湘教版(2012)初中数学九年级下册 1.2.2 二次函数的图象与性质—y=a(x-h)2教案

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1.2二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质(3)-湘教版九年级数学下册教案

1.2 二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质（3）-湘教版九年级数学下册教案一、学习目标1.掌握二次函数y=a(x-h)^2的图象及其性质。

2.理解二次函数y=a(x-h)^2的变化规律。

3.能够将一些实际问题转化为二次函数的形式，并进行解析。

二、教学重难点1.掌握二次函数y=a(x-h)^2的基本性质，并能够进行简单的变化规律推断。

2.理解如何将实际问题转化为二次函数的形式，并进行解析。

3.理解二次函数图象的不同变化规律。

三、学习内容1. 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象是一个开口向上或向下的抛物线，其中(h, k)为抛物线的顶点。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

此外，当a的绝对值越小，抛物线的开口越接近于水平轴。

2. 二次函数y=a(x-h)2的变化规律在二次函数y=a(x-h)2中，a表示抛物线的开口方向和抛物线的开口大小。

当a>0时，表示抛物线开口向上；当a<0时，表示抛物线开口向下。

同时，a的绝对值越小，抛物线的开口越接近于水平轴。

3. 二次函数应用题利用二次函数的形式解决一些实际问题是数学学科中的重要应用之一。

通过一些具体的例子，可以帮助学生更好地掌握二次函数的理论知识。

例如，一个投射物的高度与时间的关系可以表示为y=-0.5x^2+10x，其中，x表示时间，y表示高度。

四、学习方法在学习过程中，学生可以通过练习题来巩固所学的知识。

同时，老师可以引导学生多思考实际问题的转化过程，并帮助学生掌握二次函数图象的不同变化规律。

五、作业1.练习册P19~P20，1、2、3、4、6、8题。

2.根据实际问题，自己构造1个二次函数，并绘制其图象。

六、教学反思通过本节课的学习，学生可以更好地掌握二次函数y=a(x-h)^2的基本性质，更好地理解二次函数的变化规律，能够将一些实际问题转化为二次函数的形式，并进行解析。

湘教版九年级下册数学精品教学课件第1章二次函数第2课时二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质

∴a > b > 0，|d| > |c| > 0，
∴d < c < 0，∴ a > b > 0 > c > d．
y ＝ ax2 图象位置开口方向
对称性
顶点最值
增减性
a>0
y
Ox
开口向上
a<0
y O
x
开口向下
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
解析：根据 a、b 的符号来确定．当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 . ∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口向下．∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限．故选 D.
合作探究
问题1
画二次函数
y
1 4
x2
的图象.
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2 4
0
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利
用对称性画出 y 轴左边的部分.
y
这样我们得到了 y 1 x2
4
－4
o
－2
2
4x
的图象，如图.
－2
－4
问题2 观察图 y 1 x2的图象跟实际生活中的什么相像？
4
Hale Waihona Puke －4 －2 －2 －42
4
y 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线

湘教版九下数学课件1.2.2二次函数图像与性质

y ax 2 当h>0时,向右平移当h<0时,向左平移
y a(x - h)2 的图象
y a(x - h)2
a＞0时，开口________,最____点是顶点;a ＜0时，开口________,最____点是顶点;
对称轴是_直__线_x=h
顶点坐标是__(_h_,0__)____。
练习:
4、画出二次函数y=-2（x-2）2+3的图像。
5、已知某抛物线的顶点坐标为（-3,2）且与y轴相交于点（-1,0）求这个抛物线所表示二次函数的表达式。
讨论归纳:
y ax 2 当h>0时,向右平移当h<0时,向左平移
y a(x - h)2
h左加右减
当k>０时向上平移当k<０时向下平移
的是形 _y_状___相_1_同（__，x__且_4顶）2点坐2标是（４，-２）则3函数关系式
3
3、指出下列二次函数的开口方向、对称顶点坐标：
(1) y 3x 2 6
(2)
y 2(x 1 )2 7 2
(3) y 5(x 2)2 3
(4) y 2 (x 2)2
1 a2 2
(a 1, 1 a2 ) 2
证明：
记从b 而a点Q1,的则坐a 标b为1
b, 1 b 12
2

这表明：点Q在函数的y图象1上x，-1由2此得出，抛物线
F是函数的图象，
2 y
1
x
-12
2
这样我们证明了：函数的y图象1 是x 抛-1物2 线F，它的开口
2
纵坐标
1 a -12
2
1 a -12 3
2

湘教版九年级下册数学精品教学课件第1章二次函数第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质

外，还具有哪些性质？ 1. y＝x2 的图象是一条曲线; 2. 开口向上;
y y=x2
3. 图象与对称轴的交点为原点(0，0);
4. x<0 时，y 随 x 的增大而减小，简
称“左降”； 5. 当 x=0时，函数值最小，且为0．
o
x
典例精析例1 已知点(-1，y1)，(-3，y2)都在函数 y=x2 的图象上，则____y_1_＜__y_2___.
例1变式已知点(－3，y1)，(1，y2)，( 2，y3)都在函数 y＝x2 的图象上，试写出 y1、y2、y3 的大小关系．
解：方法一：把 x ＝－3，2 ，1，分别代入 y＝x2 中，得 y1＝9，y2＝1，y3＝2，则 y1＞y3＞y2；
方法二：如图，作出函数 y ＝ x2 的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知 y1 ＞ y3 ＞ y2 .
1.列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数.让 x 取 0 一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
第1章二次函数
1.2 二次函数的图象和性质
第1课时二次函数 y = ax2(a>0) 的图象与性质
复习引入你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
1. 一次函数 y = kx+b (k ≠ 0)
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b>0
b=0
o
x

湘教版九下数学课件1.2二次函数的图象与性质

二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线，它的对称轴是直线x=h，它的顶点坐标是 (h，0).当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，开口向下.
2 由图于象我的们性已质经，知因道此了今后二在次画函数 y=ya=(ax(-xh-)h2)的图的象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分.
2.画二次函数的图象. y = -2(x -2)2 +3
解：
●
y =-2(x-2)2+3
●
●
3.已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过点(-1，0)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.
解: 由抛物于线点所(-表3，示2的)是二该次抛函物数线的的表顶达点式，为可y=设a这(x个+3)2+2. 2
解得 a = 43.
因此，所求的二次函数的表达式为
y
Байду номын сангаас
=
43(
x
+
2)2
+1
=
3 4
x
2
+
3
x

4.
练习
1.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：
（1 ）y
=
2( 5
x
-
9)2
+7；
答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.
（
2 ）y
=
-
1( 3
x
+18)2
-13.
答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.
练习
1.画出二次函数y=-10x2的图象并填空：
（1）抛物线的对称轴是，顶点是； y轴

湘教版数学九年级下册1.2二次函数的图象与性质(第5课时)课件(共14张PPT)

3 开始取值 2
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值根据图形填表：抛物线顶点坐标对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c

湘教版九年级数学下册二次函数的图象与性质课件

得到的？（
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0

− 向

左平移1个单位，就得到抛物线 =

− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =

− (−) ．

= − (+)

=−

= − (−)

知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标

《二次函数的图象与性质》PPT课件(湘教版)

O
x
1 23 4
–1
–2
–3
–4
–5
y ＝ -0.3x2
–6
–7 y ＝ -8x2
1. 下列关于抛物线 y＝－x2 的说法,错误的是（ D ） A．关于 y 轴对称 B．与抛物线 y＝x2 关于原点对称 C．画抛物线 y＝－x2 时,只要先画出 y 轴右边的部分,
然后利用对称性,再画出图象在y 轴左边的部分即可 D．抛物线有一个最低点,其坐标为（0,0）
湘教·九年级下册
二次函数 y = ax²（a＞0）的
y 8 6 4 2
–3 –2 –1 O
123
图象与性质
x
用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一条直线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数 y = ax2 的图象.
1
量取值的增大而＿增＿大＿＿．
–3 –2 –1
y ＝ 6x2
1 2 3x
2. 在同一直角坐标系中画出二次函数 y ＝ 3x2 及 y ＝
1 4
x2
的图象，并比较它们的共同点与不同点.
y
7
y ＝ 3x2
6
5
4
y＝
1
4 x2
3
2
1
–4 –3 –2 –1
1234x
1. 二次函数 y ＝ x2 不具有的性质是（ D ） A．对称轴是 y 轴 B．开口向上 C．当x＜0时, y 随 x 的增大而减小 D．有最大值
–3 –2 –1 O
123
的图象与性质
x
把二次函数 y 1 x2 的图象 E 向右平移 1 个单位，得到图形 F.

湘教版初中数学九年级下册1.2 第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质PPT课件

直线x=-3 直线x=1
( -3 , 0 )
(1,0)
y = -4(x-3)2 向下
直线x=3
( 3, 0)
归纳：抛物线 y = a ( x-h)2 的特点： a＞0时，开口__向__上____, 最 _低___ 点是顶点; a＜0时，开口__向__下____, 最 _高___ 点是顶点;
对称轴是 _直__线___x_=__h__，顶点坐标是 _(_h_,_0_)_.
(2)抛物线 .
向右平移2个单位得抛物线
课后练习见《学练优》本课时练习
向左平移1个单位，就得
到抛物线
；把抛物线
向右平移1个
单位，就得到抛物线
．
－4 －2 －2 －4
－6
24
问题2：在坐标系中画出下列各函数图象并根据
函数图象完成表格，说一说抛物线 y = a ( x-h)2
的特点. 抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2
向上向下
y = ax2 + k y = a(x – h )2 上下平移 y = ax2 左右平移
随堂训练
1.二次函数
的最小值是（）
A.-1 B.1 C.0 D.没有最小值
2.抛物线
不经过的象限是（）
A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第二、三象限
3.（1）抛物线
线
;
向平移个单位得抛物
－6
24
－4 －2 －2 －4
－6
24
归纳：可以看出，抛物线
的开口向下，对
称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它

初三下数学课件(湘教版)-二次函数的图象与性质(第一课时)

二、情境导入 1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么？ 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？ 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？
三、新知探究 1．在坐标纸上画出二次函数y＝x2的图象．
2．利用几何画板工具画出y＝2x2 y＝3x2 y＝4x2 y＝5x2 图象，总结这些图象的共同点和异同点．
四、点点对接【例1】已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求： (1)满足条件的m值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
五、课堂小结与同学分享你本节课的学习收获？说说你还有哪些困惑．
1.2 二次函数的图象与性质
（1课时）
教学目标
1．会用描点法画函数 y＝ax2(a≠0)的图象，并根据图象认
识、理解和掌握其性质． 2．体会数形结合的思想，能用y＝ax2(a≠0)的图象与性质解
决简单的实际问题．
教学重点和难点重点：1.会画函数y＝ax2(a≠0)的图象； 2．理解、掌握图象的性质．难点：二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会．
3．交流体会二次函数的图象是什么？y＝ax2图象是什么形状？抛物线的对称轴、顶点坐标、最高点、最低点有什么含义？
4．归纳总结y＝ax2图象性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2开口 ________，在对称轴的左边，曲线自左向右________；在对称轴的右边，曲线自左向右________，________是抛物线上位置最低的点．当x＜0时，函数值y随着x的增大而________，当x＞ 0时，函数值y随x的增大而________；当x________时，函数值y ＝ax2(a＞0)取得最小值，最小值y＝________.当a＜0时，抛物线 y ＝ ax2 开口 ________ ，在对称轴的左边，曲线自左向右 ________ ；在对称轴的右边，曲线自左向右 ________ ， ________是抛物线上位置最低的点．当x＜0时，函数值y随着x 的增大而________，当x＞0时，函数y随着x的增大而________ ；当x＝________时，函数值y＝ax2(a＜0)取得最小值，最小值y ＝________.

1.2二次函数的图象与性质(第1课时)课件(共13张ppt)

图象的开口向上；图象是轴对称图形，对称轴是_y轴____x_=_0 对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而减小，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而增大，简称为“右升”；当x= 0 时，函数值最小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向上；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而减小，简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2）当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3）当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.

湘教版九年级下册数学课件1.2二次函数的图象与性质-第1课时 (共17张PPT)

1.2 二次函数的图象与性质
第1课时二次函数y=ax²（a＞0）的图象与性质
目 Contents 录
01 学习目标 02 温故知新
03 合作探究
04 例题演示
05 随堂练习
06 课堂小结
学习目标
1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.
温故知新
想一想:
我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢？
合作探究
画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取0和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：
x
… －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1
2
5 4 3 2 1
－4 －3 －2－1
1 2 34
我们已经正确画出了 y 1 x2 的图象，因此，现在可以从图
象（见图）看出
y
1
x2
2 的其他一些性质（除了上面已经知
2
道的关于y轴对称和“右升”外）：
对称轴与图象的交点是___O_(_0_,_0_) ____；图象的开口向_上___；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ___减__小____，简称为“左降”；
例题演示
画二次函数 y x2 的图象．
解，列表：
x
0
0.5
1
1.5
2
…
y x2
0
0.25
1
2.25
4
…
描点和连线
8