()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰其中∑为錐面(02)z z =≤≤的下侧。
2、将函数21()32f x x x =++展开成4x -（）的幂级数。
3、求幂级数11(1)2n nn n x -∞=+∑的和函数，并求数项级数1(1)2n n n ∞=+∑的和。
4、设二阶连续导函数()f x 使曲线积分[2()3()5]()x LI f x f x e ydx f x dy ''=-+++⎰与路径无关，且有1(0)0,(0)4f f '==，试求曲线积分 (1,2)(0,0)[2()3()5]()x f x f x e ydx f x dy ''-+++⎰的值。
(word版)厦门大学参考答案0809学年第一学期《高等代数》期末考试卷
08-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷 厦门大学?高等代数?课程试卷数学科学学院各系2021年级各专业信息科学与技术学院 计算机科学 系2021年级CST 专业特别说明：答案写在答题纸上一、单项选择题〔32分.共8题,每题4分〕以下说法错误的选项是___B____.假设向量组1,2,3线性无关，那么其中任意两个向量线性无关；B ) 假设向量组1, 2,3 中任意两个向量线性无关，那么1,2,3线性无关；C) 向量组 1 2,2 3,3 1线性相关；D) 假设向量组1,2,3 线性无关，那么1, 1 2, 123线性无关.2. 设n 维列向量1,2,...,m (m n)线性无关,那么n 维列向量1,2,...,m线性无关的充要条件是___D____.A) 向量组 1,2,..., m 可由向量组1, 2,..., m 线性表示；B) 向量组 1, 2,..., m 可由向量组 1,2,..., m 线性表示；C) 向量组 1,2,..., m 与向量组 1, 2,...,m 等价；D)矩阵A (1, 2,..., m )与矩阵B (1, 2,..., m )相抵. 3.设线性方程组 Ax 0的解都是线性方程组 Bx 0的解，那么__C__.A)r(A) r(B)；B)r(A) r(B)；C)r(A) r(B)；D)r(A) r(B).4. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵 A * 0，非齐次线性方程组 Ax b 有无穷多组解，那么对应的齐次线性方程组Ax 0的根底解系__B__.A)不存在； B)仅含一个非零解向量；C)含有两个线性无关的解向量； D)含有三个线性无关的解向量 .以下子集能构成R 22的子空间的是___B____.A)122 } ；B)V2{A|tr(A)0,AR 22}；V{A||A|0,AR108-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷C)V 3 {A|A 2A,A R 22}；D)V 4 {A|A A 或 A,A R 22}.6.设V 是数域K 上的线性空间,V 上的线性变换在基 1,2,...,n 下的矩阵为A 且|A|2，假设在基 n ,n1,...,1下的矩阵为B,那么|B|___B___.A)2n；B)2； C)1； D)不能确定.27.设V 是n 维向量空间， 和 是V 上的线性变换，那么 dimImdimIm的充分必要条件是_____D ___.A) 和都是可逆变换； B)Ker=Ker ；C)Im Im ；D) 和 在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8. 设 是线性空间 V 到U 的同构映射,那么以下命题中正确的有 ___D___个.(Ⅰ) 为可逆线性映射；(Ⅱ)假设W 是V 的s 维子空间,那么(W )是U 的s 维子空间；(Ⅲ) 在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ)假设V=V 1 V 2,那么(V 1V 2)(V 1)(V 2).A)1B)2C)3D)4二、填空题〔32分.共8题,每题4分〕1 0 0 3假设矩阵A( 1,2,3,0 0 2 4 1,2,3,4的1. 4)经过行初等变换化为1 0 ,那么向量组0 50 0一个极大无关组是1,2,3,其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为4315223.2. 设3 维向量空间的一组基为1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1)，那么向量 (2,0,0) 在这组基1下的坐标为1.13. 设V 1，V 2均为线性空间 V 的子空间，那么 L(V 1 V 2)V 1 V 2.208-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是 _3_.而E 12E 21,E13E 31,E 23E 32是它的一组基.5. K 12上的线性变换定义如下：((a,b))(0,a)，那么Ker={(0,a)|aK}.Im={(0,a)|aK}.6. 设是数域K 上n 维线性空间 V 到m 维线性空间U 的线性映射, 那么为满射的充分必要条件是对任意 U,存在V,使得();Im U;dimImm;.〔请写出两个〕dimKer nm;在任意基下的矩阵都是行满秩的 ; 在某个基下的矩阵是行满秩的 〔.其中任两个均可〕7. 设1,2,...,n 和1, 2,..., n 是线性空间 V 的两组基，从 1,2,..., n到1,2,...,n 的过渡矩阵为P .假设 是V 上的线性变换且 (i ) i, i1,2,...,n ，那么 在基1, 2,..., n 下的表示矩阵是_P_.8. 设是线性空间V 上的线性变换，在基1, 2,...,n 下的表示矩阵为 A B ，其中A 为rr 矩C阵，那么存在V 的一个非平凡-不变子空间L(1,,r ).三、(8 分)设线性空间V 的向量组1,2,..., m 线性无关，V ，考虑向量组,1,2,...,m .求证：或者该向量组线性无关，或者 可由 1,2,...,m 线性表示.证明：假设,1,,m 线性相关，那么存在不全为0的数k 0,k 1,,k m 使得k 0+k 11+k mm0．我们断言，k 0 0．事实上，假设k 0=0，那么k 11+k mm 0．由1, 2,...,m 线性无关知k 1==k m =0．于是，k 0=k 1==k m =0．这与k 0,k 1, ,k m 不全为０相矛盾．因此，k 00．此时，k 1 k m m ．1k 0k 0从而，或者该向量组线性无关，或者可由1, 2,..., m 线性表示．四、(10分)设V 1,V 2分别是数域K 上的齐次线性方程组x 1x 2x n 与x 1x 2x n 0的解空间.证明K n1V 1V 2.3a1证明：法一：一方面，a2V1V2，有a1a2a n，那么a1a2a n0．故a1a2a n0a nV1V20．n n n na1a i a ia1a i a i i1a i1i1a i1n1n n1na2K n1，存在a2另一方面，V1,V2，使得＝＋n n n na a i a i a n a i a ini1i1i1i1a n a nn n n n 即K n1V1V2．因此，K n1V1V2．a1法二：一方面，a2a1a2a n，那么a1a2a n0．故V1V20．V1V2，有a2a1a n0a n11000另一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方程组00011(n1)nBx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．从而，K n1V1V2．11000法三：一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方00011(n1)n程组Bx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．4nnnna 1a ia ia 1a ia ii1i1i 1i1na 1na 1a 2Kn1，存在na 2n另一方面，V 1,V 2，使得＝＋nnnna na ia ia na ia ii1i1i 1i1n a nna nnn即K n1V 1 V 2．因此，K n1V 1V 2．五、(10分)设AK mn .证明：r(A)r 的充分必要条件是存在BK mr，CK rn ，使得r(B)r(C)r 且ABC .证明： 充分性： 由于BK mr ，C K rn 满足r(B)r(C)r 且ABC ，所以rr(B)r(C)rr(A)r(BC)r(B)r故r(A)r ．必要性： 由于r(A)r，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得AI r 0PQ ．令BPI r ,C(I r ,0)Q，那么BK mr ，CKrn满足r(B)r(C)r 且ABC ．六、(8分)设V,U,W 是有限维线性空间，:V U ，:WU 是线性映射.求证：存在线性映射:VW 使得的充分必要条件是 Im Im .证明： 充分性： 法一：取V 的一组基 1,2,, n ，由于ImIm，所以(i ) Im，1 in ，即存在iW 使得(i )(i )．定义线性映射:V W 满足(i )i,1in ，那么(i ) (i )( i ), 1 in ．因此，．法二：取V 的一组基1,2,,n ，U 的一组基1,2,,m ，W 的一组基1,2,,s ．设(1,2, ,n ) (1,2, ,m )A mn(1,2,,s )(1,2,,m )B ms5其中A(1,2,,n ),B(1,2, ,s )．由于ImIm ，所以L(1,2,s,n)L1(,2 ,s ，, 即)1 jn, jciji ．取i1C(c ij )s n ，那么A BC ．定义线性映射:V W 满足 (1, 2,, n )(1,2,, s )C ，那么.必要性： 对任意 Im，存在V 使得( )．由于，所以( )(())Im从而，ImIm．附加题:(本局部不计入总分)设V,U,W是有限维线性空间且dimVdimW ，:V U ， :W U 是线性映射.证明：存在可逆线性映射:V W 使得的充分必要条件是 ImIm.证明：充分性：法一：由于dimVdWim 且Im Im ，所以由维数公式知：dimKerdimKe ．r 取Ker的一组基1,2,,r ；Ker 的一组基1,2,, r ，将其扩充为V的一组基1,2,,r ,r1, n ，那么(r1),(n )是Im的一组基．由于Im Im ，所以(r 1),( n )是Im的一组基．设(i )( i ), r 1 i n ，由于 (r1), , (n )线性无关，所以r1,,n 线性无关．我们断言， 1, 2, ,r ,r1,,n 线性无关．事实上，假设k 11k 22krrk r1r 1knn0，那么将作用于上式得k r1(r1) k n (n )0．由于(r1), ,(n )线性无关，所以k r1k n 0．于是k 11 k 22k r r ＝０．又1, 2, , r 是Ker的一组基，故k 1k r从而，1, 2,,r ,r1,,n 线性无关．注意到dimW n ，故1,2,,r ,r1,,n 是W 的一组基．定义线性映射 :V W 满足(i )i ,1 i n ．由于1,2,,n 是V 的一组基，1,2,,n 是W的一组基，故 可逆．又(i )( i)( i ), 1i n ，从而．法二：取V 的一组基1,2,, n ，U 的一组基1,2,,s ，W 的一组基1, 2,, n ．设(1,2, ,n )(1,2,,s )A sn6(1,2,,n)(1,2,,s)B sn且dimIm dimIm r，那么r(A)r(B)r．于是，存在n阶可逆矩阵P,Q使得AP(A1,0), BQ(B1,0)，其中A1,B1K sr列满秩．由于Im Im，所以同上题证明可知存在n阶矩阵C使得A BC，那么(A1,0)AP BQ(Q1CP)．设Q1CP X11X12，其中X11是r阶方阵，那么X21X22(A1,0)(B1,0)X11X12．从而，A1B1X11．又A1列满秩，所以存在A2K rs使得A2A1I r．于X21X22是，I r A2A1(A2B1)X11，即X11是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵X Q X110P1使得0I n rBX BQ X110P1(B1,0)X110P1B1X11,0P1(A1,0)P1A0I nr0I nr定义线性映射:V W满足(1,2,,n)(1,2,,n)X由于X可逆且ABX，故可逆且．必要性：由于，所以同上题证明可知Im Im．又由:V W可逆可知1，所以Im Im．从而，Im Im．7。
厦门大学 高等数学试卷 多元函数的积分
一、空间区域的确定和表示确定空间区域的方法有两种：1）直观作图法。
2）解析法。
一般情况下是两种方法相结合。
1）直观作图法，就是根据区域的边界曲面作草图，从草图可直观确定空间区域的形状、边界曲面的交线、在坐标面上的投影区域，最后给出空间区域的表示。
2）解析法，就是本着空间区域是有界实体这一事实，从而可知它在坐标面上的投影区域一定是由封闭曲线所围成，通过边界曲面方程来确定：①曲面在坐标面上的投影区域的边界曲线。
②边界曲面的交线在坐标面上的投影曲线。
③由坐标面上的边界曲线和投影曲线来确定它们所围成的封闭区域，该封闭区域就是空间区域在坐标面上的投影区域。
④由等量线的变化确定上下曲面。
两种方法中，直观作图法只要作图正确，就不容易出错，其难点在于作图；解析法可以不作图，纯粹由曲面方程解析式入手，给出空间区域的表示，其难点在于封闭区域多个时，投影区域是哪一个？是一个，还是多个？上下曲面的如何选定？两种方法相结合效果更好。
二、空间区域的投影坐标面的选取：1）多个边界曲面的投影区域为整个坐标面，则该坐标面为优先考虑的投影坐标面。
2）当边界曲面个数多，其中有柱面（包括平面）时，①先考虑选取与非平面柱面的母线相垂直的坐标面为投影坐标面。
②选取与最多边界平面相垂直的坐标面为投影坐标面。
三、多元函数的积分，主要掌握下面几点： 1）积分区域的确定。
确定积分区域的思想和方法主要是投影的思想方法。
比如：空间区域Ω在xoy 坐标面的投影（平面区域D ），平面区域D 在x 轴（或y 轴）上的投影（轴上区间x I （或yI ）），那么：)}()(,|),{(x y y x y I x y x D x 21≤≤∈=或 )}()(,|),{(y x x y x I y y x D y 21≤≤∈=)},(),(),()(,|),,{(y x z z y x z x y y x y I x z y x x 2121≤≤≤≤∈=Ω或)},(),(),()(,|),,{(y x z z y x z y x x y x I y z y x y 2121≤≤≤≤∈=Ω 空间区域Ω在yoz 坐标面的投影（平面区域D ），平面区域D 在y 轴（或z 轴）上的投影（轴上区间yI （或z I ）），那么：)}()(,|),{(y z z y z I y z y D y 21≤≤∈=或 )}()(,|),{(z y y z y I z z y D z 21≤≤∈=)},(),(),()(,|),,{(z y x x z y x y z z y z I y z y x y 2121≤≤≤≤∈=Ω或)},(),(),()(,|),,{(z y x x z y x z y y z y I z z y x z 2121≤≤≤≤∈=Ω 空间区域Ω在zox 坐标面的投影（平面区域D ），平面区域D 在x 轴（或z 轴）上的投影（轴上区间x I （或z I ）），那么：)}()(,|),{(x z z x z I x y x D x 21≤≤∈=或 )}()(,|),{(z x x z x I z y x D z 21≤≤∈=)},(),(),()(,|),,{(z x y y z x y x z z x z I x z y x x 2121≤≤≤≤∈=Ω 或)},(),(),()(,|),,{(z x y y z x y z x x z x I z z y x z 2121≤≤≤≤∈=Ω为求投影，必须先求空间曲面的交线及其在坐标面上的投影，或平面曲线的交点及其在轴上的投影（即交点坐标）。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
06-07(2)高数期中试卷
厦门大学《高等数学 A 》课程试卷________ 学院 _______ 系 ________ 年级 _______ 专业 主考教师：高数A 组 试卷类型：（A 卷）2007.04.21、选择题（每小题4分，共16 分） 1 .点M 1,1,1关于平面:x y z 1的对称点是1 1 1 11 1 C )3, 3,3 ； ( )_3, _3,「32 .函数u In x 2 y 2 Z 2 在点 M 1,2, 处的方向导数的最大值是（A ） 2；3 .设f x 为连续函数,(B ) 23；t t 1dy y fx dx ，(A) 2f 2 ; (B ) f(C )(D ) 0。
4.设平面闭区域D2x, y x2a ,x y,D ix, yy 2 a 2,0 y x ,则xy D sin xcosy dxdy(C ) 4 xy sin xcosy dxdy ;(B ) D 12 xydxdy ；D 12 sin xcosydxdy ;D 1(D)二、填空题（每小题 4分，共16分） 1 .设 a b c 0, a2 , c 3，贝S a b+b c+c a=2 .由曲线In x In y 1所围成的平面图形的面积为3 .设 f x, y, zxcosy ycosz zcosx贝廿jf1 cosx cos y cosz '0,0,04 .设 D x,y2 2max x , y0 x 1,0 y 1，贝y I e dxdy(A ) 1,3,1三、计算题（第1题一一第5题每题8分，第6题10分）1 .求直线L:- - y三」在平面:x y 2z 1 0上的投影直线L o的方程，并求1 1 1L o绕y轴旋转一周所成的曲面方程。
2 .设z f xy,x g y，其中f u,v具有二阶连续偏导数，g w具有二阶连续y x2 导数，求—, z。
x x y3 .设z xf x y和F x,y,z 0确定y y x , z z x ,其中f具有一阶连续导数，F有一阶连续偏导数，求字。
高数半期考试题目及答案
高数半期考试题目及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. πD. -1答案：B3. 不定积分∫x^2 dx的结果是：A. x^3/3 + CB. x^3 + CC. x^2 + CD. 2x^3 + C答案：A4. 函数f(x)=e^x的原函数是：A. e^x + CB. ln(x) + CC. x^2 + CD. x + C答案：A5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 3B. 1C. -1D. 0答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2，则f(x)=______。
答案：x^3 + C2. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是______。
答案：03. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。
答案：1/x4. 定积分∫₀¹ x dx的值是______。
答案：1/25. 曲线y=e^x与直线y=x相切的切点坐标是(1, e)，该切线的斜率是______。
答案：e三、解答题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+2在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。
在区间[-1,2]上，f(-1)=-2，f(1)=0，f(2)=2。
因此，最大值为2，最小值为-2。
2. 计算定积分∫₀² x^2 dx。
答案：∫₀² x^2 dx = (1/3)x^3 |₀² = (1/3)(2^3) - (1/3)(0^3) =8/3。
3. 求曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线方程。
答案：曲线y=x^2+2x+1的导数为y'=2x+2，所以在点(1,4)处的切线斜率为k=2*1+2=4。
厦门大学10-11学年第二学期《高等代数》半期考试卷参考答案
a ¹ 0 。必
2
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
3) 设 f ( x ) = x + 4 x + 5 x + 3 ， 则____是以 f ( x ) 的根的倒数为根的四次多项式。 3 x + 5 x + 4 x + 1 （不唯一，可相差非零常数倍）
且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ，证明： p( x) | f ( x ) 且 p( x) | g ( x ) 。 证明：因 p( x ) 是数域 K 上的不可约多项式且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ，所以 p( x) | f ( x ) 或者 p( x) | g ( x ) 。若
① x 2 + p （其中 p 是素数） ； A) 3，1； C) 2，1； 3)
设 f ( x ) 是数域 K 上的非零多项式， p( x ) 是 K 上不可约多项式。如果存在复数 c ，使得
f (c ) = p (c) = 0 ，则____。B
A) f ( x) | p ( x ) ； C) f ( x) = p( x) ； 4) B) p( x) | f ( x ) ； D) f ( x) = ap( x )( a ¹ 0) 。
厦门大学《高等代数》课程试卷
数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型： （A 卷）
2011.3.31
一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）
1) 设 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ， ( f ( x ), h( x )) = 1 ，则____未必互素。D B) f ( x ) 与 f ( x ) + g 2 ( x ) ； D) f ( x ) 与 g ( x ) + h( x) 。
高三数学半期考卷
高三数学半期考卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = (x² 1)/(x 1)的定义域是（）A. RB. {x | x ≠ 1}C. {x | x ≥ 1}D. {x | x ≤ 1}2. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 无法确定3. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，a3 = 9，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x³B. y = x²C. y = |x|D. y = 1/x5. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则2a 3b的结果是（）A. (7, 4)B. (4, 5)C. (4, 5)D. (5, 4)二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的积都是实数。
（）2. 对于任意的实数x，都有(x²)² = x⁴。
（）3. 一元二次方程的解可以是复数。
（）4. 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（）5. 若矩阵A的行列式为0，则A一定不可逆。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若|a| = 5，则a的值可以是______。
2. 一次函数y = kx + b的图象经过一、二、四象限，则k______0，b______0。
3. 在直角三角形中，若一个锐角为30°，则另一个锐角为______°。
4. 5x 7 = 2x + 3的解为x =______。
5. 若一组数据2, 3, 5, 7, x的平均数为5，则x =______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明直角三角形的性质。
2. 如何判断一个数是否为质数？3. 请写出平方差公式。
4. 已知一个数的算术平方根是10，求这个数。
5. 请解释概率的意义。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 某商店举行打折活动，一件商品原价300元，打八折后售价是多少元？2. 一辆汽车以80km/h的速度行驶，行驶了3小时后，行驶的距离是多少？3. 一个长方体的长、宽、高分别是12cm、9cm、6cm，求它的体积。
2005高数B(下)期中课程试卷
一、 选择题（每小题4分，共20分）1. 设函数()f x 与()g x 在[,]a b 上连续且都大于零，则在区间[,]a b 上由曲线(),()y f x y g x ==所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ D ）. （A ）22[()()]ba f x g x dx π-⎰（B ）22[()()]baf xg x dx π-⎰（C ）2|()()|baf xg x dx π-⎰（D ）22|()()|b af xg x dx π-⎰.2.若非零向量b a ,.满足=-b a b a+，则必有（ D ）.（A ）b a +=b a - （B ）b a = （C ）0=⨯b a （D ）0=⋅b a3. 考虑二元函数),(y x f 的四条性质①),(y x f 在点),(00y x 处连续， ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续， ③),(y x f 在点),(00y x 处可微， ④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在，若用“Q P ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（ A ）. （A ）②⇒③⇒① （B ）③⇒②⇒① （C ）③⇒④⇒① （D ）③⇒①⇒④ 4. 已知曲线224y x z--=上点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ C ）.（A ）)2,1,1(- （B ）)2,1,1(- （C ）)2,1,1( （D ）)2,1,1(--5．微分方程1,x y y e a b ''-=+的一个特解应具有形式为（为常数）_______D______. A) x ae b + B)x axe bx + C)x ae bx + D)x axe b +二、填空题（每小题4分，共20分） 1、 球面9222=++z y x与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影方程为。
厦门大学《高等数学》期中试卷A及答案
二、填空题：（每小题4分共24分）
7．设函数 可表示成 ，其中 为偶函数， 为奇函数，则 =； =。
8． 。
9．设 ，则当 ， 时， 处处可导。
10．设 由方程 所确定，则曲线 在 处的法线方程为。
11．设 可导，函数 由 所确定，则 。
12．设 有任意阶导数且 ，则 。（n>2）
18．溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速度为1cm/s，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速度为多少？
厦门大学《高等数学》期中试卷A参考答案
一、单项选择题:
1. B，2. C, 3. C, 4. C, 5. D, 6. A.
17．证明：令 。在 上， ， ，由罗尔定理，存在 ，使 。
又 ， ， ，再对 应用罗尔定理，存在 ，使 ，即 。
五、应用题：
18．解：设漏斗在时刻t的水深为h（cm），筒中的水深为H（cm），则漏斗中水面半径满足 ，即 。设盛满溶液时漏斗的体积为 ，则有
上式两边对 求导，得
。
代入 ， ，得圆柱形容器中溶液表面上升的速度为
厦门大学《高等数学》期中试卷A
题号
一
二
三
四
五
总成绩
得分
评卷人
一、单项选择题：（每小题4分，共ห้องสมุดไป่ตู้4分）
1．设 ，则 。
（A）0；（B）1；（C） ；（D） 。
2．设
（A）在 内有界；（B）当 时为无穷大；
（C）在 内无界；（D）当 时有极限。
3．设 时， 与 是同阶无穷小，则 为。
（A）1；（B）2；（C）3；（4）4。
大一第二学期高等数学期中考试试卷(答案)
大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()ex y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）（A ）．x O z坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．x O y坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．x O y坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．x O z 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;(C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;(D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ）(A).L 在π内; (B).L 与π不相交;(C).L 与π正交; (D).L 与π斜交.4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz ∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂y x z 2（ ）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++;(C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
福建省部分学校2023-2024学年高一下学期半期考试数学试卷
福建省部分学校2023-2024学年高一下学期半期考试数学试卷一、单选题1．AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．CD u u u rB ．DC u u u r C ．AD u u u rD ．BD u u u r2．复数13i2iz +=+的实部和虚部分别是（ ） A ．1，1B ．1，iC ．13-，53D ．13-，5i 33．下列结论正确的是（ ）A ．底面是正方形的棱锥是正四棱锥B ．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C ．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台D ．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点4．O A B ''''''V 是OAB △在斜二测画法下的直观图，其中24O B O A ''''='='，则O A B △的面积是（ ）A．B ．4C ．8D．5．在ABC V 中，若sin :sin :sin 3:4:6A B C =，则ABC V 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定的6．设m ，n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,m n n α⊂，则//m α B ．若//,//m n m α，则//n αC ．若//,//m n αα，则//m nD ．若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，则//m n7．如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A ，B 两处，在该河流的另一侧岸边选定C 处，测得30AB =米，75,45ABC BAC ︒︒∠=∠=，则该河流的宽度是（ ）A．15+ B．10米 C．15米 D．10米8．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，11136,4AB A B AA ===，点P 为棱1BB 上的动点（含端点），则AP PC +的最小值是（ ） A ．6B．C ．8D．二、多选题9．已知复数()512i i z =+，则（ ）A ．2i z =- B．z =C ．4z z += D ．2i z z -=10．用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．三棱柱D ．三棱锥11．对任意两个非零的平面向量a r 和b r，定义：：22a b a b a b ⋅⊕=+r r r r r r ；2||a b a b b ⋅=r r r r r e .若平面向量,a b r r 满足0a b >>r r ，且a b ⊕r r 和a b r r e 都在集合,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b a b ⊕+r r r r e 的值可能是（ ）A ．1B ．54C ．32D ．74三、填空题12．一个棱台至少有个面．13．在ABC V 中，,D E 分别在边,BC AC 上，且3,3BC BD AE EC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，若A D xA B yA C =+u u u r u u u r u u u r ，则x y -=，线段AD 与BE 交于点F ，则AFDF=u u u ru u ur ． 14．如图，在扇形OAB 中，半径4OA =，90AOB ∠=︒，C 在半径OB 上，D 在半径OA 上，E 是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE 的周长的取值范围是．四、解答题15．已知复数()2233i z a a a =--+-，a ∈R ．(1)若z 是纯虚数，求a 的值；(2)若i z +在复平面内对应的点位于第二象限，求a 的取值范围．16．如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是边长为6的正方形.(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积.17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且π2B ≠，()222sin sin sin cos 1A B C B -=-．(1)求ca的值；(2)若3a =，cos C =，求ABC V 的面积． 18．如图.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1126,,AB A B E F ==分别在棱1111,A B B C 上，且111B E B F ==.(1)证明：1//AA 平面1BC D .(2)证明：直线1,,AE BB CF 交于同一点.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()()2,0,10,0,11,3,10,6A B C D ．(1)①证明：cos cos 0ABC ADC ∠+∠=．②证明存在点P ，使得PA PB PC PD ===，并求出P 的坐标．(2)若点E 在四边形ABCD 的四条边上运动，且CE 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，求点E 的坐标．。
(word版)厦门大学0708学年第一学期《高等代数》半期考试卷
07-08学年第一学期厦门大学数学科学学院?高等代数?期中试卷厦门大学?高等代数?课程试卷数学学院各系2007年级各专业主考教师：杜妮、林鹭试卷类型：〔A卷〕2007特别说明：答案写在答题纸上一、单项选择题〔32分.每题4分，共8题〕1)设A,B是n阶方阵,下面命题中错误的选项是____.(i )假设|A|0,|B|0，那么|A B|0；(ii)假设|A|0,k0，那么|kA|0;(iii )假设AB0,那么A0或者B0;(iv)假设AB0,那么|A|0或者|B|0;A)(i)(ii)(i ii)(iv)B)(i)(ii)(iii)C)(i)(ii)D)(i)a10b102)行列式0c10d1____. a20b200c20d2A)a1c1b2d2a2b1c2d1;B)(a2b2a1b1)(c2d2c1d1);C)a1a2b1b2c1c2d1d2;D)(a1b2a2b1)(c1d2c2d1).3)设A是n阶方阵,B是对换A中两列所得方阵,假设|A||B|,那么____.A)|A|可能为0；B)|A|0；C)|A B|0;D)|A B|0.4)设A是n阶对称矩阵(即AA),B是n阶反对称矩阵(即B B),那么____是反对称矩阵.A)AB2A；B)BAB;C)ABA;D)BA2B.5)设n阶矩阵A,B,C满足ABAC I n,那么___.A)ABACI n；B)A2B2A2C2I n；C)BA2C I n；D)CA2BI n.a21ka23a22a230101006)设A a ij,B a31ka33a32a33,P1001,P2010,那么B____.33a11ka13a12a13100k01A)APP12;B)P1AP2;C)AP2P1;D)P2AP1.107-08学年第一学期厦门大学数学科学学院?高等代数?期中试卷7) 设A是任一n(n 3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k 0,1,那么必有(kA)*___.A) kA*; B) k n1A*; C) k n A*; D) k1A*.设A是mn阶矩阵,B是nm阶矩阵.___.A)假设m n,那么|AB|0;B)假设m n,那么|AB|0;C)假设m n,那么|AB|0;D)假设m n,那么|AB|0.二、填空题〔32分.每题4分，共8题〕00L0100L101)n阶行列式MMO MM____.01L0010L0016742)4阶矩阵A的逆阵A13896,那么A中所有元素的余子式之和=____.1913725873)5级排列a1a2a3a4a5的逆序数是3,那么排列a5a4a3a2a1的逆序数=____.0 0 1 0 00 0 0 2 0 4) 0 0 0 0 32 1 0 0 02 3 0 0 01____.1305)设A210,那么当X____时,XAXA.0026)A B设A是m阶可逆方阵,D是n阶方阵,那么____.C D7)A (a ij)nn,e i(0,...,1,...,0)为n维标准单位列向量,那么eAej____.i8)写出m n阶矩阵A,B相抵的两个充分必要条件.207-08学年第一学期厦门大学数学科学学院?高等代数?期中试卷x y z1三、(10分)设方程组ax byczd.问a,b,c满足什么条件时,该方程组有唯一解?并求出a2xb2yc2zd2该唯一解.四、五、1000(8分)设A2300B(I A)1(IA),求(IB)1.045,I是4阶单位阵,0067(8分)设A是nn矩阵,假设对任一n维列向量X,都有AX0,那么A0.六、(10分)n阶矩阵A,B满足A2A,(A B)2A2B2,证明:AI可逆;AB0.附加题〔不计入总分〕设A,B是n阶可逆矩阵,证明假设AA BB,AB都可逆,那么也可逆.B A3。
厦门大学2013级高等数学经管类(A)期中试卷(含答案)
一、解答题（共76分）1、计算下列各题：（每题6分，共30分）（1）22212lim()12xnn n n n n n n→+++++++++;解：因为22222121212121n n nn n n n n n n n n n n n++++++≤+++≤++++++++++，即22222(1)12(1)2()122(1)n n n n nn n n n n n n n n n n n++≤+++≤++++++++++.而22(1)(1)1lim lim2()2(1)2n nn n n nn n n n n→∞→∞++==++++，故222121lim()122xnn n n n n n n→+++=++++++.（2）设()f x=，求常数A与k使得当0x→时()f x与kAx是等价无穷小.解00()o s s i n l i m ls)kx x xf xAx→→→==11cos arcsinlim2kxx x xAx→-+=因为当0x→时，211cos~2x x-，2arcsin~x x x，故231cos arcsin~2x x x x-+，故2k=，322A=，于是，2k=，34A=.（3）求函数1(2cos)(01)1xxy x xx-=++<<+的导数。
解l n(2c o s)21e a r c1x xxyx+-=++，于是，2s i n2(2c o s)[l n(2c o s)]2c o s(1))xx xy x xx x'=+⋅+--++厦门大学《一元微积分（A）》课程期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业经管类高数A期中试卷试卷类型：（A卷）（4）求函数()y y x =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩所确定，求π2d d t yx =及222d d t y x π=。
解：d sin d 1cos y tx t=-，故π2d 1d t y x ==；22222d cos (1cos )sin 11d (1cos )1cos (1cos )y t t t x t t t --=⋅=----，故22π2d 1d t y x ==-. （5）设2()(1)cos f x x x x =++，求(10)(0)f .解：(10)210π9π1098π()(1)cos()10(21)cos()2cos()2222f x x x x x x x ⨯=++++⨯+++⨯+， 则 (10)(0)19089f=-+=. 2、(8分)求函数22ln ||32x x y x x -⋅=-+的间断点，并判断其类型（说明理由）。
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一、填空（每小题3分，共21分）
1、设22(,)f x y x y x y xy +-=--，则(),z f x y =在()1,1点的全微分1
1x y dz === 。
2、设(),z f x y =为连续函数，则20(,)lim D R f x y dxdy R →⎰⎰= ，其中222:D x y R +≤。
3、已知322(sin )(2cos 1)y ay x dx bxy y x dy ++--是某函数(),f x y 的全微分， 则a = ，b = 。
4、已知曲面22
4z x y =--上点P 处的切平面平行与平面:2210x y z π++-=， 则P 点的坐标为 。
5、已知()22,22f x y x ax xy y =+++在点()1,1-处取极值，则常数a = 。
6、交换积分次序2
4212(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰= 。
7、设L 为取正向的圆周229x y +=，则曲线积分2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-=⎰ 。
二、（9分）、设()222222221()sin 0,0 0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，判断(),f x y 在点()0,0处
（1）是否连续；（2）偏导是否存在；（2）是否可微。
二、计算（每小题6分，共36分）
1、已知()(),,, y
z f x y u u x f ==其中具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂。
2、设z x y z e ++=，且tan ,cos x e t y t ==，求dz dt。
3、设(),F u v 有连续的一阶偏导数，且()()3,11,3,11u v F F ''==-。
曲面S ： (),0F x y x z +-=通过点()2,1,1，求曲面S 过该点()2,1,1的法线及与xoy 平面的夹角。
4、计算二重积分D σ，其中(){},2D x y y x =≤≤≤≤。
厦门大学《高等数学》课程试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 主考教师：＿＿ 试卷类型：（A 卷/B 卷）
5、计算三重积分()2
x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰，其中Ω由曲面221x y +=与1z =所围。
6、计算曲线积分22, 4L xdy ydx x y
-+⎰其中L 是以点(1,0)为圆心，(1)R R ≠为半径的圆周，方向取逆时针方向。
四、证明（每小题7分，共14分）
1、设()z xy xF u =+，其中y u x
=，()F u 为可导函数，证明：z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂。
2、证明：()(){}222222sin cos , ,|14D x x y y dxdy D x y x y π+==+≤⎰⎰其中。
五、应用（每小题10分，共20分）
1、设曲线方程为(0)x y e x -=≥（1）若曲线x y e -=，0,0,(0)x y x t t ===>所
围平面图形绕x 轴旋转一周的体积为()V t ，求a 使之满足1()lim ()2t V a V t →+∞=。
（2）求曲线x y e -=上一点，使该点处的切线与两坐标轴所围面积最大，并求此最大面积。
2、某企业通过电视及报纸两种方式做商品销售广告。
据统计，销售收入R （万元）与电视广告费用x （万元）及报纸广告费用y （万元）有如下规律：
221514328210R x y xy x y =++---
（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若广告费用限制为1、5万元时，求相应的最优广告策略。