差分方程模型ppt课件
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(3) 下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，
如何从数学的角度来描述上述现象呢？
11
2、模型假设
(1)设 k 时段商品数量为 xk ，其价格为 yk ，这里把时间 离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。
(2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，称
yk f (xk )
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。
arctan 为 的幅角；
4
若特征方程有 k 重复根 i，则齐次方程的通解为
(c1 ck t k1 ) t cost (c1 ck t k1 ) t sint
3.求非齐次方程的一个特解 yt ，若 yt 为齐次方程的通解， 则非齐次方程的通解为 yt。 yt
对特殊形式的特解 b(t )可以使用待定系数法求非齐次方
N 1
Z[x(k N )] z N [ X (z) x(k)zk ]
Z
[
x(k
1)]
z
1[
X
(z)
k
0
x(1)z]
1
Z[x(k N )] zN [ X (z) x(k )zk ]
kN
9
例2. 求解齐次差分方程
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) 0, x(0) 0, x(1) 1
Z[ (k )] (k )z k [1 z k ]k0 1
k 0
(2) 单位阶跃函数U (k)的 Z 变换
Z[U (k )] U (k )zk 1 z k
z (| z | 1)
k 0
k 0
z 1
(3) 单边指数函数 f (k) ak 的Z 变换(a 为不等于1的正常数)
Z[ak ] ak zk
t
1 2
在应用差分方程研究问题时，需要讨论解的稳定性。
对常系数非齐次线性差分方程，若不论其对应齐次
方程的通解中的任意常数如何取值，当 时t ， ，
则称yt方程0的解是稳定的。
6
2、常系数线性差分方程的 Z 变换解法
采用上述解析解法求解常系数线性非齐次差分方程比较 繁琐，下面介绍 Z 变换，将差分方程转化为代数方程去求解
称如下形式的差分方程
a0 ytn a1 ytn1 an yt b(t)
为 n 阶常系数线性差分方程，其中 a0 , a1, , an 是常 数，a0 0 。其对应的齐次方程为
a0 ytn a1 ytn1 an yt 0
3
求非齐次常系数线性差分方程的通解的步鄹： 1.先求解对应的特征方程
程的特解。例如b(t) bt pk (t) ，pk (t)为 t 的 k 次多项式时可以证 明：若 b 不是特征根，则非齐次方程有形如 bt qk (t) 的特解，
qk (t) 也是 t 的 k 次多项式；若 b 是 r 重特征根，则非齐次方
程有形如btt r1qk (t) 的特解。进而可以用待定系数法求出 qk (t) ，从而得到非齐次方程的一个特解。
5
例1. 求解两阶差分方程 yt2 yt t
解 对应齐次方程的特征方程为 2 1 0，其特征根
为 1,2
i，故齐次方程的通解为 yt
c1
c
os 2
t
c2
s
in
2
t
，原方程有形如at b 的特解，带入原方程求得
a 1/ 2,b 1/ 2 ，所以原方程的通解为
c1
cos 2
t
c2
sin
2
t
1 2
其中含 的最yt高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。
差分方程也t 可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分
方程
2 yt yt yt可以0 写成
yt2 yt1 yt 0
2
满足一阶差分方程的序列 yt 称为差分方程的解，若 解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称 此解为该差分方程的通解。
z (| z | a)
k 0
za
8
Z 变换的性质
(1)线性性质
设 Z[x1(k)[ X1(z), Z[x2 (k)] X 2 (z)，则
Z[ax1(k) bx2 (k)] aX1(z) bX2 (z)
(2)平移性质：设Z[x(k)] X (z)，则
Z[x(k 1)] z[X (z) x(0)]
a0n a1n1 an 0
2.根据特征根的不同情况，求解齐次方程的通解
若特征方程有 n 个不同的实根1, ,n，则齐次方程 的通解为 c11t cntn ；
若 是特征方程的 k 重实根，则齐次方程的通解 为(c1 ck t k 1)t ；
若特 征方程有单重复根 i ，则齐次方程的通 解为 c1 t cost c1 t sint ，其中 2 2 为 的模，
差分方程模型
第一讲 差分方程 第二讲 蛛网模型 第三讲 商品销售量预测 第四讲 养老保险
1
t
1、差分方程简介
规定 t 只取非负整数，记 yt 为变量在 t 点的取值， 则称 yt yt1 yt 为yt 的一阶向前差分，称
2 yt (yt ) yt1 yt yt2 2 yt1 yt
为 yt的二阶差分。 由 t 、yt 及 yt 的差分给出的方程称为 yt的差分方程。
解 令 Z[x(k)] X (z) ，对差分方程取 Z 变换得
z2 X (z) z 3zX (z) 2 XБайду номын сангаас(z) 0
z
zz
X (z) z2 3z 2 z 1 z 2
对上式取 Z 反变换，便得差分方程的解为
x(k ) (1)k (2)k
10
1、问题的提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波 动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种 商品的价格的变化看到如下现象：在某一时期，商 品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得 该商品无利可图，转而经营其他商品，一段时间之 后，随着产量的下降，供不应求又会导致价格上 升，又会有很多生产商进行该商品的生产，随之而 来的是商品过剩，价格下降。在没有外界干预的情 况下，这种现象会反复出现。
设有离散序列x(k),k 0,1, ，则 x(k)的 Z 变换定义为
X (z) Z (x(k)) x(k)zk
k 0
其中 z 是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外部
X (z)的 Z 反变换记作 x(k) Z 1[ X (z)]
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几个常用离散函数的 Z 变换
(1) 单位冲激函数 (k)的 Z 变换
如何从数学的角度来描述上述现象呢？
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2、模型假设
(1)设 k 时段商品数量为 xk ，其价格为 yk ，这里把时间 离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。
(2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，称
yk f (xk )
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。
arctan 为 的幅角；
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若特征方程有 k 重复根 i，则齐次方程的通解为
(c1 ck t k1 ) t cost (c1 ck t k1 ) t sint
3.求非齐次方程的一个特解 yt ，若 yt 为齐次方程的通解， 则非齐次方程的通解为 yt。 yt
对特殊形式的特解 b(t )可以使用待定系数法求非齐次方
N 1
Z[x(k N )] z N [ X (z) x(k)zk ]
Z
[
x(k
1)]
z
1[
X
(z)
k
0
x(1)z]
1
Z[x(k N )] zN [ X (z) x(k )zk ]
kN
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例2. 求解齐次差分方程
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) 0, x(0) 0, x(1) 1
Z[ (k )] (k )z k [1 z k ]k0 1
k 0
(2) 单位阶跃函数U (k)的 Z 变换
Z[U (k )] U (k )zk 1 z k
z (| z | 1)
k 0
k 0
z 1
(3) 单边指数函数 f (k) ak 的Z 变换(a 为不等于1的正常数)
Z[ak ] ak zk
t
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在应用差分方程研究问题时，需要讨论解的稳定性。
对常系数非齐次线性差分方程，若不论其对应齐次
方程的通解中的任意常数如何取值，当 时t ， ，
则称yt方程0的解是稳定的。
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2、常系数线性差分方程的 Z 变换解法
采用上述解析解法求解常系数线性非齐次差分方程比较 繁琐，下面介绍 Z 变换，将差分方程转化为代数方程去求解
称如下形式的差分方程
a0 ytn a1 ytn1 an yt b(t)
为 n 阶常系数线性差分方程，其中 a0 , a1, , an 是常 数，a0 0 。其对应的齐次方程为
a0 ytn a1 ytn1 an yt 0
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求非齐次常系数线性差分方程的通解的步鄹： 1.先求解对应的特征方程
程的特解。例如b(t) bt pk (t) ，pk (t)为 t 的 k 次多项式时可以证 明：若 b 不是特征根，则非齐次方程有形如 bt qk (t) 的特解，
qk (t) 也是 t 的 k 次多项式；若 b 是 r 重特征根，则非齐次方
程有形如btt r1qk (t) 的特解。进而可以用待定系数法求出 qk (t) ，从而得到非齐次方程的一个特解。
5
例1. 求解两阶差分方程 yt2 yt t
解 对应齐次方程的特征方程为 2 1 0，其特征根
为 1,2
i，故齐次方程的通解为 yt
c1
c
os 2
t
c2
s
in
2
t
，原方程有形如at b 的特解，带入原方程求得
a 1/ 2,b 1/ 2 ，所以原方程的通解为
c1
cos 2
t
c2
sin
2
t
1 2
其中含 的最yt高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。
差分方程也t 可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分
方程
2 yt yt yt可以0 写成
yt2 yt1 yt 0
2
满足一阶差分方程的序列 yt 称为差分方程的解，若 解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称 此解为该差分方程的通解。
z (| z | a)
k 0
za
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Z 变换的性质
(1)线性性质
设 Z[x1(k)[ X1(z), Z[x2 (k)] X 2 (z)，则
Z[ax1(k) bx2 (k)] aX1(z) bX2 (z)
(2)平移性质：设Z[x(k)] X (z)，则
Z[x(k 1)] z[X (z) x(0)]
a0n a1n1 an 0
2.根据特征根的不同情况，求解齐次方程的通解
若特征方程有 n 个不同的实根1, ,n，则齐次方程 的通解为 c11t cntn ；
若 是特征方程的 k 重实根，则齐次方程的通解 为(c1 ck t k 1)t ；
若特 征方程有单重复根 i ，则齐次方程的通 解为 c1 t cost c1 t sint ，其中 2 2 为 的模，
差分方程模型
第一讲 差分方程 第二讲 蛛网模型 第三讲 商品销售量预测 第四讲 养老保险
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t
1、差分方程简介
规定 t 只取非负整数，记 yt 为变量在 t 点的取值， 则称 yt yt1 yt 为yt 的一阶向前差分，称
2 yt (yt ) yt1 yt yt2 2 yt1 yt
为 yt的二阶差分。 由 t 、yt 及 yt 的差分给出的方程称为 yt的差分方程。
解 令 Z[x(k)] X (z) ，对差分方程取 Z 变换得
z2 X (z) z 3zX (z) 2 XБайду номын сангаас(z) 0
z
zz
X (z) z2 3z 2 z 1 z 2
对上式取 Z 反变换，便得差分方程的解为
x(k ) (1)k (2)k
10
1、问题的提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波 动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种 商品的价格的变化看到如下现象：在某一时期，商 品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得 该商品无利可图，转而经营其他商品，一段时间之 后，随着产量的下降，供不应求又会导致价格上 升，又会有很多生产商进行该商品的生产，随之而 来的是商品过剩，价格下降。在没有外界干预的情 况下，这种现象会反复出现。
设有离散序列x(k),k 0,1, ，则 x(k)的 Z 变换定义为
X (z) Z (x(k)) x(k)zk
k 0
其中 z 是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外部
X (z)的 Z 反变换记作 x(k) Z 1[ X (z)]
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几个常用离散函数的 Z 变换
(1) 单位冲激函数 (k)的 Z 变换