2018中考数学几何辅助线题
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题(含答案)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。
2018年中考数学几何辅助线大全和常考题型解析
2017年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2. 作一腰上的高；3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高——形内形外都要注意矩形1. 对角线2. 作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
中考数学专题复习全等三角形之辅助线做平行线
中考数学专题复习全等三角形（辅助线做平行线）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1B．1.8C．2D．2.52．如图，⊥ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．0.5B．0.9C．1D．1.25评卷人得分二、填空题3．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P 是⊥OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：⊥⊥CPD＝135°；⊥BA＝BP；⊥⊥P AC⊥⊥PDB；⊥S△ABP＝S△DCP；⊥PM＝12CD．其中正确的是___．（填序号）评卷人得分三、解答题4．如图，⊥ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，⊥CEF＝⊥A，连接DF．（1）在图1中找出与⊥ACE相等的角，并证明；（2）求证：⊥BDF＝⊥EFC；（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求DG DF的值（用含k的代数式表示）．5．如图所示：ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD CE=，连接DE交BC于点M．求让：MD ME=6．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．7．P为等边⊥ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC 边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．8．如图，点P为等边⊥ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．9．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．10．读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且⊥BAE=⊥CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF⊥AB交DE的延长线于F.参考答案：1．C【解析】【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明PFD⊥QCD，得FD CD=，再由APF 是等边三角形，即可得出12DE AC=．【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，Q FPD∴∠=∠，ABC是等边三角形，60APF B∴∠=∠=︒，60AFP ACB∠=∠=︒，APF∴△是等边三角形，AP PF∴=，⊥CQ＝P A，⊥PF CQ=在PFD中和QCD中，FPD QPDF QDCPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PFD∴⊥()QCD AAS，FD CD∴=，PE AC⊥于E，APF是等边三角形，AE EF∴=，=AE DC EF FD ED∴+=+，12DE AC∴=，4AC=，2DE∴=，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．C【解析】【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明PFD≌QCD，得FD CD=，再由APF 是等边三角形，即可得出12DE AC=．【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，Q FPD∴∠=∠，ABC是等边三角形，60APF B∴∠=∠=︒，60AFP ACB∠=∠=︒，APF∴是等边三角形，AP PF∴=，在PFD中和QCD中，FPD QPDF QDCPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PFD∴≌()QCD AAS，FD CD∴=，PE AC⊥于E，APF是等边三角形，AE EF ∴=，AE DC EF FD ∴+=+，12DE AC ∴=， 2AC =， 1DE ∴=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．⊥⊥⊥⊥ 【解析】 【分析】由角平分线的定义，可得⊥CDP +⊥DCP =12⊥CDO +12⊥DCO =45°，进而即可判断⊥；先证ACP DCP ≌，可得APD △是等腰直角三角形，进而得PAC PDB ≌，即可判断⊥；过点A 作AN ⊥BP 交PM 的延长线于点N ，可得AMN BMP ≌，再证明APN PDC ≌，从而得PM ＝12CD ，即可判断⊥；由ABP APM BMP APM AMN APN S S S S S S +=+==，即可判断⊥． 【详解】解：⊥AC ⊥BD ，点P 是⊥OCD 角平分线的交点，⊥⊥DOC =90°，⊥ODC +⊥OCD =90°，⊥CDP =12⊥CDO ，⊥DCP =12⊥DCO ， ⊥⊥CDP +⊥DCP =12⊥CDO +12⊥DCO =45°，⊥⊥CPD ＝180°-（⊥CDP +⊥DCP ）=135°，故⊥正确； ⊥CP ，DP 分别平分⊥DCO ，⊥CDO ， ⊥⊥DCP =⊥ACP ，⊥CDP =⊥BDP ， ⊥AC ＝CD ，PC =PC ， ⊥ACP DCP ≌，⊥AP =DP ，⊥CAP =⊥CDP =⊥BDP ，⊥APC =⊥DPC =135°， ⊥⊥DP A =360°-135°-135°=90°，⊥APD △是等腰直角三角形， 又⊥AC =BD ，⊥CAP =⊥BDP，AP =DP ， ⊥PAC PDB ≌，故⊥正确； ⊥⊥DPB =⊥APC=135°，PB =PC ， ⊥⊥BPC =360°-135°-135°=90°，⊥BPC △是等腰直角三角形，找不到证明BA =BP 的条件，故⊥错误； 过点A 作AN ⊥BP 交PM 的延长线于点N ，⊥⊥N =⊥BPM ，⊥P AN +⊥APB =180°， ⊥点M 是AB 的中点，即AM =BM ， 又⊥⊥AMN =⊥BMP ， ⊥AMN BMP ≌，⊥MN =PM =12PN ，AN =PB =PC ，AMNBMPSS=，⊥⊥DP A =⊥BPC =90°， ⊥⊥APB +⊥DPC =180°， 又⊥⊥P AN +⊥APB =180°， ⊥⊥P AN =⊥DPC ， 又⊥AP =DP ，AN =PC ， ⊥APN PDC ≌，⊥CD =PN =2PM ，即：PM ＝12CD ，故⊥正确； ⊥APNPDCSS=，AMNBMPSS=，⊥ABPAPMBMPAPMAMNAPNS SSSSS+=+==，⊥ABPDCPSS=，故⊥正确．故正确的是⊥⊥⊥⊥． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握中线倍长模型和旋转全等模型，是解题的关键． 4．（1）⊥DEF ＝⊥ACE ，证明见解析；（2）见解析；（3）k 【解析】 【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案；（2）连接CD ，过点E 作AC 的平行线与CD 交于点M ，证明⊥DEF ⊥⊥MEC （SAS ），由全等三角形的性质可得出⊥EDF ＝⊥EMC ，证出⊥EMD ＝⊥EFC ，则可得出结论；（3）连接CD ，过点E 作AC 的平行线与CD 交于点M ，证明⊥EFG ⊥⊥ECD （ASA ），由全等三角形的性质可得出GF ＝DC ，证出GD ＝DM ，则根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：（1）⊥DEF ＝⊥ACE ． 证明：⊥⊥DEC 是⊥ACE 的外角， ⊥⊥DEC ＝⊥A +⊥ACE ， ⊥⊥DEC ＝⊥DEF +⊥CEF ， ⊥⊥DEC +⊥CEF ＝⊥A +⊥ACE ， ⊥⊥CEF ＝⊥A ， ⊥⊥DEF ＝⊥ACE ；（2）证明：连接CD ，过点E作AC 的平行线与CD 交于点M ，⊥AD ＝AC ，⊥⊥ADC＝⊥ACD，⊥EM⊥AC，⊥⊥EMD＝⊥ACD，⊥CEM＝⊥ACE，⊥⊥EDM＝⊥EMD，⊥DEF＝⊥CEM，⊥ED＝EM，又⊥EF＝EC，⊥⊥DEF⊥⊥MEC（SAS），⊥⊥EDF＝⊥EMC，⊥⊥BDF+⊥EDF＝⊥EMD+⊥EMC＝180°，⊥⊥BDF＝⊥EMC，⊥EM⊥AC，⊥⊥DEM＝⊥A，⊥⊥A＝⊥CEF，⊥⊥DEM＝⊥CEF，⊥⊥DEM中，⊥EMD＝1802DEM︒-∠，⊥FEC中，⊥EFC＝1802CEF︒-∠，⊥⊥EMD＝⊥EFC，⊥⊥BDF＝⊥EFC；（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，⊥EG＝AG，⊥⊥GAE＝⊥GEA，⊥⊥DAC+⊥GAE＝⊥GEA+⊥GED＝180°，⊥⊥DAC＝⊥GED，⊥⊥CEF＝⊥DAC，⊥⊥DEG＝⊥CEF，⊥⊥DEG+⊥DEF＝⊥CEF+⊥DEF，即⊥GEF＝⊥DEC，⊥⊥DEF⊥⊥MEC，⊥⊥EFG＝⊥ECD，DF＝MC，又⊥EF＝EC，⊥⊥EFG⊥⊥ECD（ASA），⊥GF＝DC，⊥DC﹣MC＝GF﹣DF，即GD＝DM，⊥EM⊥AC，⊥DM DEk MC AE==，⊥GD DMk DF MC==．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．5．见详解【解析】【分析】过点D作DE⊥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得⊥MDE=⊥MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．【详解】过点D作DE⊥AC，交BC于点E，⊥ABC是等边三角形，⊥⊥B=⊥ACB=60°，⊥DE⊥AC，⊥⊥DEB=⊥ACB=60°，⊥MDE=⊥MEC，⊥BDE是等边三角形，⊥BD=DE，⊥DE=CE，又⊥⊥EMD=⊥CME，⊥∆EMD≅∆CME，⊥MDME =．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．6．（1）证明见解析；（2）DE＝3．【解析】【分析】（1）过点P作PF⊥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF⊥⊥QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF⊥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD⊥⊥QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE12=AC，即可得出结果．【详解】（1）如图1所示，点P作PF⊥BC交AC于点F．⊥⊥ABC是等边三角形，⊥⊥APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．⊥PF⊥BC，⊥⊥PFD=⊥DCQ．在△PDF和△QDC中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥PDF⊥⊥QDC（AAS），（2）如图2所示，过P作PF⊥BC交AC于F．⊥PF⊥BC，△ABC是等边三角形，⊥⊥PFD=⊥QCD，△APF是等边三角形，⊥AP=PF=AF．⊥PE⊥AC，⊥AE=EF．⊥AP=PF，AP=CQ，⊥PF=CQ．在△PFD和△QCD中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥PFD⊥⊥QCD（AAS），⊥FD=CD．⊥AE=EF，⊥EF+FD=AE+CD，⊥AE+CD=DE12=AC．⊥AC=6，⊥DE=3．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．7．（1）证明见解析；（2）DE＝3．【解析】【分析】（1）过点P作PF⊥BC交AC于点F；证出⊥APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明⊥PDF⊥⊥QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF⊥BC交AC于F．同（1）由AAS证明⊥PFD⊥⊥QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE12=AC，即可得出结果．【详解】（1）如图1所示，点P作PF⊥BC交AC于点F．⊥⊥ABC是等边三角形，⊥⊥APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．⊥PF⊥BC，⊥⊥PFD=⊥DCQ．在⊥PDF和⊥QDC中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊥⊥PDF⊥⊥QDC（AAS），⊥PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PF⊥BC交AC于F．⊥PF⊥BC，⊥ABC是等边三角形，⊥⊥PFD=⊥QCD，⊥APF是等边三角形，⊥AP=PF=AF．⊥PE⊥AC，⊥AE=EF．⊥AP=PF，AP=CQ，⊥PF=CQ．在⊥PFD和⊥QCD中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊥⊥PFD⊥⊥QCD（AAS），⊥FD=CD．⊥AE=EF，⊥EF+FD=AE+CD，⊥AE+CD=DE12=AC．⊥AC=6，⊥DE=3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．8．(1)详见解析(2)ED＝2【解析】【分析】（1）过P作PF⊥BQ，可得△APF为等边三角形，所以AP＝PF，再证△DCQ⊥⊥DFP，即可得PD＝DQ；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD ＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解．(1)证明：如图，过点P作PF⊥BC，则⊥DPF=⊥Q，⊥⊥ABC为等边三角形，⊥⊥APF是等边三角形，⊥AP=PF，又⊥AP=CQ，⊥PF=CQ，在△DPF和△DQC中，DPF QPDF QDC PF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DPF⊥⊥DQC（AAS），⊥DP=DQ；(2)⊥⊥P AF为等边三角形，PE⊥AC，可得AE＝EF，由（1）知，⊥DPF⊥⊥DQC⊥FD＝CD，⊥AC＝AE＋EF＋FD＋CD，⊥AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED，⊥AC＝BC＝4，⊥2ED＝4，⊥ED＝2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．9．(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=12ME．【解析】【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM⊥⊥EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM⊥⊥EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（3）MD=12ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM⊥⊥EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；(1)解：DM=EM；证明：过点E作EF//AB交BC于点F，⊥AB=AC，⊥⊥ABC=⊥C；又⊥EF//AB，⊥⊥ABC=⊥EFC，⊥⊥EFC=⊥C，⊥EF=EC．又⊥BD=EC，⊥EF=BD．又⊥EF//AB，⊥⊥ADM=⊥MEF．在△DBM和△EFM中BDM FEMBMD FMEBD EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DBM⊥⊥EFM，⊥DM=EM．(2)解：成立；证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，⊥AB=AC，⊥⊥ABC=⊥C；又⊥EF//AB，⊥⊥ABC=⊥EFC，⊥⊥EFC=⊥C，⊥EF=EC．又⊥BD=EC，⊥EF=BD．又⊥EF//AB，⊥⊥ADM=⊥MEF．在△DBM和△EFM中BDE FEM BMD FME BD EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥DBM ⊥⊥EFM ；⊥DM =EM ；(3)解：过点E 作EF //AB 交CB 的延长线于点F ，⊥⊥DBM =⊥EFM ，⊥DMB =⊥EMF⊥⊥DBM ⊥⊥EFM ，⊥BD ：EF =DM ：ME ，⊥AB =AC ，⊥⊥ABC =⊥C ，⊥⊥F =⊥ABC ，⊥⊥F =⊥C ，⊥EF =EC ，⊥BD ：EC =DM ：ME =1：2，⊥MD =12ME ． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．10．选择（1）（3）证明，证明见解析【解析】【分析】如图(1)延长DE 到F 使得EF=DE,证明△DCE⊥⊥FBE,得到⊥CDE=⊥F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C 点作CF⊥AB 交DE 的延长线于F,得到△ABE⊥⊥FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论,【详解】如图(1)延长DE 到F 使得EF=DE在△DCE 和△FBE 中,EF DE DEC FEB BE EC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩⊥△DCE⊥⊥ FBE （SAS)⊥⊥CDE=⊥F,BF=DC⊥⊥BAE=⊥CDE⊥BF=AB⊥AB= CD如图3,过C 点作CF⊥AB 交DE 的延长线于F在△ABE 和△FCE 中B ECF BE ECBAE F ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩⊥△ABE⊥⊥ FCE(AAS),⊥AB=FC⊥⊥BAE=⊥CDE⊥⊥F=⊥CDE⊥CD=CF⊥AB=CD【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明。
中考数学压轴题——辅助线典型用法
中考压轴题（典型辅助线用法）一、三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的（1）可向两边作垂线，得到一对全等直角三角形。
（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可。
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一。
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°。
二、四边形中常见辅助线的添加（特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）1.和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形。
（2）利用两组对边平行构造平行四边形。
（3）利用对角线互相平分构造平行四边形。
2.与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。
3.和菱形有关的辅助线的作法（连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定理解决问题）（1）作菱形的高。
（2）连结菱形的对角线。
4.与正方形有关辅助线的作法正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。
5. 与梯形有关的辅助线的作法（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形。
（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形。
中考数学复习考点知识专题讲解---含中线问题的辅助线的作法
中考数学复习考点知识专题讲解含中线问题的辅助线作法初中几何问题中有一类含有中线的题目，往往图形中找不到全等三角形，使不少同学感觉无法入手．此时只要适当作出辅助线，问题便可迎刃而解，这里举例分析，供同学们学习参考．例1 已知△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是BC边上的中线，求线段AD的取值范围．分析一个三角形只知道两边的长度，这个三角形是不确定的，则它的第三边上的中线也随着变动，长度也不固定．我们作出一个示意图来帮助分析，如图1．图形中显然没有全等的三角形．AB，AD，AC三线段也不构成三角形，不可用三角形的三边关系性质，作什么辅助线呢？如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连CE．∵AD是中线，∴BD＝DC，又因为对顶角相等，可得△ABD≌△ECD．∴EC＝AB＝5．此时对于△ACE，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，得4< AE<14．AE，而由作图知AD＝12∴2<AD<7．小结中线延长相等后，必出现全等三角形．（连CE或连BE效果是一样的．）例2 已知△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，AD ＝，求△ABC的面积．分析与例1的思路一样，构造全等三角形△ACE．则有CE＝4，AC＝6，AE＝2AD＝213．因为42＋62＝（213）2，由勾股定理逆定理知，△ACE是直角三角形．∴∠ACE＝90°，S△ACE＝4×6÷2＝12，则S△ABC＝S△ACE＝12．注以上都是将三角形的中线延长构造全等形，事实上，只要经过中点的线段，都可以延长到相等线段的位置，则必定得到两个三角形全等．例3 如图4，已知△ABC中，D是BC边上的中点，ED⊥DF，连EF，求证：BE＋CF>EF．分析延长ED到G，使得DG＝DE，连CG，FG．则△BED≌△CGD，∴BE＝CG，这样BE变换到CC了．又∵DG＝DE，FD⊥ED，∴FD是EG的中垂线，FE＝FC，这样FE又变换到FG了．此时CG，CF，FG是同一个三角形的三边，由两边之和大于第三边，得CG＋CF>FC，即BE＋CF>EF，得证．例4 如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，E点正好是DC中点．求证：(1)AD＋BC＝AB；(2)BE⊥AE．分析这种图形把AE和BC分别延长交于点F就行了，可以构造相等和全等．证明 (l)分别延长AE和BC交于点F∵AD∥BC，∴∠2＝∠F，∠D＝∠FCE．∵E点是DC中点，∴DE＝CE，∴△AED≌△FEC，∴AD＝CF，AE＝EF．∵AE平分∠BAD，∴∠2＝∠l，∴∠1＝∠F．则B＝BF，△BAF是等腰三角形，∴AD＋BC＝CF＋BC＝BF＝BA；(2)∵△BAF是等腰三角形，且AE＝EF，∴BE⊥AE（等腰三角形三线合一）．。
中考数学专题复习全等三角形之辅助线做垂线
中考数学专题复习全等三角形（辅助线做垂线）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，90BAD CAE ∠=∠=，AH ⊥BC 于H ，HA 的延长线交DE 于G ，下列结论：⊥DG ＝EG ；⊥BC ＝2AG ；⊥AH ＝AG ；⊥ΔΔABC ADE S S =，其中正确的结论为（ ）A ．⊥⊥⊥B ．⊥⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥⊥⊥评卷人 得分二、填空题 2．如图，在Rt ⊥ABC 中，⊥ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，点E 在AC 上，且AE ＝1，连接BE ，⊥BEF ＝90°，且BE ＝FE ，连接CF ，则CF 的长为____________3．如图，ABC 中，,90,(0,3), (1,0)AC BC ACB A C =∠=︒，则点B 的坐标为________．评卷人得分三、解答题4．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．（1）求证：⊥EAF⊥⊥DAF；（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求⊥DCF的度数．5．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，⊥BCD=α°，⊥ABC+⊥ADC＝180°，A C、BD 交于点E．将⊥CBA绕点C顺时针旋转α°得到⊥CDF．（1）求证：⊥CAB＝⊥CAD；（2）若⊥ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，⊥BCE的面积为S1，⊥CDE的面积为S2，求S1：S2的值．6．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且⊥BAE＝⊥CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．⊥如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；⊥如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．7．如图，AD是ABC∆的中线，BE AD⊥于E.CF AD⊥于F，（1）求证：2AB AC AD+>；（2）若3AF=，5AE=，求AD的长．8．如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，90ABD CBE∠=∠=︒，BA BD=，BC BE=，延长CB交DE于F.求证：EF DF=.9．如图，D是CB延长线上一点，且BD BC=，E是AB上一点，DE AC=，求证：BAC BED∠=∠.10．如图，已知⊥AOB＝60°，在⊥AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当⊥DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当⊥DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当⊥DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.11．如图，OC平分⊥MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：⊥OAC+⊥OBC＝180°．12．已知:⊥ABC中，CA=CB, ⊥ACB=90º，D为⊥ABC外一点，且满足⊥ADB=90º(1)如图所示，求证：DA+DB=2DC(2)如图所示，猜想DA．DB．DC之间有何数量关系？并证明你的结论.(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .13．如图，已知AD为⊥ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．14．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且⊥BAE=⊥CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．15．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．参考答案：1．B 【解析】 【分析】⊥如图，过点,D E 分别作GH 的垂线交HG 及HG 的延长线于点,I F ，证明EAF ACH △≌△，DIA AHB △≌△，DIG EFG △≌△即可得结论；⊥延长BA 至D ，使AD BA '=，连接CD '证明DAE D AC '△≌△，取D C '的中点G '，连接AG '并延长至M ，使得AG G M ''=，可得ADG AD G ''=△△，证明AG D MG C '''△≌△，ABC CMA △≌△，则可得BC MA =2AG '=，即12AG BC '=，12AG BC =；⊥由⊥可知AH =AI ，故AG 不一定等于AH ；⊥，由⊥可知，DAE D AC '△≌△，则DAE D AC S S '=△△，由AB AD '=可得ABC AD C S S '=△△即可得=ABC ADE S S △△【详解】解：⊥如图，过点,D E 分别作GH 的垂线交HG 及HG 的延长线于点,I F ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，90BAD CAE ∠=∠=，AH ⊥BC 90EFA EAC AHC ∴∠=∠=∠=︒ CAH ACH CAH EAF ∴∠+∠=∠+∠ ACH EAF ∴∠=∠EAF ACH ∴△≌△ 同理可得DIA AHB △≌△,DI AH EF AH ∴==DI EF ∴=,DI IG EF GF ⊥⊥ DIG EFG ∴∠=∠90=︒又DGI EGF ∠=∠DIG EFG ∴△≌△ DG EG ∴=故⊥正确⊥如图，延长BA 至D ，使AD BA '=，连接CD '90BAD CAE ∠=∠=180DAE BAC ∴∠+∠=︒180D AC BAC '∠+∠=︒ D AC DAE '∴∠=∠D A BA AD '==，AC AE =DAE D AC '∴△≌△如图，取D C '的中点G '，连接AG '并延长至M ，使得AG G M ''=，G是DE的中点，DAE D AC'△≌△11,,22ADG AD G AD AD DG DE D C D G''''''∴∠=∠====∴ADG AD G''=△△AG AG'∴=，,,AG G M D G CG AG D MG C'''''''==∠=∠AG D MG C'''∴△≌△AD MC'∴=，AD G MCG'''∠=∠BD MC'∴∥BAC MCA∴∠=∠AD AB'=ADMC ∴=又AC CA =ABC CMA ∴△≌△BC MA ∴=2AG '=12AG BC '∴=12AG BC ∴= ⊥如图，由⊥可知AH =AI ，故AG 不一定等于AH故⊥不正确⊥如图，由⊥可知，DAE D AC '△≌△DAE D AC S S '∴=△△AB AD '=ABC AD C S S '∴=△△=ABC ADE S S ∴△△故⊥正确综上所述，故正确的有⊥⊥⊥故选B【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 2．10.【解析】【分析】过点F 作FM ⊥AC 交AC 延长线于M ，根据⊥BEF =90°且BE =EF ，可以得到⊥EFM ⊥⊥BEC ，从而可以计算出CM 、FM 的长，再利用勾股定理即可得到CF 的长.【详解】解：⊥⊥ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，，AE ＝1⊥CE ＝3⊥FM ⊥AC ，⊥BEF ＝90°⊥⊥ACB ＝⊥BEF =⊥FME =90°⊥⊥FEM+⊥EFM=90°=⊥BEC+⊥FEM⊥⊥EFM=⊥BEC又⊥BE =FE⊥⊥EFM ⊥⊥BEC⊥BC ＝EM ＝4，CE ＝FM ＝3⊥CM =EM -EC =1⊥2210CF CM FM =+=故答案为：10.【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.3．（4，1）【解析】【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得⊥OAC=⊥DCB，利用AAS可证明⊥OAC⊥⊥DC B，根据全等三角形的性质可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B作BD⊥x轴于D，⊥A（0，3），C（1，0），⊥OA=3，OC=1，⊥⊥ACB=90°，⊥⊥OCA+⊥DCB=90°，⊥⊥OAC+⊥OCA=90°，⊥⊥OAC=⊥DCB，在⊥OAC和⊥DC B中，AOC CDBOAC DCB AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥OAC⊥⊥DC B，⊥BD=OC=1，CD=OA=3，⊥OD=OC+CD=4，⊥点B 坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．4．（1）见解析；（2）⊥DCF ＝45°．【解析】【分析】（1）由垂直定义可得⊥CAD =⊥ACB =90°，再根据题意得⊥EAF =⊥DAF ，即可证得结论； （2）过点F 作FM ⊥F A 交AC 于点M ，由“AAS ”可证△AEF ⊥⊥MCF ，可得⊥AFE =⊥MFC ，EF =DF ，可证△CDF 是等腰直角三角形，可得⊥DCF =45°．【详解】证明：（1）⊥AD ⊥AC ，BC ⊥AC ，⊥⊥CAD ＝⊥ACB ＝90°，⊥AC ＝BC ，⊥⊥BAC ＝⊥B ＝45°，⊥⊥EAF ＝180°﹣⊥BAC ＝135°，⊥DAF ＝⊥CAD +⊥BAC ＝135°，⊥⊥EAF ＝⊥DAF ，在⊥EAF 和⊥DAF 中，AE AD EAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥EAF ⊥⊥DAF （SAS ）；（2）如图2，过点F 作FM ⊥F A 交AC 于点M ，⊥F A ⊥FM ，⊥F AM ＝45°，⊥⊥FMA ＝45°＝⊥F AM ，⊥F A ＝FM ，⊥FMC ＝⊥F AE ＝135°，⊥EF ＝FC ，⊥⊥FEM ＝⊥FCA ，在⊥AEF 和⊥MCF 中，FEA FCM EAF CMF AF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥AEF ⊥⊥MCF （AAS ），⊥⊥AFE ＝⊥MFC ，EF ＝DF ，⊥⊥EAF ⊥⊥DAF ，⊥⊥EF A ＝⊥DF A ，⊥⊥DF A ＝⊥MFC ，⊥⊥AFM ＝⊥DFC ＝90°，⊥DF ＝EF ＝CF ，⊥⊥CDF 是等腰直角三角形，⊥⊥DCF ＝45°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（1）见解析；（2）35. 【解析】【分析】（1）由旋转旋转可得⊥CAB⊥⊥CFD，再根据全等三角形的性质和⊥ABC+⊥ADC=180°，即可得⊥CAB=⊥CAD；（2）根据⊥ABD=90°，AB=3，BD=4，可得AD的长，再根据勾股定理求出BE和DE的长，根据⊥BCE和⊥CDE同高，即可得S1：S2的值．【详解】解：（1）证明：由旋转旋转可知：⊥CAB⊥⊥CFD，⊥⊥CDF=⊥CBA，⊥F=⊥CAB，CA=CF，⊥⊥CBA+⊥CDA=180°，⊥⊥CDF+⊥CDA=180°，⊥A、D、F三点共线，⊥AC=CF，⊥⊥F=⊥CAD，⊥⊥CAB=⊥CAD；（2）过点E作EM⊥AF于点M，过点C作CN⊥BD于点N，⊥⊥ABE=⊥AME=90°，在⊥ABE和⊥AME中，EAB EAMABE AMEAE AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ABE⊥⊥AME（AAS），⊥AM=AB=3，BE=ME，⊥⊥ABD=90°，AB=3，BD=4，⊥AD=22AB BD+=5，⊥DM=2，设BE=EM=x，则DE=4-x ⊥x2+22=（4-x）2，解得x=1.5，⊥BE=1.5，DE=2.5，⊥S1：S2=12BE•CN：12DE•CN=35．【点睛】本题考查了作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．6．（1）⊥见解析；⊥见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）⊥如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，⊥BEF⊥⊥CED，⊥BAE＝⊥F，AB＝CD；⊥如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，⊥BEF⊥⊥CEG⊥BAF⊥⊥CDG，AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM⊥AB，交DE的延长线于点M，则⊥BAE＝⊥EMC，⊥BAE⊥⊥CFE（AAS），⊥F＝⊥EDC，CF＝CD，AB＝CD；【详解】（1）⊥如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，⊥点E是BC的中点，⊥BE＝CE，在⊥BEF和⊥CED中，BE CE BEF CED EF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥⊥BEF ⊥⊥CED （SAS ），⊥BF ＝CD ，⊥F ＝⊥CDE ，⊥⊥BAE ＝⊥CDE ，⊥⊥BAE ＝⊥F ，⊥AB ＝BF ，⊥AB ＝CD ；⊥如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，⊥⊥F ＝⊥CGE ＝⊥CGD ＝90°，⊥点E 是BC 的中点，⊥BE ＝CE ，在⊥BEF 和⊥CEG 中，90F CGF BEF CEG BE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥⊥BEF ⊥⊥CEG （AAS ），⊥BF ＝CG ，在⊥BAF 和⊥CDG 中， 90BAE CDE F CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，⊥⊥BAF ⊥⊥CDG （AAS ），⊥AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ⊥AB ，交DE 的延长线于点M ，则⊥BAE ＝⊥EMC ，⊥E 是BC 中点，⊥BE ＝CE ，在⊥BAE 和⊥CME 中，BAE CME BEA CEM BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAE ⊥⊥CFE （AAS ），⊥CF ＝AB ，⊥BAE ＝⊥F ，⊥⊥BAE ＝⊥EDC ，⊥⊥F ＝⊥EDC ，⊥CF ＝CD ，⊥AB ＝CD ．【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．7．（1）详见解析；（2）4=AD【解析】【分析】先证明DE=DF ；(1)在ABE ∆中，由垂线段最短可得AB AE >，即AB AD DE >+，⊥，在ACF ∆中，同理可得AC AF >，即AC AD DF >-，⊥，⊥+⊥整理后即可得结论；(2)AD AF DF =+， AD AE DE =-，可得2AD AE AF =+，继而可得答案.【详解】⊥BE⊥AD ，CF⊥AD ，⊥⊥BED=⊥CFD=90°，⊥AD 为⊥ABC 的中线，⊥BD=CD ，又⊥BDE ＝CDF⊥⊥BED⊥⊥CFD(AAS)，⊥DE=DF ；(1)在ABE ∆中，AB AE >，即AB AD DE >+，⊥在ACF ∆中，AC AF >，即AC AD DF >-，⊥⊥+⊥得，AB AC AD DE AD DF +>++-，即2AB AC AD +>；(2)AD AF DF =+，⊥，AD AE DE =-，⊥⊥+⊥得，28AD AE AF =+=，4AD ∴=【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键.8．详见解析【解析】【分析】如图，过点D 作DG CF ⊥的延长线于点G ，易证ABC BDG ∆∆≌，再证BFE GFD ∆≌即可得答案.【详解】如图，过点D 作DG CF ⊥的延长线于点G ， 90ABC DBG ∠+∠=︒，90BDG DGB ∠+∠=︒，ABC BDG ∴∠=∠，又⊥⊥ACB=⊥BGD=90°，BA=BD ，⊥ABC BDG ∆∆≌，BC DG ∴=，又⊥BC=BE ，BE DG ∴=，又⊥⊥EBF=⊥DGF=90°，⊥EFB=⊥DFG，⊥BFE GFD∆≌△，⊥EF=DF.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.9．详见解析【解析】【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建Rt DFE∆与t R CGA∆，证其全等即可求得答案.【详解】如图，过点C作CG AB⊥于点G，过点D作DF AB⊥的延长线于点F，则有⊥DFB=⊥CGB=⊥CGA=90°，又⊥⊥DBF=⊥CBG，BD=BC，⊥DBF CBG∆∆≌，⊥DF=CG，.又DE AC=，⊥Rt DFE∆⊥t R CGA∆，BAC BED∴∠=∠.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.10．（1）3OD OE OC+=；（2）（1）中结论仍然成立，见解析；（3）（1）中结论不成立，3OD OE OC-=，见解析.【解析】【分析】（1）先判断出⊥OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD32=OC，同OE32=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG3=OC，再判断出⊥CFD⊥⊥CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【详解】（1）⊥OM是⊥AOB的角平分线，⊥⊥AOC=⊥BOC12=⊥AOB=30°．⊥CD⊥OA，⊥⊥ODC=90°，⊥⊥OCD=60°，⊥⊥OCE=⊥DCE﹣⊥OCD=60°．在Rt⊥OCD中，OD=OC•cos30°32=OC，同理：OE32=OC，⊥OD+OE3=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，⊥⊥OFC=⊥OGC=90°．⊥⊥AOB=60°，⊥⊥FCG=120°，同（1）的方法得：OF32=OC，OG32=OC，⊥OF+OG3=OC．⊥CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是⊥AOB的平分线OM上一点，⊥CF=CG．⊥⊥DCE=120°，⊥FCG=120°，⊥⊥DCF=⊥ECG，⊥⊥CFD⊥⊥CGE，⊥DF=EG，⊥OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，⊥OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，⊥OD+OE3=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD3=OC，理由如下：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，⊥⊥OFC=⊥OGC=90°．⊥⊥AOB=60°，⊥⊥FCG=120°，同（1）的方法得：OF32=OC，OG32=OC，⊥OF+OG3=OC．⊥CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是⊥AOB的平分线OM上一点，⊥CF=CG．⊥⊥DCE=120°，⊥FCG=120°，⊥⊥DCF=⊥ECG，⊥⊥CFD⊥⊥CGE，⊥DF=EG，⊥OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，⊥OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，⊥OE﹣OD3OC．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．11．见解析.【解析】【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt⊥CF A⊥Rt⊥CEB，推出⊥ACF＝⊥ECB，推出⊥ACB＝⊥ECF，由⊥ECF+⊥MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得⊥ACB+⊥AOB＝180°，推出⊥OAC+⊥OBC＝180°．【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．⊥OC平分⊥MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．⊥CE＝CF，⊥AC＝BC，⊥CEB＝⊥CF A＝90°，⊥Rt⊥CF A⊥Rt⊥CEB（HL），⊥⊥ACF＝⊥ECB，⊥⊥ACB＝⊥ECF，⊥⊥ECF+⊥MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，⊥⊥ACB+⊥AOB＝180°，⊥⊥OAC+⊥OBC＝180°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.12．（1）详见解析；（2）DA-DB=2DC；(3)32【解析】【分析】（1）过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得⊥ACD=⊥QCB，⊥ADC=⊥Q，由“AAS”可证⊥ACD⊥⊥BCQ，可得CD=CQ，AD=BQ，由等腰直角三角形性质可得DQ=2CD，即可得结论；（2）过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，由“SAS”可证⊥ACQ⊥⊥BCD，可得AQ=BD，可证CQ=CD，且⊥QCD=90°，即可得DA、DB、DC之间关系；（3）过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，由“SAS”可证⊥ACD⊥⊥BCQ，可得AD=BQ，可证⊥DCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求CH的长．【详解】证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点⊥⊥ACB=90°，CQ⊥CD，⊥ADB=90°⊥⊥ACD+⊥DCB=90°，⊥DCB+⊥QCB=90°，⊥ADC+⊥CDQ=90°，⊥CDQ+⊥Q=90°⊥⊥ACD=⊥QCB，⊥ADC=⊥Q，且AC=BC⊥⊥ACD⊥⊥BCQ（AAS）⊥CD=CQ，AD=BQ⊥DQ=DB+BQ=DB+AD⊥CD⊥CQ，⊥DCQ=90°⊥DQ=2CD⊥DB+AD=2CD（2）DA-DB=2CD理由如下：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，⊥CA=CB，⊥ACB=90°，⊥⊥ABC=⊥CAB=45°⊥⊥ACB=90°，QC⊥CD⊥⊥ACB=⊥ADB=90°，⊥点A，点B，点D，点C四点共圆，⊥⊥ADC=⊥ABC=45°⊥QC⊥CD⊥⊥CQD=⊥CDQ=45°⊥CQ=CD，且⊥QCD=90°⊥QD==2CD⊥⊥ACB=⊥DCQ=90°，⊥⊥ACQ=⊥DCB，且AC=BC，CQ=CD⊥⊥ACQ⊥⊥BCD（SAS）⊥AQ=BD⊥QD=2CD=DA-AQ=DA-BD，即：DA-DB=2DC（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，⊥⊥ACB=90°，QC⊥CD⊥⊥ACB=⊥ADB=90°，⊥点A，点B，点C，点D四点共圆，⊥⊥CDQ=⊥CAB=45°⊥QC⊥CD⊥⊥CQD =⊥CDQ =45°⊥CQ =CD ，且⊥QCD =90°⊥⊥DCQ 是等腰直角三角形，⊥⊥ACB =⊥DCQ =90°，⊥⊥ACD =⊥QCB ，且AC =BC ，CQ =CD⊥⊥ACD ⊥⊥BCQ （SAS ）⊥AD =BQ ，⊥DQ =DB -BQ =DB -AD =3⊥⊥DCQ 是等腰直角三角形，DQ =3，CH ⊥DB⊥CH =DH =HQ =12DQ =32． 故答案为32． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．13．证明见解析【解析】【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．方法二：向中线作垂线，证明BDG CDH ∆≅∆，得到BG CH =，再根据AE ＝FE ，得到角的关系，从而证明BGF CHA ∆≅∆，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连接BG ，CG ，⊥DG ＝AD ，BD ＝DC ，⊥四边形ABGC 是平行四边形，⊥AC//BG ，⊥CAD ＝⊥BGD ，又⊥AE ＝FE ，⊥⊥CAD ＝⊥AFE ，⊥⊥BGD ＝⊥AFE ＝⊥BFG ，⊥BG ＝BF ，⊥BG ＝AC ，⊥BF ＝AC方法二：如图，分别过点B、C 作BG AD ⊥，CH AD ⊥，垂足为G 、H ，则90BGD CHD ∠=∠=︒.BD CD =，BDG CDH ∠=∠，BDG CDH ∴∆≅∆，BG CH ∴=.AE FE =，EAF EFA ∴∠=∠，BFG EFA ∠=∠，BFG CAH ∴∠=∠，又90BGF CHA ∠=∠=︒，BGF CHA ∴∆≅∆，BF AC ∴=.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.14．见解析【解析】【详解】试题分析：方法一：如图1中，作BF⊥DE 于点F ，CG⊥DE 于点G ，先证明⊥BFE⊥⊥CGE ，得BF=CG ，再证明⊥ABF⊥⊥DCG 即可．方法二如图2中，：作CF⊥AB，交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明⊥ABE⊥⊥FCE即可．证明：方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．⊥⊥F=⊥CGE=90°，在⊥BFE和⊥CGE中，，⊥⊥BFE⊥⊥CGE．⊥BF=CG．在⊥ABF和⊥DCG中，，⊥⊥ABF⊥⊥DCG．⊥AB=CD．方法二如图2中，：作CF⊥AB，交DE的延长线于点F．⊥⊥F=⊥BAE．又⊥⊥ABE=⊥D，⊥⊥F=⊥D．⊥CF=CD．在⊥ABE和⊥FCE中，，⊥⊥ABE⊥⊥FCE．⊥AB=CF．⊥AB=CD．15．【解析】【详解】试题分析：方法一：作BF⊥DE 于点F ，CG⊥DE 于点G ，⊥⊥F=⊥CGE=90°．又⊥⊥BEF=⊥CEG ，BE=CE ，⊥⊥BFE⊥⊥CGE ．⊥BF=CG ．在⊥ABF 和⊥DCG 中，⊥⊥F=⊥DGC=90°，⊥BAE=⊥CDE ，BF=CG ，⊥⊥ABF⊥⊥DCG ．⊥AB=CD ． 方法二：作CF⊥AB ，交DE 的延长线于点F ，⊥⊥F=⊥BAE ．又⊥⊥ABE=⊥D ，⊥⊥F=⊥D ．⊥CF=CD ．⊥⊥F=⊥BAE ，⊥AEB=⊥FEC ，BE=CE ，⊥⊥ABE⊥⊥FCE ．⊥AB=CF ．⊥AB=CD ． 方法三：延长DE 至点F ，使EF=DE ，又⊥BE=CE ，⊥BEF=⊥CED ，⊥⊥BEF⊥⊥CED ．⊥BF=CD ，⊥D=⊥F ．又⊥⊥BAE=⊥D ，⊥⊥BAE=⊥F ．⊥AB=BF ．⊥AB=CD ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．阅读理解．。
2018中考数学专题大讲堂-第四讲-谈谈平面几何辅助线技巧之平移对称旋转
凌波微步，左右逢源，斗转星移——谈谈平面几何辅助线技巧之平移对称旋转虽然平面几何日趋式微，但它却是初中数学最重要的学习内容之一，对于培养学生形象思维能力和逻辑思维能力有着重要的作用。
也是很多学生学习的“瓶颈”，尤其在全国中考压轴题和杯赛联赛中，平面几何的推理和计算已然成了令人头痛的“珍珑棋局”，在网络上和平时的教学中老师们碰到的难题中平面几何题占了非常大的比例，而流传江湖的各种各样的“网络红题”，把我们虐的死去活来。
平面几何博大精深，我们常常看到平几高手们在平几题目中画出如神来之笔的辅助线，赞叹不已。
他们是怎么思考的呢？今天我以图形变换的观点对初中平面几何辅助线的作法聊聊我的一些粗浅看法，偷窥一下大神们在几何辅助线构造中的“武林秘籍”。
辅助线的功能是“沟通”和“显现”，沟通这部分图形和那部分图形的关系，显现可用定理和判断的依据。
在添加辅助线时，不应有思维定式，要具体情况具体分析。
在初中阶段，几何图形的变换主要有：平移，对称，旋转和位似。
前三种为全等变换，是今天要讲的几种辅助线方法。
第一套“秘籍”：凌波微步——平移法。
把图形G 上的所有点都按一定的方向移动一个相同的距离d ，移动后的点构成的图形G'，这样的由图形G 到G' 的变换叫做平移变换，简称平移。
A 点经过平移变换得到点A' 称为A 点在该平移变换下的象，同时，A 称为A' 的原象；对于平移变化前后的线段，角，图形也同样引入“原象”“象”的概念。
很明显，平移有以下的基本性质：1.对线段而言，象与原象平行且相等；（平行四边形）2.对角而言，象与原象的对应边平行且方向相同；3.象与原象时全等图形。
平移的主要功能：把分散的线段，角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形中，产生进一步的更加深入的结果。
或者，经过平移产生新的图形，而使得问题得以转化。
一．平移计算角度例 1. Rt△ACD ，∠C = 90︒，CE =AB ，DE =BC ，求∠AFB 的度数.解析：例2：△ABC ，AB =AC ，AD =DE =EC =CB ，求∠BAC .解析：学大教育集团QQ 群：475713417二．平移计算线段例 1.四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，△ABD 的两高AN ，DM 交于点H . 设BD =a ，AH =b ，求AC .解析：例2：四边形ABCD ，AB =CD = 3 ，∠ABC = 2∠ADC ，∠ABC +∠BCD = 240︒，∠B＜∠C ，求BC .解析：三．比较线段大小例1 已知AB =CD ，且AB ⊥CD 于O ，求证：BC +AD ≥ 2 AB .解析如图：第二套“秘籍”：左右逢源——对称法把图形G 沿着直线l 折过来，如果和图形G' 重合，那么我们称这两个图形关于直线l 对称，这两个图形互为轴对称图形，直线l 叫做对称轴。
中考数学条件辅助线综合题
条件辅助线综合知识导航几何题目的难点在于它的千变万化，而它的魅力恰好在于万变不离其宗，抓住题目中核心的条件，选取恰当的条件对应的辅助线，加上自己的思考和尝试，往往会有柳暗花明又一村的感觉，这一讲，我们将一起来看一下条件辅助线的综合应用！ 模块一 角平分线 例1如图，AD 是△ABC 的角平分线，点F 、E 分别在边AC 、AB 上，且BD ＝FD ． （1）证明∠B ＋∠AFD ＝180°； （2）若∠B ＋2∠DEA ＝180°，试探究线段AE 、AF 和FD 之间的数量关系，并证明你的结论．练习如图1，在平面直角坐标系中，点A （4，4），点B 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，16OBAC S 四边形． （1）∠COA 的值为 ；（2）求∠CAB 的度数；（3）如图2，点M 、N 分别是x 轴正半轴及射线OA 上一点，且OH ⊥MN 的延长线于H ，满足∠HON ＝∠NMO ，请探究两条线段MN 、OH 之间的数量关系，并给出证明．模块二截长补短在几何题目中，经常有一类问题是探究线段和差之间的关系，这类问题经常需要用到截长补短的思路，截长补短一方面可以借助其他的条件辅助线（例如角平分线等）或者模型辅助线（后边会学到）去思考，另一方面多多去尝试，只有这样，才能体会到截长补短的精髓．例2已知等边△ABC，D在CB的延长线上．（1）若DE∥AC交AB的延长线于E，直接写出AE和CD的关系：；（2）若∠ADM＝60°，且CM为△ABC的外角平分线，求证：CD＝CA＋CM．练习如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边三角形△ABE，直线CE与直线AD交于点F．（1）若AF＝10，DF＝3，试求EF的长；（2）若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），并直接写出EF、AF和DF三者的数量关系．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上，且AB ＝AE ，AF 平分∠CAE 交DE 于F ．（1）如图1，连CF ，求证：∠ABE ＝∠ACF ；（2）如图2，当∠ABC ＝60°时，求证：AF ＋EF ＝FB ；（3）如图3，当∠ABC ＝45°时，若BD 平分∠ABC ，求证：BD ＝2EF ．模块三 中点的构造中点，是一个非常美妙的几何条件，它和很多知识都有联系，现阶段我们接触到的是其最本质的思路之一即中线倍长，中线倍长我们可以得到一组八字全等，进而去证明出我们想要得到的结论，反过来要想证明中点的结论，我们则可以通过构造平行线来证明，接下来我们将看几个经典的例题． 例4如图，△ABC 中，分别以AB 、AC 为边作Rt △ABE 和Rt △ACD ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，AM 是BC 边上的中线． 求证：①ED ＝2AM 且AM ⊥ED ． ②ADEABCS S．如图，△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD、CE，若F是BD的中点，求证：12AF CE且AF⊥CE．例6如图，△ABE和△ACD为等腰直角三角形，AM⊥BC于M，MA交ED于N．求证：EN＝DN．练习在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如图1，若AB＝BC，将△ABC绕A点旋转一定的角度至△ADE的位置，BD与CE交于点O，求证：OE＝OC．（2）如图2，AB≠BC，其他条件不变，（1）中的结论依然成立吗？若不成立，说明理由；若成立，证明结论．模块四 三垂直模型与坐标系综合知识导航三垂直模型在坐标系中有着非常广泛的应用，尤其是与等腰直角三角形的综合，具体来说：已知等腰直角三角形三个顶点中任意两个点的坐标，便可以求出第三个点的坐标情况一如下图：直角顶点在坐标轴上情况二如下图：直角顶点不在坐标轴上例4（1）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求B 点坐标．（2）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （－1，0），C （1，3），求B 点坐标．（3）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，B （2，2），C （4，－2），求A 点坐标．B练习如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（－2，0），点A的坐标为（－6，3），则D点的坐标是．真题演练如图，已知A（－2，0），（1）如图，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，－4），求C点坐标．（2）如图，P 为y 轴负半轴上一动点，以P 为顶点，P A 为腰做等Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，试问OP －DE 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图，已知F 点坐标为（﹣4，﹣4），G 是y 轴负半轴上一点，以FG 为直角边作等腰Rt △FGH ，H 点在x 轴上，∠GFH ＝90°.设G （0，m ），H （n ，0），当G 点在y 轴负半轴上沿负方向运动时，m ＋n 的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．例5在平面直角坐标系中，A （2，﹣1），B （1，﹣4），C （5，﹣2），求∠ABC 的度数． 练习如图，在平面直角坐标系中，已知A （a ，b ），且a 、b 满足221baa（1）求点A 的坐标； （2）若点F （1，0），C （0，3），连AC 、FC ，试确定∠ACO ＋∠FCO 的值是否发生变化.若不变，说明理由.若变化，请求出变化范围．A 基础巩固1．如图，∠B ＝∠C ＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ． （1）求证：AE 平分∠DAB ．（2）若BC ＝12，AD ＝13，求ABCD S 梯形．2．如图，在△ABC 内一点D ，点C 是AE 上一点，AD 交BE 于点P ，射线DC 交BE 的延长线于点F ，且∠ABD ＝∠ACD ，∠PDB ＝∠PDC ． （1）求证：AB ＝AC ． （2）若3AB =，5AE =，求PBPE的值．（3）若14CEAE=，DFmDC=，则PEPF=．3．已知等腰△ABC，AB＝AC．（1）如图1，BM是△ABC的中线，点N在BM上，且∠ANM＝∠MBC，求证：BC＝AN；（2）如图2，点G为△ABC外一点，∠BGC＝∠BAC，AH⊥BG于点H，若BH＝7，HG＝1，求线段CG的长．。
2018年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(浙江专版)(解析卷)
2018年全国各地中考数学压轴题汇编（浙江专版）几何综合参考答案与试题解析1．数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；故∠B=50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B=（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．2．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠3=∠B，∵∠B=∠1，∴∠1=∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，∴∠4=180°﹣（∠2+∠3）=90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）设圆O的半径为r，在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4，根据勾股定理得：AB==4，∴OA=4﹣r，在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=，∴CD=ACtan∠1=2，根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（4﹣r）2=r2+20，解得：r=．3．如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．解：符合条件的图形如图所示：4．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB=6时，求CD的长．∴∠A=∠BEC，∵E是AB中点，∴AE=EB，∵∠AED=∠B，∴△AED≌△EBC．（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD=EC，∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD=AE，∵AB=6，∴CD=AB=3．5．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．②若AD=EC，求的值．解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，∴∠B=62°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；（2）①由勾股定理得，AB==，∴AD=﹣a，解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根；②∵AD=AE，由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2，整理得，=．7．在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求．8．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE与△CDF中，，∴得△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．9．已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A=∠C，∴BA=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形．10．如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC 沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．（1）求证：AE=AB．（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC，∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1，∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴=．∵∠BAC=90°，AC=AB，∴BC=3．11．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE中点，求FG的长．②若DG=GF，求BC的长．（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．解：（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6，中Rt△AEG中，AG==6，∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF，∴=，∴==，∴FG=AG=2．②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，∵EF=EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，∵AE∥BC，∵GF=GD，∴∠3=∠2=x，在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，∴x+（x+90°）+x=180°，解得x=30°，∴∠B=30°，∴在Rt△ABC中，BC==12．（2）在Rt△ABC中，AB===15，如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA，设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，∴GF=GD=4x，则AF=15﹣9x，∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，∴=，∴=，整理得：x2﹣6x+5=0，解得x=1或5（舍弃）∴腰长GD为=4x=4．如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，∴FG=DG=12+4x，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴=，∴=，解得x=2或﹣2（舍弃），∴腰长DG=4x+12=20．如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG．设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，∴FH=GH=DG•cos∠DGB=（4x+12）×=，∴GF=2GH=，∴AF=GF﹣AG=，∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF，∴=，∴=，解得x=或﹣（舍弃），∴腰长GD=4x+12=，如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H．设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x﹣12，∴FH=GH=DG•cos∠DGB=，∴FG=2FH=，∴AF=AG﹣FG=，∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，∴=，∴=，解得x=或﹣（舍弃），∴腰长DG=4x﹣12=，综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．（1）求证：AC=CE；（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；（3）已知⊙O的半径为3．①若=，求BC的长；②当为何值时，AB•AC的值最大？解：（1）∵四边形EBDC为菱形，∴∠D=∠BEC，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC，∴AC=AE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴=，即BF•BG=BE•AB，∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（3）设AB=5k、AC=3k，∵BC2﹣AC2=AB•AC，∴BC=2k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=BC=k，∴DM==k，∴OM=OD﹣DM=3﹣k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣k）2+（k）2=32，解得：k=或k=0（舍），∴BC=2k=4；②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2=﹣4d2+6d+18=﹣4（d﹣）2+，∴当x=，即OM=时，AB•AC最大，最大值为，∴DC2=，∴AC=DC=，∴AB=，此时=．13．小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ．（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，请你证明．（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，∵∠EAF=∠B，∴∠EAF+∠C=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵AE⊥BC，∴AF⊥CD，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF；（2）证明：由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，∴∠EAP=∠FAQ，在△AEP和△AFQ中，，∴△AEP≌△AFQ，∴AP=AQ；（3）解：已知：AB=4，∠B=60°，求四边形APCQ的面积，解：连接AC、BD交于O，∵∠ABC=60°，BA=BC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴BE=EC，同理，CF=FD，∴四边形AECF的面积=×四边形ABCD的面积，由（2）得，四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积，OA=AB=2，OB=AB=2，∴四边形ABCD的面积=×2×2×4=8，∴四边形APCQ的面积=4．14．如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN 于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．（1）求证：∠BPD=∠BAC．（2）连接EB，ED，当tan∠MAN=2，AB=2时，在点P的整个运动过程中．①若∠BDE=45°，求PD的长．②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．（3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC∥BE时，记△OFP 的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值．解：（1）∵PB⊥AM、PC⊥AN，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BAC+∠BPC=180°，又∠BPD+∠BPC=180°，∴∠BPD=∠BAC；（2）①如图1，∵∠APB=∠BDE=45°，∠ABP=90°，∴BP=AB=2，∵∠BPD=∠BAC，∴tan∠BPD=tan∠BAC，∴=2，∴BP=PD，∴PD=2；②当BD=BE时，∠BED=∠BDE，∴∠BPD=∠BPE=∠BAC，∴tan∠BPE=2，∵AB=2，∴BP=，∴BD=2；当BE=DE时，∠EBD=∠EDB，∵∠APB=∠BDE、∠DBE=∠APC，∴∠APB=∠APC，∴AC=AB=2，过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形，∵AB=2、tan∠BAC=2，∴AG=2，∴BD=CG=2﹣2；当BD=DE时，∠DEB=∠DBE=∠APC，∵∠DEB=∠DPB=∠BAC，∴∠APC=∠BAC，设PD=x，则BD=2x，∴=2，∴，∴x=，∴BD=2x=3，综上所述，当BD=2、3或2﹣2时，△BDE为等腰三角形；（3）如图3，过点O作OH⊥DC于点H，∵tan∠BPD=tan∠MAN=1，∴BD=PD，设BD=PD=2a、PC=2b，则OH=a、CH=a+2b、AC=4a+2b，∵OC∥BE且∠BEP=90°，∴∠PFC=90°，∴∠PAC+∠APC=∠OCH+∠APC=90°，∴∠OCH=∠PAC，∴△ACP∽△CHO，∴=，即OH•AC=CH•PC，∴a（4a+2b）=2b（a+2b），∴a=b，即CP=2a、CH=3a，则OC=a，∵△CPF∽△COH，∴=，即=，则CF=a，OF=OC﹣CF=a，∵BE∥OC且BO=PO，∴OF为△PBE的中位线，∴EF=PF，∴==．15．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．解：（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如图2，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF，由（1）知，∠CAE=∠CBD，∴∠BCF=∠CAE，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，∴∠AMC=90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，∵AC=2，∴BC=AC=2，∵CE=1，∴CD=CE=1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，∵点F是BD中点，∴CF=DF=BD=，同理：EG=AE=，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，∴FH=CD=，=CE•FH=×1×=，∴S△CEF由（2）知，AE⊥CF，=CF•ME=×ME=ME，∴S△CEF∴ME=，∴ME=，∴GM=EG﹣ME=﹣=，=CF•GM=××=．∴S△CFG16．（2018年浙江省宁波市）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．解：∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=﹣x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO==；（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∴∠OEC=∠OAE，∵∠COE=∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4﹣4m，AE=5m，∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或m=，∴4﹣4m=，3m=，∴（，），（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∴AB×OG=OA×OB，∴OG=，∴AG==×=，∴EG=AG﹣AE=﹣r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE•EF=HE•EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r=时，OE•EF最大值为．。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解20 全等三角形的辅助线问题(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题20全等三角形的辅助线问题【考点题型】考点题型一连接两点做辅助线典例1．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC 交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【解析】试题分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形．试题解析：HG=HB，证法1：连接AH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠B=∠G=90°，由题意知AG=AB，又AH=AH，∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），∴HG=HB．证法2：连接GB，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC=∠AGF=90°，由题意知AB=AG，∴∠AGB=∠ABG，∴∠HGB=∠HBG，∴HG=HB．变式1-1．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90°,D为BC中点,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90°,D 为BC 中点 , ∴AD=BD ,AD ⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45°, ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE ,∴△DAF ≌△DBE （SAS ）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF 为等腰直角三角形.变式1-2．如图，以O 为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt OAB 和Rt OCD △，且点C 在线段AB 上（A B 、除外），求证：222AC BC CD +=【答案】证明见解析【分析】连接BD ，证明△AOC ≌△BOD （SAS ），得到△CBD 为直角三角形，再由勾股定理即可证明．【详解】解：连接BD ，∵△AOB 与△COD 为等腰直角三角形，∴AO=BO ，CO=DO ，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC∴∠AOC=∠BOD ，在△AOC 与△BOD 中，AO BO AOC BOD CO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD ，∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，∴在Rt △CBD 中，222BD BC CD +=即222AC BC CD +=．考点题型二全等三角形 -倍长中线模型典例2．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得90︒和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．②延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，从而可证明ADG ≌BDE （SAS ），再利用全等的性质，可知DGA DEB ∠=∠，即可知道//AG BC ，所以GAE AEC ∠=∠，根据题干又可得到AE EG =，所以DGA GAE ∠=∠，从而得出结论．（2）延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，从而可证明HDB ≌FDA △（SAS ），再利用全等的性质，可知BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，根据题干即可证明Rt HBF △≌Rt FAC △（HL ），即得出结论．【详解】（1）①∵90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒∴EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠∵90EAC BAE ∠+∠=︒∴ACD BAE ∠=∠又∵AEC B BAE ∠=∠+∠∴EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠∴45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，∵点D 为AB 的中点，∴BD AD =，又∵ADG BDE ∠=∠，∴ADG ≌BDE ，∴DGA DEB ∠=∠，∴//AG BC ，∴GAE AEC ∠=∠，又∵2AE DE =，∴AE EG =，∴DGA GAE ∠=∠，∴DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，∵AD BD =，ADF BDH ∠=∠，∴HDB ≌FDA △，∴BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，∵BF AC =．∴Rt HBF △≌Rt FAC △，∴2CF HF DF ==．变式2-1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．（探究与发现）（1）如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，证明：ACD EBD △≌△．（理解与应用）（2）如图2，EP 是DEF 的中线，若5EF =，3DE =，设EP x =，则x 的取值范围是________．（3）如图3，AD 是ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE DF ⊥，求证：BE CF EF +>．【答案】（1）见解析；（2）14x <<；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到3FQ DE ==，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】（1）证明：CD BD =，ADC EDB ∠=∠，AD ED =，ACD EBD ∴≌，（2）14x <<；如图，延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，在PDE ∆与PQF ∆中，PE PQ EPD QPF PD PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEP QFP ∴∆≅∆，3FQ DE ∴==，在EFQ ∆中，EF FQ QE EF FQ -<<+，即53253x -<<+， x 的取值范围是14x <<；故答案为：14x <<；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，在DFC △和DGB 中，DF DG =，CDF BDG ∠=∠，DC DB =，(SAS)DFC DGB ∴≌，BG CF ∴=，在EDF 和EDG △中，DF DG =，90FDE GDE ∠=∠=︒，DE DE =，(SAS)EDF EDG ∴≌，EF EG ∴=，在BEG 中，两边之和大于第三边，BG BE EG ∴+>，又EF EG =，BG CF =，BE CF EF ∴+>变式2-2．倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．（应用举例）如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB =，在ACE ∆中，AC CE +>，2AB AC AD +>．（问题解决）（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_及位置关系_．【答案】,CE AE ；（1）详见解析；（2）5；（3）2EF AD =，EF AD ⊥【应用举例】由全等的性质可得AB=EC ，由三角形三边关系可得AC+CE>AE ，即AB+AC>2AD ；故答案为EC ，AE ；【问题解决】（1）由题意不难得到,ACD GBD ∆≅∆所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC ，∴有AF=EF ；（2）延长ED 到G ，使DG=ED ，连结CG 、FG ，不难得到EF=FG ，另同（1）有△BDE ≌△CDG ，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG 即EF 的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答．【详解】【应用举例】,CE AE【问题解决】()1如图()1延长AD 到G ，使得,DG AD =连接,BG易证,ACD GBD ∆≅∆得,BG AC G DAC =∠=∠，,BE AC =,BE BG ∴=,G BEG ∴∠=∠,BEG AEF ∠=∠,AEF EAC ∴∠=∠AF EF ∴=．()2如图()2，延长ED 到G ，使得,DG ED =连接,CG FG 、易证,BDE CDG ∆≅∆得,,CG BE ED GD B DCG ==∠=∠，,DE DF ⊥DF ∴垂直平分,EG,FE FG ∴=90,A ∠=︒90,B ACB ∴∠+∠=︒90,DCG ACB ∴∠+∠=︒即90,FCG ∠=︒在Rt FCG ∆中，3,4CG BE CF ===，5,FG ∴=5,EF ∴=()32EF AD EF AD =⊥，，理由如下：如图3，延长AD 到G ，使AD=DG ，延长DA 交EF 于P ，连结BG ，则不难得到△BGD≌△CAD，∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC，又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠BAC=∠EAF，∴在△ABG和△EAF中，AB AEABG EAF BG AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ．考点题型三全等三角形–旋转模型典例3．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.【答案】（1）15°；（2）证明见解析.【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝12AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝12AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝12 AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12 AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．变式3-1．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE 为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt △DCE 中，DC 2+CE 2=DE 2，∴DC 2+BC 2=AC 2．变式3-2．如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，E 为边BC 上的点，且AB AE =，D 为线段BE 的中点，过点E 作EF AE ⊥，过点A 作AF BC ，且AF 、EF 相交于点F .（1）求证：C BAD ∠=∠（2）求证：AC EF =【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，由余角的性质可得∠C=∠BAD ；（2）由“ASA”可证△ABC ≌△EAF ，可得AC=EF ．【详解】（1）如图∵AB AE =，∴ABE ∆是等腰三角形 又∵D 为BE 的中点， ∴AD BE ⊥（等腰三角形三线合一） 在Rt ABC ∆和Rt DBA ∆中， ∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠.另解：∵D 为BE 的中点， ∵BD ED =，又AB AE =，AD AD =， ∴ADB ADE ∆≅∆，∴ADB ADE ∠=∠，又180ADB ADE ∠+∠=︒， ∴90ADB ADE ∠=∠=︒ ∴AD BC ⊥，在Rt ABC ∆和Rt DBA ∆中， ∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠.（2）∵AF BC ，∴EAF AEB ∠=∠，∵AB AE =，∴ABE AEB ∠=∠，∴EAF ABC ∠=∠，又∵90BAC AEF ∠=∠=∠︒， ∴BAC AEF ∆≅∆，∴AC EF =.考点题型四全等三角形– 垂线模型典例4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中， CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．变式4-1．在直角三角形ABC 中，90,30︒︒∠=∠=ACB BAC ，分别以AB 、AC 为边在ABC ∆外侧作等边ABE ∆和等边ACD ∆，DE 交AB 于点F ，求证：=EF FD .【答案】详见解析【分析】过点E 作EG AB ⊥于点G ，则有1122AG BG AE AB ===，再证 ()SAS ACB EGA ≅，得到EG AC =.从而得到90DAF DAC CAB ∠=∠+∠=︒，所以(AAS)ADF GEF ≅，即可完成证明。
中考数学复习--几何图形辅助线 直角三角形中辅助线作法
321直角三角形中辅助线作法1.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P 是边AB 上一点，连接CP,将△ACP 沿CP 翻折得到△QCP，且PQ⊥AB，求BP 的长。
2.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F 分别是AC、BD 的中点。
求证:EF⊥BD.3.如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,AD⊥BD,∠C 与∠BAD 互补，若AD=,求AC 的长.4.如图，在△ABC 中，∠C=25°点D 在边BC 上，且∠DAC=90°,AB=DC.求∠BAC 的度数。
22222121方法归纳直角三角形中辅助线的作法如下:方法1.作斜边上的高如图①,在Rt△ABC 中,过点C 作斜边的高，则∠ADC=90°,AB•CD=AC•BC.方法2.作斜边的中线如图②,在Rt△ABC 中，取斜边AB 的中点D,连接CD,则AD=CD=BD,∠CAD=∠ACD,∠DCB=∠ABC.方法3.倍长直角边构造等腰三角形如图③,在Rt△ABC 中,倍长一直角边，使得CD=BC,则AB=AD,∠B=∠D.方法4.构造特殊(含30°,45°)直角三角形(1)如图④，在△ABC 中，∠ABC=45°，过点A 作AD⊥AB 交BC 于点D,则BD=AB=AD.(2)如图⑤，在Rt△ABC 中，延长短直角边至点D,使得BD=BC,则CD=BC=BD (3)如图⑥，在△ABC 中，∠C=30°,过点B 作BD⊥AC 交CA 的延长线于点D,则BD=BC.(4)如图⑦，在Rt△ABC 中，在直角边AB 上取一点D.使得BD，则∠BCD=30°，∠BDC=60°，BD=CD 例1如图，在△ABC 和△ADC 中,AB=2AC,∠ACD=90°,连接BD，且AD=BD,求证:∠BAC=2∠ABD.思路点拨：题目中要证∠BAC=2∠ABD，结合已知条件不能直接求证，可根据AB=2AC，延长直角三角形上的一条直角边,利用三角形全等和等腰三角形的性质解决问题;或通过作垂直构造三角形全等得到角度的转化，再由等腰三角形的性质求证即可.作法1:倍长直角边构造等腰三角形求证，具体辅助线作法为。
中考数学专题复习全等三角形之辅助线补全图形法
中考数学专题复习全等三角形（辅助线补全图形法）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE∠AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于(,0) ,(0,)A aB b两点，且,a b满足2()|4|0a b a t，且0,t t>是常数，直线BD平分OBA∠，交x轴于点D．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于点N，求证：ON OD=；（2）如图2，过点A作AE BD⊥，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想．3．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE∠AE点F在AB上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF是平行四边形（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论4．已知，如图ABC∆中，AB AC=，90A∠=︒，ACB∠的平分线CD交AB于点E，90BDC∠=︒，求证：2CE BD=.5．在∠ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD 、BD ． （1）如图1，当∠BAC=100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC=100°，20α=时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．6．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．参考答案：1．（1）BE ＝12AD ，见解析；（2）BEG 是等腰直角三角形，见解析【解析】【分析】（1）延长BE 、AC 交于点H ，先证明△BAE ∠∠HAE ，得BE ＝HE ＝12BH ，再证明△BCH ∠∠ACD ，得BH ＝AD ，则BE ＝12AD ；（2）先证明CF 垂直平分AB ，则AG ＝BG ，再证明∠CAB ＝∠CBA ＝45°，则∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°，于是∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，可证明△BEG 是等腰直角三角形．【详解】证：（1）BE ＝12AD ，理由如下：如图，延长BE 、AC 交于点H ，∠BE ∠AD ，∠∠AEB ＝∠AEH ＝90°，∠AD 平分∠BAC ，∠∠BAE ＝∠HAE ，在△BAE 和△HAE 中，AEB AEH AE AEBAE HAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BAE ∠∠HAE （ASA ），∠BE ＝HE ＝12BH ，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCH ＝180°﹣∠ACB ＝90°＝∠ACD ，∠∠CBH ＝90°﹣∠H ＝∠CAD ，在△BCH 和△ACD 中，BCH ACD BC ACCBH CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BCH ∠∠ACD （ASA ），∠BH ＝AD ，∠BE ＝12AD ． （2）△BEG 是等腰直角三角形，理由如下：∠AC ＝BC ，AF ＝BF ，∠CF ∠AB ，∠AG ＝BG ，∠∠GAB ＝∠GBA ，∠AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∠∠GAB ＝12∠CAB ＝22.5°，∠∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°， ∠∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，∠∠BEG ＝90°，∠∠EBG ＝∠EGB ＝45°，∠EG ＝EB ，∠∠BEG 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．2．（1）见解析；（2）2BD AE =,证明见解析．【解析】【分析】（1）由已知条件可得AO BO =，进而得OBA OAB ∠=∠，由直线BD 平分OBA ∠及直角三角形斜边上中线的性质得BOM OAB ∠=∠，再由三角形的外角定理，分别求得,ODN OND ∠∠，根据角度的等量代换，即可得ODN OND ∠=∠，最后由等角对等边的性质即可得证；（2）如图，延长AE 交y 轴于点C ，先证明BCE BAE △≌△，得AE EC =，再证明DOB COA ∠≌△，即可得2BD AC AE ==．【详解】（1）2()|4|0a b a t ，4a b t ∴==，AO BO ∴=，∴OBA OAB ∠=∠，直线BD 平分OBA ∠，ABD OBD ∴∠=∠，M 为AB 的中点，∴12OM AB BM AM ===， BOM OBA ∴∠=∠，OBA OAB ∠=∠，BOM OAB ∴∠=∠，OND OBD BOM ∠=∠+∠，ODN OAB ABD ∠=∠+∠，OND ODN ∴∠=∠，ON OD ∴=． （2）2BD AE =，证明：如图，延长AE 交y 轴于点C ，直线BD 平分OBA ∠，AE BD ⊥，ABD OBD ∴∠=∠，AEB CEB ∠=∠，又BE BE =，∴BCE BAE △≌△（ASA ），∴AE CE =1=2AC ， AO BC ⊥，∴DOB COA ∠=∠，即90OAC OCA OCA CBE ∠+∠=∠+∠=︒， OAC OBD ∴∠=∠，又OB OA =，∴DOB COA ∠≌△（ASA ），2BD AC AE ∴==，即2BD AE =．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，非负数之和为零，三角形角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形外角定理，三角形全等的性质与判定，等角对等边，熟练掌握以上知识，添加辅助线是解题的关键．3．（1）见解析；（2）1()2BF AB AC =-，理由见解析 【解析】【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明AEG∆≅AEC∆，得E为中点，通过中位线证明DE// AB，结合BF=DE，证明BDEF是平行四边形（2）通过BDEF为平行四边形，证得BF=DE=12BG，再根据AEG∆≅AEC∆，得AC=AG，用AB-AG=BG，可证1()2BF AB AC=-【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G∠AE⊥CE∠90AEG AEC︒∠=∠=在AEG∆和AEC∆GAE CAEAE AEAEG AEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠AEG∆≅AEC∆∠GE=EC∠BD=CD∠DE为CGB∆的中位线∠DE//AB∠DE=BF∠四边形BDEF是平行四边形（2）1()2BF AB AC=-理由如下：∠四边形BDEF是平行四边形∠BF=DE∠D，E分别是BC，GC的中点∠BF=DE=12BG∠AEG∆≅AEC∆∠AG=ACBF=12（AB-AG）=12（AB-AC）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．4．见解析.【解析】【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得∠ACE∠∠ABF，得出CE=BF；再证∠CBD∠∠CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可．【详解】证明：如图，延长BD交CA的延长线于F，90BAC︒∠=90,90BAF BAC ACE AEC︒︒∴∠=∠=∠+∠=90BDC︒∠=90BDC FDC︒∴∠=∠=90ABF BED︒∴∠+∠=AEC BED∠=∠ACE ABF∴∠=∠AB AC=()ACE ABF ASA∴∆∆≌CE BF ∴=CD 平分ACB ∠ACD BCD ∴∠=∠CD CD =()CBD CFD ASA ∴∆∆≌12BD FD BF ∴== 12BD CE ∴= 2CE BD ∴=【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．5．（1）30°；（2）30°；（3）α为60︒或120m ︒-或240m ︒-．【解析】【分析】（1）由100BAC ∠=︒，AB AC =，可以确定40ABC ACB ∠=∠=︒，旋转角为α，60α=︒时ACD ∆是等边三角形，且AC AD AB CD ===，知道BAD ∠的度数，进而求得CBD ∠的大小；（2）由100BAC ∠=︒，AB AC =，可以确定40ABC ACB ∠=∠=︒，连接DF 、BF ．AF FC AC ==，60FAC AFC ∠=∠=︒，20ACD ∠=︒，由20DCB ∠=︒案．依次证明DCB FCB ∆≅∆，DAB DAF ∆≅∆．利用角度相等可以得到答案．（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，ACD ∆是等边三角形时，CD 在ABC ∆内部时，CD 在ABC ∆外部时，求得答案．【详解】解：（1）解（1）∠AB AC =，100BAC ∠=︒，∠40ABC ∠=︒，∠AC CD =，60ACD α=∠=︒，∠ACD △为等边三角形，∠40BAD BAC DAC ∠=∠-∠=︒．又∠AD AC AB ==，∠ABD △为等腰三角形，∠180702BAD ABD ︒-∠∠==︒， ∠30CBD ABD ABC ∠=∠-∠=︒．（2）方法1：如图作等边AFC △，连接DF 、BF ．AF FC AC ∴==，60FAC AFC ∠=∠=︒．100BAC ∠=︒，AB AC =，40ABC BCA ∴∠=∠=︒．20ACD ∠=︒，20DCB ∴∠=︒．20DCB FCB ∴∠=∠=︒．∠AC CD =，AC FC =，DC FC ∴=．∠ BC BC =，∠∴由∠∠∠，得DCB FCB ≅，DB BF ∴=，DBC FBC ∠=∠．100BAC ∠=︒，60FAC ∠=︒，40BAF ∴∠=︒．20ACD ∠=︒，AC CD =，80CAD ∴∠=︒．20DAF ∴∠=︒．20BAD FAD ∴∠=∠=︒．∠AB AC =，AC AF =，AB AF ∴=．∠AD AD =，∠∴由∠∠∠，得DAB DAF ≅．FD BD ∴=．FD BD FB ∴==．60DBF ∴∠=︒．30CBD ∴∠=︒．方法2 如下图所示，构造等边三角形ADE ，连接CE ．∠在等腰三角形ACD 中，20ACD ∠=︒，∠80CAD CDA ∠=∠=︒，∠100BAC ∠=︒，∠20BAD ∠=︒．可证ACE DCE ≌．结合角度，可得20CAE CDE ∠=∠=︒，10ACE DCE ∠=∠=︒．在ADB △和ACE 中，20AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠△≌△ADB AEC ，∠10ABD ACE ∠=∠=︒．∠40ABC ∠=︒，∠30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒．方法3 如下图所示，平移CD 至AE ，连接ED ，EB ，则四边形ACDE 是平行四边形．∠AC DC =，∠四边形ACDE 是菱形，∠20AED ACD ∠=∠=︒，180EAC ACD ∠+∠=︒．∠160EAC ∠=︒，∠60EAB ∠=︒，∠ABE △是等边三角形，EBD △是等腰三角形，∠40BED ∠=︒，70EBD ∠=︒，∠10ABD ∠=︒．∠30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒．（3）由（1）知道，若100BAC ∠=︒，60α=︒时，则30CBD ∠=︒；∠由（1）可知，设60α∠=︒时可得60BAD m ∠=-︒，902m ABC ACB ∠=∠=︒-， 19012022m ABD BAD ∠=︒-∠=︒-， 30CBD ABD ABC ∠=∠-∠=︒．∠由（2）可知，翻折BDC ∆到△1BD C ，则此时130CBD ∠=︒，60302m BCD ACB ∠=︒-∠=-︒， 190(30)12022m m ACB BCD ACB BCD m α∠=∠-∠=∠-∠=︒---︒=︒-， ∠以C 为圆心CD 为半径画圆弧交BD 的延长线于点2D ，连接2CD ，2303022m m CDD CBD BCD ∠=∠+∠=︒+-︒=， 221802180DCD CDD m ∠=︒-∠=︒-260240DCD m α∠=︒+∠=︒-．综上所述，α为60︒或120m ︒-或240m ︒-时，30CBD ∠=︒．【点睛】本题是一道几何结论探究题，解答这类题目的关键是要善于从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法，并灵活运用这种方法解答一般性的问题，真正达到举一反三的目的． 6．（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【解析】【分析】（1）方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题； （2）延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，证明ΔΔPAC BAD ≌，可得PC BD =，即PC BP BC AB BC =+=+（3）连接BD ，过点D 作DF AC ⊥于F ，证明ΔΔDFA DEC ≌，Rt ΔRt ΔBDF BDE ≌，进而根据2BC BE CE BA AF CE BA CE =+=++=+即可得出结论．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠=∠．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔABD MBD ∴≌，A BMD ∴∠=∠，AD MD =．180BMD CMD ︒∠+∠=，180C A ︒∠+∠=．C CMD ∴∠=∠．DM DC ∴=，DA DC ∴=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD平分ABC∠，NBD CBD∴∠=∠．在ΔNBD和ΔCBD中，BD BDNBD CBDBN BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔNBD CBD∴≌．BND C∴∠=∠，ND CD=．180NAD BAD︒∠+∠=，180C BAD︒∠+∠=．BND NAD∴∠=∠，DN DA∴=，DA DC∴=．（2）AB、BC、BD之间的数量关系为：AB BC BD+=．（或者：BD CB AB-=，BD AB CB-=）．延长CB到点P，使BP BA=，连接AP，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC ︒∠=．ΔADC ∴为等边三角形．AC AD ∴=，60ADC ︒∠=．180BCD BAD ︒∠+∠=，36018060120ABC ︒︒︒︒∴∠=--=．18060PBA ABC ︒︒∴∠=-∠=．BP BA =，ΔABP ∴为等边三角形．60PAB ︒∴∠=，AB AP =．60DAC ︒∠=，PAB BAC DAC BAC ∴∠+∠=∠+∠，即PAC BAD ∠=∠．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔPAC BAD ∴≌． PC BD ∴=， PC BP BC AB BC =+=+，AB BC BD ∴+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC⊥于F ，如图3所示．180BAD C ︒∠+∠=，180BAD FAD ︒∠+∠=．FAD C ∴∠=∠．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔDFA DEC ∴≌，DF DE ∴=，AF CE =．在Rt ΔBDF 和Rt ΔBDE 中，BD BD DF DE =⎧⎨=⎩， Rt ΔRt ΔBDF BDE ∴≌．BF BE ∴=，2BC BE CE BA AF CE BA CE ∴=+=++=+，2BC BA CE ∴-=．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．。
2018年初中中考数学几何辅助线题
标准合用中考压轴题专题几何（辅助线）图中有角均分线，可向两边作垂线。
角均分线平行线，等腰三角形来添。
线段垂直均分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线加一倍。
梯等式子比率换，搜寻相似很要点。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，弦高公式是要点。
计算半径与弦长，弦心距来站中间。
圆上若有所有线，切点圆心半径连。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内切圆，内角均分线梦园。
若是遇到订交圆，不要忘作公共弦。
若是添上连心线，切点必定在上面。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
若是图形较分别，对称旋转去实验切勿盲目乱添线，方法灵便应多变。
精选 1. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直均分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．精选 2．如图，△ABC中，∠C＝ 60°，∠CAB与∠CBA的均分线AE，BF订交于点 D，求证： DE＝ DF．CFEDA B精选 3. 已知：如图，⊙O的直径 AB=8cm， P 是 AB延长线上的一点，过点P 作⊙ O的切线，切点为C，连接 AC．(1)若∠ ACP=120°，求阴影部分的面积；(2)若点 P 在 AB的延长线上运动，∠ CPA的均分线交 AC于点 M，∠ CMP的大小可否发生变化？若变化，请说明原由；若不变，求出∠ CMP的度数。
标准合用精选 4、如图 1， Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， AC=3，BC=4，点 O是斜边 AB上一动点，以 OA为半径作⊙ O与 AC边交于点 P，（ 1）当 OA= 时，求点O到 BC的距离；（ 2）如图 1，当 OA=时，求证：直线BC与⊙ O相切；此时线段AP 的长是多少？（3）若 BC边与⊙ O有公共点，直接写出 OA的取值范围；（4）若 CO均分∠ ACB，则线段 AP的长是多少？．A精选 5．如图，已知△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°， AD均分∠ BDC，求证： BD+DC＝AD．EB CD精选 6、已知矩形ABCD的一条边 AD=8，将矩形 ABCD折叠，使得极点B落在 CD边上的 P点处．（第 6 题图）（1）如图 1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、O A．①求证：△ OCP∽△ PDA；②若△ OCP与△ PDA的面积比为1：4，求边 AB的长；（2）若图 1 中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（ 3）如图 2，，擦去折痕、线段，连接．动点在线段上（点与点、A 不AO OP BP M AP M P重合），动点 N在线段 AB的延长线上，且BN=PM，连接 MN交 PB于点 F，作 ME⊥ BP于点 E．试问当点M、N在移文案大全标准合用精选 7、如图，四边形ABCD是边长为 2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形极点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、 BA（或它们的延长线）于点E、F，∠ EDF=60°，当 CE=AF时，如图1 小芳同学得出的结论是DE=DF．（ 1）连续旋转三角形纸片，当CE≠ AF时，如图 2 小芳的结论可否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明原由；（ 2）再次旋转三角形纸片，当点E、F 分别在 CB、 BA的延长线上时，如图 3 请直接写出DE与 DF 的数量关系；（ 3）连 EF，若△ DEF的面积为 y，CE=x，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时， y 有最小值，最小值是多少？标准合用精选 8、等腰 Rt △ ABC中，∠ BAC=90°，点 A、点 B 分别是 x 轴、 y 轴两个动点，直角边 AC交 x 轴于点 D，斜边BC交 y 轴于点 E；（1）如图（ 1），若 A（ 0， 1）， B（ 2， 0），求 C 点的坐标；（2）如图（ 2），当等腰 Rt △ ABC运动到使点 D恰为 AC中点时，连接 DE，求证：∠ ADB=∠ CDE（ 3）如图（ 3），在等腰 Rt △ ABC不断运动的过程中，若满足 BD向来是∠ ABC的均分线，试试究：线段 OA、 OD、BD 三者之间可否存在某一固定的数量关系，并说明原由．精选 9．如图，正方形ABCD 的四个极点分别在四条平行线l1、 l 2、 l3、 l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 h1、 h2、 h3(h1 0， h2 0， h3 0) ．（ 1）求证：h1h3；l1Ah1（ 2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S(h1 h2 )22l2Bh2 h1；l33 D h3（ 3）若1，当 h1变化时，说明正方形ABCD 的面积h1 h2l42CS 随h1的变化情况．第题图参照答案精选 1解：∵ Rt△ABC中，∠ ABC=90°， AB=3， BC=4，∴ AC===5，∵DE垂直均分 AC，垂足为 O，∴ OA= AC=，∠ AOD=∠ B=90°，∵AD∥ BC，∴∠ A=∠ C，∴△ AOD∽△ CBA，∴=，即=，解得=．AD故答案为：．精选 2证明：在 AB上截取 AG，使 AG=AF，C 易证△ ADF≌△ ADG（SAS）．∴ DF＝ DG．∵∠ C＝60°，FE ，是角均分线，易证∠=120°．AD BD ADB∴∠＝∠＝∠＝∠＝ 60°．DADF ADG BDG BDE易证△ BDE≌△ BDG（ASA）．A G B∴DE＝ DG＝DF．精选 3、解：（ 1）连接 OC．∵PC为⊙O的切线，∴ PC⊥ OC．∴∠ PCO=90度．∵∠ACP=120°∴∠ACO=30°∵OC=OA，∴∠ A=∠ ACO=30度．∴∠ BOC=60°∵OC=4∴∴ S阴影=S ﹣S=；△OPC扇形 BOC（2）∠ CMP的大小不变，∠ CMP=45°由（ 1）知∠ BOC+∠ OPC=90°∵ PM均分∠ APC∴∠ APM= ∠APC∵∠ A= ∠ BOC∴∠ PMC=∠A+∠ APM= （∠ BOC+∠ OPC） =45°．精选 4、解：（ 1）在 Rt △ ABE中，．（1分）过点 O作 OD⊥ BC于点 D，则 OD∥ AC，∴△ ODB∽△ ACB，∴，∴，∴，∴点 O到 BC的距离为．（3分）（ 2）证明：过点O作 OE⊥ BC于点 E， OF⊥ AC于点 F，∵△ OEB∽△ ACB，∴∴，∴．∴直线 BC与⊙ O相切．（ 5 分）此时，四边形OECF为矩形，∴AF=AC﹣ FC=3﹣ = ，∵OF⊥ AC，∴ AP=2AF= ．（ 7 分）（ 3）；（9分）（4）过点 O作 OG⊥AC于点 G， OH⊥ BC于点 H，则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，又∵ CO均分∠ ACB，∴ OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10 分）设正方形OGCH的边长为 x，则 AG=3﹣x，∵OG∥ BC，∵△ AOG∽△ ABC，∴，∴，∴，∴，∴ AP=2AG=．（12分）标准合用精选 5、证法 1：（截长）如图，截DF=DB，易证△ DBF为等边三角，尔后证△BDC≌△ BFA即可；证法 2：（截长）如图，截DF=DC，易证△ DCF为等边三角，尔后证△BDC≌△ AFC即可；证法 3：（补短）如图，延长BD至 F，使 DF=DC，此时 BD+DC=BD+DF=BF，易证△ DCF为等边△，再证△BCF≌△ ACD即可．证法 4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个极点共圆．设 AB＝AC＝ BC＝a，依照（圆内接四边形）托勒密定理：CD· a＋BD· a＝AD· a，得证．FFF精选 6、解：（ 1）如图 1，①∵四边形ABCD是矩形，∴ AD=BC，DC=AB，∠ DAB=∠ B=∠C=∠ D=90°．由折叠可得： AP=AB， PO=BO，∠ PAO=∠ BAO．∠ APO=∠B．∴∠ APO=90°．∴∠ APD=90°﹣∠ CPO=∠ PO C．∵∠ D=∠C，∠ APD=∠ PO C．∴△ OCP∽△ PD A．②∵△ OCP与△ PDA的面积比为1： 4，∴= = ==．∴PD=2OC， PA=2OP，DA=2CP．∵ AD=8，∴ CP=4，BC=8．设 OP=x，则 OB=x，CO=8﹣x．在 Rt△ PCO中，∵∠ C=90°， CP=4， OP=x，CO=8﹣ x，∴x2=（8﹣ x）2+42．解得： x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边 AB的长为10．（ 2）如图 1，∵P 是CD边的中点，∴ DP= D C．∵DC=AB，AB=AP，∴ DP= AP．∵∠ D=90°，∴sin ∠ DAP= =．∴∠ DAP=30°．∵∠ DAB=90°，∠ PAO=∠ BAO，∠ DAP=30°，∴∠ OAB=30°．∴∠ OAB的度数为30°．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图 2．∵ AP=AB，MQ∥ AN，∴∠ APB=∠ ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠ APB=∠ MQP．∴ MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴ PE=EQ= PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴ BN=QM．∵MQ∥ AN，∴∠ QMF=∠ BNF．在△ MFQ和△ NFB中，．∴△ MFQ≌△ NF B．∴QF=BF．∴QF= Q B．∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= P B．由（ 1）中的结论可得：PC=4， BC=8，∠ C=90°．∴ PB==4 ．∴EF= PB=2．∴在（ 1）的条件下，当点M、 N在搬动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．精选 7、解：（ 1） DF=DE．原由以下：如答图 1，连接 BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠ A=60°，∴△ ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ ADB=60°，∴∠ DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ ADF=∠BDE．∵在△ ADF与△ BDE中，，∴△ ADF≌△ BDE（ ASA），∴DF=DE；（ 2） DF=DE．原由以下：如答图 2，连接 BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠ A=60°，标准合用∴△ ABD是等边三角形，∴ AD=BD，∠ ADB=60°，∴∠ DBE=∠A=60°∵∠ EDF=60°，∴∠ ADF=∠BDE．∵在△ ADF与△ BDE中，，∴△ ADF≌△ BDE（ ASA），∴ DF=DE；（3）由（ 2）知，△ ADF≌△ BDE．则 S△ADF=S△BDE， AF=BE=x．依题意得： y=S△BEF+S△ABD= （ 2+x）xsin60 °+×2× 2sin60° =（x+1）2+．即y=（x+1）2+．∵＞0，∴该抛物线的张口方向向上，∴当 x=0 即点 E、 B 重合时， y 最小值 =．精选 8、（1）解：过点 C 作 CF⊥ y 轴于点 F，∴∠ AFC=90°，∴∠ CAF+∠ACF=90°．∵△ ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AC=AB，∠ CAF+∠ BAO=90°，∠ AFC=∠BAC，∴∠ ACF=∠BAO．在△ ACF和△ ABO中，，标准合用∴CF=OA=1， AF=OB=2∴OF=1∴C（﹣ 1，﹣ 1）；（2）证明：过点 C作 CG⊥ AC交 y 轴于点 G，∴∠ACG=∠BAC=90°，∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°，∴∠AGC=∠BAO．∵∠ ADO+∠DAO=90°，∠ DAO+∠BAO=90°，∴∠ ADO=∠BAO，∴∠ AGC=∠ADO．在△ ACG和△ ABD中∴△ ACG≌△ ABD（ AAS），∴CG=AD=CD．∵∠ ACB=∠ABC=45°，∴∠ DCE=∠GCE=45°，在△ DCE和△ GCE中，，∴△ DCE≌△ GCE（ SAS），∴∠ CDE=∠G，∴∠ ADB=∠CDE；（3）解：在 OB上截取 OH=OD，连接 AH由对称性得AD=AH，∠ ADH=∠ AHD．∵∠ ADH=∠BAO．∴∠ BAO=∠AHD．∵BD是∠ABC的均分线，∴∠ ABO=∠EBO，∵∠ AOB=∠EOB=90°．在△ AOB和△ EOB中，，∴△ AOB≌△ EOB（ ASA），∴AB=EB， AO=EO，∴∠ BAO=∠BEO，∴∠ AHD=∠ADH=∠ BAO=∠ BEO．∴∠ AEC=∠BHA．在△ AEC和△ BHA中，标准合用，∴△ ACE≌△ BAH（ AAS）∴AE=BH=2OA∵DH=2OD∴BD=2（ OA+OD）．精选 9、A（ 1）证：设AD与l2交于点E，BC与l3交于点F，l1由已知 BF ∥ ED，BE ∥ FD ，l2B El3四边形 BEDF 是平行四边形，BE DF ．F D 又 AB CD， Rt ABE ≌ Rt CDF ．h1 h3l 4C（ 2）证：作BG l4， DH l 4，垂足分别为G、H，在 Rt △BGC和Rt△CHD 中，BCG DCH 180BCD 90 ，CDH DCH 90 ．BCG CDH ．又BGC CHD 90 ， BC CD ，h1 h2 h3标准合用Rt △ BGC ≌ Rt △CHD ， CG DH h2．又 BG h2h3， BC 2BG 2CG 2(h2 h3 ) 2h22 (h1 h2 )h21，S BC2(h1 h2 )2h21．Al1（ 3）解：332h1h21， h212h1，l222l3 3252524，S h1 12h2h 14h 1h1 14h155l4h1 0， h20， 13h10， 0 h1 2 ．23h1B Eh2Dh3G C H当 0 h1222时， S 随h1的增大而减小；当h1时， S 随h1的增大而增大．553。
中考数学-全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变D C BAED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
中考数学几何添加辅助线法：找斜边上的中线(详解答案)
斜边上的中线一、斜边上中线解题思路定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
90°+中点需要想到斜边中线，以构造辅助线，尤其是当遇到两直角三角形共斜边时，那么这两个直角三角形的斜边中线必然是相等的。
二、典例精讲典例．如图所示，CDE ∆中，135CDE ∠=︒，CB DE ⊥于V ，EA CD ⊥于A ，求证：CE =.名师点拨：取CE 的中点F ，连接AF 、BF ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF =EF =BF =CF ，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE +∠BEC =45°，然后求出∠AEC +∠BCE =135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC +∠AFE =90°，然后求出∠AFB =90°，从而判断出△ABF 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的2可得AF =2AB ，然后证明即可． 满分解答：证明：如图，取CE 的中点F ，连接AF 、BF ，∵CB ⊥DE ，EA ⊥CD ，∴AF =EF =BF =CF =12CE ， 在△CDE 中，∵∠CDE =135°，∴∠ACE +∠BEC =180°-135°=45°，∴∠AEC +∠BCE =（90°-∠ACE ）+（90°-∠BEC ）=180°-45°=135°，∴∠BFC +∠AFE =（180°-2∠BCE ）+（180°-2∠AEC ）=360°-2（∠AEC +∠BCE ）=360°-2×135°=90°，∴∠AFB =180°-（∠BCF +∠AFE ）=180°-90°=90°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF =2AB ，∴CE =2AF AB ，即CE ． 名师点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．变式题．如图,在矩形ABCD 中,∠BAD 的平分线交BC 于点E ,交DC 的延长线于点F . （1）若AB =2,AD =3,求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点,连接BG 和DG ,求证：DG =BG .三、中考押题1．如图所示，在ABC ∆中，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，点M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求证：MN DE ⊥.2．如图所示，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BA 到D ，使12AD AB =，点E 是AC 的中点，求证：2BC DE .。
2018届中考数学复习 专题21 平面几何初步(点、线、面、角、相交线与平行线等)试题(B卷,含解析)
平面几何初步一、选择题1. （ 福建福州，3，3分）如图，直线a ，b 被直线c 所截，∠1和∠2的位置关系是A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．对顶角【答案】B【逐步提示】本题考查了同位角、内错角、同位角和对顶角的识别，解题的关键是认识三线八角，根据内错角的定义可得答案．【详细解答】解：直线a ，b 被直线c 所截，∠1与∠2是内错角，故选择B .【解后反思】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线． 【关键词】内错角；同位角；同旁内角；对顶角2. （ 甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，6，3分）如图，AB ∥CD ，DE ⊥CE ，∠1=34º，则∠DCE 的度数为（ ）A ． 34º B．54º C． 66º D ． 56º1BE第6题图【答案】D 【逐步提示】本题考查了平行线的性质，解题的关键是将线的位置关系转化为角的数量关系，应用平行线的性质：两直线平行线内错角相等得出∠EDC 的度数，再利用直角三角形两锐角互余得出∠DCE 的度数． 【详细解答】解：∵AB ∥CD ，∴ ∠EDC ＝∠1＝34°．∵DE ⊥CE ∴ ∠DEC ＝90°，∴∠EDC ＋∠DCE ＝90°．∴∠DCE ＝90°－34°=56º，故选择D ．【解后反思】本题考查了平行线的性质即两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.【关键词】平行线的性质；垂直的定义；直角三角形的性质； 3. （ 甘肃省天水市，5，4分）如图，直线AB ∥CD ，OG 是∠EOB 的平分线，∠EFD ＝70°，则∠BOG 的度数是（ ） A ．70° B ．20° C ．35° D ．40°【答案】C【逐步提示】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是注意两直线平行，相关的同位角相等、内错角相等及同旁内角互补．要求∠BOG 的度数，关键是先求∠EOB 的度数，这可根据∠EFD ＝70°，联想到两直线CO A B D E FG平行，同位角相等解决．【详细解答】解：∵AB∥CD，∴∠EOB＝∠EFD＝70°．又∵OG平分∠EOB，∴∠BOG＝12∠EOB＝12×70°＝35°．故选择C．【解后反思】平行线间的角离不开同位角、同旁内角，及内错角等知识，另外还要和三角形的内角和定理，及外角等于与它不相邻的两内角和知识相联系，只要从这些方面思考，就不难得到解决．【关键词】平行线的性质；角的平分线．4.（广东茂名，5，3分）如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=60°，那么∠2的度数为（）A．120°B．90°C．60°D．30°【答案】C【逐步提示】本题考查了平行线的性质，解题的关键是识别出图中的∠1、∠2是两条平行直线a、b被第三条直线c截出的一组相等的同位角．直接利用“两直线平行，同位角相等”解题即可.【详细解答】解：∵a∥b，∴∠1=∠2. ∵∠1=60°，∴∠2=60°.故选择C .【解后反思】“两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补”这是由直线的位置关系得出角的数量关系，“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；”这是由角的数量关系得出直线的位置关系，这里体现了数形结合的思想．【关键词】同位角；平行线的性质5.（贵州省毕节市，8，3分）如图，直线a//b，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3＝（）（第8题图）A. 85°B. 60°C. 50°D. 35°【答案】C【逐步提示】本题考查平行线的性质，三角形外角和定理，解题的关键是能从图中发现∠3与∠1、∠2的联系．【详细解答】解：如图，∵a//b，∴∠4＝∠3．又∵∠1＝∠2＋∠4，∴∠4＝∠1－∠2＝85°－35°＝50°，∴∠3＝50°，故选择C.【解后反思】此类问题容易出错的地方是找不到图形中角与角之间的数量关系．【关键词】平行线的性质；三角形外角和定理6.（河北省，13，2分）如图，将□ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【答案】C【逐步提示】根据平行线的性质和折叠的性质得到∠BAC=12∠B’AB=12∠1=22°，再在△ABC中根据三角形内角和定理求得∠B的度数.【详细解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B’AB=∠1=44°.根据折叠的性质可知∠BAC=12∠B’AB=12×44°=22°.又∵∠2=44°，∴∠B=180°－22°-44°=114°，故答案为选项C.【解后反思】折叠问题是属于轴对称变换，折叠后图形的形状和大小不变，三角形折叠后得到的三角形与原三角形全等，对应边和对应角相等.【关键词】平行四边形的性质；平行线的性质；折叠；三角形内角和定理7.（湖北省黄冈市，3，3分）如图，直线a∥b,∠1=550，则∠2= （）A.350B.450C. 550D.650【答案】C【逐步提示】本题考查了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”及对顶角的性质“对顶角相等”，解题的关键是能观察出∠1与∠2之间的联系而不走弯路．由图易发现，∠1的对顶角与∠2是同位角，a∥b是沟通∠1与∠2的桥梁．【详细解答】解：如图，∵a∥b，∴∠3＝∠2．∵∠3＝∠1，∴∠2＝∠1＝55°，故选择C.【解后反思】此类题主要考查形式为选择或填空，解决此类题型常用的方法是根据平行线的性质：两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，结合对顶角相等或邻补角和为180°，直接求出正确答案后做出选择．【关键词】平行线的性质；对顶角。
【通用版】中考数学一轮复习：初中几何常见辅助线50种作法
中考数学一轮复习：初中几何常见辅助线50种作法任何几何题目都需分析题目条件和结论找到解题思路，本讲从常见的条件和结论出发说明50种辅助线作法，分三角形部分、四边形部分、解直角三角形部分、圆。
每种辅助线作法均配备了例题和练习。
三角形部分1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE①在△BDM中，MB＋MD＞BD②在△CEN中，CN＋NE＞CE③①＋②＋③得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有，①AB＋AF＞BD＋DG＋GF②GF＋FC＞GE＋CE③DG＋GE＞DE∴①＋②＋③有AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P为△ABC内任一点，求证：12(AB＋BC＋AC)＜P A＋PB＋PC＜AB＋BC＋ACFGNMEDBA2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC ＞∠DEC 同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC3.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE同理可证：CF = NF 在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF4. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.FABCD E DCBA4321NFEDCBA例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDF DF = DF∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）5. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD在△ACD 和△EBD 中 BD = CDMABCDEF1234512ED CBA∠1 = ∠2 AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD6.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC ∠1 = ∠2 AP = AP∴△APN ≌△APC ∴PC = PN∵△BPN 中有PB －PC ＜BN ∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = APP12N DCBAABC D21P∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O 求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD7.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知AC = BD ，AD ⊥AC 于A ，BCBD 于B求证：AD = BC证明：分别延长DA 、CB 交于点E∵AD ⊥AC BC ⊥BD ∴∠CAE = ∠DBE = 90o 在△DBE 和△CAE 中 ∠DBE =∠CAE BD = AC ∠E =∠E∴△DBE ≌△CAE ∴ED = EC ，EB = EA ∴ED －EA = EC － EB ∴AD = BC8.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB ∥CD ，AD ∥BCOEDCBA4321EDCB A。
【中考数学专题】17：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之双等腰旋转
专题17：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之双等腰旋转一、单选题1．如图，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，点D 在BC 上，以AD 为边向右作等腰Rt ADE ∆，90DAE ∠=︒，连接BE ，若30EBC ∠=︒，则BD 的长为（ ）A ．2B ．23C ．6D ．42．在Rt△ABC 中，AC=BC ，点D 为AB 中点．△GDH=90°，△GDH 绕点D 旋转，DG ，DH 分别与边AC ，BC 交于E ，F 两点．下列结论：△AE+BF=22AB ；△AE 2+BF 2=EF 2；△S 四边形CEDF =12S △ABC ；△△DEF 始终为等腰直角三角形．其中正确的是( )A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△3．如图，//AB CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线相交于点G ，EG AC ⊥于点E ，F为AC 中点，GH CD ⊥于H ，FGC FCG ∠=∠．下列说法正确的是( )△AG CG ⊥；△BAG CGE ∠=∠；△AFG GFC S S ∆∆=；△若:2:7EGH ECH ∠∠=，则150AFG ∠=︒．A ．△△△B ．△△C ．△△△D ．△△△△4．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，△BAC=90°，直角△EPF 的顶点P 是边BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当△EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E不与A 、B 重合），给出以下四个结论：△AE=CF ；△△EPF 是等腰直角三角形；△四边形AEPF 的面积=△ABC 的面积的一半，△当EF 最短时，EF=AP ，上述结论始终正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 5．如图，ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，42EBD ∠=︒，则AEB ∠=___________度．6．如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．7．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0<α<90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC的面积为____．三、解答题8．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，△AOB=△COD=90°，且OA=OB，OC=OD．（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”，“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“△”或“△”）；（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD 的数量关系和位置关系，并给出证明．9．在Rt△ABC 中,AB=AC,D 为BC 边上一点(不与点B,C 重合),将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE.(1)连接EC ，如图△，试探索线段BC ，CD ，CE 之间满足的等量关系，并证明你的结论；(2)连接DE ，如图△，求证：BD 2+CD 2=2AD 2(3)如图△,在四边形ABCD 中，△ABC=△ACB=△ADC=45°，若BD=13，CD=1，则AD 的长为 ▲ .(直接写出答案）10．已知△ACB 为等腰直角三角形，点P 在BC 上，以AP 为边长作正方形APEF ，（1）如图△，当点P 在BC 上时，求△EBP ；（2）如图△，当点P 在BC 的延长线上时，求△EBP ．11．如图，APB 中，AB 2=，APB 90∠=，在AB 的同侧作正ABD 、正APE和正BPC ，求四边形PCDE 面积的最大值．12．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，△AOB＝△COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1，求证：OH＝12AD，OH△AD；（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，△中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．参考答案1．C【解析】【分析】连接CE ，根据题意可证得ABD ACE ≅，所以,45BD CE ACE ABC =∠=∠=︒，所以90ECB ∠=︒，在等腰Rt ABC ∆，根据3AB =，可求出32BC =，在Rt BCE 中，30EBC ∠=︒，所以2BE CE =，设CE x =，则2BE x =，根据勾股定理可得出关于x 的方程，解出即可得出答案.【详解】解：如图，连接CE ，90BAC BAD DAC ∠︒∠=∠+=，90DAE CAE DAC ∠=∠+∠=︒， BAD CAE ∴∠=∠，在ABD △与ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩()ABD ACE SAS ∴≅，,45BD CE ACE ABC ∴=∠=∠=︒，45ACB =︒∠，90ECB ∴∠=︒；在等腰Rt ABC ∆，3AB AC ==，BC ∴=在Rt BCE 中，30EBC ∠=︒2BE CE ∴=，设CE x =，则2BE x =，(()2222x x ∴+=解得：x =BD CE ∴==故选：C.【点睛】本题考查全等三角形以及勾股定理解特殊直角三角形；题中如果出现两个等腰三角形，顶角相等且重合，则可以考虑手拉手证明全等三角形，题中如果出现等腰直角三角形或者含有30的直角三角形，可利用这两种特殊三角形边之间的关系，已知一边长度，即可求出其他两条边的长度.2．D【解析】【分析】连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE△△CDF，就可以得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论．【详解】连接CD，△AC=BC，点D为AB中点，△ACB=90°，△AD=CD=BD=12AB．△A=△B=△ACD=△BCD=45°，△ADC=△BDC=90°．△△ADE+△EDC=90°，△△EDC+△FDC=△GDH=90°，△△ADE=△CDF．在△ADE和△CDF中，A DCBAD CDADE CDF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝△△ADE△△CDF（ASA），△AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF．△AC=BC，△AC-AE=BC-CF，△CE=BF．△AC=AE+CE，△AC=AE+BF=22AB．△DE=DF ，△GDH=90°，△△DEF 始终为等腰直角三角形．△CE 2+CF 2=EF 2，△AE 2+BF 2=EF 2．△S 四边形CEDF =S △EDC +S △EDF ，△S 四边形CEDF =S △EDC +S △ADE =12S △ABC ． △正确的有△△△△．故选D ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解题关键是证明△ADE△△CDF ．3．C【解析】【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到90GAC GCA ∠+∠=︒从而根据三角形的内角和定理得到90AGC ∠=︒，即可判断△正确性；根据等角的余角相等可知CGE GAC ∠=∠，再由角平分线的定义与等量代换可知BAG CGE ∠=∠，即可判断△正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断△正确性；通过角度的和差计算先求出EGH ECH ∠∠，的度数，再求出50EGF ∠=︒，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断△是否正确．【详解】△中，△AB △CD ，△180BAC ACD ∠+∠=︒，△△BAC 与△DCA 的平分线相交于点G ， △11121809022GAC GCA BAC ACD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， △180GAC GCA AGC ∠+∠+∠=︒，△90AGC ∠=︒△AG △CG ，则△正确；△中，由△得AG △CG ，△EG AC ⊥，FGC FCG ∠=∠，△根据等角的余角相等得CGE GAC ∠=∠，△AG 平分BAC ∠，△=BAG GAC ∠∠，△BAG CGE ∠=∠，则△正确；△中，根据三角形的面积公式，△F 为AC 中点，△AF =CF ，△AFG ∆与GFC ∆等底等高，△AFG GFC S S ∆∆=，则△正确；△中，根据题意，得：在四边形GECH 中，180EGH ECH ∠+∠=︒，又△:2:7EGH ECH ∠∠=， △271804018014099EGH ECH ∠=︒⨯=︒∠=︒⨯=︒，， △CG 平分△ECH ， △1702FCG ECH ∠=∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余，得20EGC ∠=︒.△FGC FCG ∠=∠，△70FGC FCG ∠=∠=︒，△50EGF FGC ECG ∠=∠-∠=︒，△EG AC ⊥，△9040GFE EGF ∠=︒-∠=︒，△180********AFG GFE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，则△错误.故正确的有△△△，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.4．D【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质可得△BAP =△C =45°，AP =CP ，根据等角的余角相等求出△APE =△CPF ，然后利用“角边角”证明△AEP 和△CPF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE =CF ，PE =PF ，全等三角形的面积相等求出S 四边形AEPF =S △APC ，然后解答即可．【详解】△AB =AC ，△BAC =90°，△△ABC 是等腰直角三角形．△点P 为BC 的中点，△△BAP =△C =45°，AP =CP ．△△EPF 是直角，△△APE +△APF =△CPF +△APF =90°，△△APE =△CPF ．在△AEP 和△CPF 中，△45BAP C AP PC APE CPF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△AEP △△CPF （ASA ），△AE =CF ，PE =PF ，S △APE =S △CPF ，△S 四边形AEPF =S △APC ，△S 四边形AEPF =12S △ABC ，根据等腰直角三角形的性质，EFPE ，所以，EF 随着点E 的变化而变化，只有当点E 为AB 的中点时，EFPE =AP ，此时，EF 最短；故△△△△正确． 故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．5．132【解析】【分析】先证明△BDC△△AEC ，进而得到角的关系，再由△EBD 的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．【详解】解：△90ACB ECD ∠=∠=︒，△BCD ACE ∠=∠，在BDC ∆和AEC ∆中，AC BC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()BDC AEC SAS ∆∆≌，△DBC EAC ∠=∠，△42EBD DBC EBC ︒∠=∠+∠=，△42EAC EBC ︒∠+∠=，△904248ABE EAB ︒︒︒∠+∠=-=，△180()18048132AEB ABE EAB ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-=．故答案为132【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．6．PA 2+PB 2=2PC 2【解析】【分析】把AP 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt△PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C 作CD△AB ，交AB 于点D△△ACB 为等腰直角三角形，CD△AB ，△CD=AD=DB ，△PA 2=（AD -PD ）2=（CD -PD ）2=CD 2-2CD•PD+PD 2，PB 2=（BD+PD ）2=（CD+PD ）2=CD 2-2CD•PD+PD 2，△PA 2+PB 2=2CD 2+2PD 2=2（CD 2+PD 2），在Rt△PCD 中，由勾股定理可得PC 2=CD 2+PD 2，△PA 2+PB 2=2PC 2，故答案为PA 2+PB 2=2PC 2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证. 7．30【解析】【分析】设AO 与BC 的交点为点G ，根据等腰直角三角形的性质证△AOC△△BOD ，进而得出△ABC 是直角三角形，设AC ＝x ，BC=x+7，由勾股定理求出x ，再计算△ABC 的面积即可．【详解】解：设AO 与BC 的交点为点G ，△△AOB ＝△COD ＝90°，△△AOC ＝△DOB ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△AOC△△BOD（SAS），△AC＝BD，△CAO＝△DBO，△△DBO＋△OGB＝90°，△△OGB＝△AGC，△△CAO＋△AGC＝90°，△△ACG＝90°，△CG△AC，设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，△BD、CD在同一直线上，BD△AC，△△ABC是直角三角形，△AC2＋BC2＝AB2，()222713x x++=,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S= 151230 2⨯⨯=，故答案为：30．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．8．（1）=；△ （2）见解析（3）AC=BD且AC△BD；证明见解析【解析】【分析】（1）根据等式的性质可得AC 与BD 的数量关系，根据△AOB=△COD=90°，可证AC 与BD 的位置关系； （2）证明△OCA△△ODB ，即可得到AC=BD ；（3）证明△OCA△△ODB ，可得AC=BD ，△BDO=△ACO ，进而可证△DEF=90°．【详解】解：（1）△OA=OB ，OC=OD△OA -OC=OB -OD ，△AC=BD ．△△AOB=△COD=90°，△AO△BO ，△C 、D 分别在OA 、OB 上，△AC△BD ；（2）在△OCA 和△ODB 中，90OC OD COA BOD AO BO =⎧⎪∠==⎨⎪=⎩，△△OCA△△ODB ，△AC=BD ；（3）AC=BD ，AC△BD ．理由：△△AOB=△COD=90°，△△AOB+△AOD=△COD+△AOD ，△△AOC=△BOD ，在△OCA 和△ODB 中，OC OD COA BOD AO BO =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，△△OCA△△ODB ，△AC=BD ，△BDO=△ACO ，△△ACO+△CFO=90°，△CFO=△DFE ，△△BDO+△DFE=90°，△△DEF=180°-90°=90°，△AC△BD ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．9．（1）BC=DC+EC ，理由见解析；（2）见解析；（36【解析】【分析】（1）根据本题中的条件证出△BAD△△CAE （SAS ）, 得到BD=CE,再根据条件即可证出结果.（2）由（1）中的条件可得△DCE=△ACE+△ACB=90°, 所以CE 2+CD 2=ED 2,可推出BD 2+CD 2=2ED ,再根据勾股定理可得出结果.（3）作AE△AD,使AE=AD ，连接CE,DE,可推出△BAD△△CAE （SAS ）,所以再根据勾股定理求得DE.【详解】解：（1）结论：BC=DC+EC理由：如图△中,△△BAC=△DAE=90°,△△BAC -△DAC=△DAE -△DAC ，即△BAD=△CAE,在△BAD 和△CAE 中,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△△BAD△△CAE （SAS ）;△BD=CE,△BC=BD+CD=EC+CD,即：BC=DC+EC.（2）BD2+CD2=2AD2,理由如下：连接CE,由（1）得，△BAD△△CAE,△BD=CE，△ACE=△B,△△DCE=△ACE+△ACB=90°,△CE2+CD2=ED2,即：BD2+CD2=ED2;在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,△ED2=2AD2;△BD2+CD2=2AD2;（3）AD的长为6(学生直接写出答案）.作AE△AD,使AE=AD,连接CE,DE,△△BAC+△CAD=△DAE+△CAD,即△BAD=△CAE,在△BAD与△CAE中,AB=AC，△BAD=△CAE，AD=AE.△△BAD△△CAE（SAS）,△△ADC=45°,△EDA=45°,△△EDC=90°,△DE2=CE2-CD2=2-12=12,△△DAE=90°,AD2+AE2=DE2,.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．10．（1）135°；（2）45°【解析】【分析】（1）过E作CB垂线，交延长线于点M，可证△ACP△△PEM，得出EM=PC，AC=PM，得出BM=EM，得出△EBM=45°，求得△EBP ；（2）类比（1）的方法同样过E 作CB 垂线，垂足M ，最后得出BM=EM ，得出△EBM=45°得出结论．【详解】（1）如图，过E 作CB 垂线，交延长线于点M ，△四边形APEF 是正方形，△△APE=90°，AP=PE ，△△APC+△PAC=△APC+△EPM=90°，△△PAC=△EPM ，在△ACP 和△PEM 中，PAC EPM C MAP PE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， △△ACP△△PEM ，△AC=MP ，PC=EM ，△AC=BC ，△BC=MP ，△BM=EM ，△△EBM=45°，△△EBP=135°．（2）如图，作EM△CB ，垂足为M ，△四边形APEF 是正方形，△△APE=90°，AP=PE ，△△APC+△PAC=△APC+△EPM=90°，△△PAC=△EPM ，在△ACP 和△PEM 中，PAC EPM C MAP PE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， △△ACP△△PEM ，△AC=MP ，PC=EM ，△AC=BC ，△PC=BM ，△BM=EM ，△△EBM=45°．【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，利用三角形全等的证明方法得出三角形全等是解决问题的关键．11．四边形PCDE 面积的最大值为1．【解析】【分析】先延长EP 交BC 于点F ，得出PF BC ⊥，再判定四边形CDEP 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP 的面积11EP CF a b ab 22=⨯=⨯=，最后根据22a b 4+=，判断1ab 2的最大值即可． 【详解】延长EP 交BC 于点F ，APB 90∠=，APE BPC 60∠∠==，EPC 150∠∴=，CPF 18015030∠∴=-=，PF ∴平分BPC ∠，又PB PC =，PF BC ∴⊥，设Rt ABP 中，AP a =，BP b =，则11CF CP b 22==，222a b 24+==， APE 和ABD 都是等边三角形，AE AP ∴=，AD AB =，EAP DAB 60∠∠==，EAD PAB ∠∠∴=，EAD ∴△()PAB SAS ，ED PB CP ∴==，同理可得：APB △()DCB SAS ，EP AP CD ∴==，∴四边形CDEP 是平行四边形，∴四边形CDEP 的面积11EP CF a b ab 22=⨯=⨯=， 又222(a b)a 2ab b 0-=-+≥，222ab a b 4∴≤+=，1ab 12∴≤， 即四边形PCDE 面积的最大值为1．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．12．（1）见解析；（2）成立，证明见解析【解析】【分析】（1）只要证明△AOD△△BOC （SAS ），即可解决问题；（2）如图2中，结论：OH=12AD ，OH△AD ．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ，证明△BEH△△CHO （SAS ），可得OE=2OH ，△EBC=△BCO ，证明△BEO△△ODA （SAS ）即可解决问题；【详解】（1）△△OAB 与△OCD 为等腰直角三角形，△AOB ＝△COD ＝90°．△OC ＝OD ，OA ＝OB在△AOD 与△BOC 中OA OB AOD BOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOD △△BOC （SAS ）△△ADO ＝△BCO ，△OAD ＝△OBC ，BC ＝AD△点H 是BC 的中点，△AOB ＝90°△OH ＝HB ＝12BC△△OBH＝△HOB＝△OAD，OH＝12 AD△△OAD＋△ADO＝90°△△ADO＋△BOH＝90°△OH△AD（2）（1）中结论成立；如图，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，CE△CH＝BH△四边形BOCE是平行四边形△BE＝OC，EB△OC，OH＝12 OE△△EBO＋△COB＝180°△△COB＋△BOD＝90°，△BOD＋△1＝90°△△1＝△COB△△AOD＋△1＝180°△△AOD＝△EBO△△BEO△△ODA△△EOB＝△DAO，OE＝AD△OH＝12 AD△△DAO＋△AOH＝△EOB＋△AOH＝90°△OH△AD【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，构造全等三角形解决问题是解题的关键.。
2018年中考数学秘籍：几何画辅助线的技巧
2018年中考数学秘籍：几何画辅助线的技巧中考数学少不了几何问题的考察，而涉及作图题，一般都要做辅助线完成，马上就要中考了，下面给大家带来辅助线的画法秘籍，在中考考场，祝你一臂之力！基本图形的辅助线的画法1三角形问题添加辅助线方法(1)有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
(2)含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
(3)结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
(4)结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：(1)连对角线或平移对角线；(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形；(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：(1)在梯形内部平移一腰；(2)梯形外平移一腰；(3)梯形内平移两腰；(4)延长两腰；(5)过梯形上底的两端点向下底作高；(6)平移对角线；(7)连接梯形一顶点及一腰的中点；(8)过一腰的中点作另一腰的平行线；(9)作中位线。
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2018中考数学几何辅助线题中考压轴题专题几何（辅助线）图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线加一倍。
梯等式子比例换，寻找相似很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，弦高公式是关键。
计算半径与弦长，弦心距来站中间。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内切圆，内角平分线梦园。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
精选1.如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，DE 垂直平分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB =3，BC =4，则AD的长为 ．精选2．如图，△ABC 中，∠C ＝60°，∠CAB 与∠CBA 的平分线AE ，BF 相交于点D ， 求证：DE ＝DF ．精选3.已知：如图，⊙O 的直径AB=8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于DEF精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A 不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．精选7、如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？精选8、等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ；（1）如图（1），若A （0，1），B （2，0），求C 点的坐标； （2）如图（2），当等腰Rt △ABC 运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt △ABC 不断运动的过程中，若满足BD 始终是∠ABC 的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．精选9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h 123(000)h h h >>>，，．（1）求证：31h h =；（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：22121()S h h h =++； （3）若12312h h +=，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积 S随1h 的变化情况．l 1 l 2 l 3l 4h 3 h 2h 1AD B 第题参考答案精选1解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC ===5，∵DE垂直平分AC，垂足为O，∴OA =AC =，∠AOD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AOD∽△CBA，∴=，即=，解得AD =．故答案为：．精选2证明：在AB上截取AG，使AG=AF，易证△ADF≌△ADG（SAS）．∴DF＝DG．∵∠C＝60°，AD，BD是角平分线，易证∠ADB=120°．∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．易证△BDE≌△BDG（ASA）．∴DE＝DG＝DF．精选3、解：（1）连接OC．∵PC为⊙O的切线，∴PC⊥OC．∴∠PCO=90度．∵∠ACP=120°∴∠ACO=30°∵OC=OA，∴∠A=∠ACO=30度．∴∠BOC=60°∵OC=4∴∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC =；（2）∠CMP的大小不变，∠CMP=45°由（1）知∠BOC+∠OPC=90°∵PM平分∠APC∴∠APM=∠APCDE FG∵∠A=∠BOC∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC）=45°．精选4、解：（1）在Rt△ABE中，．（1分）过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，∴△ODB∽△ACB，∴，∴，∴，∴点O到BC的距离为．（3分）（2）证明：过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，∵△OEB∽△ACB，∴∴，∴．∴直线BC与⊙O相切．（5分）此时，四边形OECF为矩形，∴AF=AC﹣FC=3﹣=，∵OF⊥AC，∴AP=2AF=．（7分）（3）；（9分）（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）设正方形OGCH的边长为x，则AG=3﹣x，∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，∴，∴，∴，∴，∴AP=2AG=．（12分）精选5、证法1：（截长）如图，截DF=DB，易证△DBF为等边三角，然后证△BDC≌△BFA即可；证法2：（截长）如图，截DF=DC，易证△DCF为等边三角，然后证△BDC≌△AFC即可；证法3：（补短）如图，延长BD至F，使DF=DC，此时BD+DC=BD+DF=BF，易证△DCF为等边△，再证△BCF≌△ACD即可．证法4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆．设AB＝AC＝BC＝a，根据（圆内接四边形）托勒密定理：CD·a＋BD·a＝AD·a，得证．FFF精选6、解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．∵∠D=∠C，∠APD=∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．（2）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=D C．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度数为30°．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NF B．∴QF=BF．∴QF=Q B．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B．由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．精选7、解：（1）DF=DE．理由如下：如答图1，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（2）DF=DE．理由如下：如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．∵＞0，∴该抛物线的开口方向向上，∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．精选8、（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS）∴CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1∴C（﹣1，﹣1）；（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∴∠ACG=∠BAC=90°，∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°，∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，∴∠ADO=∠BAO，∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G，∴∠ADB=∠CDE；（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH 由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．∵∠ADH=∠BAO．∴∠BAO=∠AHD．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠EBO，∵∠AOB=∠EOB=90°．在△AOB和△EOB中，，∴△AOB≌△EOB（ASA），∴AB=EB，AO=EO，∴∠BAO=∠BEO，∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．∴∠AEC=∠BHA．在△AEC和△BHA中，，∴△ACE≌△BAH（AAS）∴AE=BH=2OA∵DH=2OD∴BD=2（OA+OD）．精选9、于点F ，（1）证：设2AD l 与交于点E ，BC 与3l 交由已知BF ED BE FD ∥，∥， ∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DF∴=．又CDF Rt ABE Rt CD AB ∆∆∴=≌，．31h h=∴（2）证：作44BG l DH l ⊥⊥，，垂足分别为G H 、， 在Rt Rt BGC CHD △和△中，1809090BCG DCH BCD CDH DCH ∠+∠=︒-∠=︒∠+∠=︒，．BCG CDH∴∠=∠．又90BGC CHD BC CD ∠=∠=︒=，，l 1 l 2l 3 l 4h 3h 2h 1 ADBFE2Rt Rt BGC CHD CG DH h ∴==△≌△，．又22222223232121()()BG hh BC BG CG h h h h h h =+∴=+=++=+，，222121()S BC h h h ∴==++．（3）解：1221331122h h h h +=∴=-，，2222121111355241124455S h h h h h h ⎛⎫⎛⎫∴=+-+=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1211320010023h h h h >>∴->∴<<，，，．∴当1205h <<时，S 随1h 的增大而减小；当12253h <<时，S 随1h 的增大而增大．l 1 l 2 l 3l 4 h 3 h 2 h 1 AD BEH。